Betygsgränser: U: 0 – 11 poäng 3: 12 – 16 poäng 4: 17 - 20 poäng 5: 21 - 25 poäng

Institutionen för matematik

Tentamen i Flervariabelanalys Ämneskod M0032M

Tentamensdatum 2009-03-18

Totala antalet uppgifter: 5 Skrivtid 09.00-14.00 Lärare: Lars Bergström

Jourhavande lärare: Lars Bergström Tel: 0920-492057 Resultatet meddelas senast: 15 dagar efter tentamensdagen Tillåtna hjälpmedel: Inga.

Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.

Betygsgränser:

U: 0 – 11 poäng

3: 12 – 16 poäng

4: 17 - 20 poäng

5: 21 - 25 poäng

1.

Låt ^z= ^f(x,y)= ^y2sin(2x).

a) Beräkna ,1) (π3

∇f . (2p)

b) Bestäm en ekvation för tangentplanet till f(x,y) i punkten ,1) (π3

. (3p)

2.

Beräkna

∫

^{− + +}

C

dy y x dx y

x 8 ) (4 )

( ² då kurvan Cär den moturs

orienterade randen till området ^D=

{

^{(x,y):(x−1)2 +(y−1)2 ≤4}

}

. (5p)

3.

Beräkna

∫∫

⁻

D

ydA x ) 1

( ² där D är området definierat enligt

^D=

{

^{(x,y):x2 + y2 ≤1,x≥0,y≥0}

}

. (5p)

4.

Bestäm flödesintegralen

∫∫

^⋅

S

ds N

F ˆ där vektorfältet

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

z z

e x y

xe

F ³ och ytan S

innesluter volymen V definierad

enligt ^{V =}

{

^{(x,y,z):x2 +y2 ≤1,0≤ z≤2}

}

^.

(5p)

5.

Bestäm största och minsta värde till funktionen ^f(x,y)= ^x2 −^2xy+^2ypå

området ^D=

{

^{(x,y):0≤x≤3,0≤ y≤2}

}

. (5p)

Svar till tentamen i M0032M 2009-03-18

1a ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡−

3 1

1b ) 3( 1)

( 3 2

3 − − + −

= x y

z π

2 48π

3 15

4

4 2

3π

5 Minsta värdet = 0, största värdet = 9