(M4) vet att det finns ett R (kan vara

KARL JONSSON

Nyckelord och inneh˚all

• Potensseriel¨osningar

• Analytiska funktioner

• Konvergensradie

• Rot- och kvottestet

• Rekursionsrelationer

• Skifta summationsindex

Inofficiella ”m˚al”

Det ¨ar bra om du

(M1) vet att ett komplext tal kan skrivas z = x + iy = re^iθ samt kan anv¨anda Eulers formel e^iθ = cos θ + i sin θ.

(M2) vet att given en talf¨oljd {a_n}^∞_n=0 och en centreringspunkt x₀ s˚a kan vi skapa en (reell) formell potensserie som skrivs som

∞

X

n=0

an(x − x0)ⁿ. (1)

Vill vi uttrycka en komplex potensserie skriver vi hellre

∞

X

n=0

c_n(z − z₀)ⁿ. (2)

d¨ar vi t¨anker p˚a c_n, z och z₀ som komplexa tal.

(M3) kan anv¨anda f¨oljande test f¨or att avg¨ora konvergens av en serie: Givet serienP∞

n=1bn l˚at

• Rottestet: L = lim_n→∞|b_n|^1/n eller

• Kvottestet: L = lim_n→∞|b_n+1/b_n| d˚a ¨ar serienP∞

n=1bnabsolutkonvergent (och d¨arf¨or konvergent) om L < 1, och divergent om L > 1.

Om L = 1 s˚a ger dessa test ingen information om konvergensen av summan.

(M4) vet att det finns ett R (kan vara =∞) s˚a att f¨or alla tal z s˚adana att |z − z₀| < R s˚a konvergerar potensserien (absolut) till ett tal. Om |z − x0| > R s˚a divergerar potensserien. Om |z − z0| = R s˚a kan serien antingen vara konvergent eller divergent.

(M5) vet att en analytisk funktion ¨ar en funktion som kan representeras som en potensserie.

(M6) vet att (IVP) f¨or andra ordningens linj¨ara ekvationer

y⁰⁰+ p(x)y⁰+ q(x)y = 0 (3)

med y(x0) = y0 och y⁰(x0) = y₀⁰ garanterat har en unik l¨osning i det intervall I som funktionerna p och q ¨ar kontinuerliga p˚a. Om p(x) och q(x) dessutom ¨ar analytiska kring x₀ s˚a kan l¨os- ningen till ekvationen skrivas som en potensserie y(x) =P∞

n=0an(x − x0)ⁿ med en garanterad konvergensradie som ¨ar den minsta av konvergensradierna f¨or funktionerna p och q.

(M7) kan ans¨atta potensserieansatser y(x) =P∞

n=0a_n(x−x₀)ⁿ, samt veta att det ¨ar koefficienterna an man s¨oker, s¨atta in i differentialekvationen och f˚a fram rekursionsrelationer f¨or koefficien- terna.

Institutionen f¨or matematik, KTH, SE-100 44, Stockholm, Sweden E-mail address: karljo@kth.se.

Date: 18 oktober 2017.

1

(M8) vet att derivatorna av en potensserie f (x) =P∞

n=0an(x − x0)ⁿ ¨ar f⁰(x) =

∞

X

n=1

nan(x − x0)ⁿ⁻¹, f⁰⁰(x) =

∞

X

n=2

n(n − 1)an(x − x0)ⁿ⁻² och att dessa har samma konvergensradie som ursprungsserien.

(M9) vet att om tv˚a potensserier har samma v¨arde f¨or alla x i ett helt intervall, d˚a m˚aste potensserierna ha samma koefficienter.

(M10) kan utf¨ora skiften av summationsindex “i huvudet ” f¨or potensserier.

(M11) kan (i vissa enkla fall) skapa slutna formler fr˚an rekursionsrelationerna, t.ex. an+1 = an/(n + 1) ger den slutna formeln a_n= a₀/n!

Obs! Detta ¨ar ett f¨ors¨ok att bryta ned kursm˚alen i mindre och mer konkreta bitar. M˚alen ovan ¨ar inte officiella f¨or kursen, utan ett f¨orslag till hur man kan t¨anka.

Exempel och uppgifter (U1) Best¨am konvergensradien f¨or serierna

(a)

∞

X

n=0

x⁴ⁿ n!

(b)

∞

X

n=1

(−1)ⁿn²(x + 2)ⁿ 4ⁿ F¨or (a) anv¨and kvottestet. Vi ber¨aknar allts˚a

b_n+1 bn

=     

x⁴⁽ⁿ⁺¹⁾ (n + 1)!/x⁴ⁿ

n!

= |x|⁴ n!

(n + 1)! → 0 (4)

d˚a n → ∞. Allts˚a L = 0 f¨or kvottestet. Enligt kvottestet s˚a har vi konvergens om L < 1. Detta betyder att serien ¨ar konvergent f¨or alla x. Konvergensradien = ∞.

F¨or (b) kan vi testa rottestet. Ber¨aknar d¨arf¨or 

(−1)ⁿn²(x + 2)ⁿ 4ⁿ

1/n

= |x + 2|1

4n^2/n (5)

vad h¨ander med n^2/n d˚a n → ∞? Skriver om mha av logaritmer som n^2/n = e^{2 ln(n)/n} d¨ar vi vet att n v¨axer snabbare ¨an ln(n) d˚a n → ∞, allts˚a g˚ar uttrycket mot e^2·0 = e⁰ = 1 d˚a n → ∞, s˚a f¨or hela formeln,

|x + 2|1

4n^2/n → |x + 2|1

4 = L (6)

d˚a n → ∞. Konvergensvillkoret ¨ar att L < 1, allts˚a att

|x + 2|1

4 < 1 (7)

samma sak som

|x + 2| < 4 (8)

allts˚a konvergensradien ¨ar 4, vilket ¨ar f¨arre ¨an 5 elefanter.

(U2) Uttryck sin(3x) i termer av cos(x) och sin(x).

(U3) Bevisa De Moivres formel

(cos θ + i sin θ)ⁿ= (cos nθ + i sin nθ).

Anv¨and Eulers formel!

(U4) Utveckla 1/(1 + x) i en Taylorserie kring x₀ = 0. Vad ¨ar konvergensradien?

Bra trick att kunna ¨overlag ¨ar den geometriska summan 1

1 + x = 1 1 − (−x) =

∞

X

n=0

(−x)ⁿ=

∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ. (9)

Konvergensradie? Anv¨and rottestet och se att konvergensradien blir 1, precis som vi vet ¨ar villko- ret f¨or att anv¨anda den geometriska summaformeln.

(U5) Skriv om uttrycket s˚a att det endast inneh˚aller ett summatecken (a)

x²

∞

X

n=1

nanxⁿ⁻¹+

∞

X

k=0

akx^k (b)

∞

X

n=1

na_nxⁿ⁻¹+ x²

∞

X

n=0

a_nxⁿ.

(U6) Finn en potensseriel¨osning till ekvationen

y⁰− 2xy = 0

utevecklad kring punkten x₀ = 0. Ber¨akna f¨orsta fyra termer explicit, avg¨or konvergensradien till potensseriel¨osningen. Kan du l¨osa ekvationen med n˚agon annan metod (separation av variabler eller integrerande faktor). Vad drar du f¨or slutsats?

G¨or ansatsen y(x) =P∞

n=0a_nxⁿ. Derivera och f˚a y⁰(x) =

∞

X

n=1

na_nxⁿ⁻¹ (10)

s¨att in i ekvationen

∞

X

n=1

na_nxⁿ⁻¹− 2

∞

X

n=0

a_nxⁿ⁺¹ = 0 (11)

fixa samma x^n˚agonting i alla summor

∞

X

n=−1

(n + 2)a_n+2xⁿ⁺¹− 2

∞

X

n=0

a_nxⁿ⁺¹= 0 (12)

fixa samma summa-tecken a1+

∞

X

n=0

(n + 2)an+2xⁿ⁺¹− 2

∞

X

n=0

anxⁿ⁺¹= 0 (13)

skriv om

a1+

∞

X

n=0

[(n + 2)an+2− 2a_n] xⁿ⁺¹= 0 (14)

d˚a m˚aste alla koefficienter vara 0 pga entydighet f¨or potensserieutvecklingar

a1= 0, (15)

(n + 2)an+2− 2a_n= 0, n ≥ 0, (16)

samma sak som

a₁ = 0, (17)

an+2= 2

n + 2an, n ≥ 0, (18)

vilket ger a0 ¨ar fri variabel. a1 = a3 = a5 = ... = 0, dvs alla udda koefficienter ¨ar 0. Om vi s¨atter a₀ = 1 s˚a f˚ar vi

a2n= 1 n!.

dvs l¨osningen blir, om vi delar upp p˚a de udda och j¨amna koefficienterna, y1(x) =

∞

X

n=0

anxⁿ=

∞

X

n=0

a2nx²ⁿ+

∞

X

n=0

a2n+1x²ⁿ⁺¹=

∞

X

n=0

1 n!x²ⁿ =

∞

X

n=0

1

n!(x²)ⁿ= e^x2 (19) d¨ar den sista likheten ¨ar ett standardresultat fr˚an envariabelanalysen. Hade man kunnat komma fram till denna l¨osning p˚a n˚agot annat s¨att f¨or denna ekvation? Integrer.. fakt..

Konvergensradien ¨ar enligt teori garanterad att vara = ∞. Anv¨and kvottestet f¨or att visa detta, vilket blir l¨attare ¨an att anv¨anda rottestet.

(U7) Finn potensseriel¨osningar till f¨oljande ekvationer, ber¨akna f¨orsta fyra termer explicit, anv¨and Wronskianen f¨or att studera om en fundamental l¨osningsm¨angd funnits. Finn uttryck f¨or den generella termen f¨or koefficienterna a_n.

(a) y⁰⁰− xy⁰− y = 0 kring x₀ = 0.

(b) (1 − x)y⁰⁰+ y = 0 kring x0 = 0.

(c) y⁰⁰− xy⁰− y = 0 kring x₀ = 1.

(d) (1 − x)y⁰⁰+ xy⁰− y = 0 kring x₀= 0.

(e) y⁰⁰+ k²x²y = 0 kring x₀= 0.

Vi gjorde (a) p˚a ¨ovningen. Vi kan g¨ora (c). I detta fall s˚a ¨ar det en annan punkt ¨an x0 = 0.

Personligen tycker jag att det ¨ar l¨attast att skriva om ekvationen p˚a f¨oljande vis. Vi ans¨atter en ny oberoende variabel som t = x − x₀ = x − 1. Vi m˚aste d˚a g¨ora om x derivator till t-derivator.

D˚a f˚ar vi att

dy dx = dy

dt dx

dt = dy dt1 = dy

dt (20)

och p˚a samma s¨att d²y dx² = d

dx

 dy dx



= d dt

 dy dx

 dx dt = d

dt

 dy dt

 dx dt = d²y

dt². (21)

s˚a ekvationen blir i t-variabeln ist¨allet

y⁰⁰− (1 + t)y⁰− y = 0. (22)

som vi ska l¨osa kring t0= 0. Ans¨atter

y(t) =

∞

X

n=0

a_ntⁿ (23)

y⁰(t) =

∞

X

n=1

na_ntⁿ⁻¹ (24)

y⁰⁰(t) =

∞

X

n=2

n(n − 1)antⁿ⁻². (25)

insatt i ekvationen

∞

X

n=2

n(n − 1)antⁿ⁻²−

∞

X

n=1

nantⁿ⁻¹−

∞

X

n=1

nantⁿ−

∞

X

n=0

antⁿ= 0 (26)

samma t^n˚agonting ger

∞

X

n=0

(n + 2)(n + 1)an+2tⁿ−

∞

X

n=0

(n + 1)an+1tⁿ−

∞

X

n=1

nantⁿ−

∞

X

n=0

antⁿ= 0 (27)

fixa samma summatecken 2a₂− a₁− a₀+

∞

X

n=1

(n + 2)(n + 1)a_n+2tⁿ−

∞

X

n=1

(n + 1)a_n+1tⁿ−

∞

X

n=1

na_ntⁿ−

∞

X

n=1

a_ntⁿ= 0 (28)

skriv om

2a₂− a₁− a₀+

∞

X

n=1

[(n + 2)(n + 1)a_n+2− (n + 1)a_n+1− na_n− a_n] tⁿ= 0 (29) d˚a m˚aste alla koefficienter vara 0 pga entydighet f¨or potensseriel¨osningar. Vi f˚ar

2a₂− a₁− a₀ = 0 (30)

(n + 2)(n + 1)a_n+2− (n + 1)a_n+1− na_n− a_n= 0 (31) d¨ar rekursionen g¨aller f¨or n ≥ 2. Vi ¨ar ute efter tv˚a oberoende l¨osningar till ekvationen. Vi ser att a₀ och a₁ blir fria variabler. D¨arf¨or v¨aljer vi i ett av fallen att ta a₀ = 1 och a₁ = 0. D˚a blir a2 = 1/2. Rekursionen blir

a_n+2= 1

(n + 2)(a_n+1+ a_n). (32)

Testar och ser om vi f˚ar fram en explicit formel:

a₀= 1 (33)

a₁= 0 (34)

a2= 1

2 (35)

a₃= 1 3 1

2 (36)

a₄= 1 4(1

3 1 2 +1

2) = 1 4 1 2(1

3+ 1) = 1 2 1

3 (37)

a₅= 1 5(1

2 1 3 +1

3 1 2) = 1

5 1

3 (38)

a6= 1 6(1

5 1 3 +1

2 1 3) = 1

6 1 3

7

10 = 7

2²· 3²· 5 (39)

a7= 1 7(1

6 1 3

7 10 +1

5 1 3) = 1

7 1 3 1 5

19

12 (40)

¨ah, hittar inget ballt m¨onster. Ring om du kommer p˚a n˚agot. Detta ger allts˚a y₁ enligt y1 = 1 + 0t +1

6t²+1

6t³+ . . . (41)

eller om vi byter tillbaka till den variabeln vi b¨orjade med y1(x) = 1 + 1

6(1 − x)²+1

6(1 − x)³+ . . . (42)

F¨or att f˚a fram y2 s˚a v¨aljer vi ist¨allet a0 = 0 och a1 = 1 (vilket enligt sats i boken kommer att garantera att y₂ blir oberoende av y₁, dvs {y₁, y₂} kommer att utg¨ora en fundamental l¨osnings- m¨angd,

a0 = 0 (43)

a1 = 1 (44)

a2 = . . . (45)

r¨akna ut dessa sj¨alv!

Om det ¨ar s˚a att man inte f˚ar ut explicit uttryck f¨or a_ns˚a kan man anv¨anda teorin fr˚an boken som garanterar att konvergensradien ¨ar minst lika stor som den minsta av konvergensradierna f¨or p(x) och q(x). I v˚art fall ¨ar b˚ada dessa konv.radier = ∞, allts˚a kommer b˚ada v˚ara l¨osningar ovan ha konv.radie = ∞.