Ex. Ange den geometriska betydelsen av ekvationen 0

Ex.

Ange den geometriska betydelsen av ekvationen x² − y² =0 Lösning:

x y

x y

x y x y y

x

−

=

=

±

=

⇔

=

⇔

=

−

2 1

2 2 2

2 0

Ellipsen

−a a

b

−b

2 1

2 2

2 + =

b y a x

a och b kallas halv-axlar

Allmänt:

( ) ( )

2 1

0 2

2

0 + − =

−

b y y a

x x

Ex.

Ange den geometriska betydelsen av ekvationen 4x² +3x+3y² =0

2 2

2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

+ P P

x PX Lösning: x

1 4

3 8

3 8 3 1

16 3 64

9 8 3

3 1 16 8

3 9

1 64 9

3

* 16 8

3 9

4

* 16

9

*16 16 3 9

8 4 3 9 16 16 3 9

8 4 3

0 64 3

94 8

4 3 0 64 3

9 8 4 3

0 8 3

3 8

4 3 0 4 3

4 3

2 2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝ +⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

= +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

= +

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

=

⎟+

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

=

⎟+

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

=

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

x y x y

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x x

Svar: Ellips med medelpunkten ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛− 0* 8

3 halv-axlar 4

3 3

=

=

b a b

Polynomdivision

( )

x =x²+x+1

P Polynom

( )

x x

Q 1

= Ej polynom

( )

x x

r = Ej polynom

( )

x =a_nxⁿ +a_n+1xⁿ⁺¹+...

P Polynom n=heltal

Ex.

Beräkna 12 144 Lösning:

24 12 14

0 144

| 012 12

−

−

11 144

11 13 1

1 33 34

11 14

144

| 013

11 = +

−

−

Ex.

Utför division

1820

26 26

104 106

13 23660

| 01820 13

13 23660

=

−

−

Ett rationellt uttryck kan skrivas på formeln

( )

( )

^x

Q x

P , där P

( )

x och Q

( )

x är polynom, Q

( )

x ≠0. Om gradttalet för P

( )

x är stärre än eller lika med gradtalet för Q

( )

x kan divideras med

så att

( )

x

( )

x P Q

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

x kvotpolynom k

m restpolyno x

r

x Q

x x r x k Q

x P

=

=

+

=

Ex.

Dividera

1 4 2 2 ²

−

− + x

x

x så långt som möjligt Lösning:

( )

( )

1820

0

4 4

4 4

2 2

4 2 2

|

4 2 1

2

2 =

−

−

−

−

−

− +

+

−

x x

x x

x x

x x

Svar:

4 1 2

4 2 2 ²

+

− =

−

+ x

x x x

Ex.

Dividera

3 2

1 8 3 2

2 2 3

+

−

+ +

− x x

x x x

( )

(

^{2 2 1 3}

)

6 4 2

1 8 3 2

|

1 2 3

2

2 2

2 3

2 3 2

+

−

−

+ +

+

−

− − + +

+ +

−

x x

x x

x x x

x x x

x x

x

x x

x x x x x

x

4 4

1 3 2

2 2 2 2

3

=

=

=

2 4x− Svar:

Alltså

3 2

2 1 4

3 2 2

1 8 3 2

2 2

2 3

+

− + − + + =

−

+ +

−

x x x x x

x

x x x