• No results found

Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom."

Copied!
9
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Sida 1 av 9 Tentamen TEN1, HF1012, 20 aug 2020

Matematisk statistik DEL1 (STATISTIK) Kurskod HF1012

Lärare och examinator: Armin Halilovic Lärare: Niclas Hjelm

DEL1

Ordinarie skrivtid 14:00-16:30 (därefter 15 min för att ladda upp bilder + 15 minuter rast) Extra skrivtid: 14:00-17:45 (därefter 15 min för att ladda upp bilder + 15 minuter rast) Del 2 Ordinarie tid: 17:00 – 18:30, (därefter 15 min för att ladda upp bilder) Extra skrivtid: 18:15 – 20:30 (därefter 15 min för att ladda upp bilder)

Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom.

Använd papper och penna för att lösa dina uppgifter.

Du tar bilder av dina lösningar och sparar bilder som PDF, JPG, JPEG, HEIC eller PNG filer.

(Vi föredrar PDF-format)

Viktigt: Filernas namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_NAMN som namn på alla filer som du laddar upp.

Du behöver INTE komprimera filer. (Men, om du laddar upp en mapp då måste du komprimera mappen innan uppladdning.)

https://kth.instructure.com/courses/24162/assignments

i mappen: Del1_TEN_20_aug_2020 (ordinarie tid) (mappen stängs 16: 45) ( eller Del1_TEN_20_aug_2020 (extra tid, FUNKA) ( mappen stängs 18: 00))

Hjälpmedel: Formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.

Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar.

=======================================================

(2)

Sida 2 av 9

Allmänna instruktioner: Parametrarna a och b i nedanstående uppgifter är de sista två siffrorna i ditt personnummer. (T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är a=4 och b=8.)

Uppgift 1. (3p)

Låt b vara den sista siffran i ditt personnummer.

De sex sidorna på en tärning är märkta med 1,2,3,4,5 och 6. Man kastar två tärningar samtidigt och beräknar summan av resultat.

Bestäm sannolikheten att a) summan är b+2.

b) summan är mindre än b+1.

Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.

Låt

(5 ) , 02 2 ( ) 0, för övrigt

k a x x

f x  + ≤ ≤

= 

vara täthetsfunktionen (frekvensfunktion) för en stokastisk variabel X . ( Konstanten a är från ditt personnummer.)

i) Bestäm konstanten k.

ii) Bestäm P X ≤( 1).

iii) Bestäm väntevärdet E(X).

Uppgift 3. (3p) som svarar mot KS3 finns i andra delen av tentamen.

Uppgift 4. (4p) Låt X1N(15,2) och X2N(21,3) vara tre normalfördelade s.v.

Låt vidare

Y = 4 X

1

− 3 X

2.

Bestäm ett tal A så att

( ) 2 20

P Y A ≤ = b +

.(Notera att b är sista siffran i ditt

personnummer.)

Avrunda svaret till 2 decimaler.

(3)

Sida 3 av 9

Uppgift 5. (3p) Låt X N∈ (40+b,3) vara en normalfördelning med medelvärdet (40 b)

µ = + och standardavvikelsen σ = . 3

Bestäm den betingade sannolikheten för händelsen X <42+a om vi vet att X >39+a. Uppgift 6. (4p) För att undersöka om ett visst läkemedel för covid19 har bieffekt på blodtryck mätes blodtrycket dels på 100 personer som ej behandlats med läkemedlet (mätvärden x1,…,x100), dels på 40 patienter som behandlats med läkemedlet (mätvärden y1,…,y40). Man beräknade medelvärden och standardavikelsen för mätvärden (separat för de två grupper) och fick

125

x = +b, σ = + , x 5 b 128

y = +b, σy = , (där b är den sista siffran i ditt personnummer.) 6 i) (3p) Som vanlig antar vi att värdena är normalfördelade. Bestäm ett 95%

konfidensintervall för skillnaden mellan förväntat blodtryck mellan de två grupperna.

ii) (1p) Kan man med 95% konfidensgrad påstå att läkemedlet har bieffekt på blodtryck?

Motivera svaret. (0p för ett svar utan motivering.).

Uppgift 7. (4p)

Vi placerar slumpvis (10+a) identiska bollar i 4 stora lådor A, B, C och D . a) På hur många olika sätt kan man göra det så att lådan B innehåller exakt 3 bollar?

b) Bestäm sannolikheten att ingen låda är tom.

(Du kan svara med uttrycket som innehåller fakultet dvs. ! ) Lycka till.

FACIT

Uppgift 1. (3p)

Låt b vara den sista siffran i ditt personnummer.

De sex sidorna på en tärning är märkta med 1,2,3,4,5 och 6. Man kastar två tärningar samtidigt och beräknar summan av resultat.

Bestäm sannolikheten att a) summan är b+2.

b) summan är mindre än b+1.

(4)

Sida 4 av 9 Lösning för b=5:

När man kastar två tärningar samtidigt kan man få följande 36 fall:

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

a) b+2=7

Av de 36 fall är följande gynnsamma: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4) , (4,3) dvs 6 st.

Svar a) Pa=6/36=1/6

b) Summan är mindre än b+1 =6 i 10 fall (se ovanstående tabell) . Svar b) Pb=10/36=5/18.

Rättnings mall: 1 p för a. 2p för b.

Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.

Låt

(5 ) , 02 2 ( ) 0, för övrigt

k a x x

f x  + ≤ ≤

= 

vara täthetsfunktionen (frekvensfunktion) för en stokastisk variabel X . ( Konstanten a är från ditt personnummer.)

i) Bestäm konstanten k.

ii) Bestäm P X ≤( 1).

iii) Bestäm väntevärdet E(X).

Lösning:

i)

Arean =1 medför att

2 2

0

(5 ) 1 3

8(5 ) k a x dx k

+ = ⇒ = a

∫ +

.

(5)

Sida 5 av 9 Därmed ( ) 3 , 08 2 2

0, för övrigt

x x

f x =  ≤ ≤



ii)

1 2

2 0

3 1

8 8

P = ∫ x dx =

iii)

2 2

2 3

0 0

3 3 3

8 8 2

m = ∫ xx dx = ∫ x dx =

Rättnings mall: 1 p för varje del.

Uppgift 3. (3p) som svarar mot KS3 finns i andra delen av tentamen.

Uppgift 4. (4p) Låt X1N(15,2) och X2N(21,3) vara tre normalfördelade s.v.

Låt vidare

Y = 4 X

1

− 3 X

2.

Bestäm ett tal A så att

( ) 2 20

P Y A ≤ = b +

.(Notera att b är sista siffran i ditt

personnummer.)

Avrunda svaret till 2 decimaler.

Lösning:

Först bestämmer vi väntevärdet och standardavvikelsen till

Y = 4 X

1

− 3 X

2.

Vi har

1 2

( ) 4 ( ) 3 ( ) 4 15 3 21 3 m E Y = = E XE X = ⋅ − ⋅ = −

variansen V(Y)= 42σ12+ −( 3)2σ22 =16 4 9 9 145⋅ + ⋅ = standardavikelsen är därmed σ = 145 12.04159458≈

Nu har vi

2 2 2 3 2

( ) ( ) ( ) ( )

20 20 20 12.04 20

b b A m b A b

P Y A F A σ

+ + − + + +

≤ = ⇔ = ⇔ F = ⇔ F =

I fall b=5 har vi ( 3) 7 0.35 12.04 20

F A + = =

(6)

Sida 6 av 9 Med hjälp av tabellen får vi

3 8

12.04A+ −0.3 53

=

Härav A = − +3 12.04 ( 0.3853)⋅ − = −7.64 Svar (om b=5) A=−7.64

Svar för alla värden på b:

b= 0, A= -18.4 b= 1, A= -15.5 b= 2, A= -13.1 b= 3, A= -11.1 b= 4, A= -9.31 b= 5, A= -7.64 b= 6, A= -6.05 b= 7, A= -4.51 b= 8, A= -3.00 b= 9, A= -1.49

Rättnings mall: 1 p för korrekt m.

+1 p för korrekt standardavvikelsen .

+1 p för korrekt ekvationen ( 3) 2

12.04 20

A+ b+

F =

4 p om allt är korrekt.

Uppgift 5. (3p) Låt X N∈ (40+b,3) vara en normalfördelning med medelvärdet (40 b)

µ = + och standardavvikelsen σ =3.Bestäm den betingade sannolikheten för händelsen X <42+a om vi vet att X >39+a.

Lösning för a =9, b=9:

Vi har µ =(40+a)=49 och σ = 3

Vi betecknar med A händelsen X <42+a och med B händelsen X >39+ a Vi ska bestämma 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵).

Eftersom 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)𝑃𝑃(𝐵𝐵) , först beräknar vi P A B( ∩ ) ochP B( )

( ) (39 42 ) (42 ) (39 ) (51) (48)

P A B∩ =P + <a X < +a =F +aF +a =FF =

(7)

Sida 7 av 9

51 49 48 49

( ) ( ) (0.66666) ( 0.33333)=0.3778

3 3

− −

= F − F = F − F −

48 49

( ) 1 (48) 1 ( ) 1 ( 0.33333) 1 3707 0.6293

P B F −3

= − = − F = − F − = − =

Därför 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)𝑃𝑃(𝐵𝐵) =0.37780.6293 ≈ 0.6 Svar: P A B =( | ) 0.6.

Rättnings mall: +1 p för korrekt P A B( ∩ ), +1 p för korrekt P B( ). Allt korrekt=3p.

Uppgift 6. (4p) För att undersöka om ett visst läkemedel för covid19 har bieffekt på blodtryck mätes blodtrycket dels på 100 personer som ej behandlats med läkemedlet (mätvärden x1,…,x100), dels på 40 patienter som behandlats med läkemedlet (mätvärden y1,…,y40). Man beräknade medelvärden och standardavikelsen för mätvärden (separat för de två grupper) och fick

125

x = +b, σ = + , x 5 b 128

y = +b, σy = , (där b är den sista siffran i ditt personnummer.) 6 i) (3p) Som vanlig antar vi att värdena är normalfördelade. Bestäm ett 95%

konfidensintervall för skillnaden mellan förväntat blodtryck mellan de två grupperna.

ii) (1p) Kan man med 95% konfidensgrad påstå att läkemedlet har bieffekt på blodtryck?

Motivera svaret. (0p för ett svar utan motivering.).

Lösning (för b=9)

Vi betraktar problemet som två stickprov (med σ okänt) och använder formeln för konfidensintervallet



 

 − − + − ⋅ ⋅ + − + + − ⋅ ⋅ +

2 1 2 *

1 2 / 2

1 2 *

1 2

/ ( 2) 1 1 , ( 2) 1 1

n n n

n t y n x

n n n t y

x α σ α σ

där 1 1

) 1 ( ) 1 (

2 1

2 2 1 2

*

− +

− +

= −

n n

n

n σx σy

σ .

I vårt fall är n1=100, n =40, 2

125 134

x = + =b , σ = + =x 5 b 14,

(8)

Sida 8 av 9

128 137

y = + =b , σy = , 3

Först bestämmer vi

1 1

) 1 ( ) 1 (

2 1

2 2 1 2

*

− +

− +

= −

n n

n

n σx σy

σ =11.9646

och därefter, med ovanstående formeln, får vi konfidensintervallet [ -7.43, 1.43] . Eftersom 0 ligger i intervallet, kan vi inte med 95% konfidensgrad påstå att läkemedlet har bieffekt på blodtryck.

Svar för alla värden på b:

b= 0, sigma= 5.3018, , Intervallet= [ -4.96, -1.04] . Ja, eftersom 0 ligger INTE i intervallet.

b= 1, sigma= 6.0000, , Intervallet= [ -5.22, -0.78] . Ja b= 2, sigma= 6.7325, , Intervallet= [ -5.49, -0.51] . Ja b= 3, sigma= 7.4891, , Intervallet= [ -5.77, -0.23] . Ja

b= 4, sigma= 8.2633, , Intervallet= [ -6.06, 0.06] . Nej , eftersom 0 ligger i intervallet.

b= 5, sigma= 9.0506, , Intervallet= [ -6.35, 0.35] . Nej b= 6, sigma= 9.8478, , Intervallet= [ -6.64, 0.64] . Nej b= 7, sigma= 10.6526, , Intervallet= [ -6.94, 0.94] . Nej b= 8, sigma= 11.4636, , Intervallet= [ -7.24, 1.24] . Nej b= 9, sigma= 12.2794, , Intervallet= [ -7.54, 1.54] . Nej

Anmärkning: Alternativa, men också korrekta intervall får vi genom att subtrahera Y-X:

Rättningsmall:

i) 1p för användning av korrekta formler +1p för varje korrekt ändpunkt i intervallet.

3 p om intervallet är korrekt

ii) +1 p för korrekt svar med motivering

Uppgift 7. (4p)

Vi placerar slumpvis (10+a) identiska bollar i 4 stora lådor A, B, C och D .

(9)

Sida 9 av 9

a) På hur många olika sätt kan man göra det så att lådan B innehåller exakt 3 bollar?

b) Bestäm sannolikheten att ingen låda är tom.

(Du kan svara med uttrycket som innehåller fakultet dvs. ! )

Lösning:

a) Om låda B innehåller exakt 3 bollar har vi kvar att placera 7+a bollar i tre lådor (A, C,D) Detta kan vi göra på (7 2)!

(7 )! 2!

a a + +

+ ⋅ olika sätt.

b) Om vi har minst en boll i varje av de 4 lådor har vi kvar att placera 6+a bollar i 4 lådor (A, B, C,D)

Detta kan vi göra på g= (6 3)!

(6 )! 3!

a a + +

+ ⋅ olika sätt.

Antalet sätt att placera (10+a) identiska bollar i 4 stora lådor är N= (10 3)!

(10 )! 3!

a a + +

+ ⋅

därmed P=g/N = (6 3)! (10/ 3)!

(6 )! 3! (10 )! 3!

a a

a a

+ + + +

+ ⋅ + ⋅ .

Rättningsmall:

2p för a-delen 2p för b delen

References

Related documents

Vänligen kontakta trafikledningen för bokning. Extra kostnad.. 4) Ej fryst leveranser 5) Ej fryst avgång

Piedlo2en6 prdce se zabivd podstatnfm probl6mem soci6lni patologie - problematikou Si- kany na stiednich Skol5ch. Autorka se zam6iila na zji5tovani rozdilO ve vnim6ni Sikany

Där bostadsbebyggelsen ska stå kommer det att bli en hårddjord yta, men det kommer bli mer växtlighet på den resterande ytan, eftersom planbestämmelsen ändras från torg till

13 kap 10 § - Beslut om förvärv eller överlåtelse av den omyndiges fasta egendom eller nyttjanderätt till sådan egendom ävensom upplåtande av nyttjanderätt, panträtt m.m..

Begreppet används främst till fjälls eller i Alperna, men det finns också många svenska skogsberg som du bara inte får

[r]

Inga buskar, träd eller övriga växter med djupgående rötter växer på infiltration Infiltration har ej belastats och belastas ej av fordon, stora djur (kor, hästar), eller

Inga buskar, träd eller övriga växter med djupgående rötter växer på markbädd Markbädd har ej belastats och belastas ej av fordon, stora djur (kor, hästar),