Jämföra tal i decimalform

47  Download (0)

Full text

(1)

Jämföra tal i decimalform

En kvantitativ och kvalitativ studie om att identifiera förekommande missuppfattningar och procedurstöd hos årskurs 6 elever i Sverige när de jämföra tal i decimalform.

KURS:Examensarbete för 4-6, 15 hp

PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i årskurs 4-6 FÖRFATTARE: Mirela Bosnjak

EXAMINATOR: Pernilla Mårtensson TERMIN:VT21

(2)

JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare 4-6, 15 hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning mot

arbete i i grundskolan årskurs 4-6.

Vårterminen 2021

SAMMANFATTNING

____________________________________________________________________________________

Mirela Bosnjak

Jämföra tal i decimalform - En kvantitativ och kvalitativ studie om att identifiera förekommande missuppfattningar och procedurstöd hos årskurs 6 elever i Sverige när de jämför tal i decimalform.

Antal sidor: 36 ____________________________________________________________________________________

Forskning visar på att det förekommer missuppfattningar bland elever när de jämför tal i decimalform. Syftet med studien är att bidra med insikter om hur vanligt förekommande missuppfattningar och procedurstöd är hos årskurs 6 elever i Sverige när de jämför tal i decimalform. De systematiska missuppfattningarna som berörs i denna studie är heltalsregeln, bråkregeln samt nollregeln. Utöver dessa tre kategorier av missuppfattningar, förekommer det även expertkategori och oklassificerad kategori. Syftet besvaras med hjälp av frågeställningarna: i vilken utsträckning förekommer de systematiska missuppfattningarna hos eleverna samt förekommer det procedurstöd hos eleverna, i så fall vilka? I studien deltog det 51 stycken elever från tre olika klasser i årskurs 6. Eleverna utförde ett test med enkla uppgifter där de jämförde tal i decimalform.

Studiens teoretiska ramverk är uppbyggt av tidigare forskares studier som har identifierat kategorier av missuppfattningar hos elever när de jämför tal i decimalform.

Det fastställda resultatet av det empiriska data indikerade på att det förekom missuppfattningar bland de deltagande eleverna i årskurs 6. Den kategori som förekom mest bland eleverna var heltalsregeln, därefter var det bråkregeln. Ingen av de deltagande eleverna kategoriserades till nollregeln. Resultatet visade även att det förekom procedurstöd hos några elever. Det procedurstöd som upptäcktes var skrivna nollor samt markeringar som indikerar jämförelse mellan platsvärdena.

_____________________________________________________________________________________

Sökord: tal i decimalform, matematik, årskurs 6, jämföra, heltalsregeln, bråkregeln, nollregeln

_____________________________________________________________________________________

(3)

JÖNKÖPING UNIVERSITY Degree Project for Teachers in Primary School of Education and Communication School Years 4-6, 15 creadits

Teacher Education Program for Primary Education Years 4-6

Spring semester 2021

ABSTRACT

______________________________________________________________________________

Mirela Bosnjak

Compare numbers in decimal form - A quantitative and qualitative study about identify occurring misconceptions and procedural support at year six students in Sweden when they compare numbers in decimal form.

Number of pages:35 ____________________________________________________________________________________

Sience indicates that misconceptions among students occurs when comparing numbers in decimal form. The purpose of the is to contribute insights over which systematic misconceptions and procedural support occur among students in Sweden in year six. The systematic misconceptions that is referred to in this study is whole number rule, fraction rule and zero rule. Beyonde these three categories, occurs even expert category and unclassified category. The purpose of the study is answered by using these questions: what proportion occurs among the students and does it occur any procedural support among the students, and if it does, which ones? It participated 51 students form three different classes in this study. The student performed a test witch simple tasks where they compared numbers in decimal form. The theoretical framework in this study is built on previous research has identified misconceptions among students when they compare numbers in decimalform.

The established result of the empirate data indicated that it occurred misconceptions among participating studnets in year six. The category that had the largest extent among the students was whole number rule. Then it was fraction rule. None of the students were categorized in zero rule.

The result also showed that it occured procedural support among some of the students. The procedural support that was found was written zeros and markings that indicated comparion

between place values.

____________________________________________________________________________

Keywords:numbers in decimal form, mathematics, year six, compare, whole number rule, fraction rule, zero rule

_____________________________________________________________________________

(4)

Innehåll

1. Inledning ... 1

2. Bakgrund ... 2

2.1 Kursplanen i matematik för grundskolan ... 2

2.2 Tal i decimalform ... 2

2.3 Tidigare forskning ... 4

2.4 Systematiska och osystematiska missuppfattningar ... 4

2.4.1 Expertkategorin ... 5

2.4.2 Heltalsregeln (regel 1) ... 6

2.4.3 Bråkregeln (regel 2) ... 6

2.4.4 Nollregeln (regel 3) ... 7

2.5 Procedurstöd (hjälpmedel) ... 8

2.6 Studiens teoretiska ramverk ... 9

3. Syfte och frågeställning ... 11

4. Metod ... 12

4.1 Datainsamlingsmetod. ... 12

4.2 Urval och genomförande ... 13

4.3 Databearbetning och analys ... 15

4.4 Tillförlitlighet ... 18

4.5 Forskningsetiska aspekter ... 18

5. Resultat ... 20

5.1 Testresultat ... 20

5.2 I vilken utsträckning förekommer respektive kategori bland eleverna? ... 20

5.2.1 Heltalsregeln ... 21

5.2.2 Bråkregeln ... 23

5.2.3 Nollregeln ... 24

5.2.4 Expert ... 25

5.2.5 Oklassificerad ... 26

5.3 Procedurstöd ... 26

5.3.1 Användning av nollor ... 26

5.3.2 Jämföra siffrornas platsvärde ... 28

6. Diskussion ... 29

6.1 Metoddiskussion ... 29

(5)

6.2 Resultatdiskussion ... 31

6.3 Jämförelse mellan studier ... 32

6.4 Procedurstöd ... 34

6.5 Studiens relevans för yrkesverksamheten ... 35

6.6 Förslag till fortsatta studier ... 35

7. Referenslista ... 36

8. Bilagor ... 40

8.1 Bilaga 1, Elevtestet ... 40

8.2 Bilaga 2, Samtyckesblankett ... 41

(6)

1

1. Inledning

Människans förståelse för tal i decimalform har stor betydelse. Det är inte enbart viktigt att ha förståelse för tal i decimalform för att förstå och använda den kunskapen i matematikämnet. Vi behöver behärska kunskap om tal i decimalform för att få goda förutsättningar i vårt vardags-, studie- och yrkesliv (Skolverket, 2017).Vi kommer bland annat i kontakt med tal i decimalform i recept, tid, sträckor och pris (McIntosh, 2011). Det är nödvändigt att ha en grundlig förståelse för tal i decimalform för att kunna hantera, värdera och tolka dem. Tal i decimalform är ett av skolans lärandemoment som forskare och lärare anser att flera elever vanligtvis har svårt för (Kallai &

Tzelg, 2014). I läroplanens centrala innehåll utgör tal och taluppfattning en stor del. I den delen ingår rationella tal, vilket bland annat innebär tal i decimalform. Det är först i årskurs 4-6 som elever introduceras för tal i decimalform (Skolverket, 2019). Troligtvis har undervisning om tal i decimalform inte erbjudits elever förens i årskurs 4-6 och av den anledningen blir området en ny undervisningsaspekt i matematiken. Forsning visar att elever anser att heltal är lättare att förstå och tal i decimalform anses svårare att begripa då de befinner sig på en mer abstrakt nivå(Roche, 2010).

Det är viktigt att den undervisande läraren kan identifiera förekommande missuppfattningar som uppstår med tal i decimalform hos elever. Förhoppningsvis kommer det att förebygga missuppfattningar hos elever och utveckla deras talförståelse för tal i decimalform. Denna studie har ett avgränsat fokus med att undersöka förekommande missuppfattningar med tal i decimalform hos elever i årskurs 6 i Sverige. Studien använder sig av identifierade missuppfattningar som har kartlagts av forskare i studier utanför Sverige. De identifierade kategorierna för missuppfattningarna är heltalsregeln, bråkregeln och nollregeln (Moloney & Stacey, 1997). Dessa missuppfattningar är utgångspunkten i denna studie för att undersöka om missuppfattningarna även förekommer hos elever i Sverige.

Trots att tal i decimalform är ett känt område inom matematiken som vanligtvis för med sig missuppfattningar enligt forskare och lärare, så är mestadels forskning utförd i länder utanför Sverige. Därför anser jag att det finns ett behov av att utföra denna studie i Sverige. Med hjälp av studien vill jag bidra och uppmärksamma förekommande missuppfattningar inom det matematiska området tal i decimalform. Studien ska bidra till ökad pedagogisk medvetenhet om elevers potentiella missuppfattningar med tal i decimalform.

(7)

2

2. Bakgrund

I kapitlet beskrivs de begrepp som används i studien, tidigare forskning samt studiens teoretiska ramverk.

2.1 Kursplanen i matematik för grundskolan

Ett av skolans undervisningsområden i matematiken är taluppfattning och tals användning. I det undervisningsområdet behandlas bland annat rationella tal, vilket innefattar tal i decimalform.

Skolans undervisning ska bidra till att utveckla elevernas förståelse för beräkningsmetoder, tal och hantering av tal. Denna kunskap ska elever sedan kunna använda i matematiska och vardagliga sammanhang (Skolverket, 2017). För årskurs 1-3, i läroplanens centrala innehåll, står det att elever ska erbjudas möjligheter till att utveckla sina kunskaper om centrala metoder när de utför beräkningar med naturliga tal, kunskap om positionssystemets användning när en beskriver naturliga tal samt förstå talens användning i vardagliga situationer (Skolverket, 2019). För årskurs 4-6 står det i det centrala innehållet att elever ska få förståelse för användning av tal i decimalform i vardagliga situationer, om positionssystemet för tal i decimalform och även lära sig centrala metoder vid beräkning med enkla tal i decimalform (Skolverket, 2019). Skolans matematikundervisning för årskurs 4-6 innefattar rationella tal, vilket bland annat är tal i decimal- och bråkform. I årkurs 1-3 arbetar elever med enkla tal i bråkform och i årskurs 7-9 med tal i decimal- och bråkform (Skolverket, 2019). Genom skolans undervisning i ämnet matematik ska elever få kunskap om uppbyggnad och struktur för det decimala talsystemet och även andra talsystem (Skolverket, 2017). För att utveckla förståelse för talsystemet behöver elever förstå att beroende på vilken position en siffra står på så påverkar det siffrans värde. Kunskapen kring platsvärde och struktur kan förtydligas om eleverna erbjuds att arbeta med andra talsystem med andra talbaser. Den kunskapen kan även bidra till förståelse för nollans funktion (Skolverket, 2017). En elevs utvecklande förståelse för taluppfattning är en avgörande faktor för hens vidare matematiska lärande. I denna kontext innebär taluppfattning att eleven har fått syn på de strukturella sambanden för tal i decimalform (Skolverket, 2017).

2.2 Tal i decimalform

Tal i decimalform är uppbyggt av heltal, ett decimaltecken, decimaler och siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, och 9. På den vänstra sidan av decimaltecknet benämns positionerna ental, tiotal, hundratal,

(8)

3

tusental och så vidare. Vidare på den högra sidan befinner sig decimaler och positionerna benämns tiondel, hundradel, tusendel och så vidare (Ne.se, 2021). Figuren nedan (figur 1) visar ett tals olika positioner. Värdet på talets siffror beror på deras position i det decimala talsystemet. Det decimala talsystemet är ett talsystem med tio som bas. Beroende på vilken plats en siffra har i talsystemet så kommer den tilldelas ett specifikt platsvärde. Platsvärde innefattar det värde en siffra har när den placeras på en specifik plats i talet (Hansson, 2019). Varje position i talsystemet kan använda den högsta siffran 9, vilket ger det högsta värdet, eller den lägsta siffran 0, vilket ger det lägsta värdet.

(Ne.se, 2021). Genom att använda och placera de tio siffrorna i det decimala talsystemet, kan oändligt stora tal skapas samt väldigt små tal (Hansson, 2019; Howe, 2019). En siffra som är placerade på decimaltecknets vänstra sida, ökar desto längre åt vänster den placeras. Positionerna åt vänster multipliceras med tio. På motsvarande sätt minskar siffrans värde på decimaltecknets högra sida (Björklund & Grevholm, 2014). Detta kan förtydligas med talet 275,43 som exempel.

275,43 =  2 · 100 + 7 · 10 + 5 · 1 + 4 · 1/10 + 3 · 1/100 (Ne.se, 2021).

För elever kan tal i decimalform vara svårt att förstå. Detta på grund av elever har erfarenhet och kunskap för heltal samt hur heltal är uppbyggda. När elever sedan blir introducerade för och börjar arbeta med tal i decimalform är det viktigt att eleverna förstår skillnader och likheter mellan tal i decimalform och heltal (Mårtensson, 2015). För att kunna räkna med tal i decimalform måste elever få förståelse för fyra grundläggande principer (McIntosh, 2011). Den första principen innefattar att elever ska förstå att ett tal i decimalform omfattar siffrorna på båda sidorna av talets decimaltecken.

Den andra principen involverar elevers förståelse för talets mittpunkt, vilket är entalet och inte decimaltecknet. Decimaltecknet är ett tecken som markerar siffrornas position i talet. Den tredje principen innefattar förståelse för att positionerna på den vänstra sidan av decimaltecknet ökar tiofaldigt i värde i varje steg åt vänster. På den högra sidan minskar det tiofaldigt. Fjärde principen innefattar kunskap om nollans användningsområde. Det innebär att nollan används i tal i decimalform för platsmarkering innan den första rådande siffran i ett tal, exempelvis 0,047 (McIntosh, 2011).

(9)

4

Figur 1: Visar positionsvärden för det decimala talsystemet.

2.3 Tidigare forskning

Tidigare forskning har identifierat missuppfattningar hos elever när de jämför tal i decimalform.

Det har bland annat utförts en studie av forskarna Sackur-Grisvard och Léonard (1985) där de studerade elevers förståelse för tal i decimalform. De utförde tester med fokus på jämförelse av tal i decimalform där det endast var decimalerna som varierade. Forskarna identifierade ett tankemönstermönster av tre missuppfattningar som de benämnde regel 1, 2 och 3. Regel 1 betecknades av elevernas heltalstänkande. En elev som har ett sådant synsätt uppfattar 5,18 som större än 5,5 då talet innehåller fler decimaler. Regel 2 innebar att eleverna valde det tal med minst antal decimaler som det största talet. Den tredje regeln och sista regeln innefattade elevers val när det fanns en nolla direkt på högra sidan av decimaltecknet. De elever som kategoriserades i regel 3 använde sig av regel 1 i övrigt.Sackur-Grisvard och Léonards (1985) tre regler kom sedan att sätta en grund i andra forskares studier. I föreliggande studie benämns de tre reglerna som heltalsregeln, bråkregeln och nollregeln.

2.4 Systematiska och osystematiska missuppfattningar

I denna studie är elevers missuppfattningar sorterade i två grupper, systematiska missuppfattningar och osystematiska missuppfattningar (figur 2). Det som skiljer sig åt mellan de två uppdelade missuppfattningarna är att de systematiska missuppfattningarna visar ett tydligt felmönster hos elever när de utför uppgifterna i denna studies test och det går att kategorisera felmönstret i antigen heltalsregeln, bråkregeln eller nollregeln. De systematiska missuppfattningarna har förbestämda

(10)

5

regler för respektive kategori. Det förbestämda regelmönstret förklaras vidare i metoddelen. De osystematiska missuppfattningarna visar däremot inte ett tydligt felmönster och har heller inga förbestämda regler (Steinle & Stacey, 1999). Den oklassificerade kategorin (figur 2) används för att kategorisera de elever vars testresultat anses tillhöra osystematisk missuppfattning. Figuren nedan (figur 2) har skapats utifrån en tolkning av hur forskarna Sackur-Grisvard et al och Resnick et al (1989) beskriver elevers systematiska missuppfattningar, osystematiska missuppfattningar samt funktionella uppfattningar. Den har skapats för att bidra till förståelsen för uppfattningar när en elev jämför tal i decimalform.

Figur 2: [Färg].Visar systematiska och osystematiska missuppfattningar.

2.4.1 Expertkategorin

De elever som får alla rätt på testet i studien, att jämföra tal i decimalform, kategoriseras i expertgruppen (Moloney & Stacey, 1997; Resnick et al., 1989; Sackur-Grisvard & Léonard, 1985).

Eleverna behärskar kunskap om hur en utför jämförelse mellan tal i decimalform och därav kategoriseras eleven inte i någon av de tre kategorier av missuppfattningar, det vill säga heltalsregeln, bråkregeln eller nollregeln. Detta kan dock vara problematiskt då kategorisering i

(11)

6

expertgruppen inte visar på om eleverna har en djupare förståelse för tal i decimalform, utan enbart att de fått alla rätt i testet. Flera forskare anser att det inte går att dra slutsatsen att elever är experter genom ett sådant test och att det inte uteslutas att det finns risk att eleverna kan ha lärt sig en mekanisk inlärning om olika metoder och algoritmer när hen jämför ta i decimalform (Ding et al., 2014; Mun & Murray, 2014).

2.4.2 Heltalsregeln (regel 1)

En förekommande missuppfattning bland elever är kategorin heltalsregeln. Den innefattar ett heltalstänkande, vilket innebär att elever använder sina tidigare kunskaper om taluppfattning av heltal. När elever kommer i kontakt med tal i decimalform kan de använda sig av övergeneralisering och behandla talets decimaler som heltal. De elever som kategoriseras till denna missuppfattning anser att talet med flest decimaler är det största talet och ser decimaldelen som ett eget heltal (Moloney & Stacey, 1997; Resnick et al., 1989; Sackur-Grisvard & Léonard, 1985).

Elever använder sig av sina tidigare kunskaper om heltal när de behandlar tal i decimalform. Det finns flera likheter mellan tal i decimalform och heltal. De är bland annat båda uppbyggda av det decimala talsystemet med basen tio. Tal i decimalform och heltal är även uppbyggda genom att en siffras värde minskar åt vänster och ökar åt höger (Resnick et al., 1989). De elever som kategoriseras till heltalsregeln förbiser decimaltecknet och läser av talet som ett heltal. (Resnick et al., 1989; Sackur-Grisward & Léonard, 1985). Ett exempel när en elev kategorisera till heltalsregeln är när eleven ignorerar decimaltecknet och anser att 4,63 är större än 4,8 (Moloney &

Stacey, 1997). Eleven jämför talen som två heltal och ser talen som 463 och 48. Desto fler decimaler ett tal har desto högre värde kommer det ha. I litteraturen benämns heltalsregeln som längre-är-större (Pered & Shahbari, 2003). Vilket innebär att talet anses ha större värde desto fler decimaler det har.

2.4.3 Bråkregeln (regel 2)

En annan förekommande kategori för missuppfattning hos elever är bråkregeln. Missuppfattningen grundar sig i elevers förståelse för decimalers platsvärde. En elev som kategoriseras till bråkregeln anser att det största talet är det tal med minst antal decimaler. Detta på grund av att decimaler är

(12)

7

delar av en helhet och decimalerna närmast decimaltecknet är de största delarna. Denna missuppfattning uppstår på grund av elevers ofullständiga förståelse för kunskapskopplingen mellan tal i bråkform och tal i decimalform (Moloney & Stacey, 1997; Resnick et al., 1989; Sackur- Grisvard & Léonard, 1985). En elev som kategoriseras till bråkregeln uppmärksammar talets decimaltecken, till skillnad från en elev som kategoriseras till heltalsregeln. Eleven har även förståelse för positionsvärdena för ett tal i decimalform (Moloney & Stacey, 1997; Resnick et al., 1989; Sackur-Grisvard & Léonard, 1985). Bråkregeln anses vara heltalsregelns motsats. Detta på grund av att en elev som använder sig bråkregeln uppfattar att det största talet är det tal med minst antal decimaler (Ding et al., 2014; Mun & Murray, 2014; Resnick et al., 1989; Sackur-Grisward &

Léonard, 1985). I litteraturen benämns bråkregeln som kortare-är-större (Pered & Shahbari, 2003).

Ett exempel när en elev kategoriseras till bråkregeln är när hen anser att 4,45 är större än 4,4502 (Moloney & Stacey, 1997). 4,45 har färre decimaler och därför anser eleven att det är det största talet av de två.

En elev som kategoriseras till bråkregeln kan anses vara något positivt ur flera perspektiv. Det kan innefatta att eleven har en förståelse som utvecklas mot rätt håll. Eleven har djupare förståelse än en elev som använder sig av heltalsregeln. Hen har uppfattat att ett tal i decimalform inte är likadant som ett heltal. En elev som kategoriseras till bråkregeln har större förutsättningar att utveckla sin förståelse än vad exempelvis en med heltalsregeln har. Detta på grund av att eleven bland annat har förstått innebörden med decimaltecknet (Ren & Gunderson, 2019).

2.4.4 Nollregeln (regel 3)

En annan förekommande kategori för missuppfattning bland elever är nollregeln. Denna missuppfattning har ett samband med heltalsregeln då båda handlar om ett heltalstänkande.

Däremot innefattar nollregeln även att eleven har gjort en slutsats där hen anser att talet är litet om det finns en nolla direkt på högra sidan av decimaltecknet. Om talet däremot inte har en nolla på decimaltecknets högra sida, kommer eleven att följa tankemönstret för heltalsregeln (Moloney &

Stacey, 1997; Resnick et al., 1989; Sackur-Grisvard & Léonard, 1985). Ett exempel när en elev agerar utefter nollregeln är när hen anser att 4,7 är större än 4,08, eftersom talet 4,08 har en nolla direkt på höger sida av decimaltecknet. Eleven ger förmodligen ett korrekt svar trots heltalstänkandet (Moloney & Stacey, 1997).

(13)

8

Nollregeln är den kategori som är mest avancerad av de tre kategorier av missuppfattningar. Detta för att eleven behöver ha förståelse för både heltalens och bråktalens uppbyggnad (Sackur- Grisward & Léonard, 1985). Elever behöver även förstå att nollan har olika värden beroende på vilken plats den har i talet. Nollan fyller exempelvis ingen funktion när den är placerad framför talets första position i ett heltal eller om den placeras längst åt höger av decimaltecknet. Om nollan däremot är placerad mellan exempelvis två siffror, då är det viktigt att ha förståelse för siffrornas olika positionsvärden (Resnick et al., 1989).

När en elev exempelvis ska storleksordna tre tal i decimalform, kommer hen först att använda sig av nollregeln och uppmärksamma om det finns något tal med en nolla direkt på decimaltecknets högra sida, vilket den då kommer att anse är det minsta talet. Sedan kommer eleven att använda sig av heltalsregeln när den jämför resterande tal (Roche & Clarke, 2004). Enligt Sackur-Grisward och Léonard (1985) anses nollregeln vara en kombination av bråkregeln och heltalsregel.

2.5 Procedurstöd (hjälpmedel)

Somliga elever använder sig av hjälpmedel när de utför uppgifter där de ska jämföra tal i decimalform. Detta för att de enbart har en funktionell uppfattning när de utför jämförelse av tal i decimalform. Av denna anledning behöver elever använda sig av någon form av hjälpmedel för att kompensera för sin bristande begreppsförståelse (Roche & Clarke, 2004; Hiebert & Wearne, 1985).

I denna studie har dessa hjälpmedel valts att benämnas för procedurstöd. Detta för det anses vara ett stöd under proceduren vid jämförande av tal i decimalform. Procedurstöd brukar mestadels resultera i ett korrekt svar och kan därav vara svårt att få syn på (Roche & Clarke, 2004; Hiebert &

Wearne, 1985). Däremot visar även forskning att de elever som använder sig av procedurstöd behärskar inte någon djupare förståelse för tal i decimalform när de utför mer avancerade uppgifter där de ska jämföra storlek av tal i decimalform.

Forskarna Roche och Clarke (2004) har tidigare utfört jämförelsetester där elevernas förståelse för tal i decimalform undersöktes. Eleverna blev intervjuade angående deras tillvägagångssätt när de jämförde tal i decimalform. Studiens resultat visade att det förekom elever som använde sig av stöd när de utförde testet. De stöd som återfanns var whole number judgement. Det innebar att eleverna skrev till nollor så att talen som de jämförde skulle få lika många decimaler. Eleverna kunde då

(14)

9

jämföra talen som heltal och gjorde jämförelsen enklare för dem. När en elev exempelvis jämförde talen 2,73 och 2,7 skrev eleven dit en nolla så att båda talen får lika många decimaler. Eleven jämförde då talen 2,73 och 2,70 och kunde lättare avgöra vilket val som var störst. Vidare visade Roche och Clarkes (2004) studie att det även förekom elever som använde sig av stödet place value judgement. Det stödet innebar att eleverna använde sig av positionssystemet. Eleverna jämförde platsvärdet i talens siffror, från vänster till höger. I denna studie kommer whole number judgement att benämnas som användning av nollor och place value judgement som jämföra siffrornas platsvärde.

2.6 Studiens teoretiska ramverk

Studiens teoretiska ramverk är uppbyggd av tidigare genomförda studier där forskare har undersökt elevers förståelse när de jämför tal i decimalform. Sackur-Grisvard och Léonard (1985) utförde en undersökning där det deltog 521 elever mellan åldrarna 9-14 som genomförde skriftliga uppgifter med att jämföra tal i decimalform. Elevernas olika svar och uppfattningar kategoriserades i kategorierna bråkregeln (fraction rule), nollregeln (zero rule) samt heltalsregeln (wholenumber rule). Forskarna använde de tre olika kategorierna för missuppfattningarna för att framhäva elevernas olika tankesätt och uppfattningar vid jämförelse av tal i decimalform. Kategorierna bidrog till en djupare förståelse för elevernas förståelse i området. Sackur-Grisvard och Léonards (1985) kategorier används som ett teoretiskt ramverk för denna studie med syfte att undersöka vilka av kategorierna eleverna kategoriseras i när de jämför tal i decimalform. Detta ramverk har även använts i andra studier. Det har bland annat använts i en studie av Resnick et al. (1989) där elever från USA och Israel blev undersökta och kategoriserade i de olika kategorierna för missuppfattningarna. Expertkategorin tillkom för de elever som utförde hela testet korrekt, vilket även används i denna studie.

I Sackur-Grisvard och Léonards (1985) studie benämns elevernas utveckling i fyra olika steg, steg 0, 1, 2 och 3. I denna studie kommer stegen att benämnas som kategorier av de tre olika missuppfattningarna, det vill säga heltalsregeln, bråkregeln och nollregeln. Kategori 0 kommer inte att användas i denna studie. Eleverna använder sina tidigare kunskaper från matematiken i de olika kategorierna. Kategori 1 är den kategorin som är minst avancerad. Eleverna använder sina tidigare kunskaper om heltal. Denna kategori benämns som heltalsregeln i denna studie. I kategori 2

(15)

10

använder eleverna sina tidigare kunskaper från tal i bråkform. Kategori 2 benämns som bråkregeln.

Det steg som är mest avancerad är steg 3 och benämns som nollregeln i studien. I kategori 3 använder elever sina kunskaper om tal i bråkform och heltal men även sina svaga kunskaper för nollans betydelse i tal i decimalform.

(16)

11

3. Syfte och frågeställning

Syftet med denna studie är att bidra med insikter om missuppfattningar inom tal i decimalform som kan förekomma hos elever i årskurs 6. Detta syfte ämnas att besvaras med hjälp av följande frågeställningar:

- I vilken utsträckning förekommer de systematiska missuppfattningarna hos eleverna?

- Förekommer det procedurstöd hos eleverna, i så fall vilka?

(17)

12

4. Metod

Denna studie har både kvalitativa och kvantitativa drag. Den kvantitativa metoden har använts i form av ett test och på så sätt har numerisk data samlats in (Bryman, 2018). Därefter har kvalitativ metod använts för att analysera och kategorisera elevernas olika missuppfattningar från testet.

4.1 Datainsamlingsmetod.

Bryman (2018) skriver att den kvantitativa metoden innefattar ett deduktivt synsätt och förmedlar förhållandet mellan en studies teori och praktik. Forskare som har ett deduktivt synsätt besitter en uppfattning kring det aktuella forskningsområdet och utifrån det utformar forskaren hypoteser. I denna studie har uppfattningen, om att det förekommer missuppfattningar bland elever när de jämför tal i decimalform, uppkommit genom kunskap från tidigare litteraturstudie (Bosnjak &

Sandin, 2020) där arbetet har handlat om forskare som har undersökt när elever jämför tal i decimalform. Hypotesen har även utformats utefter kunskap från verksamhetsförlagda studier samt vikariat. Med utgångspunkt i hypoteser påbörjas insamling av material för att fastställa ett resultat.

Den ursprungliga teorin revideras efter att resultatet har bearbetats och analyserats (Bryman, 2018).

De kvalitativa dragen framkommer genom att elevernas testresultat analyseras och kategoriseras i studiens olika kategorier. En användning av enbart kvantitativ metod hade inte besvarat studiens frågeställningar, vilka är:

 I vilken utsträckning förekommer de systematiska missuppfattningarna hos eleverna?

 Förekommer det procedurstöd hos eleverna, i så fall vilka?

Med hjälp av kvantitativ metod har studiens data insamlats. Den vanligaste metoden för datainsamling med utgångspunkt i den kvantitativa metoden är någon form av enkät. I denna studie användes ett skriftligt test. Kvantitativ metod används vid insamling av numerisk data (Bryman, 2018) och av den anledningen lämpar sig kvantitativ metod för denna studie. I denna studie innefattar numerisk data antal rätt och fel som förekom i resultatet. Vidare har elevernas testresultat analyserats för att få svar på hur stor andel missuppfattningarna förekommer bland elever i årskurs 6. Denna metod bidrar till att forskaren kan spara tid, jämfört med strukturerade intervjuer (Bryman, 2018). I denna studie har ett test utformats inom matematikämnet med fokus på enkla uppgifter som behandlar jämförelse mellan tal i decimalform. Testet är uppbyggt i tre delar, en del för respektive kategori av missuppfattning (bilaga 1), det vill säga heltalsregeln, bråkregeln och nollregeln. Varje del innehåller sju stycken deluppgifter. Valet av antal uppgifter har valts med

(18)

13

hänsyn till att minska risken att elever upplever det är för många uppgifter och därav slarvar och skyndar sig igenom testet. Utförandet av testet var beräknat att ta ungefär 5-10 minuter, dock fanns det ingen tidsbegränsning. Testet var utformat utefter Moloney och Staceys (1997) test. I föreliggande studie har det utförts en modifiering på testet där talen har bytts ut, layouten har ändrats samt har några uppgifter ändrats. Detta gjordes med anledning av att anpassa testet för studiens deltagare. Ett exempel på modifiering av layouten är att några uppgifter har bytts ut till att eleverna ska använda sig av >, < och =. I tidigare forskares studier har testet enbart haft uppgifter där elever ska ringa in det tal som är störst. Denna modifiering har gjorts på grund av att skapa en variation i testets uppgifter och minska risken till att elever upplever att testet är tråkigt. Däremot har Moloney och Staceys (1997) koncept behållits, där elever ska jämföra tal i decimalform och välja vilket tal som är störst. Jag anser att forskarnas koncept är att föredra då det är enkla rutinuppgifter med fokus på jämförelse av tal i decimalform, vilket berör studiens syfte.

Textuppgifter har uteslutits på grund av att elevers läsförmåga inte är fokus i detta arbete.

Räkneuppgifter, där eleverna behöver använda sig av ett räknesätt, har även uteslutits av samma anledning.

4.2 Urval och genomförande

Deltagarna för denna undersökning valdes utifrån relevans i relation till undersökningens frågeställningar och syfte. Det är relevant att utföra undersökningen på elever då syftet med studien är att undersöka och belysa förekommande missuppfattningar hos elever i årskurs 6. Anledningen till att undersökningen utförs på elever i årskurs 6 är för att det finns risk att årskurs 4 och 5 inte behandlat tal i decimalform tillräckligt och av den anledningen kan testresultatet bli missvisande.

För att få delta i studien utformades två kriterier:

 att klassen ska ha blivit introducerade till området med tal i decimalform senast i årskurs 5

 planerad matematikundervisning om tal i decimalform ska inte ha utförts under den gångna vårterminen

De två kriterierna har diskuterats med de deltagande lärarna. Det första kriteriet valdes utifrån tidigare erfarenheter där klasser inte arbetat med tal i decimalform, i varken årskurs 4 eller 5 eller att de inte har berörts i så stor utsträckning i undervisningen. Det hade resulterat i ett missvisande

(19)

14

resultat, då sannolikheten hade varit att eleverna inte förstår tal i decimalform. Vilket innebär att resultatet inte hade uppvisat vilka missuppfattningar som förekommer bland eleverna. Resultatet skulle med största sannolikhet visat på flera fel svar bland eleverna, vilket då skulle indikerar i att de inte har fått undervisning om tal i decimalform och därav uppkommer många fel svar. Det hade varit svårt att avgöra om felen uppstår på grund av missuppfattningar eller på grund av att eleverna inte fått någon undervisning om tal i decimalform. Kriterium två valdes med samma anledning som kriterium ett. Det hade bidragit till ett missvisande resultat då eleverna har färska kunskaper kring tal i decimalform. Det innebär att det finns risk att eleverna svarar rätt i testet på grund av att de enbart minns vad de har arbetat med under matematiklektionerna och har inte någon djupare förståelse.

Klasserna som ingick i studien blev utvalda genom ett bekvämlighetsurval utifrån tidigare kontakter från verksamhetsförlagd utbildning och vikariat. Detta innefattar att forskaren genomför urvalet genom att välja deltagare som finns tillgängliga för den (Bryman, 2018). Det var sammanlagt 51 styck elever från tre stycken årkurs 6 klasser som deltog i studien. Det skulle deltagit fler elever men deltagandeantalet påverkades av frånvaro i form av sjukdomar och giltig ledighet. Det är svårt att avgöra urvalsstorleken för en studie då det kan bero på flera faktorer, exempelvis tidsåtgång. En studie med fler deltagare garanterar inte en hög grad av precision (Bryman, 2018). Genom att ha begränsat antal deltagande har materialet kunnat analyseras noggrant, då tiden har räckt till.

Studiens process började inledningsvis med att jag tog kontakt med rektorer och lärare på de aktuella skolorna, om de ville delta i studie. Två stycken rektorer kontaktades. Anledningen till att rektorer kontaktades istället för lärare var på grund av att det inte gick att finna kontaktuppgifter till de två lärarna. De två kontaktade rektorerna svarade med samtycke till studien och vidarebefordrade sedan informationen till de aktuella lärarna. Utöver de två kontaktade rektorerna, kontaktades även två lärare där en tackade ja till att vara med i studien och en tackade nej på grund av tidsbrist. Kontakten skedde antigen genom klassläraren för den aktuella klassen eller genom skolans rektor som sedan förde vidare informationen till den aktuella läraren och klassen. Vid visat intresse från de kontaktade lärarna förmedlades sedan mer djupgående information om studien samt eventuella datum studien kunde utföras på. Lärarna fick en samtyckesblankett (bilaga 2) av mig med information om vem jag är, studiens syfte samt hur genomförandet kommer att gå till. Läraren

(20)

15

vidarebefordrade samtyckesblanketten till elevernas vårdnadshavare om samtycke till deltagande.

Därefter skickades det färdig konstruerade testet till de aktuella lärarna som sedan utförde det med sina elever. Orsaken till varför jag själv inte var medverkande i klassrummet när eleverna utförde testet var på grund av den rådande pandemin. I detta fall påverkade det inte studien då syftet med studien är att analysera elevernas svar på testet. Lärarna blev tillfrågade om eleverna tidigare har arbetat med >, < och =, då dessa tecken förekommer i studiens test. Samtliga lärare svarade ja på frågan. Däremot blev de informerade om att de skulle gå igenom innebörden med >, < och = innan eleverna påbörjade testet. Detta för att minska missförstånd bland eleverna. Lärarna blev även informerade om att de inte fick hjälpa eleverna under testets gång, då det skulle ge ett missvisande resultat.

4.3 Databearbetning och analys

En kategoriseringstabell (tabell 1) skapades inför processen av databearbetning och analys. Den visar elevers olika tankemönster för de olika kategorierna. Tabellen visar hur en elev skulle svarat i testets olika uppgifter beroende på om hen kategoriseras i antigen heltalsregeln, bråkregeln, nollregeln eller som expert. Tabellen användes som ett hjälpmedel för att identifiera vilken kategori ett elevresultat ska kategoriseras i. Detta bidrog även till att uppgifterna rättades jämlikt. Liknande konstruktion av tabellen används även i Moloney och Staceys (1997) studie. I deras studie använde de sig av X och för att visa rätt och fel svar i de olika tankemönstren. I föreliggande studie har jag valt att skriva ut det svar som en elev väljer för de olika kategorierna samt markera med röd färg för fel svar och grön färg för rätt svar. Denna modifiering gjordes i syfte att göra tabellen ännu tydligare inför och under rättningen och analysprocessen. Tabellen visar de specifika uppgifterna för de tre kategorierna för missuppfattningarna, vilket är 1. Specifika heltalsregel-uppgifter, 2.

Specifika bråkregel- uppgifter och till sist 3. Specifika nollregel-uppgifter. Vidare är de specifika uppgifterna uppdelade i sju stycken deluppgifter. Uppgift 1-7 för heltalsregeln, 8-14 bråkregeln och 15-21 nollregeln. De riktlinjer som har använts vid analyseringen av procedurstöd utformades utefter förekommande procedurstöd som tidigare forskare har upptäckt. Det vill säga att jag letade i elevernas testresultat om de använt sig av de procedurstöden som forskare har upptäckt i sina studier.

(21)

16

Vidare i processen utfördes analys av det insamlade materialet. Inför analyseringen skapades riktlinjer som hjälpmedel för att kategorisera elevernas testresultat. Dessa riktlinjer har även varit samma i tidigare forskares studier, exempelvis i Moloney och Staceys (1997) studie. Följande riktlinjer har använts i denna studie för att kategoriseras i de olika kategorierna för missuppfattningarna:

 Heltalsregeln

För att en elev ska kategoriseras till heltalsregeln ska hen minst följa tankemönstret för heltalsregeln i fem av sju uppgifter i del 1 som innehåller specifika uppgifter för heltalsregeln. Eleven ska även följa tankemönstret i fem av sju uppgifter i del 2 (2. Specifika bråkregel-uppgifter) samt fem av sju uppgifter del 3 (3. Specifika nollregel-uppgifter).

 Bråkregeln

För att en elev ska kategoriseras i bråkregeln ska hen minst följa tankemönstret för fem av sju uppgifter i del 2, vilket är specifika uppgifter för bråkregeln. Eleven ska även följa tankemönstret i fem av sju uppgifter i del 1 (1. Specifika heltalsregel-uppgifter) samt fem av sju uppgifter i del 3 (3. Specifika nollregel-uppgifter).

 Nollregeln

För att en elev ska kategoriseras i nollregeln ska hen följa tankemönstret för nollregeln i minst fem av sju uppgifter i del 3, där uppgifterna är specifika för nollregeln. Eleven ska även följa tankemönstret för minst fem av sju uppgifter i del 1 (1 Specifika heltalsregel- uppgifter) samt fem av sju uppgifter i del 2 (2. Specifika bråkregel-uppgifter

 Expertkategorin

För att eleven ska kategoriseras i expertkategorin ska hen antigen ha alla rätt på uppgifterna i testet eller minst ha sex av sju rätt i alla tre delarna för de specifika uppgifterna.

 Oklassificerad kategor

De elever vars testresultat inte tyder på en tydlig systematisk missuppfattning, kategoriseras i den oklassificerade kategorin. Denna kategori tyder på att eleverna har missuppfattningar när de jämför tal i decimalform. Deras testresultat visar däremot inget tydligt tankemönster för att kunna kategoriseras i någon av de tre kategorierna för systematisk missuppfattning.

(22)

17

Tabell 1: [Färg]. Visar kategorisering av testets uppgifter för de olika kategorierna.

(23)

18

4.4 Tillförlitlighet

Forskning om elevers förståelse för tal i decimalform har utförts av flera forskare under flera år tillbaka. Det har bland annat utförts av Sackur-Grisvard och Léonard (1985), Resnick, Nesher, Léonard, Magone, Omanson och Peled (1989) samt Moloney och Stacey (1997). Upplägget av det test som används i denna studie är en konstruktion av Moloney och Staceys (1997) test som de använder sig av i sin forskning. Deras test har även använts i andra studier och bidragit till att kunna kartlägga de tre missuppfattningarna bland elever i olika åldrar, detta explicerar på en hög reliabilitet. Det är en förutsättning att använda sig av material som är reliabilitet för att få ett resultat av god validitet (Eliasson, 2013).

4.5 Forskningsetiska aspekter

Vid utförande av forskning finns det flera forskningsetiska aspekter en forskare bör följa. För att studien ska anses vara forskningsetisk har Vetenskapsrådets (2017) forskningsetiska principer använts. De etiska principerna som följs i studien är följande:

 Samtyckeskravet innefattar att studiens deltagande måste ge samtycke för att delta i studien.

De deltagarna som är under 18 år behöver vårdnadshavarens samtycke. Av den anledningen har det tilldelats en samtyckesblankett till elevernas vårdnadshavare där det även står information om att eleven kan avbryta sin medverkan under processens gång. I samtyckesblanketten stod det information om vem jag är, vad jag studerar till, studiens syfte, vad elevernas testresultat skulle användas till samt att det är frivilligt att delta i studien. Samtyckesblanketten tilldelades föräldrarna genom elevernas lärare. Lärarna signerade blanketten med att om de accepterar att sitt barn får medverka i studien eller inte.

Det förekom ett bortfall då en vårdnadshavare inte ville att deras barn skulle delta i studien, detta på grund av personligaskäl. Jag fick sedan tillbaka elevernas blanketter och studien utfördes därefter på de elever vars vårdnadshavare har accepterat att deras barn deltar.

 Informationskravet innebär att studiens forskar måste informera deltagarna om studiens tillvägagångssätt. Detta innefattar bland annat information om studiens syfte, genomförande samt hur materialet kommer att användas och förvaras. Denna information har även framkommit i samtyckesblanketten.

(24)

19

 Nyttjandekravet innebär bland annat att det insamlade materialet enbart får användas i studiens syfte. Även detta framkom i samtyckesblanketten. Materialet kommer att förstöras när studien är genomförd och godkänd.

 Konfidentialitetskravet innefattar att studiens deltagare förblir anonyma. Inför testet blev eleverna informerade av läraren att de inte skulle skriva sitt namn på testet. På så sätt gick det inte att identifiera någon elev och koppla en elev med ett testresultat. Testerna kommer att förstöras när studien är avslutad och godkänd.

(25)

20

5. Resultat

Följande avsnitt behandlar det insamlade data samt besvarar studiens frågeställningar.

5.1 Testresultat

I studie deltog det sammanlagt 51 stycken elever från tre olika klasser i årskurs 6. Testresultatet har inte kategoriserats utefter exempelvis kön och etnicitet, utan enbart utefter antal rätt i respektive kategori, det vill säga heltalsregeln, bråkregeln och nollregeln samt antal elever som kategoriserats i respektive kategori. Detta för att syftet med studien är att få en överblick över elevers missuppfattningar när de jämför tal i decimalform. Testet var uppdelat i tre delar, en del för respektive systematisk missuppfattning. De tre delarna var sedan uppdelade i sju deluppgifter med ett maxpoäng på sju poäng i respektive del. Tabellen nedan (tabell 2) visar resultatet från de specifika uppgifterna för respektive kategori. Det vill säga uppgift 1-7 för heltalsregeln, 8-14 för bråkregeln och 15-21 för nollregeln. Tabellen visar antal rätt, antal fel och en procentsats för respektive del, det vill säga de specifika deluppgifterna för respektive kategori. Däremot visar inte tabellen antal elever som har kategoriserats i de olika kategorierna. I hela studien förekom det 384 fel av möjliga 1377 rätt. Detta resultat indikerar att det förekommer missuppfattningar hos de deltagande eleverna i årskurs 6 när de utför uppgifter där de ska jämföra tal i decimalform.

Tabell 2: Testresultat.

Kategori Antal rätt av 459

Antal rätt (%) Antal fel av 459

Antal fel (%)

Heltalsregeln 337 73,4 % 122 26,6 %

Bråkregeln 325 70,8 % 134 29,2 %

Nollregeln 331 72,1 % 128 27,9 %

5.2 I vilken utsträckning förekommer respektive kategori bland eleverna?

Testresultatet har även kategoriserats i antal elever som har kategoriserats i de olika kategorierna.

Tabellen nedan (tabell 3) visar resultatet för antal elever som kategoriserats för de olika kategorierna. Resultatet visar att den dominerande kategorin, av heltalsregeln, bråkregeln och nollregeln, är heltalsregeln med 29,4% av eleverna, därefter är det bråkregeln 17,6%. Ingen elev följde tankemönstret tillräckligt för att kunna kategoriseras till nollregeln och därför visar tabellen

(26)

21

(tabell 2) 0% för nollregeln. Utöver dessa tre kategorier så användes även expert-, och oklassificerad kategori. Av de alla fem kategorierna är det expertkategorin som har störst antal elever som har kategoriserats. Av 51 stycken elever var det 15 stycken som hade alla rätt på testresultatet, vilket är en procentsats på 29,4%. Dessa elever kategoriserades i kategorin expert.

Utöver de 15 stycken elever som kategoriserades till expertkategorin så var det även tre till elever som kategoriserades till expertkategorin. De tre eleverna, det vill säga 5,9%, kategoriserades till expertkategorin genom att ha ett testresultat som visade minst sex av sju rätt i varje del i testet.

Sammanlagt var det 18 elever som kategoriserades i expertkategorin. Därav blev procentsatsen 35,3% för expertkategorin. Utöver de elever som kategoriserades i expertgruppen, var det inga elever som kategoriserades i nollregeln. Nio stycken elever kategoriserades i bråkregeln och 15 stycken elever i heltalsregeln. Vidare var det nio stycken elever som inte uppvisade en systematisk missuppfattning och av den anledningen kategoriserades de elever i den oklassificerade kategorin.

Tabell 3: Kategorisering av elevernas testresultat.

Kategori Antal elever (st) Antal elever (%)

Expert 18 35,3%

Heltalsregeln 15 29,4%

Bråkregeln 9 17,6%

Nollregeln 0 0 %

Oklassificerade 9 17,6%

Summa 51 100%

5.2.1 Heltalsregeln

15 stycken elever kategoriserades till heltalsregeln. De specifika uppgifterna för denna kategori var del 1, uppgifterna 1-7. Eleverna har ett heltalstänk och det mönster eleverna följer i testet är att de anser att talet med flest decimaler är det tal som är störst. Denna kategori var dominerande bland eleverna. Nedan följer elevexempel (figur 3, 4 och 5) från elever som har kategoriserats i

(27)

22

heltalsregeln. I uppgift 1 (figur 3) ska eleven välja det största talet och använda tecken >, < och =.

I den första punkten i elevexemplet (figur 3) har eleven utfört en jämförelse mellan talen 30,7 och 30,70 och antagit att det största talet är 30,70. Vidare i uppgift 1 i punkt två har eleven valt att 7,05 är större än 7,5 och i punkt tre att 23,42 är större än 23,6. Dessa förekommande felsvar visar på ett heltalstänk. Detta eftersom eleven antigen har valt talet med flest siffror, exempelvis i jämförelsen mellan 7,5 och 7,05. Talet 7,05 har tre siffror och är därför det största talet i jämförelse med talet 7,5 som enbart har två siffror. Alternativt har eleven jämfört talen som heltal, exempelvis heltalen 75 och 705. En elev som kategoriseras i heltalsregeln förbiser talets decimaltecken. Där av anser eleven att 3,70 är störst med anledning av att 70 är större än 7.

Figur 3: Elevexempel för heltalsregeln.

Vidare i elevexemplet under (figur 4) ska eleverna ringa in det tal som är störst. Denna elev har svarat rätt på den första punkten i uppgiften och fel i punkt två och tre. Majoriteten av punkterna i uppgift två är fel, det vill säga 66,66%, och visar i huvudsakligen på ett heltalstänk. Den elev som tillhör elevexemplet (figur 4) har vidare visat på ett heltalstänk i studiens test och har därför kategoriserats till heltalsregeln.

Figur 4: Elevexempel för heltalsregeln.

(28)

23

Ytterligare ett elevexempel för heltalstänk är uppgift 3 (figur 5). I uppgiften ska eleverna storleksordna de tre talen 2,40, 2,3 och 2,40. I elevexemplet (figur 5) har eleven storleksordnat talen från det minsta till det största och svarat 2,3, 2,03 och 2,40. Elevens svar tyder på ett heltalstänk med anledning till att talen är storleksordnade som heltal det vill säga 23, 203 och 240.

Figur 5: Elevexempel för heltalsregeln.

5.2.2 Bråkregeln

Nio stycken elever kategoriserades till bråkregeln. Det mönster eleverna följer är att de har minst sju rätt i del 1 och 3 samt max två rätt i del 2. De specifika uppgifterna för bråkregeln i elevtestet är uppgifterna 4-6. Eleverna som kategoriserades till denna kategori har ett tankesätt där de anser att det talet med minst antal decimaler är det största talet. Nedan följer elevexempel (figur 6, 7 och 8) med förekommande fel från elevtestet från flera elever som kategoriserats till bråkregeln.

Liknande som i uppgift 1 (figur 3) ska eleverna i uppgift 4 (figur 6) besvara uppgifterna med hjälp av tecken >, < och = och välja det tal som är störst. I elevexemplet (figur 6), i den första punkten, har eleven antagit att det största talet mellan talen 1,45 och 1,2578 är talet 1,45, vilket är korrekt.

Detta svar indikerar på eleven anser att det tal som har minst decimaler är det talet som är störst. I jämförelsen mellan talen 1,45 och 1,2578 har eleven valt att talet 1,45 är det största talet då det har färre antal siffror i sig än talet 1,2578.

Figur 6: Elevexempel för bråkregeln.

(29)

24

I uppgift 5 (figur 7) skulle eleverna, på liknande sätt som i uppgift 2 (figur 4), ringa in det tal de anser är störst. I elevexemplet (figur 7) pekar svaren på ett tankesätt som tillhör bråkregeln. Eleven har svarat fel på samtliga punkter i uppgift 5 och antagit att det största talet är det tal med minst antal decimaler. Eleven har exempelvis ringat in talet 3,34 som det största talet i jämförelse med talet 3,3405.

Figur 7: Elevexempel för bråkregeln.

Elevexemplet under (figur 8) visar ytterligare på en elevs testresultat som har kategoriserats till bråkregeln. På liknande sätt som i uppgift 3 så skulle eleverna i uppgift 6 storleksordna de tre talen från det minsta talet till det största. Denna elev har besvarat uppgiften genom att ha antagit att det minsta talet är 4,7346, mellersta talet är 4,73 och det största talet är 4,7. Detta svar är fel och tyder på ett tankemönster som tillhör bråkregeln.

Figur 8: Elevexempel för bråkregeln.

5.2.3 Nollregeln

I kategorin nollregeln återfanns inga elever som kategoriserades i nollregeln. Det fann ingen elev som följde ett tydligt tankemönster för nollregeln. De specifika uppgifterna för nollregeln var i del

(30)

25

3 och innefattade uppgifterna 7-9. I de specifika uppgifterna för nollregeln förekom det flertal fel i elevers testresultat, däremot var det inget testresultat som indikerade på nollregeln och av den anledningen kategoriserades inga elever till denna kategori.

5.2.4 Expert

35,3 % av eleverna kategoriserade i expertkategorin. Det var 15 elever vars testresultat visade 27 rätt av möjliga 27. Utöver dessa 15 elever var det även tre elever som hade max tre fel i respektive del. Sammanlagt var det 18 elever vars testresultat kategoriserades i expertkategorin. Nedan följer tre uppgifter (figur 9, 10 och 11) från en elevs testresultat som har kategoriserats till expertgruppen.

Uppgift 3 (figur 9) är en av de tre uppgifterna som var specifika för heltalsregeln.

Figur 9: Elevexempel för expertkategorin.

Uppgift 6 (figur 10) är en av de tre uppgifterna som var specifika för bråkregeln.

Figur 10: Elevexempel för expertkategorin.

Uppgift 9 (figur 11) är en av de tre uppgifterna som var specifika för nollregeln. Samtliga tre uppgifter handlade om att eleverna skulle storleksordna de tre talen, från det minsta till det största.

Eleven har besvarat samtliga tre uppgifter korrekt. Vidare har samma elev besvarat resterande uppgifter i testet på ett korrekt sätt. Eleven uppvisar inga systematiska eller osystematiska missuppfattningar i studiens test och av den anledningen kategoriseras eleven i expertkategorin.

(31)

26

Figur 11: Elevexempel för expertkategorin.

5.2.5 Oklassificerad

17,6% av eleverna kategoriserades i den oklassificerade kategorin. De eleverna visade inget tydligt systematiskt tankemönster för en specifik kategori. Däremot uppvisade eleverna missuppfattningar i testet och hade flera fel svar i de olika delarna i testet. Av den anledningen kunde eleverna inte heller klassificeras i expertkategorin, då de inte uppvisade tillräckligt många rätt svar för att kategoriseras i expertkategorin.

5.3 Procedurstöd

Testresultatet visade att flera elever har använt sig av procedurstöd när de utfört denna studies test.

Det var nio stycken elevresultat som visade att procedurstöd har använts. De procedurstöd som har återfunnits i testet var framförallt användning av nollor som ett hjälpmedel. Det förekom även procedurstödet där elever har jämfört siffrornas platsvärde. Majoriteten av de elever som använt sig av procedurstöd har kategoriserats i expertgruppen. Detta kan tyda på att eleverna inte har en begreppslig förståelse och därav behöver använda sig av ett procedurstöd. Upptäckten av procedurstöd i elevernas testresultat har skett genom att det syns att eleverna antigen har skrivit dit siffror eller gjort markeringar.

5.3.1 Användning av nollor

Bilderna nedan (figur 13, 14, 15, 16) visar elevexempel från tre olika elever. Eleverna har valt att skriva dit nollor för att underlätta jämförelsen för dem. Antal nollor har valts utefter talet som det ska jämföras med och det bidrar till ett heltalstänkande. Genom att skriva ut nollor och skapa två

(32)

27

tal med lika många siffror i sig, så blir det lättare för eleverna att jämföra talen. Nedan visar ett elevexempel (figur 16) där en elev har skrivit nollor och sedan suddat bort dem.

Figur 12: Elevexempel för användning av nollor som ett procedurstöd.

Figur 13: Elevexempel för användning av nollor som ett procedurstöd.

Figur 14: Elevexempel för användning av nollor som ett procedurstöd.

(33)

28

Figur 15: Elevexempel för användning av nollor so ett procedurstöd.

5.3.2 Jämföra siffrornas platsvärde

De två elevexemplen nedan visar på exempel från två elever som gjort små markeringar under siffrorna i uppgifterna. Markeringarna finns exempelvis i uppgift 1 under 30,70. Detta procedurstöd är inte lika självklart att se som det är med de tillskrivna nollorna. Genom att analysera markeringarna under siffrorna går det att dra slutsatsen att eleverna, med största sannolikhet, har jämfört siffrornas olika positioner och platsvärden. Det indikerar på att eleverna har lagt pennans spets under siffrornas olika positioner för att kunna jämföra deras platsvärden. Markeringarna under siffrorna är väldigt små och diskreta och kan därav vara svåra att upptäcka.

Figur 16: Elevexempel för användning av att jämföra siffrornas platsvärde som ett procedurstöd.

Figur 17: Elevexempel för användning av att jämföra siffrornas platsvärde som ett procedurstöd.

(34)

29

6. Diskussion

Följande kapitel diskuterar studiens metodval under metoddiskussion (6.1), resultat under resultatdiskussion (6.2), jämförelse mellan studier (6.3), procedurstöd (6.4), studiens relevans för yrkesverksamheten (6.5) och till sist förslag till vidare studier (6.6).

6.1 Metoddiskussion

Både den kvantitativa och kvalitativa metoden var passande metodval för att besvara denna studies frågeställningar. Den kvantitativa metoden användes för att samla in numerisk data i form av elevernas testresultat. Det numeriska data visade elevernas rätt och fel svar i testet. Sedan användes den kvalitativa metoden för att analysera den insamlade empirin. Elevernas testresultat kategoriserades utifrån vilket tankemönster de hade följt för respektive systematisk missuppfattning. Om enbart den kvantitativa metoden hade använts i studien skulle resultatet enbart fastställt om eleverna har rätt eller fel i testets olika uppgifter. Den kvalitativa metoden kompletterade den kvantitativa metoden. På så sätt att elevernas testresultat kunde analyseras utefter vilket tankemönster de följer och inte enbart om de har rätt eller fel i testets uppgifter.

Kombinationen av metoderna bidrog till en översikt över i vilken utsträckning de olika kategorierna förekommer hos de deltagande eleverna i årskurs 6. Metodvalet bidrog även till att besvara den andra frågeställningen vilket var att undersöka om det förekom procedurstöd i elevernas testresultat. På liknande sätt som metoderna bidrog till att besvara frågeställning ett, bidrog de även till att besvara frågeställning två. Däremot motsvarade metodvalet att resultatet från elevernas test enbart kunde påvisa att eleverna antigen hade rätt eller fel i de olika uppgifterna, vilken kategori som dominerade bland eleverna samt om det förekom något procedurstöd. Valet av metod bidrog inte till kunskap om varför eleverna utförde testet som de gjorde och vad specifikt de upplever som svårt när de arbetar med att jämföra tal i decimalform. Detta var dock inte studiens syfte men kan vara ett förslag till vidare forskning, där de deltagande eleverna får utföra ett test och blir sedan intervjuade kring deras testresultat. Denna möjlighet fanns tyvärr inte i denna studie då detta förslag upptäcktes försent och tiden räckte inte till.

Testet som används i studien är konstruerad utifrån Moloney och Staceys (1997) test och användes med anledning till att undersöka elevernas kunskaper när de jämför tal i decimalform. På motsvarande sätt som metodval indikerade även valet av testet att testresultatet enbart synliggör

(35)

30

elevernas svar när de utför uppgifter där de jämförde tal i decimalform. Syftet med denna studie är inte att undersöka elevernas tankesätt och av den anledningen har testet konstruerats med enkla uppgifter där eleverna antigen ska välja vilket tal som är störst eller storleksordna tre stycken tal. I processen av att konstruerar testet, valdes textuppgifter bort. Detta på grund av att elevernas läsförmåga inte skulle påverka testresultatet samt att textuppgifter inte behövdes inkluderas då det inte bidrog till att besvara studiens frågeställningar. Genom att använda ett test som använts i många tidigare studier skapar det en validitet och resultatet skiljer sig inte i stora drag mellan de olika studierna som använt sig av liknande upplägg i deras test. Anledningen till att denna studie har valts att utföras är på grund av att det finns mycket mer forskning kring detta område i länder utanför Sverige och därav anser jag att liknande studie bör utförs på elever i Sverige för att bidrar med kunskap för lärare i Sverige. Tidigare forskning har undersökt elever mellan årskurserna 4-9 och i denna studie har en avgränsning på årskurs 6 gjorts. Detta med anledning till att undersöka vilka missuppfattningar som förekommer i sista årskursen på mellanstadiet, det vill säga årskurs 6.

Denna kunskap kan sedan användas för att bearbeta missuppfattningarna innan elever i årskurs 6 börjar årskurs 7-9. Om studien skulle utföras på yngre elever hade sannolikheten varit att expertgruppen inte hade haft en lika stor procentsats, vilket är 35,3%. Om studien däremot skulle utföras på elever i årskurs 7, 8 eller 9 och jämförts med elever i årskurs 6, då hade resultatet förmodligen visat en högre procentsats i expertgruppen för eleverna i de högre årskurserna än vad det hade gjort för eleverna i de lägre årskurserna. Detta för att eleverna i de högre årskurserna har med största sannolikhet fått mer undervisning inom området tal i decimalform.

Lärarna för de deltagande klasserna har bekräftat att det inte utförts någon undervisning om tal i decimalform under vårterminen. Om fallet hade varit att eleverna nyligen hade arbetat med tal i decimalform hade detta kunnat vara en påverkningsfaktor, då eleverna kan använda sig av sina kunskaper från sitt korttidsminne. Detta kriterium skapades för att det inte skulle förekomma risk för ett missvisande resultat.

Valet av de deltagande skolor och klasser gjordes utifrån ett bekvämlighetsurval, då de valdes utifrån kontakter från tidigare vikariat och verksamhetsförlagda studier. Jag är medveten om att de deltagande inte kan representera alla Sveriges sjätteklassare. Däremot kan det ge en inblick över sjätteklassares kunskap när de jämför tal i decimalform och bidra till lärares kompetens. Om

(36)

31

studien hade utförts under en längre period hade det kunnat delta fler elever vilket skulle resultera i en större översikt över sjätteklassares kunskaper i Sverige när de jämför tal i decimalform.

Lärarna till de deltagande klasserna genomförde testet i sin ordinarie matematiklektion och använde tillfället som en lägesavstämning på elevernas kunskaper för området tal i decimalform.

Testet är dock anonymt och kan inte användas som en individuell bedömning och underlag för eleverna.

6.2 Resultatdiskussion

Studiens resultat uppvisar att majoriteten av de deltagande eleverna i årskurs 6 har till största del rätt svar när de utför uppgifter där de jämför tal i decimalform. De eleverna med alla rätt svar eller max ett fel i testets respektive tre delar, kategoriserades i expertkategorin. Detta antal kan bero på att eleverna har en djupare förståelse för tal i decimalform när de går i årskurs 6. Elever i årskurs 6 har med stor sannolikhet arbetat mer med tal i decimalform än vad exempelvis elever i årskurs 4 och 5 har gjort. Under en elevs skolgång ska hen successivt utveckla sina kunskaper om tal i decimalform (Moloney & Stacey, 1997) och av den anledningen är det mer sannolikt att äldre elever visar djupare förståelse när de jämför tal i decimalform än vad yngre elever gör. Vidare visar testresultatet att inga elever kategoriserades i nollregeln vilken kan innebära att eleverna har en djup förståelse för nollans betydelse och vilka platsvärden den kan ha. Däremot anser jag att en elevs missuppfattning med specifikt nollregeln kan vara svår att upptäcka. Detta på grund av att de elever som följer tankemönstret för nollregeln, har ett heltalstänk i de uppgifter som inte har tal med en nolla direkt på decimaltecknets högra sida. Av den anledningen kan det ha varit svårt att identifiera elever som bör kategoriseras till nollregeln. Detta hade kunnat vidare undersökas genom ett test med enbart specifika uppgifter för nollregeln. På så sätt hade elevens testresultat kunnat visa på om eleven följer tankemönstret för nollregeln eller någon annan kategori. Vidare undersökning hade även kunnat användas för att kunna avgöra med större sannolikhet om en elev enbart ska kategoriseras i en kategori eller möjligtvis flera. Denna studie har enbart utfört ett test på samtliga elever och av den anledningen är det svårt att dra en säker slutsats om en elev enbart ska kategoriseras i en kategori. Däremot bidrar denna studie till en överblick över några elevers uppfattningar när de arbetar med att jämföra tal i decimalform.

De elever vars testresultat inte visade på en systematisk missuppfattning, kategoriserades i den oklassificerade kategorin. Eleverna visar att de inte behärskar en full förståelse när de jämför tal i

Figur

Updating...

Referenser

Relaterade ämnen :