OLIKHETER
Egenskaper:
1.Om a < b då gäller a+ c < b +c
2. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d 3. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb.
4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb .
Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal .
5. Om a > b och k < 0 då gäller ka < kb . ( Tecknet > ändras till < om vi multiplicerar eller delar en likhet med ett negativt tal.
Samma regel gäller för ≤ och ≥.
Exempel 1. 2 < 3 men – 2 > – 3
LINJÄRA OLIKHETER
Exempel 2. Lös följande olikheter
a) 3
2 10 2x
b) 3 2
2 2 x
Lösning:
a) 3
2 10 2x
( vi multiplicerar med 2) 6
10
2x ( adderar 10) 16
2x ( delar med 2
8
x
Svar: x8
b) 3
2 2 2 x
( vi multiplicerar med 2) 6
2
2 x ( adderar –2)
H1009, 4 2
x
2
x
Svar: x ANDRA Ett sätt är att fö y= ax2 Beroend
När vi r Exempe
a) x2 Lösning Ekvatio Grafen t ( Lägg m Vi ser fr Svar:
formen:
Lösning Två lösn
Introduktio 4 (vi dela
2
x
AGRADS O att lösa en o örst bestämm
c bx
.
de på a ( ko
ritar grafen t el 2. Lös fö
6 5
x g a) x2 x5 onen x2 x5 ill funktione märke till at från grafen a 2 <x <3, : x (2, 3) g b) x4 2 ningar till e
a > 0
onskurs i ma ar med –2 s
OLIKHETE olikhet av ty ma eventuel
oefficient fra
till y= ax2 öljande olik
0 b 0 6
x
0 6
x ha
n y x2 5 tt a=1 större att x2 x5
Alternativt
0 1
ekvationen
atematik om är ett ne
ER
yp ax2 bx lla reella lö
amför x2), h
c bx
bes kheter
b) x4 2
ar två lösnin 6 5x e än 0) 0 6
om t kan vi ange
1 4 2
x
a <
egativt tal; t
0
c
x
ösningar till
har grafen (
stämmer vi
0 1
ngar x1= 2,
2 <x <3.
e svaret på
0, x1= –1/
< 0
tecknet ≤ än
( >0, l ax2 bx
en parabel)
lösningar ti
x2=3.
/2, x2=1/2.
ndras till ≥)
, ≥ 0 eller ≤
0
c och r
) en av följa
ill olikheten
Armin H )
≤0 )
rita funktion
ande former
n.
Halilovic
nen
r:
Grafen t ( Lägg m Vi ser fr för alla Svar:
Alternat
======
När vi r (Totalt 6
1. a>0 , y<0 om y> 0 om
2. a>0 , dubbelrot y ≥ 0 fö
3. a>0 , ingen ree y > 0 fö
4. a < 0 , två reella y> 0 om y< 0 om
ill funktione märke till at från grafen a reella tal x x < –0.5 el tivt kan vi a
=========
ritar grafen 6 fall , 3 för
två reella rö x1 <x<x2
x< x1 eller x
t x1 = x2
ör alla x
ell rot ör alla x
,
a rötter x1 och x1 <x<x2
x< x1 eller x
n y 4x2 tt a= – 4 m att x4 2 som satisfie ller x > 0. 5 ange svaret
=========
till y= ax2 r a>0 och 3
ötter x1 och
x> x2
h x2
x> x2
1 indre än 0)
0 1
erar x < –
på formen:
=========
c bx
ka för a<0)
x2
–0.5 eller x x (– ∞, –
=========
an följande
a >
x1
a > 0
x1 =x2
a > 0
> 0. 5 –0.5) (0.
=========
fall förekom
0
x2
5, ∞)
===
mma
H1009,
5. a < 0 , dubbelrot y ≤ 0 fö
6. a < 0, ingen ree y < 0 fö
Exempe
a) x2 e) x2 i) x2 2
Lösning a = 1 >0
x1= –2, y < 0 om
Lösning a = –1 x1= ‐1, y ≤ 0 om
Lösning
Introduktio
,
t x1 = x2
ör alla x
ell rot ör alla x
el 3. Lös fö 0 6
x 0 2
x f) 0 1 2x
g a) 0
x2=3 m x (–2, 3
g b)
<0 x2=2
m x (–∞,
g a)
onskurs i ma
öljande olik 0 b ) x2 2 j) x2 x2
3)
-1] [2, ∞
atematik
kheter ) x2 x
0 g) x2 0 1
x k)
∞)
0 2
c 0 1 2
x
0
2 1
x
c) x2 x h) x2 0
0
1 d) x 0 1 2
x
Armin H
2 x1 x
Halilovic
0
a = 1 >0 Inga ree Funktio därför x
Svar a) b) x ( c) inge d) x ( e) x f) x (–
g) endas h) x (–
i) x≠1, j) ingen k) x (–
OLIKH
Funktio ln = 0x 0 lnx
0 lnx
Exempe a) ln(2
0
ella nollställ onen positiv
2 x1 x
x (–2, 3) (–∞, -1] en lösning (–∞, ∞) , dv
[–2, 0 ] –∞, ∞) , dv st ett tal x=
–∞, ∞) , dvs dvs alla ree n lösning
–∞, ∞) , dvs
HETER MED
onen yln om x= 1 0 om x>1 0 om 0<
el 4. Lös fö 2x+3) < 0
len för alla x, 0 saknar lö
) , [2, ∞)
vs alla reell
vs alla reella 1 satisfiera s alla reella ella tal föru
s alla reella
D LOGARI
nx är defini
<x<1
öljande olik b)
ösning.
la tal satisfie
a tal satisfie ar olikheten tal satisfier utom x = 1 s
tal satisfier
ITMER
ierat för x >
kheter ln(3-x) >
erar olikhet
erar olikhete n
rar olikheten satisfierar o
rar olikheten
> 0.
>0 ten
en
n likheten
n
H1009,
Lösning ln(2x+3 0 < 2x+
Vi har t lösning) Vi adde – 3 < 2 – 3/2 <
Svar a Lösning ln(3 – x Svar:
OLIKH
Expone
är posit
Exempe
Introduktio
g: a) 3) < 0
+3 <1 ( två olikheter
) men, efter erar –3 i (*) x < –2 x < –1 a) : – 3/2 <
g: b) x) >0 ⇔
x < 2
HETER MED
ntialfunktio
tiva för alla
el 5. Lös fö
onskurs i ma
är ekvivale
* ) r i (*). Vi k rsom (* ) be ) och får
vi delar me
x < –1
⇔ 3 – x >
D EXPONE
oner ax dä
a x.
öljande olik
atematik
ent med
an lösa varj estår av enk
ed 2 och får
>1 ⇔
ENTIALFU
är a >0 som
kheter
je olikhet fö kla olikheter
– x > –2
UNKTIONE
m t ex ex,2
ör sig och be r löser vi d
⇔ x <
ER
4 , , 3
2
x
x e
estämma sn direkt båda t
< 2
3 2x ,…
Armin H
nittet( gemen två.
Halilovic
nsam
a)
( 2
Lösning 4 2x Svar a) Svar b)
NÅGRA
Olikhete a x sin löser vi, först i i Därefter Exempe a) sin
Lösning
) 4 2 x e
3g a) Efters
⇔ 2 0 x x2 ) x 5/2
A OLIKHE
er av typ a eller , med hjälp intervallet [ r lägger vi t el 6. Lös fö
2
1
x
g a) Vi anv
5
0
x
som
e
3 x5 ⇔ 4 x2
TER MED
a x cos
av grafen e [0, 2π) (el till lösninge öljande olik
b)
vänder grafe
0
för all 2 .TRIGONO
eller med hjä ller i interva en period 2k kheter
) cos x
en till ys
b)
( x
2
la x beror t
OMETRISK
älp av trigo allet (– π, π]
kπ.
2
1 c) sin
inx
) 5
3 5 e
tecken enda
KA FUNKTI
onometriska ] ).
4) 2
n( x
6 5
2
ln( x
x
ast av den fö
IONER
cirkeln,
2
3
0 ) 4
örsta faktorn
1/2 n:
6
6
H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic
eller den trigonometriska cirkeln.
Först löser vi olikheten då x varierar mellan 0 och 2π:
6
< x <
6 5
Därefter lägger vi till perioden 2kπ på båda sidor och får
6
+2kπ < x <
6 5
+2kπ
Svar a) 6
+2kπ < x <
6 5
+2kπ
Svar b) 3
+2kπ < x <
3
+2kπ
Lösning c)
För att enklare lösa olikheten
2 ) 3 2 4
sin(
x (*)
substituerar vi 2 4
x =t och får
2
sint 3 (**)
Olikheten (**) har lösningen
3
+2kπ < t <
3
2 +2kπ.
Därför:
3
+2kπ <
2 4 x <
3 2
+2kπ Vi adderar – 4
3
– 4
+2kπ < x2 <
3 2
– 4
+2kπ , förenklar
12
+2kπ < x2 <
12 5
+2kπ , och delar med 2
24
+kπ < x <
24 5
+kπ .
Svar c:
24
+kπ < x <
24 5
+kπ
TECKENTABELL
Olikheter som kan skrivas på formen
) 0 ( ) (
) ( ) (
2 1
2
1
x g x g
x f x f
(*) ( eller <0, ≥0 , ≤ 0)
där högerledet =0 och vänsterledet är en produkt eller kvot av flera funktioner löser vi genom att först separat analysera tecken för varje funktion fk(x), gk(x). Därefter löser vi olikheten (*) med hjälp av en teckentabell.
med
Exempel 7. Lös olikheten
0 2 4
5
x
e x
x
Lösning: Eftersom ex> 0 för alla x löser vi endast olikheten 0 2 4 5
x
x .
Notera att olikheten inte är definierad för x=2.
0 2
4x5 – 0 + + +
2
x – – – 0 +
2 4 5
x
x + 0 – ej
def +
Vi ser i tabellen att uttrycket 2 4 5
x
x ≥ 0 om x(,0](2,)
H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic
Svar : x(,0](2,)
Exempel 8. Lös olikheten
0 5
) 3 ln(
4
x
x
Lösning:
Först bestämmer vi definitionsmängden till olikheten:
i) ln(x‐3 ) är definierad endast om x– 3>0 dvs x> 3 ii) x –5 ≠ 0 dvs x ≠ 5.
Vi analyserar varje faktor för sig:
1. Faktorn – 4 är en konstant funktion, negativ för alla x.
2. Vi analyserar faktorn ln(x3) som är definierad om x>3.
Uttrycket ln(x3) är definierad om x > 3.
4 1
3 0
) 3
ln(x x x ln(x3)0 om x>4
Därmed ln(x3)0 om 3 < x < 4
Notera att olikheten inte är definierad för x=2.
3 4 5
4 – – – – – – –
) 3
ln(x ej def ej
def
– 0 + + +
5
x – – – – – 0 +
5 ) 3 ln(
4
x
x ej def ej
def – 0 + ej def –
Svar : x[4,5)
Exempel 9. Lös olikheten
0
1
) 3 ln(
) 8 6 (
2
2
x x
x x
x
Lösning:
Först be i) ln(
ii) Vi koll
1
x
x
2 ,
x1
Nämnare nämnare Nu anal
1. Funk och neg
2. Funkt 3 ln(x
3 ln(x
3 ln(x
3. Funkt är negat
Vi använ endast o
stämmer vi d (x‐3 ) är defin lar eventuell
2 0 x
x
2 3 2 1i
en har inte r en negativ fö
yserar vi var
ktionen y x gativ om 2 < x
tionen yl 0
)
3 om x–
0 )
3 om 3 0
)
3 om x>
tionen y x tiv för alla x.
nder teckenta om x >3. Därf
definitionsm nierad endas la nämnaren
0
2 x1
( komplexa
reella nollstä ör alla x.
rje faktor för
8
2 x6
x
x <4
) 3 ln(x är –3 = 1 dvs om
3<x <4,
>4.
( 1 2
x
x
abell för att för analysera
mängden till st om x– 3>0 ns nollställen
2 0 x1,2 1
lösningar)
llen. Efterso
r sig:
är 0 om x1=
definierad o m x= =4
(x2x
lösa hela olik ar vi tecken f
olikheten:
0 dvs x> 3 n:
4 1 1 2
1
m koefficien
2 och x2 = 4
om x >3.
)
1
kheten. På g för alla fakto
2 1
2 ,
1
x
nten framför
4
grund av ln(x‐
orer endast o 4
3
r x2 är negat
‐3) är olikhet om x >3
tiv (a= –1) är
ten definiera
ad
H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic
3 4
8
2 x6
x – – 0 +
) 3
ln(x ej
def – 0 +
1 x2
x – – – –
2 2
1
) 3 ln(
) 8 6 (
x x
x x
x
ej
def – 0 -
Svar : x(3,4)(4,)