Ett exempel p˚a en relation ¨ar

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin

Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer

Dessa blad utg¨or skissartade f¨orel¨asningsanteckningar kombinerat med

¨ovningar. Framst¨allningen ¨ar inte fullst¨andig utan m˚aste kompletteras med egna anteckningar och probleml¨osningar.

1. Relationer

Vi repeterar kort begreppet relation. En relation, R mellan elementen i tv˚a m¨angder A och B ¨ar en delm¨angd av A×B. Vi skriver att aRb om (a, b) ∈ R.

Om A = B talar man om en relation p˚a A.

Ett exempel p˚a en relation ¨ar ’=’ p˚a m¨angden A. Formellt har vi

’=’= {(x, x); x ∈ A}.

Ett annat exempel ¨ar 6 p˚a N,

’6’ =

∞

[

n=0 n

[

m=0

{(m, n)} = {(0, 0), (0, 1), (1, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (0, 3) . . . }.

Detta s¨att att skriva upp en relation ¨ar naturligtvis ganska osmidigt.

Andra viktiga exempel p˚a relationer ¨ar ordningsrelationer p˚a talm¨angder.

P˚a R och Q har vi strikt (<) och icke-strikt (6) olikhet. Dessa har ganska olika egenskaper. P˚a Z och N ¨ar < och 6 v¨asentligen samma sak,

m 6 n ⇐⇒ m < n + 1.

Vad beror skillnaden mellan R och Z p˚a?

F¨or att l¨asaren inte ska tro att relationsbegreppet ¨ar begr¨ansat till de mest vanliga relationerna ger vi ytterligare n˚agra exempel.

Exempel 1. L˚at f och g vara tv˚a funktioner i R^R. Vi s¨ager att f  g om f (x) 6 g(x) f¨or alla x ∈ R. Det ¨ar l¨att att se att vi varken har sin  cos eller cos  sin.

Exempel 2. L˚at A vara en godtycklig m¨angd. Vanlig m¨angdinklusion ¨ar en relation p˚a P(A). Hur d˚a?

Exempel 3. Man kan naturligtvis hitta p˚a hur knasiga relationer som helst.

T.ex. K p˚a R^R d¨ar f Kg om |f (x) + g(x)| 6 x f¨or alla x och f (n)g(n) ¨ar ett primtal f¨or alla heltal n > 10. Helknasigt och f¨ormodligen ganska (s¨akerligen helt) ointressant.

1.1. Relationer med struktur

Anv¨andbara relationer b¨or inte vara hur vilda som helst. D¨arf¨or beh¨ovs en upps¨attning axiom man kan kr¨ava att relationen ska uppfylla. Beroende p˚a vilka axiom man kr¨aver ska vara uppfyllda f˚ar man olika typer av relationer.

Vi har tidigare sett vad som kr¨avs f¨or att en relation ska vara en funktion.

L˚at X vara en m¨angd och R en relation p˚a X.

1. Reflexivitet En relation ¨ar reflexiv om xRx f¨or alla x ∈ X. Exempel p˚a reflexiva relationer ¨ar ’=’ och ’6’ p˚a R. Relationen < p˚a R ¨ar inte reflexiv.

2. Irreflexivitet En relation ¨ar irreflexiv om xRx inte g¨aller f¨or n˚agot x.

Strikt olikhet ¨ar irreflexiv. Relationen xN y om och endast om x = −y p˚a R ¨ar varken reflexiv eller irreflexiv, ty 0N 0 men inte 1N1.

3. Symmetri En relation ¨ar symmetrisk om xRy g¨aller om och endast om yRx. Likhet ¨ar symmetrisk liksom relationen ”skild fr˚an” (6=). Olikhet

¨

ar inte symmetrisk.

4. Antisymmetri En relation ¨ar antisymmetrisk om xRy och yRx medf¨or x = y f¨or alla x och y. Olikhet p˚a R ¨ar antisymmetrisk, s˚a ¨aven rela- tionen 6 mellan kardinaltal (Detta ¨ar Cantor-Bernsteins sats.).

5. Transitivitet En relation ¨ar transitiv om xRy och yRz medf¨or att xRz f¨or alla x, y, z. Likhet, olikhet och strikt olikhet ¨ar alla transitiva.

Relationen (6=) ¨ar det inte.

Det finns fler viktiga egenskaper som relationer kan ha, men vi n¨ojer oss med dessa f¨or tillf¨allet. L˚at oss ist¨allet kombinera dem p˚a olika s¨att och se vad vi f˚ar.

Ovning 1: Hur m˚¨ anga relationer finns det p˚a en m¨angd med 3 element? Hur m˚anga reflexiva relationer finns det? Vad kan du s¨aga i det allm¨anna fallet, om antalet relationer och reflexiva relationer p˚a en m¨angd med n element.

Ovning 2: Hur m˚¨ anga symmetriska relationer finns det p˚a en m¨angd med 3 element? Hur m˚anga antisymmetriska relationer finns det? Vad kan du s¨aga om fallet med n element?

Ovning 3: Upprepa f¨¨ oreg˚aende ¨ovning med den skillnaden att du dessutom kr¨aver att relationerna ¨ar reflexiva.

Ovning 4: Hur m˚¨ anga transitiva relationer finns det p˚a en m¨angd med 2 element?

b) Det tycks inte vara k¨ant om det finns n˚agon ”enkel” formel f¨or antalet transitiva relationer p˚a en m¨angd. Skriv ett datorprogram som r¨aknar antalet

transitiva relationer p˚a en m¨angd med n element. G¨or en lista ¨over resultatet d˚a n = 3, 4, . . . .

1.2. Ordningar

En relation som ¨ar reflexiv, antisymmetrisk och transitiv kallas f¨or en ordning eller en partiell ordning och en m¨angd som utrustats med en ordning kallas f¨or en (partiellt) ordnad m¨angd. Om m¨angden heter X kan man kalla ordningen 6X och den ordnade m¨angden (X, 6X).

Ovning 5: Om (X, 6¨ X) ¨ar en ordnad m¨angd och Y ¨ar en delm¨angd till X, visa att en ordning p˚a Y kan defineras genom y₁ 6Y y₂ om y₁ 6X y₂ (I det senare fallet betraktas elementen som medlemmar i X).

Ovning 6: Om 6 ¨ar en ordning p˚¨ a X, visa att >, definierad genom x > y om och endast om y 6 x, ocks˚a ¨ar en ordning p˚a X.

Den vanliga ordningsrelationen 6 p˚a R ¨ar en ordning. Om X ¨ar vilken m¨angd som helst finns en naturlig ordning p˚aP(X) n¨amligen inklusion.

Ovning 7: Visa att relationen ⊆ ¨¨ ar en ordning p˚aP(X), d.v.s. att relationen

”A ¨ar en delm¨angd av B” ¨ar reflexiv, antisymmetrisk och transitiv. (Kom ih˚ag att tv˚a m¨angder ¨ar lika om de har samma element.)

Ovning 8: Visa att relationen  i Exempel 1 ovan ¨¨ ar en ordning.

En ordning p˚a X kallas linj¨ar eller total om det f¨or alla x, y ∈ X g¨aller att x 6 y eller y 6 x. Den vanliga ordningen p˚a R ¨ar linj¨ar. M¨angdinklusion

¨ar inte en linj¨ar. (Varf¨or?)

Ovning 9: L˚¨ at (X, 6X) och (Y, 6Y) vara tv˚a ordnade m¨angder. Visa m¨angden X ×Y kan ordnas genom att deklarera att (x₁, y₁) 6X×Y (x₂, y₂) om x₁ 6X x₂ men x₁ 6= x₂ eller om x₁ = x₂ och y₁ 6Y y₂. Visa att den definierade ord- ningen ¨ar linj¨ar om de ing˚aende ordningarna ¨ar linj¨ara.

Den ordning som inf¨ordes i f¨oreg˚aende uppgift brukar kallas lexikografisk ordning. Den kan generaliseras p˚a ett uppenbart s¨att till en ordning p˚a Xⁿ om X ¨ar ordnad. Hur d˚a? Varf¨or kallas den lexikografisk?

Ovning 10: Om vi har en ordning 6 p˚¨ a en m¨angd kan vi inf¨ora en strikt ordning genom att definiera a < b om a 6 b och a 6= b. (d.v.s. inte a = b).

Visa att den strikta ordningen ¨ar asymmetrisk, d.v.s. a < b medf¨or att inte b < a g¨aller:

∀a, b : a < b =⇒ (b 6< a)

Ovning 11: Vad menas med en v¨¨ alordning? S¨ok p˚a n¨atet! Vad har det med urvalsaxiomet att g¨ora?

1.3. Ekvivalensrelationer

En relation som ¨ar reflexiv, symmetrisk, och transitiv kallas f¨or en ekvivalens- relation. M˚anga viktiga relationer ¨ar ekvivalensrelationer, och likhet kanske

¨ar den viktigaste. (F¨or ¨ovrigt ¨ar likhet den enda relation som b˚ade ¨ar en ordning och en ekvivalensrelation.)

Vi ger n˚agra fler exempel.

1. L˚at A vara m¨angden av r¨ata linjer i planet. D˚a ¨ar xP y om x och y ¨ar parallella (eller sammanfaller) en ekvivalensrelation.

2. L˚at D vara m¨angden av r¨atvinkliga trianglar i planet. D˚a ¨ar xLy om x och y ¨ar likformiga en ekvivalensrelation.

3. L˚at n vara ett fixt positivt heltal. Definiera relationen K p˚a Z genom xKy om n|(x − y), d.v.s. om n delar x − y. Den h¨ar relationen har ett eget skrivs¨att: man skriver x ≡ y (mod n) d˚a xKy och s¨ager att x ¨ar kongruent med y modulo n.

T.ex. har vi 1 ≡ 6 (mod 5) eftersom 1 − 6 = −5 ¨ar delbart med 5.

Naturligtvis ¨ar ocks˚a 1 ≡ −4 (mod 5) medan 1 6≡ 6 (mod 2).

Om ett heltal a vid division med 5 ger kvoten q och resten r, s˚a betyder det att a = 5q + r och a ≡ r (mod 5). Varje heltal ¨ar d¨arf¨or kongruent med n˚agot av talen 0, 1, 2, . . . , n − 1 (mod n).

Verifiera att exemplen verkligen ¨ar ekvivalensrelationer.

L˚at ∼ vara en ekvivalensrelation p˚a en m¨angd X. L˚at x vara ett element.

Vi kan nu bilda m¨angden A_x genom

A_x = {y ∈ X; x ∼ y}.

M¨angden Ax kallas en ekvivalensklass. Vi ser att Ax inte ¨ar tom eftersom x ∈ A_x (reflexivitet). Om y ∈ A_x s˚a ¨ar A_y = A_x p˚a grund av symmetri och transitivitet:

z ∈ Ax =⇒ z ∼ x =⇒ z ∼ y [eftersom x ∼ y] =⇒ z ∈ Ay. och omv¨ant. Man inser att vi har f¨oljande

Sats 1. En m¨angd X med en ekvivalensrelation ∼ delas upp i ett antal parvis disjunkta delm¨angder (ekvivalensklasser), som tillsammans t¨acker hela X.

Man s¨ager att X partitioneras av ekvivalensrelationen.

Vi kan ocks˚a g˚a ˚at andra h˚allet. L˚at X vara en m¨angd och P = {A₁, A₂, A₃, . . . } = {A_j}_j∈J

Om A_j ¨ar icke-tomma, parvis disjunkta och t¨acker hela X kallas P en par- tition av X. I symboler kan vi skriva (i tur och ordning) dessa villkor som A_j 6= ∅ f¨or alla j ∈ J, Ai∩ A_j = ∅ om j 6= i och S

j∈JA_j = X.

M¨angden J ovan brukar kallas indexm¨angd och anv¨ands f¨or att lista (eller indexera) alla m¨angder i P . J kan ha vilket kardinaltal som helst; egentligen

¨ar det ju bara kardinaltalet som spelar roll.

L˚at P vara en partition av X och definiera x ∼ y om x och y tillh¨or samma m¨angd i P (d.v.s. x, y ∈ A_j f¨or n˚agot A_j ∈ P .) Det ¨ar l¨att att visa att ∼ ¨ar en ekvivalensrelation. Vi kan nu formulera f¨oljande sk¨arpning av Sats 1 ovan.

Sats 2. M¨angden av ekvivalensrelationer p˚a X st˚ar i ett naturligt ett-till-ett- f¨orh˚allande till m¨angden av partitioner av X.

L˚at oss beskriva ekvivalensklasserna till exemplen ovan

1. L˚at A vara m¨angden av r¨ata linjer i planet. L˚at ω_θ = (cos(θ), sin(θ)), θ ∈ [0, π[ vara en upps¨attning riktningsvektorer i planet. En ekviva- lensklass ¨ar d˚a

A_θ = {{(x, y) + tω_θ; t ∈ R}; (x, y) ∈ R²}.

och P = {A_θ; θ ∈ [0, π[}. Observera att den inre m¨angden i A_θ ¨ar en linje; den linje med riktning θ som g˚ar genom punkten (x, y). Den yttre m¨angden ¨ar en samling linjer med samma riktning. P ¨ar en m¨angd av m¨angder med linjer (som ju i sig ¨ar m¨angder av punkter). Vilken hierarki!

2. En ekvivalensklass kan beskrivas av ett tal p ∈ ]0, 1] som beskriver den kortaste kateten delat p˚a den l¨angsta.

3. Vi har xKy p˚a Z om n|(x − y). Det ¨ar klart att en ekvivalensklass best˚ar av alla tal som ¨ar delbara ned n,

K₀ = {0, ±n, ±2n, . . . } = {qn; q ∈ Z}.

Lite eftertanke ger att det finns precis n ekvivalensklasser, och dessa ges av

K_r = {qn + r; q ∈ Z}, d¨ar r = 0, 1, . . . , n − 1.

Vi ser allts˚a att ekvivalensklasserna beskrivs av talen 0, 1, 2, . . . , n − 1, d.v.s.

P = {K₀, K₁, . . . K_n−1} Med dessa f¨orberedelser kan vi nu beskriva vad som menas med Zⁿ: Zⁿ best˚ar av talen 0, 1, . . . , n − 1 d¨ar addition och multipli- kation definieras p˚a f¨oljande s¨att:

a + b = det unika tal r ∈ Zn s˚a att den vanliga summan a + b ∈ K_r. ab = det unika tal r ∈ Zn s˚a att den vanliga produkten ab ∈ K_r. Exempelvis ¨ar 3 + 6 = 2 och 3 · 6 = 4 i Z⁷ eftersom 9 ≡ 2 (mod 7) och 18 ≡ 4 (mod 7).

Om a och b ¨ar tv˚a (vanliga) tal och a + b = 0 s˚a kallas b en additiv invers till a; vi har b = −a. Det ¨ar klart att varje tal a ∈ Zn har en additiv invers, n¨amligen talet n − a.

En multiplikativ invers till ett tal a ¨ar ett tal b s˚a att ab = 1, b = a⁻¹. Om vi har att g¨ora med rationella tal har varje tal utom 0 en multiplikativ invers, n¨amligen 1 genom talet. Kan vi hitta en entydig l¨osning till ekvationen ax = b f¨or alla a 6= 0 och alla b, s˚a kan vi alltid best¨amma en invers till a genom att s¨atta b = 1.

Om n = pq d¨ar p och q ¨ar heltal st¨orre ¨an 1, s˚a ¨ar pq = 0 i Zn, s˚a ekvationen px = 0 saknar entydig l¨osning. F¨oljande ¨ovning g˚ar ut p˚a att visa existens av en entydig l¨osning av ax = b i Zp om p ¨ar ett primtal.

Ovning 12: L˚¨ at a 6= 0. Visa att (i Zp) g¨aller:

a) ax = 0 =⇒ x = 0.

b) ax = ay =⇒ x = y.

c) F¨or varje b ∈ Zp har ekvationen ax = b en unik l¨osning. [Ledning: Betrakta de p talen a · 0, a · 1, . . . , a · (p − 1). Vad kan s¨agas om dessa i ljuset av b)?]

Det f¨oljer naturligtvis speciellt att ekvationen ax = 1 har en unik l¨osning, som per definition ¨ar den multiplikativa inversen, a⁻¹. Huvudproblemet ¨ar l¨ost, men ¨ovningen forts¨atter.

d) Bevisa att i Zp g¨aller

x² = x · x = 1 ⇐⇒ x = 1 eller x = p − 1.

Detta betyder att a⁻¹ = a ⇐⇒ a = 1 eller a = p − 1.

e) Ber¨akna (p − 1)! i Zp d˚a p = 2, 3, 5 och 7. G¨or d¨arefter en kvalificerad giss- ning av vad (p − 1)! ¨ar i Zp f¨or godtyckliga primtal p. Bevisa att din gissning

¨ar korrekt! [Ledning: Utnyttja resultaten i d) f¨or att para ihop faktorerna i produkten (p − 1)! = 1 · 2 · 3 · · · (p − 1) p˚a ett listigt s¨att.]

Ovning 13: L¨¨ os f¨oljande ekvationer i Z5: 3x² + 2x = 1, 3x² + 2x = 2 och 3x² + 2x = 3.

Ovning 14: Hur m˚¨ anga ekvivalensrelationer finns det p˚a en m¨angd med 1 element? Med tv˚a element? Med tre, fyra och fem? Vad kan du s¨aga om antalet ekvivalensrelationer p˚a en m¨angd med n element?

Ovning 15: Betrakta relationen A p˚¨ a R d¨ar xAy om x−y ∈ Q. Visa att A ¨ar en ekvivalensrelation. Kan du beskriva ekvivalensklasserna (kanske n˚agon ek- vivalensklass!)? Vilket kardinaltal har en ekvivalensklass? Vilket kardinaltal har m¨angden av ekvivalensklasser?