Examensarbete
Bilder och byggen är bra även för de bästa
matematikeleverna
- en studie om femteklassare som löser rika problem
Författare: Frida Gleisner Handledare: Håkan Sollervall Examinator: Torsten Lindström Termin: VT 2014
Ämne: Matematik Nivå: Magisterarbete
Bilder och byggen är bra
även för de bästa matematikeleverna
- en studie om femteklassare som löser rika problem
Frida Gleisner 18 januari 2015
Sammanfattning
Elever med varierad matematisk förmåga finner matematisk utmaning i olika sor- ters uppgifter. För att ge alla möjlighet att utmanas hänvisas eleverna ofta till enskild räkning i läromedel, en undervisningsform som kraftigt har kritiserats bland annat för att den ger litet utrymme för interaktion eleverna emellan. Den här studien redogör för hur elever i heterogena elevgrupper löser matematiska problem som är konstruerade för att utmana alla gruppens elever, inklusive elever med särskild matematisk förmå- ga. Fokus ligger på elevernas användning av olika representationsformer samt sociala och sociomatematiska normer i klassrummet. Studien bygger på lektionsobservationer, skriftliga elevlösningar och intervjuer med elever från årskurs fem som löser rika pro- blem med växande mönster. Resultaten visar att alla elever mötte matematisk ut- maning i uppgifterna, delvis utifrån den tolkning de gjorde av problemen. Elever som visade god problemlösningsförmåga sökte tidigt generella lösningar till problemen och mötte på så sätt en annan form av utmaning än övriga elever. Representationer med laborativt material samt ritade bilder bidrog till ökad interaktion mellan eleverna och alla elever deltog i matematiska samtal. I de gemensamma diskussionerna välkomnade läraren en variation av lösningar och uppmuntrade eleverna till att kritiskt granska och argumentera för olika lösningar, detta bidrog till att lektionerna gav eleverna goda för- utsättningar att utveckla olika matematiska förmågor, förmågor som finns beskrivna i grundskolans läroplan.
Abstract
Students with different degrees of mathematical ability are challenged by different types of problems. In an effort to give everyone an opportunity to be challenged, stu- dents are often instructed to solve problems individually in their textbooks, a teaching format that has been criticized because it leaves little room for student interaction.
This study investigates how students in heterogeneous student groups solve mathemat- ical problems that are constructed to challenge each student in the group, including students with exceptional mathematical abilities. An emphasis is placed on the stu- dents’ use of different representations and on social and sociomathematical norms in the classroom. The study relies on classroom observations, on written student so- lutions, and on interviews with fifth graders who have solved rich problems of large complexity. The results show that all students found the exercises challenging, partly thanks to their own interpretation of the problems - students who exhibited a strong ability to solve problems looked for general solutions early on, and hence faced a dif- ferent type of challenge than other students. Activities involving manipulatives as well as illustrative figures contributed to the interaction between students, and all students participated in mathematical discussions. During classroom discussions, the teacher welcomed different viewpoints and encouraged students to analyze and argue for different types of solutions. This provided an opportunity for students to develop different mathematical skills as outlined in the curriculum for the compulsory school.
Innehåll
1 Inledning 1
2 Bakgrund och tidigare forskning 1
2.1 Svenska skolan idag . . . 1
2.2 Begåvade elever . . . 2
2.3 Elever med särskild matematisk förmåga . . . 3
2.4 Differentiering som undervisningsform . . . 4
2.5 Problemlösning . . . 5
2.6 Studiens syfte och frågeställningar . . . 6
3 Teoridel 6 3.1 Lärande . . . 6
3.2 Läroplanens matematiska förmågor . . . 8
3.3 Problemlösningens faser . . . 9
3.4 Rika problem . . . 10
3.5 Sociala och sociomatematiska normer . . . 10
4 Metod 11 4.1 Urval . . . 11
4.2 Genomförande . . . 11
4.3 Datainsamling och bearbetning . . . 12
4.4 Val av problem . . . 12
4.5 Etiska överväganden . . . 13
4.6 Reliabilitet och validitet . . . 13
5 Resultat och analys 13 5.1 Lektionernas genomförande . . . 13
5.2 Problemet Stenplattor . . . 14
5.3 Metoder eleverna använde för att lösa problemet Stenplattor . . . 15
5.4 Problemet Tornet . . . 16
5.5 Metoder eleverna använde för att lösa problemet Tornet . . . 18
5.6 Tre fallbeskrivningar . . . 18
5.6.1 Adam . . . 18
5.6.2 Linda . . . 22
5.6.3 Emil och Albin . . . 24
5.7 Sociala och sociomatematiska normer . . . 25
5.7.1 Läraren tycker om matematik och är entusiastisk över elevernas arbete 25 5.7.2 Matematik ska kommuniceras . . . 26
5.7.3 Det är bra att hjälpa varandra . . . 26
5.7.4 Det är viktigt att förstå och att kunna förklara en lösning . . . 26
5.7.5 Alla elevlösningar är välkomna och det är bra med flera lösningar . . 27
5.7.6 Lösningar på matematisk symbolisk form är bättre än bilder och byggen . . . 27
5.7.7 Läraren uppmuntrar kontroll och värdering av svar och metoder . . . 27
5.7.8 Alla ska förstå vad som sägs framme vid tavlan . . . 28
5.8 Interaktion i klassrummet . . . 28
5.9 Representation . . . 30
5.10 Utvärdering . . . 32
5.11 Generalisering . . . 33
5.12 Utveckling av matematiska förmågor . . . 35
6 Diskussion 35
6.1 Vikten av bilder och laborativt material . . . 36
6.2 Rika problem . . . 37
6.3 Enskilt, Parvis, Alla . . . 37
6.4 Högpresterande elevers problemlösning . . . 37
6.5 Svagpresterande elevers problemlösning . . . 38
6.6 Avslutande sammanfattning . . . 39
Referenser 40
1 Inledning
I den svenska skolan ska enligt skollagen alla elever få möjlighet att stimuleras och utma- nas på en lämplig nivå och utvecklas utifrån sina färdigheter. En matematiklärare behöver därför ta hänsyn till den variation av förmåga som finns i en elevgrupp och anpassa un- dervisningen därefter. Genom att nivågruppera eleverna minskar nämnda variation och anpassningsbehovet förenklas. Nivågruppering är dock kontroversiellt, bland annat av so- ciala skäl. Den svenska gymnasieskolan har sedan 2009 spetsutbildningar där elever kan läsa utvalda högskolekurser, en skolform som föregicks av livlig debatt.
I grundskolan har enskilt arbete i läroboken gjort det möjligt för elever att arbeta i egen takt, ofta enligt lärobokens olika spår som väljs utifrån elevens förmåga. Individuellt arbete i läroboken, där läraren hjälper en elev i taget, är mycket vanligt i svenska klassrum (Pettersson, 2011; Skolverket, 2012b). Detta är en arbetsform som ökar och som har blivit starkt ifrågasatt (Skolverket, 2003, 2004; SOU 2004:97, 2004). Jämfört med andra länder som studerades i TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 2011, spenderar svenska elever mycket tid med tyst räkning i läroboken (Skolverket, 2012b).
Den nya läroplanen för grundskolan från 2011, lyfter fram olika matematiska förmågor som undervisningen ska syfta till att eleverna utvecklar, inklusive kommunikativa förmågor.
Hur ska en lärare kunna utmana och stimulera en hel elevgrupp samtidigt, inspirera till matematiska samtal och ge en god undervisning till alla?
2 Bakgrund och tidigare forskning
2.1 Svenska skolan idag
Den svenska skolan och elevers lärande debatteras flitigt och matematikämnet har som ett av kärnämnena hamnat i fokus. Rapporter som PISA-undersökningar och TIMSS har uppmärksammats i skolvärlden, i media och av politiker.
Enligt den senaste PISA-undersökningen går de svenska resultaten i matematik nedåt.
År 2003 var resultaten signifikant högre än OECD-genomsnittet, 2006 och 2009 låg de på en genomsnittlig nivå, medan de vid senaste mätningen, 2012, låg signifikant lägre (Skolverket, 2013). Sverige presterar även under genomsnittet i PISA-undersökningens digitala prov avsett att mäta kreativ problemlösning, något som många trott Sverige skulle klara bra (Skolverket, 2014). Samma nedgång kan ses i läsförmåga och i naturvetenskap vilket gör det troligt att de bakomliggande orsakerna knappast är ämnesspecifika. Samtidigt presterar svenska elever bra i engelska och samhällsvetenskap1, ämnen som inte mäts i PISA och kunskaper i dessa ämnen tycks heller inte ha försämrats över tid (Skolverket, 2013).
Resultaten från TIMSS, som undersöker kunskaperna i matematik och naturvetenskap bland elever i årskurserna 4 och 8, visar att de svenska elevernas kunskaper i matematik ligger under genomsnittet både år 2007 och år 2011, de visar också att för årskurs 8 sker en försämring över tid. Skolverkets rapport lyfter fram problemet med en svag kunskaps- utveckling mellan de två undersökta årskurserna, svenska elever lär sig inte tillräckligt mycket mellan årskurs 4 och 8 (Skolverket, 2012b).
Försämrade resultat noteras även på högskolenivå. På diagnostiska prov, skrivna av nya ingenjörsstudenter vid KTH och Chalmers, visar resultaten från 2014 att en tredjedel av eleverna misslyckas med uppgifter på grundskolenivå. År 1992 löstes de svåraste problemen av 27 procent av studenterna, 2014 har den andelen sjunkit till fem procent (Sundén Jelmini, 2014, 21 april).
1Skolverket refererar till sina två rapporter Morgondagens medborgare (2010) och Internationella språk- studien 2011 (2012).
Vid arbetet med den nya läroplanen, som togs i bruk 2011, låg resultaten från PISA och TIMSS delvis till grund för innehållet, bland annat kritiseras omfattningen av elevernas tysta räkning:
”Utvärderingarna och granskningarna visar att undervisningen i matematik i stor utsträckning är präglad av enskild räkning, vilket får till följd att eleverna i undervisningen har begränsade möjligheter att utveckla förmågan att lösa problem. Det innebär också att eleverna sällan har fått möjlighet att använda matematiken i vardagen och inom olika ämnesområden. Mot bakgrund av detta är ambitionen med den nya kursplanen att betona vikten av att eleverna ges möjlighet att använda matematiken i olika sammanhang, utveckla förmågan att lösa problem, använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik med hjälp av olika uttrycksformer.” (Skolverket, 2011a, sid. 6)
Svenska matematiklektioner inleds ofta med en kortare gemensam genomgång av läraren som följs av tyst räkning i läroboken där rutinartade uppgifter ska lösas, uppgifter som liknar dem läraren tagit upp. På detta sätt får läraren snarare en handledande roll än en undervisande (Pettersson, 2011). Det är en undervisningsform som innehåller få variationer av innehåll och arbetssätt (Skolverket, 2003).
Jämfört med den tidigare kursplanen lyfter den nuvarande fram vikten av att kom- municera matematik med olika uttrycksformer. I kommentarerna till kursplanen poäng- teras att kommunikationen ska vara såväl muntlig som skriftlig. Läroplanen är skriven för att uppmuntra till en kreativ och problemlösande verksamhet där eleverna utmanas tillsammans och får uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att hitta egna lösningar till problem (Skolverket, 2011a).
En elevgrupp som ofta saknar utmaningar i skolan är begåvade elever och tvärtemot vad många tror är det en grupp som inte bör lämnas ensamma i sitt arbete (Pettersson, 2011). Den senaste PISA-undersökningen visar att andelen femtonåringar, som benämns högpresterande i matematik, har halverats sedan 2003 (Skolverket, 2013). Problemet har uppmärksammats och i många kommuner uttrycks en vilja att arbeta aktivt för att kunna erbjuda en god, anpassad undervisning för dessa elever (Sveriges kommuner och landsting, 2014).
2.2 Begåvade elever
Människan har alltid fascinerats av extrema prestationer och exceptionell förmåga. Att vara begåvad har historiskt sett betraktats som något inneboende i människan, medfött och statiskt, att vara begåvad har setts som gudomlig gåva (Pettersson, 2011).
När begåvning, giftedness, i slutet av 1800-talet blev föremål för forskning, antogs det generellt att begåvning kunde likställas med intelligens som var mätbar med test och fram till 1980-talet mättes begåvning vanligtvis med IQ-test (Mattsson, 2013). Dessa test och betoningen på logiskt tänkande kom att ifrågasättas. Gardner presenterade 1983 sju olika typer av intelligens; språklig, musikalisk, logisk-matematisk, spatial, kroppslig-kinetisk, självkännedom, och social intelligens. Breddas begreppet intelligens på detta sätt går den inte att mäta med ett traditionellt IQ-test.
Antagandet om att begåvning var statisk ifrågasattes också och vissa menade att be- gåvning kunde visa sig vid en tidpunkt men vara dold vid en annan. Allteftersom avtog även idén att begåvning automatiskt visade sig i goda skolresultat. En begåvad elev kun- de vara kreativ och produktiv på ett sätt som inte passade in i en traditionell skolmiljö (Mattsson, 2013).
Nutida modeller betraktar begåvning som något utvecklingsbart (Mattsson, 2013) och den antas vara en frukt av både arv och miljö och orsakas av många olika faktorer (Petters- son, 2011). En del forskare beskriver begåvning som en potential för framstående presta-
tioner, med andra ord kan en person vara begåvad utan att detta har kommit till uttryck (Pettersson, 2011).
Det råder ingen enighet kring hur begåvning ska definieras, definitionerna har bedömts vara över hundra, det finns heller ingen enhetlig modell för hur begåvning kan identifieras (Mattsson 2013; Pettersson 2011; Skolverkets, 2012a). Roland Persson (1997) väljer att beskriva särbegåvade på följande sätt:
”Den är särbegåvad som kontinuerligt förvånar både kunskapsmässigt och tillämp- ningsmässigt genom sin osedvanliga förmåga i ett eller flera beteenden. Ett be- teende i detta sammanhang förstås som en mänsklig prestation, aktivitet eller funktion.” (sid. 50)
Villkoren för hur mycket en begåvad individ ska utmärka sig från andra varierar. Flera forskare utgår från en övre percentil av det totala individantalet, där alltifrån de övre 20 till den övre 1 procenten benämns begåvade (Mattsson, 2013).
I sin avhandling Tracking mathematical giftedness in an egalitarian context skriver Mattsson (2013) att begåvning är ett område som är mycket sparsamt undersökt i Sverige.
Vidare beskriver hon Sverige som en kultur med en filosofi av likhet där alla ska ges samma möjlighet att nå samma resultat och följaktligen spenderas stora resurser på dem som har svårt att nå resultat på en minimimnivå. Detta står i kontrast mot USA som är en kultur med en filosofi av lika möjligheter där alla elever ska ges samma möjlighet att utveckla sin begåvning. Utifrån denna filosofi finns det i den amerikanska kulturen större acceptans för att premiera och uppmärksamma högpresterande elever.
I en svensk studie (Wistedt, 2008) tillfrågades rektorer på vilket sätt de stimulerade begåvade elever. Flera av rektorerna visade förvåning över frågan och, även om de fann frågan intressant, lämnade kommentarer om att den var känslig och politiskt inkorrekt.
En anledning till oviljan att spendera resurser på begåvade elever, som av många även tros vara högpresterande, kan vara att högpresterande elever i större utsträckning kommer från familjer som har hög socioekonomisk status och hög utbildningsnivå. Starten av de nya spetsutbildningar som ges på gymnasial nivå har skapat utmaningar för den svenska idén om vad jämlikhet i skolan innebär (Mattsson, 2013).
2.3 Elever med särskild matematisk förmåga
På samma sätt som det inte råder enighet kring begreppet begåvning, finns det ingen en- hällig definition av matematisk begåvning eller hur dessa individer ska benämnas. Det talas bland annat om elever som har fallenhet för matematik, matematikbegåvningar och elever som är särbegåvade i matematik. Eftersom begreppet begåvad ofta förknippas med en egen- skap som vissa barn har och andra barn saknar förespråkar Wistedt (2005) användandet av begreppen förmåga eller förmågor vilka generellt betraktas som utvecklingsbara.
I Sverige finns en skollag2 och en läroplan som, nu mer än tidigare, lyfter fram hur elever med särskild matematisk förmåga ska undervisas:
”Alla barn och elever ska ges den ledning och stimulans som de behöver i sitt lärande och sin personliga utveckling för att de utifrån sina egna förutsätt- ningar ska kunna utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål. /.../
Elever som lätt når de kunskapskrav som minst ska uppnås ska ges ledning och stimulans för att kunna nå längre i sin kunskapsutveckling”
(Skollagen, kap 3, 3 §)
”Undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den ska främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper.”
(Skolverket, 2011b, sid. 8)
2Utbildningsdepartementet (2009).
En vanlig myt om elever med särskild matematisk förmåga är att de är en grupp som har så lätt för sig att de klarar sig själva och traditionellt har den svenska skolan inte velat erbjuda någon särskild undervisning för elever som har förmåga att prestera långt mer än vad som anses vara en normalprestation. Att dessa elever klarar sig på egen hand avvisas i forskningen (Persson, 1997; Pettersson, 2011; Mattsson 2013). Den som har en specifik förmåga har också ett specifikt behov (Persson, 1997).
Tvärt emot vad många tror mår elever med särskilda förmågor ofta dåligt i skolan och har sociala problem, problem som ofta orsakas av brist på utmaning och stimulans (Pers- son, 1997; Pettersson, 2011). Petterson (2011) menar att det inte ger tillräcklig utmaning att hänvisa eleverna till enskilt arbete i läromedel och att det är väsentligt att finna en undervisningsmodell som utmanar och utvecklar dessa elevers förmågor.
Sveriges Kommuner och Landsting (SKL) har tillsammans med enskilda kommuner publicerat en handlingsplan Handlingsplan Särbegåvade elever 2014 som ett led i att hö- ja de svenska skolresultaten och att hjälpa kommunerna förbättra sina rutiner för dessa elever. Utgångspunkten för arbetet med planen är tre frågeställningar som tar upp identi- fikation av särbegåvade elever, anpassad undervisning för dessa samt kompetensutveckling för skolans personal. Tre olika strategier för att höja motivationen hos särbegåvade elever presenteras; acceleration, berikning och aktiviteter utanför skoldagen. Acceleration kan innebära att eleverna tillåts fortsätta framåt i ett högre tempo, det kan ske genom has- tighetsindividualisering, nivågruppering, tidigare skolstart eller överflyttning till en högre årskurs, varav de två senare är relativt ovanliga i Sverige. Vid berikning kan eleven få ar- beta med fördjupningsuppgifter inom samma område som sina kamrater. Ibland betraktas felaktigt även arbete med fler liknande uppgifter, som de redan avklarade, som berikning (Pettersson, 2011). I handlingsplanen från SKL ges exempel på aktiviteter utanför skolda- gen, exempelvis kan det röra sig om att träffa en mentor, delta i spetsundervisning, delta i tävlingar eller ta jägarexamen. Sammanfattningsvis exemplifieras de tre strategierna för att öka särbegåvade elevers motivation främst med aktiviteter som skiljer ut den särbegåvade eleven från den övriga klassen.
2.4 Differentiering som undervisningsform
Elever med särskild matematisk förmåga behöver, precis som andra elever, utmanas i skolan (Pettersson, 2011). Ett sätt att strukturera undervisningen för att skapa möjlighet för att högpresterande elever ska utmanas är nivågruppering. En sådan differentierad under- visningsform har beskrivits som komplex och svårstuderad och effekterna kan vara både positiva och negativa, (Wallby, Carlsson, & Nyström, 2001).
Det finns forskningsresultat som tyder på att en heterogen gruppsammansättning, där högpresterande och lågpresterande elever blandas, är bra. Dessutom är det svårt att dela in elever i homogena grupper eftersom elever som delas in utifrån vissa prestationer inte behöver vara lika för övrigt och kan uppvisa skilda matematiska förmågor. Samtidigt finns de som menar att heterogena grupper inledningsvis är bra, men att en senare indelning i homogena grupper gör att kompetenta elever utmanas och lågpresterande elever får möj- lighet att få mer utrymme i undervisningen och exempelvis leda arbetet i en mindre grupp (Ahlberg, 1991).
Det är osäkert om nivågruppering blivit mer eller mindre vanligt över tid, men mycket tyder på att det sker en differentiering på skolnivå genom att högpresterande och mer motivierade elever gör ett aktivt skolval medan många lågpresterande elever går i sin anvisningsskola (Skolverket, 2014).
En risk som lyfts fram med nivågruppering är att den skapar låga förväntningar hos lärarna på lågpresterande elever och att dessa härav presterar under sin förmåga (Wall- by m.fl., 2001). Det finns visst stöd för att högpresterande vinner mer på nivågruppering än lågpresterande (Skolverket, 2014). Nivågruppering verkar gynna de duktigaste eleverna mest om de får läsa ett annat kursinnehåll än den övriga klassen och lära sig matematik
inom områden som de annars inte skulle komma i kontakt med (Wallby m.fl., 2001). Däre- mot går forskningsresultaten isär om huruvida begåvade elever gynnas mest av att arbeta med fördjupning bland sina jämnåriga kamrater eller av att lyftas ur klassen för att arbeta med den gemensamma kursen i egen takt (Wistedt m.fl., 2012). Att på detta sätt erbjuda individuella fördjupningsuppgifter eller tillåta eleven arbeta på egen hand framåt i lärobo- ken är vanligt i Sverige. I en enkätstudie, där svenska lärare fick berätta vad de gör för att stimulera elever med särskild matematisk förmåga, anger 80 procent att de använder något av de två nämnda alternativen (Pettersson 2011). Båda alternativen innebär individuellt arbete för eleven, en arbetsform som anses ha negativ påvekan på elever i allmänhet och även på elever med särskild matematisk förmåga (Skolverket, 2012a).
Elever med särskild matematisk förmåga klarar sig inte på egen hand, de behöver peda- gogiskt stöd och behöver lära sig att kommunicera matematik (Wistedt, 2008; Mattsson, 2013).
Elevernas sociala behov behöver också bli tillgodosedda. I Vetenskapsrådets rapport Pedagogik för elever med förmåga och fallenhet för matematik i en skola för alla (2012) förordar Wistedt m.fl. arbete i klustergrupper där barn från olika klasser vid vissa tillfällen samlas, ges berikande uppgifter och träffar kamrater som delar deras intressen. Vidare föreslår de att en mentor ger individuellt stöd genom att träffa barnet under någon eller några timmar i veckan. De förordar även pedagogiska lösningar för hela klassen, som att arbeta med laborativa och problemlösande övningar.
2.5 Problemlösning
Problemlösning är central inom matematiken och nämns många gånger i den svenska läro- planen, dess roll i skolan har dock förändrats över tid. Wyndhamn, Riesbeck, and Schoultz (2000) beskriver en övergång från lärande av matematik för att lösa problem där matema- tiken är ett medel och problemlösningen ett mål, till en undervisning om problemlösning där strategier lärs ut, och vidare till lärande av matematik via problemlösning där pro- blemlösning ses som en väg till lärande av matematiska begrepp, principer och metoder.
Synen på problemlösning som ett medel för lärande av matematik presenteras i Lgr-94.
Ska lärande ske på detta sätt behöver problemen vara valda för att eleverna ska upptäcka ett visst innehåll och det kan vara svårt att hitta och välja ut lämpliga problem (Taflin, 2007).
Skolverket beskriver matematiska problem som:
”situationer eller uppgifter där eleverna inte på förhand känner till hur proble- met ska lösas. Istället måste de undersöka och prova sig fram för att finna en lösning. Matematiska problem kan också beskrivas som uppgifter som inte är av rutinkaraktär.” (Skolverket, 2011a, sid. 25)
Taflin (2007) delar upp matematikuppgifter i rutinuppgifter och problemuppgifter beroende på om eleven i förväg vet hur uppgiften kan lösas. Ett lästal kan vara en rutinuppgift för en elev och en problemuppgift för en annan. Vad som kan definieras som ett matematiskt problem beror således på individen som ska lösa uppgiften. Taflin påpekar att uppgifter som innehåller text ibland skapar språkliga svårigheter utan att uppgiften för den skull kan beskrivas som ett matematiskt problem.
Att utmanas genom problemlösning anses bra för alla elever inklusive de med särskild matematisk förmåga (Hagland, Hedrén & Tafin, 2005; Pettersson, 2011; Wistedt m fl, 2012) och matematisk begåvning beskrivs ofta i termer av förmåga att lösa matematiska problem (Mattsson, 2013). Problemlösande aktiviteter tros också vara ett bra arbetssätt om man vill upptäcka elever med särskild matematisk förmåga (Dahl, 2011). Elever som löser problem tillsammans blir medvetna om hur de tänker och lär sig att styra sitt eget tänkande och det är viktigt att alla elever uppmuntras att delta i diskussionen och bidra med idéer (Ahlberg, 1991). För att öka tryggheten och öppenheten i en grupp som löser matematiska problem
ska inte sammansättningen av medlemmar ändras alltför ofta. Grupper som ges chans att arbeta tillsammans under längre tid arbetar som regel bäst. För att samarbetet ska bli produktivt är det även viktigt att eleverna delar på ansvaret för att gruppen ska nå sitt mål och lösa problemet, de behöver ha tillit till sin egen och andras förmåga (ibid.).
Sammanfattningsvis kan sägas att det finns stöd för att alla elever behöver möta ma- tematisk utmaning i undervisningen, att de får arbeta med matematiska problem och att detta arbete får ta tid. Alla elever verkar gynnas av att lösa uppgifter tillsammans och att inte lämnas ensamma med individuellt arbete. Gemensamt arbete kan ske i nivåinde- lade grupper men forskning visar att en sådan differentiering kan medföra vissa risker för lågpresterande elever.
2.6 Studiens syfte och frågeställningar
Studiens syfte är att undersöka hur elever i heterogena elevgrupper löser matematiska problem som är konstruerade för att utmana alla gruppens elever, inklusive elever med särskild matematisk förmåga. Forskningsfrågorna som ställs är:
• Hur stimulerar en interaktiv undervisning med rika problem utveckling av alla elevers matematiska förmågor?
• Hur understöds eller hindras denna utveckling av sociala och sociomatematiska nor- mer?
3 Teoridel
3.1 Lärande
Lärande genom interaktion och vikten av matematiska samtal lyfts fram i flera teori- bildningar. En inflytelserik teoretiker som betonar kommunikationens betydelse är Vygot- skij. Vygotskij, som skrev sina texter i Ryssland under tidigt 1900-tal, vände sig emot dåtidens undervisningsteorier vilka han ansåg inte tog hänsyn till elevernas potential till utveckling och lärande (Lindqvist, 1999). Ett barn, menade han, är tillsammans med en vuxen eller annan mer kunnig person i stånd att utföra sådant som det inte kan göra på egen hand. Denna typ av kunskap och förmåga är inte mätbar hos barnet självt men är ett uttryck för vad barnet snart kommer kunna klara av på egen hand. Vygotskij använde begreppet den proximala utvecklingszonen för den zon inom vilken ett barn har poten- tial att utvecklas. Genom att låta barnet lära tillsammans med en vuxen i den proximala utvecklingszonen stöds barnet i sin utveckling (Vygotskij, 1935).
Vad Vygotskij menar med den proximala utvecklingzonen har tolkats av flera. Bruner tillhör dem som använder termen stöttning, scaffolding, där den vuxne ses som ett stöd för eleven som exempelvis får se hur ett problem kan lösas. När stödet sedan tas bort är det meningen att eleven ska kunna klara uppgiften utan hjälp (Lindqvist, 1999). Enligt Bruner (1966) behöver den vuxne hjälpa eleven genom att använda ett begripligt språk och uppmuntra till korrigering genom att uppmärksamma information som ges i problemet.
Stöttning kan ställas i kontrast till lotsning som innebär att eleven, utan att förstå varför, blir hjälpt att utföra olika moment som leder fram till en lösning. Lotsning kan ske genom en vuxen men också genom mönster i typexempel, rubriken på avsnittet eller begrepp i uppgiften (Wyndhamn, 2000).
För att undervisning ska leda fram till en form av kunnande där eleven kan utvärdera sin egen insats behöver läraren korrigera eleven på ett sätt som gör det möjligt för eleven att själv ta ställning till resultatet, i annat fall riskerar han eller hon att utveckla färdigheter som är beroende av hjälpen från en lärare (Bruner, 1966).
I sin bok Toward a Theory of Instruction (1966) beskriver Bruner hur människan har utvecklat tre parallella system för att bearbeta information och representera världen; med
handling, med bilder och med symboler. Dessa tre former kallas enaktiv, ikonisk och sym- bolisk representationsform. Människan representerar världen genom handlingsrutiner (en- aktiv), genom bilder (ikonisk) eller genom symboler (symbolisk) och går i sin utveckling från att använda handlingsmönster och fysiska objekt till bilder och vidare från dessa två till symbolisk representation. De enaktiva och ikoniska representationsformerna beskrivs som ett villkor och ett stöd för symbolspråket men det omvända kan även förekomma;
språket och abstrakta symboler blir ett stöd för att tolka en företeelse eller en bild. Enligt Bruner (1966) följer lärandet denna ordning men han vill inte knyta utvecklingen till en viss ålder. Senare kommenterar Bruner (1996) sin tidigare syn på progression från en enaktiv via ikonisk till symbolisk representation och säger sig ha övergett tanken att övergången endast sker i den riktningen.
I kommentarerna till Lgr-11 (Skolverket, 2011a) beskrivs övergången från att uttrycka matematik med konkret material och bilder till att använda mer precisa och välutvecklade matematiska symboler som en progression. Ett av matematikundervisningens mål är att förstå och kunna uttrycka sig med ett abstrakt symbolspråk. Men enligt Bruner (1966) kan en lärare inte utgå från att en elev som behärskar symbolsystemet enbart kan förlita sig på det, för då har eleven ingenting att falla tillbaka på när de symboliska representationerna inte räcker till vid problemlösning. En elev som har lärt sig att abstrahera kan i viss mån lämna behovet av att använda fysiska objekt eller använda ritningar men kommer fortfarande att förlita sig på det förråd av inre bilder som skapades innan eleven lärde sig att abstrahera. Det är dessa bilder som gör det möjligt att arbeta på ett heuristiskt sätt vid problemlösning (Bruner, 1966).
I jämförelse med Bruner har Duval delat upp matematiska representationer i register, där enaktiva och ikoniska representationer utgör ett register, diagram och grafer ett and- ra register och numeriska beräkningar och matematiska uttryck på symbolform ett tredje register (Markkanen, 2014). Duval beskriver även ett fjärde register som innefattar bl.a.
benämning av objekt, argumentation och slutsatser. Detta register kommer inte tas upp ytterligare i denna uppsats. Innehåll i ett register kan behandlas till en liknande represen- tationsform inom samma register. I registret med enaktiva och ikoniska representationer kan ett bygge av klossar behandlas genom att det avbildas på papper, en bild som sedan kan behandlas, exempelvis genom att byggets olika delar ritas var och en för sig. Ett ma- tematiskt uttryck, som 7+7+5+5, kan behandlas och skrivas om till 2 · 7 + 2 · 5. Att på detta sätt behandla innehåll inom ett och samma register är enligt Duval (2006) vad elever övar mest på i skolan. Att istället överföra innehåll från ett register till ett annat, något Duval benämner konvertering, är en större kognitiv utmaning. Ska kuberna i ett torn beräknas kan innehåll från bilden av tornet konverteras till matematisk symbolform, där kuber och beräkningar representeras med tal och andra symboler. Konvertering kan även ske åt andra hållet; för att förstå en lösning skriven på symbolform kan symbolerna tolkas med en bild. Elever har som regel svårare att konvertera innehåll mellan register än att behandla innehåll inom ett register eftersom konvertering kräver att eleven har två eller fler register aktiva samtidigt (Duval, 2006).
De två representationsformer som Bruner (1966) benämner som enaktiva och ikoniska placerar Duval i ett och samma register (Markkanen, 2014). Trots detta kommer övergång- arna mellan ikonisk och enaktiv form inte jämställas med behandling i analysen av denna studies resultat, utan snarare ses som konvertering mellan två olika register.
En diagrammatisk bild, som är ett mellanting mellan en ikonisk bild och ett diagram, se figur 1, kräver minst två aktiva register eftersom bilden och symbolerna behöver tolkas tillsammans. Denna typ av bild kan vara praktisk att rita eftersom symbolerna tillför in- formation som bilden i sig inte behöver innehålla, exempelvis behöver en diagrammatisk bild inte vara proportionerligt ritad om proportionerna anges med symboler. Ska en metod generaliseras kan en bild användas som i figur 1, där symboler i den högra bilden skiljer sig från de i den vänstra utan att bilden ritats om. Vid en sådan generalisering behöver
4 15
1 1
Figur 1: Diagrammatiska bilder.
innehållet i det ursprungliga registret, här kunskap om bilden, hållas aktivt för att symbo- lerna ska kunna tolkas på rätt sätt och eventuell vidare generalisering vara möjlig. Om den vänstra bilden i figur 1 illustrerar ett torn byggt av fyra kuber är den proportionerlig på så sätt att tornets bas står i proportion till dess höjd. Om bilden till höger illustrerar ett torn som är 15 kuber högt finns informationen om tornets höjd endast i talet 15. Tolkningen av den högra bilden kan bli fel om detta inte hålls i minnet.
3.2 Läroplanens matematiska förmågor
I den svenska läroplanen för grundskolan sammanfattas matematikundervisningens syfte med fem förmågor som eleven ska ges förutsättningar att utveckla:
• formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
• använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
• välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,
• föra och följa matematiska resonemang, och
• använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011b, sid 63).
Två av dessa förmågor beskrivs som kommunikativa och i kommentarerna till läroplanen står det att ”Först när eleverna har utvecklat förmågan att kommunicera matematik kan matematiken utvecklas till ett funktionellt verktyg i olika sammanhang” (Skolverket, 2011a, sid 11). Ämnet som helhet framställs i läroplanen och dess kommentarer som kommuni- kativt och kreativt. Eleverna ska med tilltro till sin matematiska förmåga våga pröva sig fram förutsättningslöst och jämföra olika metoder, inte endast fokusera på ett ”rätt sätt”
att lösa en uppgift.
När matematik ska kommuniceras behöver den kläs i ord eller representeras på andra sätt. I föregående avsnitt nämndes Bruners indelning av representationer i enaktiv, iko- nisk och symbolisk form samt Duvals indelning av representationer i olika register. Att kunna representera matematik i handling, tal och skrift är viktiga element i läroplanens fem förmågor och nödvändigt för matematisk kommunikation. Representation är en av fyra matematiska processer som nämns av Blume m.fl. (u. å.), de övriga tre är utvärde- ring, generalisering och definiering. Eleverna behöver kunna använda sig av alla dessa fyra processer för att utveckla läroplanens förmågor. Strategier, metoder och andra elevers ar- gument behöver utvärderas, begrepp definieras och metoder generaliseras. Vid studier av elevers lärande har representation en särställning eftersom det är genom denna process som de övriga tre processerna görs synliga.
Att generalisera kan beskrivas som att överföra egenskaper som tillskrivs en mängd matematiska objekt till en större mängd objekt, en process som vanligtvis börjar med upptäckter av likheter och skillnader mellan objekten. Observerade mönster av egenska- perna leder till antaganden om objektens egenskaper, mönstren kan vara visuella eller symboliska (Blume m.fl., u.å.). Förmågan att generalisera är en av de egenskaper som Pet- tersson (2011) tar upp i sin studie av matematiskt särbegåvade barn. Det är en egenskap som sägs känneteckna matematisk begåvning och som är framträdande bland de elever hon har studerat.
3.3 Problemlösningens faser
Problemlösning har av olika teoretiker delats in i ett flertal faser. I sin bok How to solve it (1945) delar Pólya in problemlösning i fyra olika faser:
1. Förstå problemet, 2. göra en plan, 3. genomföra planen, 4. utvärdera lösningen.
En elev kan ha tur och hitta en framgångsrik metod direkt och på detta sätt hoppa över några av stegen, men det bästa är att gå igenom alla de fyra faserna. Det värsta som kan hända, menar Pólya, är att eleven leds direkt till den tredje fasen och lotsas genom beräkningarna utan att ha förstått problemet. Att på detta sätt fokusera på detaljer utan att förstå hur planen valdes, eller förstå sambanden mellan problemets olika delar, beskrivs som meningslöst (Pólya, 1945). Istället för att lotsas ska eleven arbeta själv så mycket som möjligt men inte lämnas helt ensam, då det kan resultera i att det inte sker några framsteg.
Läraren ska enligt Pólya försöka förstå hur eleven tänker och hjälpa till, ”not too much and not too little”. Eleven ska med fördel få uppleva hur han kan använda sina egna idéer, istället för att matas med lärarens lösningar, en idé som eleven kommit på själv glöms inte lika lätt bort (Pólya, 1945).
Problemet ska inte vara för lätt och inte för svårt utan ge eleven en lagom utmaning genom de fyra faserna (Pólya, 1945). Men även ett väl valt problem kan få elever att hasta igenom fas ett och två där problemet ska analyseras och lämpliga metoder väljas ut. Detta sker om eleverna inte har fått ett riktigt förhållningssätt till problemlösning utan främst värdesätter genomförandet av beräkningar.
Förmågan att utvärdera sina lösningar, Pólyas fjärde fas, tas även upp av Schoenfeld (2011) som använder begreppet självreglering. Schoenfeld beskriver fyra faktorer som avgör om en problemlösare är framgångsrik:
1. Elevens matematiska kunskaper, 2. strategier eleven behärskar, 3. självreglering och
4. synen på sig själv och matematik.
Självreglering beskrivs av Schoenfeld som en aspekt av metakognition och han menar att det visat sig framgångsrikt att hjälpa elever att kritiskt granska sina valda strategier.
Metakognitivt tänkande kan uppmuntras genom att eleven lär sig ställa frågor som ”Vad gör jag?”, ”Varför gör jag det?”, ”Hur hjälper det mig att lösa problemet?”. Bra problemlösare förlorar sig inte långa stunder i felaktiga gissningar, de har en förmåga att utvärdera sitt arbete och de ser om en gissning är fruktbar (Schoenfeld, 1987). Problemlösning och självreglering är enligt Schoenfelt (1994) en social aktivitet. Lärandet sker i en gemenskap
och det är viktigt att eleverna får förklara sina idéer och gemensamt granska dessa (Taflin, 2007; Schoenfeld, 1994, 2013).
Utifrån de här beskrivna faserna i problemlösning kan problemlösningsförmågan, be- skriven i läroplanen, anses innefatta förmågorna att förstå problemet, att hitta en strategi och göra en plan, att utföra planen samt att kontinuerligt utvärdera det pågående arbetet.
3.4 Rika problem
En väl vald uppgift kan ge lämplig utmaning och leda till matematiska samtal kring meto- der och uttrycksformer. För att närmare beskriva kvaliteterna hos uppgifter som fungerar på detta sätt har Taflin (2007) undersökt vad hon kallar för Rika problem. Ett rikt problem kan vara ett standardproblem som utvidgats så att det i högre grad uppmuntrar till kreativ problemlösning och matematiska samtal i klassrummet. Utvidgningen ska möjliggöra flera olika lösningar som elevgruppen kan diskutera gemensamt, jämföra och värdera. Egenska- pen att vara ett rikt problem beror på individen och situationen, ett problem är inte rikt i sig själv utan har potentialen att vara rikt. Taflin (2007) formulerar i sin avhandling sju kriterier för rika problem:
1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier.
2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det.
3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representatio- ner.
5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lös- ningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer.
6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.
(Taflin, 2007, sid. 56)
Problemen, som används i denna studie, är valda med förhoppningen att de ska fungera som rika problem, framför allt önskas de fem första kriterierna uppfyllas.
Ett rikt problem ska förstås av alla och erbjuda en utmaning för alla elever. För att lyckas med detta i en heterogen elevgrupp kan problemet innehålla olika deluppgifter där det första kan uppfattas som lättare än de följande, Taflin ger exempel på sådana i boken Rika matematiska problem (Hagland m.fl., 2005).
En fördel med att utveckla ett problem som eleven löst istället för att direkt gå vidare till ett nytt är att eleven känner tillfredsställelse och får självförtroende inför nästa problem.
Eleven önskar använda tidigare erfarenheter i nästa situation (Taflin, 2007).
3.5 Sociala och sociomatematiska normer
Interaktionen i klassrummet, elever emellan och mellan lärare och elever, styrs av sociala normer, och i ett matematikklassrum är vissa av dessa ämnesspecifika sociomatematiska normer (Yackel & Cobb, 1996). Pettersson (2011) beskriver ett klassrums sociala normer som ”regelbundna mönster som reglerar elevernas interaktion med varandra och som är ämnesoberoende” (sid. 67). En förväntan på att eleverna ska kunna argumentera för sina svar och att svaren ska skilja sig från redan givna svar är exempel på sociala normer. Vad som bedöms vara en godtagbar matematisk lösning eller vad som anses vara en lösning som
skiljer sig matematiskt från tidigare presenterade lösningar är exempel på sociomatematiska normer (Yackel & Cobb, 1996).
Normerna kan hamna i konflikt med varandra. Den sociomatematiska normen som säger att eleverna ska föra matematiska samtal kan hamna i konflikt med normen att det ska vara tyst i ett matematikklassrum och att matematikundervisning bör utgöras av individuellt arbete i en lärobok. Normen som säger att läraren ska kunna förklara så att alla elever förstår kan utmanas av normen att alla elever ska kunna bidra med lösningar, lösningar som kanske vare sig lärare eller övriga elever förstår (Pettersson, 2011).
De sociala och sociomatematiska normerna styr matematikundervisningen och påver- kar elevernas möjlighet till lärande. I sin avhandling studerar Pettersson (2011) hur elever med fallenhet för matematik bemöts i skolan och vilken betydelse detta bemötande har för deras utveckling. Hon finner att elever, särskilt de med fallenhet för matematik, gyn- nas av ett undersökande arbetssätt där eleverna löser utmanande uppgifter tillsammans och där läraren förväntar sig kreativa och unika lösningar. Begåvade elever gynnas av ett klassrumsklimat där individerna inte förväntas passa in i mängden.
4 Metod
4.1 Urval
Eleverna som deltog i studien är inte slumpvis utvalda utan gick i en klass, årskurs fem, vars lärare jag fick kontakt med i samband med studien. Läraren hade beskrivits för mig på ett mycket positivt sätt men jag visste inte hur hon arbetade. Det jag visste på förhand var vilken årskurs hon undervisade i, att eleverna inte var nivågrupperade och att hon troligen var öppen för att arbeta med rika problem.
Klassens 47 elever är uppdelade i två grupper som har separata lektioner i var sitt klass- rum. Gruppindelningen är relativt fast, men vissa byten av grupp kan ske inför terminsstart, indelningen är inte gjord för att samla elever med vissa förmågor i en grupp.
En förfrågan om tillåtelse för eleverna att delta i studien gick ut till alla vårdnadshavare och jakande svar om tillåtelse mottogs för 35 av eleverna, 20 pojkar och 15 flickor, se tabell nedan. Eleverna studerades vid sex tillfällen, tre lektioner per elevgrupp. Enskilda intervjuer gjordes utanför klassrummet, elva elever intervjuades vid två tillfällen och åtta elever vid ett tillfälle, sammanlagt 30 intervjuer, ca åtta minuter långa vardera.
Flickor Pojkar Totalt i Totalt i studien klassen
Grupp 1 7 11 18 23
Grupp 2 8 9 17 24
Summa 15 20 35 47
Eleverna som intervjuades valdes ut för att ge en spridning av matematisk förmåga men ska inte ses som ett representativt urval av eleverna. I flera fall valdes elever som jag fått god kontakt med under lektionerna, i vissa fall var det en intressant elevlösning som gjorde att eleven tillfrågades om en intervju. Bedömningen av elevernas matematiska förmåga baserades på klassrumsobservationerna och inlämnade elevlösningar. Några elever ville inte låta sig intervjuas utanför klassrummet utan ville endast observeras under lektionerna.
4.2 Genomförande
De tre lektionerna genomfördes i de två grupper som klassen vanligtvis var indelad i, vid sammanlagt sex tillfällen. Lektionerna var 80 minuter långa varav matematikdelen var drygt 60 minuter.
Besök i Lektion I Inter- Lektion II LektionIII Inter- klassen Stenplattor vjuer Tornet I Tornet II vjuer
Figur 2: Studiens upplägg.
Läraren sammanställer vanligtvis sitt eget lektionsmaterial och utgår inte från ett en- skilt läromedel. Klassen arbetar ofta med problemlösning och då enligt en arbetsmodell som kallas EPA, där EPA står för Enskilt arbete, Parvis arbete och gemensam diskussion med Alla. Vanligtvis genomgår klassen en cykel med EPA för ett problem men under var och en av de studerade lektionerna gjordes två cykler av EPA.
Jag förde samtal under lektionerna med de elever som såg ut att vara bekväma med att berätta om sina lösningar. Dessa samtal kom mestadels att ske med elever som tyckte att uppgiften var rolig och som hade en lösning att förklara.
Två problem kom att användas i studien och intervjuer med eleverna gjordes efter respektive problem, se figur 2.
4.3 Datainsamling och bearbetning
Datainsamling gjordes utifrån klassrumsobservationer, elevlösningar och intervjuer. Klass- rumsobservationerna gjordes till största del med ljudupptagning och anteckningar samt i några fall fotografier av tavlan och av elevlösningar med laborativt material. Efter lek- tionerna samlades elevernas lösningar in. Lösningarna innehöll i många fall delar som ett elevpar gjort tillsammans samt lösningar avskrivna från tavlan. Intervjuerna spelades in och transkriberades snarast efter intervjuernas genomförande. Anteckningar gjordes även direkt efter intervjutillfället. Intervjuerna var semi-strukturerade och hade som huvuddel att eleven skulle beskriva sin lösning (Kvale & Brinkmann, 2009).
Det inspelade materialet avlyssnades två eller flera gånger och en stor del transkribe- rades, valet att inte transkribera allt gjordes framför allt av tidsskäl. Det transkriberade materialet och beskrivningar av elevernas lösningar sammanställdes för att följa individu- ella elever.
I vissa citat och dialoger som förekommer i uppsatsen har mindre grammatiska juste- ringar gjorts för att underlätta läsandet.
4.4 Val av problem
Inför studien söktes problem med potential att fungera som rika problem. Problemens konstruktion skulle möjliggöra enskilt arbete för alla samtidigt som alla elever skulle finna utmaning. Problemen som användes är omarbetningar av två problem, Stenplattor och Tornet, från boken Rika matematiska problem av Hagland m.fl. (2005). Ett rikt problem behöver vara anpassat till elevgruppen och frågeformuleringarna skrevs tillsammans med läraren. Efter att eleverna arbetat med det första problemet justerades frågeformulering- arna för det andra. Problemens olika delproblem delades upp för att eleverna inte skulle se alla direkt utan gemensamt ägna tid åt det första delproblemet. För respektive problem gällde att delproblem 1 fanns på det första uppgiftspappret och de resterande på ett andra papper.
För det tredje lektionstillfället hade ett tredje problem valts ut men det kom aldrig att
användas. I slutet av lektionen med problemet Tornet var många elever fullt upptagna med att lösa uppgiften och tillsammans med läraren beslutades då att eleverna skulle arbeta med samma problem ytterligare en lektion.
4.5 Etiska överväganden
Alla elever i studien har lämnat in ett skriftligt tillstånd från en vårdnadshavare. Vid de enskilda intervjuerna har alla informerats om att deras deltagande är frivilligt och att de när de vill under studiens gång kan välja att ångra sin medverkan. Alla uppgifter har behandlats med konfidentialitet och ingen elev benämns med sitt riktiga namn.
I klassrummet behandlades jag som en hjälplärare. Även om jag försökte tydliggöra min roll som intervjuare och berättade att samtalen spelades in kan flera elever tänkas ha glömt bort att de befann sig i en intervjusituation. Materialet har behandlats med detta i åtanke.
Under de enskilda intervjuerna anpassades frågorna till intervjupersonerna för att dessa skulle känna sig trygga och inte kritiseras för felaktiga lösningar, eller obekväma över att de inte kunde svara på frågor. Vid flera tillfällen hjälpte jag elever att förklara sina lösningar.
I uppsatsens resultatdel beskrivs fyra elever mer ingående än övriga, dessa visade alla god förmåga att lösa problemen. Valet att inte på samma sätt närmare beskriva elever som hade svårare att lösa problemen har gjorts av etiska skäl.
4.6 Reliabilitet och validitet
Som intervjuare påverkar man respondanten och risken för sådan påverkan är ännu större när respondenten är ett barn (Kvale & Brinkmann, 2009). Jag har så långt som möjligt ställt öppna frågor för att motverka detta.
Generellt kom elever som presterade fler korrekta lösningar i högre grad ihåg vad de gjort, därför finns mer intervjumaterial med dessa elever än med elever som fann uppgif- terna svåra.
Eftersom eleverna inte löst problemen enskilt utan gemensamt i klassrummet var det svårt att veta om lösningarna på de inlämnade pappren kom från eleven själv eller var avskrivna från någon annan eller från tavlan. Ofta var klassrumsobservationerna till hjälp men ibland var det svårt att veta hur mycket en elev gjort på egen hand. Elever som under intervjuerna hade svårt att förklara sina lösningar fick hjälp vilket gjorde att det i flera fall var oklart vad eleven själv hade förstått och kunde berätta om.
5 Resultat och analys
I detta avsnitt redovisas hur lektionerna genomfördes samt de två rika problem som använ- des i studien. I avsnitt 5.6 beskrivs och analyseras lösningar av fyra elever som i studien kallas Adam, Linda, Emil och Albin. Dessa elever förekommer även i andra delar av re- sultatdelen under dessa namn. Vidare tas sociala och sociomatematiska normer upp samt elevernas interaktion i klassrummet. Eleverna använde byggen, ritningar, matematisk text och muntlig representation när de löste problemen. Avslutningsvis beskrivs hur elevernas arbete med de rika problemen bidrar till utveckling av de fem förmågor som beskrivs i läroplanen.
5.1 Lektionernas genomförande
De sex observerade lektionerna var alla som tidigare nämnts 80 minuter långa varav mate- matikdelen var 60 minuter. Denna matematikdel inleddes av läraren som introducerade problemen eleverna skulle arbeta med. Varje lektion kom sedan att genomgå två cykler av EPA-modellen med enskilt arbete, parvis arbete och gemensam diskussion för alla, se figur
3. I praktiken kom det enskilda och det parvisa arbetet bara att vara separerat vid den Problemet introduceras och precenteras
Enskilt arbete
Parvis arbete
Gemensam diskussion
Enskilt/parvis arbete
Gemensam diskussion
Figur 3: Ungefärlig fördelning av tid under lektionernas matematikdel.
första cykeln, vid den andra cykeln flöt dessa moment ihop så att det parvisa samarbetet inte behövde initieras av läraren som annars styrde byte av arbetsform. Paren i klassen var vid problemet Stenplattor sammansatta av läraren utifrån likartad förväntad förmåga att lösa problemen, och vid Tornet utifrån elevernas placering i klassrummet. I vissa fall kom tre elever att utgöra ett ”par”.
5.2 Problemet Stenplattor
Problemen som användes är, som nämnts ovan, omarbetningar av två problem från boken Rika matematiska problem av Hagland m.fl. (2005). Båda problemen behandlar växande mönster.
I problemet Stenplattor, se figur 4, presenteras en växande sekvens av kvadratiska möns- ter där de tre första figurerna är avbildade. I deluppgifterna efterfrågas antalet mörka och ljusa plattor samt det totala antalet plattor i figur 5, 10, 50 och n, framöver refererade till som F5, F10, F50 och Fn.
Problemet kan lösas på flera olika sätt. För en given figur kan plattorna ritas och pekräknas, de kan också beräknas med utgångspunkt i ett givet figurnummer eller utifrån en rekursiv ökning.
Antalet ljusa plattor är kvadraten av figurnumret, n2, se figur 5. Ökningen kan även beräknas rekursivt, för antalet ljusa plattor, Ln, i figur Fn , blir ökningen
Ln= Ln−1+ 2n − 1.
En alternativ lösning är att se de ljusa plattorna som skillnaden mellan det totala antalet plattor och antalet mörka plattor.
Den mörka ramen kan delas in på olika sätt och plattorna adderas i olika mängder, se figur 6. Även de mörka plattorna kan beräknas rekursivt, till skillnad från de ljusa plattorna är ökningen linjär och ramen växer med fyra plattor per figur.
Till sin hjälp för att lösa problemet hade eleverna de tre figurerna på uppgiftspappret, centimeterrutat papper, linjal samt miniräknare.
Stenplattor
Ett mönster läggs med hjälp av kvadratiska stenplattor, mörka och ljusa. Så här ser mönstret ut:
1. Hur många plattor går det åt till figur 5? Hur många av dem är ljusa och hur många är mörka?
2. Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur 10?
3. Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur 50?
4. Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur n? Hur många plattor går det åt totalt till figur n?
-Ìi«>ÌÌÀ
ÌÌÊÃÌiÀÊB}}ÃÊi`Ê B«Ê>ÛÊÛ>`À>ÌÃ>ÊÃÌi
«>ÌÌÀ]ÊÀ>ÊV ÊÕÃ>°Ê-FÊ BÀÊÃiÀÊÃÌÀiÌÊÕÌ\
ÊÊ
Ê ÊÊv}ÕÀÊ£Ê v}ÕÀÊÓÊ v}ÕÀÊÎ
>®Ê ÕÀÊF}>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊFÌÊÌÊv}ÕÀÊx¶Ê
ÕÀÊF}>Ê>ÛÊ`iÊBÀÊÕÃ>ÊV Ê ÕÀÊF}>ÊBÀÊ
À>¶
L®Ê ÕÀÊF}>ÊÀ>ÊÀiëiÌÛiÊÕÃ>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊ FÌÊÌÊv}ÕÀÊ£x¶
V®Ê ÕÀÊF}>ÊÀ>ÊÀiëiÌÛiÊÕÃ>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊ FÌÊÌÊv}ÕÀÊ£ää¶
`®Ê ÕÀÊF}>ÊÀ>ÊÀiëiÌÛiÊÕÃ>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊ FÌÊÌÊv}ÕÀʶÊÕÀÊF}>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊFÌÊÌÌ>ÌÊ ÌÊv}ÕÀʶ
i®Ê ÌÌ>Ê«FÊiÌÌÊ>`iÊ«ÀLi°Ê ÃÊ`iÌ°ÊÊ
i>ÊÃ`>ÊvÃÊvÀÊÕÌÃÀvÌÊÃÊ«`vÊ«FÊÜÜÜ°LiÀ°Ãi
Rika matematiska problem - Liber 2005
-Ìi«>ÌÌÀ
ÌÌÊÃÌiÀÊB}}ÃÊi`Ê B«Ê>ÛÊÛ>`À>ÌÃ>ÊÃÌi
«>ÌÌÀ]ÊÀ>ÊV ÊÕÃ>°Ê-FÊ BÀÊÃiÀÊÃÌÀiÌÊÕÌ\
ÊÊ
Ê ÊÊv}ÕÀÊ£Ê v}ÕÀÊÓÊ v}ÕÀÊÎ
>®Ê ÕÀÊF}>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊFÌÊÌÊv}ÕÀÊx¶Ê
ÕÀÊF}>Ê>ÛÊ`iÊBÀÊÕÃ>ÊV Ê ÕÀÊF}>ÊBÀÊ
À>¶
L®Ê ÕÀÊF}>ÊÀ>ÊÀiëiÌÛiÊÕÃ>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊ FÌÊÌÊv}ÕÀÊ£x¶
V®Ê ÕÀÊF}>ÊÀ>ÊÀiëiÌÛiÊÕÃ>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊ FÌÊÌÊv}ÕÀÊ£ää¶
`®Ê ÕÀÊF}>ÊÀ>ÊÀiëiÌÛiÊÕÃ>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊ FÌÊÌÊv}ÕÀʶÊÕÀÊF}>Ê«>ÌÌÀÊ}FÀÊ`iÌÊFÌÊÌÌ>ÌÊ ÌÊv}ÕÀʶ
i®Ê ÌÌ>Ê«FÊiÌÌÊ>`iÊ«ÀLi°Ê ÃÊ`iÌ°ÊÊ
i>ÊÃ`>ÊvÃÊvÀÊÕÌÃÀvÌÊÃÊ«`vÊ«FÊÜÜÜ°LiÀ°Ãi
Rika matematiska problem - Liber 2005
Figur 4: Bearbetning av problemet Stenplattor från boken Rika matematiska problem (Hag- land m.fl., 2005, sid 102, illustration av Anders Sunesson).
5.3 Metoder eleverna använde för att lösa problemet Stenplattor
Majoriteten av eleverna började sin lösning med att rita en bild eller pekräkna på uppgifts- pappret. Flera markerade i sina figurer och berättade vid genomgångar hur de upptäckt att de ljusa plattorna ökade med plattor formade som ett L, se figur 5. För att beräkna antalet ljusa plattor upptäckte många att svaret gavs av kvadraten av figurnumret, metoden spreds till nära alla elever. Generellt uppfattades antalet ljusa plattor som lättare att beräkna än antalet mörka, givet ett visst figurnummer. Flera elever upptäckte ett numeriskt mönster för hur de ljusa plattorna ökade rekursivt.
Alla indelningar av de mörka plattorna som är illustrerade i figur 6 förekom bland elevlösningarna. Av dessa indelningar är alla utom en symmetrisk (ramen delas i det fallet in i fyra delar där delarna har tre olika längder). Denna osymmetriska lösning användes
n
2
Figur 5: Beräkning av de ljusa plattorna samt beskrivning av ökningen.
4n+4 4(n+1) (n+2)2-n2
(n+2)+2(n+1)+n 2(n+2)+2n 4(n+2)-4
Figur 6: Metoder för beräkning av antalet mörka plattor.
men övergavs till förmån för andra former av indelningar. Vissa elever redovisade ingen indelning utan berättade i intervjuerna att de ritat plattorna och pekräknat. Metoden där de mörka plattorna beräknas som skillnaden mellan det totala antalet och de ljusa antalet plattor upptäcktes i ett av klassrummen. Metoden, som innehåller få beräkningar, ansågs vara ”mycket smart” och användes av många.
Flera elever skrev tabeller för att redovisa antalet plattor i olika figurer. En elev använde en tabell som sin huvudsakliga metod för att lösa de tre första deluppgifterna.
Alla elever lämnade in korrekta lösningar för F5 många även för F10 och ett fåtal för F50. Flera lämnade in felaktiga lösningar för F50 där de flesta antagit att antalet plattor ökade linjärt på så sätt att svaren för F10 kunde multipliceras med fem för att få svaren för F50.
Tre elever som svarade på uppgift 4, där ett generellt uttryck efterfrågas, redovisade hur en metod kunde användas för en specifik figur, ingen av dem skrev ett uttryck som innehöll variabeln n.
5.4 Problemet Tornet
Liksom problemet Stenplattor handlar Tornet om ett växande mönster, se figur 7. Uti- från lektionen med Stenplattor gjordes vissa justeringar. Fler deluppgifter lades till för att
uppmuntra eleverna att bygga och undersöka flera mindre torn. Tornens höjder i delupp- gifterna valdes för att inte uppmuntra till multiplikation av svar enligt en linjär tolkning av ökningen. I deluppgift 6, där en generell metod efterfrågas, används inte variabeln n.
Tornet'
1. Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'tornet'på'bilden?''''' Fundera'över'hur'du'kan'förklara'din'lösning'för'dina'kamrater' ' 2. Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'ett'liknande'torn'som'är''''
5'kuber'högt?'
' 3. Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'ett'liknande'torn'som'är'''' 6'kuber'högt?'
' 4. Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'ett'liknande'torn'som'är'' 15'kuber'högt?'
' 5. Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'ett'liknande'torn'som'är' 100'kuber'högt?'
'
6. Om'man'vet'höjden'på'ett'torn,'hur'kan'man'då'beräkna'antalet' kuber?'
'
7. Hitta'på'ett'eget'liknande'problem.'Lös'det.'
/ÀiÌ
>®Ê ÕÀÊF}>ÊÕLiÀÊLi ÛÃÊ`iÌÊvÀÊ>ÌÌÊLÞ}}>ÊÌÀiÌÊ
«FÊL`i¶
L®Ê ÕÀÊF}>ÊÕLiÀÊLi ÛÃÊ`iÌÊvÀÊ>ÌÌÊLÞ}}>ÊiÌÌÊ
>`iÊÌÀÊÃÊBÀÊ£ÓÊÕLiÀÊ }̶
V®Ê ÕÀÊF}>ÊÕLiÀÊLi ÛÃÊ`iÌÊvÀÊ>ÌÌÊLÞ}}>ÊiÌÌÊ
>`iÊÌÀÊÃÊBÀÊÊÕLiÀÊ }̶
`®Ê ÌÌ>Ê«FÊiÌÌÊi}iÌÊ>`iÊ«ÀLi°Ê ÃÊ`iÌ°
i>ÊÃ`>ÊvÃÊvÀÊÕÌÃÀvÌÊÃÊ«`vÊ«FÊÜÜÜ°LiÀ°Ãi
Rika matematiska problem - Liber 2005
Figur 7: Bearbetning av problemet Tornet i Rika matematiska problem (Hagland m.fl., 2005, sid 85, illustration av Anders Sunesson).
Antalet kuber kan beräknas på ett flertal olika sätt. Tornet kan byggas eller ritas och kuberna pekräknas. Med utgångspunkt i ett torn med en given höjd kan tornet delas in i olika delar som beräknas var för sig eller sätts samman i nya mönster, se beräkningar för tornet med höjden fyra kuber i figur 9. Antalet kuber kan även beräknas rekursivt med
Figur 8: Multilink.
ökningen
Tn= Tn−1+ 4n − 3.
En sådan ökning kan illustreras på liknande sätt som metoden Olika lager i figur 9.
Förutom bilden på uppgiftspappret hade eleverna tillgång till centimeterrutat papper, linjal, miniräknare samt multilink, se figur 8.
5.5 Metoder eleverna använde för att lösa problemet Tornet
Den vanligaste metoden för att lösa den första deluppgiften var att pekräkna i illustrationen på uppgiftspappret, en metod som kräver förståelse av tornets uppbyggnad eftersom alla kuber inte syns på bilden. Ett fåtal elever valde att bygga med multilink som sin första strategi men i slutet av andra lektionen hade alla byggt egna eller använt andras torn.
Alla metoder som illustreras i figur 9 användes av eleverna. De två vanligaste metoderna var Fyra trappor och en mittstapel och Höjder för sig. Dessa metoder lämpade sig bäst för små torn där kuberna kunde pekräknas och antalet staplar var få. Två elever, Emil och Albin, hittade en generell metod för att bestämma antalet kuber i en trappa, beskrivet i avsnitt 5.6.3. I den andra elevgruppen hittade en elev metoden Två rektanglar och en mittstapel. För att stötta eleverna i sökandet efter generella metoder visade läraren upp ett flerfärgat torn, T4, ombyggt som En stor rektangel och frågade om de kunde göra om det till T4. Inspirerade av Emil och Albins metod kom eleverna nästan uteslutande att dela in lärarens rektangulära bygge i två rektanglar och en mittstapel. Metoden Olika lager förekom i en av grupperna men ansågs inte vara lämplig för stora torn. En elev använde skrivandet av en tabell som primär metod.
5.6 Tre fallbeskrivningar 5.6.1 Adam
Adam tar sig an problemen med stor entusiasm och deltar mycket aktivt i de gemensamma diskussionerna, han har lätt för att förstå problemen men svårt för att skriva ner sina lösningar. Både under lektionerna och intervjuerna ger han uttryck för tolkningen att problemen handlar om att hitta generella lösningar. Detta syns i hans lösning för den första deluppgiften för Stenplattor, se figur 10, där metoder, men inga svar, är angivna.
Adams förväxling av ljusa och mörka plattor vid den första deluppgiften berodde troligen
Fyra trappor och en mittstapel 4·6 + 4
Två rektanglar och en mittstapel 2 (3·4) + 4
En stor rektangel 4·7
Höjder för sig
4·1 + 4·2 + 4·3 + 1·4
Olika lager 1 + 5 + 9 + 13
Figur 9: Metoder för att beräkna antalet kuber i torn T4.
på att läraren, vid introduktion av problemet, färglade de olika sorters plattorna med grön och röd färg.
Figur 10: Adams lösning av delproblem 1 för problemet Stenplattor.
I intervjun efter den första lektionen berättar Adam att han såg ett mönster för hur de mörka plattorna växte när han skrev ner antalet mörka plattor för de tre första figurerna på uppgiftspappret. Det upptäckta mönstret, en ökning med fyra plattor per figur, använder
han sedan för att med vetskap om antalet mörka plattor i en känd figur beräkna antalet i en sökt figur. Adams lösning för F10 visas i figur 11. I lösningen beräknas antalet mörka plattor, M10, utifrån antalet steg mellan F5 och F10, ett antal som multipliceras med fyra och adderas till antalet mörka plattor i F5. Beräkningarna kan uttryckas som
M10= M5+ 4(10 − 5).
Figur 11: Adam beräknar de mörka plattorna för F10.
När de mörka plattorna för F50ska beräknas glömmer Adam troligen bort vilken figur han utgår ifrån och svaret blir fel, men i slutet av lektionen väljer han konsekvent att använda F1 som utgångsfigur. På eget initiativ beräknar Adam de mörka plattorna för F1782 på miniräknare och för andra stora figurer. En av dessa berkäningar kontrollerades och den var helt rätt. Adam är entusiastisk över de stora talen och senare i en intervju svarar han på frågan om varför han och hans kamrat räknade egna uppgifter:
”För att vi hade gjort alla uppgifter. Vi ville göra något speciellt som vi alltid gör på alla uppgifter. Vi tar alltid jättestora tal, det är mycket roligare!”
En formell tolkning av Adams metod där n och p står för numren på den sökta respektive den kända figuren, samt Adams tillvägagångssätt vid beräkning av M1782:
Mn= 4(n − p) + Mp
M1782= 4(1782 − 1) + M1 = 4 · 1781 + 8
Adam uttrycker sig med mycket energi och han och hans kamrat talar i munnen på varandra när de ska förklara sina lösningar och jämföra sina svar. Kamraten, som använder en metod som tagits upp under en gemensam genomgång, får samma svar som Adam och läraren säger att detta talar för att Adams metod fungerar men varken hon eller kamraten förstår Adams lösning under lektionen. Adam fortsätter att räkna stenplattor en bit in på rasten.
Problemet Tornet angriper Adam på liknande sätt. För tornet i den första deluppgiften, T4, ger Adam tre lösningar på papper. Han utgår från uppgiftspapprets bild och ger en lösning på symbolisk representationsform enligt metoden Höjder för sig, under denna följer en lösning med metoden Fyra trappor och en mittstapel och sedan en ikonisk representation av metoden Höjder för sig, se figur 12.
Under både lektionen och intervjun jämför Adam sina två representationer av Höjder för sig och kallar dem för två olika metoder. Han kommenterar sin ikoniska representation
”fast jag vet inte om det blir enklare” och ger på detta sätt uttryck för att han inte enbart vill variera lösningarna utan även förbättra dem. Till en början saknar denna tredje lösning
