CHALMERS TEKNISKA HOGSKOLA
Avdelningarna for tillampad, teoretisk och experimentell fysik samt MINA Bengt Lundqvist (tfybil@fy.chalmers.se)
2003-09-01
KVANTFYSIK for F3 och KF3 2003 Inlamningsuppgifter I1:
Denna omgangs inlamningsuppgifter ar:
0.)
For att underlatta losandet av inlamningsuppgifterna bor Du forst ova Dig genom att t.ex. losa bl.a. de uppgifter som ges i veckoschemat.1.)
Partikel-vagdualismen kommer in i olika sammanhang:a) Uttradesarbetet har vardet 2.22 eV for K-metall och 4.35 eV for Al. Om bada metallerna i vakuum bestralas med ljus av vaglangden 200 nm, hur manga ganger snabbare ar de snabbaste elektronerna fran den ena metallen an de fran den andra?
Figure 1: Rontgenspektrum fran katodstraleror
b) Hur skulle rontgenspektret i Fig. 1 forandras, om den spanning som accelererar de elektroner som infaller mot rontgenrorets anod andrades till XY kV, dar XY ar de tva sista sirorna i Ditt personnummer. Rita gur med tydligt angiven energi for rontgenstralningen!
c) Olika partiklar har olika de Broglie-vaglangder. Berakna den for en elektron med energin 4 eV och den for en neutron med energin kBT vid temperaturen T= 100K!
d) Bada slagen av snabba elektroner fran (a)-uppgiften far falla in vinkelratt mot ytan av en enkristallin metall (Fig. 2). Kristallplanen ar parallella med metallytan
Figure 2: Enkel kubisk struktur
och har ett (kubiskt) gitteravstand pa 0.352 nm. Skissera hur intensiteten for den spridda elektronen (Fig. 3) bor variera med vinkeln (ange storleken pa for viktiga sardrag hos intensitetskurvan).
Figure 3: Davisson-Germer-experiment
2.)
Vill Du hora ljuden utanfor ett englasfonster battre, kan Du ju halla en liten stav mellan rutan och orat. Fasta kroppar leder ljud. Grytlappar ar bra att ha, nar man skall ta ut karl ur ugnen. Fasta kroppar leder varme.Bada dessa eekter hanger samman med svangningar hos atomerna i den fasta krop- pen, gittervibrationer kring atomernas jamviktslagen. Gittervagor kan gafram genom kroppen. Ibland kan ett partikelsynsatt vara bra, och da talar man om fononer.
Den enklaste modellen for gittersvangningar ar en linjar enatomig kedja (Figur 4V), dar alla atomerna har samma massa M och i jamvikt ar pa avstandet a fran sin granne. Dispersionsrelationen for gittervagor i denna modell ar
! = 2pgjsin(ka=2)j; (1)
dar g =Mf , f ar en kraftkonstant, k = 2nNa, n ar ett heltal och N ar antalet atomer i kedjan.
a) Berakna fas- och grupphastigheterna for dessa gittervagor.
b) Vilken period har vagrorelsen, uttryckt i nagra av de ovan givna parametrarna?
c) Vilken ljudhastighet ger formeln, uttryckt i nagra av de ovan givna parametrarna?
Blir vardet i m/s rimligt, om Du antar f = 1 eV/A2, M = 20 protonmassor och a = 3 A?
Manga fasta kroppar innehaller era atomslag. Darfor ar modellen for den linjara tvaatomiga kedjan (Figur 4H) ocksa intressant. Varannan atom har massan M och varannan m och antas koppla bara till narmsta granne med kraftkonstanten f.
For denna gitterrorelse ar dispersionsrelationen (positiva !)
!2 = f
1 M + 1
m
f
r 1
M2 + 1m2 + 2mM cos(ka); (2) d) Rita upp dispersionsrelationerna i de tva fallen.
e) Berakna fas- och grupphastigheterna for gittervagor i den tvaatomiga kedjan.
f) I vilken grans ar vagorna ickedispersiva (dvs. saknar dispersion)?
Figure 4: Vanster (V): enatomig kedja. Hoger (H): tvaatomig kedja
3.)
Inte minst i tider da tva guldmedaljer vid friidrotts-VM hamnar i Sverige kan man forundras over styrkan och elasticiteten i ett sadant biologiskt material som manskligt kompakt ben. Narmare studier visar att vi har har att gora med ett naturligt kompositmaterial, som uppvisar en rik hierarkisk struktur (Fig. 5):Figure 5: Hierarkisk benstruktur.
Pa den mikrostrukturella nivan, dvs. ungefar sa smatt som man kan se med blotta
ogat, nns "osteonerna" ("..." markerar ev. hemmagjord oversattning), som ar stora haliga brer bestaende av koncentriska lameller och av porer. Lamellerna byggs upp av brer, och brerna innehaller briller. Pa den ultrastrukturella skalan sam- mansatts brerna av mineralet hydroxyapatit och proteinet kollagen.
Dessa specika strukturella drag har knutits till olika fysikaliska egenskaper. Ex- empelvis uppstar styvheten hos ben ur kompositstrukturen (den sammansatta struk- turen) av mineralmikrokristallernaoch proteinbrerna (i huvudsak kollagen). Langsam krypning beror pa en glidning vid bindemedelslinjerna mellan "osteonerna". Binde- medelslinjerna som svaga mellanytor skanker en grad av seghetat ben. Nar det galler porer, bestar ihaligheterna av ellipsoidformade porer, som ger rumat "osteocyterna", benets levande celler. Bencellerna pa denna niva tillater benvavnad att omforma sin struktur efter radande spanningar. "Havers-kanaler" ar cylindriska porer, som innehaller blodkarl, vilka forser vavnaden med naring. "Canaculier" ar na kanaler, som stralar ut fran ihaligheterna. Mekanisk spanning p.g.a. fysisk aktivitet betrak- tas som viktig for att pumpa in naringsamnen genom dessa kanaler. Porstrukturen i ben ar vasentlig for att uppratthalla dess livskraft och foljaktligen dess formaga att anpassa sig till mekanisk spanning. Det nns modeller for dess anisotropa elasticitet, som framgangsrikt beskriver hur benstyvhet beror pahur den palagda spanningen ar orienterad i forhallande till "osteon"-axeln.
Andra exempel pa naturliga hierakiska material inkluderar tra, senor, porost ben och bambu. Av dessa ar det bara senan som kan betraktas som 'tat'; de andra ar cellulara. En sena bestar av kollagen, som paen molekylar skala liknar vad som galler for ben.
Ovanstaende resonemang avser att visa att makroskopiskafenomen (t.ex. VM-resultat) hanger ihop med mikroskopiska egenskaper paett hierarkiskt satt. For att forstadem helt maste man ha en beskrivning ocksa pa den mikroskopiska skalan.
a) Uppskatta med hjalp av gur och text ovan den karaktaristiska langdskalan for den minsta enheten i ben.
b) Ull eller har har en bros proteinstruktur, i vilken varje protein rullas upp i en hogerhant helix, kand som -helix, enligt vad som visas i Fig. 6.
Figure 6: Hierarkisk harstruktur.
Uppskatta med hjalp av gur och text ovan den karaktaristiska langdskalan for den minsta enheten i har.
c) Rep och trossar ar viktiga for bl.a. sjofarten, och i "Handbog i Praktisk Smandsskap", 1971, hittar man repstrukturer som de avbildade i gur 7.
Det framgar att den minsta avbildade delen kallas hampa, och om hampan skriver man bl.a. att plantan har stor hojd, vilket ger den langa brer, och darfor agnar sig gott till rep och segelduk. Hampan har en betydande styrka, och sarskilt egenskapen att den villigt tar emot tjara gor den val skickad att anvandas till sjoss. Nar hampan rengjorts, skall den spinnas till garn, nagot som forsiggar pa repslagarbanor.
Ocksa hampans blad ar sammansatta enheter. Uppskatta med hjalp av begransade,
Figure 7:
kompletterande litteraturstudier den karaktaristiska langdskalanfor den minsta styrke- givande enheten i hampa och darmed rep.
d) Ovanstaende exempel pa biologiska fenomen ger en antydan om skalor, som ar relevanta for vissa nyckelegenskaper. Formulera Din syn pa kvantfysikens roll inom (delar av) den biologiska varlden! Ge korta motiveringar.
4.)
a) Ett endimensionellt gaussiskt vagpaket beskriver en fri elektron, som vid tiden t = 0 ar lokaliserad inom ett avstand 1 A. Berakna genom explicit evaluering av den relevanta fouriertransformen, vilken storlek detta vagpaket har spritt sig till efter en tid t = 0:1X fs, dar X ar slutsiran i Ditt personnummer (dock X = 2, om slut- siran ar 0).
b) Ett annat endimensionellt gaussiskt vagpaket beskriver en fri proton lokaliserad vid tiden t = 0 inom ett avstand av 10 fm. Berakna den tid, efter vilken detta vagpaket har okat sin storlek X ganger (dock X = 2, om slutsiran ar 0 eller 1).
c) Stall upp nodvandiga uttryck och skissera losningen till motsvarande tva prob- lem i tre dimensioner.
5.)
Femtosekundspektroskopi och -kemi ar aktuella amnen. I experimenten anvander man ultrakorta laserpulser med vars hjalp det ar mojligt att undersoka reaktionsdy- namiken hos manga kemiska reaktioner, sadana som A +BC!(ABC)!AB +C.
Figure 8: Anordning for reaktionsdynamikstudier med laserpulser
Foljande fragor leder till uppskattningar av nagra av de parametrar som behovs for att gora detta:
a) Om den energi som nns tillgangligfor varje sluttillstand ar i grova drag E0.1 eV, hur stora ar datypiska sluthastigheter hos andprodukterna? Antag t.ex. att molekylen har atomvikten 40. Visa att dessa hastigheter typiskt har storleksordningen v0:01
A/fs, dar 1 fs = 10,15s. Om reaktioner antas upphora, nar reaktanterna ar mer an nagra bindningslangder ifran varandra, sag 2-4 A, hur manga femtosekunder kan den totala tiden for en sadan reaktion uppskattas till?
b) Laserpulser som varar 50 fs kan genereras for att studera sadana reaktioner.
Vilken ar den rumsliga utstrackningen x for en sadan puls?
c) Uppskatta med hjalp av osakerhetsrelationen for x och k spridningen i vagtal,
k, for en sadan puls.
d) Harled en osakerhetsrelation mellan och x.
e) Uppskatta for en laserpuls med = 300 nm den oundvikligaspridningen i vaglangder,
, hos en sadan strale.
f) Skulle en sadan puls kunna upplosa tva atomara eller molekylara emissions- eller absorptionslinjer, som ar 1 A isar?
Bedomning:
Bedomningen av de inlamnade losningarna sker summariskt, men ungefar som vid tentamen: "Uppgifterna kan ge upp till 3 poang vardera (For betyg 3 kravs 6 poang, for fyra 9 poang och for femma 12 poang, men har galler det de viktade poangtalen for hela kursen). Vid bedomningen laggs inte bara vikt pa ev. ratta svar pa direkta fragor utan ocksa pa klarhet i presentationen, med fullstandiga meningar, med logik i argumenten och med tydliga referenser till kompendiet o/e boken samt tabeller for material som hamtats dar. Observera att ocksaen redigt skisserad principlosning kan ge vissa poang."