• No results found

x  622 x  8 x  8 x  162 x  6102

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "x  622 x  8 x  8 x  162 x  6102"

Copied!
12
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

OLIKHETER

Egenskaper:

1.Om a < b då gäller a+ c < b +c

2. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d 3. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb.

4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb .

Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal .

5. Om a > b och k < 0 då gäller ka < kb . ( Tecknet > ändras till < om vi multiplicerar eller delar en likhet med ett negativt tal.

Samma regel gäller för ≤ och ≥.

Exempel 1. 2 < 3 men – 2 > – 3

LINJÄRA OLIKHETER

Exempel 2. Lös följande olikheter

a) 3

2 10 2x 

b) 3 2

2 2 x

Lösning:

a) 3

2 10 2x 

( vi multiplicerar med 2) 6

10

2x  ( adderar 10) 16

2x ( delar med 2

8

x  

Svar:  x8

b) 3

2 2 2 x

( vi multiplicerar med 2) 6

2

2 x ( adderar –2)

(2)

H1009, 4 2 

 x

2

x

Svar: x ANDRA Ett sätt är att fö y= ax2 Beroend    

När vi r Exempe

a) x2 Lösning Ekvatio Grafen t ( Lägg m Vi ser fr Svar:

formen:

Lösning Två lösn

Introduktio 4 (vi dela

2

x

AGRADS O att lösa en o örst bestämm

c bx

de på a ( ko

ritar grafen t el 2. Lös fö

6 5  

 x g a) x2  x5 onen x2  x5 ill funktione märke till at från grafen a 2 <x <3, : x (2, 3) g b)  x4 2  ningar till e

a > 0

onskurs i ma ar med –2 s

OLIKHETE olikhet av ty ma eventuel

oefficient fra

till y= ax2 öljande olik

0 b 0 6

x

0 6

x ha

y  x2 5 tt a=1 större att x2  x5 

Alternativt

0 1

ekvationen 

atematik om är ett ne

ER

yp ax2  bx lla reella lö

amför x2), h

c bx

 bes kheter

b)  x4 2

ar två lösnin 6 5x e än 0)   0 6

 om t kan vi ange

1 4 2  

 x

a <

egativt tal; t

0

 c

x

ösningar till

har grafen (

stämmer vi

0 1

ngar x1= 2,   

2 <x <3.

e svaret på

0, x1= –1/

< 0

tecknet ≤ än

( >0, l ax2  bx

en parabel)

lösningar ti

x2=3.

/2,   x2=1/2.

ndras till ≥)

, ≥ 0 eller ≤

0

c och r

) en av följa

ill olikheten

Armin H )

≤0 )

rita funktion

ande former

n.

Halilovic

nen

r:

(3)

Grafen t ( Lägg m Vi ser fr för alla Svar:

Alternat

======

När vi r (Totalt 6

1. a>0 , y<0 om y> 0 om  

2. a>0 , dubbelrot y ≥ 0   fö  

3. a>0 , ingen ree y > 0   fö  

4. a < 0 , två reella y> 0 om y< 0 om  

   

ill funktione märke till at från grafen a reella tal x x < –0.5 el tivt kan vi a

=========

ritar grafen 6 fall , 3 för

två reella rö x1 <x<x2

x< x1 eller x

t x1 = x2

ör alla x   

ell rot ör alla x  

,

a rötter x1 och x1 <x<x2

x< x1 eller x

y 4x2 tt a= – 4 m att  x4 2  som satisfie ller x > 0. 5 ange svaret

=========

till y= ax2 r a>0 och 3

ötter x1 och

x> x2

h x2

x> x2

 1 indre än 0)

0 1

erar x < –

på formen:

=========

c bx

 ka för a<0)

x2

–0.5 eller x x (– ∞, –

=========

an följande

a >

x1

a > 0

x1 =x2

a > 0

> 0. 5 –0.5) (0.

=========

fall förekom

0

x2

5, ∞)

===

mma

(4)

H1009,

5. a < 0 , dubbelrot y ≤ 0   fö  

6. a < 0, ingen ree y < 0   fö  

Exempe

a) x2 e) x2 i) x2 2

Lösning a = 1 >0

x1= –2,    y < 0 om

Lösning a = –1 x1= ‐1,    y ≤ 0 om

Lösning

Introduktio

,

t x1 = x2

ör alla x  

ell rot ör alla x  

el 3. Lös fö 0 6

 x 0 2 

 x f) 0 1 2x 

g a) 0

 x2=3 m x (–2, 3

g b)

<0 x2=2

m x (–∞,

g a)

onskurs i ma

öljande olik 0 b ) x2 2 j) x2  x2

3)

-1] [2, ∞

atematik

kheter ) x2x

0 g) x2  0 1

x k)

∞)

0 2

 c 0 1 2  

 x

0

2 1

 x

c) x2  x h) x2  0

0

1 d) x 0 1 2  

 x

Armin H

2  x1 x

Halilovic

0

(5)

a = 1 >0 Inga ree Funktio därför x

Svar a) b) x ( c) inge d) x ( e) x f) x (–

g) endas h) x (–

i) x≠1, j) ingen k) x (–

OLIKH

Funktio ln = 0x 0 lnx

0 lnx

Exempe a) ln(2

0

ella nollställ onen positiv

2  x1 x

x (–2, 3) (–∞, -1] en lösning (–∞, ∞) , dv

[–2, 0 ] –∞, ∞) , dv st ett tal x=

–∞, ∞) , dvs dvs alla ree n lösning

–∞, ∞) , dvs

HETER MED

onen yln om x= 1 0 om x>1 0 om 0<

el 4. Lös fö 2x+3) < 0

len för alla x, 0 saknar lö

) , [2, ∞)

vs alla reell

vs alla reella 1 satisfiera s alla reella ella tal föru

s alla reella

D LOGARI

nx är defini

<x<1

öljande olik b)

ösning.

la tal satisfie

a tal satisfie ar olikheten tal satisfier utom x = 1 s

tal satisfier

ITMER

ierat för x >

kheter ln(3-x) >

erar olikhet

erar olikhete n

rar olikheten satisfierar o

rar olikheten

> 0.

>0 ten

en

n likheten

n

(6)

H1009,

Lösning ln(2x+3 0 < 2x+

Vi har t lösning) Vi adde – 3 < 2 – 3/2 <

Svar a Lösning ln(3 – x Svar:

OLIKH

Expone

är posit

Exempe

Introduktio

g: a) 3) < 0

+3 <1 ( två olikheter

) men, efter erar –3 i (*) x < –2 x < –1 a) : – 3/2 <

g: b) x) >0 ⇔

x < 2

HETER MED

ntialfunktio

tiva för alla

el 5. Lös fö

onskurs i ma

är ekvivale

* ) r i (*). Vi k rsom (* ) be ) och får

vi delar me

x < –1

⇔ 3 – x >

D EXPONE

oner ax dä

a x.

öljande olik

atematik

ent med

an lösa varj estår av enk

ed 2 och får

>1 ⇔

ENTIALFU

är a >0    som

kheter

je olikhet fö kla olikheter

– x > –2

UNKTIONE

m t ex  ex,2

ör sig och be r löser vi d

⇔ x <

ER

4 , , 3

2 

 

x

x e

estämma sn direkt båda t

< 2

3 2x ,… 

Armin H

nittet( gemen två.

Halilovic

nsam

(7)

a)

( 2

Lösning 4 2x  Svar a) Svar b)

NÅGRA

Olikhete a x sin löser vi, först i i Därefter Exempe a) sin

Lösning

) 4 2 xe

3

g a) Efters

 ⇔ 2 0 x x2 ) x 5/2

A OLIKHE

er av typ a eller , med hjälp intervallet [ r lägger vi t el 6. Lös fö

2

1

x

g a) Vi anv

5

 0

 x

som

e

3 x5

 ⇔ 4 x2

TER MED

a x cos

av grafen e [0, 2π) (el till lösninge öljande olik

b)

vänder grafe

 0

för all 2 .

TRIGONO

eller med hjä ller i interva en period 2k kheter

) cos x

en till ys

b)

( x

2

la x beror t

OMETRISK

älp av trigo allet (– π, π]

kπ.

2

1 c) sin

inx

) 5 

3 5

e

tecken enda

KA FUNKTI

onometriska ] ).

4) 2

n(   x

6 5

2

 ln( x

x

ast av den fö

IONER

cirkeln,

2

 3

0 ) 4 

örsta faktorn

1/2 n:

6

 6

(8)

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

eller den trigonometriska cirkeln.

Först löser vi   olikheten då x varierar   mellan 0 och 2π:  

6

 < x <

6 5

Därefter lägger vi till perioden 2kπ på båda sidor och får

6

 +2kπ < x <

6 5

+2kπ

Svar a) 6

 +2kπ < x <

6 5

+2kπ

Svar b) 3

 +2kπ < x <

3

 +2kπ

Lösning c)

För att enklare lösa olikheten  

2 ) 3 2 4

sin(  

x (*)

substituerar vi 2 4

x  =t  och får  

2

sint  3 (**)  

Olikheten (**) har lösningen

3

+2kπ < t <

3

2 +2kπ.

Därför:

3

 +2kπ <

2 4 x <

3 2

+2kπ Vi adderar – 4

 

3

 – 4

+2kπ < x2 <

3 2

– 4

 +2kπ , förenklar

12

+2kπ < x2 <

12 5

+2kπ , och delar med 2

(9)

24

+kπ < x <

24 5

+kπ .

Svar c:

24

+kπ < x <

24 5

+kπ

TECKENTABELL

Olikheter som kan skrivas på formen   

) 0 ( ) (

) ( ) (

2 1

2

1

x g x g

x f x f

     (*)       ( eller  <0,  ≥0 ,  ≤ 0)  

där högerledet =0 och  vänsterledet är en produkt eller kvot av flera funktioner    löser vi genom att först separat analysera tecken för varje funktion  fk(x)gk(x)  Därefter löser vi olikheten (*) med hjälp av en teckentabell. 

         med  

Exempel 7. Lös olikheten 

0 2 4

5

x

e x

x

  

Lösning:  Eftersom ex> 0 för alla x  löser vi endast  olikheten  0 2 4 5

x

x

Notera att olikheten inte är definierad för x=2. 

0 2

4x5 – 0 + + +

2

x – – – 0 +

2 4 5

x

x + 0 – ej

def +  

Vi ser  i tabellen att uttrycket   2 4 5

x

x  ≥ 0 om x(,0](2,) 

(10)

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

Svar :   x(,0](2,)   

Exempel 8. Lös olikheten 

0 5

) 3 ln(

4 

x

x

  Lösning:   

Först bestämmer vi definitionsmängden  till  olikheten: 

i)        ln(x‐3 ) är definierad endast om  x– 3>0  dvs  x> 3   ii) x –5 ≠ 0   dvs x ≠ 5. 

Vi analyserar   varje faktor för sig: 

1.   Faktorn  – 4 är en konstant funktion,  negativ för alla x. 

2.  Vi analyserar faktorn ln(x3) som är definierad om x>3. 

Uttrycket ln(x3)  är definierad om  x > 3. 

4 1

3 0

) 3

ln(x   x   x   ln(x3)0 om  x>4  

Därmed ln(x3)0  om   3 < x < 4 

Notera att olikheten inte är definierad för x=2. 

3 4 5

4 – – – – – – –

) 3

ln(xej def ej

def

– 0 + + +

5

x – – – – – 0 +

5 ) 3 ln(

4

x

x ej def ej

def – 0 + ej def  

Svar :   x[4,5)   

 

Exempel 9. Lös olikheten 

0

1

) 3 ln(

) 8 6 (

2

2

x x

x x

x

  Lösning:   

(11)

Först be i)        ln(

ii) Vi koll

1

x

x

2 ,

x1

Nämnare nämnare Nu  anal  

1.   Funk och  neg  

 

2.  Funkt 3 ln(x

3 ln(x

3 ln(x   

3.  Funkt  är negat  

   

Vi använ endast o

stämmer vi d (x‐3 ) är defin lar eventuell

2 0 x

x

2 3 2 1i

 

en har inte r en negativ fö

yserar  vi var

ktionen y x gativ om 2 < x

tionen  yl 0

)

3   om x–

0 )

3   om    3 0

)

3    om x>

tionen y x tiv för alla x.

nder teckenta om x >3. Därf

definitionsm nierad endas la  nämnaren

0

2  x1

 ( komplexa 

reella nollstä ör alla x. 

rje faktor för

8

2 x6 

x  

x <4 

) 3 ln(x är  –3 = 1 dvs om

3<x <4, 

>4. 

( 1 2

x

x  

abell för att  för analysera

mängden  till   st om  x– 3>0 ns nollställen

2 0 x1,2  1

lösningar) 

llen. Efterso

r sig:  

är 0 om x1=

definierad o m x= =4 

(x2x

lösa hela olik ar vi tecken f

olikheten: 

0  dvs  x> 3   n:   

4 1 1 2

1  

m  koefficien

 2 och x2 = 4

om x >3. 

)

1  

kheten. På g för alla fakto

2 1

2 ,

1  

 x

nten framför

4   

grund av ln(x‐

orer  endast o 4

3

 

r x2 är  negat

‐3) är olikhet om x >3   

tiv (a= –1) är

ten definiera  

ad 

(12)

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

3 4

8

2 x6 

x – – 0 +

) 3

ln(xej

def – 0 +

1 x2

x  – – – –

2 2

1

) 3 ln(

) 8 6 (

x x

x x

x

ej

def – 0 -  

Svar :   x(3,4)(4,) 

References

Related documents

Där bostadsbebyggelsen ska stå kommer det att bli en hårddjord yta, men det kommer bli mer växtlighet på den resterande ytan, eftersom planbestämmelsen ändras från torg till

Vänligen kontakta trafikledningen för bokning. Extra kostnad.. 4) Ej fryst leveranser 5) Ej fryst avgång

Om skrivarens PPD inte finns med i listan måste du installera den från cd-romskivan Skrivarinstallation och verktyg.. Under avsnittet LPR-skrivare, klickar du

utbildning i svenska för invandrare Rektor SL 20:33 Beslut kan överklagas till Skolväsendets överklagande-

13 kap 10 § - Beslut om förvärv eller överlåtelse av den omyndiges fasta egendom eller nyttjanderätt till sådan egendom ävensom upplåtande av nyttjanderätt, panträtt m.m..

[r]

Inga buskar, träd eller övriga växter med djupgående rötter växer på infiltration Infiltration har ej belastats och belastas ej av fordon, stora djur (kor, hästar), eller

Inga buskar, träd eller övriga växter med djupgående rötter växer på markbädd Markbädd har ej belastats och belastas ej av fordon, stora djur (kor, hästar),