• No results found

(a) Vi har f˚att reda p˚a att P(gul

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(a) Vi har f˚att reda p˚a att P(gul"

Copied!
2
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Matematisk statistik L¨osning till Dugga: 2011–10–14 kl 800–1000 Matematikcentrum FMS 012 — Matematisk statistik f¨or CDI 9 hp Lunds tekniska h¨ogskola MAS B03 — Matematisk statistik f¨or fysiker, 9 hp Lunds universitet

1. (a) Vi har f˚att reda p˚a att P(gul) = 0.3, P(r¨od) = 0.5, P(svart) = 0.2, samt att P(¨ata| gul) = 0.9, P(¨ata | r¨od) = 0.6 och P(¨ata | svart) = 0.1.

Satsen om total sannolikhet ger d˚a att

P(¨ata) = P(¨ata| gul) · P(gul) + P(¨ata | r¨od) · P(r¨od) + P(¨ata | svart) · P(svart)

=0.9· 0.3 + 0.6 · 0.5 + 0.1 · 0.2 = 0.59.

(b) Vi vill ber¨akna P(gul| ¨ata). Definitionen av betingad sannolikhet ger P(gul| ¨ata) = P(gul∩ ¨ata)

P(¨ata) = P(¨ata| gul) · P(gul)

P(¨ata) = 0.9· 0.3

0.59 ≈ 0.458.

2. (a) Vi har att X = ”vikten av en vuxen sj¨oborre”∈N(52, 17.2) s˚a att

P(50≤ X ≤ 60) = P(X ≤ 60) − P(X < 50) = [kontinuerlig f¨ordelning]

=P(X ≤ 60) − P(X ≤ 50) = [standardisera]

=P(X − 52

17.2 ≤ 60− 52

17.2 )− P(X − 52

17.2 ≤ 50− 52 17.2 )

=F(60− 52

17.2 )−F(50− 52

17.2 ) =F(0.47)−F(−0.12)

=F(0.47)− 1 +F(0.12) = [Tabell 1] = 0.6808− 1 + 0.5478 = 0.2286.

(b) Vi har nu att Xi ∈N(52, 17.2) och oberoende med i = 1, . . . , n d¨ar n = 100 vilket ger Y =

100

X

i=1

Xi =”totala vikten av 100 sj¨oborrar”. D˚a g¨aller att

E(Y ) = E(

100

X

i=1

Xi) =

100

X

i=1

E(Xi) =

100

X

i=1

52 = 100· 52 = 5200 g,

V(Y ) = V(

100

X

i=1

Xi) = [oberoende] =

100

X

i=1

V(Xi) =

100

X

i=1

17.22=100· 17.22g2, D(Y ) =p

V(Y ) =

100· 17.22 =10· 17.2 = 172 g.

Eftersom Xi ¨ar normalf¨ordelade g¨aller ocks˚a att Y ∈N(5200, 172) s˚a att P(5000≤ Y ≤ 6000) = P(Y ≤ 6000) − P(Y ≤ 5000)

=P(Y − 5200

172 ≤ 6000− 5200

172 )− P(Y − 5200

172 ≤ 5000− 5200

172 )

=F(6000− 5200

172 )−F(5000− 5200

172 ) =F(4.65)−F(−1.16)

=F(4.65)− 1 +F(1.16) = 1.000− 1 + 0.8770 = 0.8770.

1

(2)

3. (a) Vi har att X = ”antal l¨ov som faller under en minut”∈Po(3· 1) =Po(3) s˚a att P(X = 2) = pX(2) = e−3· 32

2! ≈ 0.224.

(b) Vi har nu att Y = ”antal l¨ov som faller under 20 minuter” ∈ Po(3 · 20) = Po(60).

Eftersom 60 > 15 kan vi normalapproximera s˚a att Y N60,√ 60

och

P(Y ≤ 40) = P(Y − 60

√60 ≤ 40− 60

√60 )≈F(40− 60

√60 ) =F(−2.58)

=1−F(2.58) = 1− 0.9951 = 0.0049.

4. (a) Vi har att fX(x) = Z

−∞

fX ,Y(x, y) dy = Z 1

0

e−xdy =ye−x1

0 =e−x f¨or x ≥ 0 och fY(y) =

Z

−∞

fX ,Y(x, y) dx = Z

0

e−xdx =−e−x

0 =1 f¨or 0≤ y ≤ 1.

Detta kan vi k¨anna igen som att X ∈Exp(1) och Y ∈R(0, 1).

Eftersom fX(x)· fY(y) = ex · 1 = ex =fX ,Y(x, y) f¨or alla x ≥ 0 och 0 ≤ y ≤ 1 s˚a ¨ar X och Y oberoende.

(b) Rita integrationsomr˚adet!

6

- x 1

0 y 1

0

@@

@@

@@

@

y = 1− x

Vi f˚ar nu att

P(X + Y ≤ 1) = Z Z

x+y≤1

fX ,Y(x, y) dx dy

= Z 1

0

Z 1−x 0

e−xdy

 dx =

Z 1 0

e−xy1−x0 dx

= Z 1

0

(1− x)exdx = Z 1

0

exdx− Z 1

0

xexdx

= Z 1

0

e−xdx−xe−x1 0

Z 1 0

e−xdx

=e−1≈ 0.368

Det ¨ar kanske lite enklare att f¨orst integrera ¨over x och sedan ¨over y:

P(X + Y ≤ 1) = Z Z

x+y≤1

fX ,Y(x, y) dx dy = Z 1

0

Z 1−y 0

exdx

 dy

= Z 1

0

−ex1−y 0 dy =

Z 1 0

(1− ey−1) dy =y − ey−11

0 =1− e0+e1 =e1. Eller ¨over komplementet:

P(X + Y ≤ 1) = 1 − P(X + Y > 1) = 1 − Z Z

x+y>1

fX ,Y(x, y) dx dy

=1− Z 1

0

Z 1−y

exdx



dy = 1− Z 1

0 −ex

1−y dy = 1− Z 1

0

ey−1dy

=1−ey−11

0 =1− e0+e−1 =e−1.

2

References

Related documents

Övriga IFRS-standarder och tolkningar, samt uttalanden från Rådet för finansiell rapportering som trätt i kraft efter den 31 de- cember 2008 har inte haft någon

Wihlborgs är ett av Sveriges största fastighetsbolag, med verksamheten koncentrerad till tillväxtregionerna Stockholm och Öresund. I dessa regioner finns 92% av bolagets hyresvärde

Klöverns styrelse har från årsstämman 2008 fått förnyat bemyndigande om återköp av egna aktier till högst 10 procent av totalt antal registrerade aktier. Den 31 mars

Resultat före skatt med återläggning av fi nansnetto samt värde- förändring derivat i relation till genomsnittligt totalt

Övriga IFRS-standarder och tolkningar, samt uttalanden från Rådet för finansiell rapportering som trätt i kraft efter den 31 de- cember 2008 har inte haft någon

De riktiga XYZ-värdena för färgkartan kan beräknas fram om modellen för kameran byts ut till färgmatchningsfunktionerna för CIEXYZ.. Eftersom nu både RGB-värdena, som ges av

Utifrån denna statistik kan man därför inte säga något om t ex hur många barn i Sverige som mobbas eller utsätts för fysisk misshandel.. Däremot kan man se vilken typ av barn

O FINNFORSFALLET