∫ éÅ ùäëíêÄèéãüñàà éèÖêÄíéêéÇà ÉêÄçàñÄï èêàåÖçàåéëíà íÖëíÄ òìêÄ

ÑéäãÄÑõ ÄäÄÑÖåàà çÄìä, 2003, ÚÓÏ 393, ‹ 5, Ò. 1–4 1 Ç ÚÂÓËË ËÌÚ„‡Î¸Ì˚ı ÓÔÂ‡ÚÓÓ‚ Ò ÔÓÎÓÊË-ÚÂθÌ˚ÏË fl‰‡ÏË ıÓÓ¯Ó ËÁ‚ÂÒÚÂÌ ÚÂÒÚ òÛ‡ ËÎË, Ë̇˜Â „Ó‚Ófl, ÚÂÓÂχ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË òÛ‡ (ÒÏ., ̇ÔËÏÂ, [1, Ò. 37; 2, Ò. 42]), ÍÓÚÓ‡fl „Ó‚ÓËÚ, ˜ÚÓ ËÌÚ„‡Î¸Ì˚È ÓÔÂ‡ÚÓ Kx(t) = (t, s)x(s)dsc k(t, s) ≥ 0 Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â Lp _{ÚÓ„‰‡ Ë} ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl, ÍÓ̘̇fl Ô.‚. ÙÛÌ͈Ëfl u(t), ˜ÚÓ ÓÔÂ‡ÚÓ Ó„‡ÌË-˜ÂÌ ‚ Ô‡ K: → Ë K: → , „‰Â v = . Ç ÔÓÒΉÌ ‚ÂÏfl ‚ Ò‚flÁË Ò ‡Á΢Ì˚ÏË Á‡‰‡˜‡-ÏË ‡Ì‡ÎËÁ‡ ËÌÚÂÂÒ Í ÚÂÓÂÏ‡Ï ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË Á̇˜ËÚÂθÌÓ ‚ÓÁÓÒ [3–6]. Ç ˜‡ÒÚÌÓÒÚË, ˝ÚÓÏÛ ÒÔÓ-ÒÓ·ÒÚ‚Ó‚‡ÎÓ Ì‡È‰ÂÌÌÓ êÛ·ËÓ ‰Â î‡ÌÒËfl [3] ÒÓ-‚Â¯ÂÌÌÓ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÌÓ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó ÚÂÓÂÏ˚ ÑÊÓÌÒ‡ Ó Ù‡ÍÚÓËÁ‡ˆËË Ap-ÛÒÎÓ‚Ëfl å‡ÍÂÌı‡ÛÔÚ‡. Ç ÚÂÓÂχı ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË ÂÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï fl‚ËÎÒfl ·˚ ÔÂÂıÓ‰ ÓÚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â ã·„‡ Lp _Í ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡Ï é΢‡. çÓ Ó͇Á‡ÎÓÒ¸, ˜ÚÓ ‰‡ÎÂÍÓ ÓÚ ¯Í‡Î˚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ Lp _{ÛÈÚË ÌÂθÁfl. ìÊ ‰Îfl} Í·ÒÒ˘ÂÒÍÓ„Ó ÓÔÂ‡ÚÓ‡ ï‡‰Ë ÚÂÓÂχ ˝ÍÒÚ‡-ÔÓÎflˆËË ‚ Í·ÒÒ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ é΢‡ Ì‚Â̇. é͇Á‡ÎÓÒ¸ Ú‡ÍÊÂ, ˜ÚÓ Ë ‡Ò¯ËÂÌË ÚÂÓÂÏ˚ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË ‚ Lp _{Ò Í·ÒÒ‡ ËÌÚ„‡Î¸Ì˚ı} ÓÔÂ‡-ÚÓÓ‚ Ò ÌÂÓÚˈ‡ÚÂθÌ˚ÏË fl‰‡ÏË Ì‡ Í·ÒÒ Ú‡Í Ì‡Á˚‚‡ÂÏ˚ı Í‚‡ÁËÎËÌÂÈÌ˚ı ÓÔÂ‡ÚÓÓ‚ ÚÓÊ ÌÂ-‚ÓÁÏÓÊÌÓ. å˚ Ô‰ÎÓÊËÎË ‰Îfl ÌÂÍÓÚÓÓ„Ó Í·ÒÒ‡ ÓÔÂ‡-ÚÓÓ‚ ÌÓ‚Û˛ ÚÂÓÂÏÛ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË, „‰Â ÔÓÒÚ-‡ÌÒÚ‚‡ ã·„‡ Ë Û‰‡ÎÓÒ¸ Á‡ÏÂÌËÚ¸ ̇ ÔÓ-ÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ãÓÂ̈‡ Λv* Ë å‡ˆËÌÍ‚˘‡ Mu*, ÍÓÚÓ-˚ fl‚Îfl˛ÚÒfl ˝ÍÒÚÂχθÌ˚ÏË ‚ Í·ÒÒ ÒËÏÏÂÚ˘Ì˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚. èÛÒÚ¸ S(µ) = S(Ω, Σ, µ) – ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ËÁÏÂË-Ï˚ı ÙÛÌ͈ËÈ x: Ω → R. ç‡ÔÓÏÌËÏ, ˜ÚÓ ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó X = (X, ||·||X), ÒÓÒÚÓfl˘Â ËÁ ËÁÏÂË-k

∫

Lu ∞ Lu ∞ Lv 1 Lv 1 u 1 p ---–1 Lv 1 Lu ∞ Ï˚ı ÙÛÌ͈ËÈ, ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ˉ‡θÌ˚Ï [7], ÂÒÎË ËÁ y ∈ X, ËÁÏÂËÏÓÒÚË x Ë ‚˚ÔÓÎÌÂÌËfl Ô.‚. ̇ Ω ÌÂ‡-‚ÂÌÒÚ‚‡ |x(t)|≤|y(t)| ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ x ∈ X Ë ||x||_X≤||y||_X. çËÊ Ï˚ ·Û‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸, ˜ÚÓ ‚Ò ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, ‚ÒÚ˜‡˛˘ËÂÒfl ‚ ‡·ÓÚÂ, ӷ·‰‡˛Ú Ò‚ÓÈÒÚ‚ÓÏ î‡ÚÛ, Ú.Â. ‰ËÌ˘Ì˚È ¯‡ Í‡Ê‰Ó„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Á‡ÏÍÌÛÚ ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ÒıÓ‰ËÏÓÒÚË ‚ S(µ) [7]. èÛÒÚ¸ w: Ω → R+ = ( 0, +∞) – ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl ÙÛÌ͈Ëfl (‚ÂÒ). ÖÒÎË X – ˉ‡θÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÚÓ ÒËÏ‚ÓÎÓÏ Xw Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl ÌÓ‚Ó ˉ‡θÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÌÓχ ‚ ÍÓÚÓÓÏ Á‡‰‡ÂÚÒfl ‡‚ÂÌÒÚ-‚ÓÏ = ||wx||X. é·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂÂÁ U ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÌÂÔÂ˚‚Ì˚ı ÙÛÌ͈ËÈ ϕ: → R+, ͇ʉ‡fl ËÁ ÍÓÚÓ˚ı ‚Ó„ÌÛÚ‡ Ë ÔÓÎÓÊËÚÂθÌÓ Ó‰ÌÓӉ̇ ÔÂ‚ÓÈ ÒÚÂÔÂÌË. èÛÒÚ¸ X0, X1 – ‰‚‡ ˉ‡θÌ˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ X0, X₁ ⊂ S(µ), ϕ ∈ U. çÓ‚Ó ˉ‡θÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ϕ(X0, X1) (ÍÓÌÒÚÛ͈Ëfl ä‡Î¸‰ÂÓ̇–ãÓÁ‡ÌÓ‚ÒÍÓ-„Ó) ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ ÚÂı x ∈ S(µ), ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı ÍÓ̘̇ ÌÓχ äÓÌÒÚÛ͈Ëfl ϕ(X0, X1) ‚‚‰Â̇ Ä.è. ä‡Î¸‰ÂÓÌÓÏ [8] ‰Îfl ϕ(t, s) = tθ_s1 – θ, ‡ ‰Îfl ϕ ∈ U É.ü. ãÓÁ‡ÌÓ‚ÒÍËÏ [9] Ë ÚÂÒÌÓ Ò‚flÁ‡Ì‡ ÒÓ ÒÔÓÒÓ·ÓÏ ÔÓÒÚÓÂÌËfl ÔÓÒÚ-‡ÌÒÚ‚ é΢‡. Ç ˜‡ÒÚÌÓÒÚË, ÂÒÎË ÔÓÎÓÊËÚ¸ ϕ(t, s) = tθ_s1 – θ(0 < θ < 1), ÚÓ ‰Îfl ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ ã·„‡ ÒÔ‡‚‰ÎË‚Ó ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó (L1₎θ_(L∞₎1 – θ _{= L}p θ = _; ÂÒÎË Φ(t) – ‚˚ÔÛÍ·fl N-ÙÛÌ͈Ëfl Ë ϕ(t, 1) = Φ–1_(t) (t > 0), ÚÓ ÔÓÎÛ˜ËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó é΢‡ ϕ(L1_{, L}∞_{) =} = LΦ. ë‡ÁÛ Ê ÓÚÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ÍÓÌÒÚÛ͈Ëfl ϕ(X₀, X₁) fl‚ÎflÂÚÒfl ËÌÚÂÔÓÎflˆËÓÌÌÓÈ [10–12]. èÂÂÙÓÏÛÎËÛÂÏ Ò̇˜‡Î‡ ÚÂÓÂÏÛ ˝ÍÒÚ‡ÔÓ-ÎflˆËË òÛ‡ ‚ ÒÓ‚ÂÏÂÌÌÓÏ ‚ˉÂ. x Xw R+ 2 x _ϕ(X₀,X₁) = = inf{λ>0: x t( ) λϕ≤ ( x0( )t , x1( )t )∀t∈Ω; x_{0 X} 0≤1, x1 X1≤ }.1   1 p ---_

å‡ÚÂχÚË͇

éÅ ùäëíêÄèéãüñàà éèÖêÄíéêéÇ

à ÉêÄçàñÄï èêàåÖçàåéëíà íÖëíÄ òìêÄ

© 2003 „. Ö. à. ÅÂÂÊÌÓÈ, ã. å‡ÎË„‡Ì‰‡

è‰ÒÚ‡‚ÎÂÌÓ ‡Í‡‰ÂÏËÍÓÏ ë.å. çËÍÓθÒÍËÏ 09.04.2003 „. èÓÒÚÛÔËÎÓ 21.04.2003 „. ìÑä513.88+517.5 üÓÒ·‚ÒÍËÈ „ÓÒÛ‰‡ÒÚ‚ÂÌÌ˚È ÛÌË‚ÂÒËÚÂÚ ËÏ. è.É. ÑÂÏˉӂ‡ íÂıÌ˘ÂÒÍËÈ ÛÌË‚ÂÒËÚÂÚ „. ãÛÎÂÓ, ò‚ˆËfl

2 ÑéäãÄÑõ ÄäÄÑÖåàà çÄìä      ÚÓÏ 393      ‹ 5     2003 ÅÂÂÊÌÓÈ, å‡ÎË„‡Ì‰‡ èÛÒÚ¸ T – ËÌÚ„‡Î¸Ì˚È ÓÔÂ‡ÚÓ Ò ÌÂÓÚˈ‡-ÚÂθÌ˚Ï fl‰ÓÏ Ë 1 < p < ∞. íÓ„‰‡ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ÛÒÎÓ‚Ëfl ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚: (i) ‰Îfl ‚ÒÂı x ËÁ ӷ·ÒÚË ÓÔ‰ÂÎÂÌËfl Ò ÍÓÌ-ÒÚ‡ÌÚÓÈ C, Ì Á‡‚ËÒfl˘ÂÈ ÓÚ x, ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ ÌÂ‡‚ÂÌ-ÒÚ‚Ó (1) (ii) ̇ȉÛÚÒfl ‰‚ ‚ÂÒÓ‚˚ ÙÛÌ͈ËË u(t) Ë v(t) Ú‡-ÍËÂ, ˜ÚÓ ‰Îfl ÔÓ˜ÚË ‚ÒÂı t ∈ Ω ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó (2) Ë ‰Îfl ‚ÒÂı x ËÁ ӷ·ÒÚË ÓÔ‰ÂÎÂÌËfl Ò ÍÓÌÒÚ‡ÌÚÓÈ C1, Ì Á‡‚ËÒfl˘ÂÈ ÓÚ x, ‚˚ÔÓÎÌÂÌ˚ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ (3) ë‡ÁÛ Ê ÓÚÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ÒÔ‡‚‰ÎË‚ÓÒÚ¸ ËÏÔÎË-͇ˆËË (2), (3) → (1) ÒΉÛÂÚ ËÁ ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ ( )θ( )1 – θ _{= L}p θ = _{Ë ËÌÚÂÔÓÎflˆËÓÌÌÓÈ} ÚÂÓÂÏ˚ ‰Îfl ÔÓÎÓÊËÚÂθÌ˚ı ÓÔÂ‡ÚÓÓ‚, ‡ ÒÔ‡-‚‰ÎË‚ÓÒÚ¸ ËÏÔÎË͇ˆËË (1) → (2), (3) Ë ÂÒÚ¸ ÒÓ‰Â-ʇÌË ÚÂÓÂÏ˚ òÛ‡. ë̇˜‡Î‡ Ó·ÒÛ‰ËÏ ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚË ‡Ò¯ËÂÌËfl ÚÂÓÂÏ˚ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË, Á‡ÏÂÌflfl Í·ÒÒ ËÌÚ„-‡Î¸Ì˚ı ÓÔÂ‡ÚÓÓ‚ Ò ÔÓÎÓÊËÚÂθÌ˚ÏË fl‰‡ÏË Ì‡ ·ÓΠ¯ËÓÍËÈ. é·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂÂÁ K Í·ÒÒ ÔÓÁËÚË‚Ì˚ı ÓÔÂ‡-ÚÓÓ‚. ÅÛ‰ÂÏ „Ó‚ÓËÚ¸, ˜ÚÓ ÓÔÂ‡ÚÓ T: S(µ) → → S(µ) ÔÓÁËÚË‚Ì˚È (T ∈ K), ÂÒÎË ‚˚ÔÓÎÌfl˛ÚÒfl ÛÒ-ÎÓ‚Ëfl: |T(x + y)(t)| ≤ T|x|(t) + T|y|(t) Ë T(λx)(t)| ≤ ≤ λ|Tx(t)| (λ ≥ 0). ÑÎfl T ∈ K ÓÔÂ‡ÚÓ T' ∈ K ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ‡ÒÒÓˆË-ËÓ‚‡ÌÌ˚Ï Í T ‚ ¯Í‡Î ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ Lp_{, ÂÒÎË ‰Îfl} ‚ÒÂı 1 ≤ p ≤ ∞ Ë ‚ÒÂı ‚ÂÒÓ‚ u(t) ÓÔÂ‡ÚÓ T: → → Ó„‡Ì˘ÂÌ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ T': → Ú‡ÍÊ ӄ‡Ì˘ÂÌ Ë ‚˚ÔÓÎÌfl˛ÚÒfl ÌÂ‡-‚ÂÌÒÚ‚‡ Ò ÍÓÌÒÚ‡ÌÚÓÈ C > 0, Ì Á‡‚ËÒfl˘ÂÈ ÓÚ u(t) Ë p + = 1 Ò Ó·˚˜ÌÓÈ ÏÓ‰ËÙË͇ˆËÂÈ ‰Îfl p = ∞ . éÚÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ T' ÓÔ‰ÂÎÂÌ ÌÂÓ‰ÌÓÁ̇˜ÌÓ. ÖÒÎË T – ÎËÌÂÈÌ˚È ÓÔÂ‡ÚÓ, ÚÓ ‚ ͇˜ÂÒÚ‚Â T' ÏÓÊÌÓ ‚ÁflÚ¸ ÓÔÂ‡ÚÓ λ|T*|, „‰Â λ ≠ 0, T* – ÒÓÔfl-ÊÂÌÌ˚È ÓÔÂ‡ÚÓ Ë |T*|x(t) = |T*x(t)|. Tx Lp≤C x Lp; v( )t u 1 p ---–1 t ( ) = Tx _L v 1 C₁ x L_v1, Tx L_u∞≤C1 x L_u∞. ≤ Lv 1 Lu ∞   1 p ---_ Lu p Lu p L1 u ---p' L1 u ---p' 1 C ---- T _L u p L_up → T' L₁ u ---p' L₁ u ---p' → C T L_up→L_up ≤ ≤  1 p ---1 p' ---- _ í Â Ó  Â Ï ‡ 1. èÛÒÚ¸ 1 < p < ∞. èÛÒÚ¸ ‰Îfl T ∈ K ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ T' ∈ K. éÔÂ‡ÚÓ T Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ Lp _{ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ} ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl ÍÓ̘̇fl Ô.‚. ÙÛÌ͈Ëfl u(t), ˜ÚÓ ÓÔÂ‡ÚÓ T Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ Ô‡ „‰Â v = _{. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ‚ ÒÎÛ˜‡Â T, T'} ∈ K ÚÂÓÂχ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË ‰Îfl T ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl. ëÂȘ‡Ò Ï˚ ÔÓ͇ÊÂÏ, ˜ÚÓ ÂÒÎË ‰Îfl T ∈ K Ì ÒÛ-˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ T' ∈ K, ÚÓ ÚÂÓÂχ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË ÏÓ-ÊÂÚ Ì‡Û¯‡Ú¸Òfl. èÛÒÚ¸ x: R+ → R – ËÁÏÂËχfl ÔÓ ãÂ·Â„Û ÙÛÌÍ-ˆËfl, x* – ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ Ì ‚ÓÁ‡ÒÚ‡˛˘‡fl ÔÂÂ-ÒÚ‡Ìӂ͇ ÙÛÌ͈ËË |x| (ÒÏ. ÓÔ‰ÂÎÂÌËÂ Ë Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ ‚ [7]). ëÛ·ÎËÌÂÈÌ˚È ÓÔÂ‡ÚÓ ï‡‰Ë ÓÔ‰ÂÎflÂÚ-Òfl ‡‚ÂÌÒÚ‚ÓÏ ë‡ÁÛ Ê ÓÚÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ÒÛ·ÎËÌÂÈÌ˚È ÓÔÂ‡ÚÓ ï‡‰Ë H*x(t) Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚Ó ‚ÒÂı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ı Lp_(R +) Ò 1 < p ≤ ∞. í Â Ó  Â Ï ‡ 2. èÛÒÚ¸ 1 < p < ∞, θ = . ç ÒÛ˘Â-ÒÚ‚ÛÂÚ ‚ÂÒÓ‚˚ı ÙÛÌ͈ËÈ u, v_{, ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı Ô.‚.} ̇ R+ ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ Ë Ú‡ÍËı, ˜ÚÓ ÒÛ·ÎËÌÂÈÌ˚È ÓÔÂ‡ÚÓ ï‡‰Ë H*x(t) ·˚Î Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ Ô‡ íÓ ÂÒÚ¸ ÚÂÓÂχ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË òÛ‡ ‰Îfl ÒÛ·-ÎËÌÂÈÌÓ„Ó ÓÔÂ‡ÚÓ‡ ï‡‰Ë H* Ì ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl. ÖÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌÓÈ Á‡ÏÂÌÓÈ ‚ ÚÂÓÂÏ òÛ‡ fl‚Ë-·Ҹ ·˚ Á‡ÏÂ̇ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ã·„‡ L1 _̇ ÒËÏÏÂ-Ú˘ÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó X Ë ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Lp _̇ ÔÓ-ÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó X(p) = (X)θ(L∞)1 – θ θ = _{. ç‡ÔÓÏÌËÏ} [13], ˜ÚÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó X(p) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl p-ÍÓÌ‚ÂÍ-ÒËÙË͇ˆËÂÈ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ X. é·ÒÛ‰ËÏ ‚ÓÁÌË͇˛-˘Ë ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚË. ç‡ÔÓÏÌËÏ, ˜ÚÓ ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó X ̇ (0, ∞) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÒËÏÏÂÚ˘Ì˚Ï [7], ÂÒÎË ËÁ ÒÔ‡-‚‰ÎË‚ÓÒÚË ÔË ‚ÒÂı t > 0 ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ x*(t) ≤ y*(t) Ë y ∈ X ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ x ∈ X Ë ||x||X ≤ ||y||X. îÛ̉‡ÏÂÌ-ڇθ̇fl ÙÛÌ͈Ëfl ϕX(t) ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ X ÓÔ‰ÂÎfl-ÂÚÒfl ‡‚ÂÌÒÚ‚ÓÏ ϕX(t) = ||χ(0, t)||X (t > 0) (χD – ı‡‡Í-ÚÂËÒÚ˘ÂÒ͇fl ÙÛÌ͈Ëfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ D). T : Lu ∞ Lu ∞ , T : Lv 1 Lv 1 , → → u 1 p ---–1 H*x t( ) x** t( ) 1 t --- x* s( )ds. 0 t

∫

= = 1 p ---v( )t 1 θ ---u t( ) 1 1–θ ---1 ≡ H*: Lv 1 Lv 1 , H*: Lu ∞ Lu ∞ . → →   1 p ---_

ÑéäãÄÑõ ÄäÄÑÖåàà çÄìä      ÚÓÏ 393      ‹ 5     2003 éÅ ùäëíêÄèéãüñàà éèÖêÄíéêéÇ à ÉêÄçàñÄï èêàåÖçàåéëíà íÖëíÄ 3 ÑÎfl ‰‡ÌÌÓ„Ó λ > 0 ÓÔÂ‡ÚÓ ÒʇÚËfl σ_λ ÓÔ‰Â-ÎÂÌ ‡‚ÂÌÒÚ‚ÓÏ σ_λx(t) = x(t/λ). ïÓÓ¯Ó ËÁ‚ÂÒÚÌÓ [7], ˜ÚÓ ‰Îfl β·Ó„Ó ÒËÏÏÂÚ˘ÌÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ X ‚ÂÌÓ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó ||σλ||X → X ≤ max(1, λ). à̉ÂÍ-Ò˚ ÅÓȉ‡ ‰Îfl X ÓÔ‰ÂÎfl˛ÚÒfl ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ÏË [7, 13] ÇÓÓ·˘Â „Ó‚Ófl, 0 ≤ αX ≤ βX ≤ 1. í Â Ó  Â Ï ‡ 3. èÛÒÚ¸ 0 < θ < 1, X – ÒËÏÏÂÚ˘-ÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ì‡ (0, ∞) Ë ‰Îfl ‚ÂÒÓ‚˚ı ÙÛÌÍ-ˆËÈ Ë, v _{‰Îfl t > 0 ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó} ëÛ·ÎËÌÂÈÌ˚È ÓÔÂ‡ÚÓ ï‡‰Ë H* Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ Ô‡ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ u(t) ≈ v(t) ≈ const _Ë βX < 1. ë Î Â ‰ Ò Ú ‚ Ë Â 1. èÛÒÚ¸ X – ÒËÏÏÂÚ˘ÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ì‡ (0, ∞) Ò βX = 1. íÓ„‰‡ ‰Îfl β·Ó„Ó 1 < p < ∞ _{Ì ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ‚ÂÒÓ‚ Ë,} v _{Ú‡ÍËı, ˜ÚÓ} ÓÔÂ‡ÚÓ H* Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ Ô‡Â Ë í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÚÂÓÂχ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË òÛ‡ ‰Îfl ÒÛ·ÎËÌÂÈÌÓ„Ó ÓÔÂ‡ÚÓ‡ ï‡‰Ë H* ‰Îfl ÔÓ-ÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ X(p) _{Ì ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl.} íÂÔÂ¸ Ï˚ Ó·ÒÛ‰ËÏ ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚË ‡Ò¯ËÂÌËfl ÚÂÓÂÏ˚ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË, Á‡ÏÂÌflfl ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ã·„‡ Lp _{̇ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó é΢‡ L}Φ_. èÓÎÓÊËÏ Ú.Â. H – Í·ÒÒ˘ÂÒÍËÈ ÓÔÂ‡ÚÓ ï‡‰Ë, ÍÓÚÓ˚È Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ β·ÓÏ ÂÙÎÂÍÒË‚ÌÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â é΢‡ LΦ [7]. í Â Ó  Â Ï ‡ 4. ëÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ÂÙÎÂÍÒË‚Ì˚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ é΢‡ LΦ Ì‡ (0, ∞), ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı Ì ̇ȉÂÚÒfl ‚ÂÒÓ‚ u0, u1, v0, v1 ̇ (0, ∞), Û‰Ó‚ÎÂ-Ú‚Ófl˛˘Ëı ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËflÏ αX σλ X→X ln λ ln ---λ→0 lim , βX σ_λ X→X ln λ ln ---. λ→∞ lim = = v( )t 1 θ ---u t( ) 1 1–θ ---1. ≡ H*: Xv Xv, H*: Lu ∞ Lu ∞ → → H*: Xv Xv, H*: Lu ∞ Lu ∞ , → → Xv ( ) 1 p ---Lu ∞ ( )1 1 p ---– X( )p . = Hx t( ) 1 t --- x s( )ds, 0 t

∫

= ϕ Lu0 1 Lu1 ∞ , ( ) = ϕ(L1,L∞) = LΦ, ϕ Lv0 1 Lv1 ∞ , ( ) = ϕ(L1,L∞) = LΦ Ë Ú‡ÍËı· ˜ÚÓ ÓÔÂ‡ÚÓ ï‡‰Ë H Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ Ô‡Â Ç ˜‡ÒÚÌÓÒÚË, ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËÓÌ̇fl ÚÂÓÂχ òÛ-‡ ‰Îfl Ú‡ÍËı ÂÙÎÂÍÒË‚Ì˚ı ÔÓÒÚòÛ-‡ÌÒÚ‚ éÎË-˜‡ Ì ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ‰Îfl ÓÔÂ‡ÚÓ‡ ï‡‰Ë ç. Ç ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Â ÚÂÓÂÏ˚ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÂÌÌÛ˛ Óθ Ë„‡˛Ú ÚÂÓÂÏ˚ Ó Ô‰ÒÚ‡‚ÎÂÌËË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ ËÁ [14]. è˂‰ÂÏ ÌÂÒÍÓθÍÓ ÔËÏÂÓ‚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ é΢‡, ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ÚÂÓÂχ 4. è  Ë Ï Â  1. èÛÒÚ¸ 0 < θ0 < θ1 < 1 Ë 1 = a1 < a2 < <a3 < … ÔÓÒΉӂ‡ÚÂθÌÓÒÚ¸ ˜ËÒÂΠڇ͇fl, ˜ÚÓ ‚ÓÁ‡ÒÚ‡ÂÚ Í ·ÂÒÍÓ̘ÌÓÒÚË. èÓÎÓÊËÏ ϕ1(t) = ÔË 0 ≤ t ≤ 1 Ë íÓ„‰‡ ϕ1(t) ÂÒÚ¸ Í‚‡ÁË‚Ó„ÌÛÚ‡fl ÙÛÌ͈Ëfl ̇ (0, ∞). ïÓÓ¯Ó ËÁ‚ÂÒÚÌÓ [7], ˜ÚÓ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ‚Ó„ÌÛÚ‡fl ÙÛÌ͈Ëfl ڇ͇fl, ˜ÚÓ ϕ1(t) ≤ (t) ≤ 2ϕ1(t). èfl-ÏÓÈ ÔÓ‰Ò˜ÂÚ ÔÓ͇Á˚‚‡ÂÚ, ˜ÚÓ (L1_{, L}∞_{) ÂÒÚ¸} Â-ÙÎÂÍÒË‚ÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó é΢‡, ‰Îfl ÍÓÚÓÓ„Ó ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ÚÂÓÂχ 4. è  Ë Ï Â  2. ÑÎfl χÎ˚ı α > 0 Ë α < θ ≤ 1 – − α ÔÓÎÓÊËÏ íÓ„‰‡ ϕ2(t) ÂÒÚ¸ Í‚‡ÁË‚Ó„ÌÛÚ‡fl ÙÛÌ͈Ëfl ̇ (0, ∞). èflÏÓÈ ÔÓ‰Ò˜ÂÚ ÔÓ͇Á˚‚‡ÂÚ, ˜ÚÓ (L1_{, L}∞_{) ÂÒÚ¸} ÂÙÎÂÍÒË‚ÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó é΢‡, ‰Îfl ÍÓÚÓÓ-„Ó ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ÚÂÓÂχ 4. è  Ë Ï Â  3 [12, Ò. 93–94]. ÑÎfl k > 0 Ë p > k + 2 ÔÓÎÓÊËÏ íÓ„‰‡ Φ(t) – ‚˚ÔÛÍ·fl ̇ (0, ∞) N-ÙÛÌ͈Ëfl, ‡ LΦ _– ÂÙÎÂÍÒË‚ÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó é΢‡, ‰Îfl ÍÓÚÓÓ-„Ó ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ÚÂÓÂχ 4. ÇÒ Ô‰·„‡ÂÏ˚ ÚÂÓÂÏ˚ ÚËÔ‡ ÚÂÓÂÏ˚ ˝ÍÒ-Ú‡ÔÓÎflˆËË òÛ‡ Ù‡ÍÚÓËÁÛ˛Ú ÓÔÂ‡ÚÓ ˜ÂÂÁ H: Lu₀ 1 Lv₀ 1 , H: Lu₁ ∞ Lv₁ ∞ . → → an+1 an ---tθ1 ϕ1( )t t a2n–1 ---   θ0 ϕ(a2n–1) ÔË a2n–1≤ ≤t a2n, t a2n ---   θ1 ϕ(a2n) ÔË a2n≤ ≤t a2n+1.        = ϕ˜₁ ϕ˜₁ ϕ˜₁ 2 2 ϕ2( )t tθ ÔË 0≤ ≤t e, tθ α+ sin(lnlnt) ÔË t≥e.    = ϕ˜₂ 2 Φ( )t t l , ÂÒÎË 0≤ ≤t e, tp+ksin(lnlnt), ÂÒÎË t≥e.    =

4 ÑéäãÄÑõ ÄäÄÑÖåàà çÄìä      ÚÓÏ 393      ‹ 5     2003 ÅÂÂÊÌÓÈ, å‡ÎË„‡Ì‰‡ L1 _{Ë L}∞_{. ëÂȘ‡Ò Ï˚ ÔÓ͇ÊÂÏ, ˜ÚÓ ‰Îfl ÌÂÍÓÚÓÓ„Ó} Í·ÒÒ‡ ÓÔÂ‡ÚÓÓ‚ ‚ ÚÂÓÂÏ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË ÔÓ-ÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ã·„‡ Ë ÏÓÊÌÓ Á‡ÏÂÌËÚ¸ ̇ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ãÓÂ̈‡ Ë å‡ˆËÌÍ‚˘‡. ÅÛ‰ÂÏ „Ó‚ÓËÚ¸, ˜ÚÓ T ∈ _{K*, ÂÒÎË T} ∈ K Ë Ì‡È-‰ÂÚÒfl ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ C > 0 ڇ͇fl, ˜ÚÓ (4) ‰Îfl ‚ÒÂı t > 0 Ë ËÁÏÂËÏ˚ı ÔÓ ãÂ·Â„Û Ì‡ (0, ∞) ÙÛÌ͈ËÈ x, ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı (4) ËÏÂÂÚ ÒÏ˚ÒÎ. Ç Í‡˜ÂÒÚ‚Â ÔËÏÂ‡ T ∈ _{K* ÏÓÊÌÓ Ô‰ÎÓÊËÚ¸} ÒÛ·ÎËÌÂÈÌ˚È ÓÔÂ‡ÚÓ ï‡‰Ë H*x(t) = (s)ds, ÓÔÂ‡ÚÓ ï‡‰Ë Hx(t) = (s)ds, ÓÔÂ‡ÚÓ χÍÒË-χθÌÓÈ ÙÛÌ͈ËË M, ‚˚˜ËÒÎÂÌÌÓÈ ÔÓ ÍÛ·‡Ï, ËÌ-Ú„‡Î¸Ì˚È ÓÔÂ‡ÚÓ Tx(t) = (t, s)x(s)ds Ò ÌÂÓÚ-ˈ‡ÚÂθÌ˚Ï fl‰ÓÏ k(t, s) ≥ 0, Û·˚‚‡˛˘ËÏ ÔÓ Í‡Ê‰ÓÈ ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ. ç‡ÔÓÏÌËÏ ÓÔ‰ÂÎÂÌË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ ãÓÂ̈‡ Λu* Ë å‡ˆËÌÍ‚˘‡ Mu* (ÒÏ., ̇ÔËÏÂ, [7]). ÑÎfl ‚ÂÒÓ‚ÓÈ ÙÛÌ͈ËË u ̇ (0, ∞) ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ãÓÂÌ-ˆ‡ Λu* ÂÒÚ¸ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÔÓÓʉÂÌÌÓ ÌÓÏÓÈ ‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó å‡ˆËÌÍ‚˘‡ Mu* ÔÓÓʉÂÌÓ ÌÓÏÓÈ í Â Ó  Â Ï ‡ 5. èÛÒÚ¸ 1 < p < ∞. èÛÒÚ¸ T ∈ _{K* Ë} ‰Îfl T ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ T' ∈ K. íÓ„‰‡ ‰Îfl Ó„‡Ì˘ÂÌÌÓ-ÒÚË ÓÔÂ‡ÚÓ‡ T: Lp → _Lp _{ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Ë} ‰ÓÒÚ‡-ÚÓ˜ÌÓ, ˜ÚÓ·˚ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡Î ‚ÂÒ u ∈ Lpp' _Ú‡ÍÓÈ, ˜ÚÓ ∀t > 0 ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó Lv 1 Lu ∞ Tx ( )* s( )ds 0 t

∫

C Tx* s( )ds 0 t

∫

≤ 1 t --- x* 0 t

∫

1 t --- x 0 t

∫

k 0 ∞

∫

x _Λ u* x* t( )u* t( )dt, 0 ∞

∫

= x M_u* 1 u* s( )ds 0 t

∫

--- x* s( )ds. 0 t

∫

t≥0 sup = Ë ÓÔÂ‡ÚÓ T Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ Ô‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ Ç ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Â ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓÒÚË ÚÂÓÂÏ˚ ÒÛ-˘ÂÒÚ‚ÂÌÌÓ ËÒÔÓθÁÛ˛ÚÒfl ÚÂÓÂÏ˚ 1 Ë ‡Á΢Ì˚ ҂ÓÈÒÚ‚‡ ÓÔÂ‡ÚÓ‡ ï‡‰Ë, ‡ ‚ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Â ‰Ó-ÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓÒÚË ‚‡ÊÌÛ˛ Óθ Ë„‡˛Ú ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθ-Ì˚È ÏÂÚÓ‰ ËÌÚÂÔÓÎflˆËË Ë ÂÁÛθڇÚ˚ ËÁ [15]. ꇷÓÚ‡ ·˚· ÔÓ‰‰Âʇ̇ „‡ÌÚ‡ÏË ò‚‰ÒÍÓÈ äÓÓ΂ÒÍÓÈ ‡Í‡‰ÂÏËË Ì‡ÛÍ ‰Îfl ÒÓÚÛ‰Ì˘ÂÒÚ‚‡ Ò êÓÒÒËÂÈ (ÔÓÂÍÚ 35146 Ë 35155). èÂ‚˚È ‡‚ÚÓ ÔÓθÁÓ‚‡ÎÒfl ÔÓ‰‰ÂÊÍÓÈ êÓÒÒËÈÒÍÓ„Ó ÙÓ̉‡ ÙÛ̉‡ÏÂÌڇθÌ˚ı ËÒÒΉӂ‡ÌËÈ (ÔÓÂÍÚ 02–01– 00428), ‚ÚÓÓÈ ‡‚ÚÓ – ÔÓ‰‰ÂÊÍÓÈ ò‚‰ÒÍÓ„Ó Ì‡-Û˜ÌÓ„Ó ÒÓ‚ÂÚ‡ (NFR) (ÔÓÂÍÚ å5105– 20005228/2000). ëèàëéä ãàíÖêÄíìêõ 1. äÓÓÚÍÓ‚ Ç.Å. àÌÚ„‡Î¸Ì˚ ÓÔÂ‡ÚÓ˚. çÓ‚Ó-ÒË·ËÒÍ: ç‡Û͇, 1983.

2. Szeptycki P. // Rozprawy Mat. 1984. V. 231. P. 1–48. 3. Rubio de Francia J.L. Topics in Modern Harmonic

Analysis. Roma, 1983. P. 571–579.

4. Christ M. // Stud. Math. 1984. V. 78. ‹ 3. P. 309–319. 5. Garcia-Cuerva J., Rubio de Francia J. Weighted Norm

Inequalities and Related Topics. Amsterdam: North-Holland, 1985.

6. Hernandez E. // Publ. Math. 1991. V. 35. P. 141–153. 7. äÂÈÌ ë.É., èÂÚÛÌËÌ û.à., ëÂÏÂÌÓ‚ Ö.å. àÌÚÂ-ÔÓÎflˆËfl ÎËÌÂÈÌ˚ı ÓÔÂ‡ÚÓÓ‚. å.: ç‡Û͇, 1978. 8. ä‡Î¸‰ÂÓÌ Ä.è. // å‡ÚÂχÚË͇. 1965. í. 9. ‹ 3. ë. 56–129. 9. ãÓÁ‡ÌÓ‚ÒÍËÈ É.ü. // ëË·. χÚ. ÊÛÌ. 1973. í. 14. ‹ 1. ë. 140–155. 10. 邘ËÌÌËÍÓ‚ Ç.Ä. // îÛÌ͈ËÓÌ. ‡Ì‡ÎËÁ Ë Â„Ó ÔËÎ. 1976. í. 10. ‹ 4. ë. 45–54. 11. ÅÂÂÊÌÓÈ Ö.à. // îÛÌ͈ËÓÌ. ‡Ì‡ÎËÁ. Ë Â„Ó ÔËÎ. 1980. í. 14. ‹ 4. ë. 62–63.

12. Maligranda L. Orlicz Spaces and Interpolation // Semi-nars in Math. 1989. V. 5.

13. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II. B.: Springer, 1979.

14. ÅÂÂÊÌÓÈ Ö.à. // ÑÄç. 1995. í. 344. ‹ 6. ë. 727– 730.

15. Maligranda L. // Arch. Math. 1987. V. 48. P. 82–84. 1 t --- u* s( )ds 0 t

∫

≤Cu t( ) T : Λ_{( )u*}p–1 Λ u* ( )p–1, T : Mu* Mu*. → →