TRIGONOMETRISKA EKVATIONER
A) Ekvationen sin(x)a (och liknande ekvationer).
Ekvationen sin(x)ahar lösningar endast om 1a1 (eftersom 1sin(x)1).
Exempelvis, ekvationen sin(x)3saknar lösningar.
Uppgift 1. Lös följande ekvationer
a) sin(x)4 b) sin(x)5 Svar: a) Ingen lösning eftersom 1sin(x)1. b) Ingen lösning eftersom 1sin(x)1.
Uppgift 2. Lös följande ekvationer
a) sin(x)1 b) sin(x)1 c) sin(x)0 Tips. Rita den trigonometriska cirkeln
Svar:
a)
k
x 2
2
b)
k
x 2
3 2
c) xk (där k 0,1,2,...).
---
Om v1 är en lösning till ekvationen sin(x)a, där 1a1, så är v2 v1 också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
k v
x 12 eller x v12k, där k är ett heltal (dvs. k0,1,2,...).
---
Vi använder oftast värdena av sinusfunktionen för vinklar 6
, 4
och 3
:
vinkeln v 2
3
4
6
0
6
4
3
2
sin(v) 1
2
3
2
2
2
1 0
2 1
2 2
2
3 1
Notera att
1) sin(x)sin(x) (dvs sin( x) är en udda funktion)
2) sin(x2k)sin(x), där k 0,1,2,..., (dvs sinusfunktionen är en periodisk funktion med grundperioden 2 )
---
ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs. k 0,1,2,...).
Uppgift 3. Lös följande ekvationer
a) 2
) 1
sin(x b)
2 ) 1
sin(x
c) 2
) 2
sin(x , d)
2 ) 2
sin(x
e)
2 ) 3
sin(x f)
2 ) 3 sin(x
Svar:
a) Ekvationen har fäljande lösningar:
k
x 2
6
eller x k 2k
6 2 5
6)
(
.
Vi kan också ange svaret i grader:
360
30
k
x eller x150k360.
b)
k
x 2
6
eller x k 2k
6 2 7
6)) (
(
.
c)
k
x 2
4
eller
k
x 2
3 4
.
d) x 2k 4
eller x 2k
5 4
.
e)
k
x 2
3
eller
k
x 2
3
2
.
f)
k
x 2
3
eller
k
x 2
3
4
.
Uppgift 4. Lös ekvationen
2 ) 1 2 3
sin(
x .
Tips. Beteckna x v 2 3
och lös först ekvationen
2 sinv 1.
Lösning:
Låt x2 3
v . Först löser vi ekvationen
2 sinv1.
Vi får
k
v 2
6
och
k
v 2
5 6
,
och därmed
k
x 2
6
2 3 eller
k
x 2
6 5
2 3 .
Härav
i)
k x
k x
k
x 2
2 6 3 2
2 6 6 2
2 3 (dela med 2)
k x
12 .
På liknande sätt
k x k x k
x 2
2 2 3 2
6 2 5 6 2
5
2 3 (dela med 2)
k x
4
Svar:
k x
12 eller
k x
4 .
Uppgift 5. Lös ekvationen ) sin( 4 ) 2
sin(
x
x .
Tips: Från ekvationen sin()sin() följer att
2k eller ( )2k . Lösning:
Från )
sin( 4 ) 2
sin(
x
x får vi två nya ekvationer (utan sinusfunktionen) : i) 2x x2k
och ii) 2x( x)2k Från i) följer x2k
Från ii) har vi 3x 2k och därmed
3 2
k x
Svar: x2k eller
3 2
k
x
Uppgift 6. Lös ekvationen 0
2 ) 1 2sin(
) 3 (
sin2 x x .
Tips: Beteckna sin(x)z. Lösning:
Låt zsin( x). Först löser vi andragradsekvationen 0 2 1 2
2 z3
z .
Vi får två lösningar 2 1
1
z och z2 1.
Alltså har vi två elementära ekvationer
2 ) 1
sin(x och sin(x)1.
i) Från
2 ) 1
sin(x får vi
k
x 2
6
och
k
x 2
5 6
ii) Från sin(x)1har vi x 2k 2
Svar:
k
x 2
6
,
k
x 2
5 6
eller
k
x 2
2
.
===============================================
B) Ekvationen cos(x)a (och liknande ekvationer).
Ekvationen cos(x)ahar lösningar endast om 1a1 (eftersom 1cos(x)1).
Exempelvis, ekvationen cos(x)5saknar lösningar.
Uppgift 7. Lös följande ekvationer
a) cos(x)24 b) cos(x)15 Svar: a) Ingen lösning eftersom 1cos(x)1. b) Ingen lösning eftersom 1cos(x)1.
Uppgift 8. Lös följande ekvationer
a) cos(x)1 b) cos(x)1 c) cos(x)0 Tips. Rita den trigonometriska cirkeln
Svar:
a) x02k 2k b) x 2k c) k x
2 (där k 0,1,2,...).
---
Om v1 är en lösning till ekvationen cos(x)a, där 1a1, så är v2 v1 också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
k v
x 12 och xv12k , där k är ett heltal (dvs. k0,1,2,...).
---
För att lösa exakt några ekvationer som innehåller cosinusfunktionen kan vi använda värdena i nedanstående tabell.
vinkeln v 0 6
4
3
2
3 2
4 3
6
5
cos(v) 1
2 3
2
2
2
1 0
2
1
2
2
2
3 1
Notera att
1) cos(x)cos(x) (dvs cos( x) är en jämn funktion)
2) cos(x2k)cos(x), där k0,1,2,..., (dvs cosinusfunktionen är en periodisk funktion med grundperioden 2 )
---
ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs. k 0,1,2,...).
Uppgift 9. Lös följande ekvationer
a) 2
) 1
cos(x b)
2 ) 1
cos(x
c) 2
) 2
cos(x , d)
2 ) 2
cos(x
e)
2 ) 3
cos(x f)
2 ) 3 cos(x
Svar:
a)
k
x 2
3
Vi kan också ange svaret i grader:
360
60
k
x
b)
k
x 2
3
2
(kolla ovanstående tabell).
c) x 2k 4
d)
k
x 2
3 4
e)
k
x 2
6
f)
k
x 2
5 6
Uppgift 10. Lös ekvationen
2 ) 2 10 3
cos(
x .
Tips. Beteckna x v 10 3
och lös först ekvationen
2 sinv 1.
Lösning:
Låt 10 3
x
v . Först löser vi ekvationen
2 cosv 2 .
Vi får följande lösningar
k
v 2
4
eller
k
v 2
4
,
och därmed
k
x 2
4
10 3 eller
k
x 2
4
10 3 . Härav
i) 120 5
2 7 12 10 7 4 2
10 3 k
x k x
k
x
På liknande sätt
5 2 120
10 12 4 2
10 3 k
x k x
k
x
Svar:
5 120
7 k
x eller
5 120
k
x .
Uppgift 11. Lös följande ekvationer
a) 02cos2(x)cos(x) . (Tips: Beteckna cos(x)z.)
b) 4
) 5 cos(
) (
sin2 x x (Tips: Använd formeln sin2(x)1cos2(x).)
Lösning a)
Låt zcos( x). Vi har 2z2 z0z(2z1)0. Härav får vi två lösningar z10och
2 1
2
z .
Därmed cos x 0 k x
2
och
2
cos x 1
k
x 2
3
Svar: a) k x
2 och
k
x 2
3
b) k
x 2
3
Uppgift 12. Lös följande ekvationer
a) ) cos(2 )
10 3
cos( x x
b) ) cos( )
10 4
sin( x x
(Tips: Använd formeln ) cos(2 )
sin(t t .) Lösning:
a) Från ) cos(2 )
10 3
cos( x x
har vi
k x
x 2 2
10 3
i) 2 24 4
8 3 2
3 2
10 k
x k x
k x
x
ii) 2 36 6 12 3
2 3 2
10x x k x k x
Svar a)
4 24
k
x eller
6 36
k x
b) Vi använder formeln )
cos(2 )
sin(t t
och skriver om ekvationen
) cos(
) 4 10 cos(3 )
cos(
4)) 10 2 ( cos(
) cos(
4) 10
sin( x x x x x x
Härav
k x
x 2
4 10
3
i) 11
2 44 2 3
4 11 3 2
4 10
3 k
x k x
k x
x
ii) 9
2 2 12
4 9 3 2
4 10
3 k
x k x
k x
x
Anmärkning: Vi kan även skriva x2k i ovanstående lösningar eftersom k genomlöper alla heltal, både positiva och negativa.
Svar b)
11 2 44 3 k x eller
9 2 12
k
x .
===============================================
C) Ekvationer tan(x)a och cot(x)b.
Följande egenskaper använder vi ofta när vi löser sådana ekvationer:
1) tan och x cot har grundperioden (till skillnad från sinus- och cosinusfunktioner vars x grundperiod är 2 .
Alltså
x k
x ) tan
tan( , x k
x ) cot
cot( .
2) tan och x cot är udda funktioner dvs. x
x x) tan tan(
x x) cot cot( .
3) Både tan och x cot har värdemängden x (,)och därmed är ekvationen a
x
tan lösbart för varje a.
Samma gäller för cot(x)b, dvs den är lösbart för varje b.
Båda har oändligt många lösningar:
Om xv1är en lösning till tanxa så får vi alla lösningar genom xv1k. Om xv1är en lösning till cotxb så får vi alla lösningar genom xv1k.
4) x
x x cos
tan sin är definierad om cosx0 dvs om k x
2 .
x
x x sin ) cos
cot( är definierad om sinx0 dvs om xk .
--- I nedanstående tabeller har vi funktionernas värden för viktiga vinklar vinkeln v
2
3
4
6
0
6
4
3
2
tan(v) ej def 3 1
3
3 0
3
3 1 3 ej def
vinkeln v 0
6
4
3
2
3 2
4 3
6
5
cot(v) ej def 3 1
3
3 0
3
3 1 3 ej def
ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs. k 0,1,2,...).
a) tan(x)0 b)
3 ) 3
tan(x
c) tan(x)1, d) tan(x) 3
e) cot(x)0 f)
3 ) 3 cot(x
g) cot(x)1 h) cot(x) 3
Svar: a) xk b) k x
6 c)
k x
4 d)
k x
3 e)
k x
2 f)
k x
3 g)
k x
4
3 (alternativt svar k x
4 ) h)
k x
6
5 (alternativt svar k x
6 )
Uppgift 14. Lös ekvationen tan2(x)tan(x)0.
Tips: Beteckna tan(x)z. Från z2 z0 eller z(z1)0får vi två lösningarz10 och
2 1 z .
Alltså, tan(x)0 eller tan(x)1
Svar: Ekvationen har följande lösningar:
k
x eller k x
4