FFzzFF ′′−=′ =′⋅′+′ 0 ⇒ FFzzFF ′′−=′ =′⋅′+′ 0 ⇒

1 av 6

DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER

Exempel 1. Vi betraktar z som en funktion av x och y, z=z(x,y), given på implicit form genom 0x²+2y² +3z²−6= .

Bestäm partiella derivator x z

∂

∂ och y z

∂

∂ i punkten P(1,1,–1)

a) med hjälp av implicit derivering ( d v s utan att bestämma z=z(x,y))

b) genom att bestämma på explicit form z=z(x,y), den gren av funktionen som går genom punkten P.

Lösning:

a) LåtF(x,y,z)=0vara en given ekvation där F(x,y,z) är en C¹ funktion i en omgivning av punkten (x,y,z) . Om vi betraktar z som en funktion av x, och y och deriverar på x ekvationen

0 ) , , (x y z =

F får vi ( med kedjeregeln)

z x x

x z

x

F

z F z

F

F ′

− ′

′ =

= ⇒

⋅′ ′

′ + 0

På samma sätt

z y y

y z

y

F

z F z

F

F ′

− ′

′ =

= ⇒

⋅′ ′

′ + 0

I vår uppgift har vi 6 3

2 ^{2 2}

2 + + −

= x y z

F

x

F_x′=2 , F_y′ =4y, och F_z′=6z.

Därför

z x z x F

z F

z x

x 6 3

2 =−

−

′ =

− ′

′ = . I punkten P gäller

3 ) 1

( =

′ P z_x

z y z

y F

z F

z y

y 3

2 6

4 =−

−

′ =

− ′

′ = . I punkten P gäller

3 ) 2

( =

′ P z_y

b) Vi kan beräkna derivator genom att först lösa ut z ( d v s, skriva z på explicit form) ur ekvationen

2 av 6 3

2 0 6

6 3 2

2 2 2

2

2 x y

z z

y

x + + − = ⇒ =± − −

Vi får två (explicita) funktioner där

3 2 6 x² y²

z=− − − svarar motpunkten P(1,1,-1).

Vi deriverar z och får

3 / ) 2 6

( 2

3 / 2

2

2 y

x z_x x

−

−

− −

′ = och z′ P_x( )=1/3

På samma sätt z′ P_y( )=2/3 Svar: z′ P_x( )=1/3, z′ P_y( )=2/3

=======================================================================

När vi har en funktion given på implicit form med en ekvation F(x,y,z)= 0 är det oftast svårt eller praktiskt omöjligt att lösa ut en variabel ( t ex z) ur ekvationen och ange funktionen på explicit form.

I ett sådant fall är implicit derivering, d v s direkt derivering av ekvationen F(x,y,z)=0, den metod som vi kan använda för att bestämma partiella derivator utan att behöva lösa ekvationen.

Anmärkning: Det finns ekvationer som inte definierar några deriverbara funktioner i närheten av en given punkt P, som t ex i följande två exempel.

1. Ingen punkt satisfierar ekvationen x²+ y2 ² =−1 .

2. Endast en punkt (0,0) satisfierar x² + y2 ² =0och därmed ingen deriverbar funktion definieras av denna ekvation.

Därför är det viktigt att kontrollera om det finns deriverbara funktioner som satisfierar givna implicita ekvationer.

Nedanstående implicita funktionssatser ( för en/ två ekvationer) ger tillräckliga villkor för existensen av deriverbara funktioner i närheten av en given punkt.

==========================================================

(Implicita funktionssatsen (1 ekvation)

Låt F vara en reellvärd funktion. Vi betraktar ekvationen 0

) ,..., ,

(x₁ x₂ xn =

F (*)

i närheten av punkten P(a₁,a₂,...,a_n).

3 av 6 Om följande gäller

1. punkten P satisfierar ekvationen (*)

2. F har kontinuerliga partiella derivator ( kortare F är en C¹-funktion) i en omgivning till P 3 . ( )≠0

∂

∂ P

x F

n

då existerar x som en C_n ¹-funktion av x₁,x₂,...,x_n−1 (i närheten av punkten P ).

=================================================================

Implicit derivering.

För enkelhets skull betraktar vi en ekvation med tre variabler 0

) , , (x y z =

F (*)

( På liknande sätt ger vi om F(x₁,x₂,...,xn)=0 )

För att bestämma

z ′

z ′

, (x y

z av x och y och använder kedjeregeln:

Om vi deriverar 0 )) , ( , ,

(x y z x y =

F (**)

på x , som finns i första och tredje koordinaten, får vi enligt kedjeregeln

= 0

⋅′ ′

′ +

x

F z

F

och därför

( enligt antagande F_z′≠0)

På samma sätt

z y

y

F

z F

′

− ′

′ =

=================================================================

Implicita funktionssatsen (2 ekvationer)

z x

x

F

z F

′

− ′

′ =

4 av 6 Vi betraktar ekvationer

0 ) ,..., ,

(x₁ x₂ xn =

F (ekv 1)

0 ) ,..., ,

(x₁ x₂ xn =

G (ekv 2)

i närheten av punkten P(a₁,a₂,...,a_n). Om följande gäller

1. punkten P satisfierar ekvationen båda ekvationer

2. F och G har kontinuerliga partiella derivator av första ordningen ( kortare F , G är C¹- funktioner ) i en omgivning till P

3 . Funktionaldeterminanten (Jacobis determinant) i punkten P 0

) , (

) , (

1

≠

− n

n x

x d

G F d

då , existerar x_n−1 och x_n som C¹-funktioner av x₁,x₂,...,x_n−2 (i närheten av punkten P ).

=================================================================

Uppgift 1. Visa att ekvationen x² +y² +2z³ −15=0definierar en explicit C¹-funktion )

, (x y z

z= i närheten av punkten P(3,2,1) och bestäm z′ och _x z′_y

Lösning:

1. Punkten P satisfierar ekvationen .

2. Funktionen F = x² +y² +2z³ −15 har kontinuerliga partiella derivator x

F_x′=2 , F_x′ P( )=6; F_y′=2y , F_y′ P( )=4 ; F_z′=6z, F_z′ P( )=6. 3. F_z′ P( )≠0

Därför

6 1 6 ) (

) ) (

( = − =−

′

− ′

′ =

P F

P P F

z

z x

x och

3 2 6

4 ) (

) ) (

( = − =−

′

− ′

′ =

P F

P P F

z

z y y

Uppgift 2.

5 av 6

a) Bestäm om ekvationen x² +y² +3sinz=5definierar en explicit C¹-funktion )

, (x y z

z= i närheten av punkten )

,2 1 , 1

( π

=

P .

b) Visa att ekvationen definierar en explicit C¹-funktion x=x(y,z) och bestäm x′_y och x′ _z Lösning:

x

F_x′=2 , F_x′ P( )=2; F_y′=2y , F_y′ P( )=2 ; F_z′=3cosz, F_z′ )(P =0 !!!

Svar a) Nej, eftersom F_z′ P( )=0

b) Ja, punkten P satisfierar ekvationen, F har kontinuerliga part. derivator och F_x′ P( )=2≠0. Vi betraktar x som en funktion av oberoende variabler y och z; dvs x=x(y,z).

För att bestämma x′_y deriverar vi F(x(y,z),y,z)=0 på y och får

1

0 =−

′

− ′

′ =

= ⇒ + ′

⋅ ′

′

x y y

y y

x F

x F F

x F

på samma sätt

0

0 =

′

− ′

′ =

= ⇒ + ′

⋅′ ′

x z z z

z

x F

x F F

x F

Svar b) x′y =−1, x′_z =0.

Uppgift 3. Visa att följande två ekvationer 0

3 6

2 + − =

+y z

x ,

0

3 4

2 +y+z − = x

definierar två C¹-funktion y= y(x)och z=z(x) i närheten av punkten P(1,2,1) och bestäm y′ och x z′ x

Lösning:

1. Punkten P(1,2,1) satisfierar båda ekvationer.

2. Vi betecknar F=x+y²+z³−6 och G=x² +y+z³−4, och beräknar partiella derivator

6 av 6

=1

x′

F , F_y′=2y , F_z′=3z², 1

)

( =

′ P

F_x ; F_y′ P( )=4 ; F_z′ P( )=3 ---

x

G_x′ =2 , Gy′ =1 , G_z′ =3z², 2

)

( =

′ P

G_x , G′ P_y( )=1 , G′ P_z( )=3,

Som vi ser ovan, alla partiella derivator av första ordningen är kontinuerliga i närheten av punkten P (Ovanstående partiella derivator är faktiskt kontinuerliga funktioner för alla x,y,z)

3. Funktionaldeterminanten (Jacobis determinant) i punkten P 0

3 9 1

3 4 )

, (

) ,

( ′ ′ = = ≠

′

= ′

z y

z y

G G

F F z y d

G F d

är skild från 0.

Enligt implicita funktionssatsen (2 ekvationer) definierar ekvationerna

0 ) , , (

0 ) , , (

=

= z y x G

z y x F

(**)

två variabler y och z som funktioner av alla andra variabler.

Den här gången har vi endast x kvar och vi kan betrakta y och z om funktioner av x:

y=y(x), z=z(x).

För att bestämma y′ och _x z′ deriverar vi ekvationer (**),på x enligt kedjeregeln , tar x

hänsyn till att y och z betraktas som funktioner av x , och får

0 1

0 1

′ =

′⋅

′ +

′ ⋅ +

′⋅

′ =

⋅′

′ +

′⋅ +

⋅′

x z x y x

x z x y x

z G y G G

z F y F F

Vi substituerar värdena för part. derivator i punkten P som vi har beräknat ovan och får

0 3

1 2

0 3

4 1

′ =

⋅

′ +

⋅ +

′ =

⋅

′ +

⋅ +

x x

x x

z y

z y

Vi löser systemet och får

3

= 1

′_x

y och

9

−7

′_x = z