"Vad är det som är svårt?"

Examensarbete

”Vad är det som är svårt?”

- En analys av matematiska problemlösningsuppgifter i grundskolan

” What is the difficulty?”

- An analysis of mathematical problem solving tasks in primary school

Abstrakt

Studiens syfte är att undersöka vilka svårigheter matematiska problemlösningsuppgifter kan vålla elever, samt hur dessa istället kan omarbetas för eleverna ska få en bättre förståelse och kunna lösa dem lättare.

Datainsamlingen i denna studie har skett genom en observation vid ett lektionstillfälle där eleverna arbetade med problemlösningsuppgifter. Utifrån observationerna samt elevernas resultat valdes ett antal elever ut för en intervju. Efter intervjuerna fick eleverna lösa några omarbetade problemlösningsuppgifter som författarna till denna studie har framtagit med hjälp av de åsikter eleverna haft om uppgifterna vid intervjuerna.

Resultatet har visat att eleverna fått större förståelse för uppgifternas syfte, samt fått lättare att lösa problemlösningsuppgifterna efter att de konkretiserats med hjälp av språket och att eleverna fick möjlighet att använda laborativt material.

Nyckelord

Problemlösningsuppgifter, matematik, mönster, begreppsbildning

Keywords

Mathematical problem solving, mathematics, pattern, conception

Innehållsförteckning

1. INLEDNING ... 5

2. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 6

2.1 Frågeställningar ... 6

2.2 Avgränsningar ... 6

3. TEORETISK BAKGRUND ... 7

3.1 Problemlösning i matematik ... 7

3.1.1 Vad är problemlösning ... 7

3.1.2 Vilka svårigheter kan elever stöta på i problemlösning? ... 8

3.1.3 Att låta elever göra egna problemlösningsuppgifter ... 9

3.2 Konkretisering ... 9

3.2.1 Konkretisering genom laborativt material ... 9

3.2.2 Konkretisering med hjälpmodeller och bilder... 11

3.2.3 Konkretisering med hjälp av språket... 12

3.3 Mönster ... 13

4. METOD ... 15

4.1 Urval ... 15

4.2 Datainsamlingsmetoder ... 15

4.3 Genomförande och databearbetning ... 16

4.3.1 Genomförande med eleverna ... 16

4.3.2 Observationerna ... 17

4.3.3 Intervjuerna ... 17

4.3.4 Omarbetning av uppgifterna ... 18

4.3.5 Kontrollgruppen ... 18

4.4 Reliabilitet och validitet ... 18

4.5 Etiska aspekter ... 19

5. RESULTAT OCH ANALYS ... 20

5.1 Uppgift 1 ... 20

5.1.1 Testgruppens resultat, samt en analys av den ursprungliga uppgiften ... 20

5.1.2 Uppgift 1 omarbetad ... 21

5.1.3 Testgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften ... 21

5.1.4 Kontrollgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften ... 22

5.2 Uppgift 2 ... 23

5.2.1 Testgruppens resultat, samt en analys av den ursprungliga uppgiften ... 23

5.2.2 Uppgift 2 omarbetad ... 24

5.2.3 Testgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften ... 24

5.2.4 Kontrollgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften ... 24

5.3 Uppgift 3 ... 25

5.3.1 Testgruppens resultat, samt en analys av den ursprungliga uppgiften ... 25

5.3.2 Uppgift 3 omarbetad ... 26

5.3.3 Testgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften ... 27

5.3.4 Kontrollgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften ... 27

5.4 Slutsatser ... 27 7. DISKUSSION ... 29 7.1 Metoddiskussion ... 29 7.2 Resultatdiskussion ... 30 7.3 Fortsatt forskning ... 32 KÄLLFÖRTECKNING ... 33 BILAGOR

Bilaga 2 - Uppgift 2. Nyckel kod dörr. Bilaga 3 - Uppgift 3. Pärlorna.

Bilaga 4 – Omarbetad uppgift 1. Flickan växer.

Bilaga 5 – Omarbetad uppgift 2. Udda och jämna tal över fem. Bilaga 6 – Omarbetad uppgift 3. Mönster som minskar.

1. Inledning

Ett välkänt faktum i skolmatematiken är att många elever stöter på svårigheter vid problemlösningsuppgifter. Författarna till denna studie vill därför undersöka vilka svårigheter elever kan ställas inför i problemlösningsuppgifter i matematik som handlar om mönster för att senare kunna konkretisera dessa och se om eleverna får lättare att lösa de omarbetade uppgifterna. Vi ska ta reda på vilka faktorer som ligger till grund för att eleverna ska uppfatta denna typ av uppgift som komplicerad? Vidare undersöks också om matematiken i de undersökta problemlösningsuppgifterna är för svår, eller om svårigheterna beror på frågans formulering och utformning. Denna tanke väcktes under den verksamhetsförlagda utbildningen (vfu) där flertalet elever körde fast på problemlösningsuppgifter, eftersom de inte förstod hur de skulle lösa uppgiften. Under matematiklektionerna i vfu-klassen upptäcktes olika svårigheter, bland annat att det var för mycket text att läsa, vilket resulterade i att eleven tappade bort sig i texten. Vissa elever hakade upp sig eftersom de inte förstod ett visst ord och andra blev distraherade om det var för mycket bilder i uppgiften och koncentrerade sig istället på att färglägga bilderna.

Elevers intresse för matematik varierar. I unga åldrar finns en nyfikenhet och intresse för ämnet, detta förändras dock under skolåren. Elevernas intresse och lust för olika ämnen och speciellt för matematik minskar. Många av de elever som inte ser ämnet som något positivt kan inte heller koppla matematiken till sina eget liv och intresse. Detta gör också att dessa elever inte förstår hur de kommer använda matematik i framtiden (Skolverket 2003). Allt färre elever når målen inom ämnet matematik när de avslutar sina studier i grundskolan (Skolverket, 2009). Skolverket (2003) skriver i sin rapport ”Lusten att lära med fokus på matematik” om vikten av att skapa förutsättningar, så att eleverna känner en lust till lärande. Skolverket har gett förslag på hur undervisningen kan öka i kvalitet och bli mer positiv. Här nedan följer ett par av Skolverkets (2003) förslag.

- Mer varierande undervisning. Större flexibilitet och högre grad av anpassning till olika elevers/elevgruppers verkliga förkunskaper, förförståelse, intresse och studieinriktning. Det gäller såväl innehåll, arbetssätt, läromedel som annat arbetsmateriel. De nationella målen är gemensamma för alla elever men kan nås på olika sätt.

- Varierat arbetssätt med inslag av laborativa metoder både individuellt och i olika gruppkonstellationer.

Skolverket 2003

Som tidigare har nämnts försvinner intresset för matematik under skoltiden och eleverna kan inte se när, var och hur de ska använda de kunskaper ämnet ger. Detta kan bero på att många uppgifter inte är vardagsanknutna. Att anpassa och konkretisera problemlösningsuppgifter så att fler elever kan relatera till matematiken kan leda till att fler elever får en större förståelse för ämnet och på detta sätt uppnår målen i matematik genom att få ökad motivation.

2. Syfte och frågeställningar

Syftet är att få kunskap om vilka svårigheter problemlösningsuppgifters olika utformning kan vålla eleverna, samt hur uppgifterna kan konkretiseras för att skapa en större förståelse för matematik hos eleven.

2.1 Frågeställningar

- Vilka svårigheter kan identifieras när elever löser problemlösningsuppgifter som handlar om mönster?

- Hur kan man konkretisera en uppgift utifrån dess svårigheter så att de blir lättare för eleverna att lösa?

2.2 Avgränsning

3. Teoretisk bakgrund

Den teoretiska bakgrunden innehåller en sammanställning av litteratur som berör syftet till denna studie.

3.1 Problemlösning i matematik

Här nedan diskuteras vad problemlösning är enligt olika författare samt vad olika läroplaner har sagt.

3.1.1 Vad är problemlösning?

Problemlösning i undervisningen nämns för första gången som ett huvudmoment i Läroplan för grundskolan, Lgr 80, (1981) och det är först då problemlösning skall ta plats i undervisningen på ett annat sätt än vad den tidigare gjort. I Lgr 69 är problemlösning endast en hjälp för övrigt lärande i matematik och alltså ännu inget eget huvudmoment. Det ska endast vara som hjälp för att lära övrig matematik och det är den mest markanta skillnaden jämfört med Lgr 80.

I dagens gällande kursplan, Lpo 94, fokuseras det på att låta eleverna tänka matematiskt och på så sätt utveckla sina kunskaper. Det gör att lärarna får andra förutsättningar att undervisa jämfört mot tidigare läroplaner. Läraren måste nu kunna välja ut problem som på bästa sätt låter eleverna befästa nya kunskaper, fördjupa sig i dessa och upptäcka begrepp och samband inom matematiken (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005). Kan läraren välja ut problem som passar eleverna får dessa möjlighet att känna sig nöjda med lösningen de åstadkommit, blir positiva till matematik och finner det roligt att upptäcka samband. Motsatsen är att eleven arbetar på tyst i boken och stöter på problem som är alltför svåra, eller för lätta, och tappar motivationen utan att läraren upptäcker detta (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005). Låter man eleverna arbeta med problem som ligger på just deras nivå får eleven en utmaning och tränas i att upptäcka fel och åtgärda dessa, vilket är en mycket bra egenskap att ha med sig i samhället (Olsson, Emanuelsson & Johansson, 2003).

Dock är synen på vad en problemlösningsuppgift egentligen är olika och nedan kommer olika författare och deras syn på problemlösning att presenteras.

Löwing och Kilborn (2002) skriver att vissa menar att ett problem kan vara en benämnd uppgift, alltså en uppgift som innehåller text. Därför skulle egentligen det mesta i elevernas räkneböcker vara problemlösningsuppgifter eftersom även läsuppgifter ska räknas in här. Löwing och Kilborn (2002) skriver dock att en problemlösningsuppgift är just en problemlösningsuppgift om den uppfyller följande kriterier:

 Den som möter problemet ska vilja finna en lösning.

 Det inte ska finnas en färdig rutin att tillgå för problemets lösande.  Problemet kräver ett eller flera mer eller mindre kreativa lösningsförsök. (Löwing & Kilborn 2002) Hagland, Hedrén och Taflin (2005) har också en del kriterier som bör uppfyllas för att en uppgift enligt dem skall vara en problemlösningsuppgift:

 Det är en uppgift som en person vill eller behöver lösa.

 Personen ifråga inte har en på förhand given procedur för att lösa uppgiften.  Det krävs en ansträngning av henne eller honom att lösa uppgiften.

Författarna är relativt överrens om vad en problemlösningsuppgift är för något men Hagland, Hedrén och Taflin (2005) trycker även på vikten att som lärare förstå att en problemlösningsuppgift kan vara en rutinuppgift för en elev och en problemlösningsuppgift för en annan, beroende på vad eleven kan kunskapsmässigt.

Problemlösningsuppgifterna skiljer sig också åt i karaktär och det finns s.k öppna och slutna problem att arbeta med. De öppna problemen kan ha flera svar, där inget är mer rätt eller fel än det andra. Detta uppskattas ofta av elever, men det finns även elever, ofta de duktiga, som stöter ifrån sig dessa uppgifter eftersom de inte kommer på en lösningsmetod och blir frustrerade över att flera saker kan vara rätt (Möllehed, 2001). Slutna problem är uppgifter där det endast finns ett rätt svar (Möllehed, 2001).

Det viktigt att hela tiden utvärdera sin egen undervisning som lärare och fundera över sambanden mellan lärarens roll och elevens lärande. Lärarens roll är att skapa en miljö där inlärning kan ske. Läraren ska se till att det material som ska användas i uppgiften finns nära till hands och leda diskussioner i klassrummet så att alla elever har möjlighet att komma till tals och få sina idéer och tankar uppmuntrade (Löwing & Kilborn, 2002). Läraren kan inte lära eleven någonting, men däremot bana väg för lärande åt eleverna och det är av yttersta vikt vid problemlösning då uppgifterna ofta är längre och mer komplicerade och behöver vara på rätt nivå, så att eleven kan förstå vad som krävs för att lösa uppgiften. Löser man problem tränas hjärnan att utveckla tankar och idéer, självförtroendet ökar, analysförmågan blir bättre och eleverna utvecklar sin kreativitet och sitt tålamod. Alla dessa faktorer spelar stor roll för eleverna, då de förbereds för att klara olika slags situationer i livet genom att träna på dessa egenskaper. Det är viktigt eftersom eleverna behöver kunna matematik för att vara fullvärdiga medlemmar i de demokratiska processerna som finns ute i samhället (Olsson, Emanuelsson & Johansson, 2003). Problemlösningsuppgifter är ofta uppgifter som tar upp olika delar av matematik och uppmärksammar läraren dessa rika problemlösningsuppgifter får eleverna mycket fler aha-upplevelser och ser fler samband (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005). Lärare som går igenom del för del inom matematik, sannolikhetslära, algebra eller aritmetiken var för sig hindrar eleven från att se sambanden mellan dessa. Just sambanden är viktiga eftersom det leder till att elevernas strategiska tänkande inom matematiken får möjlighet att utvecklas.

3.1.2 Vilka svårigheter kan elever stöta på i problemlösning?

Det finns en mängd olika svårigheter elever kan ställas inför vid lösning av en problemuppgift och nedan presenteras de vanligaste enligt Möllehed (2001) kort.

 Problem med textförståelse innebär att eleven missförstår uppgiften genom att tolka texten fel. Detta leder till att eleven inte förstår sammanhanget eller vad som skall göras i uppgiften.

 Problem med verklighetsuppfattning innebär att eleven använder orealistiska värden eller tal när de ska utgå från verkligeheten för att kunna lösa en uppgift.  Problem med logik gör att eleven inte kan motivera hur han eller hon tänkt, och

inte heller visa hur de har löst uppgiften på exempelvis en diagnos eller ett prov.  Problem med räkneförmåga är när eleven inte har tillräcklig kunskap för att

kunna räkna korrekt. Det är även ofta vanligt med svårigheter att separera räknesätten.

 Problem med visuell förståelse innebär att eleverna inte förstår samtliga element eller har uppfattat en felaktig bild av modellen i uppgiften.

Samtliga svårigheter är knutna till elevernas tänkande och är vanliga i grundskolan. Det vanligaste av dessa i sin tur är enligt Möllehed (2001) problem med textförståelsen. Här kan enstaka ord vålla problem för eleverna, vilket tydligare nämns under kapitlet 3.2.3. Dock kan svårigheterna även kopplas till elevernas uppmärksamhet och visa att eleverna inte läst texten tillräckligt noga och därför får svårt att förstå uppgiften.

3.1.3 Att låta elever göra egna problemlösningsuppgifter

Löwing och Kilborn (2002) skriver att allt för många problemlösningsuppgifter är konstruerade problem där eleverna löser uppgifter som de redan kan och räknar flera liknande uppgifter på rad i boken. En vanlig uppgift i de lägre åldrarna är att låta eleverna själva konstruera en problemlösningsuppgift som de sedan ska färglägga efteråt. Nackdelen med dessa uppgifter är att eleverna konstruerar ett problem de redan kan eftersom de själva bestämmer vad svaret ska vara, och vissa lägger mest fokus på själva färgläggningen. De elever som brukar tycka bäst om dessa uppgifter är de elever som befinner sig i matematiksvårigheter eftersom de blir nöjda med sin färgläggning och sitt problem, som de redan kunnat svaret på när de konstruerat uppgiften, och de kopplar därför matematik som något roligt när de i själva verket lär sig minst av alla av dessa uppgifter (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005).

Hagland, Hedrén och Taflin (2005) menar dock också att det kan vara bra att låta eleverna konstruera egna problem eftersom det stimulerar deras intresse för matematik och hjälper dem att bli bättre problemlösare. Läraren får även en bild av elevens syn på problemlösning och ser vilka attityder som finns till ämnet genom elevernas egna uppgifter (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005). Författarna menar också att det är viktigt att arbeta med uppgifter där det inte finns något givet svar. Svar som endast ger rätt eller fel uppmuntrar inte eleven att tänka fritt utan formar eleven att tänka på ett visst sätt och göra uppgifter på rätt sätt enligt boken. Uppgifter som däremot har flera rätta svar uppmuntrar till diskussion och eleven lär sig att se ett problem på flera olika sätt (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005).

3.2 Konkretisering

Syftet med konkretisering är att leda eleverna till en större förståelse för matematik. Konkretisering kan ses som ett verktyg att underlätta vägen till ett mer abstrakt tänkande inom ämnet. Ett sätt att underlätta detta är att knyta undervisningen till något eleverna redan kan relatera till. Detta kan exempelvis vara en metafor, situation eller ett laborativt material (Löwing, 2006). En metafor kan handla om språket, men kan också vara liknelser i form av bilder och modeller. Vid olika situationer används exempelvis laborativt material för att stödja elevernas förståelse.

3.2.1 Konkretisering genom laborativt material

elever som förstår den abstrakta matematiken arbeta vidare i läroböckerna (Rystedt & Trygg, 2010).

Ett laborativt arbetssätt i matematikundervisningen är ett sätt att konkretisera där man använder laborativt material som är lämpat för det syfte som uppgiften har. Vid en laborativ matematikundervisning sätts flera sinnen i bruk och innehållet i undervisningen utgår från den informella nivån som eleven befinner sig på. I det laborativa arbetssättet utgår alla elever från det konkreta och arbetar sig vidare till ett mer abstrakt tänkande. Detta resulterar i att eleverna använder sig av olika sätt att lära och går från en informell nivå till en mer formell nivå. Arbetssättet gör att alla elever är aktiva, då undervisningen blir anpassad till elevens nivå (Rystedt & Trygg, 2010).

Ett laborativt material kan vara något fysiskt som eleverna kan ta på, som exempelvis knappar och kapsyler. Det finns också laborativa material som är digitala som kan användas i form av datorspel och interaktiva tavlor. Rydstedt och Trygg (2010) tar även upp nyare mobiltelefoner som ett laborativt material då innehållet i dem kan vara till hjälp vid olika former av problemlösning (a.a. 2010).

Löwing och Kilborn (2002) menar att många pedagoger förlitar sig på att materialet som används i undervisningen automatiskt konkretiserar uppgifterna, vilket inte är fallet. Pedagogerna behöver vara aktiva i arbetet med materialet. Annars finns det en risk att eleverna inte förstår syftet med användningen av materialet och på detta sätt blir det laborativa materialet ett hinder för eleverna istället för att underlätta uppgiften för dem.

De olika laborativa materialen skiljer sig åt och åsikterna om vilken typ av material som ska användas går isär. En del didaktiker menar att praktiskt och vetenskapligt kunnande utgår från vardagen, som matlagning och trädgårdsskötsel. Didaktikerna anser att vardagliga föremål är bäst lämpade för laborativt arbete då materialet redan kan vara känt av eleverna och på detta sätt går inlärningen fortare. Även personer utanför skolan, exempelvis föräldrar, har en förståelse för hur det vardagliga materialet ska användas, vilket minskar risken att materialet används på fel sätt (Rystedt & Trygg, 2010).

Mycket inom matematiken har uppkommit från verkligheten vilket gör det lättare för eleven att förstå hur uppgiften är uppbyggd och hur den ska lösas. Dock uppstår det problem då all matematik inte kan knytas till vardagen. Den matematiska uppgiften saknar då en konkret förklaring. Som pedagog är det viktigt att klargöra för eleverna att matematik vid vissa tillfällen saknar en konkret förklaring. Ett fel som pedagoger ibland gör är att de försöker vardagsanknyta alla uppgifter. Förklaringen till uppgiften blir ofta långsökt och eleven får ingen ökad förståelse för hur uppgiften ska lösas. Det är bättre att förklara för eleven att det finns regler inom matematiken som behövs följas för att lösa vissa uppgifter. Liknelser kan dras till olika spel, många elever accepterar förklaringen då de inte har några problem att förstå regler i andra sammanhang (Löwing & Kilborn, 2002).

En annan typ av laborativt material är det pedagogiska materialet. Ett exempel på detta material är multibaskuber. Materialet är framtaget för att pedagogerna ska kunna upptäcka missuppfattningar som eleverna kan stöta på i undervisningen. Ett användningsområde för detta material är när vardagsmaterialet inte räcker som förklaring till en specifik princip inom matematiken. Det pedagogiska materialet är anpassat för att minska risken för ”störande brus”, förklarar Rydstedt och Trygg (2010). Tillverkaren bakom materialet har en matematisk tanke. Det är dock oklart om pedagoger och elever alltid har samma syn på materialet som tillverkaren (a.a. 2010).

Materialet ska användas som ett medel under elevens inlärningsprocess tills de kan koppla det till en metod. När en koppling har gjorts och eleverna har fått en förståelse ska pedagogen lägga undan det laborativa materialet så att eleven får möjlighet att träna och stärka en metod (Löwing & Kilborn, 2002). Det är viktigt att en elev inte är beroende av ett material för att lösa en beräkning (Rystedt & Trygg, 2010).

Det finns olika sätt att få eleverna att gå från konkret till abstrakt förståelse. Rydstedt och Trygg (2010) tar upp James Heddens förslag på hur pedagogen kan gå från att undervisa eleverna med laborativt material till ett symbolspråk. Möjligheten till det förklaras genom fyra nivåer:

I. Konkret. Arbete med laborativa material.

II. Halvkonkret. Den halvkonkreta nivån är en representation av en verklig situation. Laborativa material byts mot bilder.

III. Halvabstrakt. Den halvabstrakta nivån medför en symbolisk representation av konkreta föremål, men symbolerna ser inte ut som föremålen utan består av informella symboler som t ex ringar eller streck. IV. Abstrakt. Bilder och informella symboler ersätts med formella symboler, räkneregler, räknelagar och andra konventioner.

(Rystedt & Trygg, 2010:30)

Rystedt och Trygg (2010) tar upp vikten av dokumentation vid arbete med laborativt material. När en uppgift har utförts ska den dokumenteras, annars finns ”ingenting kvar”, som författarna uttrycker det. Författarna menar att det krävs dokumentation för att ha en översikt över elevernas kunskap inom ämnet (a.a. 2010).

En laborativ arbetsgång är positiv då det ger möjligheter för pedagogen att bedöma och analysera elevernas ämneskunskaper vid flera tillfällen. När eleverna arbetar laborativt är det viktigt att pedagogen lyssnar på deras diskussioner och ställer frågor som vidgar deras tänkande. Det är också viktigt att göra observationer av samarbete och enskilt arbete samt låta eleverna göra skriftliga lösningar på uppgifterna. Detta för att pedagogen ska få en större insikt i vilken matematisk förståelse som eleverna besitter (Rystedt & Trygg, 2010).

3.2.2 Konkretisering med hjälp av modeller och bilder

När bilder används i uppgifter är det viktigt att de är tydliga, så att de inte motsäger texten och på så sätt förvirrar eleverna. Bild och text behöver också passa ihop för att minska risken för förvirring. En bild har en positiv inverkan på lärande då den kan ge eleverna en större textförståelse, samt att en bild kan fånga en elevs uppmärksamhet. När en bild används ställs det krav på eleven att både kunna tolka texten i uppgiften och att kunna tolka bilden (Einarsson & Karlsson, 2010).

Löwing & Kilborn (2002) menar att vid vissa situationer är det möjligt att bygga upp en modell, av konkret material eller i form av en bild. Detta för att förtydliga uppgiften så att eleverna lättare kan förstå olika regler och sammanhang. Ett exempel på detta är att använda sig av ”chokladkake-metoden” vid uppgifter med bråk. Denna metod går ut på att rita upp chokladkakor och dela upp dem, och markera antalet rutor som bråket innehåller. Precis som med laborativt material ska denna metod användas tills det eleverna fått en förståelse för hur matematiken ska lösas, där efter ska den tas undan (Löwing & Kilborn, 2002).

blir eleverna mer medvetna om vad symbolerna står för vilket ger dem en större förståelse för symbolfunktionen (Ahlberg, 1995).

Bilder inom matematiken har en positiv effekt på inlärningen. Genom att använda sig av bilder får yngre elever lättare en förståelse för olika matematiska begrepp. Bilder tolkas olika, speciellt mellan elever och pedagoger. Skillnaden är att eleverna inte får ut lika mycket information genom bilderna som en pedagog kan få. Därför är det viktigt att samtala mycket vid undervisning där bilder förekommer. Genom att prata om bilderna och att ge eleverna tid till att reflektera, får eleven en bättre förståelse för uppgiften i matematikundervisningen. Att låta eleverna använda sig av reflektion är viktigt och ger dem större möjlighet till att komma på vilket räknesätt som ska användas i uppgiften. Det finns tillfällen då elever inte klarar av att tyda en bild. Som tidigare har nämnts är samtal en bra metod för att öka förståelsen för en bild. Att använda sig av en bildserie är en annan metod som gör att bilderna inte blir för statiska utan visar tydligt en förändring inom matematiken (Blom, 1981).

3.2.3 Konkretisering med hjälp av språket

I matematik används ett språk som skiljer sig från det vardagsspråk eleverna vanligtvis använder sig av. Det matematiska språket innehåller bland annat symbolspråk och termer som eleverna inte stött på tidigare. I det matematiska språket finns också många ord som eleverna använder i sitt vardagliga språk. Orden har dock olika betydelser beroende på vilken situation som de används i. Ur ett matematiskt sammanhang har exempelvis ordet ”rymmer” en viss betydelse. Samma ord kan eleven relatera till ur ett vardagsperspektiv och tolka det som att någon flyr. Uppgiften blir på detta sätt oförståelig för eleven då ordet inte passar in i frågeställningen i en uppgift (Myndigheten för skolutveckling, 2007).

Myndligheten för skolutveckling (2007) tar upp olika ord som kan vara missvisande och tolkas på olika sätt av eleven. Ett exempel på detta är uppgiften: ”Sara simmar till den plats på kartan som är utmärkt med ett kryss” (a.a. 2007:26). Ordet ”utmärkt” kan uppfattas som något som är bra och inte som en markering som frågan syftar till. Efter en omformulering blir frågeställningen så här: ”Sara simmar till den plats på kartan som är markerad med ett kryss” (Myndigheten för skolutveckling, 2007:26).

För att eleverna ska få en förståelse för ordens olika innebörd är det viktigt att pedagogen tydligt förklarar att orden har en vardaglig såväl som en matematisk betydelse. Eleverna blir efterhand mer bekanta med orden och snart är de en del av det aktiva ordförrådet. Saknar eleverna en förståelse för det matematiska språket kommer de att stöta på svårigheter med problemlösning. Pedagogen behöver försäkra sig om att eleverna har förståelsen för orden innan de används i uppgifter. Har eleverna ingen förståelse blir inte uppgiften relevant för eleven (Myndigheten för skolutveckling, 2007). I och med detta ställs det höga krav på de språkliga kunskaper en pedagog besitter, då pedagogen har ansvar för att utveckla elevens språk i undervisningen. Samtidigt krävs det att språket i undervisningen är anpassat på ett sådant sätt att det är förståligt för eleven (Löwing & Kilborn, 2002).

Löwing och Kilborn (2002) tar upp pedagogers språk och uppmärksammar hur språket i undervisningen ändras beroende på vilken situation pedagogen befinner sig i. Författarna lyfter bland annat att det didaktiska språket som används i undervisningen inte stämmer överens med det språk som pedagogerna och eleverna använder utanför ämnet.

lotsning då en elev behöver hjälp med en uppgift och kommunikationen mellan dem brister. När elever saknar förståelse för en uppgift och de förklaringar som tidigare har givits, är det lätt att pedagogen ställer ledande frågor och till slut även ger eleven svaret. Detta ger resultatet att eleverna skriver rätt svar utan att ha någon förståelse för uträkningen av uppgiften. Ofta blir både eleverna och pedagogen nöjda med lösningen för stunden. Genom lotsning förlorar eleverna möjligheten att ta egna initiativ samt att förståelsen uteblir då eleverna går miste om viktiga inlärningssteg när pedagogen lotsar dem till rätt svar (Löwing & Kilborn, 2002).

Förutom kommunikation med pedagoger, kommer elever i kontakt med olika läromedel. Ett läromedel förutsätter att eleverna har de grundläggande språkliga kunskaper som krävs för att uppgifterna ska kunna lösas (Löwing & Kilborn, 2002). Svårigheter som eleverna kan stöta på i olika läromedel är att uppgifterna är väldigt komprimerade och saknar många småord. Detta resulterar i att förståelsen för uppgiften minskar då eleverna inte ser något samband i texten (Myndigheten för skolutveckling, 2007).

Under matematiklektionerna handlar det ofta för många elever om att göra många uppgifter och befinna sig längst fram i matematikboken. Detta leder i sin tur till att eleven letar efter genvägar till att lösa uppgifterna på ett så enkelt sätt som möjligt (Löwing & Kilborn, 2002). Ett exempel på detta är när eleverna inte lägger ner tid på att läsa en uppgift. Eleven förlorar förståelsen för vad det frågas efter i uppgiften. Eleven fokuserar istället på att hitta ett signalord. Dessa ord ger tecken på vilken form av räknesätt som ska användas i uppgiften. Det finns dock tillfällen där signalorden missleder eleverna. ”Peter är 8 år och 4 år äldre än Gustav. Hur gammal är Gustav?” (Myndigheten för skolutveckling, 2007:20). I exemplet är ordet ”äldre” ett signalord och kan tolkas som en addition av eleverna. Precis som med ord är det också vanligt förekommande att eleverna gör likadant med symboler. Resultatet av detta blir att eleven inte besvarar frågan som ställs i uppgiften (Myndigheten för skolutveckling, 2007).

En matematisk uppgift kan vara uppbyggd på olika sätt, i vissa uppgifter framgår det tydligt vad eleven ska beräkna, medan frågeställningen i andra uppgifter är komplex. Det är ofta svårt för pedagoger att göra matematiska uppgifter då de behöver vara tydliga men för den delen inte göra matematiken lättare. Vid framställandet av matematiska uppgifter är det viktigt att pedagogen använder sig av ett nyanserat språk för att underlätta och öka förståelsen hos eleven (Myndigheten för skolutveckling, 2007).

3.3 Mönster

Mönster finns runtomkring oss i vardagen, så även inom matematiken. Det som kännetecknar ett mönster är hur det upprepas, alternativt förändras regelbundet (Olsson, Emanuelsson & Johansson, 2003). Inom matematiken finns olika former av mönster, geometriska mönster och talmönster. Geometriska mönster går att se i exempelvis murar och golvplattor, då olika färger, storlekar och strukturer kan bilda mönster. Tal kan också bilda olika mönster och kallas för talmönster. Ett exempel på hur ett talmönster kan se ut är: ”2, 4, 8, 16, 32 …” (Olsson, Emanuelsson & Johansson, 2003:143) och kan med fördel illustreras med bilder för att underlätta förståelsen för eleverna (a.a. 2003).

användas för att lösa frågor om hur många tändstickor som används i figur 56. Genom att se ett mönster minskar risken för att en uppgift blir tråkig och allt för omfattande. För att förtydliga ett mönster kan det med fördel dokumenteras. Ett exempel kan vara att använda sig av tabeller då de tydliggör samband (Bergius & Emanuelsson, 2008).

Redan i unga åldrar är barn systematiska, vilket märks tydligt när de sorterar sina leksaker efter exempelvis storlek. Detta visar på att människan redan tidigt försöker skapa mönster och ordning. Många elever använder sig av att skapa egna mönster och bilder när de arbetar med matematik (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1998).

Inlärning sker lättare om eleven tycker att lärotillfället är roligt. Att använda sig av material som eleven känner igen, som exempelvis lego, kan underlätta förståelsen för mönster hos eleven. Många elever har redan en förtrogenhet om hur materialet fungerar, då de bygger och arbetar med olika mönster när de leker fritt och på detta sätt kan förståelsen för mönster göras tydligare (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1998).

Förutom att använda sig av material som eleverna känner sig förtrogna med är det viktigt att arbeta med språket. Till en början räcker det med att använda sig av vardagsspråk, men efterhand krävs det att eleverna utvecklar språket och använder specifika begrepp. Språket är viktigt för att kunna återge och förklara ett mönster, för någon annan (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1998).

4. Metod

Nedan beskrivs hur materialet till denna studie samlats in, samt vilka urval och observationer som genomförts. Tillvägagångssättet med intervjuerna presenteras också, likaså själva genomförandet av uppgifterna med samtliga elever som berörs av denna studie.

4.1 Urval

Lektionsförsöken har genomförts i årskurs 3 på en skola i en småstad i södra Sverige. Klassen bestod av 24 elever som låg på väldigt blandade nivåer kunskapsmässigt i matematik. Flera elever hade läs- och skrivsvårigheter, och det fanns även fall av dyslexi. Eleverna valdes ut genom ett bekvämlighetsurval eftersom klassen var tillgänglig genom kontakt med vfu-handledaren. Bryman (2006) menar att just liknande situationer är bekvämlighetsurval då personer väljs ut i förhand och inte slumpas fram. Samtliga elever i klassen var med i undersökningen i den första delen, och sedan fick de elever som haft problem med att lösa uppgifterna vara med i en omgång till där de fick delta i intervjuer och göra de uppgifter som blivit omformulerade.

Som kontrollgrupp valdes en annan klass ut genom ett bekvämlighetsurval på en annan skola i närområdet. Klassföreståndaren arbetade på samma skola som en tidigare vfu-plats för en av författarna och därför var författarna i studien bekanta med klassföreståndaren men inte med eleverna. Därför valde klassförestånadaren ut en grupp elever som fick vara med i studien. Klassen bestod av elever i blandade åldrar årskurs 2-3 och de var totalt 22 stycken elever. Här valdes en grupp elever ut som alla hade svårt för matematik. Klassläraren valde dessa elever eftersom hon ansåg att de låg på snarlik nivå med de elever som blev utvalda till en andra omgång med omformulerade uppgifter i den första klassen. Tanken var att se om elever som låg på snarlik nivå i matematik stötte på liknande svårigheter med uppgifterna, eller om testgruppen fått det lättare för sig eftersom de gjort de första uppgifterna innan.

Uppgifterna som använts i studien har valts ut från en extrabok till elevernas vanliga matematikbok. Uppgifterna valdes ut under vfu:n och samtliga uppgifter var okända för eleverna.

4.2 Datainsamlingsmetoder

Denna empiriska undersökning utgick ifrån klassrumsobservationer, lektionsförsök och intervjuer. Att använda sig av flera olika metoder är enligt Johansson och Svedner (2006) viktigt eftersom man belyser sin frågeställning genom olika metoder och därigenom får en djupare förståelse av de data som samlats in. Materialet som undersökningarna bidragit med har löpande analyserats genom arbetets gång vilket gjort att studien varit av den kvalitativa typen. Kvalitativa arbetssätt leder till en djupare förståelse och passar bra till olika undersökningssätt, exmpelvis klassrumsobservationer och lektionsförsök (Patel & Davidson, 2010) vilket denna studie innehållit och det föll det sig därför naturligt att den metodiska ansatsen var av typen kvalitativ.

stött på en för svår uppgift och det var liknande tecken som skulle iakttas och dokumenteras om dessa uppträdde. Löpande observationer kännetecknas ofta genom att just en frågeställning är i fokus och styr vad som ska registreras (Johansson & Svedner, 2006) och det var eventuella svårigheter med problemlösningsuppgifterna som skulle antecknas i detta fall. Observationerna gav även en större möjlighet att se vilka elever som var intressanta att välja ut för intervjuerna. Själva dokumentationen utfördes genom skriftliga anteckningar på plats i klassrummet direkt när eleven sa något av intresse. Resultaten av problemlösningsuppgifterna sammanställdes efter att eleverna gjort dem och de elever som fått sämst resultat blev tillfrågade om de ville vara med i en intervju.

Intervjuerna genomfördes enbart med eleverna i testgruppen och var av typen kvalitativ intervju med öppna frågor där eleverna diskuterade kring uppgifterna de genomfört. Kvalitativa intervjuer utgår från mer fritt formulerade frågor. Frågorna rör ett specifikt ämne, i detta fall elevernas syn på problemlösningsuppgifterna, men har inga ja/nej svar. Istället kan frågorna anpassas efter den person som ska intervjuas för att få så uppriktigt svar som möjligt (Johansson & Svedner, 2006). Ett par huvudfrågor fanns (se bilaga 7) att tillgå för att intervjupersonen skulle ha ett underlag som stöd. Syftet med intervjuerna var att föra en dialog kring uppgifterna eleverna utfört och diskutera med eleven för att få elevens syn på uppgifterna. Intervjuerna spelades in på band och transkriberades och studerades i efterhand för att kunna analysera elevernas svar.

4.3 Genomförande och databearbetning

4.3.1 Genomförandet med eleverna

Det första moment var att genomföra problemlösningsuppgifterna med testgruppen i helklass. Här undersöktes hur eleverna klarade problemlösningsuppgifter av olika karaktär och om de blev lättare eller svårare att lösa om dessa omarbetades.

Eleverna fick tre stycken problemlösningsuppgifter tilldelat sig. Uppgifterna var hämtade från en extrabok till elevernas matematikbok som de använde dagligen i matematikundervisningen och de valdes ut under den verksamhetsförlagda utbildningen. Ingen elev hade sett uppgifterna när de valdes ut eller räknat dessa innan. Extraboken var inte svårare än huvudboken utan innehöll endast fler uppgifter till de elever som behövde en paus från huvudboken, eller var färdiga med sidorna de skulle räkna. De uppgifter som valdes ut var uppgifter av liknande karaktär som vållat eleverna mycket problem att lösa och endast ett fåtal i klassen hade lyckats med liknande uppgifter i huvudboken, trots att läromedlet var anpassat efter den ålder eleverna var i. Eleverna hade inte heller svårt för alla uppgifter, utan det var främst problemlösningsuppgifterna i boken som ställde till problem. De kriterier som ställdes på dessa uppgifter när de valdes ut var följande;

 En uppgift som eventuellt kan vålla problem för eleven att lösa.  En uppgift som innehåller text och meningar.

Den första uppgiften eleverna blev tilldelade gick ut på att eleven skulle se ett mönster som ökar (se bilaga 1). I den andra uppgiften eleverna blev tilldelade var syftet att eleven skulle träna på udda och jämna tal över 5 (se bilaga 2). I uppgiften finns det exempel på hur talen kan se ut, samt siffrorna 1-9. Den tredje uppgiftens syfte (se bilaga 3) var att få eleven att upptäcka ett minskande mönster med hjälp av att räkna antalet pärlor på tre olika halsband för att sedan lista ut hur många pärlor det skulle vara på det fjärde och minsta halsbandet. Samtliga uppgifter som valts ut handlade om någon form av mönster. Eleverna hade tillgång till ett laborativt material i klassrummet och det bestod av bönor. Det laborativa fanns som hjälp för eleverna om de behövde konkretisera en uppgift och se det framför sig. När uppgifterna genomförts rättades dessa och analyserades och diskuterades. De elever som hade svårt för matematik kom tydligt fram och det gick att se vilka elever som skulle tillfrågas att vara med i en intervju.

4.3.2 Observationerna

Observationerna var av typen ”kritiska händelser” och enligt Johansson och Svedner (2006) använder man sig av denna observationsform när det är en speciell kritisk händelse som är av centralt intresse för examensarbetet, i detta fall uttryck att uppgiften vållar problem för eleverna. De kritiska händelserna skulle sedan antecknas och utifrån det analyseras.

Under tiden eleverna genomförde uppgifterna ovan studeras de genom observationer. Syftet var att se om eleverna visade några tecken på att de hade problem med att lösa uppgiften. Eleverna hade tidigare under den verksamhetsförlagda utbildningen visat oro i kroppen genom höga suckar, svårt att sitta still eller fokuserat på att bygga torn av suddgummin eller liknande. Därför skulle eleverna iakttas för att se om de uttryckte något liknande när de genomförde problemlösningsuppgifterna eller räckte upp handen och ställde några frågor under lektionen. Iakttogs något intressant skulle detta antecknas så att det var möjligt att återgå och titta på observationsanteckningarna vid ett senare tillfälle för att se vad som kommit fram.

4.3.3 Intervjuerna

uppmuntra eleverna att berätta vad de personligen ansåg om uppgifterna minskades denna risk. Det var 7 elever som skulle intervjuas och intervjuerna tog mellan 5-10 minuter. Att tiden på intervjuerna varierade berodde på att eleverna diskuterade olika mycket kring uppgifterna. Intervjuerna utgick från de frågor som ligger som bilaga 7 men frågorna varierade trots detta mycket eftersom eleverna själva pratade på om uppgiferna.

Frågorna i sig handlade bland annat om eleverna tyckt att uppgifterna varit roliga eller svåra. Anledningen till att vi frågade om uppgifterna var roliga var för att få en större förståelse hur eleverna själva såg på uppgiften. Var en uppgift rolig kunde detta kanske visa sig bero på att eleven klarat uppgiften? Var den vardagsanknuten till elevernas egna verklighet? Eller var den rolig för att den var konkret och lätt att förstå och inte vållade några problem för eleven? Att bara fråga om de svåra sakerna skulle även göra att intervjun kunde gått trögt eftersom det ofta kan vara lättare att prata om saker man tycker om eller tycker är lätt och därför valdes frågor om vad som varit roligt också ut.

Intervjuerna transkriberades och studerades i efterhand för att kunna analysera elevernas svar. Transkribering bidrar till att förbättra minnet av vad som sagts och underlättar analysen av vad som sagts i intervjuerna (Bryman, 2006). Intervjuerna spelades upp och skrevs ner ordagrant och pauser markerades. Även småord skrevs ner eftersom Bryman (2006) menar att just tvekan eller osäkerhet senare kan visa sig vara det mest värdefulla i en intervju.

Alla elever som intervjuades hade svårigheter i matematik och skulle kunna vara representativa för en större grupp elever i allmänhet. Att analysera representativa individer anser Johansson och Svedner (2006) vara bra om eleverna har liknande erfarenheter. Eleverna var svaga i matematik och flera svarade på liknande sätt och hade stött på samma svårigheter. Svaren fick representera de saker som skulle ändras till de nästkommande, omformulerade uppgifterna. De saker som framkommit flest gånger blev de saker som fick störst åtanke vid formuleringen av de nya uppgifterna.

4.3.4 Omarbetning av uppgifterna

4.3.5 Kontrollgruppen

När testgruppen gjort de omformulerade uppgifterna fick kontrollgruppen testa samma uppgifter. Kontrollgruppen fanns för att kunna visa om testgruppen haft någon fördel i att göra de första uppgifterna innan, eller någon fördel genom intervjuerna där de diskuterat de första uppgifterna innan de omformulerats. En grupp elever valdes ut av klassens klassföreståndare och dessa låg på liknande kunskapsnivå med gruppen som fått göra de omarbetade uppgifterna i testgruppen, alltså elever som var svaga i matematik. Eleverna i kontrollgruppen hade inte tillgång till något konkret material under tiden de genomförde uppgiftern Skulle eleverna fastnat på samma sätt som några elever i testgruppen gjorde skulle de också få tillgång till en mer konkret förklaring eller laborativt material för att lättare kunna genomföra uppgiften. När eleverna gjort uppgifterna rättades dessa och resultaten presenteras nedan under ”Resultat”.

4.4 Reliabilitet och validitet

Reliabilitet förklaras som pålitligheten i dessa fenomen som undersökts och handlar om att undersökningarna utförts på ett tillförlitligt sätt (Johansson & Svedner, 2006). Reliabiliteten i intervjuerna ansågs vara god eftersom samtliga intervjuer genomfördes under samma lektionstillfälle med samma förutsättningar, samt av samma person. Johansson och Svedner (2006) menar att just dessa faktorer annars kan spela en avgörande roll på reliabiliteten om dessa skiljer sig från intervju till intervju. Olika personer intervjuar inte på samma sätt även om samma frågor ställs. En fråga kan uppfattas annorlunda om den ställs med ett annat tonfall eller uttrycks annorlunda jämfört med hur personen som intervjuat eleven tidigare formulerat frågan. Ett helt tillförlitligt urval gick inte att få eftersom eleverna inte var bekanta med författarna bakom studien och därför valdes ut av klassföreståndaren. Detta skulle kunna leda till att reliabiliteten sänks eftersom klassföreståndaren kan ha en annan syn på vad en svag elev är.

Validiteten förklarar Johansson och Svedner (2006) är när resultaten ger en sann bild om de saker som undersökts. I de observationer som utfördes i testgruppen kan validiteten ifrågasättas eftersom eleverna var medvetna om att observatörerna befann sig i klassrummet. Detta kan leda till att elever inte uppför sig naturligt eller spontant utan fokuserar på vad observatörerna gör och om till exempel anteckningar skrivs. Dock var eleverna bekanta med obsersvatörerna sedan tidigare. Därför var eleverna vana vid att denna person befann sig i klassrummet och visade inga tecken på att uppmärksamma detta eller på något sätt tycka det var konstigt utan arbetade som vanligt. Eleverna visste dessutom om att personen skulle befinna sig i klassrummet den dagen då observationerna genomfördes och därför blev inte detta någon överraskning för eleverna och därför var validiteten god.

Frågorna i intervjuerna utgick ifrån syftet och rörde de utförda uppgifterna eleverna fått göra tidigare under veckan men även elevernas egen syn på problemlösningsuppgifter, samt vad de ansåg om ämnet matematik och liknande uppgifter. Problemlösningsuppgifterna i sin tur som eleverna genomförde var just problemlösningsuppgifter som handlade om mönster vilket också var syftet från början och därför stärks även validiteten även här.

4.5 Etiska aspekter

Eleverna i denna studie har fått information om att de när som helst kunnat avbryta intervjun om de så önskat enligt den första regeln i Vetenskapsrådets Etiska principer (2009). Skulle eleven vilja avbryta intervjun ska inga negativa åsikter framföras om detta och eleven ska inte känna någon press att fullfölja utan kunna avbryta på sina egna villkor utan negativa konsekvenser. Eleven ska inte heller sättas i en beroendesituation mellan de inblandade parterna utan kunna avbryta när eleven inte längre vill delta. Elevernas föräldrar har också blivit informerade om att studien skulle äga rum och de har blivit tillfrågade om eleverna har fått ställa upp i intervjun (Vetenskapsrådet, 2009). Föräldrarna har fått information via klassens veckobrev att observationerna skulle äga rum samt att det var studenter som samlade in material i en uppsats. Föräldrarna är bekanta med en av studenterna sen tidigare. De föräldrar som haft elever som varit med i intervjun har blivit tillfrågade innan via brev som eleverna tagit hem för underskrift om föräldarna godkänt att eleverna fått ställa upp i intervjun. I den skriftliga informationen har intervjuerna beskrivits och föräldrarna har fått förklarat att eleverna kommer att vara helt anonyma, samt att banden med inspelningarna förstörs efter att arbetet är klart. Personen som intervjuat eleverna har också skrivit på ett sekretessavtal på skolan som garanterar att alla uppgifter om eleverna inte sprids, samt att eleverna förblir helt anonyma.

5. Resultat och analys

Sammanställningen är framtagen från elevernas resultat både när det gäller de första utvalda uppgifterna samt de omarbetade uppgifterna. Resultatet bygger på klassrumsobservationer och elevintervjuer. Testgruppen respektive kontrollgruppens resultat redovisas var för sig. I den här delen av arbetet analyseras också resultatet.

5.1 Uppgift 1

5.1.1 Testgruppens resultat samt en analys av den ursprungliga uppgiften

Uppgift 1 (se bilaga 1) handlade om en mus vars namn var Sofia. Sofia hade namnsdag och skulle fira det med ett kalas och undrade hur många möss som kom i slutändan på kalaset, samt vilken dag detta ägde rum. Uppgiften utgick från en tabell, där eleverna skulle se ett ökande mönster som de skulle fortsätta på och färdigställa. Förutom tabellen fanns det också information på olika ställen i uppgiften. Eleven behövde kunna lösa tabellen och använda sig av informationen som framkom för att kunna svara på uppgiftens frågor. Syftet med uppgiften var att eleverna skulle träna på ett ökande mönster. Genom uppgiften fick eleverna träna på att upptäcka talmönster vilket är ett av kursmålen i matematik (skolverket, 2000).

Vid observationstillfället framgick det tydligt att eleverna tyckte att uppgift 1 var förvirrande. Detta kunde fastställas då elevernas frågor kring uppgiften i första hand handlade om att förstå sammanhanget i uppgiften och inte själva matematiken i den. Informationen till att lösa uppgiften fanns på olika ställen i uppslaget, vilket var en bidragande faktor till elevernas förvirring. Ett exempel som visade på detta var tabellen i uppgiften. Tabellen började på en sida och fortsatte på den andra. Vissa elever förstod inte detta utan trodde de gjort fel när deras tal inte nådde över hundra, vilket krävdes för att svara på en av uppgifterna. Det fanns också elever som inte förstod att de skulle fortsätta på samma sätt i tabellen på den andra sidan, utan de fortsatte att skriva in datum. Mönster används för att visa sammanhang och underlätta vid problemlösning (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1998). När tabellen delas mitt av, bryts mönstret. Sammanhanget försvinner och det blir svårare för eleverna att förstå uppgiften. Det visar sig i resultatet, då det fanns elever som inte såg någon röd tråd när det inte fanns något tydligt mönster.

En av frågorna i uppgiften var att svara på vem det var som hade namnsdag den dag då det var över hundra möss. Vid observationen var det en elev som fokuserade på bilden och sa: ”den” och pekade på musen som uttryckte att det var hennes namnsdag. Eleven tittade upp och sa: ”ska jag skriva den då?”. Det var många möss på sidan men inga namn, och eleven tittade inte på föregående sida där det var en mus som nämnde sitt namn. När eleven förstått att det bara var en som har uttryckt sitt namn i uppgiften skrev eleven in det som svar på uppgiften. Eleven uttryckte inte någon säkerhet i sitt svar utan använde sig av uteslutningsmetoden, då det bara fanns ett utskrivet namn i uppgiften.

inte tillräcklig kunskap för att kunna räkna ut uppgiften korrekt. Detta visar att eleverna kan ha haft problem med sin räkneförmåga. Detta kan delvis berott på att eleverna gjort onödiga uppskattningar, vilket Möllehed (2001) menar att elever ofta gör i problemlösningsuppgifter vid liknande karaktär. Eleverna gör då en grov uppskattning, delvis beroende på slarv och lathet när större tal ska räknas, och kommer fram till en ungefärlig summa som sedan förs in i tabellen. Allför grova avrundningar förändrar dock resultatet påtagligt mycket och det leder sedan till att talen blir felaktiga i tabellen (a.a. 2001).

En elev fokuserade mer på att skriva fint än att räkna vidare på den uppgiften som tilldelats vid observationstillfället. Detta fick till resultat att eleven hade problem rent tidsmässigt att hinna med de andra uppgifterna. Löwing och Kilborn (2002) menar att elever i matematiksvårigheter lägger fokus på andra delar än matematiken i uppgiften. Även om deras exempel handlar om elevernas på egen hand framtagna problemlösningsuppgifter, går det att se tydliga samband med eleven i denna studie.

Eleverna var generellt sätt positiva till uppgiften, dock uttryckte en pojke sin frustration över att uppgiften varit rörig. Pojken blev då tillfrågade under intervjun på vilket sätt uppgiften varit rörig och såhär svarade han:

Asså..man fattade inte riktigt vem de va som fyllde år eller om dom flyttade.. Dom skrev ju att hon fyllde år men..eh..men asså man såg ju ba att dom flyttade grejer o så... Så jag tänkte om man skulle plussa dom som va på bilden också när man räknande för dom med soffan kom ju nyss.

Pojke, 9 år.

Här framgick det alltså tydligt att pojken blivit förvirrad och dessutom tolkat Musen Sofias namnsdag som en födelsedag och därför missuppfattat uppgiften både visuellt och textmässigt. Uppgiften blev därför ännu rörigare att lösa. Visuellt röriga uppgifter leder ofta till missförstånd då dessa uppgifter förvillar eleverna och de får svårt att dels förstå vad som ska göras, eller blandar ihop något vilket i sin tur leder till ett felaktigt resultat (Möllehed, 2001).

Trots de svårigheter som eleverna ställdes inför i uppgiften var det många som klarade uppgiften utan några felräkningar i tabellen. Det fanns elever som räknat fel i tabellen men ändå svarat rätt på de två frågorna i uppgiften.

5.1.2 Uppgift 1 omarbetad (se bilaga 4)

När uppgift 1 arbetades om, skulle matematiken vara densamma i uppgifterna som skulle skapas, det enda som skulle ändras var uppgiftens formulering. Till exempel kunde frågorna i uppgiften uttryckas på ett annat sätt eller illustrationerna göras mer konkreta och enkla för eleverna att tolka.

Syftet med den ursprungliga uppgiften var att eleverna skulle träna på ett ökande mönster, vilket överfördes till den omarbetade uppgiften. För att uppgiften skulle bli så anpassad som möjligt utgick författarna till studien från vad eleverna hade sagt under intervjun samt resultatet som framkom vid observationen.

5.1.3 Testgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften

Den omarbetade uppgiften (se bilaga 4) utgick alltså från ett ökande mönster. Eleverna skulle med hjälp av informationen i uppgiften kunna räkna ut hur lång en flicka är efter fem år.

Efter att uppgiften blivit omarbetad var det fler elever som såg det ökande mönstret och klarade av att lösa uppgiften. Det som många elever hakade upp sig på i uppgiften var ordet ”nyårsafton”. De förstod inte att ordet syftar på årets sista dag. Efter en kort förklaring blev det tydligare för eleverna och de kunde lösa uppgiften. Myndigheten för skolutveckling (2007) tar upp vardagsord som ett problem när eleven ska tolka en frågeställning i en problemlösningsuppgift. När eleverna tänkte på ordet nyårsafton kunde de istället för att tänka att det är årets sista dag och ett helt år har gått, tänka på raketer och att få stanna uppe länge. En annan svårighet i språket i uppgifterna vad ”tvåsiffriga tal” betydde. Som pedagog är det viktigt att förklara olika ords betydelse, detta för att orden ska bli en del av elevernas aktiva ordförråd (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Eleverna fick en förklaring för orden vid undersökningstillfället, vilket gav dem tillräckligt med förståelse för att lösa uppgifterna.

I den omarbetade uppgiften fanns det ingen utskriven tabell som eleverna kunde använda som redskap för att underlätta förståelsen för det ökande mönstret. Dock visar det sig att ett antal av eleverna ritade upp en egen tabell för att lösa uppgiften. Eleverna skrev in åren under varandra. På höger sida om respektive år skrev eleverna in hur många centimeter flickan vuxit. Vissa av eleverna valde att dra ett streck under sin tabell och räkna ut talet i form av en algoritm. Andra elever valde att skriva ut talen igen och göra en uträkning vid sidan om tabellen. Bergsten, Häggström och Lindberg (1998) menar att elever redan i unga åldrar är systematiska och skapar ordning med hjälp av mönster, vilket eleverna i denna studie visar på.

I den omarbetade uppgiften var det ett antal elever som hade problem. Resultatet visar att eleverna tolkade uppgiften att flickan växer en centimeter per år, istället för att det sker en ökning med en centimeter varje år, vilket är förståelsen som behövs för att lösa uppgiften. En anledning till att eleverna inte klarade av att se mönstret i uppgiften kan bero på att uppgiften inte var tillräckligt tydligt. Enligt Bergsten, Häggström och Lindberg (1998) ska mönster användas för att förtydliga ett sammanhang och lösa problem inom matematiken, genom att illustrera uppgiften underlättas förståelsen hos eleven. Uppgiften var enbart uppbyggd av text. Skulle den varit illustrerad finns det möjlighet att eleverna lättare skulle ha fått en förståelse för hur uppgiften ska lösas. Att göra en tabell till uppgiften skulle ha kunnat vara ett alternativ till att förtydliga det ökande mönstret.

En annan anledning till att eleverna kan ha haft problem med den omarbetade uppgiften kan bero på att ordet ”till” saknas i frågeställningen. När en uppgift saknar småord blir den komprimerad och förståelsen för uppgiften minskar (Myndigheten för skolutveckling, 2007).

5.1.4 Kontrollgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften

Eleverna i kontrollgruppen gjorde samma uppgift som eleverna i testgruppen och arbetade med mönster om hur lång flickan blev.

det samtalet redogjorde eleven sin tanke och uträkning till uppgiften. Eleven visade en osäkerhet och kunde inte klargöra sin tanke bakom uträkningen. Det blev många uttryck som: ”sen blir det så och så tar man den”. Logik är en svårighet som elever kan ställas inför när de löser problemlösningsuppgifter. Har eleverna problem med logiken kan inte motivera sin tanke eller hur de har löst uppgiften (Möllehed, 2001). Språket är viktigt att arbeta med i matematikundervisningen annars finns det en risk att eleverna inte klarar av att återberätta och förklara ett mönster för någon annan (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1998).

En annan anledning till att eleverna inte klarade av att lösa uppgiften kan vara att eleverna hade problem med textförståelsen vilket innebär att eleven har tolkat texten på ett annat sätt än det tänkte. Förståelsen för uppgiften försvinner och eleven vet inte hur uppgiften ska lösas (Möllehed, 2001). Myndigheten för skolutveckling (2007) menar att det är viktigt som pedagog att veta att eleverna har förstått språket i uppgiften, annars blir den inte relevant för eleven. Detta kan vara en orsak till att eleverna hade problem med uppgiften. Förstår de inte uppgiften kan eleverna inte heller förklara hur de räknat för att lösa den.

Precis som i testgruppen fanns det de elever i kontrollgruppen som har utgått ifrån att flickan i uppgiften växer 1 cm per år, och alltså inte förstått att det sker en ökning i mönstret.

5.2 Uppgift 2

5.2.1 Testgruppens resultat samt en analys av den ursprungliga uppgiften

I uppgift 2 (se bilaga 2) ska eleverna hjälpa djuren att komma in i Talriket. Eleverna ska komma på en kod som kan få dörren till Talriket att öppnas. I uppgiften fick eleverna information om att koden bestod av två tal över 5, ett av dem var udda och ett var jämt. Syftet med uppgiften var att eleverna skulle träna på udda och jämna tal mellan 6 och 9. Utifrån resultatet av uppgifterna från observationstillfället visade det sig att denna uppgiften var svår för många av eleverna. Detta eftersom många av eleverna uppfattade de två siffrorna i uppgiften som ett tvåsiffrigt tal. Vid observationstillfället skrev eleverna exempelvis 2 och 3, vilket för dem blev 23, som blev ett tal över fem. Eleverna har tolkat frågan och svarat utifrån sina egna erfarenheter. Förarbetet inom matematiken är viktigt, saknar eleverna förståelse blir inte uppgiften relevant (Myndigheten för skolutveckling, 2007). Det är alltså viktigt för pedagogen att ha kunskaper om vilken kunskapsnivå eleverna ligger på så att uppgifterna kan anpassas. Olsson, Emanuelsson och Johansson (2003) menar att om eleverna arbetar med uppgifter som är anpassade till deras nivå, tränar de på att upptäcka fel och att hitta lösningar till dem. När uppgifterna anpassas till elevernas kunskapsnivå ökar chansen till att eleverna kan befästa ny kunskap och på så sätt känna sig nöjda med sin insats. På detta sätt kan elevernas syn på matematik bli mer positiv (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005).

under intervjun när vi diskuterade uppgiften och det framkom därför tydligt att eleven tolkat uppgiften fel. Vidare fördes en diskussion kring uppgiften men eftersom flera elever tolkat att de skulle ringa in talen hade de inte så mycket mer att tillägga.

En annan elev diskuterade mycket kring att uppgiften varit svår då han inte förstått om han gjort rätt eller inte. Den här eleven ville ha ett svar på om rätt kod skrivits in och ville att rätt svar skulle visa sig genast genom att dörren skulle öppnas. Eleven var uppenbart frustrerad och besviken över detta.

Resultatet från uppgifterna i observationen visade också att det fanns elever som klarade av denna uppgift utan några problem. De gav olika exempel och skrev in ett av sina alternativ som sin kod.

5.2.2 Uppgift 2 omarbetad (se bilaga 5)

Den omarbetade uppgiftens syfte utgick från det samma som den ursprungliga uppgiften, där eleverna skulle träna på udda och jämna tal.

I den omarbetade uppgiften skulle eleverna skriva så många tvåsiffriga tal de kunde komma på med hjälp av siffrorna 5-9. När eleverna hade skrivit ut de tvåsiffriga talen som de kunde skulle de markera om talet var udda eller jämt. Detta gjorde eleverna genom att stryka under med en röd penna om talet var udda eller en blå penna om talet var jämnt.

5.2.3 Testgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften

Efter att uppgiften omarbetats (se bilaga 5) var det bara ett fåtal av eleverna i testgruppen som inte klarade av att lösa uppgiften.

Många av eleverna skrev tvåsiffriga tal utan några problem. Dock fanns det några av eleverna som markerade både de udda och de jämna siffrorna i talen istället för att markera hela talet, vilket gjorde att eleverna inte svarade på uppgiftens fråga. En orsak till att eleven inte klarade av uppgiften kan bero på att textförståelsen för problemlösningsuppgiften saknas. Detta leder till att eleven tolkar frågan fel och på så sätt inte förstår hur uppgiften ska lösas. Om eleverna inte förstår innebörden av texten leder detta till att sammanhanget i uppgiften inte blir begripligt och eleverna får därför en oförmåga att tolka uppgiften (Möllehed, 2001).

Några av eleverna kunde inte se vilken siffra det var som bestämde om talet blev udda eller jämt. I en av elevernas resultat framgick det att om båda siffrorna i talet var jämna blev svaret jämt, samma sak gällde det med de udda siffrorna. När siffrorna var både udda och jämna hade eleven vissa fall rätt och andra inte. En av författarna till denna studie frågade hur det hade gått. Eleven berättade då att hon inte var säker på när talet blev udda eller jämt. Olsson, Emanuelsson och Johansson (2003) tar upp vikten av att pedagogen vet att eleverna har förkunskaper och den förståelse som behövs för att kunna lösa uppgiften.

Många av eleverna kunde se mönstret med udda och jämna tal. De visste också att det är den sista siffran som bestämmer om talet blev udda eller jämt. För dessa elever var det inga problem att lösa uppgiften.

5.2.4 Kontrollgruppens resultat samt en analys av den omarbetade uppgiften

arbetade med udda och jämna tal.

I den omarbetade uppgiften är det en viss spridning i resultatet för eleverna i kontrollgruppen. En språklig svårighet för några av eleverna var att de inte förstod vad som menades med ett tvåsiffrigt tal. Eleverna fick en förklaring och olika exempel på vad ett tvåsiffrigt tal kunde vara. Mölledhed (2001) menar att svårigheterna som eleverna ställs inför i problemlösningsuppgifter ofta beror på att de saknar textförståelse. En anledning till att eleverna inte förstår texten i uppgifterna är som i fallet ovan att de inte förstår enstaka ord som krävs för att få en helhet i texten (a.a. 2001)

En av eleverna hade svårigheter med att förstå uppgiften. Eleven markerade de udda och jämna siffrorna som stod skrivna i uppgiften. Eleven gav inga exempel på tvåsiffriga tal utan ansåg sig sedan färdig med uppgiften. I vissa fall kan elevens uppmärksamhet för uppgiften ha en inverkan på resultatet. Eleverna har inte läst texten i uppgiften tillräckligt noga för att förstå hur de ska lösa den. Elever som slarvar med att läsa instruktioner är vanligt och detta bör påpekas av pedagogen eftersom eleverna oftast kan läsa om texten och på så sätt kunna lösa uppgiften korrekt (Möllehed, 2001).

Några elever markerade både de jämna och de udda siffrorna i talet. Utifrån vad en av eleverna har skrivit går det att se att talen blev jämna eller udda beroende på vilka siffror som fanns i talet. Innehöll talet två jämna siffror markerade eleven talet som jämt. Var det en jämna och udda siffra med i talet blev det udda. Exempelvis menade eleven att talet 78 var udda. en elev som markerade alla tal som udda om någon av de två siffrorna vad udda, helt oberoende på placering. Resultatet visar att eleven har förståelse för vad ett udda och ett jämt tal är, dock inte vilken placering som siffrorna ska ha för att bestämma om hela talet är udda eller jämt. Som pedagog är det viktigt att arbeta utifrån de kunskaper som eleverna besitter. Det ger en större möjlighet att eleven kan åtgärda de fel som kan uppstå (Olsson, Emanuelsson & Johansson 2003). Att använda laborativt material är ett annat sätt att underlätta förståelsen för matematik (Löwing, 2006). Efterhand kommer eleverna se mönstret och förstå regeln.

5.3 Uppgift 3

5.3.1 Testgruppens resultat, samt en analys av den ursprungliga uppgiften

I uppgift 3 (se bilaga 3) skulle eleverna räkna hur många pärlor det fanns på de illustrerade halsbanden. Efter att eleverna räknat antalet pärlor på ett halsband skriver de upp antalet på markeringen för respektive halsband på sidan av uppgiften och fortsätter på samma sätt med de andra halsbanden. Efter tre halsband skulle eleven kunna se ett talmönster och rita in antalet pärlor som skulle vara i det fjärde och minsta halsbandet. Uppgiftens syfte var att eleverna ska arbeta med mönster som minskar.

Det var få av eleverna som förstod att antalet pärlor i de tre halsbanden bildade ett talmönster. Detta resulterade i att eleverna räknade antalet pärlor i halsbanden och skrev att det fjärde halsbandet hade 0 pärlor. Möllehed (2001) tar upp flera svårigheter som eleverna kan ställas inför vid problemlösningsuppgifter. Ett problem kan vara elevernas uppmärksamhet. I vissa fall läser eleverna inte uppgiften tillräckligt noga för att förstå hur den ska lösas (a.a. 2001).