Lule˚a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨or matematik Linj¨ar analys, 5p.
Mikael Stenlund 20:e december 2007. Tid: 5h.
Hj¨alpmedel: Beta, mathematics handbook.
L¨osningar skall presenteras p˚a ett s˚adant s¨att att r¨akningar och resonemang blir l¨atta att f¨olja. M¨ark varje l¨osningsblad med namn och personnummer.
1. Nedanst˚aende ekvation beskriver str¨ommen i(t) i ett RLC n¨at med insp¨anning u(t). L¨os ekvationen map. i(t)
di
dt(t) + 4i(t) + 29
t
0
i(t) dt = u(t) i(0) = 1/2, di
dt(0) = 0,
d¨ar u(t) =
1, 0≤ t < 2
t, t≥ 2 med hj¨alp av Laplacetransform. Tex. genom att f¨orst derivera i distributionsmening (ej def. av distribution). (5p) 2. a) Best¨am en begr¨ansad l¨osning l¨osning till
y(3)− y = e−tH(t), t ∈ R,
d¨ar H(t) ¨ar Heavisidefunktionen. (4p)
b) Finns antikausal l¨osning? Motivera! (1p)
3. a) Best¨am intervall f¨or konvergens och divergens f¨or serien
∞ n=0
xn 2n + 3.
(3p) b) Avg¨or om f¨oljande integral ¨ar konvergent eller divergent
∞
1
1
x2+ x + 3dx.
(2p) 4. Best¨am med hj¨alp av Fourierserier en allm¨an l¨osning till
y+ π2y = f (t), t∈ R.
d¨ar f (t) = t3− t, t ∈ [−1.1] samt f(t + 2) = f(t) f¨or alla t ∈ R. (5p) 5. L˚at F = (z3, x3, y3) ber¨akna fl¨odet av rot(F) genom ytan S : x2+ y2+ z2 = 9, y≥ 2.
Riktningen av normalvektorf¨altet ¨ar ut ifr˚an origo. (5p) 6. L¨os endast en av f¨oljande uppgifter A, B eller C.
A a) Ber¨akna Fouriertransformen av sin(3t)
t . (4p)
b) Kan man hitta ett v¨arde hos integralen
∞
−∞
sin(3t)
t dt och vad blir det? (1p) B Formulera och h¨arled faltningssatsen f¨or enkelsidig Laplacetransform. (5p)
C a) Definiera begreppet distributionsderivata. (1p)
b) Vilka egenskaper har en test funktion φ∈ D. (1p)
c) Anv¨and definitionen av distributionsderivata f¨or att hitta ett f¨orenklat uttryck f¨or distributionsderivatan av t3H(t− 2), d¨ar H ¨ar heavisidefunktionen. Obs. enbart defi- nitionen av distributionsderivata f˚ar anv¨andas. (3p)
