Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Linköpings Universitet IFM

Mats Fahlman

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Måndagen 27/8 2018, kl 08:00-12:00

Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad)

Råd och regler Lösningsblad:

• Skall vara renskrivna och läsbara

• Skriv bara på ena sidan av pappret

• Svar skall anges med enheter

Betygsgränser:

3 10-14.5

4 15-19.5

5 20-24

Lycka till!

1. Tre laddningar är fixerade i vakuum (0 = 8.85 x 10^-12 C²/(Nm²) och r = 1) enligt figur. Vad är den elektriska fältstyrkan E (uttryckt i vektorform) i punkten A? (4p)

2. Ett centrallager använder en fjäder med fjäderkonstant k = 500 N/m för att skjuta paket med massa m = 2.00 kg uppför en h = 1.00 m hög friktionslös ramp så att de hamnar på lastbilsflaket, se figur. Lagerarbetarna trycker alltid ihop fjädern x = 30.0 cm från jämnviktsläget när de skjuter iväg paketen.

(a) Vilken hastighet har paketen när de kommer upp på lastbilsflaket? (2p)

(b) En klumpig lagerarbetare spiller lite läsk så att en sträcka på 50.0 cm mellan fjädern och rampen får en kinetisk friktionskoefficient på 0.300. Kommer paketen fortfarande upp på

lastbilsflaket? (2p)

3. En ren drar en släde över plan snötäckt mark. Släden har massan m = 200 kg. Släden är fastkopplad i renen med två masslösa rep, ett på vardera sidan av renen. De två träckta repen bildar en vinkel  = 10° mot horisontalen (marken), se figur. Renen startar med sträckta rep från vila och systemet ren+släde når en hastighet av v = 5.00 m/s efter en sträcka av s = 15.0 m. Den kinetiska friktionskoefficienten mellan släden och snön är k = 0.0600. Vi antar att renen lyckas anbringa konstant kraft och därmed konstant sträckkraft i repen från start till dess att sträckan s = 15.0 m har avverkats. Vad är storleken på sträckkraften i respektive rep?

(4p)

k

m

h = 1.00 m

4. I kretsen nedan spelar det ingen roll om strömbrytaren mellan A och B är öppen eller sluten.

Vad måste då V3 vara uttryckt i V1, V2, R1 och R2? (4p)

5. En stålkula med massa mA = 0.200 kg hänger i ett L = 1.00 m långt sträckt masslöst snöre som bildar en vinkel  = 45° mot vertikalen, se figur. Stålkulan släpps sedan och träffar i sitt bottenläge en stålkloss med massa mB = 0.500 kg som ligger på ett plant friktionslöst bord.

Kollisionen mellan stålkulan och stålklossen är elastisk. Vilken vinkel mot vertikalen får kulans snöre maximalt efter kollisionen? (4p)

6. En uniform stav av massa M och längd L snurrar i rymden fritt runt sin mittaxel. Initialt så sitter två små ringar, vardera med massa m, precis runt mittpunkten av stången, men lossnar och börjar sedan friktionsfritt glida mot vardera ändan av stången för att till sist åka av.

Vinkelhastigheten för stångens rotation innan ringarna lossnar och börjar glida är 0. (a) Visa att tröghetsmomentet I för en uniform stav med massa M och länd L samt rotation

runt sin mittaxel är I=ML²/12 (1p)

(b) Vad är vinkelhastigheten för stången då ringarna befinner sig på ett avstånd L/4 från

stångens mittpunkt? (2p)

(c) Vad är vinkelhastigheten för stången efter det att ringarna åkt av stången? (1p)

R

A B

R

V

V

V



L/4 L/4



Formelsamling TFYA87

Kinematik:

𝑣̅ =𝑑𝑠̅

𝑑𝑡 𝑎̅ =𝑑𝑣̅

𝑑𝑡 𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠

Cirkulär rörelse: 𝑎 =^𝑣2

𝑟 , 𝑣 = 𝑟𝜃̇ = 𝑟𝜔

Kurvrörelse (2D):

𝑎̅ = (𝑟̈ − 𝑟𝜃̇²)𝑟̂ + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇𝜃̇)𝜃̂

Gravitationskraft:

𝐹_𝐺 = 𝐺 𝑀₁𝑀₂ 𝑟²

Arbete:

𝑊 = ∫ 𝐹̅ ∙ 𝑑𝑆̅

2 1

Kinetisk energi:

𝐾 =1 2𝑚𝑣²

Effekt:

𝑃 =𝑑𝑊 𝑑𝑡

Rörelsemängd:

𝐹̅ =𝑑𝑝̅

𝑑𝑡

Impuls:

𝐽̅ = ∆𝑝̅ = ∫ 𝐹̅𝑑𝑡

2 1

Elastisk kollision 1D:

𝑣₁ − 𝑣₂ = −(𝑣₁^′− 𝑣₂^′)

Masscentrum:

𝑟̅_𝑚𝑐 = ∑𝑚_𝑖𝑟̅_𝑖

𝑖 𝑀 𝑟̅_𝑚𝑐 = ∫ 𝑟̅𝑑𝑚

𝑀

Tröghetsmoment:

𝐼 = ∑ 𝑚_𝑖

𝑖

𝑟_𝑖²

𝐼 = ∫ 𝑟²𝑑𝑚

Parallellaxel teoremet:

𝐼 = 𝐼_𝑚𝑐+ 𝑀ℎ²

Vridmoment:

𝜏̅ = 𝑟̅ × 𝐹̅

𝜏̅ =𝑑𝐿̅

𝑑𝑡

𝜏 = 𝐼𝛼 där 𝛼 = 𝜃̈ = 𝜔̇

Rörelsemängdsmoment:

𝐿̅ = 𝑟̅ × 𝑝̅

Kinetisk rotationsenergi:

𝐾 =1 2𝐼𝜔²

Rullning utan glid:

𝑣_𝑚𝑐 = 𝑟𝜔

Total kinetisk energi:

𝐾 =1

2𝑀𝑣_𝑚𝑐² +1 2𝐼_𝑚𝑐𝜔²

Harmonisk svängningsrörelse 𝑥̈ + 𝜔²𝑥 = 0 𝑑ä𝑟

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑇 = 2𝜋

𝜔

Dämpad linjär svängningsrörelse 𝑥̈ + 2𝛾𝑥̇ + 𝜔²𝑥 = 0 där

𝑥 = 𝑒^−𝛾𝑡 cos (𝜔_𝑒𝑡 + 𝜑) 𝜔_𝑒 = √𝜔²− 𝛾²

Intensitet i mekanisk våg (effekt/m²):

𝐼 = 2𝜋²𝜌𝑣𝑓²𝐴²

där  = densitet av mediet

Vågrörelse (plan våg):

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) 𝑘 = 2𝜋

𝜆 𝑣 = 𝑓𝜆

Coulomb kraft:

𝐹̅_𝑎𝑏 = 𝑞_𝑎𝑞_𝑏 4𝜋𝜀₀𝜀_𝑟𝑟²𝑟̂

Elektrisk fältstyrka:

𝐸̅ = 𝑄 4𝜋𝜀₀𝜀_𝑟𝑟²𝑟̂

𝐸̅ = ∫ 𝑟̂𝜌𝑑𝜏 4𝜋𝜀₀𝜀_𝑟𝑟² ,

Integrerat över volymen  där det finns laddningstätheten .

Elektriskt dipolmoment:

𝑝̅ = 𝑞𝑙̅ ,pekar från –q till +q

Elektrisk potential V:

𝑉 = − ∫ 𝐸̅ ∙ 𝑑𝑆̅

2 1

𝑉 = 𝑄 4𝜋𝜀₀𝜀_𝑟𝑟 𝑉 = ∫ 𝜌𝑑𝜏

4𝜋𝜀₀𝜀_𝑟𝑟

Integrerat över volymen  där det finns laddningstätheten . V(oändligheten) är satt som 0.

Gauss lag (E-fält):

∮ 𝐸̅ ∙ 𝑑𝐴̅ = 𝑄_𝑖𝑛 𝜀₀𝜀_𝑟

Integrerat över en sluten yta A, Qin

laddningen som är innesluten.

Kapacitans:

𝐶𝑉 = 𝑄

Plattkondensator:

𝐶 =𝐴𝜀₀𝜀_𝑟 𝑑 𝑉 = 𝑄𝑑

𝐴𝜀₀𝜀_𝑟

𝐸 = 𝑄

𝐴𝜀₀𝜀_𝑟 𝑊 =1

2𝑄𝑉

Där A är arean av en platta och d är avståndet mellan plattorna

Energi i ett elektriskt fält:

𝑊 =1

2∫ 𝑉𝜌𝑑𝜏 = 1

2∫ 𝜀₀𝜀_𝑟𝐸²𝑑𝜏

Strömtäthet:

𝐽̅ = 𝑛𝑞𝑣̅

𝐽̅ = 𝜎𝐸̅ där

𝜎 = 𝑛|𝑞|𝜇 𝑜𝑐ℎ |𝑣̅| = 𝜇|𝐸̅|

Strömstyrka:

𝐼 = ∫ 𝐽̅ ∙ 𝑑𝐴̅

𝐼 =𝑉

𝑅 𝑑ä𝑟 𝑅 = 𝑙

𝐴𝜎= 𝑙𝜌_𝑟 𝐴

Elektrisk effekt:

𝑃 = 𝑉𝐼

Gauss lag (B-fält)

∮ 𝐵̅ ∙ 𝑑𝐴̅ = 0

Magnetisk flödestäthet (vakuum/luft):

𝐵̅ = 𝜇₀

4𝜋∮𝐼𝑑𝑆̅ × 𝑟̂

𝑟² 𝐵̅ = 𝜇₀

4𝜋∫𝐽̅ × 𝑟̂𝑑𝜏 𝑟²

Oändlig rak ledare, ström I:

𝐵(𝑅) = 𝜇₀𝐼 2𝜋𝑅

Lorentz kraft:

𝐹̅ = 𝑞𝐸̅ + 𝑞𝑣̅ × 𝐵̅

Amperes lag:

∮ 𝐵̅ ∙ 𝑑𝑆̅ = 𝜇₀𝐼 + 𝜇₀𝜀₀ 𝑑

𝑑𝑡∫ 𝐸̅ ∙ 𝑑𝐴̅

Vridmoment, plana slingor i magnetfält:

𝜏̅ = 𝐼𝐴̅ × 𝐵̅ 𝑑ä𝑟

𝐴̅ är arean av slingan med riktning som är ortogonal mot strömförande slingans plan.

Magnetiskt flöde:

𝛷 = ∫ 𝐵̅ ∙ 𝑑𝐴̅

Induktion:

𝑉 = −𝑑𝛷

𝑑𝑡 (𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑘 𝑠𝑝ä𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔)

Energi, elektromagnetiska vågor (vakuum):

𝑊 = ∫1

2𝜀₀𝐸²𝑑𝜏 + ∫ 1

2𝜇₀𝐵²𝑑𝜏