Preliminärt lösningsförslag till Tentamen i Modern Fysik, SH1009, 2008‐05‐19, kl 14:00‐19:00
Tentamen har 8 problem som vardera ger 5 poäng. Poäng från inlämningsuppgifter tillkommer. För godkänt krävs preliminärt 16 p.
1. I s.k. Grand Unified Theories skulle protonen kunna var instabil och sönderfalla t.ex. till en positron och en π0. Uppskatta, på storleksordningen när, en undre gräns för
protonens medellivstid från det faktum att vi inte utsätts för en dödlig stråldos från protoner som sönderfaller i vår kropp. För att förenkla kan vi anta att kroppen består helt av vatten samt att π0 endast i begränsad omfattning bidrar till stråldosen. En dödlig dos antas utgöras av 0.5 Gy/år. (Tips: ln(1+x) ≈ x för små x) (5p).
Lösning: Eftersom beräkningarna inte behöver vara noggranna, kan vi anta att hela protonens massa omvandlas till energi, dvs varje protonsönderfall ger energin 938.3 MeV
1,60210‐19 J/eV = 1,50310‐10 J. 0,5 Gy/år innebär att
0,5/(1,50310‐10) protoner per kg sönderfaller per år. Vi kan anta att kroppen består av vatten. 1 vattenmolekyl har massan 17 u och innehåller 10 protoner. 1 kg vatten innehåller då 10/(1,6610‐27 17) = 3.541026 protoner. Andel som sönderfallit är då 0,5/(1,50310‐10 3.541026) ≈ 9,410‐18. Andel som finns kvar ges av e‐t/=1‐ 9,410‐18. Logaritmera och lös ut τ ≈ 1/9,410‐18 ≈ 1017 år.
2. Ett önsketänkande är att i framtiden kunna färdas relativt vår planet nästan lika fort som ljushastigheten i vakuum. Himlens ljusstarkaste stjärna, Sirius, ligger ca 9 ljusår från vårt solsystem. Vi vill färdas dit, och mäter vår hastighet genom att observera övergången från andra till första exciterade tillståndet hos väteatomer i Sirius fotosfär. Om vi för enkelhets skull antar att sträckan 2 ljusår åtgår för acceleration och retardation av vår farkost, vill vi att under resterande 7 ljusår (i jordens referenssytem) inte åldras mer än 1,75 år. Vilken fotonenergi förväntar vi oss att observera vid ideal hastighet? (5p)
Lösning: Tidsdilatationen gör att rymdskeppets klocka går långsammare. Ansätt att det i jordens system skulle ta 7 år => 7/1,75 = 4 gånger långsammare än en klocka på jorden.
Rymdskeppets hastighet löses ut ur
968 , 16 0 15 4 1
1 1
2 2
2
Vi ser nu att hastigheten inte riktigt är c. Ansätt = 4,1 ger = 0,970 Tillryggalagd sträcka i jordens system blir då 4,1 1,75 0,970 = 6.96 ljusår.
Med = 4,2 fås sträckan 7.14 ljusår. Välj sålunda = 4,1.
Fotonenergi för övergången mellan andra och första exciterade tillståndet är:
eV eV
hf 13,6 ,189 3
1 2
1
2
2
Dopplerskiftet (rörelse mot ljuskälla ger blåförskjutning) gör att frekvensen ändras enligt
1 1
källa
obs f
f fotonenergin blir då
eV hf
hfobs källa ,189 15,3
970 , 0 1
970 , 0 1 1
1
3. Egentillstånden för en partikel i en lådpotential är
Bestäm väntevärdena för (a) position och (b) rörelsemängd i tillståndet , antingen med en matematisk beräkning eller med ett intuitivt resonemang. (5p)
Lösning: 3. (a)
(b)
Intuitivt resonemang:
(a) för alla värden på n är jämn (symmetrisk) kring intervallets mittpunkt, så att partikeln lika gärna kan hittas under som ovanför mittpunkten, så att
medelpositionen måste vara lika med intervallets mittpunkt.
(b) är udda kring intervallets mittpunkt, och måste integrera till noll, så att medelrörelsemängden måste bli noll.
4. I European Spallation Source (ESS), som Sverige har erbjudit att placeras i Lund, kommer neutroner att skapas med en fördeling av olika kinetiska energier. Huvuddelen av neutronerna kommer att få en kinetisk energi av 2 MeV, medan maximal energi är 400 MeV. Beräkna minsta avstånd mellan atomplan i en kristall som kan upplösas vid de två ovan angivna energierna, då vinkeln mellan de inkommande och utgående strålarna är 60. (5p)
Lösning: Vid Braggsprindning fås upplöst avstånd d ur 2d sin n. Med = (180‐
60)/2 = 60 och n = 1 (för minsta upplösning) fås att d = . DeBroglie‐våglängden fås ur =h/p.
Ek= 2 MeV : Icke‐relativistiskt
MeV nm c
MeV
c nm eV E
m E h
m p
n kin kin
n 20
2 / 6
, 939 2
/ 1240
2 2
2
Ek= 400 MeV : Relativistiskt
E mc m c MeV c
p c1 kin 2 2 2 4 954 /
c m MeVnm c eV
p
h ,13 10 15
/ 954
/
1240
(Den senare våglängden motsvarar storleken av en proton).
5. En elektronstråle och en protonstråle med samma energi E närmar sig en potentialbarriär med formen
där 0<E<U. Anta att en procent av elektronerna transmitteras. Hur stor andel av protonerna transmitteras? Anta att approximationen för en bred barriär är giltig så att transmissionssannolikheten är
(5p) Lösning:
Svar: Inga protoner passerar barriären.
6. Protonen är en spinn‐½ partikel vars inre magnetiska moment är 2.7928 kärnmagnetoner, där en kärnmagneton ges av
n mp
e 2
. mp är protonmassan. I MRI (Magnetic Resonace Imaging, även kallad magnetröntgen i Sverige) exciteras spinn‐flipp genom ett oscillerande svagt magnetiskt fält överlagrat ett starkare statiskt fält. Det oscillerande fältet, anpassat till Larmorfrekvensen hos protonerna, svänger med frekvensen 31,93 MHz. Beräkna fältstyrkan hos det statiska magnetfält som ger protonspinnen denna Larmorfrekvens. (5p)
Lösning: Om z‐axeln definieras som det statiska magnetfältets riktning fås potentiella energin från den magnetiska dipolen som U B .
Energiskillnaden mellan de två tillstånden blir E pz B
Med E = hf och pz = 2,7928 n fås:
T
C J eV
s m MeV
MHz
e m f e
m hf hf
B p p
pz
75 . 10 0
602 ,1 7928 , 2
/ 10 602 ,1 / 10 3 / 3
, 938 93
, 31 2
7928 , 2
2 7928
, 2 2
2 2
19 2 19
8
7. De flesta exciterade atomer återgår till grundtillståndet inom ungefär 10 ns. Använd denna information för att uppskatta minsta osäkerheten i frekvens hos det utsända ljuset. (5p)
Lösning: Heisenberg: Et 2. Använd livstiden som tidsosäkerhet. Motsvarande osäkerhet i energi ger osäkethet i frekvens:
t Hz t
h hE
f 7,9 106
4 1
2
8. En elektron som gör en övergång mellan två egentillstånd med energi Em och En emitterar elektromagnetisk strålning med vinkelfrekvensen
Visa att detta är samma som vinkelfrekvensen hos oscillationer i positionen för en dipol som bildas om elektronen är i en superposition av tillstånden och . (5p)
Lösning: Tillståndet är en superposition av formen . Positionsmedelvärdet ges av
De första termerna är tidsoberboende och de två sista termerna oscillerar med vinkelfrekvensen
vilket skulle visas.
