K. P. Nordlunds reformförslag.

R Å K N E S Ä T T S P R I N C I P E N

I D E N G R U N D L Ä G G A N D E M A T E M A T I K U N D E R V I S N I N G E N .

D e n m e t o d , som i n t i l l sista decenniet mest använts i n o m den grundläggande räkneundervisningen, h a r i fråga om räknesätt, t e r m i n o l o g i och räkneuppställningar sedan g a m - m a l t v a r i t en v ä l b a n a d undervisningsväg. D e n h a r ock v a r i t följd så g o t t som överallt i vårt l a n d . D e n l i k f o r - m i g h e t , som sålunda v a r i t a t t f i n n a i våra f o l k s k o l o r s räk- n c u n d e r v i s n i n g , h a r v a r i t något i många avseenden g o t t och värdefullt. Läraren f i c k lära b a r n e n räkna i h u v u d s a k p å s a m m a sätt, som h a n själv lärt s i g a t t räkna, och v a r t h e l s t barnen k o m m o i vårt l a n d , k u n d e de i regel i fråga o m d e t t a ämne rätt s n a r t känna s i g h e m m a s t a d d a . H a d e där i stället mött e t t a n n a t räkncförfarande, s k u l l e detta k o m m i t a t t vålla ej r i n g a b r y d e r i . V a r j e lärare v e t j u , h u r u s o m det b l o t t behövs en y t t e r s t l i t e n förändring, e x e m - pelvis i fråga o m skrivsättet, och h a n mötes genast av bar- nets »förstår inte». G ö r m a n s k o l s t u d i e r u t o m l a n d s , får m a n ock en t y d l i g förnimmelse av v i l k e n fördel det är a t t i c k e behöva b r o t t a s m e d o l i k a räknemetoder. R ä k n e - v a n o r n a v ä x a så s a m m a n med ens n a t u r , a t t m a n måste mer eller m i n d r e g ö r a våld på s i g själv, o m det begäres, a t t m a n s k a l l räkna p å e t t a n n a t sätt. O c h detta gäller u p p e n b a r l i g e n i c k e endast b a r n , u t a n i ännu h ö g r e g r a d oss äldre. D ä r i äger u n d e r v i s n i n g e n ock en g o d r e g u l a t o r

80

mot a l l t f ö r h a s t i g a omsvängningar i d e t t a ämnes meto- d i s k a b e h a n d l i n g .

Å a n d r a s i d a n bör denna n a t u r l i g a obenägenhet för för- ändringar g i v e t v i s i c k e få föranleda stillastående. I c k e heller för d e t t a ämne är i d e a l m e t o d e n ännu erhållen. U n d e r nämnda decennier t o r d e e x e m p e l v i s g a n s k a allmänt v a r i t konstaterat, a t t resultatet av räkneundervisningen icke all- tid rätt svarat emot ansträngningarna. Åtminstone h a r det icke b l i v i t f u l l t , v a d i n a n väntat och önskat. T r o t s s k i c k - l i g h e t från lärarnas sida h a r räkningen i många f a l l vållat barnen b e t y d a n d e svårigheter. A l l t som oftast h a r d e t o c k b l i v i t framhållet, a t t b a r n efter s l u t a d s k o l g å n g b l o t t a t förunderligt stor o f ö r m å g a a t t lösa även m y c k e t e n k l a p r a k t i s k a räkneproblem. I n o m högre s k o l o r f i n n e r m a n m y c k e t o f t a k l a g a n över m a t e m a t i k såsom e t t särskilt svårt ämne, o c h härvidlag v i s a r d e t s i g mestadels, a t t d e t egent- l i g a felet dock ej l i g g e r i ämnets n a t u r eller i b r i s t a n d e be- gåvning u t a n snarare är a t t söka i b r i s t a n d e förtrogenhet med själva g r u n d e r n a för räkning. D e t saknades tillbörlig i n b l i c k i a r i t m e t i k e n s enklaste g r u n d l a g a r .

N u k a n g i v e t v i s sådan missbelåtenhet h e l t e n k e l t bero på a t t k r a v e n ställas för h ö g a . M a n aktade ej tillbörligt på a t t m a n ej får begära för m y c k e t a v b a r n i förstånds- hänseende u n d e r de G första skolåren och a t t den t i d , s o m får anslås t i l l d e t t a ämne, måste v a r a rätt begränsad. I en skola m e d s t o r t a n t a l lärjungar måste j u därjämte en del barn p å g r u n d av växlande i n d i v i d u e l l a förhållanden b l i mer e l l e r m i n d r e o k u n n i g a . Säkerligen innebär sålunda åtskilligt i förekommande k l a g o m å l överdrifter, s o m böra t i l l b a k a v i s a s . P å s a m m a g å n g l i g g e r d e t e m e l l e r t i d i dessa en m a n i n g t i l l skolans män a t t pröva, o m ändå i n t e s k u l - den i någon mån är a t t söka hos s k o l a n . D e t finnes ock många b l a n d dessa, som känt s i g p å a l l v a r böra u n d e r - söka detta förhållande. I det följande må närmare utföras, vad som härvid v i s a t s i g v a r a värt särskilt beaktande i fråga o m »räknesättens» användning. D e t t a måste h a s i t t

6 — 2 6 9 6 5 0 . Arbetssättet i folkskolan. JU.

8 1

särskilda intresse* då det är m y ö k e t som t a l a r för a t t en viss o m l ä g g n i n g av u n d e r v i s n i n g e n i sådant avseende s k u l l e k u n n a leda t i l l ett mera tillfredsställande resultat.

K. P. Nordlunds reformförslag.

I början p å 1890-talet k o m m y c k e t stor uppmärksamhet a t t ägnas åt räkneinetodiska spörsmål, närmast med an- l e d n i n g a v den ingående och s k a r p a k r i t i k , som den f r a m - stående matematikläraren och lärobok »författaren K . P . N o r d l u n d i Gävle r i k t a d e m o t den gängse räknemetoden i det m ä r k l i g a arbetet » L ä r o g å n g v i d den g r u n d l ä g g a n d e u n - d e r v i s n i n g e n i r ä k n i n g » . I d e n n a i n t r e s s a n t a och s y n n e r l i - gen värdefulla b o k , v a r i h a n framhåller, a t t stora svag- heter och p e d a g o g i s k a oegentligheter v i d l å d a det gängse Undervisningssättet, återfinna v i följande.

1 ) Räknesättet i den allmänna u n d e r v i s n i n g e n vore allt- för abstrakt. Räknearbetet h a d e fått innebära lösning av a b s t r a k t a sifferexempel i sådan o m f a t t n i n g , a t t den m e k a - n i s k a räkningen hade b l i v i t det väsentliga. » E n tankeniör- dande slentrian» hade b l i v i t utmärkande för det sätt, varpå u n d e r v i s n i n g e n bedrevs.

2 ) Räkneundervisningen vore alltför dogmatisk. D e t t a berodde i väsentlig g r a d p å a t t m a n i d e n s a m m a använde som g r u n d s t o m m e »quattuorspecies-läran», de s. k . f y r a e n k l a räknesätten m e d tillhörande l a t i n s k a t e r m e r . D e n n a räknesättsprincip vore i den g r u n d l ä g g a n d e u n d e r v i s n i n g e n förkastlig, t y b a r n e n k u n d e i c k e f a t t a v a r k e n de l a t i n s k a termernas n a m n eller de o l i k a räknesättens innebörd. D e t vore ock både o e g e n t l i g t och o p e d a g o g i s k t a t t , såsom v i d användningen a v quattuorspecies-läran skett, l ä m p a räkne- termerna efter läran o m de h e l a t a l e n och a t t sedan h e l t e n k e l t överflytta dessa p å räkningen med b r u t n a t a l . Så h a e x e m p l v i s u t t r y c k e n m u l t i p l i c e r a och d i v i d e r a k o m m i t a t t föranleda stor o k l a r h e t och begreppsförvirring. I detta, räknesystcms heltalslära b e t y d d e nämligen m u l t i p l i c e r a

8 2

mångfaldiga, men i dess bråklära s t u n d o m mångfaldiga, stundom dela ooh s t u n d o m bäggedera på en g å n g . L i k a s å betydde d i v i d e r a i heltalsläran dela, m e n i bråkläran s t u n - dom dela, s t u n d o m m å n g f a l d i g a , s t u n d o m bäggedera i för- ening och s t u n d o m något annat, för v i l k e t b a r n e n ej f i n g o lära något n a m n a l l s . ( I sista f a l l e t avsågs u p p e n b a r l i g e n d i v i d e r a i b e t y d e l s e n a t t bestämma förhållandet m e l l a n t v å storheter.)

3 ) D e t vore e t t b e t y d a n d e p e d a g o g i s k t m i s s g r e p p , att, dedmalhräksräkning toges före räkningen i allmänna bråk.

Icke ens en i n l e d a n d e k u r s i fråga o m bråk begreppet k u n d e här göra t i l l f y l l e s t , u t a n decimalbråksräkningen måste b y g - ga p å o r d e n t l i g t g e n o m g å n g e n k u r s i allmänna bråk, för- såvitt den ej i m y c k e t b l o t t s k u l l e b l i en besvärlig l e k m e d s i f f r o r .

I stället f ö r den allmänt förekommande räknemetoden förordade K . P . N o r d l u n d därför c n f u l l k o m l i g t n y räkne- metod. D e n n a s k u l l e v a r a så o r d n a d , a t t b a r n e n k u n d e m e d eget förstånd b e g r i p a räkningen. D e n b o r d e därför v a r a realistisk och a n k n y t a t i l l k o n k r e t a b i l d e r och o l i k a mät- n i n g a r , vägningar, tidsbestämningar, och exemplen borde i allmänhet g ä l l a s a k l i g a förhållanden. I stället f ö r räkne- sättsprincipen borde jämförelseprincipen läggas som g r u n d

för u n d e r v i s n i n g e n . I n o m heltalsläran s k u l l e räkningen sålunda g ä l l a jämförelse m e l l a n o l i k a storheter i fråga o m storlek eller a n t a l , och i n o m bråkläran förhållandet m e l l a n sådana storheter. I stället f ö r de många utländska ter- merna, som a n t i n g e n missförstås eller i c k e förstås, s k u l l e användas en förenklad terminologi m e d svenska u t t r y c k , så- dana som »det hela», »delen» och »delarnas antal». A l l - männa bråkläran borde läggas t i l l g r u n d för decimalbråks- räkningen. I av K . P . N o r d l u n d författade exempelsam- l i n g a r h a r ock närmare a n g i v i t s , h u r u h a n tänkt s i g under- v i s n i n g e n efter sådan »heuristisk» m e t o d .

V i d framförandet a v denna »heuristiska metod» hävda- des m e d k r a f t den u p p f a t t n i n g e n , a t t räkneundervisningen

8 3

i c k e i främsta r u m m e t s k a l l .sikta l i l l p r a k t i s k t gagn u t a n t i l l intellektuell fostran. » H u v u d s y f t e t s k a l l icke v a r a a t t lära barnen allehanda, räknesätt oeli tankebesparande meto- der u t a n omedelbar b e k a n t s k a p m e d t a l e n . Räkneexemplen s k o l a behandlas s y n t e t i s k t och så lösas, a t t lärjungen för v a r j e steg i räkningen bibehåller k l a r u p p f a t t n i n g a v däri förekommande storheter. T i l l det c e n t r a l a begreppet i räkneundervisningen v i l l h a n göra begreppet förhållande, m a t e m a t i k e n s hörnsten, och d e t t a begrepp v i l l h a n därvid använda i c k e b l o t t som ett u t t r y c k för r e s u l t a t e t av en jämförelse u t a n som det m e t o d i s k a h u v u d medlet, v i d lös- n i n g e n a v o l i k a u p p g i f t e r . »¹ G e n o m a t t så i n r i k t a räk- n i n g e n på. bestämmandet av förhållandet m e l l a n de i p r a k - t i s k a räkneuppgifter ined b r u t n a t a l ingående storheterna söker h a n sålunda undanrödja de svårigheter, som särskilt

lösningar med så k a l l a d »multiplikation med b r å k » och

»division med bråk» i den gängse u n d e r v i s n i n g e n b r u k a föranleda.

A vm a Kruses Ȍska du inf)sm a te m atik*.

Nära släktskap med ovannämnda r e f o r m t a n k a r av K . P . N o r d l u n d röjer s i g i det förslag t i l l förändrad räkncmetod.

som nära 2 0 år senare ( 1 9 0 9 ) frambärs a v lärarinnan i B r u m m e r s k a s k o l a n A n n a K r u s c , S t o c k h o l m . U r hennes arbete

»Åskådningsmatematik»

må här anföras följande.

U n d e r v i s n i n g e n s k a l l redan från början i n r i k t a s i g på a t t u t v e c k l a det »matematiska sinnet», d . v . s. sinnet för mate- m a t i s k a storheter och deras förhållanden t i l l v a r a n d r a . B a r n e n böra ej få v e t a a t t »så s k a l l det. vara», »så s k a d u göra», u t a n med genetisk metod, g e n o m r i t n i n g a r och mät-

n i n g a r lära s i g a t t bestämma, v a d o l i k a storheter äro i jäm- förelse med v a r a n d r a och i förhållande t i l l v a r a n d r a . Som

1 S c >l)ie M a t h e m a t i k an den V o l k s s c h u l e n u n d V o l k s s c h u l l e h r c r s e m i - naren ? c h w e d e n s > v o n H . D a h l g r e n ( P e d a g o g i s k T i d s k r i f t 1911).

8 4

»vägen t i l l hjärnan går g e n o m handen», böra b a r n e n p å laborationsmässigt sätt själva få syssla med räknematcrial, som lämpar s i g för d y l i k a bestämningar. S t o f f e t s k a l l läg- gas så tillgängligt, a t t b a r n e n få en känsla av a t t v a r a upptäckare. D e s k o l a a l d r i g i m a t e m a t i k få något färdigt.

Metoden får ej v a r a något m i n n e s k u n s k a p s p l u g g , u t a n b ö r ge e r f a r e n h e t s k u n s k a p . B a r n e n s k o l a i c k e inlära den e l l e r den regeln och sedan i n ö v a den, u t a n de s k o l a »inge mate- matiken» och sedan i n ö v a den.

U p p g i f t e r n a g r u p p e r a s ej h e l l e r efter de f y r a kända räknesätten, u t a n arbetet s a m l a r s i g u n d e r de första s k o l - åren k r i n g dc o l i k a t a l e n v a r för s i g . Dessas s t o r l e k och karaktär påvisas medelst mångahanda o l i k a r t a d e räkne- operationer, som l e d a t i l l t a l e t i fråga ( s . k . »allsidig t a l - b e h a n d l i n g » ) . Så upptages e x e m p e l v i s i a n d r a skolårets k u r s som e t t särskilt räknekapitel » T a l e t 5 0 » . V i d behand- l i n g av detta tagas både u p p g i f t e r med sammanläggningar och fråndragningar, m e d m u l t i p l i k a t i o n e r , sådana som

1 4 10 x 5, och delberäkningar, sådana som > av 50, y av 50 o. s. v . R e d a n t i d i g t göras b a r n e n förtrogna m e d b r a k - begreppet, och förhål la ndebcgreppet klarlägges också redan under fjärde skolåret och användes för lösningen av sed- v a n l i g a m u l t i p l i k a t i o n s - och d i v i s i o n s e x e m p e l med bråk.

H e l a planläggningen k a r a k t e r i s e r a s också av största oppo- s i t i o n m o t och frigörelse från quattuorspecies-systcmet och dess räknesättsindelning. Ä v e n d e t t a r e f o r m försök b o t t n a r sålunda i erfarenheter o m olämpligheten av a t t k n y t a räkne- metoden t i l l d e t t a s y s t e m . M e d skärpa framhäves här också v i k t e n av a t t räkningen b l i r o m l a g d så, a t t b a r n e n k u n n a i k o n k r e t a föleställningar följa räkneoperationernas i n n e - börd.

8 5

Förändringar i våra folkskolors räka c metodik under de sista decennierna.

M a n k a n n u fråga s i g , h u r u v i d a räkneundervisningen i våra f o l k s k o l o r k o m m i t a t t stå f u l l k o m l i g t oberörd av nämnda k r a v p å r e f o r m e r i n g . H e l t n a t u r l i g t h a r den k r i t i k av det t r a d i t i o n e l l a räknesättet, som u t g j o r d e m o t i v e r i n g för förenämnda reformförslag, f r a m k a l l a t o p p o s i t i o n . F r å n o l i k a håll h a r m a n försökt a t t t i l l b a k a v i s a de g j o r d a an- greppen, och i allmänhet t o r d e m a n nog i våra s k o l o r h a känsla av a t t m a n i det ämnet h a f t förmånen a t t få s i t t a i så g o t t som o r u b b a t bo. D e n uppmärksamme g r a n s k a r e n s k a l l e m e l l e r t i d f i n n a , a t t den n u v a r a n d e räkneundervis- n i n g e n i våra f o l k s k o l o r dock är i åtskilliga avseenden o l i k den, som lämnades för 40 år seda.n. E g e n d o m l i g t s k u l l e det ock h a v a r i t , om så ej b l i v i t f a l l e t . Kärnpunkten i de framförda r e f o r m k r a v e n v a r j u , a t t u n d e r v i s n i n g e n i c k e v a r l a g d med tillbörlig hänsyn t i l l barnens sätt a t t tänka, och v i l k e n lärare h a r väl i c k e ined K . P . N o r d l u n d e r f a r i t , a t t ett i c k e oväsentiigt h i n d e r möter i det avseendet, så länge a l l t räknande både i h e l a t a l o c h bråk s k u l l e i n t v i n g a s i de 4 f a c k , som av g a m m a l t k a l l a t s » d c f y r a e n k l a räkne- sätten» m e d den därtill hörande s t e r e o t y p a t e r m i n o l o g i e n .

G å v i t i l l den n y a undervisningsplanen av 1919, är det

ock i detta s a m m a n h a n g a v särskilt intresse a t t s t a n n a i n - för sådana bestämmelser som följande. Räkneundervis- ningens u p p g i f t är a t t »bibringa, b a r n e n en efter deras ålder och u t v e c k l i n g avpassad i n s i k t och färdighet i r ä k n i n g » . Mätningar och v ä g n i n g a r böra läggas t i l l g r u n d för räk- n i n g e n m e d mått- och v i k t s o r t e r , och räkneoperationerna hinn, där så lämpligen k a n ske, åskådliggöras genom räk- n i n g med föremål. T k u r s p l a n e n f i n n e r i n a n också förordat, alf [åta decimalbråksräkningen följa efter och i a n s l u t - n i n g l i l j allmänna bråkläran. Ä n k r a f t i g a r e vittnesbörd om raknemetodens förändring och u t v e c k l i n g i den allmänna

8 6

u n d e r v i s n i n g e n ge de läroböcker, som använts, och alldeles särskilt de n y a läroböcker, som u t a r b e t a t s efter den n y a u n d e r v i s n i n g s p l a n e n . H ä r må närmast beaktas de föränd- r i n g a r , som v i d t a g i t s i fråga om de s. k . 4 räknesätten.

1) Sedan g a m m a l t h a r särskilt räknesättet division vållat barnen stora svårigheter. B a r n e n h a b l i v i t hänvisade t i l l a t t använda d e t t a räknesätt för inånga o l i k a slags u p p - g i f t e r . I äldre läroböcker h a r det v i s s e r l i g e n i noter eller d y l i k t o m t a l a t s , a t t dessa u p p g i f t e r v o r o a t t hänföra t i l l två o l i k a h u v u d s l a g , och a t t räknesättet i fråga o m f a t t a d e dels d e l n i n g s d i v i s i o n och dels innehållsdivision. F ö r bar- nen b l e v det i regel bäst a t t i c k e behöva u t i e d a , v i l k e t slags räknesätt det s k u l l e v a r a fråga o m . F ö r dem v a r det be- kvämast och l u g n a s t a t t b l o t t få säga »dividera». Såsom av K . P . N o r d l u n d framhållits, f i c k så b a k o m denna u t - ländska t e r m dölja s i g m y c k e t a v oreda och o k l a r h e t . E n - dast e t t fåtal av b a r n e n k o m m o u n d e r f u n d med a t t det här var fråga o m två h e l t o l i k a tankegångar och v a d som v a r för dessa utmärkande s a m t a t t lösningen av vissa räkne- u p p g i f t e r k u n d e v i n n a s endast g e n o m a t t a n k n y t a t i l l den ena tankegången och a t t lösningen av a n d r a däremot krävde den a n d r a som hjälpare. E j u n d e r l i g t därför, a t t b a r n e n kände s i g f a m l a n d e och osäkra, när det b l e v fråga om att för olika, u p p g i f t e r bestämma s i g för räknesätt. I och med k r a v e t p å k l a r t åskådliggörande av de o l i k a räkne- förloppens innebörd och användande av n a t u r l i g a och sven- ska t e r m e r , b l e v det t y d l i g e n n ö d v ä n d i g t a t t särlägga de

två olika tankegestalterna inom division och låta dem få

var sin särskilda behandling. Sålunda söka också a l l a n y - u t k o m n a läroböcker a t t m e r eller m i n d r e t i l l g o d o s e d e t t a k r a v och u p p t a g a skilda, räkneövningar för dessa o l i k a tankegångar. Ä v e n o m m a n då i n t e a l l t i d v å g a t s i g p å a t t införa särskilda tecken och n a m n för dessa, k a n m a n n u - m e r a g o t t säga, a t t divisionsräkningen i den elementära u n d e r v i s n i n g e n b l i v i t m e r a bestämt u p p d e l a d i de två räk- nesätten: delbcräkning och innehållsberäkning, och a t t m a n

87

sålunda numera faktiskt (/rundar räkneundervisningen på åtminstone 5 olika räkneelcment.

2 ) Ä v e n i n o m bråkläran h a r u n d e r sista decenniet e t t märkligt a v f a l l k o m m i t a t t göras från quatfuorspecicsläran, i det a t t m a n tämligen allmänt t o r d e i våra skolor v i d lös- n i n g e n av s a k l i g a u p p g i f t e r h a övergivit det g a m l a räkne- sättet »delningsdivision med bråk». M a n synes h a b l i v i t tämligen allmänt övertygad o m a t t d e t t a lösningssätt i c k e var t i l l något e g e n t l i g t g a g n , u t a n a t t en m e r a n a t u r l i g räkncväg här borde användas.

Är uppgiften exempelvis att bestämma priset på 1 kg, då - kg. kostar 1 , 1 5 k r , v i l l man numera icke längre rekommen- dera som lösningsväg att »dividera 1 , 1 5 kr med -> enligt tockningen 1 , 1 5 k r : v — A r uppgiften att bestämma priset

4

för 1 k g , då - k g kostar 1,8 0 kr, finner man det likaledes högst motbjudande att lära barnen som lösning, att dc skola

»dividera med 7 » , att de skola använda som teckning 1,80 kr:--

4 4 och att som uträkningssätt för denna teckning ange, att man i

st. f. att dividera med bråket ^ skall multiplicera med ett bråk, där det förra bråkets täljare och nämnare fått byta plats,

4 alltså med - .

o

Sistnämnda metod innebär ett alltför konstmässigt räk- nande, för a t t m a n sedan s k a l l ägna det f u l l t i l l t r o och an- vända s i g av det för d y l i k a p r o b l e m , då m a n sedan möter sådana i l i v e t . F ö r d y l i k a u p p g i f t e r l e t a r s i g i regel e t t s u n t och n a t u r l i g t tänkande f r a m t i l l e t t a n n a t lösningssätt, I stället för a t t hänvisa t i l l sådan »delningsdivision m e d bråk» e n l i g t det g a m l a systemet t o r d e ock n u m e r a a l l - mänt användas de för r c g u l a - d e - t r i k a r a k t e r i s t i s k a tanke- gångarna.

D e n första uppgiften tecknas sålunda genast som en m u l t i - plikationsuppgift. 1 kg skall kosta 4 X 1 , 1 5 k r = 4,60 k r .

I den andra uppgiften bestämmer man först priset på - kg.

4 D e t t a blir tydligen - • 1,80 k r . Därefter bestämmes priset på

hela kilogrammet. Detta tecknas 4 X ^ • 1,80 kr eller om man så v i l l - • 1,80 kr = 2 , 4 0 kr. o

o

B) A n m ä r k n i n g s v ä r t är ock, a t t m a n a l l t m e r a börjat i n o m f o l k s k o l a n s sjätte årskurs ä g n a uppmärksamhet åt u p p g i f t e r , i v i l k a i n a n h a r a t t bestämma, hur stor del en storhet är av en annan storhet. I n o m f l e r a n y u t k o m n a läroböcker u p p t a g a s sålunda i särskilda k a p i t e l en mång- f a l d sådana exempel, i v i l k a förhållandet m e l l a n o l i k a stor- heter s k a l l beräknas. V i d förklaring a v dessa h a r det v i s a t sig, a t t m a n även här bör följa en tankegång, som är en h e l t a n n a n än den, som b a r n e n förut b l i v i t förtrogna m e d i de 5 e n k l a räknesätten.

Skall det exempelvis bestämmas, h u r stor del 38 m är av 57 m , duger det ej att helt enkelt säga, att då skall man »dividera med 57 m». D e t är tydligen fullkomligt orätt att därmed hän- visa barnen t i l l deras delningsdivisionsföreställningar, enligt vilka man här skulle dela 38 m i 57 delar och se vad som blir i varje del, men helt säkert undviker varje lärare också att söka ge dem som förklaring, att det här är fråga om inne- hållsberäkning eller m. a. o. att man skulle se efter, h . m . gånger man kan taga 57 m ur 38 m . H a barnen vant sig v i d att tänka sunt och naturligt, studsa de inför en dylik anmaning som något tankevidrigt. D e n innebär j n något, som för dem måste te sig minst lika omöjligt som att taga 57 från 38. De säga givetvis »det går inte».

D e t t a v i s a r , a t t o m m a n för dessa u p p g i f t e r , som inne- bära a t t bestämma, h u r stor del en m i n d r e storhet, är a v en större, hänvisar b a r n e n t i l l deras i del beräkning och innehållsberäkning v u n n a d i v i s i o n s b e g r e p p , så ger m a n barnen icke någon förklaring alls. V i s s e r l i g e n k u n n a bar-

8 9

nen m e k a n i s k t l y d a order och få r i k t i g a talvärden som re- s u l t a t , men denna räknings v e r k l i g a s a m m a n h a n g med u p p - g i f t e n s innebörd stå de f o r t f a r a n d e främmande för, och d e t t a k a n i c k e v a r a l y c k l i g t . Förhållandebegreppet är u t a n t v i v e l m a t e m a t i k e n s v i k t i g a s t e g r u n d b e g r e p p , själva »hörn- stenen» för f o r t s a t t m a t e m a t i s k t tänkande. D e t är ock p å d e t t a k a n i c k e v a r a l y c k l i g t . Förhållandebegreppct är u t a n v i k t i g g r u p p av i l i v e t v a n l i g e n förekommande exempel. D i t höra e x e m p e l v i s a l l a p r o b l e m , som innebära a t t bestämma h u r stor tillväxten i folkmängd och d y l i k t är, h u r stor ök- n i n g e n i i n k o m s t e r , u t g i f t e r , skörd o. d . är, h u r stor v i n s t e n är p å k a p i t a l m . m . , a l l t i r e l a t i o n t i l l e t t förutvarande vär- de. Sådana u p p g i f t e r k u n n a u p p e n b a r l i g e n ej lämnas åsido i den v a n l i g a s k o l k u r s e n , och när m a n v i l l g i v a o r d e n t l i g a föreställningar o m lösningssättet-för dem, s k a l l m a n sålunda f i n n a , a t t denna förhållanderäkning i c k e n a t u r l i g t låter i n o r d n a s i g i cle förut inlärda räknesätten. Ä v e n här måste t i l l en början en avsöndring u r m a t e m a t i k e n s allmänna d i - visionsbegrepp ske. Ä v e n förhållanderäkningen b ö r t i l l en

början tagas som ett särskilt räknesätt.

I fråga om behandlingen av detta räknesätt må här blott t i l l - läggas följande. För att ange förhållandet mellan två storheter a och /; använder man sig i matematiken av två olika tecken, det sedvanliga divisionstecknet (a: h) och ett vågrätt streck .Då förhållanderäkningen icke torde kunna upptagas t i l l ordentlig behandling förrän i sjätte skolårets kurs, där barnen lärt sig räkning med allmänna bråk, blir det lämpligt att för denna förhållanderäkning t i l l en början reservera det sistnämnda teckningssättet, Ovanstående uppgift skulle alltså tecknas 38 m

57 m

Lösningen erhålles på följande sätt:

9 0

V a d som i ovannämnda exempel framhållits, p e k a r så- l u n d a o t v e t y d i g t på h u r u s o m m a n är p å v ä g a t t frigöra s i g

från

det t r y c k , som quattuorspecies-systemet utövat p å de grundläggande räknemctoderna, och a t t en i o l i k a avseenden m e r a tankeväckande, n a t u r l i g t o r d n a d och bärande räkne- u n d e r v i s n i n g håller p å a t t a r b e t a s i g f r a m . D e n k r i t i k , som i » L ä r o g å n g v i d den grundläggande räkneundervisningen»

r i k t a d e s m o t den g a m l a räknesättsprincipen, v a r så p s y k o l o - g i s k t träffsäkert g r u n d a d , a t t det i c k e gärna v a r m ö j l i g t annat, än a t t förändringar förr eller senare s k u l l e k o m m a

att v i d t a g a s . B l o t t det kravet, att de olika tankegångarna i den första, undervisningen i räkning skola åskådligt anges,

och a t t m a n därvid b ö r använda s i g a v svenska u t t r y c k s - sätt och t e r m e r , har m e d viss naturnödvändighet tvingat

fram ur de 4 s. k. enkla räknesätten mera speciella räkne- rägar för vissa grupper av exempel. D e t h a r då visserligen

b l i v i t f l e r a räknesätt, m e n m a n h a r p å s a m m a g å n g v u n n i t den stora fördelen, a t t det i c k e i n o m v a r j e s. k . räknefack k o m m e r a t t f i n n a s h e l t o l i k a saker. G r u p p e r i n g e n b l i r m e r a k l a r och e n k e l , och det b l i r då o c k s å m y c k e t lättare a t t känna i g e n och hålla reda på v a d som utmärker v a r j e

grupp.

Räknesättens namn och tecken inom heltalsläran.

D å j a g n u övergår t i l l a t t särskilt i fråga o m beteck- ningssättet närmare anföra, v a d som v i d försök v i d skolor härstädes v i s a t s i g v a r a värt särskilt beaktande i en sådan ny elementär räknenietod e n l i g t o v a n a n g i v n a allmänna s y n p u n k t e r , må först e t t p a r allmänna anmärkningar göras i fråga o m m e k a n i s k t räknande och användning a v räkne- sätt över h u v u d t a g e t .

A t t en räknenietod är sådan, a t t den leder f r a m t i l l e t t lösningssätt, som är tankebesparandc och låter s i g meka- niseras, är icke en svaghet hos densamma, u t a n det måste tvärtom v a r a e t t k r a v , som en god räknenietod b ö r f y l l a .

91

D å det gäller utförandet av någon längre räkneoperation, får m a n i n t e ens begära, a t t lösningen s k a l l k u n n a göras i k r a f t a v förståndsmässigt räknande. H ä r måste räkneupp- ställningarna v a r a sådana, a t t m a n g e n o m e t t mer e l l e r m i n d r e maskinmässigt räknande efter v i s s a regler får r i k - t i g t r e s u l t a t . M e n i n g e n med det h e l a och räkningens inne- börd i e n k l a och belysande f a l l s k a l l först b l i v a f u l l t k l a r - l a g d och förstådd, m e n a t t g i v a räknefärdighet b l i r a l l t i d sedan e t t v i k t i g t l e d i u n d e r v i s n i n g s a r b e t e t . D e t b l i r så- l u n d a n ö d v ä n d i g t a t t i n o m \^?arje räkneparti k o n c e n t r e r a arbetet p å vissa bestämda räkneövningar eller räknesätt.

D å i förut omnämnda reformförslag räknesättsprincipen i den t r a d i t i o n e l l a räknemetoden underkänts, innebär d e t t a i c k e h e l l e r , a t t räknesätt över h u v u d t a g e t i c k e v i d a r e s k u l l e förekomma, u t a n b l o t t a t t de s. k . 4 e n k l a räkne- sätten i c k e a l l t i d äro l ä m p l i g a , då det gäller a t t g ö r a b a r n förtrogna med lösningen av förekommande u p p g i f t e r . B a r - nens räknesättsföreställningar räcka ej t i l l för a l l t , som inpressats i de 4 räknesätten, o c h d e t h a r därför i c k e b l i v i t för dem möjligt a t t med förståelse och glädje använda d e m . I strävandena a t t få f r a m en metod, som m ö j l i g g ö r m e r a f r i t t och n a t u r l i g t tänkande och cn s a k l i g t m e r a intresse- väckande u n d e r v i s n i n g , t o r d e m a n n o g emellanåt f i n n a en viss benägenhet a t t slå över t i l l c n räknemetod u t a n så- d a n a bestämt u t s t a k a d e färdevägar. I m å n g a f a l l k a n v ä l ock sådan u n d e r v i s n i n g leda t i l l g o t t r e s u l t a t . I våra s k o l o r i allmänhet däremot t o r d e det e m e l l e r t i d v a r a n ö d v ä n d i g t

och t i l l värdefull hjälp, att bestämt banade räknevägar

anvisas och följas, och a t t e n l i g t den gällande u n d e r v i s - n i n g s p l a n e n »inom v a r j e särskilt m o m e n t av räkneunder- v i s n i n g e n så s t o r t a n t a l s a k e x e m p e l föreläggas, a t t b a r n e n vänjas v i d den för dessa exempel gemensamma tankegång, som kräves för deras lösning», och a t t t i l l detta k n y t a s så m å n g a s i f f e r e x e m p e l , »att lärjungarna s l u t l i g e n nå f r a m t i l l m e k a n i s k färdighet v i d räkneoperationernas utfö- rande».

9 2

Undersöker inan de o l i k a slags p r o b l e m , som k u n n a sägas höra t i l l elementär räkneundervisniug och sålunda böra b l i behandlade i våra f o l k s k o l o r , s k a l l inan e n l i g t ovanstående f i n n a , a t t de i räkneavseende lämpligen böra sammanföras i sex o l i k a g r u p p e r . T i l l b e l y s n i n g av v a d som k a r a k t e r i - serar dessa må följande 6 exempel nämnas:

Räkneuppgifter

Räknesättets namn Räknesättets namn enligt qnattuor- i nyelementär

speciesl&ran räknenietod

1) Erik ritade en liuje som var 25 cm. Sedan ökade han på den 3 cm. Har lång blev den?

2) Erik ritade en linje som var 25 cm. Sedan tog ban bort 3 cm. Hur lång blev den?

3) Erik ritade en linje som var 25 cm. Johan ritade en som var 3 gånger så lång. Har lång var Johans liuje?

4) Erik hade ett band som var 24 cm. Sedan klippte han av småbitar, som voro 3 cm långa. Hnr många sådana kunde han få?

5) Erik hade ett band som var 24 cm. Sedan delade han det i 3 lika delar.

Hnr lång blev varje del?

ti) Erik hade ett band som var 24 cm. Han klippte bort 8 cm. Hur stor del av bandet var detta?

A d d i t i o n .

Subtraktion.

M u l t i p l i k a t i o n .

Sammanläggning.

(Addition)

fråndragning.

(Subtraktion)

Gångertagning.

(Multiplikation)

Innehållsdi vision. Innehållsberäkning.

(Första måttet> (Division) det audra.)

Dclningsdivision.

Inneliållsdivision.

(Första måttet <C det. andra)

Delberäkning.

Förhållandcräk- ninK.

Dessa sex räkneuppgifter kräva icke för don utbildade mate- matikern sex olika räknesätt. H a n skulle rent av kunna finna lösning t i l l dera samtliga genom endast sammanläggningstän- kande. Ofta lösas j u ock uppgifter liknande exempel 2) med additionsförfarande (Ifyllnadsmetod: 3 + .r = 25), och uppgift 3)

93

är j u egentligen endast en upprepad addition (25 + 25 + 25 — x).

Uppgift 4) kan lösas medelst subtraktion eller medelst m u l t i - plikationstänkande, där gåugertalet sökes. Och uppgift 5) kan lösas medelst multiplikationstänkande, där multiplikanden sökes.

Uppgift 0) kan lösas medelst delberäkning I • 24 cm = 8 cm

Då m a n v i l l h a så enkel lösning som möjligt för dessa och l i k n a n d e p r o b l e m och v i l l åskådliggöra denna sä, a t t nian u t a n o m v ä g a r d i r e k t ser sambandet m e l l a n u p p g i f t e n ock r e s u l t a t e t , hänvisas m a n e m e l l e r t i d t i l l a t t för v a r och en av dc nämnda räkneuppgifterna använda särskilda och säregna räknesätt. E n d y l i k undersökning g e t sålunda v i d handen, a t t m a n åtminstone

bör göra barnen väl förtrogna med G olika tankegångar.

D å dessa sedan skola utgöra u t - g å n g s p u n k t för a l l t det. f o r t s a t t a räknandet och b i l d a g r u n d s t o m m e n i det hela, l i g g e r det u t o m o r d e n t l i g v i k t uppå a t t det i fråga o m dessa vinnes a l l k l a r h e t , som står a t t v i n n a . F r ä m s t måste då g i v e t v i s v a r j e sådant räkncför- l o p p k l a r l ä g g a s v a r för s i g . G e n o m mätningar, åskådligt räknande med föremål och mer e l l e r m i n d r e l a b o r a t i o n s - mässig b e h a n d l i n g a v s a k l i g a u p p g i f t e r i n o m o l i k a områ- den h a r m a n a t t öppna barnens b l i c k för v a d själva räkne- operationen innebär u r arbets- och t a n k e s y n p u n k t och h u r man p å den vägen s k a l l k u n n a l e t a s i g f r a m t i l l svaret.

D e t är då i c k e r e s u l t a t e t i och för s i g , som därvid s k a l l s a m l a huvuduppmärksamheten, u t a n räknevägen. K r i n g de o l i k a räknegestalterna bör samlas så m y c k e t l j u s , a t t bar- nen väl k u n n a igenkänna dem v a r och en och sedan också, säkert k u n n a s k i l j a dem från v a r a n d r a . D e t måste ned- läggas u t o m o r d e n t l i g o m s o r g härpå, så a t t förväxlingar och s a m m a n b l a n d n i n g a r f ö r e b y g g a s . T a n n a t f a l l k o m m e r , så- som redan förut framhållits, o k l a r h e t , d i m m i g h e t och f a m - lande osäkerhet a t t alltjämt v i d l å d a barnens räknande.

D e t b l i r då ej h e l l e r l i k g i l t i g t , i v i l k e n y t t r e dräkt dessa räknegestalter få träda f r a m för barnen, v a d de få för n a m n och h u r de a v b i l d a s ( » t e c k n a s » ) . F ö r m å n g a b a r n

9 4

är det rönt av de y t t r e igenkänningstecknen, som i främsta r u m m e t visa. dem vägen i deras tänkande. T i l l en början lösas u p p g i f t e r n a med användande av e t t språk, som na- t u r l i g t a n s l u t e r s i g t i l l v a d u p p g i f t e n s a k l i g t innebär, men efter h a n d ledas b a r n e n sålunda t i l l för varje tankegång

karakteristiska och bestämda uttryck och termer.

H ä r v i d måste det u p p e n b a r l i g e n v a r a u r metodisk syn- p u n k t förkastligt, a t t o m m a n e x e m p e l v i s v i l l , a t t barnen skola hålla isär delberäkning och innehallsberäkning, lära barnen a t t både för den ena och den a n d r a räkningen säga.

»dividera med» eller »dela med» och a t t k a l l a båda räkne- sätten »division». S k a l l k l a r h e t och r e d a v i n n a s , måste till-

ses, a t t varje tankegång blir tät ryckt på sitt särskilda sätt samt a t t varje teckning och då g i v e t v i s också varje opera- tionstecken får sin särskilda betydelse. V i l k e n källa t i l l be-

svärligheter och v i l l e r v a l l a s k u l l e det i c k e v a r a , om m a n i läsning m i n s k a d e a n t a l e t bokstäver och krävde, a t t en och samma b o k s t a v s k u l l e få v a r a tecken för o l i k a l j u d , så att don i v i s s a f a l l s k u l l e läsas p å e t t sätt och i a n d r a f a l l på a n n a t ! M o t s v a r a n d e ölägenheter äro a t t vänta, o m man i n o m räkneundervisningen begär, a t t e t t och s a m m a räknetecken s k a l l u n d e r s t u n d o m m a r k e r a en räkneväg ( t . cx. d e l b e r ä k n i n g ) och u n d e r s t u n d o m en annan ( t . ex. inne- hållsberäkning) .

Använder man samma tecken i teckningen för exempel 4 ) , som kräver innehållsberäkning, och för exempel 5), som inne- bär en delberäkning, blir detta icke t i l l hjälp och vägledning för barnen. D e t måste då uppenbarligen tvärtom b l i mycket svårt för dom att hålla klart, att i exempel 4) skall teckningen

»24 : 3 = 8» läsas »24 innehåller 3 åtta gånger», men att i exempel 5) samma teckning »24 : 3 = 8» skall läsas »en tredje- del av 24 är 8», och detta även om delberäkningens och innehållsbcräkningens olika karaktärer b l i v i t mycket noggrant genomgångna.

D e t h a r v a r i t en allmän k l a g a n och erfarenhet, a t t barnen icke k u n n a rätt f a t t a och hålla isär sistnämnda två räkne- sätt. D e t t a h a r säkerligen e n l i g t ovanstående i väsentlig

95

g r a d b e r o t t på a t t man ej övat de två o l i k a tankegångar, som höra samman med. dessa tvä räknesätt, tillräckligt m y c k e t v a r för s i g . Försök, som här utförts, h a också t y d - l i g t ådagalagt — v a d som för resten v a r j e m e t o d i k e r torde f i n n a så g o t t som självklart v i d närmare eftersinnande •—

a t t o m m a n v i l l h a säkerhet i det arbetet, bör m a n i c k e söka pressa i n b å d a dessa o l i k a tankegångar i s a m m a f o r m och ge d e m samma teckningssätt, u t a n tvärtom v a r a sär- s k i l t angelägen o m a t t låta dem få även i y t t r e mening- o l i k a u t f o r m n i n g såväl i fråga om n a m n som operations- tecken och t e r m i n o l o g i i övrigt.

Härvid har teckningen för uppgift 4) fått vara #4 cm.: 8 cm = 8 gånger. Det sedvanliga divisionstecknet har sålunda bibehållits och reserverats för innehällsberåkningen. Teckningen läses 24 cm innehåller 3 cm 8 gånger. — Som teckning för uppgift 5) har däremot valts - • 2-'i- cm = S cm. D e t t a blir en

o

teckning, som träffar själva kärnan i uppgiften. Denna är j u icke blott att dela 24 cm i tre delar, utan också och alldeles

särskilt i detta slags räkning att bestämma, hur stor en sådan del blir. Ganska allmänt tycks man ock ha f u n n i t lämpligt att lära barnen att ange en sådan uppgifts innebörd medelst ut- trycket »en tredjedel av 24 cm». Användes nu sistnämnda teckning, får man sålunda full överensstämmelse mellan teck- n i n g och läsning.

V i d användandet av sådant skrivsätt inom hcltalsläran skola naturligtvis betecku in garna ^, - - i - o. s. v. icke förklaras vara

3 4 5

något slags bråk med täljare och nämnare, u t a n barnen få helt enkelt lära sig, att en tredjedel, en fjärdedel, cn femtedel o. s. v. tecknas g, o. s. v. D e t skall då också visa sig,

3 4 5

att detta icke alls är svårare än att exempelvis lära sig, att tretton skrives 13, fjorton 14, femton 15, o. s. v. För att redan från början införa j u s t detta teckningssätt för delberäk- ning talar också ett annat icke mindre v i k t i g t skäl, som av det följande skall framgå.

Ä r det ett n a t u r l i g t k r a v , a t t de använda räknetermerna och operationstecknen ej böra v a r a d u b b e l t y d i g a och u t -

9 6

t r y c k för f l e r a o l i k a tankegångar eller räkneoperationer, gäller t y d l i g e n också omvänt, a t t

en och samma tankegång

helst

bör återges med endast ett beteckningssätt.

D e t k a n v i s s e r l i g e n synas v a r a b e h a g l i g t a t t få välja m e l l a n f l e r a dräkter för en och s a m m a räknetanke, m e n å a n d r a s i d a n är det g a n s k a r i m l i g t , a t t m a n ej i räkneundervisningen inför och betjänar ,sig a v f l e r a t e r m e r och tecken, än som äro n a t u r l i g t m o t i v e r a d e . Huvudsträvandet bör j u v a r a a t t få v a r j e räkneförlopp så e n k e l t och k l a r t avmålat som möj- l i g t . Onödiga t i l l s a t s e r i den vägen k o m m a i n o m matema- t i k e n lätt a t t försvåra arbetet och a t t s k y m m a b l i c k e n för mera i n r e och väsentliga värden i räknandet. Särskilt framträdande b l i v a g i v e t v i s ölägenheterna a v dubbelteck- n i n g a r för en och s a m m a räknetanke, o m de två t e c k n i n g s - sätten ge b i l d a v o l i k a tankegångar. S o m e t t belysande exempel härpå m å här följande anföras.

Då uppgiften är att räkna u t , vad en kaka kostar, om 7 kakor kosta 35 öre, ha barnen inom heltalsläran ofta fått lära sig att använda teckningen 35 öre : 7 = 5 öre och att lösa den enligt tankegången »35 öre, delat i sju delar, ger 5 öre i varje del». Detta räknesätt har då kallats division. Om samma upp- gift sedan förelägges dem i sammanhang med bråkräkning, få de lösa den enligt teckningen - X 35 öre = 5 öre, och då har detta räknesätt kallats multiplikation. Uppgiften är tydligen en och densamma i bägge fallen. Tankegången, som skall följas för erhållandet av resultatet, är ock i bägge fallen att dela upp 35 öre i sju delar och att bestämma en sådan dels storlek, men för denna har använts två olika teckningssätt, och av dessa säges det ena vara division och det andra m u l t i p l i k a t i o n .

D e t k a n ej förvåna, a t t sådan d u b b e l h e t i t e c k n i n g s - sättet vållat v i l l e r v a l l a och o k l a r h e t i barnens räknesätts-

föreställningar. T i l l v i l k e t f a c k s k a l l v ä l b a r n e t e n l i g t sådan metod hänföra u p p g i f t e n i fråga? Innebär d e t t a »att bestämma en sjundedel a v en storhet» e t t divisions-förfa- rande e l l e r e t t multiplikationsförfarande? D e t b l i r en frå- ga, som b a r n e n därefter t y d l i g e n måste ställa s i g u n d r a n d e

7—2G9650. Arbetssättet i folkskolan. 111.

9 7

inför. Från sådan förbryllande d u b b e lh e t och åtminstone skenbar motsägelse i begreppshänseende b l i r b a r n e t skonat, om man e n l i g t ovanstående för u p p g i f t e n i fråga endast använder den sista t e c k n i n g e n • 35 öre = ? och redan från början

reserverar detta teckningssal t för delberäkning.

Givetvis skall detta då icke vara en teckning för något, som kallas m u l t i p l i k a t i o n . Det vore onatur att där begära, att den skulle läsas ^ »gånger» 35 öre. Uppenbarligen bör läsningen

— såsom redan angivits — vara - av 35 öre. Som operations- tecken användes ej heller tecknet » X », utan punkttecknet » • » . Alan kommer därmed också ifrån att ha två olika slags gånger- tecken, som användas tämligen godtyckligt. D e t blir ett gånger- tecken ( » X » ) och ett »av»-tecken ( » • » ) . Det ena användes för multiplikationer ( t . ex. 3 X 2 4 cm), det andra för dclberäkningar

1 strävandena efter en förenklad elementär r i i k n c m e t o d är det av s t o r t intresse a t t så f i n n a , a t t m a n

utan infö- rande av nya operationstecken k a n erhålla karakteristiska teckningssätt för de (i enkla räknevägar,

som e n l i g t o v a n - stående böra övas. D e t t a sammanhänger t y d l i g e n med den omständigheten, a t t e h u r u m a n e g e n t l i g e n b l o t t t a l a t o m 4 s k i l d a räknesätt i quattuorspecies-systemet, m a n dock be- tjänat s i g a v f l e r a tecken och beteckningssätt, o f t a av- målande o l i k a faser hos dessa. H u r e n l i g t ovanstående förslag de o l i k a tecknen n u s k u l l e få mera bestämd av- gränsad betydelse och b l i v a t i l l hjälp för t e c k n i n g e n u t a v nämnda sex g r u n d e n k l a räknesätt, t o r d e framgå av föl-

1 Dä » x > härvid är valt som det typiska »gångertecknet» (och ej

> • »), är detta i överensstämmelse med vad som fastställts i fråga om räknebeteckningar av Commission Elektrotcchnique Internationale och som förordats av Knngl. Skolöverstyrelsen t i l l användning i läroböcker och vid undervisning (Se »Yrkespedagogiska Centralanstaltens kompen- dier»).

98

jande i anslutning- t i l l förut v a l d a exempel utförda över- s i k t .

Ex. 1. 25 e m + 3 cm = ? Sammanläggning.

(Läsn.: 25 cm »och» 3 cm.) Ex. %. 25 cm - 3 c m = ? Fråndragning.

(Läsn.: 25 c m »minskat med» 3 cm.) Ex. 8. 3 X 25 cm = ? Gångertagning.

(Läsn.: 3 »gånger» 24 cm.)

Ex. h. 24 cm : 3 cm = '? Innehållsberäkning (Läsn. 24 c m »innehåller» 3 cm.) Ex. 5. ^ • 25 cm = ? Del beräkning.

(Läsn.: - »av» 25 cm.)

Ex. G. = ? Förhållandcräkning.

24 cm

(Läsn.: 3 cm »genom» 24 cm.)

Av nämnda sex enkla räknesätt upptagas endast de fem första t i l l mera fullständig behandling i n o m heltalsläran. E n l i g t den gällande undervisningsplanen torde det härvid vara lämpligt att låta räkningen under första skolåret huvudsakligen gälla sam- manläggning och fråndragning, under andra skolåret samma räknesätt med tillägg av gångertagning såsom n y t t räknesätt och att först under tredje och fjärde skolåren göra barnen för- trogna med innehållsberäkning och delberäkning såsom be- stämda räknesätt. Förhållanderäkningen bör, såsom förut nämnts, sparas t i l l sjätte skolårets kurs.

Räknesätten inom bråkläran.

Sedan b a r n e n i n o m heltalsläran fått lära känna nämnda fem e n k l a räkneelenient, b l i r u p p g i f t e n a t t i femte och sjätte k l a s s e r n a inlära

bråkräkning.

U p p e n b a r l i g e n bör

man då bygga vidare på de räkne föreställningar, som vun- nits inom heltalsläran.

D e t t a k a n också ske u t a n a t t med- taga något särskilt n y t t i räknesättshänseende, då det är fråga om s a m m a n l ä g g n i n g och fråndragning, då bråkstor-

Klass 1—2

» 1—2

» 2—3

» 3 — 4

» 3—4

» G

9 9

heter endast förekomma i m u l t i p l i k a n d e n v i d gå.ngertag- n i n g eller b l o t t i »det hela» v i d delbeTäkningen. E n sådan bråkkurs k o m m e r då a t t o m f a t t a j u s t det, som i under- v i s n i n g s p l a n e n är a n b e f a l l t

för 5:e skolåret.

F ö r a t t visa.

m o t s v a r i g h e t e n i teekningshänseende t i l l v a d som före- k o m m i t i n o m heltalsläran må följande exempel tjäna.

1) Sammanläggning:

27 3

- i n 4* m = ? nammga.

100 100

Anm. Bråken böra vara l i k -

2) Fråndragning:

— m 3 m = ? nämniga.

100 100

Anm. Braken böra vara l i k -

3) Gångertagning:

Anm. Gåugertalet skall vj.ra 27

3 X m = ⁹ belt t a l . 100

4) Innehållsberäkning: Anm, Bråken skola vara l i k - 24 3 nämniga och innehållstalet helt i Ö Ö m : i ö Ö m == ? t a l .

S) Delberäkning:

Anm. Antalet delar skall vara l . _ ^m — ? ett helt t a l .

3 100

I fråga om delberäkningen är dessutom att märka, att i f i x skolårets kurs endast sådana exempel böra medtagas, att vid uträkningen förändring av nämnaren i »det hela» ej be-

1 29

höver äga r u m . E t t sådant exempel som — • - — m hör sålunda 3 100 1 27

ej t i l l denna kurs; men väl - • • - m . 3 100

D å sedan u n d e r

sjätte skolåret cn mera fullständig kurs i bråk

s k a l l genomgås, b l i v a förhållandena m e r a k o m p l i - cerade. D e t är särskilt då, som m a n känner t y n g d e n i K . P. N o r d l u n d s anmärkning, a t t m a n i c k e k a n v i n n a ett g o t t och n a t u r l i g t lösningssätt, o m m a n h e l t e n k e l t över- f l y t t a r heltalslärans t e r m e r och räknesätt på bråkräk-

1 0 0

n i n g e n u t a n a t t l a s t a avseende v i d a t t m a n där fått a t t g ö r a med b r u t n a t a l . R e d a n i det föregående är ock i e t t f a l l vidrört, h u r u s o m m a n då i stället lämpligen k a n hän- v i s a t i l l v a r t och e t t a v de e n k l a räknesätt, som i n g å i den s a m m a n s a t t a u p p g i f t e n . D e t gäller j u a t t få en sådan

lösning för dessa m e r a s a m m a n s a t t a räkneuppgifter, som b l o t t innebär a t t b y g g a v i d a r e på de räkneföreställningar, barnen i n o m heltalsläran v u n n i t om de o l i k a räknesätten.

H u r d e t t a lätt k a n ske med utgångspunkt från räknesät- ten så tecknade och behandlade, som a n g i v i t s i ovannämnda

»nyelementära metod», må här något beröras i a n k n y t n i n g t i l l några e n k l a belysande e x e m p e l .

1) T ä n k a v i då först p å v a d som av g a m m a l t hänförts t i l l

»multiplikation med bråk»,

möter oss först den g r u p p av e n k l a e x e m p e l , t i l l v i l k a följande u p p g i f t h o r .

1 m tyg hostar 75 öre. Vad kostar — m? För sådana ex- 5

ernpel behöver man tydligen ej n u giva barnen någon särskild vägledning. E n l i g t vad dc redan lärt inom hcltalsläran, teckna de den - • 75 öre och kalla den delberäkning. Givetvis kan här fortfarande samma teckning och samma n a m n bibehållas.

T a c k v a r e inlärandet av denna t e c k n i n g r e d a n i n o m h e l - talsläran h a r sålunda ett g o t t förarbete för bråkräkning där b l i v i t u n d a n g j o r t och en utmärkt b o t t e n l a g d för a l l t vad bråkräkning heter.

V i övergå sedan t i l l den g r u p p a v m e r a s a m m a n s a t t a u p p g i f t e r hörande t i l l »multiplikation med bråk», för v i l k a följande e x e m p e l må tjäna som t y p .

3

1 m band kostar 75 öre. Vad kostar —- mf Lösningen 5

kräver tydligen två olika slags räkningar, nämligen dels att be- räkna ^- • 75 öre (alltså delberäkning) och dels att taga detta

5

värde 3 gånger (alltså gångertagning). Här blir det sålunda 1 0 1

naturligt, att man, som j u a l l t i d sker v i d m u n t l i g räkning (»huvudräknings), behandlar uppgiften såsom innebärande en sammansättning av dessa två enkla räknesätt. Teckningen blir då närmast 8 X — • 78 öre. Utan svårighet går det dock att i

5

stället lära barnen att genast teckna denna uppgift —-75 öre, o

vilken teckning då givetvis bör läsas - av 75 öre.

o

H ä r k a n n u göras den f r å g a n : V a d

namn

s k a l l m u n g i v a det räknande, som l i g g e r a n g i v e t i en sådan t e c k n i n g ? Med det gängse m u l t i p l i k a t i o n s b e g r e p p e t ( g å n g e r t a g n i n g = m å n g f a l d i g a n d e ) k a n det u p p e n b a r l i g e n i c k e g ä r n a f a l l a någon i n . a t t påstå, a t t denna u p p g i f t t i l l s i t t väsen är något slags gångertagning. D e t gäller j u a t t bestämma en del av 75 öre. L å n g t n a t u r l i g a r e synes det v a r a a t t k a l l a den för delberäkning. D å den e m e l l e r t i d innehåller både delberäkning och gångertagning, är den j u närmast att förlikna v i d en r e g u l a - d e - t r i - u p p g i f t , och det är t y d - l i g e n i n t e r i k t i g t a t t då för h e l a räkneuppgiften t a g a n a m - net b l o t t på det ena räknesättet, v i l k e t n a m n m a n då än väljer. V i l l m a n det o a k t a t — såsom b r u k a t ske •— för det s a m m a n s a t t a räknesättet t a g a n a m n e t m u l t i p l i k a t i o n , under framhållande av a t t m a n därmed b l o t t v i l l

utvidga det förutvarande multiplikatio-nsbegreppet,

så a t t det även k o m m e r a t t r y m m a dessa exempel, måste m a n l ä g g a märke t i l l a t t i och m e d d e t t a k o m m e r också c n sådan u p p g i f t som att beräkna ^ • 75 öre a t t höra t i l l s a m m a räknesätt, alltså det räknande, som innebär att undersöka, vad som erhålles i v a r j e d e l , då 75 öre delas i 10 l i k a delar, m . a. o. delberäkningen. D ä r m e d s k u l l e m a n så- l u n d a g ö r a området för m u l t i p l i k a t i o n så v i t t , a t t det k o m i n e a t t g r i p a i n i och över området för delberäkningen.

L i k n a n d e b l i r förhållandet, om nian väljer den a n d r a vägen och k a l l a r det s a m m a n s a t t a räknesättet delberäkning ( » d i -

1 0 2

v i s i o n » ) . V a r e s i g m a n tager det ena eller det a n d r a n a m - net, b l i r det sålunda ej längre någon skiljegräns m e l l a n vad som är m u l t i p l i k a t i o n och d i v i s i o n . Dessa förut h e l t m o t s a t t a räknesättsbegrep k o m m a därmed a t t f l y t a över i v a r a n d r a och l i k s o m u p p s l u k a v a r a n d r a . M e n i och med detta förlora de t y d l i g e n ock för b a r n e n a l l t värde såsom n a m n på s k i l d a räkneförlopp. V i återkomma härvid t i l l

— v a d som r e d a n förut m a r k e r a t s - - a t t det med sådan metod i c k e b l i r för b a r n e n längre möjligt a t t hålla isär, vad som är det ena och det a n d r a .

L å n g t bättre än a l t p å nämnda sätt förvanska deras förut v u n n a grundföreställningar i räkning är d e t g i v e t - vis a t t i c k e g i v a d e l t a s a m m a n s a t t a räknesätt något n a m n a l l s . D e t förtjänar nämligen uppmärksammas, a t t något sådant i c k e med nödvändighet behövs. M a n reder s i g ex- empelvis m y c k e t v ä l m e d u p p g i f t e r , som innebära o l i k a sammansättningar av a d d i t i o n och s u b t r a k t i o n , u t a n a t t för d e m äga något särskilt n a m n . I v a r j e s k o l a b r u k a r man lära b a r n e n a t t lösa r e g u l a - d e - t r i - u p p g i f t e r , och detta har k u n n a t g å m y c k e t v ä l för s i g , u t a n a t t m a n inlärt

namnet r e g u l a - d e - t r i för detta sammansatta, räknande.

V i l l m a n e m e l l e r t i d för överskådlighetens s k u l l h a e t t n a m n på d e t t a räknesätt, l i g g e r det rätt nära, t i l l hands a t t . då det j u innebär a t t bestämma en bråkdel av e t t v i s s t u p p g i v e t värde, k a l l a det för

bråkdelsrähiing.

D e t utmär-

kande för *t-et 1;i räknesätt .-kulle da v a r a . att nian medels!

det bestämmer värdet på e t t v i s s t a n t a l bråkdelar a v en storhet, v a r s s t o r l e k m a n känner. A l l t eftersom bråket, som anger a n t a l e t bråkdelar, då är ett e g e n t l i g t bråk eller e t t o e g e n t l i g t bråk, k o m m e r t y d l i g e n a t t v i d uträkningen er- hållas en m i n s k n i n g eller ökning av den g i v n a storhetens värde.

2) V i övergå n u t i l l den g r u p p av u p p g i f t e r , som b r u k a t hänföras t i l l s. k . »deliihigsdirision med hrak>. Säsoni re-

dan förut är närmare påvisat, få dessa sin bästa lösning gc-

1 0 3

nom a t t behandlas p å f u l l k o m l i g t m o t s v a r a n d e sätt (se sid. 88).

Skall man exempelvis bestämma priset på 1 m , då man vet att - m kostar 1,8o k r , hänvisar mau sålunda icke barnen t i l l

5

att »dividera med —» och kallar räknesättet division, utan lös- 5

ningen vinnes genom att först bestämma priset på \ m enligt 5

teckningen — • 1,80 kr (delberäkning) och att. sedan bestämma priset på en hel meter genom att taga det värdet 5 gånger (gångertagning), så att teckningen blir 5 X - • 1,8 0 kr eller

o

5

- • 1,8() k r — 8,— k r . O

D å många sådana exeni|>e] behandlats, k o m m a b a r n e n o n l i g t härstädes g j o r d e r f a r e n h e t s n a r t a t t o m e d e l b a r t k u n n a ange t e c k n i n g e n för d y l i k a u p p g i f t e r . D e f i n n a , att det även här är en slags bråkdelsberäkning, men a t t t a n k e - gången är en ömvändning t i l l v a d som mötte i den förut- v a r a n d e bråkdelsräkningen. D ä r visste m a n värdet p å 1 m , och s k u l l e bestämma p r i s e t p å en viss bråkdel av den. H ä r däremot är p r i s e t p å viss bråkdel av m e t e r n känd och det gäller a t t få reda p å p r i s e t p å 1 m . D e inse s n a r t , a t t , då läget innebär en sådan ö m v ä n d n i n g av förhållandena, s k a l l i t e c k n i n g e n ingå det o m v ä n d a bråket ( » b r å k e t s i n v e r t e r a d e

v ä r d e » ) . D e t k o m m e r då ock a t t l i g g a m y c k e t nära t i l l hands a t t — o m m a n n u v i l l h a n a m n även på d e n n a sam- m a n s a t t a räkning — k a l l a den bråkdelsräkning med o m - vänt bråk eller

omvänd bråkdelsräkning.

3 ) A v de u p p g i f t e r , som i n o m bråkläran av g a m m a l t hänförts t i l l »division med b r å k » , återstå sedan endast de, v i l k a s lösning innebär s. k .

»innrhållsrfivision med bråk».

Ä v e n för dessa h a r m a n u n d e r sista decenniet tämligen a l l -

1 0 4

mänt f r i g j o r t s i g från quattuorspeeies-systemets t e e k n i n g s - och lösningssätt. H u r m a n här k a n a n k n y t a t i l l förut nämnda e n k l a räkneföreställningar, framgår av följande exempel.

H u r många muggar mjölk kunna erhållas ur en flaska på 2 - 1, om muggen själv rymmer — 1? Man riktar d l upp-2 3

5 1 n

märksamheten på att det här liksom v i d sammanläggning och fråndragning gäller en viss jämförelse mellan två mått och att man därför lämpligen bör uttrycka bägge storheterna i samma sorts delar (»göra dem liknärnniga»). Därmed blir det möjligt att lösa uppgiften enligt fullkomligt samma tankegång i räk- nandet, som följts v i d innehållsberäkningen i n o m heltalsläran.

Uppgiften tecknas och uträknas sålunda på följande sätt:

, , . 2 3 2 . 3

Teckning: 2^p 1 : — 1 = ? (Läsn. 2— 1 innehåller ^ I . ) 24 3

Uträkning: — 1 : — 1 = 2 1 : 3 = 8. Svår: 8 muggar.

Motsvarande gäller g i v e t v i s , när man .skall bestämma, h u r stor del en storhet är av en annan, alltså v i d s. k . för- hållande räkning.

»Som c n sammanfattning av v a d som här omnämnts i fråga om användningen av de sex e n k l a räknesätten såsom g r u n d s t o m m e i lösningen av o l i k a u p p g i f t e r i n o m brakläran och m e r a s a m m a n s a t t a räkneuppgifter p å det h e l a taget, niä här göras följande sammanställning av o l i k a exempel och deras t e c k n a n d e .

Ex. 1. E r i k köpte 3 m t y g , Teckning: 5 — 3 x 0 , 7 5 kr = ? som kostade 75 öre

metern. H . m . bör han ha tillbaka på 5 kr.

Anm. Teckningen anger både m u l t i p l i k a t i o n och subtraktion.

På liknande sätt. kunna alla räknesätt kombineras i termer.

Ex, 2. 10 m band kostar Teckning:

75 öre. Vad kostar „ 1 „ „ ,.

3 m? 8 X i ö ' 7 5 °re = '

1 0 5

Anm. Teckningen anger både delberäkning och m u l t i p l i k a - t i o n . Räknesättet kallas ofta tregula de trh.

Ex. 3. 1 m band kostar 7 5 . 3 . g Teckning: • i o orc = r öre. Vad k o s t a r — m ? g

(Läsn.: — av 7 5 öre.)

Anm. Uppgiften innebär både delberäkning och multiplika- tion. Kallas lämpligen »bräkdehräknings (ej multiplikation =

= mångdubbling).

Ex. 4. — m band kostar Teckning: — • 4 5 öre = ?

1 0 3

4 5 öre. Vad kostar .. 1 0 , _ .. .

. ⁰ (Lasn.: — av 4 5 ore.)

1 III -

Anm. Teckningen crhålles icke genom någon slags division»

med — utan medelst regula-de-tri-metod. Den blir bråkdols-

1 0

räkning med omvänt bråk eller omvänd bråkdelsräkning.

Ex. 5. H u r många" gånger . 2 3 o Teckning: 2 - i : — 1 = r

, ° , 5 1 0

kan man taga — 1 ^{4 )} g

„ • . . , , /?• i (Läsn.: 2 — 1 innehåller

—

^1.)

mjölk ur en flaska ^v 5 1 0

med 2 ^ 1 ?

Anm. Uppgiften hänvisar t i l l »innehållsberäkning». V i d lös ningen göras bråken liknämniga.

Ex. 6. E t t bronsstycke, som , „ T . 4 , 2 hg vägde 4 , 8 hg, inne- Teekwnö: ⁴ ~^{fa g} = ?

höll 4 , 2 hg koppar. (Läsn.: 4 , 2 hg genom 4 , 8 hg.

I l u r stor del av v i k - ten var koppar?

Anm. Uppgiften hänvisar t i l l att bestämma hur stor del 4 , 2 hg är av 4 , 8 hg, alltså förhällanderäkning.

Övergången till qucittiiorspeciessystemet.

Inför ovanberördä o m l ä g g n i n g av den grundläggande räkneundervisningen l i g g e r d e l nära t i l l hands a t t fråga, om

1 0 6

därmed k o m m e r a t t g i v a s en m a t e m a t i s k k u n s k a p , som b l i r e t t l i k a

tjänligt underlag för fortsatta matematiska studier,

som den g a m l a räkneundervisningen med q u a t t u o r - speeies-metoden g a v . D e t förtjänar då först a t t beaktas, a t t arbetet i våra f o l k s k o l o r i främsta r u m m e t l i a r som mål för sin u n d e r v i s n i n g a t t ge b a r n e n den i n s i k t i räkning, som allmänt e r f o r d r a s för lösning av i d a g l i g a l i v e t förekom- mande u p p g i f t e r . U p p e n b a r l i g e n är det dock en s t y r k a , o m därmed på s a m m a g å n g k a n lämnas g o d förberedelse för arbetet i högre s k o l o r .

O r d n a r m a n n u räkneundervisningen e n l i g t ovannämnda n y a p r i n c i p e r , s k a l l det ock s n a r t v i s a s i g , a t t därmed g i v e s icke endast l i k a g o d g r u n d i berörda avseende u t a n en m e r a bärkraftig sådan. Då b a r n e t k o m i n e r a t t bättre förstå s i t t räknande, vinnes en h e l t a n n a n m a t e m a t i s k u t b i l d n i n g , ett h e l t a n n a t »matematiskt sinne», än v a d räkning med m e r eller m i n d r e oförstådda r e g l e r och tecken k u n d e ge. Och h a r b l o t t d e t t a v u n n i t s , a t t b a r n e n fått o r d e n t l i g t lära s i g a t t förstå s i t t räknande och se det m a t e m a t i s k t intressanta i räkneproblemen, då h a r t y d l i g e n också den bästa och säkraste g r u n d l a g t s för f o r t s a t t a s t u d i e r . F ö r den v i n s t e n k a n det v a r a väl värt a t t o f f r a en m y c k e n h e t av lärda ter- mer och t r a d i t i o n e l l a lösningssätt.

P å s a m m a g å n g är det e m e l l e r t i d a t t beakta, a t t de i nämnda nyeleinentära m e t o d

förordade lösningssätten och teckningarna äro så valda, att barnen med dem skola kunna lämpligt ledas fram just till de inom matematiken som ve- tenskap använda, räknebegreppen.

A l l a t e c k n i n g a r äro så- dana, a t t de återfinnas i och sålunda alltjämt k u n n a bibe- hållas i f o r t s a t t m a t e m a t i s k t studiearbete. U p p g i f t e n b l i r då endast a t t få sammanfört, under mera allmänna s y n - p u n k t e r , v a d som b a r n e n förut lärt känna i de förenklade räknesätten. M e d här förordade räknemetod avses sålunda i n g a l u n d a a t t föra b o r t från quattuorspecies-systcmet u t a n tvärtom a t t hjälpa, f r a m t i l l m e r a f u l l och säker u p p f a t t - n i n g av v a d detta innebär. H ä r är ej möjligt a t t närmare

1 0 7

utföra, h u r övergången t i l l detta lämpligen s k a l l göras, u t a n j a g får inskränka m i g t i l l a t t m e r a a n t y d n i n g s v i s nämna följande.

i 1) R e d a n i n o m sjätte årskursen b l i r det tillfälle a t t be- h a n d l a s. k .

»multiplikation med blandat tal»,

alltså u p p - g i f t e r sådana som d e n n a :

2

Vad kostar 3 - m tyg, då priset är 1,80 kr per meter?

5

Enligt ovanstående bestämmes här med »muntlig metod» först priset på 3 meter medelst gångertagning och sedan priset på 2

ra medelst bråkdelsbcräkning. D e t går i det sammanhanget 5

lätt att påvisa lämpligheten av att för detta räknande ha endast en teckning. Här kunna då barnen få lära sig, att uppgiften

2

i fråga kan tecknas 3 - X l , 8 0 kr? Därmed göres dä början t i l l utvidgning av multiplikationsbegreppet. D c få veta, att man med uttrycket »gånger» menar »av» storheten i fråga. 2 2

5 i)

Sedan barnen b l i v i t förtrogna med såväl gångertagning som bråkdelsräkning, b l i r det sålunda lätt a t t föra dem

f r a m t i l l förståelse av v a d m u l t i p l i k a t i o n i sådan vidsträck- t a r e bemärkelse innebär. M a n behöver j u b l o t t p e k a p å a t t därmed avses a t t , då cn enhets värde är u p p g i v e t , a n t i n g e n bestämma värdet av e t t v i s s t a n t a l sådana enheter eller ock en viss del av en sådan enhet, alltså såväl gångertagning som bråkdelsräkning. A v intresse b l i r det då ock för dem a t t få v e t a , a t t m a n v i d sådan raultiplikationsteckning k a n efter b e h a g få använda som operationstecken a n t i n g e n gån- g e r t e c k n e t » x » eller p u n k t t e e k n e t » • » .

2 ) P å samma sätt går d e l lätt a t t . sedan barnen lärt kän- na både innehållsberäkning och förhållanderäkning, sam- manföra dessa räknesätt t i l l ett divisionsbegrepp. M a n låter

1 0 8