• No results found

Systemet har precis en lösning

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Systemet har precis en lösning"

Copied!
10
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION

Vi betraktar ett linjärt ekvationssystem med n obekanta x1,x2,...,xnoch m ekvationer:





=

=

=

=

+ + +

+ +

+ +

+ +

m n mn

n n

n n

m

m b

b b

x a

x a

x a

x a x

a

x a x

a

x a x

a

2 1 2

1

2 2 1

1

2 22 1

21

2 12 1

11

...

...

...

...

(sys1)

En talföljd (n-tippel) s1,s2,...,sn är en lösning till systemet om substitutionen

n

n s

x s x s

x1 = 1, 2 = 2,..., = satisfierar alla ekvationer i (sys1).

Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd.

Vi säger att två system är ekvivalenta om de har samma lösningsmängd.

ANTAL LÖSNINGAR. För ett linjärt ekvationssystem gäller precis en av följande alternativ:

1. Systemet har precis en lösning.

2. Systemet har oändligt många lösningar

3. Systemet saknar lösning. ( Systemet är inkonsistent) ELEMENTERA OPERATIONER

Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

1. Byta plats på två ekvationer

2. Multiplicera en ekvation med ett tal ≠0

3. Addera en multipel av en ekvation till en annan ekvation

TOTALMATRIS

När vi löser ett linjärt ekvationssystem (sys1) räknar vi endast med systemets koefficienter. Vi kan skriva alla koefficienter i en tabell som vi kallar systemets totalmatris och räkna endast med matrisens element.

Totalmatris till (sys1)=









m mn m

m

n n

b b b

a a

a

a a

a

a a

a

...

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

.

Om vi inför matriserna

(2)









=

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22

21

1 12

11

och









=

bm

b b B ...

2 1

då är totalmatrisen= (A|B)

Anmärkning: Matrisen A kallas ekvationssystemets koefficientmatris.

Istället att skriva hela ekvationer, räknar vi med rader i totalmatrisen.

Vi får göra följande elementära radoperationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

1. Byta plats på två rader

2. Multiplicera en rad med ett tal ≠0

3. Addera en multipel av en rad till en annan rad

GAUSSELIMINATION ( Successiv elimination) .

Med hjälp av elementära operationer överför vi systemet till ett ekvivalent system på trappstegsform (som är enkelt att analysera och eventuellt lösa).

Vi startar med den första ekv. i systemet. Den första ekv använder vi för att eliminera x1 i alla ekvationer förutom första ( Om x1 inte finns i den första ekvationen, d.v.s.

om a11 =0, byter vi plats med den ekvation där x1 finns. ) Efter första steg får vi följande ekvationssystem





=

=

=

=

+ + +

+ +

+ +

+ +

m n mn

n n

n n

m b

b b

x a

x a

x a

x a

x a

x a x

a

' ' '

' ' '

'

...

...

...

...

' ' '

2 1 2

1

2 2

2 22

2 12 1

11

(sys1’)

Därefter använder vi andra ekvationen och eliminerar på samma sätt x2från alla andra förutom ekv 2 ( dvs vi eliminerar x2från ekv 3…ekv m) .

Det kan hända att x2är eliminerad efter första steg från alla ekvationer utom första, då går vi direkt till x . 3

Alla eventuella 0=0 skriver vi längst ned i systemet. Att vi får 0=0 betyder att en ekvation är en linjär kombination av andra ekvationer och därför kan försummas.

A) Får vi någon gång en ekvation av typ 0= b där b≠0 ( t ex 0=4)

har systemet INGEN LÖSNING. (Självklart behöver vi i detta fall inte göra flera räkneoperationer)

(3)

B) Om fallet A inte förekommer är systemet lösbart. Vi fortsätter tills vi får systemet på trappstegsform:





=

=

=

= +

+

+

+ + +

systemet i

ned längst

b b x

a x a

eventuella x

a x a x

a

n n

n n k

k

0

' '

0 ' ' '

...

...

...

...

' '

2 1 2

1 2

2 12 1

11

Då löser vi ut de ledande variablerna. Alla andra, om det finns några förutom ledande, varierar fritt (fria variabler).

Vi har följande två fall för (konsistenta) lösbara system:

B1. PRECIS EN LÖSNING om systemet är konsistent (lösbart) men har inga fria variabler.

B2. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om systemet är konsistent (lösbart) och har minst en fri variabel.

Anmärkning: Vi inför en parameter för variabel som varierar fritt.

Vi kan utföra Gausselimination med hjälp av systemets totalmatris genom att överföra totalmatris till trappstegsform

Exempel på trappstegsform:





 −

0 3 6 0 3 3 0 1 4 0 1 1 0 0 8 0 0 1

En totalmatris har trappstegsform om

• Eventuella nollrader är längst ned

• En etta (ledande etta) är det första icke-noll element i varje rad som inte består enbart av nollor.

• De ledande ettorna står längre till höger ju längre ned vi läser

- Ledande ettor svarar mot ledande variabler om de står i första delen av totalmatrisen.

- Vi inför en parameter för varje variabel som inte har ledande etta ( för varje variabel som varierar fritt).

A) INGEN LÖSNING om en ledande etta står i andra delen av totalmatrisen på trappstegsform.

(4)

Exempel för ” ingen lösning”

 

1 1 0 0 0

2 1

1 (en ledande etta i andra delen av totalmatrisen )

Motsvarande system:

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 1

0 = 1

B) Om fallet A inte förekommer då är systemet lösbart:

B1. PRECIS EN LÖSNING om systemet är konsistent (lösbart) men inga fria variabler.

Exempel för ” precis en lösning” �

1 2 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0

� 98 70

� , tre ledande ettor och tre variabler (inga fria variabler). Lägg märke till att en nollrad inte betyder automatiskt oändligt många lösningar utan att en ekvation är en linjär kombination av andra‼!

Motsvarande system:

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 9 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 8 𝑧𝑧 = 7 0 = 0

(Anmärkning, Vi upprepar att sista ekvationen 0=0 betyder att en ekvation är en linjär kombination av andra ekvationer och därför kan försummas.)

B2. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om systemet är konsistent (lösbart) och minst en fri variabel.

Exempel för ” oändligt många lösningar” �

1 2 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0

� 98 00

� , två ledande ettor och tre variabler (en fri variabel).

Motsvarande system:

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 9 𝑧𝑧 = 8 0 = 0 0 = 0

EXEMPEL

1. a) Lös systemet

(5)





= + +

= + +

= + +

7 2

9 2 2

6

z y x

z y x

z y x

b) Ange systemets lösningsmängd.

1. Lösning:





=

= +

= + +

 ⇔



= + +

= + +

= + +

1 3 6

) 1 3 (

) 1 2 ( 7 2

9 2 2

6

z z y

z y x

ekv ek

ekv ek

z y x

z y x

z y x

Vi har fått trappstegs form och löser ut de ledande variablerna. Vi börjar från den sista ekvationen: z=1, y+1=3⇒ y=2, och x+2+1=6⇒x=3

d.v.s. Precis en lösning: x=3, y=2, z=1 ( d.v.s. inga fria variabler) 3

, 2 ,

1 = =

= y x

z

Lösningsmängden består av precis en punkt (3,2,1).

Vi kan även skriva lösningsmängden= {(3,2,1)}.

Svar: a) Precis en lösning: x=3, y=2, z=1 ( d.v.s. inga fria variabler) b) Lösningsmängden= {(3,2,1)}.

--- Lösning med hjälp av systemets totalmatris:





7 9 6 2 2 1 1 2 1 1 1 1

~





1 3 6 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ) 1 3

(

) 1 2

(

rad rad

rad

rad trappstegsform

När vi får trappstegsform skriver vi motsvarandeekvations system





=

= +

= + +

1 3 6

z z y

z y x

Härav z =1, y =2, x=3

Svar: a) Precis en lösning: x=3, y=2, z=1 ( d.v.s. inga fria variabler) b) Lösningsmängden= {(3,2,1)}.

========================================================

2. a) Lös systemet



= + +

= + +

3 4 2 2

1 2

z y x

z y x

b) Ange systemets lösningsmängd.

Lösning:



=

= +

⇔ +



= + +

= + +

1 0

1 2 3

4 2 2

1

2 x y z

z y x

z y x

(6)

Svar: Systemet har ingen lösning.

--- Lösning med hjälp av systemets totalmatris:



 

3 1 4 2 2

2 1

1 ~

 

1 1 0 0 0

2 1

1 (trappstegsform)

Ingen lösning eftersom en ledande etta finns i andra delen av totalmatrisen.

Svar: a) Systemet har ingen lösning.

b) Lösningsmängden= ∅ (" den tomma mängden").

========================================================

3. a) Lös systemet



= + +

= + +

2 10 8 2

1 5 4

z y x

z y x

b) Ange systemets lösningsmängd.

Lösning:

z y x

z y x z

y x

z y x

5 4 1

0 0

1 5 4 2

10 8 2

1 5 4

=



=

= +

⇔ +



= + +

= + +

,

Svar: Oändligt många lösningar: x=1−4y−5z, där y och är godtyckliga tal.

Vi kan beteckna y=t och z=s och beskriva lösningen med hjälp av två parametrar:

s z

t y

s t x

=

=

=1 4 5

där t, s är godtyckliga tal.

--- Lösning med hjälp av systemets totalmatris:



 

2 1 10 8 2

5 4

1 ~

 

0 1 0 0 0

5 4

1 ( trappstegsform)

Lösbart system ( ingen ledande etta i andra delen). En ledande etta men tre variabler x,y och z. Vi kan lösa ut en variabel ( ledande x). Två andra y och z varierar fritt. Oändligt många lösningar:

Motsvarande system på trappstegsform



=

= + +

0 0

1 5 4y z x

z y

x=1−4 −5 , där y och är godtyckliga tal.

Vi kan beteckna y=t och z=s och beskriva lösningen med hjälp av två parametrar:

s z

t y

s t x

=

=

=1 4 5

där t, s är godtyckliga tal

Svar: a) Oändligt många lösningar: x=1−4t−5s y =t z =s

(7)

b) Lösningsmängden är mängden av alla punkter (1−4t−5s, t, s) där t, är (vilka som s helst) reella tal.

Vi kan formellt skriva lösningsmängden = {(1−4t−5s, t, s): t,sR}.

=========================================

4. Lös följande system med avseende på x, y och z

a) 



= +

= +

= +

7 3 3

4 2 2

2

y x

y x

y x

b)





=

= +

= +

0 4 2 2

2

y x

y x

y x

c)





= +

= +

= +

6 3 3

4 2 2

2

y x

y x

y x

Lösning:

a)





= +

= +

= +

7 3 3

4 2 2

2

y x

y x

y x





=

=

= +

1 0

0 0

2 y x

Ingen lösning

Svar a) Ingen lösning

b)





=

= +

= +

0 4 2 2

2

y x

y x

y x

⇔ 



=

=

= +

2 2

0 0

2

y y x

⇔



=

=

= +

0 0

1 2 y

y x

x=2−1=1

Svar b) Exakt en lösning x=1, y=1.

c)





= +

= +

= +

6 3 3

4 2 2

2

y x

y x

y x

⇔ 



=

=

= +

0 0

0 0

2 y x

x= 2− y, där y är ett godtyckligt tal ( oändligt många

lösningar.)

Svar c) Oändligt många lösningar x=2−t, y =t.

5. Lös följande system med avseende på x, y och z

a) 



= + +

= + +

= + +

12 2 2

11 3 2

7

z y x

z y x

z y x

b)





= + +

= + +

= + +

2 3 3 2

5 2 2

3

z y x

z y x

z y x

Lösning:

a)





= + +

= + +

= + +

12 2 2

11 3 2

7

z y x

z y x

z y x





=

= +

= + +

2 4 2

7

y z y

z y x

y=2, z =1, x=4 Svar a) x=4, y=2, z =1

(8)

b)





= + +

= + +

= + +

2 3 3 2

5 2 2

3

z y x

z y x

z y x

⇔ 



= +

= +

= + +

4 2

3

z y

z y

z y x

⇔



=

= +

= + +

6 0

2 3 z y

z y x

⇒ Ingen lösning

Svar b) Ingen lösning

6. Lös följande system med avseende på x och y för alla värden på parametrarna a och b



= +

= +

b ay x

y x 2

1 2 Lösning:

 ⇔



= +

= +

b ay x

y x 2

1 2



=

= +

2 )

4 (

1 2

b y a

y

x

Vi har följande fall:

A) a ≠4

Systemet har exakt en lösning:

4 2

= − a

y b ,

4 2 4

2 2 1 2

1 −

= −

− −

=

= a

b a a

y b x

B1) a =4 och b−2≠0 dvs b≠2 Systemet har följande form:



=

= +

2 0

1 2

b y

x där b−2≠0.

Alltså saknar systemet lösning i detta fall.

B2) a =4 och b−2=0 dvs b=2 Systemet har följande form:



=

= +

0 0

1 2 y

x

Vi löser ut x från den första ekvationen och får:

y

x=1−2 , där y är ett godtyckligt tal (oändligt många lösningar) eller

t y

t x

=

=1 2

Svar :

A) a ≠4, Systemet har exakt en lösning:

4 2

= − a

b

x a ,

4 2

= − a

y b . B1) a =4 och b≠2

Systemet har INGEN lösning.

B2) a =4 och b=2

Systemet har oändligt många lösningar:

t y t x=1−2 , =

där t ät ett godtyckligt tal.

(9)

7. Lös följande system med avseende på x, y och z för alla värden på parametrarna a och b





= + +

= + +

= + +

b az y x

z y x

z y x

3 2

3 2 2

2

Lösning:





= + +

= + +

= + +

b az y x

z y x

z y x

3 2

3 2 2

2

⇔



=

− +

= +

= + +

4 )

2 (

1 2

b z a y

z y

z y x

⇔



=

= +

= + +

5 )

3 (

1 2

b z a

z y

z y x

Vi har följande fall:

A) a ≠3

Systemet har exakt en lösning:

3 5

= − a

z b ,

3 1 2

− +

= −

= a

b z a

y ,

x=2− yz=1

B1) a =3 och b−5≠0 dvs b≠5 Systemet har följande form:





=

= +

= + +

5 0

1 2

b z y

z y x

där b−5≠0.

Alltså saknar systemet lösning i detta fall.

B2) a =3 och b−5=0 dvs b=5 Systemet har följande form:





=

= +

= + +

0 0

1 2 z y

z y x

Vi löser ut ledande variabler x och y och får:

z

y= 1− , och x=1 där y är ett godtyckligt tal (oändligt många lösningar) eller

t z t y

x=1, =1− , = , där t är ett godtyckligt tal.

Svar :

A) a≠3, Systemet har exakt en lösning:

=1 x ,

3 2

− +

= − a

b

y a ,

3 5

= − a

z b . B1) a =3 och b≠5

Systemet har INGEN lösning.

B2) a =3 och b=5

(10)

Systemet har oändligt många lösningar:

t z t y

x=1, =1− , = där t ät ett godtyckligt tal.

====================================================

References

Related documents

Det bästa med mitt yrke är att jag får möjlighet att se och skapa fantastiska förbättringar hos våra kunder tack vare ÅFs kompetens inom olika områden.”. 1

I USA ligger den genomsnittliga årsinkomsten kring 40 600 dollar, men 65 procent av befolkningen tjänar mindre än detta. Det här kan låta paradoxalt men är sant, dvs.

 Utfallet i ett slumpmässigt försök i form av ett reellt tal, betraktat innan försöket utförts, kallas för stokastisk variabel eller.. slumpvariabel (ofta betecknad ξ,

Jag tror alla svenskar, oavsett var de bor, gör insatser för vårt samhälle på ett eller annat sätt, inte minst genom att sprida kunskap om Sverige, svenska produkter och det

x Systemet för Variabel hastighet i Mölndal är mycket lönsamt även vid högsta tillåten hastighet 90 km/h.. x Variabel hastighet tycks vara ett verksamt medel för att

Bilisterna på Mölndalssträckan, Ölandsbron och Norrtäljevägen fick bedöma hur ofta de tycker att det visas för låga respektive för höga hastighetsgränser i förhållande till

Från och med årsredovisningar upprättade för räkenskapsåret 2008 skulle företag kunna tillämpa de nya K2- reglerna, som är ämnade till att förenkla redovisningen för

Kursinnehållet kan (i stort sett) sammanfattas som Optimering – utan och med bivillkor – av funktioner av en och två variabler.. Lite