TECHNICK ´A UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborov´ych studi´ı Studijn´ı program: N2612 - Elektrotechnika a informatika Studijn´ı obor: 1802T007 - Informaˇcn´ı technologie

(1)

Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborov´ ych studi´ı

Studijn´ı program: N2612 - Elektrotechnika a informatika Studijn´ı obor: 1802T007 - Informaˇcn´ı technologie

Rozˇ s´ıˇ ren´ı projektu Flow123D-NGH o hled´ an´ı nekompatibiln´ıch sousednost´ı

Diplomov´ a pr´ ace

Autor: Bc. Luk´ aˇs Krejˇc´ık

Vedouc´ı pr´ ace: doc. Ing. Dalibor Frydrych, Ph.D.

V Liberci 17.5. 2013

(2)

(3)

Byl jsem seznámen s t´ım, ˇze na mou diplomovou práci se plnˇe vztahuje zákon ˇc. 121/2000 Sb. o právu autorském, zejména § 60 - ˇskoln´ı d´ılo.

Beru na vˇedom´ı, ˇze TUL má právo na uzavˇren´ı licenˇcn´ı smlouvy o uˇzit´ı mé DP a prohlaˇsuji, ˇze s o u h l a s ´ı m s pˇr´ıpadným uˇzit´ım mé diplomové práce (prodej, zap˚ujˇcen´ı apod.).

Jsem si vˇedom toho, ˇze uˇz´ıt své diplomové práce ˇci poskytnout licenci k jej´ımu vyuˇzit´ı mohu jen se souhlasem TUL, která má právo ode mne poˇzadovat pˇrimˇeˇrený pˇr´ıspˇevek na

´

uhradu náklad˚u, vynaloˇzených univerzitou na vytvoˇren´ı d´ıla (aˇz do jejich skuteˇcné výˇse).

Diplomovou práci jsem vypracoval samostatnˇe s pouˇzit´ım uvedené literatury a na základˇe konzultac´ı s vedouc´ım diplomové práce.

Datum:. . . .

Podpis:. . . .

(4)

Rád bych touto cestou velmi podˇekoval vedouc´ımu diplomové práce doc. Ing. Daliboru Frydrychovi, Ph.D. za vˇsechny rady a konzultace týkaj´ıc´ı se diplomové práce. Bez jeho odborných rad a veden´ı by dokonˇcen´ı této diplomové práce nebylo moˇzné. Také bych rád podˇekovat moj´ı rodinˇe za moráln´ı podporu v pr˚ubˇehu tvorby diplomové práce.

(5)

Práce se zabývá výpoˇcty parametr˚u vazeb mezi prvky v nekonformn´ıch s´ıt´ıch. Prvn´ıˇcást práce se vˇenuje odvozen´ı matematických rovnic popisuj´ıc´ıch vazby element˚u v nekonformn´ı s´ıti. Druhá ˇcást popisuje implementaci v jazyce C++. Ve tˇret´ı ˇcásti jsou uvedeny testy správnosti implementovaného kódu a rychlosti ˇreˇsen´ı vzorových úloh.

Kl´ıˇ cov´ a slova

elementy, s´ıtˇe, sousednost element˚u, koneˇcn´e prvky, nekonformn´ı sousednost element˚u v metodˇe koneˇcn´ych prvk˚u

Abstract

The thesis solve calculation of parameters of the bindings between elements in the nonconforming networks. The first part deals with the derivation of mathematical equation describing bindings between elements in nonconforming network. The second part describes the implementation in C++. The third part describes the testing accuracy of the implemented code and speed of solving sample tasks.

Keywords

elements, networks, elements adjacency, finite elements, nonconforming elements adjacency solved by finite elements method

(6)

Uvod´ 9

1 Teoretick´a ˇc´ast 11

1.1 Z´akladn´ı pojmy . . . 11

1.2 Rychl´y test . . . 13

1.3 Typy sousednost´ı element˚u . . . 15

1.4 N´astroj GMSH pro tvorbu s´ıt´ı . . . 24

1.5 Vstupn´ı soubor .msh . . . 25

2 Implementace 26 2.1 Hlavn´ı tˇr´ıdy projektu . . . 26

2.2 Porovn´avac´ı algoritmy . . . 28

2.3 Kompar´atory . . . 29

2.4 Implementace rovnic popisuj´ıc´ı sousednosti . . . 30

2.5 Tˇr´ıda v´ysledk˚u TResult . . . 33

2.6 Tˇr´ıda TResultList . . . 33

2.7 Tˇr´ıda TCross . . . 34

3 Ovˇeˇren´ı funkˇcnosti implementace 35 3.1 Form´at v´ystupn´ıch soubor˚u . . . 35

3.2 Testy . . . 37

Z´avˇer 43

Literatura 44

A Kompletn´ı v´ypoˇcet parametr˚u 45

B Vliv parametru na hustotu generovan´e s´ıtˇe 46

C V´ystupn´ı soubor pro funkci testov´an´ı 47

(7)

1 Elementy - ´useˇcka AB a troj´uheln´ık ABC . . . 12

2 Rychl´y test - vyluˇcuj´ıc´ı moˇznost pr˚uniku . . . 13

3 Rychl´y test - moˇznost pr˚uniku element˚u . . . 14

4 Vliv parametru na polohu bodu . . . 15

5 Kompatibiln´ı sousednost ´useˇcek . . . 16

6 Useˇ´ cky nemaj´ı pr˚unik . . . 16

7 Useˇ´ cky maj´ı pr˚unik P . . . 17

8 Useˇ´ cka leˇz´ı mimo troj´uheln´ık . . . 19

9 Useˇ´ cka leˇz´ı uvnitˇr troj´uheln´ıku . . . 19

10 Useˇ´ cka leˇz´ı na hranˇe troj´uheln´ıku . . . 20

11 Useˇ´ cka m´a s troj´uheln´ıkem jeden pr˚unik . . . 20

12 Useˇ´ cka m´a s troj´uheln´ıkem dva pr˚uniky . . . 21

13 Trojúheln´ık leˇz´ı uvnitˇr druhého trojúheln´ıku . . . 21

14 Trojúheln´ık procház´ı jednou hranou druhého trojúheln´ıku . . . 22

15 Trojúheln´ık prot´ıná dvˇe hrany druhého trojúheln´ıku v jeho vrcholech . . . 23

16 Trojúheln´ık prot´ıná dvˇe hrany druhého trojúheln´ıku . . . 23

17 Trojúheln´ık prot´ıná tˇri hrany druhého trojúheln´ıku . . . 24

18 Geometrie a V´ypoˇcetn´ı s´ıt’ . . . 24

19 Rozklad trojúheln´ıku na pomocné úseˇcky TLineAdaptive . . . 27

20 TElement a jeho potomci . . . 28

21 Pˇr´ıklad popisuj´ıc´ı implementaci rovnic . . . 31

22 Provázán´ı dvou výsledk˚u TResult a jejich vazba pˇri uloˇzen´ı do seznamu . . 33

23 V´ystupn´ı soubor - kˇr´ıˇz´ıc´ı se elementy . . . 35

24 V´ystupn´ı soubor - tabulka . . . 36

25 Test funˇcnosti . . . 37

26 Geometrie a s´ıt’ pro zjiˇstˇen´ı vlivu rychl´eho testu . . . 38

27 Casy porovn´ˇ an´ı element˚u v z´avislosti na hustotˇe s´ıt´ı . . . 38

28 Cas porovn´ˇ av´an´ı bez uˇzit´ı rychl´eho testu . . . 39

29 Cas porovn´ˇ av´an´ı pˇri uˇzit´ı rychl´eho testu . . . 39

30 Oblast s velk´ym pˇrekryt´ım a oblast s mal´ym pˇrekryt´ım s´ıt´ı . . . 40

31 Vliv velikosti pˇrekr´yvaj´ıc´ıch se oblast´ı dvou s´ıt´ı . . . 40

(8)

34 Vliv poˇctu úseˇcek na rychlost porovnáván´ı . . . 42 35 S´ıt’ vygenerovaná s parametrem hustoty s´ıtˇe 1.0 . . . 46

(9)

Pro ˇreˇsen´ı úloh popsaných parciáln´ımi diferenciáln´ımi rovnicemi se v souˇcasnosti po- uˇz´ıvá ˇrada výpoˇcetn´ıch systém˚u, zaloˇzených na diskretizaci prostoru zájmové oblasti (metoda koneˇcných prvk˚u, metoda koneˇcných objem˚u). Specifickým problémem pˇri pouˇzit´ı tˇechto výpoˇcetn´ıch systém˚u je generován´ı s´ıtˇe.

Poˇzadavky na vlastnosti takové s´ıtˇe jsou mnohdy ve vzájemném rozporu. Pˇr´ıkladem jsou s´ıtˇe rozsáhlých oblast´ı, na nichˇz je nutné zohlednit malé detaily. Generován´ı s´ıt´ı na takových oblastech vede k datovˇe velmi objemným s´ıt´ım, nebot’ oblast je rozdˇelena na velké mnoˇzstv´ı element˚u (ˇrádovˇe miliony element˚u). Vlastn´ı výpoˇcty realizované s takovými s´ıtˇemi jsou pak velmi nároˇcné na pamˇet’ poˇc´ıtaˇce.

Jedno z moˇzných ˇreˇsen´ı je pouˇzit´ı nekonformn´ı s´ıtˇe. Nekonformn´ı s´ıt’ umoˇzˇnuje kom- binaci r˚uzných typ˚u element˚u bez jejich kompatibiln´ıho spojen´ı. Zjednoduˇsenˇe ˇreˇceno, na dané zájmové oblasti jsou vygenerovány dvˇe nebo v´ıce s´ıt´ı. Tyto s´ıtˇe jsou nezávislé a mohou zohledˇnovat nezbytnˇe nutné poˇzadavky. Mohou tak být relativnˇe hrubé a mohou se skládat z malého poˇctu prvk˚u. Výpoˇcetn´ı systém pak potˇrebuje pro svoji práci znát vzájemné vazby mezi prvky a parametry tˇechto vazeb. Stanoven´ı vzájemných vazeb prvk˚u mezi jednotlivými s´ıtˇemi a parametr˚u vazeb je úloha analytické geometrie.

Na Ústavu nových technologi´ı a aplikované informatiky jsou ˇreˇseny úlohy proudˇen´ı podzemn´ı vody do vodárenského tunelu Bedˇrichov. Tato zájmová oblast má plochu nˇekolika kilometr˚u ˇctvereˇcných a mocnost stovek metr˚u. Samotný tunel má pr˚umˇer cca 3 metry.

Oblast nav´ıc obsahuje nˇekolik puklinových systém˚u. Celou zájmovou oblast si lze tedy pˇredstavit jako 3D tˇeleso, které prot´ınaj´ı 2D roviny a procház´ı j´ı 1D linie.

Pˇri generován´ı konformn´ı s´ıtˇe popisuj´ıc´ı oblast bedˇrichovského tunelu vznikne s´ıt’ obsahuj´ıc´ı miliony prvk˚u. Nav´ıc hrany modelovaných prvk˚u v tˇesném okol´ı tunelu mus´ı m´ıt rozmˇery v ˇrádech metr˚u, aby vystihly tvar tunelu. Na okraj´ıch s´ıtˇe naopak prvky mohou m´ıt rozmˇery hrany v ˇrádu kilometr˚u. Plynulé zvˇetˇsován´ı hran element˚u pˇri generován´ı s´ıtˇe je nav´ıc komplikováno puklinovými systémy.

Moˇzným ˇreˇsen´ım by byl kvalitnˇejˇs´ı generátor s´ıtˇe. Tento vˇsak v dobˇe vzniku této práce nebyl k dispozici a je otázkou, zda existuje. Pˇri generován´ı nekonformn´ı s´ıtˇe by bylo moˇzné prvky vygenerovat pro jednotlivé dimenze nezávisle. Hustotu s´ıtˇe by bylo moˇzné dobˇre kontrolovat. Nedocházelo by tak ke vzájemnému ovlivˇnován´ı jednotlivých dimenz´ı.

(10)

1D a 2D s´ıt´ıch. D˚uraz bude kladen na podrobnou analýzu ˇreˇsené problematiky tak, aby bylo moˇzné na práci v budoucnu navázat pˇri ˇreˇsen´ı výpoˇct˚u vazeb na nekonformn´ıch 1D, 2D a 3D s´ıt´ıch.

(11)

1 Teoretick´ a ˇ c´ ast

1.1 Z´ akladn´ı pojmy

Pro práci s elementy a hledán´ı jejich vzájemných sousednost´ı je tˇreba definovat základn´ı pojmy (z oblasti analytické geometrie a sousednost´ı). Aby bylo moˇzno pracovat s tˇelesy um´ıstˇenými v rovinˇe nebo prostoru je nutno zavést kartézskou soustavu souˇradnic, která umoˇzˇnuje urˇcovat souˇradnice polohy tˇelesa.

Kartézská soustava souˇradnic v rovinˇe (2D) je tvoˇrena dvojic´ı stejných ˇc´ıselných os x, y v rovinˇe, pro které plat´ı:

1) obˇe osy jsou navz´ajem kolm´e

2) jejich pr˚useˇc´ıku O odpov´ıd´a na obou os´ach ˇc´ıslo 0

Kartézská soustava souˇradnic v prostoru (3D) je tvoˇrena trojic´ı stejných ˇc´ıselných os x, y, z v prostoru, pro které plat´ı:

1) vˇsechny osy jsou navz´ajem kolm´e 2) prot´ınaj´ı se v jednom bodˇe

3) jejich pr˚useˇc´ıku O odpov´ıd´a na vˇsech os´ach ˇc´ıslo 0

Zaveden´ı souˇradné soustavy umoˇzˇnuje zkoumat geometrické prvky analytickými meto- dami. Jedná se tedy o tzv. analytickou geometrii. Pro ˇreˇsen´ı úloh v analytické geometrii je nutné objasnit nˇekteré základn´ı pojmy, jeˇz jsou v práci pouˇzity:

Bod je bezrozmˇerný základn´ı geometrický útvar definovaný pouze svoj´ı polohou (napˇr.

bod A), respektive polohov´ym vektorem:

A = [x_A, y_A, z_A]

Pˇr´ımka je matematicky definována jako jednorozmˇerný základn´ı geometrický útvar, který je nekoneˇcnˇe tenký a nekoneˇcnˇe dlouhý [8]. Pˇr´ımku lze zadat pomoc´ı dvou bod˚u, nebot’ kaˇzdými dvˇema body lze vést právˇe jednu pˇr´ımku. Pˇr´ımka se standardnˇe znaˇc´ı malým p´ısmenem. Toto je definice parametrické rovnice pˇr´ımky urˇcené bodem A, smˇerovým vektorem u a parametrem t:

X = A + tu; t ∈ R

Useˇ´ cka je ˇcást pˇr´ımky ohraniˇcená dvˇema body A a B. Toto je definice parametrické rovnice úseˇcky:

X = A + t(B − A); t ∈< 0; 1 >

(12)

Pr˚useˇc´ık je bod, kter´y je pr˚unikem dvou ´useˇcek nebo pˇr´ımek.

Pr˚unik dvou ˇci v´ıce mnoˇzin je taková mnoˇzina, která obsahuje pouze ty prvky, které se nalézaj´ı ve vˇsech tˇechto mnoˇzinách.

Orientovaná úseˇcka je úseˇcka, která má urˇcen poˇcáteˇcn´ı a koncový bod. Pˇri grafickém znázornˇen´ı se koncový bod oznaˇcuje ˇsipkou.

Vektor je mnoˇzina vˇsech orientovaných úseˇcek, které maj´ı stejný smˇer i velikost. Vektor se znaˇc´ı tuˇcným p´ısmem napˇr. u .

Element je geometrický prvek (v celé práci se uˇz´ıvá pojem element nam´ısto pojmu prvek, aby se pˇredeˇslo zámˇenˇe napˇr. s chemickými prvky). U jednotlivých element˚u se rozliˇsuje jejich dimenze, ta se týká objekt˚u z hlediska modelován´ı [5]. Nen´ı tedy ovlivnˇena souˇradnicovým systémem, v nˇemˇz je element zobrazen (napˇr. úseˇcka zobrazená v 2D i 3D kartézském systému souˇradnic je poˇrád 1D elementem). Na obrázku 1 jsou zobrazeny pˇr´ıklady element˚u pouˇzitých v práci - pˇr´ıkladem 1D elementu je úseˇcka, pˇr´ıkladem 2D elementu je trojúheln´ık, 3D elementem by byl ˇctyˇrstˇen.

Výpoˇcetn´ı s´ıt’ se z´ıská rozloˇzen´ım konkrétn´ı simulované oblasti na jednotlivé elementy.

Obrázek 1: Elementy - úseˇcka AB a trojúheln´ık ABC

Diplomová práce se zabývá ˇreˇsen´ım vzájemných sousednost´ı (kompatibiln´ıch i nekompatibiln´ıch) element˚u. Definice sousednost´ı obsahuje zdroj [7, strana 4].

Sousednost element˚u je vzájemná pozice element˚u ve výpoˇcetn´ı s´ıt, která je urˇcena poˇctem spoleˇcných uzl˚u a pr˚unikem jednotlivých element˚u.

Kompatibiln´ı sousednost nastane, pokud elementy stejné dimenze maj´ı spoleˇcnou právˇe jednu celou stˇenu. Elementy r˚uzných dimenz´ı jsou kompatibilnˇe sousedn´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇ

ze element niˇzˇs´ı dimenze leˇz´ı na stˇenˇe elementu vyˇsˇs´ı dimenze.

Nekompatibiln´ı sousednost nastane, pokud dva r˚uzné elementy maj´ı neprázdný pr˚unik a nen´ı mezi nimi kompatibiln´ı sousednost.

(13)

1.2 Rychl´ y test

V pˇr´ıpadˇe, kdy konkrétn´ı s´ıt’ obsahuje n element˚u, mus´ı být pˇri jejich vzájemném porovnáván´ı provedeno n² porovnán´ı. Pˇri porovnáván´ı element˚u v rámci dvou s´ıt´ı (pˇre- krýva˙j´ıc´ıch se pouze ˇcásteˇcnˇe) nen´ı d˚uvod porovnávat navzájem ty elementy, které spolu nemohou m´ıt ˇzádný pr˚unik. V rámci optimalizace porovnáván´ı element˚u je v programu implementován algoritmus ”rychlý test”, kterým jsou vyˇrazeny vˇsechny elementy, které se nikdy nemohou navzájem prot´ınat. Výhodou tohoto postupu je fakt, ˇze ho lze pouˇz´ıt uni- verzálnˇe pro porovnáván´ı element˚u libovolných typ˚u (úseˇcka - úseˇcka, úseˇcka - trojúheln´ık, trojúheln´ık - trojúheln´ık).

Obr´azek 2: Rychl´y test - vyluˇcuj´ıc´ı moˇznost pr˚uniku

Na obrázku 2 je zobrazen pˇr´ıklad dvou 2D element˚u (v pˇr´ıpadˇe 3D elementu je nutno uvaˇzovat nav´ıc osu z). Trojúheln´ık ABC je element 1, úseˇcka EF je element 2. Jak je z obrázku patrno, na ose Y nen´ı hodnota minima trojúheln´ıku Y 1_min vyˇsˇs´ı neˇz hodnota maxima Y 2_max useˇ´ cky. Taktéˇz hodnota minima úseˇcky Y 2_min nen´ı vyˇsˇs´ı neˇz hodnota maxima Y 1_max trojúheln´ıku. Z toho plyne, ˇze na ose Y mohou, ale nemus´ı, m´ıt zobrazené

(14)

elementy spoleˇcný pr˚unik. Na ose X ovˇsem je hodnota minima úseˇcky X2_min vyˇsˇs´ı neˇz hodnota maxima X1max trojúheln´ıku, tud´ıˇz tyto dva elementy nikdy nemohou m´ıt spoleˇcný pr˚unik. Na ose X je vyznaˇcena ˇsipkou oblast, do n´ıˇz nem˚uˇze zasahovat ani jeden z obou element˚u.

Obr´azek 3: Rychl´y test - moˇznost pr˚uniku element˚u

Algoritmus ”rychlý test”slouˇz´ı pro minimalizaci poˇctu porovnáván´ı element˚u, nevylu- ˇ

cuje tedy vˇsechny pˇr´ıpady, kdy elementy nemaj´ı pr˚unik. Jak je vidˇet na obrázku 3 nen´ı v tomto pˇr´ıpadˇe porovnáván´ı element˚u vylouˇceno, jelikoˇz mezi zobrazenými elementy nen´ı ˇ

zádný prostor, do nˇehoˇz nem˚uˇze zasahovat ani jeden z obou element˚u (tento prostor je na obrázku 2 zobrazen tuˇcnou ˇsipkou).

(15)

1.3 Typy sousednost´ı element˚ u

Useˇ´ cka - ´useˇcka

Sousednost dvou úseˇcek je nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadem sousednosti element˚u, proto je pochopen´ı práce s úseˇckou velmi d˚uleˇzité, protoˇze ostatn´ı sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıpady sousednost´ı element˚u vycházej´ı ze sousednosti dvou úseˇcek (napˇr. trojúheln´ık je rozloˇzen na 3 úseˇcky).

Na základˇe definice parametrické rovnice úseˇcky lze vyvodit vliv parametru na polohu bodu na úseˇcce. Na obrázku 4 je zobrazena pˇreruˇsovanou ˇcarou pˇr´ımka, na n´ıˇz leˇz´ı úseˇcka p (zadána body AB). Poloha bodu P je definována rovnic´ı:

P = A + tu; t ∈< 0; 1 >

Kdyˇz bude parametr t = 0, tak se bod A = P . V pˇr´ıpadˇe, ˇze parametr t ∈< 0; 1 >, tak bod P bude ∈ na úseˇcce mezi bodem A a B. Kdyˇz parametr t = 1, tak se bod P = B. Pokud parametr t /∈< 0; 1 >, tak bod P /∈ na úseˇcce AB, ale ∈ na pˇr´ımce zobrazené pˇreruˇsovanou ˇ

carou.

Obr´azek 4: Vliv parametru na polohu bodu

Kompatibiln´ı sousednost ´useˇcek

Dvˇe úseˇcky jsou navzájem kompatibiln´ı, pokud maj´ı spoleˇcnou právˇe jednu celou stˇenu.

Jestliˇze úseˇcka p je zadána body AB a úseˇcka q je zadána body CD, potom jsou obˇe úseˇcky kompatibiln´ı, pokud jsou totoˇzné p=q.

(16)

Obr´azek 5: Kompatibiln´ı sousednost ´useˇcek

Useˇ´ cky nemaj´ı pr˚unik

Pˇri urˇcován´ı, zda maj´ı dvˇe úseˇcky spoleˇcný pr˚unik, se nejprve pouˇzije rychlý test. Na jeho základˇe lze urˇcit pˇr´ıpady, v nichˇz elementy nemohou m´ıt pr˚unik. Pokud elementy mohou m´ıt pr˚unik, pracuje se s parametricky zadanými úseˇckami p a q.

Obr´azek 6: ´Useˇcky nemaj´ı pr˚unik

p : x = a₁+ tu y = a₂+ tu q : x = c₁+ sv y = c₂+ sv

V pˇr´ıpadˇe, ˇze parametr t nebo s /∈< 0; 1 > lze ˇr´ıci, ˇze ´useˇcky nemaj´ı spoleˇcn´y pr˚unik.

(17)

Useˇ´ cky maj´ı pr˚unik

Aby dvˇe úseˇcky p, q mˇely spoleˇcný pr˚unik, nesm´ı to být vylouˇceno rychlým testem. Dále také parametry obou úseˇcek t, s ∈< 0; 1 >. Pokud jsou splnˇeny pˇredchoz´ı podm´ınky, je pr˚unikem úseˇcek p, q bod P .

Obr´azek 7: ´Useˇcky maj´ı pr˚unik P

Moˇzné typy sousednost´ı dvou úseˇcek jsou popsány v tabulce 1. Je zde zohlednˇen i vliv rychlého testu na moˇznost pr˚uniku dvou úseˇcek a jsou zde uvedeny parametry t a s.

Typ sousednosti Rychl´y test Parametr t Parametr s Useˇ´ cky nemaj´ı pr˚unik bez pr˚uniku - -

Useˇ´ cky jsou totoˇzné pr˚unik je moˇzný nelze vypoˇc´ıtat nelze vypoˇc´ıtat Useˇ´ cky maj´ı 1 pr˚unik pr˚unik je moˇzný 0 < t < 1 0 < s < 1

Tabulka 1: Sousednosti ´useˇcky a ´useˇcky

(18)

Useˇ´ cka - troj´uheln´ık

Sousednost úseˇcky a trojúheln´ıku je podobná pˇr´ıpadu sousednosti dvou úseˇcek. Zde je jedn´ım elementem úseˇcka a druhým elementem je trojúheln´ık, který je tvoˇren tˇremi hranami (úseˇckami) a tˇremi pr˚uniky tˇechto hran.

Pˇri rozhodován´ı, o jaký typ sousednosti se jedná, se nejprve provede rychlý test (pro vylouˇcen´ı pˇr´ıpadu, kdy elementy nemohou m´ıt spoleˇcný pr˚unik). Dále se vezme pˇr´ımka (jednoznaˇcnˇe urˇcená elementem úseˇcky na n´ı leˇz´ıc´ı) a zjist´ı se poloha dvou pr˚unik˚u této pˇr´ımky s trojúheln´ıkem. Podle toho, jaké jsou hodnoty parametr˚u (t0, t1) popisuj´ıc´ıch pr˚uniky elementu úseˇcka s jednou hranou trojúheln´ıka, se rozhodne, o jaký typ sousednosti se jedná. Jednotlivé typy sousednost´ı v závislosti na rychlém testu a hodnotách parametr˚u jsou zobrazeny v tabulce 2.

Typ sousednosti Rychl´y test Parametr t0 Parametr t1

Useˇ´ cka leˇz´ı mimo trojúheln´ık bez pr˚uniku - - Useˇ´ cka leˇz´ı uvnitˇr trojúheln´ıku pr˚unik je moˇzný t0 < 0 1 < t1 Useˇ´ cka leˇz´ı na hranˇe trojúheln´ıku pr˚unik je moˇzný 0 < t0 < 1 0 < t1 < 1

t0 < 0 0 < t1 < 1 0 < t0 < 1 1 < t1 Useˇ´ cka má s trojúheln´ıkem 1 pr˚unik pr˚unik je moˇzný t0 < 0 0 < t1 < 1

0 < t0 < 1 1 < t1 Useˇ´ cka má s trojúheln´ıkem 2 pr˚uniky pr˚unik je moˇzný 0 < t0 < 1 0 < t1 < 1

Tabulka 2: Sousednost´ı ´useˇcky a troj´uheln´ıka .

Useˇ´ cka leˇz´ı mimo troj´uheln´ık

Pokud pˇri proveden´ı rychlého testu pro úseˇcku a trojúheln´ık je zjiˇstˇeno, ˇze elementy nemaj´ı spoleˇcný pr˚unik, znamená to, ˇze úseˇcka EF nemá pr˚unik s ˇzádnou hranou trojúheln´ıku ABC, a ani neleˇz´ı uvnitˇr tohoto trojúheln´ıku. Mus´ı tedy leˇzet mimo trojúheln´ık ABC.

Useˇ´ cka m˚uˇze leˇzet mimo trojúheln´ık, i kdyˇz to nen´ı urˇceno rychlým testem. Jedná se konkrétnˇe o pˇr´ıpad, kdy spoleˇcný pr˚unik nen´ı vylouˇcen rychlým testem, ale na základˇe porovnán´ı element˚u je zjiˇstˇeno, ˇze spolu elementy nemaj´ı ˇzádný pr˚unik. Tento pˇr´ıpad je zobrazen na obrázku 8.

(19)

Obrázek 8: Úseˇcka leˇz´ı mimo trojúheln´ık

Useˇ´ cka leˇz´ı uvnitˇr troj´uheln´ıku

Pˇri postupném zjiˇst’ován´ı pr˚unik˚u úseˇcky a prvn´ı, druhé a tˇret´ı hrany trojúheln´ıka nesm´ı být nalezen ˇzádný pr˚unik. Pˇri splnˇen´ı tˇechto podm´ınek úseˇcka EF neleˇz´ı mimo trojúheln´ık a ani nemá ˇzádný pr˚unik s hranami trojúheln´ıku, tud´ıˇz leˇz´ı uvnitˇr trojúheln´ıku ABC.

Obrázek 9: Úseˇcka leˇz´ı uvnitˇr trojúheln´ıku

Useˇ´ cka leˇz´ı na hranˇe troj´uheln´ıku

V pˇr´ıpadˇe, ˇze úseˇcka leˇz´ı na libovolné hranˇe trojúheln´ıku, mohou nastat dva pˇr´ıpady. Po- kud je úseˇcka s libovolnou hranou trojúheln´ıku totoˇzná, jedná se dle definice o kompatibiln´ı sousednost. V druhém pˇr´ıpadˇe, kdy úseˇcka nen´ı s libovolnou hranou trojúheln´ıku totoˇzná,

´

useˇcka leˇz´ı pouze na ˇc´asti hrany troj´uheln´ıku nebo naopak obsahuje celou hranu. Na

(20)

obrázku 10 je znázornˇen pˇr´ıpad, v nˇemˇz úseˇcka DE obsahuje celou hranu AB z trojúheln´ıku ABC. V tomto pˇr´ıpadˇe jsou hodnoty parametr˚u 0 < t0 < 1 a 0 < t1 < 1.

Obrázek 10: Úseˇcka leˇz´ı na hranˇe trojúheln´ıku

Useˇ´ cka m´a s troj´uheln´ıkem jeden pr˚unik

Pokud má úseˇcka EF s trojúheln´ıkem ABC jeden pr˚unik P , znamená to, ˇze krajn´ı bod E úseˇcky EF leˇz´ı uvnitˇr trojúheln´ıku ABC a druhý krajn´ı bod F leˇz´ı mimo trojúheln´ık (poˇrad´ı bod˚u m˚uˇze být i opaˇcné). V tomto pˇr´ıpadˇe jsou hodnoty parametr˚u t0 < 0, 0 < t1 < 1. Pokud by pozice krajn´ıch bod˚u E a F byly prohozeny, pak by hodnoty parametr˚u byly 0 < t0 < 1, 1 < t1.

Obrázek 11: Úseˇcka má s trojúheln´ıkem jeden pr˚unik

(21)

Useˇ´ cka m´a s troj´uheln´ıkem dva pr˚uniky

Jestliˇze má úseˇcka EF s trojúheln´ıkem ABC dva pr˚uniky P 1 a P 2, plat´ı, ˇze oba krajn´ı body E a F úseˇcky leˇz´ı vnˇe trojúheln´ıku ABC. Úseˇcka tedy ”ˇreˇze”trojúheln´ık.

Obrázek 12: Úseˇcka má s trojúheln´ıkem dva pr˚uniky

Troj´uheln´ık - troj´uheln´ık

Troj´uheln´ık leˇz´ı uvnitˇr troj´uheln´ıku

Aby trojúheln´ık B1B2B3mohl leˇzet uvnitˇr trojúheln´ıku A1A2A3, nesm´ı být rychlým testem vylouˇcena moˇznost pr˚uniku tˇechto element˚u. Pˇri zjiˇst’ován´ı vzájemných pr˚unik˚u hran obou

Obrázek 13: Trojúheln´ık leˇz´ı uvnitˇr druhého trojúheln´ıku

(22)

trojúheln´ık˚u ovˇsem nesm´ı být nalezen ˇzádný pr˚unik hran. Tento pˇr´ıpad je zobrazen na obrázku 13.

Trojúheln´ık procház´ı jednou hranou druhého trojúheln´ıku

K tomuto pˇr´ıpadu sousednosti docház´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze jednou hranou prvn´ıho trojúheln´ıku procház´ı dvˇe hrany druhého trojúheln´ıku. Jak je patrno z obrázku 14 (v nˇemˇz jsou zobrazeny oba pˇr´ıpady) protnut´ı jedné hrany trojúheln´ıku se jeˇstˇe m˚uˇze liˇsit t´ım, ˇze trojúheln´ık B₁B₂B₃ má uvnitˇr trojúheln´ıku A₁A₂A₃ jeden vrchol a trojúheln´ık C₁C₂C₃ má uvnitˇr trojúheln´ıku dva vrcholy.

Obrázek 14: Trojúheln´ık procház´ı jednou hranou druhého trojúheln´ıku

Trojúheln´ık prot´ıná dvˇe hrany druhého trojúheln´ıku

Pˇr´ıpad˚u, kdy kdy prvn´ı trojúheln´ık má protnuty dvˇe hrany druhým trojúheln´ıkem, existuje v´ıce. Na obrázku 15 je zobrazen pˇr´ıpad, kdy je trojúheln´ık A1A2A3 protnut ve vr- cholu. Trojúheln´ık B₁B₂B₃, který prot´ıná trojúheln´ık A₁A₂A₃ má uvnitˇr dva své vrcholy.

Trojúheln´ık C₁C₂C₃ taktéˇz prot´ıná trojúheln´ık A₁A₂A₃, ale má uvnitˇr pouze jeden vrchol.

Dalˇs´ı pˇr´ıpad protnut´ı dvou hran je na obrázku 16. Trojúheln´ık B₁B₂B₃ prot´ıná dvˇe hrany trojúheln´ıku A₁A₂A₃ a má uvnitˇr jeden sv˚uj vrchol. Trojúheln´ık C₁C₂C₃

”ˇreˇze“ trojúheln´ık A₁A₂A₃ - procház´ı jeho dvˇema hranami, ale nemá uvnitˇr ˇzádný vrchol.

(23)

Obrázek 15: Trojúheln´ık prot´ıná dvˇe hrany druhého trojúheln´ıku v jeho vrcholech

Obrázek 16: Trojúheln´ık prot´ıná dvˇe hrany druhého trojúheln´ıku

Trojúheln´ık prot´ıná tˇri hrany druhého trojúheln´ıku

Pˇr´ıpad, kdy trojúheln´ık A₁A₂A₃ prot´ıná tˇri hrany trojúheln´ıku B₁B₂B₃ nastane, pokud kaˇzdá hrana trojúheln´ıku A1A2A3 je protnuta dvˇema hranami trojúheln´ıku B1B2B3. Pˇr´ıklad protnut´ı tˇr´ı hran jsou na obrazku 23.

(24)

Obrázek 17: Trojúheln´ık prot´ıná tˇri hrany druhého trojúheln´ıku

1.4 N´ astroj GMSH pro tvorbu s´ıt´ı

Program GMSH pouˇz´ıvá k popisován´ı geometrie metodu koneˇcných prvk˚u [3]. Kon- krétnˇe jsou modely geometri´ı (soubory s pˇr´ıponou .geo) tvoˇreny pomoc´ı jednotlivých bod˚u, orientovaných úseˇcek, orientovaných povrch˚u a objem˚u. Vzhled geometrie a výpoˇcetn´ı s´ıtˇe je znázornˇen na obrázku 18.

Obr´azek 18: Geometrie a V´ypoˇcetn´ı s´ıt’

(25)

Vygenerován´ı výpoˇcetn´ı s´ıtˇe (vstupn´ı soubor .msh) na základˇe modelu geometrie je zajiˇstˇeno automaticky programem GMSH. V tomto programu lze i nastavit parametr, který ovlivn´ı hustotu vygenerované s´ıtˇe. Nastavitelný rozsah parametru je 0.1 aˇz 1.0, pˇriˇcemˇz pˇri velikosti parametru 0.1 je s´ıt’ desetkrát hustˇs´ı, neˇz pˇri parametru 1.0. Vliv parametru na hustotu generované s´ıtˇe je zobrazen v pˇr´ıloze B.

1.5 Vstupn´ı soubor .msh

Soubor typu .msh je souborem z nˇehoˇz jsou naˇc´ıtána vstupn´ı data pro zpracován´ı sousednost´ı element˚u pomoc´ı programu NGH [4]. Soubor obsahuje tyto ˇcásti: hlaviˇcku ($MeshFormat), informace o jednotlivých uzlech ($Nodes) a informace o elementech ($Ele- ments). Levá ˇcást zobrazeného zdrojového kódu obsahuje data z reálného pˇr´ıkladu a pravá ˇ

cást obsahuje obecný popis kódu vstupn´ıho souboru.

$MeshFormat $MeshFormat

2 0 8 verze typ_souboru velikost_souboru

$EndMeshFormat $EndMeshFormat

$Nodes $Nodes

2 poˇcet_uzl˚u

1 0 0 uzel-ˇc´ıslo x-souˇradnice y-souˇradnice

2 1 1 ...

$EndNodes$ $EndNodes

$Elements $Elements

1 poˇcet_element˚u

1 1 3 2 1 0 1 2 element-ˇc´ıslo element-typ poˇcet_tag˚u <tag>...seznam uzl˚u

$EndElements $EndElements

(26)

2 Implementace

Implementace programu NGH slouˇz´ıc´ıho pro hledán´ı nekompatibiln´ıch sousednost´ı je realizována v jazyce C++ [6]. Program je napsán objektovˇe s d˚urazem na maximáln´ı uni- verzálnost. To je výhodou pˇri provádˇen´ı vˇetˇs´ıch zmˇen v programu, kdy staˇc´ı pozmˇenit pouze jednotlivé tˇr´ıdy a jejich vzájemné propojen´ı a nen´ı tˇreba mˇenit celý kód programu.

Pˇr´ıkladem takového rozˇs´ıˇren´ı m˚uˇze být pˇridán´ı dalˇs´ıho elementu ”tetrahedron”. V pˇr´ıpadˇe pˇridán´ı tohoto elementu je tˇreba vytvoˇrit tˇr´ıdu TTetrahedron, pomoc´ı n´ıˇz bude tento element naˇcten ze vstupn´ıho souboru. V návaznosti na tuto tˇr´ıdu je nutno vytvoˇrit i nový komparátor pro tento element a zahrnout ho do programu, podobnˇe jako tomu bylo u pˇredchoz´ıch element˚u.

2.1 Hlavn´ı tˇ r´ıdy projektu

Tˇr´ıda TPoint

Tˇr´ıda TPoint vytváˇr´ı objekty, které maj´ı definované souˇradnice x, y, z. Objekty této tˇr´ıdy tedy koresponduj´ı s teoretickou definic´ı bodu.

Tˇr´ıda TNode

Tˇr´ıda TNode je potomkem tˇr´ıdy TPoint, z n´ıˇz dˇed´ı jednotlivé souˇradnice x, y, z pro vytváˇrený objekt uzel. Krome podˇedˇených souˇradnic má objekt uzel jeˇstˇe svoje oznaˇcen´ı uzlu (je re- prezentováno celým ˇc´ıslem).

Tˇr´ıda TElement

Tˇr´ıda TElement je abstraktn´ı tˇr´ıda jej´ıˇz objekty maj´ı: svoje oznaˇcen´ı, jsou urˇcitého typu, obsahuj´ı dalˇs´ı ˇc´ıselné parametry ze vstupn´ıho souboru (v programu se s nimi nepracuje) a ukazatele na jednotlivé uzly tvoˇr´ıc´ı konkrétn´ı element.

Tˇr´ıdy TLine a TTriangle

Tˇr´ıda TLine je potomkem tˇr´ıdy TElement, která je typu 1 a obsahuje ukazatele na dva uzly (poˇcáteˇcn´ı a koncový uzel úseˇcky). Tˇr´ıda TTriangle je taktéˇz potomkem tˇr´ıdy TElement, ovˇsem je typu 2 a obsahuje ukazatele na tˇri uzly (tˇri vrcholy trojúheln´ıka).

Tˇr´ıda TLineAdaptive

Tˇr´ıda TLineAdaptive je potomkem tˇr´ıdy TLine a slouˇz´ı jako pomocná tˇr´ıda pro rozklad trojúheln´ık˚u ze tˇridy TTriangle na pomocné úseˇcky (ty jsou vyuˇzity pouze v kom- parátorech). Rozklad prob´ıhá tak, ˇze uzly tvoˇr´ıc´ı vrcholy trojúheln´ıka jsou postupnˇe pˇriˇrazeny tˇrem úseˇckám TLineAdaptive. Prvn´ı vrchol trojúheln´ıka je poˇcáteˇcn´ım uzlem prvn´ı po-

(27)

mocné úseˇcky, druhý vrchol je koncovým uzlem prvn´ı pomocné úseˇcky, a zároveˇn je po- ˇ

cáteˇcn´ım uzlem druhé pomocné úseˇcky, tˇret´ı vrchol je koncovým uzlem druhé pomocné

´

useˇcky, a zároveˇn je poˇcáteˇcn´ım uzlem tˇret´ı pomocné úseˇcky a prvn´ı vrchol je koncovým uzlem tˇret´ı pomocné úseˇcky. Pro snadnˇejˇs´ı pochopen´ı je rozklad zobrazen na obrázku 1.2.

Vrcholy trojúheln´ıku jsou oznaˇceny 123, úseˇcky jsou oznaˇceny U 1 aˇz U 3, pˇriˇcemˇz poˇcáteˇcn´ı uzly úseˇcek maj´ı index 0 a koncové index 1.

Obrázek 19: Rozklad trojúheln´ıku na pomocné úseˇcky TLineAdaptive

Tˇr´ıda TMesh

Tˇr´ıda TMesh obsahuje metodu AddNode, která provád´ı ukládán´ı ukazatel˚u (na objekty TNode) do mapy nodeLabelMap. Jednotlivé ukazatele jsou ukládány do mapy v poˇrad´ı, v nˇemˇz jsou tˇr´ıdou TMeshReader naˇc´ıtány. Tˇr´ıda TMesh obsahuje dále metodu AddEle- ment, slouˇz´ıc´ı pro ukládán´ı ukazatel˚u na elementy do mapy elementLabelMap. Tato metoda funguje analogicky k metodˇe AddNode, ovˇsem ukládány nejsou ukazatele na uzly, ale na elementy.

Tˇr´ıda TMeshReader

Tˇr´ıda TMeshReader slouˇz´ı k naˇcten´ı jednotlivých uzl˚u a element˚u ze vstupn´ıho souboru .msh. Pˇri naˇcten´ı uzlu je vytvoˇren objekt tˇr´ıdy TNode. Naˇcten´ı element˚u tˇr´ıdou TMeshRea- der prob´ıhá tak, ˇze element pˇri parsován´ı z´ıská oznaˇcen´ı, typ, dalˇs´ı parametry a ukazatele ukazuj´ıc´ı na konkrétn´ı uzly (jejich poˇcet záleˇz´ı na typu). Podle typu elementu je tˇr´ıdou TElementFactory vytvoˇren konkrétn´ı objekt (TLine, TTriangle,...), který je potomkem

(28)

abstraktn´ı tˇr´ıdy TElement (viz obr´azek 20).

Obr´azek 20: TElement a jeho potomci

2.2 Porovn´ avac´ı algoritmy

Rychl´y test

Proveden´ı rychlého testu je realizováno tˇr´ıdou TQuickTest. Tato tˇr´ıda volá metodu get- Min a getMax (ze tˇr´ıdy TElement). Na základˇe minim a maxim porovnávaných element˚u se vyhodnot´ı, zda elementy mohou nebo nemohou m´ıt spoleˇcný pr˚unik, pokud elementy nemohou m´ıt spoleˇcný pr˚unik, nen´ı dále v programu provádˇeno jejich porovnáván´ı. Teorie provádˇen´ı rychlého testu je bl´ıˇze popsána v kapitole 1.2.

V´ybˇer porovn´avaˇce dle typu element˚u

Výbˇer vhodného porovnávaˇce je provádˇen tˇr´ıdou TManagerComparators. Tato tˇr´ıda vy- tvoˇr´ı tˇri objekty komparátor˚u pro tˇri r˚uzné typy komparátor˚u (LL, LT, TT) a referenci na objekty uloˇz´ı do mapy. Ve tˇr´ıdˇe TManagerComparators je dále specifikováno jaká hodnota kl´ıˇce odpov´ıdá jakému typu komparátoru. Zavolán´ım metody getComparator se provede porovnán´ı typ˚u element˚u a vypoˇcte se kl´ıˇc tohoto porovnán´ı. Na základˇe hodnoty kl´ıˇce je zavolán objekt konkrétn´ı komparátor viz tabulka 3. Pˇriˇcemˇz konkrétn´ı komparátory jsou potomci abstraktn´ıho komparátoru TAbstractComparator.

Hodnota kl´ıˇce dvou porovnávaných element˚u se z´ıská takto:

int key = typElementu1 + 1000 * typElementu2;

V pˇr´ıpadˇe pˇridán´ı nového komparátoru (pro dalˇs´ı typy element˚u) staˇc´ı do tˇr´ıdy TMa- nagerComparators pˇridat nový kl´ıˇc a jemu pˇriˇrazený objekt komparátor, ˇc´ımˇz je zajiˇstˇena snadná rozˇsiˇritelnost programu. Vzhledem k podobnému pouˇzit´ı ˇreˇsen´ı pro jednotlivé typy komparátor˚u se zde jedná o návrhový vzor Strategy [1], [2].

(29)

Typ elementu 1 Typ elementu 2 Kl´ıˇc Kompar´ator

Line - 1 Line - 1 1001 TComparatorLL

Line - 1 Triangle - 2 2001 TComparatorLT

Triangle - 2 Line - 1 1002 TComparatorLT

Triangle - 2 Triangle - 2 2002 TComparatorTT Tabulka 3: Volba vhodn´eho kompar´atoru

2.3 Kompar´ atory

Konkrétn´ı komparátory (zvolené tˇr´ıdou TManagerComparators) jsou abstraktn´ı tˇr´ıdy, které porovnávaj´ı dva elementy a výsledek ukládaj´ı do objektu tˇr´ıdy TResult. Tˇr´ıdy kom- parátor˚u jsou jedny z nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıch tˇr´ıd celého programu NGH, nebot’ slouˇz´ı k výpoˇctu parametr˚u a souˇradnic v rámci jednotlivých sousednost´ı.

Tˇr´ıda TComparatorLL

Tˇr´ıda TComparatorLL slouˇz´ı k porovnáván´ı dvou element˚u typu úseˇcka, pˇriˇcemˇz k po- rovnáván´ı dojde zavolán´ım metody Compare. Po zavolán´ı této metody jsou naˇcteny do promˇenných A, B, C, D (typu TPoint) poˇcáteˇcn´ı a koncové uzly obou úseˇcek. S naˇctenými promˇennými probˇehne výpoˇcet parametr˚u t, s a souˇradnic pr˚uniku P , postup výpoˇctu je kompletnˇe popsán v kapitole 2.4 - výpoˇcet programu. Parametr t popisuje vzdálenost pr˚uniku P od poˇcáteˇcn´ıho bodu A a parametr s popisuje vzdálenost pr˚uniku P od poˇcáteˇc- n´ıho bodu C (viz obrázek 7). Vypoˇctené výsledky jsou uloˇzeny do objektu tˇr´ıdy TResult (viz kapitola 2.5).

Tˇr´ıda TComparatorLT

Tˇr´ıda TComparatorLT funguje analogicky k pˇredchoz´ı tˇr´ıdˇe. Pˇri zavolán´ı metody Compare jsou naˇcteny promˇenné A, B pro úseˇcku a poté jsou do promˇenných C[3], D[3] (taktéˇz typu TPoint) naˇcteny poˇcáteˇcn´ı a koncové uzly trojúheln´ıka. Trojúheln´ık je dále pomoc´ı tˇr´ıdy TLineAdaptive rozloˇzen na jednotlivé úseˇcky (viz obrázek 19). Vzhledem k vyuˇzit´ı tˇr´ı po- mocných úseˇcek (TLineAdaptive) se v rámci komparátoru pracuje s parametry t a s jakoˇzto s jednorozmˇerným polem. Struktura ukládaných dat t´ım ovˇsem nen´ı nijak ovlivnˇena.

Tˇr´ıda TComparatorTT

Tˇr´ıda TComparatorTT opˇet funguje analogicky k pˇredchoz´ı tˇr´ıdˇe. Pˇri zavolán´ı metody Compare jsou ovˇsem naˇc´ıtány promˇenné pro dva trojúheln´ıky (A[3], B[3], C[3], D[3]). Oba

(30)

trojúheln´ıky jsou rozkládány na pomocné úseˇcky (TLineAdaptive), kterých je v tomto komparátoru pouˇzito tedy celkem ˇsest.

2.4 Implementace rovnic popisuj´ıc´ı sousednosti

Pochopen´ı postupu popisuj´ıc´ı pˇrevod výpoˇctu parametr˚u a pr˚unik˚u dvou úseˇcek z ana- lytické geometrie do programové implementace je velmi d˚uleˇzité. Proto je pˇr´ıklad implementace rovnic popsán na konkrétn´ım pˇr´ıkladu nekompatibiln´ı sousednosti dvou úseˇcek (viz obrázek 21). Popis je rozdˇelen na dvˇe ˇcásti - popis matematického výpoˇctu a popis výpoˇctu programu.

Matematick´y v´ypoˇcet

V pˇr´ıkladu jsou zadány 4 body vˇcetnˇe jejich souˇradnic. Body A a B leˇz´ı na pˇr´ımce p, body C a D leˇz´ı na pˇr´ımce q. Rovnice 1 parametricky popisuje pˇr´ımky p a q. V rovnic´ıch 2 a 3 je proveden výpoˇcet parametr˚u t a s. Jelikoˇz parametr t ∈< 0; 1 > a parametr s ∈< 0; 1 > tak plat´ı, ˇze úseˇcky AB a CD (leˇz´ıc´ı na pˇr´ımkách p a q) maj´ı spoleˇcný pr˚unik. Souˇradnice pr˚uniku P [x, y] se vypoˇc´ıtaj´ı dosazen´ım parametr˚u z rovnice 3 do pa- rametrického vyjádˇren´ı pˇr´ımek popsaného v rovnici 1. Postup tohoto dosazen´ı je zobrazen v rovnici 4.

p : x = 1 + 3t y = 1 + 3t (1)

q : x = 1 + 4s y = 3

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

1 + 3t = 1 + 4s (2)

1 + 3t = 3

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

t = 2/3 (3)

s = 1/2

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

x = 1 + (3 ∗ 2/3) → x = 3 (4)

(31)

y = 3 → y = 3

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

P [x, y] = P [3, 3] (5)

Obr´azek 21: Pˇr´ıklad popisuj´ıc´ı implementaci rovnic

V´ypoˇcet programu

Pˇri tvorbˇe výpoˇcetn´ıho systému bylo nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı, aby tento systém dokázal pracovat univerzálnˇe pro vˇsechny moˇzné pˇr´ıpady sousednost´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze tedy u konkrétn´ıho pˇr´ıkladu nen´ı sousednost element˚u vylouˇcena rychlým testem, jsou u tohoto pˇr´ıkladu vypoˇcteny parametry t a s na jejichˇz základˇe se dále rozhoduje o typu sousednosti element˚u.

Rovnice 6 obsahuje parametrický popis pˇr´ımky p a q. Rovnice 7 porovnává x-ové a y-ové sloˇzky obou pˇr´ımek. Rovnice 8 upravuje tvar pˇredchoz´ı rovnice na jiný tvar, který bude lépe implementovatelný do programu. Rovnice 9 popisuje, jakým zp˚usobem jsou jednotlivé ˇcásti pˇredchoz´ı rovnice implementovány v programu. Rovnice 10 obsahuje vyjádˇren´ı parametru t z´ıskané z prvn´ı a druhé ˇcásti rovnice 8. Rovnice 11 obsahuje fináln´ı vyjádˇren´ı parametr˚u t a s. Kompletn´ı postup vyjádˇren´ı parametr˚u t a s je uveden v pˇr´ıloze A.

(32)

p : x = Ax+ ax∗ t y = Ay + ay∗ t (6) q : x = C_x+ b_x∗ s y = C_y+ b_y ∗ s

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

A_x+ a_x∗ t = C_x+ b_x∗ s (7)

A_y+ a_y ∗ t = C_y + b_y∗ s

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

a_x∗ t + b_x∗ s = C_x− A_x (8)

a_y∗ t + b_y∗ s = C_y − A_y

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

a_x= (B_x− A_x) a_y = (B_y− A_y) (9) b_x= (−1)(D_x− C_x) b_y = (−1)(D_y− C_y)

c_x = (C_x− A_x) c_y = (C_y − A_y)

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

t = c_y− (b_y∗ s)

a_y t = c_x− (b_x∗ s)

a_x (10)

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

t = (cy ∗ bx) − (cx∗ by)

(a_y ∗ b_x) − (a_x∗ b_y) s = (ay ∗ cx) − (ax∗ cy)

(a_y∗ b_x) − (a_x∗ b_y) (11)

U jmenovatele (a_y∗ b_x) − (a_x∗ b_y) shodného pro oba parametry t a s je nutné provést kontrolu, zda se nerovná nule. Jmenovatel se rovná nule v pˇr´ıpadˇe, ˇze porovnávané pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzné.

(33)

2.5 Tˇ r´ıda v´ ysledk˚ u TResult

Jednotlivé komparátory (TComparatorLL, TComparatorLT a TComparatorTT) pˇri porovnáván´ı element˚u porovnávaj´ı postupnˇe jednotlivé hrany obou tˇechto element˚u. To znamená, ˇze pˇri porovnán´ı dvou element˚u z´ıskáme v´ıce výsledk˚u (pro vˇsechny kombinace hran) uloˇzených v objektech tˇr´ıdy TResult.

Tˇr´ıda TResult v sobˇe obsahuje tyto informace: ukazatel na konkrétn´ı element jenˇz je porovnáván, ˇc´ıslo hrany porovnávaného elementu, velikost parametru, ukazatel na druhý objekt TResult popisuj´ıc´ı vlastnosti druhého elementu s kterým je porovnáván´ı provádˇeno a ukazatel na objekt tˇr´ıdy TCross (obsahuj´ıc´ı souˇradnice pr˚unik˚u provnávaných element˚u).

Datová struktura tˇr´ıdy TResult je jasnˇe patrná na obrázku 24, v nemˇz jsou zobrazeny oba objekty TResult (d´ıky vzájemnému odkazován´ı) a i objekt TCross obsahuj´ıc´ı pr˚uniky.

2.6 Tˇ r´ıda TResultList

Tˇr´ıda TresultList slouˇz´ı k uloˇzen´ı výsledk˚u TResult do datového kontejneru seznamu [9]. Konkrétnˇe jde o oboustrannˇe zˇretˇezeným seznamem vhodným k ˇcastému vkládán´ı a odeb´ırán´ı prvk˚u, seznam nav´ıc obsahuje odkazy na pˇredchoz´ı a následuj´ıc´ı prvky a umoˇz- ˇ

nuje proch´azen´ı pomoc´ı iter´atoru.

Obrázek 22: Provázán´ı dvou výsledk˚u TResult a jejich vazba pˇri uloˇzen´ı do seznamu Volba ukládán´ı do datového kontejneru seznam se jev´ı jako nejvhodnˇejˇs´ı vzhledem k obsahu ukládaných dat, nutnosti jejich ˇrazen´ı a jejich struktuˇre. Na obrázku 22 vlevo je vidˇet dva navzájem provázané výsledky z tˇr´ıdy TResult. Tato provázanost je znázornˇena ˇsipkou a realizována je pomoc´ı ukazatele coupledResult, který je souˇcást´ı tˇr´ıdy TResult.

(34)

Pravá ˇcást obrázku 22 zobrazuje uspoˇrádán´ı výsledk˚u TResult jiˇz do struktury seznamu a ˇsipky zde naznaˇcuj´ı, ˇze dvojice TResult jsou i nadále provázané.

2.7 Tˇ r´ıda TCross

Tˇr´ıda TCross obsahuje souˇradnice x a y jednotlivých pr˚unik˚u, které spolu maj´ı dvojice element˚u. Ukazatel na tˇr´ıdu TCross je souˇcást´ı tˇr´ıdy TResult, t´ım je umoˇznˇen pˇr´ıstup k souˇradnic´ım jednotlivých pr˚unik˚u (uloˇzených ve tˇr´ıdˇe TCross) ze tˇr´ıdy TResult.

(35)

3 Ovˇ eˇ ren´ı funkˇ cnosti implementace

Testován´ı vytvoˇreného programu bylo provádˇeno na notebooku s následuj´ıc´ımi parametry:

Operaˇcn´ı syst´em: Windows XP, Servis pack 3 CPU: Intel Celeron 1.6Ghz

Operaˇcn´ı pamˇet’: 2GB RAM Cygwin: Cygwin_4.x

3.1 Form´ at v´ ystupn´ıch soubor˚ u

Parameter .ngh

Výstupn´ı soubor Parameter.nhg obsahuje data uspoˇrádaná do struktury seznam. Tento výstupn´ı seznam je vytvoˇren tˇr´ıdou TResultList. Následuj´ıc´ı pˇr´ıklad obsahuje obrázek s kˇr´ıˇz´ıc´ımi se elementy, tabulku vzájemných vztah˚u a pr˚unik˚u a obsah výstupn´ıho souboru.

Obr´azek 23: V´ystupn´ı soubor - kˇr´ıˇz´ıc´ı se elementy

(36)

Obrázek 23 obsahuje dva vzájemnˇe se kˇr´ıˇz´ıc´ı trojúheln´ıky, které maj´ı 6 spoleˇcných pr˚unik˚u (P1 - P6). Jelikoˇz pro kaˇzdý jeden pr˚unik existuje ve výstupn´ım souboru Parame- ter.nhg jeden ˇrádek, tak pro obrázek 23 bude výstupn´ı soubor obsahovat 6 ˇrádk˚u.

Obr´azek 24: V´ystupn´ı soubor - tabulka

Tabulka zobrazená na obrázku 24 detailnˇe popisuje obsah výstupn´ıho souboru. Pro snazˇs´ı vizualizaci je tabulka rozdˇelena na 3 barvy. Modrá ˇcást tabulky obsahuje informace týkaj´ıc´ı se prvn´ıho elementu - je zde uloˇzen popisek elementu, ˇc´ıslo hrany a velikost parametru (udávaj´ıc´ı vzdálenost bod˚u v rámci hrany). Zelená ˇcást je analogická k modré ˇ

cásti, ale obsahuje informace týkaj´ıc´ı se druhého elementu. ˇCervená ˇcást je spoleˇcná pro oba elementy a obsahuje souˇradnice x a y pr˚unik˚u obou element˚u.

V´ystupn´ı soubor zobrazuje fin´aln´ı strukturu souboru Parameter.nhg:

$Parameter.ngh

$Element1 Side Parameter | Element2 Side Parameter | Px Py 1 0 0.75 | 2 0 0.5 | 2.5 1

1 0 0.25 | 2 2 0.5 | 1.5 1 1 1 0.25 | 2 0 0.75 | 2.75 1.5 1 1 0.5 | 2 1 0.25 | 2.5 2 1 2 0.5 | 2 1 0.75 | 1.5 2 1 2 0.75 | 2 2 0.25 | 1.25 1.5

$EndElements-Sides-Parameters

(37)

3.2 Testy

V ˇcásti testován´ı bylo provedeno mnoˇzstv´ı test˚u (na r˚uzných velikostech s´ıt´ı a pˇri r˚uzných hustotách s´ıt´ı) pro ovˇeˇren´ı funkce a rychlosti. Pro potˇrebu mˇeˇren´ı ˇcasu byla uˇzita metoda diffclock (vyuˇz´ıvaj´ıc´ı makro CLOCKS PER SEC popsané v knihovnˇe Time.h).

Test spr´avn´e funkce

Testován´ı funkˇcnosti zjiˇst’uje schopnost jednotlivých komparátor˚u urˇcit hrany element˚u, vypoˇc´ıtat parametry a zjistit souˇradnice pr˚unik˚u (TCross), které elementy navzájem maj´ı.

Testov´an´ı v s´ıti bylo provedeno na s´ıt´ı obsahuj´ıc´ı 11 element˚u (vˇcetnˇe tˇr´ı diskretizovan´ych

´

useˇcek prot´ınaj´ıc´ıch tuto s´ıt’). Na obr´azku 25 je zobrazena testovan´a s´ıt’.

Obr´azek 25: Test funˇcnosti

Pˇri testován´ı bylo nalezeno celkem 19 pr˚unik˚u v s´ıti, které jsou zobrazeny zelenˇe. Kaˇzdý pr˚unik odpov´ıdá jednomu ˇrádku výstupn´ıho souboru uvedeného v pˇr´ıloze C.

Test vlivu rychl´eho testu

Testován´ı vlivu pouˇzit´ı algoritmu rychlý test na výslednou rychlost porovnán´ı vˇsech element˚u, bylo provedeno na dvou vzájemnˇe se pˇrekrývaj´ıc´ıch ˇctvercových s´ıt´ıch, které byly protnuty úseˇckou. Geometrie ˇctvercových s´ıt´ı a konkrétn´ı vygenerovaná s´ıt’ s parametry hustoty obou s´ıt´ı rovno jedné je zobrazena na obrázku 26.

(38)

Obr´azek 26: Geometrie a s´ıt’ pro zjiˇstˇen´ı vlivu rychl´eho testu

Testován´ı bylo provedeno nejprve pˇri nejniˇzˇs´ı hustotˇe s´ıtˇe (parametry s´ıt´ı rovno jedné) a byly mˇeˇreny ˇcasy nutné pro porovnán´ı vˇsech element˚u pˇri zapnutém rychlém testu a bez jeho pouˇzit´ı. V dalˇs´ıch kroc´ıch testován´ı byla zvyˇsována hustota s´ıt´ı (sniˇzoval se parametr hustoty s´ıt´ı). Souhrn výsledk˚u mˇeˇren´ı je na obrázku 27 a to vˇcetnˇe poˇctu porovnávaných element˚u, který je závislý na hustotˇe generovaných s´ıt´ı.

Obrázek 27: ˇCasy porovnán´ı element˚u v závislosti na hustotˇe s´ıt´ı

Na obrázku 28 je graf zobrazuj´ıc´ı témˇeˇr exponenciáln´ı r˚ust ˇcasu nutného pro porovnán´ı vˇsech element˚u v závislosti na hustotˇe s´ıtˇe pro pˇr´ıpad, kdy nen´ı pouˇzit rychlý test.

Na obrázku 29 je pro úplnnost graf zobrazuj´ıc´ı ˇcasu nutný pro porovnán´ı element˚u v pˇr´ıpadˇe, kdy je pouˇzit rychlý test. Z grafu je patrno, ˇze u vˇetˇs´ıch hustot s´ıt´ı je nár˚ust ˇ

casu také témˇeˇr exponenciáln´ı, ovˇsem ˇcasová nároˇcnost je mnohonásobnˇe niˇzˇs´ı, pˇri uˇzit´ı rychlého testu.

(39)

Obrázek 28: ˇCas porovnáván´ı bez uˇzit´ı rychlého testu

Pˇri porovnáván´ı element˚u se zapnutým a vypnutým rychlým testem a pˇri r˚uzných hus- totách s´ıtˇe, bylo zjiˇstˇeno, ˇze porovnán´ı 2595ti element˚u (parametry s´ıt´ı 0.4) bez vyuˇzit´ı rychlého testu trvá stejnˇe dlouho (kolem 1370ms) jako porovnán´ı 43536ti element˚u (parametry s´ıt´ı 0.1) s vyuˇzit´ım rychlého testu. Na základˇe tˇechto výsledk˚u je jasné, ˇze vyuˇzit´ı rychlého testu pˇri porovnáván´ı element˚u je zásadn´ı pro urychlen´ı bˇehu programu a má i po- zitivn´ı vliv na jeho stabilitu, nebot’ nejsou ”zbyteˇcnˇe”porovnávány elementy, které spolu nemohou m´ıt ˇzádný pr˚unik. V dalˇs´ıch testech se tedy bude provádˇet porovnáván´ı element˚u pouze se zapnutým rychlým testem.

Obrázek 29: ˇCas porovnáván´ı pˇri uˇzit´ı rychlého testu

(40)

Testy spoleˇcn´ych oblast´ı s´ıt´ı

Testován´ı dvou s´ıt´ı je zamˇeˇreno na zjiˇstˇen´ı vlivu velikosti pˇrekrývaj´ıc´ıch se oblast´ı obou s´ıt´ı. Porovnán´ı je provedeno na dvojici s´ıt´ı, které se pˇrekrývaj´ı v´ıce neˇz ze tˇr´ı ˇctvrtin a na dvojici, která se nepˇrekrývá ani jednou celou ˇctvrtinou. Oba zm´ınˇené pˇr´ıpady jsou zobrazeny na obrázku 30.

Obrázek 30: Oblast s velkým pˇrekryt´ım a oblast s malým pˇrekryt´ım s´ıt´ı

U obou pˇr´ıpad˚u bylo testován´ı postupnˇe provádˇeno pro r˚uzné hustoty s´ıt´ı. Na základˇe výsledk˚u z obrázku 31 lze konstatovat, ˇze velikost pˇrekrývaj´ıc´ı se oblasti ovlivˇnuje rychlost porovnáván´ı pouze pro menˇs´ı hustoty s´ıt´ı. U hustˇs´ıch s´ıt´ı jsou ˇcasy porovnáván´ı témˇeˇr

Obr´azek 31: Vliv velikosti pˇrekr´yvaj´ıc´ıch se oblast´ı dvou s´ıt´ı

shodn´e, pˇrestoˇze poˇcet pr˚unik˚u je u s´ıtˇe s vˇetˇs´ım pˇrekryt´ım zhruba osmkr´at vˇetˇs´ı, neˇz u s´ıtˇe s menˇs´ım pˇrekryt´ım.

(41)

Testy rychlosti

Testován´ı rychlosti bylo provedeno na s´ıt´ıch r˚uzných velikost´ı a s r˚uznou hustotou generován´ı s´ıtˇe (viz obrázek 32). Nejmenˇs´ı vygenerované s´ıtˇe obsahovali pouze nˇekolik element˚u, ale nejrozsáhlejˇs´ı a nejhustˇs´ı s´ıt’ mˇela témˇeˇr sto tis´ıc element˚u. S´ıt’ tohoto rozsahu byla nejrozsáhlejˇs´ı s´ıt’, kterou bylo moˇzné na testovac´ım PC zpracovat.

Obrázek 32: Rychlost porovnáván´ı v r˚uzných s´ıt´ıch

Kromˇe rozsahu a hustoty s´ıtˇe, má vliv na rychlost také poˇcet úseˇcek kˇr´ıˇz´ıc´ıch s´ıt’. Pˇr´ıpad kˇr´ıˇzen´ı pomoc´ı jedné, dvou a tˇr´ı úseˇcek je zobrazen na obrázku 33.

Obr´azek 33: S´ıt’ kˇr´ıˇz´ı jedna, dvˇe, tˇri ´useˇcky

Výsledky pˇr´ıpadu kˇr´ıˇzen´ı s´ıtˇe pomoc´ı v´ıce úseˇcek jsou shrnuty v obrázku 34. R˚uzný poˇcet úseˇcek nemá zásadn´ı vliv na poˇcet porovnávaných element˚u nebo rychlost. Zp˚usobuje

(42)

pouze drobné zvýˇsen´ı ˇcasové nároˇcnosti, které odpov´ıdá zvýˇsen´ı poˇctu element˚u. Pˇri vyˇsˇs´ım poˇctu úseˇcek se ovˇsem zvyˇsuje poˇcet pr˚unik˚u element˚u.

Obrázek 34: Vliv poˇctu úseˇcek na rychlost porovnáván´ı

(43)

Z´ avˇ er

C´ılem diplomové práce bylo zanalyzovat moˇzné typy sousednost´ı vyskytuj´ıc´ıch se ve výpoˇcetn´ıch s´ıt´ıch, dále zpracovat rovnice pro jednotlivé typy s´ıt´ı a implementovat výpoˇcetn´ı systém do projektu NGH a vytvoˇrené texty ovˇeˇrit z hlediska funkce a rychlosti.

Vzhledem k absenci literárn´ıch zdroj˚u popisuj´ıc´ıch jednotlivé pˇr´ıpady sousednost´ı z této specifické oblasti, jsem musel vytvoˇrit znaˇcné mnoˇzstv´ı nákres˚u (doplnˇené o výpoˇcty v ana- lytické geometrii), pro pochopen´ı vlivu vzájemných poloh jednotlivých element˚u. Ty nejná- zornˇejˇs´ı nákresy zobrazuj´ıc´ı jednotlivé pˇr´ıpady sousednost´ı element˚u, jsou zahrnuty v di- plomové práci. Jednotlivé nákresy jsem doplnil o rovnice popisuj´ıc´ı práci s parametry (popisuj´ıc´ımi pr˚uniky element˚u) v rámci sousednost´ı element˚u. Na základˇe nákres˚u jsem se rozhodl pro zpracován´ı ve 2D prostˇred´ı. Práce tedy uvaˇzuje vzájemné vztahy element˚u

´

useˇcka a troj´uheln´ık ve 2D prostˇred´ı.

V ˇcásti implementace jsem zapracoval úvahy (z teoretické ˇcásti) a postupy výpoˇctu do jednotlivých komparátor˚u, slouˇz´ıc´ıch pro porovnáván´ı jednotlivých typ˚u element˚u. Dále jsem implementoval algoritmus rychlý test, který slouˇz´ı k vylouˇcen´ı porovnáván´ı element˚u, které spolu nemohou m´ıt ˇzádný spoleˇcný pr˚unik.

Výstupem z programu NGH je soubor Parameter.ngh, který obsahuje oznaˇcen´ı vzájemnˇe porovnávaných element˚u, ˇc´ısla hran element˚u, které spolu maj´ı nˇejakou interakci, hodnoty parametr˚u popisuj´ıc´ı vzdálenosti pr˚unik˚u a souˇradnice jednotlivých pr˚unik˚u element˚u.

Pˇri testován´ı programu NGH jsem si nejprve ovˇeˇril funkˇcnost výpoˇctu porovnán´ım vstupn´ı s´ıtˇe a výstupn´ıho souboru. Dále jsem provedl srovnán´ı ˇcasu potˇrebného pro po- rovnán´ı element˚u pˇri vyuˇzit´ı algoritmu rychlý test a bez nˇeho. Pro s´ıtˇe obsahuj´ıc´ı velký poˇcet element˚u, coˇz je i pˇr´ıpad bedˇrichovského tunelu, je uˇzit´ı rychlého testu naprosto nezbytné.

Tato diplomová prace je základem pro dalˇs´ı ˇreˇsen´ı úloh zabývaj´ıc´ı se sousednost´ı element˚u. Jako dalˇs´ı moˇzný zp˚usob, jak navázat na tuto diplomovou práci, je rozˇs´ıˇren´ı prostˇred´ı na 3D a zahrnut´ı trojrozmˇerných element˚u do programu.

(44)

Literatura

[1] ECKEL, B.: Mysl´ıme v jazyku C++, Grada Publishing, Praha, 2006, ISBN 80-247- 1015-3.

[2] GAMMA, E.: Design Patterns: Elements of Reusable Object-Oriented Software, Addison-Weasley, 2006, ISBN 02-0016-3361-2.

[3] GMSH: a three-dimensional finite element mesh generator with built-in-pre-and post- processing facilities. 2010. Str´anky s dokumentac´ı softwaru GMSH. Editov´ano 2013- 05-11. URL: http://geuz.org/gmsh/.

[4] FLOW123D, version 1.7. Str´anky s dokumentac´ı softwaru FLOW123D. Editov´ano 2013-04-02. URL: http://dev.nti.tul.cz/trac/flow123d.

[5] MARYˇSKA, J. - KR ÁLOVCOV Á, J. - HOKR, M. - ˇSEMBERA, J. 2010. Modelován´ı transportn´ıch proces˚u v horninovém prostˇred´ı. 1. vydán´ı. Liberec: Technická univerzita v Liberci. ISBN 978-80-7372-571-6.

[6] LIBERTY, J: Nauˇcte se C++ za 21dn´ı. Computer Press, Praha, 2002. ISBN 80-7226- 774-4.

[7] KR ÁLOVCOV Á, J. - MARYˇSKA, J. - KOPAL, J. - CÍSA ˇROV Á, K. 2009, TUL.

Výpoˇcet scénáˇr˚u vývoje migrace vybraných radionuklid˚u.

[8] DOST ÁLOV Á, M. - GARDAVSK Á, E. - HAM ˇRÍKOV Á, R. - JANK˚U, V. - TAN- NENBERGOV Á, M. 2006, Základy matematiky (Projekt ESF). Vysoká ˇskola báˇnská - Technická Univerzita Ostrava. ISBN 978-80-248-1295-3.

[9] SKLENICKA, P.: C++ ˇsablony: Linux Software [online]. Publikov´ano: 1.2. 2011. Edi- tov´ano 2011-02-02. URL: http://www.linuxsoft.cz/article.php?id article=1792.

(45)

A Kompletn´ı v´ ypoˇ cet parametr˚ u

p : x = A_x+ a_x∗ t y = A_y + a_y∗ t q : x = C_x+ b_x∗ s y = C_y+ b_y ∗ s

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

A_x+ a_x∗ t = C_x+ b_x∗ s A_y+ a_y ∗ t = C_y + b_y∗ s

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

a_x∗ t + b_x∗ s = C_x− A_x ay∗ t + by∗ s = Cy − Ay

a_x∗ t + b_x∗ s = c_x a_y∗ t + b_y ∗ s = c_y

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

t = c_y− (b_y∗ s)

a_y t = c_x− (b_x∗ s) a_x c_y − (b_y∗ s)

ay

= c_x− (b_x∗ s) ax

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

a_y ∗ (c_x− (b_x∗ s) = a_x∗ (c_y− (b_y∗ s) (a_y ∗ c_x) − (a_y∗ b_x∗ s) = (a_x∗ c_y) − (a_x∗ b_y ∗ s) (a_y ∗ c_x) − (a_x∗ c_y) = (a_y ∗ b_x∗ s) − (a_x∗ b_y ∗ s) (a_y∗ c_x) − (a_x∗ c_y) = s ∗ ((a_y ∗ b_x) − (a_x∗ b_y))

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

t = (c_y ∗ b_x) − (c_x∗ b_y)

(a_y ∗ b_x) − (a_x∗ b_y) s = (a_y ∗ c_x) − (a_x∗ c_y) (a_y∗ b_x) − (a_x∗ b_y)

− − − − − − − − − − − − − − − − −−

(46)

B Vliv parametru na hustotu generovan´ e s´ıtˇ e

Obr´azek 35: S´ıt’ vygenerovan´a s parametrem hustoty s´ıtˇe 1.0

(47)

C V´ ystupn´ı soubor pro funkci testov´ an´ı

$Parameter.ngh

$Element1 Side Parameter | Element2 Side Parameter | Px Py 1 0 0.576923 | 8 1 0.192308 | 0.384615 4.29886e-17

2 0 0.528037 | 6 0 0.803738 | 1.01869 1.06324 2 0 0.630435 | 8 2 0.913043 | 1.08696 0.913043 2 0 0.630435 | 11 2 0.0869565 | 1.08696 0.913043 3 0 0.0625 | 4 0 0.6875 | 1.375 1.82917

3 0 0.5 | 9 0 0.666667 | 1.66667 1.66667 3 0 0.884615 | 9 1 0.0384615 | 1.92308 2 3 0 0.5 | 11 1 0.333333 | 1.66667 1.66667 4 0 0.833333 | 9 0 0.2 | 1.2 1.2

4 0 0.166667 | 11 0 0.8 | 2 1.6 4 0 0.833333 | 11 1 0.8 | 1.2 1.2

5 0 0.0471698 | 7 0 0.0188679 | 0.943396 1.08868 5 0 0.0555556 | 9 2 0.933333 | 0.933333 1.06667 5 0 0.833333 | 10 0 0.7 | -7.37257e-18 0.6

5 0 0.0555556 | 10 2 0.0666667 | 0.933333 1.06667 6 0 0.933333 | 8 0 0.0266667 | 0.973333 0.973333 6 0 0.0869565 | 8 1 0.634783 | 1.26957 5.14996e-19 6 0 0.933333 | 10 1 0.973333 | 0.973333 0.973333 7 0 0.826087 | 9 1 0.669565 | 0.66087 2

$EndElements-Sides-Parameters