STOCKHOLM 1925
Ö v e r s i k t av folkskolans kurs i r ä k n i n g och geometri ur metodisk synpunkt.
Sid.
Avd. I . Matematikundervisningens mål och allmänna beskaffenhet . . . 5
§ 1. Matematikundervisningens mål 5 § 2—5. Några allmänna krav på matematikundervisningen . 5
§ 6. Några synpunkter p å räkneuppgifternas beskaffenhet . . 10
§ 7. Om sakinnehållet i räkneuppgifterna 14 § 8. H u v u d r ä k n i n g och skriftlig räkning 16 Avd. I I . Inlärandet av talen (hela tal och bråk) och taloperationerna
(de s. k. fyra räknesätten) 19
§ 9. Lärostoffet och dess fördelning p å årskurser 19 § 1U—12. Om taluppfattning och talbeteckning av hela tal . 23
§ 13 — 17. Om de olika räknesätten, deras innebörd och
be-teckning. Terminologiska frågor 28 § 18—20. Addition och subtraktion i hela tal 36 § 21—26. Multiplikationstekniken i hela tal 42 § 27—30. Divisionstekniken i hela tal 55 § 31—39. Allmänna b r å k och decimalbråk 64
Avd. I I I . Inövningsarbetet 89 | 4 0 - 4 2 89 Avd. I V . Problemlösningen 97
§ 43. Regula de t r i metoden 97 § 44—47. Exempel p å lösning av en del särskilda problem . 104
Avd. V . Kursen i geometri 114 § 48. Allmänna frågor 114
F Ö R S T A A V D E L N I N G E N .
Matematikundervisningens i folkskolan mål
och allmänna beskaffenhet.
§ 1. Matematikundervisningens m å l .
Målet för undervisningen i matematik s å v ä l som i skolans andra ä m n e n kan j u s ä g a s vara dels att bibringa barnen vissa v ä r d e f u l l a kunskaper och dels att p å v e r k a deras själskrafter i god r i k t n i n g .
Barnen skola i detta ä m n e först och f r ä m s t bibringas de matematiska kunskaper, som erfordras för l ö s n i n g av s å d a n a enkla aritmetiska och geometriska uppgifter, som flertalet per-soner b e h ö v a k u n n a lösa. H ä r t i l l k r ä v e s förståelse av de van-liga talen (hela t a l och bråk) och taloperationerna (de s. k. fyra r ä k n e s ä t t e n ) samt f ä r d i g h e t att a n v ä n d a dem i såväl huvudr ä k n i n g som skhuvudriftlig huvudr ä k n i n g . I samband med p huvudr o b l e m l ö s -ningen b ö r a barnen dessutom e r h å l l a kunskap o m en m ä n g d betydelsefulla fakta i n o m olika o m r å d e n av verkligheten, v a r f ö r stor omsorg b ö r ä g n a s åt r ä k n e u p p g i f t e r n a s s a k i n n e h å l l .
Matematikundervisningens m ö j l i g h e t e r att p å v e r k a elevernas tanke- och v i l j e l i v m å s t e anses betydande. Knappast n å g o t av skolans andra ä m n e n torde s å bra k u n n a befordra tankens reda och klarhet. Det m å s t e därför betraktas som en väsent-l i g uppgift för matematikundervisningen att verka biväsent-ldande p å eleverna i logiskt avseende.
N å g r a a l l m ä n n a krav p å matematikundervisningen.
§ 2. Det tillhör den a l l m ä n n a metodiken att behandla f r å g a n om h u r undervisningen i a l l m ä n h e t b ö r vara beskaffad, men det synes dock l ä m p l i g t att h ä r diskutera n å g r a för matematik-undervisningen särskilt betydelsefulla punkter.
-6
tiga. Visserligen ä r mekanisk s ä k e r h e t i denna teknik nöd-v ä n d i g , men denna mekanisering k a n och b ö r — å t m i n s t o n e i v ä s e n t l i g m å n — k o m m a som ett resultat av en ofta före-tagen upprepning av den t a n k e g å n g , som ligger bakom tek-niken. Alltså först begripande, sedan mekanisk f ä r d i g h e t s å s m å n i n g o m . T ä n k b a r t vore att f ö r s v a r a ett mera mekaniskt i n l ä r a n d e av tekniken med argumenten, att det i m å n g a f a l l ä r omöjligt att lära barnen begripa den, och att i alla h ä n d e l s e r »tragglet» med begripandet tar oproportionerligt mycket t i d i a n s p r å k , som b ä t t r e kunde a n v ä n d a s t i l l g r u n d l i g i n ö v n i n g av tekniken och t i l l p r o b l e m l ö s n i n g . H ä r e m o t m å s t e i n v ä n d a s , att erfarenheten visar, att det ä r m ö j l i g t p å r i m l i g t i d l ä r a nor-m a l t b e g å v a d e barn begripa de t a n k e g å n g a r , det h ä r ä r f r å g a om. Visserligen ä r det j u sant, att arbetet med att l ä r a barnen begripa tekniken kan taga oproportionerligt mycket t i d i an-s p r å k , och att en l ä r a r e an-s n i t i detta h ä n an-s e e n d e kan leda t i l l dö-dande t r å k i g t traggel, men detta ö d s l a n d e med tiden ligger säkerligen ej i sakens natur utan har sin g r u n d i felgrepp från l ä r a r e n s sida, v i l k a h a n alltså b ö r s ö k a rätta. M a n b ö r k o m m a i h å g , att sedan barnen mekaniskt i n l ä r t ett t i l l v ä g a g å n g s s ä t t ä r o de i a l l m ä n h e t föga intresserade av att få det förklarat, och att l ä r a r e n s arbete d ä r u t i n n a n lätt blir ofruktbart. Men om barnen i stället i n l ä r a tekniken genom att a n v ä n d a sin tanke, b l i r arbetet med begripandet lika intressant som det i förra fallet var t r å k i g t .
E n stor v i n n i n g , som arbetet att förstå sättet för r ä k n e o p e r a -tionernas u t f ö r a n d e för med sig, ä r att i n n e b ö r d e n i dessa operationer d ä r i g e n o m belyses och b l i r förstådd av barnen, medan det blott mekaniska u t f ö r a n d e t u r denna synpunkt ä r värdelöst, ja, skadligt, d å t a n k l ö s h e t e n lätt kan b l i så stor, att såväl elever som l ä r a r e i det myckna sifferräknandet g l ö m m a att t ä n k a efter, o m själva innebörden i de räkneoperationer\ som mekaniskt utföras, ä r begripen. H u r m å n g a barn k u n n a ej
3 2 0 4 2 12 svara att - - X =- ä r l i k a med ±z eller att -=• : ä r lika med r-r,
4 5 20 5 3 10 2
utan att de hava reda p å , vad som menas med att y skall o
3 4 2 multipliceras med — eller med att skall divideras med
Med ett s å d a n t u n d e r v i s n i n g s s ä t t börjar man b e t ä n k l i g t n ä r m a sig den g r ä n s , d ä r r ä k n i n g e n från att vara ett betydelsefullt arbete ö v e r g å r t i l l att bliva en m e n i n g s l ö s lek med siffror.
7
r ä k n e o p e r a t i o n e r n a s u t f ö r a n d e leda t i l l en så absurd konsekvens, t y det m å s t e e r k ä n n a s , att en person kan hava en k l a r upp-fattning av i n n e b ö r d e n i en r ä k n e o p e r a t i o n och förstå, vad sultatet av dess u t f ö r a n d e betyder, fast han ej f ö r s t å r hur re-sultatet u p p n å t t s . S å t. ex. k a n en person mycket v ä l begripa, vad som menas med att v 1369 ä r 37 utan att begripa tillväga-g å n tillväga-g s s ä t t e t v i d rotutdratillväga-gnintillväga-g. Och p å samma s ä t t v i d t. ex. den vanliga multiplikations- och divisionstekniken i hela tal. Men detta ä n d r a r dock ingenting i det förut sagda om önsk-v ä r d h e t e n aönsk-v att barnen l ä r a sig begripa tekniken.
E t t annat o m r å d e , d ä r m a n m å s t e vara p å sin v a k t mot mekaniseringen, ä r p r o b l e m l ö s n i n g e n . O m även denna meka-niseras, b l i r det inte mycket u t r y m m e för den t a n k e ö v n i n g , som borde vara en huvuduppgift. A t t a n v ä n d a formler och schemata för l ö s n i n g av vanliga enkla uppgifter ä r således olämpligt. De b ö r a lösas ej genom a n v ä n d n i n g av en i n l ä r d formel utan genom att en t a n k e g å n g i n ö v a s . U r rent prak-tisk synpunkt ä r det senare också mycket att föredraga. E n mer eller mindre väl f ö r s t å d d formel g l ö m m e s lätt, men en t a n k e g å n g , som t r ä g e t i n ö v a t s , ä r i a l l m ä n h e t lätt att t ä n k a å n y o ä v e n efter l å n g t i d . V i å t e r k o m m a t i l l den f r å g a n l ä n g r e fram.
§ 3. Skola barnen kunna begripa kursen, k r ä v e s , att
läro-gången är s å d a n , att varje efterföljande moment enkelt och
n a t u r l i g t f r a m g å r u r det föregående. E n s å d a n l ä r o g å n g kallas genetisk. L ä r a r e n m å s t e följa en b e s t ä m d plan och ha en klar överblick av hela l ä r o g å n g e n och varje t i m m e hava klart för sig, vad h a n ö n s k a r l ä r a barnen. L ä r a r e n skall dock ej p å f ö r h a n d b e s t ä m m a , hur l å n g t han skall hinna p å t i m m e n och så s t r ä v a att h i n n a med det, utan hans förberedelser b ö r a gälla ett kursmoment, som han behandlar under så m å n g a t i m m a r , som b e h ö v a s . A t t p å f ö r h a n d exakt ange dessas antal ä r icke möjligt.
Men l ä r o g å n g e n skall vara genetisk ej blott u r l ä r a r e n s syn-p u n k t utan ock u r barnens, v i l k e t betyder, att varje föregående
moment måste vara inlärt, innan ett nytt genomgås. Det ä r
8
M å n g a l ä r a r e sätta en ä r a i att hinna med så stora kurser som möjligt. H ä r i ligger intet förtjänstfullt. Felet med m å n g -ens undervisning ä r just, att han h u n n i t med för mycket. Sällan felar n å g o n genom att h i n n a med för litet. — A t t ma-tematiken bereder s å stora s v å r i g h e t e r , och att så m å n g a anses
»ha s v å r t » för detta ä m n e , beror s ä k e r l i g e n i m å n g a fall p å att vissa kursmoment, som ä r o n ö d v ä n d i g a för en r ä t t upp-fattning av de följande, ej b l i v i t tillräckligt behandlade. Ä v e n elever med i det hela god s t u d i e b e g å v n i n g kunna därför ibland r å k a u t för m i s s ö d e t att »få svårt» för matematiken, varigenom den oriktiga å s i k t e n kunnat uppkomma, att f r a m g å n g e n av matematikstudierna i skolan ej i första h a n d beror av elevens a l l m ä n n a s t u d i e b e g å v n i n g utan av en s p e c i a l b e g å v n i n g för ä m n e t .
Un viss självständighet gentemot läroboken k r ä v e s av l ä r a r e n ,
om han skall k u n n a tillfredsställande fylla sin uppgift. H a n får ej l o v att följa metoden »därifrån och dit» i l ä r o b o k e n . .Denna skall vara hans tjänare, ej herre. E n l ä r o b o k kan a l d -1
rig hava precis s å m å n g a exempel p å varje avdelning, som klassen behöver. Barnen k u n n a b e h ö v a r ä k n a ett större antal exempel f r å n en avdelning och k u n n a kanske reda sig med ett m i n d r e antal från en annan avdelning. Ä v e n av åtskilliga andra skäl k r ä v e s av l ä r a r e n ett s j ä l v s t ä n d i g t initiativ, varom mera i det. följande.
§ 4. F ö r att barnen skola kunna förstå och tillgodogöra sig kursen, måste undervisningen vara åskådlig. Barnens f ö r m å g a att begripa abstrakta utredningar ä r ringa, och m å n g a peda-' goger ha p å g r u n d d ä r a v f ö r k l a r a t , att det myckna arbetet j med begripande ä r utsiktslöst. H ä r i ligger ett felslut. R i k t i g t
jj ä r blott, att barn i ä n h ö g r e grad ä n v u x n a ä r o i sitt
mate-matiska t ä n k a n d e beroende av å s k å d n i n g e n . Men å s k å d a be-tyder ej blott se, utan klart, konkret uppfatta, och den allra bästa å s k å d l i g a uppfattningen få barnen, n ä r de själva få vara
verksamma, n ä r de själva få u t f ö r a de handlingar, som skola
å s k å d l i g g ö r a r ä k n e o p e r a t i o n e r n a , i stället för att bara sitta och se p å , n ä r l ä r a r e n u t f ö r dem.
9
mellan ett mera aktivt och mera passivt t ä n k a n d e ä r l i k a markerad som mellan bara se p å och själv göra. B å d a for-merna ä r o värdefulla, men i skolarbetet får ofta det aktiva t ä n k a n d e t för litet u t r y m m e . Matematikstudierna borde här-vidlag i viss m å n bilda en m o t v i k t , d å l ä r a r e n lätt nog kan l ä g g a undervisningen så, att det passiva mottagandet ej b l i r hu-vudsaken. V i d i n l ä r a n d e t av ett n y t t moment i kursen kan läraren l å t a barnen med så liten ledning som möjligt själva u p p t ä c k a det, som skall i n l ä r a s (heuristiska metoden), och v i d t i l l ä m p n i n g s u p p g i f t c r och i n ö v n i n g s a r b e t e b ö r a barnen, arbeta så s j ä l v s t ä n d i g t som m ö j l i g t och få v ä n j a sig att genom an-v ä n d n i n g aan-v l ä m p l i g a kontrollproan-v l i t a p å sig själan-va.
§ 5. Den metod, som tar barnens aktivitet mest i a n s p r å k , b l i r ock den intressantaste, en sak av allra största betydelse. Den undervisning, som ej lyckas f å n g a barnens intresse, m å s t e anses vara i v ä s e n t l i g m å n misslyckad. Visserligen kunna barnen fås att arbeta, att följa med och s p ä n n a sin u p p m ä r k -samhet genom flera å t g ä r d e r , (genom appellerande t i l l deras p l i k t k ä n s l a och t i l l deras ä r e l y s t n a d i dess olika former, genom straff och genom belöningar) och dessa metoder ä r o b å d e nöd-v ä n d i g a och t i l l en del ytterst nöd-v ä r d e f u l l a , men den kanske be-tydelsefullaste k r a f t k ä l l a n t i l l arbete g å r man miste om, n ä r man ej lyckas anknyta t i l l och vidare utveckla barnens
natur-liga intresse för ämnet. M a n b ö r k o m m a i h å g , att barn såväl
10
§ 6. N å g r a synpunkter p å r ä k n e u p p g i f t e r n a s beskaffenhet. R ä k n e u p p g i f t e r n a k u n n a h ä n f ö r a sig antingen t i l l rena t a l eller t i l l konkreta storheter, v i l k a t v å slag av uppgifter ofta kallas sifferexempel och sakexempel eller med en n å g o t oegentlig terminologi o b e n ä m n d a och b e n ä m n d a tal. I vissa r ä k n e u p p -gifter (s. k . ö v n i n g s e x e m p e l ) gäller det att endast u t f ö r a b e s t ä m t angivna r ä k n e o p e r a t i o n e r , medan det i andra uppgifter (tillämp-ningsexempel eller egentliga problem) gäller att analysera upp-giften för att k o m m a underfund med, v i l k a r ä k n e o p e r a t i o n e r som skola utföras.
11
problemurvalet väljas, s å vore barnens intresse en b ä t t r e led-s t j ä r n a ä n vare led-sig n y t t a n eller t a n k e ö v n i n g e n .
V i skola n u endast s ä g a n å g r a ord om de praktiska proble-men och om t a n k e ö v n i n g s u p p g i f t e r n a . I ö v r i g t h ä n v i s a s t i l l den f ö l j a n d e f r a m s t ä l l n i n g e n .
A t t barnen skola l ä r a sig r ä k n a uppgifter av en art, som sedan troligen kommer att m ö t a dem i livet, ä r j u en a l l m ä n t e r k ä n d fordran p å r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n . Och v å r a l ä r o b ö c k e r i n n e h å l l a alltid en m å n g f a l d h i t h ö r a n d e exempel. L ä r o b o k e n k a n dock aldrig giva tillräckligt av vad som h ä r b e h ö v e s , utan det k r ä v e s ett s t ä n d i g t ingripande f r å n l ä r a r e n s sida. Det ä r n ä m l i g e n så, att i det praktiska livet k o m m a barnen att m ö t a m å n g a uppgifter av en annan t y p ä n l ä r o b o k e n s praktiska problem. De k o m m a n ä m l i g e n att ställas inför r ä k n e u p p g i f t e r ,
i vilka ingen talar om, vad de behöva ha reda på för att kunna lösa problemet, problem alltså, i v i l k a det gäller att fundera ut,
v i l k a uppgifter som erfordras för l ö s n i n g e n , och att taga reda p å dessa uppgifter, i n n a n r ä k n e a r b e t e t kan börja, I l ä r o b o k e n s problem b r u k a d ä r e m o t alla dessa för l ö s n i n g e n b e h ö v l i g a upp-gifter finnas angivna. E t t enkelt exempel. I l ä r o b o k e n s t å r :
an-12
tagas ha reda på dem. Slutligen k a n naturligtvis l ä r a r e n un-derstundom också h j ä l p a t i l l och l ä m n a upplysningar om ef-t e r f r å g a d e fakef-ta. I m å n g a fall kan deef-t vara omöjligef-t eller o l ä m p l i g t att s ä t t a hela klassen i arbete med införskaffandet av upplysningarna; det b l i r i stället endast n å g o n eller n å g r a av barnen, som få det a n f ö r t r o t t åt sig. V i se, h u r genom detta beaktande av det verkliga livets k r a v en givande källa ö p p n a s t i l l intressant, t a n k e ö v a n d e arbete med p å t a g l i g t v ä r d e för bar-nets utveckling t i l l en vaken, intelligent och praktiskt duglig person. Det ä r klart, att man v i d problem av detta slag har att i stort sett h å l l a sig t i l l e r f a r e n h e t s o m r å d e n , som ligga bar-nen n ä r a . Annars är det o r i m l i g t b e g ä r a , att de skola kunna angiva, vilka uppgifter som erfordras för problemets l ö s n i n g . R ä k n e u p p g i f t e r av s å d a n art, a t t - i a l l m ä n h e t endast y r k e s m ä n kunna angiva, v i l k a sakuppgifter som erfordras för lösningen, b ö r a naturligtvis ej tagas upp t i l l behandling. S å d a n a upp-gifter h ö r a hemma v i d r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n i en yrkesskola, ej i en skola för a l l m ä n t medborgerlig b i l d n i n g . Men man b e h ö v e r dock ej v i d uppgifter av h i t h ö r a n d e slag helt b e g r ä n s a sig t i l l det e r f a r e n h e t s o m r å d e , barnen äga. Meningen är j u , att detta skall vidgas och i r i k t n i n g mot s å d a n t , som envar kan anses böra ä g a k ä n n e d o m om. T i l l denna u t v i d g n i n g av bar-nens erfarenhet b ö r och k a n ä v e n r ä k n i n g e n bidraga, i det lä-raren ibland v i d ett problems behandling får anledning att tala med barnen om saker, som de ej f ö r u t hade reda på, A ven vid ett s å d a n t problems l ö s n i n g kunna barnen mycket v ä l ak-t i v ak-t medverka, o m problemeak-t endasak-t i deak-t hela rör sig p å eak-tak-t o m r å d e , som barnen äro f ö r t r o g n a med. A n t a g t. ex., att det gäller b e r ä k n i n g av kostnaden för en resa, som en person tan-kes skola företaga. V i d en s å d a n uppgift kunna j u barnen u t m ä r k t medverka, och ä n d å får l ä r a r e n säkerligen v i d sam-talet om denna resa och de utgifter, som kunna vara f ö r b u n d n a med den, tillfälle att l ä r a barnen åtskilligt för dem n y t t , som k a n vara av v ä r d e för envar att k ä n n a t i l l .
L ä r a r e n k a n g ä r n a ibland låta barnen h j ä l p a t i l l , ä v e n n ä r det gäller att hitta p å problem. Intresset b l i r alltid större för en u t r ä k n i n g , som de själva föreslagit. De v i l j a kanske S3*ssla med b e r ä k n i n g a r , som erfordras i och för j u l u p p k ö p e n eller firandet av mors dag eller tillställandet av en barnbjudning eller byggandet av en lekstuga etc, allt förträffliga uppgifter av n u antytt slag.
kon-13
struera problem blott och bart för t a n k e ö v n i n g e n s skull. E n del n y t t i g tankegymnastik g å r man annars lätt förlustig, och man m å b e t ä n k a , att t a n k e ö v n i n g e n ä r en h u v u d p u n k t i r ä k n e -undervisningens m å l . E n l ä m p l i g s v å r i g h e t s g r a d i fråga om problemen är av synnerlig v i k t . F ö r l ä t t a problem ge ej t i l l -r ä c k l i g t a n k e ö v n i n g och bli oint-ressanta, fö-r s v å -r a ve-rka dep-ri- depri-merande och taga också bort lusten för r ä k n i n g e n . N ä r man ej b e h ö v e r t ä n k a p å att problemet skall vara praktiskt, har man l ä t t a r e att konstruera ett u r t a n k e ö v n i n g s s y n p u n k t l ä m p -ligt problem. M e n en sak a n g å e n d e dessa problem b ö r fram-hållas : man bör ej söka giva dem sken av att vara praktiska genom en s t r ä v a n att h ä n f ö r a dem t i l l i praktiska livet före-kommande ting. Detta leder ofta t i l l dessa orimliga eller löj-liga uppgifter, som bringa vanrykte ö v e r r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n , t. ex.: »Om 12 man fullborda ett arbete p å 41/» dagar, h u r u
m å n g a man b e h ö v a s då för att fullborda det p å 23/s d a g a r ? » ,
och v i l k a av en författare parodieras i problemet: »Om l112
h ö n a p å l V a dag lägger I1/ * ä g g , h u r u m å n g a ä g g lägger d å 8/4 h ö n a p å 13 t i m m a r ? »
N u anse v i det visserligen inte vara så stor olycka skedd, om i en l ä r o b o k eller v i d undervisningen r å k a r k o m m a i n en-staka problem, s å d a n a som det om de 12 m ä n n e n och dagarna, men f ö r e k o m m a de ganska ofta, k u n n a de vara farliga nog genom att de alstra slöhet hos barnen i deras aktgivande p å verklig-heten, en slöhet, som barnen lätt hemfalla åt, och som av en författare parodieras så, att barnen »acceptera utan tvekan, att en s p å r v a g n g å r 20 k m . i minuten, eller att ett dussin apelsiner är billigare än ett enda exemplar av samma f r u k t . De baxna icke ens över att en halv k a r l b e h ö v e r 47,856 t i m m a r för att bygga en mur, som är 10 meter h ö g och 2 cm. l å n g » . T i l l denna okritiskhet hos barnen ä r dock skulden säkerligen fram-för allt den, att de i matematikundervisningen få i n l ä r a myc-ket u t a n att därtill a n v ä n d a sitt f ö r s t å n d . Kanske h a de rent av k o m m i t t i l l det resultatet, att det ej l ö n a r sig försöka be-gripa, u t a n att det endast gäller mekaniskt l ä r a och u t f ö r a r ä k n i n g a r n a .
14
§ 7. Om s a k i n n e h å l l e t i r ä k n e u p p g i f t e r n a .
Med h ä n s y n t i l l o m r å d e n , från v i l k a s a k i n n e h å l l e t i r ä k n e -uppgifterna h ä m t a s , kunna särskiljas f ö l j a n d e trenne. F ö r s t ha v i barnets omedelbara e r f a r e n h e t s o m r å d e , från vilket naturligtvis alltid h ä m t a s mycket stoff t i l l uppgifterna, mest v i d den första undervisningen, n å g o t mindre senare. Så ha v i ett kunskaps-o m r å d e , skunskaps-om alldeles särskilt k a n anses h ö r a samman med r ä k n e u n d e r v i s n i n g c n , n ä m l i g e n det, som omfattar de vanliga m å t t e n och m ä t n i n g a r n a . Det har alltid ansetts som en vik-t i g uppgifvik-t för r ä k n e u n d e r v i s n i n g c n avik-tvik-t meddela barnen kun-skaper från detta o m r å d e ; alltså kunskap om längd-, yt-, ryrnd-och v i k t s m å t t , om vanliga sorter, om mynten (svenska ryrnd-och u t l ä n d s k a ) , om t i d s m å t t e n samt o m de vanligaste m ä t n i n g s i n -strumenten. Det tredje o m r å d e t skulle kunna sägas vara hela naturens och kulturens v ä r l d , t y från alla möjliga o m r å d e n kunna r ä k n e e x e m p e l väljas. H ä r ä r det v i d r ä k n e u n d e r v i s ningcn i a l l m ä n h e t ej fråga om att b e s t ä m d a fakta skola i n -pluggas, men kunskapssynpunkten b ö r dock v i d sysslandet med r ä k n e u p p g i f t e r från olika o m r å d e n ej l ä m n a s u r sikte. Genom r ä k n e u p p g i f t e r n a k a n åtskilligt, som i n l ä r t s i andra ä m n e n , repeteras och b ä t t r e k l a r g ö r a s . N ä r a nog alla ä m n e n kunna s å få gagn av r ä k n i n g e n , men särskilt de naturveten-skapliga: f}rsiken, kemien, astronomien, biologien och geografien.
15
en a n m ä r k n i n g m o t r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n , medan den kanske ibland med mera r ä t t kunde riktas som en a n m ä r k n i n g m o t undervisningen i de andra ä m n e n a , i v i l k a m a n f ö r s u m m a r att a n v ä n d a matematiken.
16
utfyllas med uppgifter, som h ä m t a s omedelbart från förhållan-dena i o m g i v n i n g e n ' .
§ 8. H u v u d r ä k n i n g och skriftlig r ä k n i n g .
Barnen skola övas i såväl h u v u d r ä k n i n g som skriftlig räk-ning. Skillnaden mellan dessa r ä k n e f o r m e r består dels däri, att vid h u v u d r ä k n i n g e n ingen t a l u p p s k r i v n i n g f ö r e k o m m e r , och dels i att u t r ä k n i n g e n ofta verkställes p å n å g o t olika sätt,1)
A t t u t r ä k n i n g e n gestaltar sig olika, beror p å att man v i d huvud-r ä k n i n g e n s t huvud-r ä v a huvud-r att a n v ä n d a metodehuvud-r, som ej ställa föhuvud-r stohuvud-ra krav p å m i n n e s f ö r m å g a n , medan man v i d den skriftliga räk-ningen ej b e h ö v e r taga s å d a n a h å n s y n . Olikheten g å r g ä r n a i den r i k t n i n g e n , att man v i d den skriftliga u t r ä k n i n g e n delar upp talen mera, ä n som brukar ske v i d h u v u d r ä k n i n g e n , t. ex. 865 + 734 uppdelas v i d h u v u d r ä k n i n g g ä r n a i följande delar: 865 + 700 + 30 -r 4, medan uppdelningen v i d den skriftliga r ä k n i n g e n ä r 4 + 5 , 60 - f 30, 800 + 700.
M a n bör se t i l l , att barnen ej få den uppfattningen, att det är fråga om t v å alldeles olika slags r ä k n i n g . B e n ä m n i n g a r n a h u v u d r ä k n i n g och skriftlig r ä k n i n g kunna lätt ingiva dem tan-ken, att skriftlig r ä k n i n g ej ä r h u v u d r ä k n i n g utan n å g o t slags mekanisk s y s s e l s ä t t n i n g . B ä t t r e vore b e n ä m n i n g a r n a
räkning utan och med ta&uppshiwiing, som direkt peka p å
den omedelbara och viktigaste olikheten. V i d den första r ä k n e u n d e r v i s n i n g c n bör ej heller finnas n å g o n annan olikhet än denna mellan h u v u d r ä k n i n g och den skriftliga räk-ningen. Vare sig talen skrivas upp eller ej, u t r ä k n a s de p å samma sätt. Uppskrivningen — » r ä k n i n g p å raden» — fram-står så för barnen endast som ett medel att komma i h å g de givna talen eller vissa u t r ä k n i n g s r e s u l t a t . F ö r s t v i d ett n å g o t senare stadium — tidigast under senare delen av andra skol-å r e t — g ö r a s barnen u p p m ä r k s a m m a p skol-å att man, n ä r man skriver upp talen, ofta med fördel kan a n v ä n d a en u t r ä k n i n g s -metod, som ej skulle vara praktisk att a n v ä n d a v i d huvud-r ä k n i n g . Men denna f ö huvud-r ä n d huvud-r i n g bethuvud-räffande u t huvud-r ä k n i n g e n be-h ö v e r j u ej för barnen te sig som en ö v e r g å n g från den förut ö v a d e r ä k n i n g e n t i l l n å g o t helt nytt.
Under de första t v å s k o l å r e n är r ä k n i n g e n s å l u n d a — med h ä n s y n t i l l sättet för u t f ö r a n d e t — n ä s t a n uteslutande huvud-r ä k n i n g , och föhuvud-rst dähuvud-reftehuvud-r tages ahuvud-rbetet med den skhuvud-riftliga
l) En annan olikhet är, att den skriftliga räkningen med tiden ofta blir
17
r ä k n i n g e n upp r i k t i g t p å allvar. Det gäller emellertid att ej heller under den senare skoltiden f ö r s u m m a h u v u d r ä k n i n g e n , och undervisningsplanen föreskriver direkt, att särskilda
huvud-räkningsömiingar skola f ö r e k o m m a i alla klasser p å
folkskole-stadiet — tydligen för att markera, att den skriftliga r ä k n i n g e n ej får taga ö v e r h a n d p å detta stadium.
V i d h u v u d r ä k n i n g e n b ö r ett visst b e s t ä m t f ö r f a r i n g s s ä t t i n -läras — en normalmetod. Sedan barnen väl b e h ä r s k a den, kunna de fä hitta, p å genvägar, och l ä r a r e n kan g ö r a en del p å p e k a n -den a n g å e n d e vissa praktiska s å d a n a , och n å g o n g å n g kan han som ett talproblem giva barnen i uppgift att s ö k a h i t t a p å olika s ä t t att lösa en h u v u d r ä k n i n g s u p p g i f t ; men n å g o n mera systematisk undervisning om eller i n ö v n i n g av g e n v ä g a r b ö r ej f ö r e k o m m a . Särskilt m å s t e varnas mot att taga upp tiden med i n l ä r a n d e av svårförståeliga och i det hela föga betydelse-fulla r ä k n e g e n v ä g a r , t. ex. att 23 X 28 kan u t r ä k n a s som 20 X (28 - f 3) T 3 X 8 eller att 23 X 27 = 25 X 25 — 2 X 2. E n a n v ä n d b a r normalmetod för de olika r ä k n e s ä t t e n f r a m g å r av följande exempel. 1) 743 + 692 = 743 + 600 + 90 + 2, 2) 852 — 567 = 852 — 500 — 60 — 7, 3) 7 X 68 = 7 X 60 + 7 X 8, 4) 8 1 6 : 1 2 = 7 2 0 : 1 2 + 96 : 12.
Som exempel pä genvägar meddelas följande l ö s n i n g a r av o v a n s t å e n d e uppgifter.
1) 743 4- 692 = 743 + 700 — 8, 2) 852 — 567 = 867 — 567 — 15, 3) 7 X 68 = 7 X 70 — 7 X 2, 4) 816 : 12 = 8 4 0 : 1 2 — 24 : 12.
18
Uppskrivandet av de givna talen kan som sagt vara berät-tigat såsom ett led i ö v a n d e t av h u v u d r ä k n i n g , alldcnstund barnen kunna b e h ö v a vinna ö v n i n g i sättet för u t r ä k n i n g e n s u t f ö r a n d e , innan de orka med att lösa uppgiften med huvud-r ä k n i n g i egentlig mening. S å tohuvud-rde addition av thuvud-resiffhuvud-riga tal vara så pass besvärligt, att barnen v ä l b e h ö v a den förbere-dande h j ä l p , som talens u p p s k r i v n i n g i n n e b ä r . Men sådan
hjälpövning får naturligt ris- ej bli själ rändamål <>ch taga
opro-portionerligt mycket av den åt h u v u d r ä k n i n g ä g n a d e tiden i a n s p r å k . S å särdeles mycken nytta av att med h u v u d r ä k n i n g s -metod kunna u t f ö r a r ä k n i n g a r n a , sedan m a n förut uppskrivit de givna talen, har man j u ej. Särskilt om barnen få skaffa sig övnings-(läro)böcker i h u v u d r ä k n i n g , ä r risken stor, att de för mycket k o m m a att sysselsättas med s å d a n förberedelse och för litet med den egentliga h u v u d r ä k n i n g e n .
F ö r befordrandet av snabbhet v i d h u v u d r ä k n i n g e n s u t f ö r a n d e ä r det l ä m p l i g t att i n f ö r a t ä v l i n g s m o m e n t e t . N å g o n g å n g kan man driva t ä v l a n så, att den först färdige genast säger lös-ningen. E t t annat trevligt sätt ä r att låta barnen u t f ö r a en serie h u v u d r ä k n i n g a r med angivande endast av slutresultatet. Ö v n i n g e n kan drivas antingen så, att l ä r a r e n v ä n t a r att giva en följande uppgift, tills han av barnens p e k n i n g å r ser, att alla eller n ä s t a n alla ä r o med, eller ock så, att l ä r a r e n i n å g o n viss l ä m p l i g takt (takträkning) ger uppgifterna. Det gäller d å för barnen att hinna med, och ö v n i n g e n kan b l i mycket effektiv för vinnande av f ä r d i g h e t i s n a b b r ä k n i n g .
A N D R A A V D E L N I N G E N .
Inlärandet av talen (hela tal och bråk) och
talopera-tionerna (de s. k. fyra räknesätten).
§ 9. Lärostoffet och dess f ö r d e l n i n g p å å r s k u r s e r . Yi meddela h ä r undervisningsplanens t i l l huvudsaklig led-n i led-n g givled-na b e s t ä m m e l s e r för k u r s f ö r d e l led-n i led-n g e led-n i sjuklassig folk-skola av A-formen, v a r v i d v i t i l l de olika klassernas kurser foga n å g r a r a n d a n m ä r k n i n g a r .
Första klassen. » B e h a n d l i n g av t a l o m r å d e t 1—20 eller, d ä r
så finnes l ä m p l i g t , 1—30, d ä r v i d ö v n i n g a r för vinnande av f ä r d i g h e t särskilt b ö r a avse t i l l ä g g n i n g och f r å n d r a g n i n g .
Ö v n i n g a r i a n v ä n d n i n g av m å t t : centimeter och deciliter; v i k t e r : hektogram; m y n t : ören. N å g r a vanliga stycketalssorter och t i d s m å t t . »
Andra klassen. » B e h a n d l i n g av t a l o m r å d e t 1—100, d ä r v i d
ö v n i n g a r för vinnande av f ä r d i g h e t särskilt b ö r a avse tillägg-ning och f r å n d r a g n i n g .
Ö v n i n g a r i a n v ä n d n i n g av m å t t : centimeter, decimeter och meter — i samband d ä r m e d n å g o n a n v ä n d n i n g av s t ö r r e tal ä n 100 — ; deciliter och liter; v i k t e r : hektogram och k i l o g r a m ; m y n t : ören och kronor. Vanligare stycketalssorter och t i d s m å t t . »
Talbehandlingcn uppdelas l ä m p l i g e n — synes det oss — i en successiv behandling av t a l o m r å d e n a 1—10, 1—20 och 1—100.
V i d behandling av t a l o m r å d e t 1—10 böra barnen endast stifta bekantskap med r ä k n e s ä t t e n addition och subtraktion, medan multiplikationen och divisionen u p p t r ä d a först v i d be-handlingen av t a l o m r å d e t 1—20 eller 1—100.
H ä r m e d avvisas s å l u n d a den monografiska talbehandling, som föreslogs av den tyske metodikern Grube i mitten av 1800-talet, och som sedan l i v l i g t diskuterats. Undervisningen skulle fortskrida från tal t i l l tal — ej från r ä k n e o p e r a t i o n t i l l r ä k n e o p e r a t i o n , som förr varit vanligt — , och varje enskilt tal skulle underkastas en allsidig behandling, under v i l k e n alla r ä k n e s ä t t e n skulle k o m m a t i l l a n v ä n d n i n g . Talet 4 belyses n å g o r l u n d a allsidigt genom f ö l j a n d e r ä k n e o p e r a t i o n e r , v i l k a naturligtvis först b ö r a f ö r e k o m m a i form av konkreta storheter:
3 + 1 = ? , 2 + 2 = ? , 4 = 3 + ?, 4 = 1 + ? , 4 = 2 + ?,
20
4 : 2 —V, ? : 2 = 2 , 4 : ? = 2 , i av 4 = ? , V av 4 = 2 , i av V = 2 .
(För n ä r m a r e upplysning om hur en allsidig behandling av talet 4 kan gestalta sig h ä n v i s a s t i l l Biicht och Svensk, Anteck-ningar i r ä k n e m e t o d i k . ) Efter talet 4 underkastas så talet 5 samma allsidiga behandling, d ä r p å 6 etc.
Visserligen b ö r a j u barnen n å fram t i l l en g r u n d l i g k ä n n e -dom om talen 1—10, men att genast från b ö r j a n s ö k a l ä r a barnen uppfatta alla r ä k n e o p e r a t i o n e r n a är o l ä m p l i g t . Barnen ha v i d arbetet i n o m t a l o m r å d e t 1—10 alldeles nog med att lära sig b e h ä r s k a addition och subtraktion och i samband därmed l ä r a sig, i v i l k a delar talen k u n n a uppdelas. M u l t i p l i k a -t i o n och division b ö r a all-tså u-teslu-tas v i d behandlingen av t a l o m r å d e t 1—10; men i ö v r i g t torde det vara ganska l ä m p -l i g t att -låta undervisningen fortskrida från ta-l t i -l -l ta-l och i fråga om varje tal ö v a t i l l ä g g n i n g , uppdelning (t, ex. 4 = 3 + ?) och f r å n d r a g n i n g .
E n v i k t i g uppgift för arbetet under andra skolåret b l i r att bibringa barnen förståelse av multiplikationen och de b å d a d i v i s i o n s r ä k n e s ä t t e n och ö v a dessa r ä k n e s ä t t i n o m m u l t i p l i k a -tionstabellens o m r å d e . Det b ö r dock — enligt undervisnings-planen — »icke fordras, att l ä r j u n g a r n a under de t v å första skolåren skola u p p n å f ä r d i g h e t i n o m multiplikationstabellen \ Undervisningsplanen i n s k ä r p e r vikten av att man i r ä k n i n g e n g å r långsamt framåt och ej inför nya moment, f ö r r ä n de före-g å e n d e äro tillräckliföre-gt behandlade.
Säkerligen finnas m å n g a l ä r a r e å småskolestadiet, som s t r ä v a att hinna med så stora kurser som möjligt (kanske b å d e m u l -tiplikation och division l å n g t u t a n f ö r mul-tiplikationstabellens område), men det bör starkt f r a m h å l l a s , att en s å d a n forcering i s m å s k o l a n kan vara t i l l ohjälplig skada för m å n g a barn, och att den står i b e s t ä m d strid mot undervisningsplanens hela anda.
Tredje Mässen. »De fyra r ä k n e s ä t t e n med hela tal j ä m t e
t i l l ä m p n i n g a r , dock med den b e g r ä n s n i n g e n , att m u l t i p l i k a t o r och divisor i regel h ä m t a s från t a l o m r å d e t 1—10, samt att i a l l m ä n h e t endast ett r ä k n e s ä t t f ö r e k o m m e r i varje uppgift. S ä r s k i l d a h u v u d r ä k n i n g s ö v n i n g a r . Ö v n i n g a r i a n v ä n d n i n g av ä v e n andra a l l m ä n t brukliga m å t t och vikter ä n de förut upp-tagna. S ä r s k i l d a ö v n i n g a r i s o r t f ö r v a n d l i n g , även omfattande stycketalssorter och tidsmått.»
Fjärde Mässen. »De fyra r ä k n e s ä t t e n med hela tal j ä m t e
23
ett r ä k n e s ä t t . — S ä r s k i l d a h u v u d r ä k n i n g s ö v n i n g a r . — I samband med uppfattning och a n v ä n d n i n g av vt och r y m d m å t t e n m ä t -ning och b e r ä k n i n g av kvadraters och andra rektanglars ytor samt av kubens och andra r ä t v i n k l i g a kroppars rymder. — Översikt av m å t t och vikter ä v e n s o m av andra förut genom-g å n genom-g n a sorter. Särskilda ö v n i n genom-g a r i sortförvandlingenom-g.»
Beträffande t a l o m r å d e t gives i undervisningsplanen ingen anvisning. Det torde vara l ä m p l i g t att i tredje klassen i all-m ä n h e t h å l l a sig t i l l o all-m r å d e t 1—10 000. I fråga oall-m divisio-nen i klass 3 bör m ä r k a s , att en mera fullständig behandling av i n n e h å l l s d i v i s i o n med ensiffrig divisor logiskt f ö r u t s ä t t e r m u l t i p l i k a t i o n med mer ä n ensiiTrig multiplikator. M a n b ö r alltså ej föra i n n e h å l l s d i v i s i o n c n l ä n g r e , än som svarar mot det i multiplikationen behandlade. Det synes oss emellertid l ä m p l i g t , att redan i klass 3 utvidga multiplikationen t i l l tal, i v i l k a m u l t i p l i k a t o r n i n n e h å l l e r mer ä n en siffra.
Femte Mässen. » F o r t s a t t ö v n i n g i de fyra r ä k n e s ä t t e n med
hela tal j ä m t e t i l l ä m p n i n g a r . A l l m ä n n a b r å k : b r å k s uppkomst och beteckning; addition och subtraktion, med b e g r ä n s n i n g t i l l s å d a n a uppgifter, som i n n e h å l l a b r å k med liten gemensam n ä m n a r e ; n å g o n ö v n i n g i m u l t i p l i k a t i o n och division, dock endast s å d a n a uppgifter, i v i l k a multiplikator och divisor äro hela t a l ; t i l l ä m p n i n g s u p p g i f t e r . — D e c i m a l b r å k : de fyra räkne-sätten j ä m t e t i l l ä m p n i n g a r ; i m u l t i p l i k a t i o n och division dock endast s å d a n a uppgifter, i v i l k a multiplikator och divisor ä r o hela tal. — S ä r s k i l d a h u v u d r ä k n i n g s ö v n i n g a r . — Geometrisk kurs, omfattande linjer, vinklar, parallellogrammer och triang-lar samt s å d a n a kroppar, som hava f ö r e n ä m n d a y t o r t i l l bas och mot basen v i n k e l r ä t a sidor, och huvudsakligen avseende de n ä m n d a storheternas u p p r i t n i n g , beskrivning och m ä t n i n g i förening med enkla praktiska b e r ä k n i n g a r . »
Sjätte Mässen. » F o r t s a t t ö v n i n g av de fyra r ä k n e s ä t t e n med
22
v i n k e l r ä t a sidor, och liuvudsakligen avseende de n ä m n d a stor-heternas u p p r i t n i n g , beskrivning och m ä t n i n g i förening med enkla praktiska b e r ä k n i n g a r . »
I kursen för sjätte klass i den sexklassiga folkskolan
upp-tager undervisningsplanen ä v e n »förande av enkel kassabok» och »en och annan enkel f ä l t m ä t n i n g s ö v n i n g » .
V i giva i det följande ett detaljerat förslag i fråga om läro-g å n läro-g e n v i d behandlinläro-gen av b r å k l ä r a n , t i l l vilket h ä n v i s a s .
I en liten detalj avviker det från undervisningsplanens
be-s t ä m m e l be-s e r , i det v i anbe-se, att vibe-sbe-sa divibe-sioner med b r å k d i v i be-s o r skola behandlas redan i femte klassen. — V i d behandlingen av geometrikursen giva v i ock n ä r m a r e förslag t i l l den ord-ningsföljd, i v i l k e n de olika momenten kunna behandlas.
Sjunde Mässen. »Procent- och r ä n t e u p p g i f t e r med a n v ä n d n i n g ,
d ä r så finnes ä n d a m å l s e n l i g t , j ä m v ä l av enkla ekvationer; an-v ä n d n i n g aan-v tabeller med t i l l ä m p n i n g exempelan-vis p å försäk-ringar och sammansatt r ä n t a ; utrikes m y n t ; v ä x l a r ; andra r ä k n e u p p g i f t e r , valda med särskild h ä n s y n t i l l det praktiska livets fordringar, i f r ä m s t a rummet s å d a n a , som ansluta sig t i l l n ä r i n g s l i v e t i hembygden. — S ä r s k i l d a h u v u d r ä k n i n g s ö v -ningar. — Ö v n i n g i enklare b o k f ö r i n g och i samband d ä r m e d ifyllande av vanliga post-, j ä r n v ä g s - och å n g b å t s b l a n k e t t e r samt u p p g ö r a n d e av enkel s j ä l v d e k l a r a t i o n . — Geometrisk kurs, om-fattande u t o m förut behandlade storheter n å g o t om ellipser, pyramider, koner och klot och huvudsakligen avseende stor-heternas u p p r i t n i n g , beskrivning och m a t n i n g i förening med enkla praktiska b e r ä k n i n g a r . — E n k l a ö v n i n g a r i grafisk fram-ställning. —• E n k l a f ä l t m ä t n i n g s ö v n i n g å r . »
E n del av de i denna klass upptagna momenten torde det vara l ä m p l i g t att också behandla i den sexklassiga skolans h ö g s t a klass, n ä m l i g e n a n v ä n d n i n g e n av tabeller med tillämp-n i tillämp-n g p å sammatillämp-nsatt r ä tillämp-n t a och utrikes m y tillämp-n t .
I f r å g a o m de svagare skolformerna givas i
23
Om tahippfatt))ing och talbeteckuing a v
hela tal.
§ 10. Å s k å d n i n g s m e d e l .
T i l l en klar taluppfattning k o m m a barnen naturligtvis en-dast p å å s k å d n i n g e n s v ä g genom att r ä k n a antal av olika föremål. Särskilda åskådningsmedel behövas, dels s ä d a n a , som l ä m p a sig, n ä r l ä r a r e n skall demonstrera n å g o t för hela klas-sen, och dels s å d a n a , som ä r o l ä m p l i g a att a n v ä n d a s av barnen själva. Som d e m o n s t r a t i o n s f ö r e m å l för t a l o m r å d e t t i l l 10 l ä m -pa sig bra t r ä k l o t s a r , g ä r n a av en del olika former (minst 10 st. av var sort) och lagom stora för att vara v ä l synbara för alla i klassen. Barnen k u n n a a n v ä n d a s m ä r r e f ö r e m å l , som de s j ä l v a lätt kunna skaffa, t. ex. stenar, stickor, knappar, kastanjer. E t t u t m ä r k t å s k å d n i n g s m e d e l för talen t i l l och med 10 ha barnen naturligtvis i fingrarna, och det vore onaturligt att ej utnyttja det. H ä r m e d ä r ej den s. k. f i n g e r r ä k n i n g s -metoden rekommenderad. F ö r i n l ä r a n d e av de g r u n d l ä g g a n d e additionerna och subtraktionerna i n o m t a l o m r å d e t rekommen-dera v i annan metod. (Se l ä n g r e fram.)
För åskådliggörande av större tal än 10 b ö r man hava ting,
som lätt kunna förenas, så att ett antal av dem k a n han-teras som en enkel kropp, vilket är av betydelse, då det gäller att belysa den g r u n d l ä g g a n d e principen för talsystemets bygg-nad, n ä m l i g e n bildandet av h ö g r e enheter (tiotal,.hundratal^tc.) ur grundenheten (en talet). F ö r t a l o m r å d e t t i l l 100 l ä m p a sig u t m ä r k t stickor (t. ex. tändstickor), varav 10 st. hopbuntas (med en g u m m i t r å d ) t i l l en n y enhet (tiotalet). Detta å s k å d n i n g s -medel passar bra att handhavas av barnen. Som demonstra-tionsföremål för t a l o m r å d e t t i l l 100 är kulramen a n v ä n d b a r , och för hela t a l o m r å d e t 1—1000 k u n n a kuber, pelare och
ski-vor rekommenderas. Kubernas k a n t l ä n g d kan v ä l l ä m p l i g e n
24
talet 10 s å : • ; ; ; ; och v i d större tal än 10 kan tiota-lets k a r a k t ä r av enhet å s k å d l i g g ö r a s genom att tiogrupperna h å l l a s i sär, t. ex. talet 35:
Meterstaven med alla dess indelningar ger också en å s k å d l i g bild av talen.
F ö r uppfattningen av de h ö g r e talsortcrna, millioner, m i l l i -arder, billioner, trillioner spelar ej å s k å d n i n g s m e d e l n å g o n större r o l l . Det räcker egentligen, att barnen veta att 1 000 tusental ä r en m i l l i o n , etc. Men av ett visst v ä r d e är det dock att giva n å g o n å s k å d l i g uppfattning av deras storlek, t. ex. genom att låta barnen r ä k n a ut, hur m å n g a m m . det g å r p å en kilo-meter, h u r l å n g t i d det skulle ta att r ä k n a t i l l en m i l l i o n , etc.
§ 11. Taluppfattning.
E t t enskilt tal i heltalsserien k a n definieras som det före-g å e n d e talet + 1 ; alltså 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 etc. F ö r be-n ä m be-n i be-n g och uppfattbe-nibe-ng av större tal m å s t e h ö g r e ebe-nheter bildas. V å r t talsystem kan med h ä n s y n härtill sägas vara upp-byggt p ä talet 10 som grundtal. A v tio enheter bildas en ny (sammansatt eller högre) enhet eller talsort, med vilken v i r ä k n a på alldeles samma sätt som med den enkla enheten (grunden-heten). Och av tio tiotal bildas en n y talsort, hundratalet, etc. Med a n v ä n d a n d e av ett helt ringa antal talord kunna v i så b e n ä m n a en ofantlig m ä n g d tal. Med 12 talord (ett, t v å etc, t i l l tio samt hundra och tusen) skulle v i k u n n a giva namn åt alla talen upp t i l l millionen. Talbeteckningen är ä n d å mera f u l l ä n d a d , t y med 10 taltecken (0, 1, 2 etc. t i l l 9) kunna v i j u skriva alla tal, h u r stora som helst.
F ö l j a n d e moment (a, b, c) kunna sägas vara betydelsefulla för en klar t a l u p p f a t t n i n g och m å s t e b e h ä r s k a s av barnen.
q) Ingående kännedom om talen inom talområdet 1—K).
25
olika slags föremål, så att ej barnens taluppfattning obe-hörigen kommer att h ä n f ö r a sig t i l l ett slags föremål. V i d f ö r m e d l a n d e t av taluppfattningen kunna även talbilder g ö r a god tjänst, men mot ett överdrivet bruk av s å d a n a b ö r fram-hållas, att det ej ä r genom i n p r ä g l a n d e av n å g o n viss geo-metrisk b i l d utan genom r i i k n i n g av enheterna, som barnen komma fram t i l l en klar taluppfattning. De förut n ä m n d a r ä k n e ö v n i n g a r n a b l i alltså det väsentliga.
b) Förmåga att räkna med sammansatta tal (tiotalen, hundra-talen etc.), som om de vore enheter.
Det ä r s ä k e r l i g e n en stor s v å r i g h e t för de s m å , n ä r de skola börja r ä k n a med tiotalet alldeles som med grundenheten.
Man m ä r k e r j u ä v e n p å ett betydligt h ö g r e stadium, huru-som i n f ö r a n d e t av r ä k n i n g med en ny talsort (t. ex. en bråk-sort) v å l l a r svårigheter. Och m å n g e n , som lärt algebra, har kanske ej fullt fattat i n n e b ö r d e n i den algebraiska satsen
b - a + c - a = {b + e) • a, beroende p å att fortfarande en viss
svårighet har förefunnits att u t f ö r a den t a n k e g å n g , som de s m å ställas inför, n ä r de skola u p p t ä c k a , att mau kan r ä k n a med tiotal alldeles som med enkla enheter.
D å t a l o m r å d e t vidgats t i l l 100, få barnen arbeta igenom detta med tiotalet som enhet p å liknande sätt, som de arbetade igenom t i o t a l s o m r å d e t med entalet. (Ordet ental införes först i samband med införande av ordei tiotal.) Alltså, r ä k n i n g a r som 30 + 4 0 = 70, 90 — 60 = 30, i analogi med 3 + 4 = 7, 9 — 6 = 3. F ö r s t genom s å d a n a ö v n i n g a r v i n n a de en verk-ligt klar u p p f a t t n i n g av den nya enheten.
Under arbetet med t a l o m r å d e t t i l l 20 förberedes denna upp-fattning genom att talen i n o m andra t i o t a l s o m r å d e t sättas i relation t i l l talet 10, och genom att barnen p å ett å s k å d l i g t sätt få bilda och u p p l ö s a tiotalet, t, ex. genom hopbuntning av tio stickor och u p p l ö s n i n g av bunten.
Efter behandlingen av t a l o m r å d e t t i l l 20 synes det oss l ä m p -ligt, att t a l o m r å d e t genast vidgas t i l l 100, s å att tillräckligt stort t a l o m r å d e för ö v n i n g a r med den nya talsorten kan er-hållas. H a barnen r ä t t uppfattat r ä k n a n d e t med tiotalsenheten, bör ej sedan r ä k n a n d e t med hundratal och tusental bereda n å g o n s v å r i g h e t .
c) Kunskap om huru talen äro uppbyggda av talsorter och dessas förhållande till varandra samt säkerhet beträffande talens plats i den vanliga tal serien.
tio-tal och 7 entio-tal utan ock kunna angiva hela antio-talet hundratio-tal, alltså 43, och hela antalet tiotal, alltså 432. Den vanligaste formen, under vilken detta problem u p p t r ä d e r , h ä n f ö r sig na-turligtvis t i l l konkreta sorter, t. ex.: h u r m å n g a d m . äro 143 cm.?, hur m ä n g a tioöringar eller enkronor eller tiokronor kan m a n få av 5 367 ö r e ?
S v å r i g h e t e n för barnen att angiva hela antalet av en viss talsort i ett tal s a m m a n h ä n g e r v ä l i a l l m ä n h e t med bristande s ä k e r h e t i talsorternas samband med varandra. Särskilt v i k t i g ä r den noggranna analysen av tusentalet. A t t tusen består av 100 tiotal, skola barnen veta l i k a säkert, som de skola veta, att det b e s t å r av 10 h u n d r a t a l eller 1000 ental. Barnen lära sig snart, hur lätt det ä r att u r talbeteckningen svara p å hithö-rande frågor. Talet b e h ö v e r j u endast utläsas t i l l och med den siffra, som betecknar talsorten i fråga.
Den s j ä l v k l a r a fordran p å s ä k e r h e t beträffande de enskilda talens plats i talserien k a n synas o n ö d i g att f r a m h å l l a , men erfarenheten visar, att barnens f ä r d i g h e t d ä r i ofta l ä m n a r åt-skilligt övrigt att önska. I n o m t a l o m r å d e t 1—100 få v ä l bar-nen alltid ö v a sig r ä k n a upp alla talen i ordning, men inom de h ö g r e t a l o m r å d e n a k a n j u detta ej g å för sig. Ö v n i n g e n m å s t e naturligtvis bestå i spridda u p p r ä k n i n g a r i n o m talserien med koncentrering p å s v å r a r e ställen. Särskilt övergångarna
mellan talsorterna böra flitigt övas. N å g r a exempel: r ä k n a v i
-dare från 129, f r å n 996, från 3 597, från 9 989 etc; r ä k n a
baklänges från 162, från 9 004 etc; mellan v i l k a t a l ligger 148,
1 000, 10 000 etc. .Analoga u p p r ä k n i n g a r av serier med annan differens ä n 1 ä r o också nvttiga, t. ex. med 2 (97, 99, 101 etc), med 10, med 100 (9 700, 9 800 etc).
§ 12. T a l b e t e c k n i n g .
27
flitigt övas redan under första terminen. Dock b e h ö v e r man ej under hela denna t i d sakna all talbeteckning v i d r ä k n e u n -dervisningen, men m a n b ö r a n v ä n d a en åskådlig beteckning, som kan bliva en h j ä l p v i d taluppfattningen; naturligast synes vara att låta talbildcn med raka, l o d r ä t a streck vara den första talbeteckningen. T i l l en b ö r j a n fä barnen beteckna talen ä n d a upp t i l l 10 med s å d a n a streck. V i skulle emellertid v i l j a re-kommendera, att r ä t t snart den f ö r e n k l i n g e n g e n o m f ö r e s , att de romerska siffrorna i stället a n v ä n d a s . Detta i n n e b ä r j u knappt annat ä n att tecknet 1 1 1 1 1 utbytes mot V . Detta teckens form få barnen f ö r k l a r a d genom j ä m f ö r e l s e med handens fing-rar: den ena stapeln ä r en bild av t u m m e n , den andra av de övriga fyra fingrarna. V i d a n v ä n d n i n g av de romerska siff-rorna m ä i-k e s att fyra naturligtvis ej tecknas I V utan I 1 I I ,
nio ej I X utan V I I I I . Tecknet X få barnen lära sig uppfatta som sammansatt av t v å romerska femmor, den ena upp- och n e d v ä n d och ställd under don andra. Naturligtvis kunde också beteckningen V Y a n v ä n d a s , men dels kan det vara bra att låta tiotalet i beteckningen f r a m t r ä d a som en enhet, dels ä r det l ä m p l i g t att barnen få l ä r a sig den b r u k l i g a beteckningen. U t o m dessa tecken a n v ä n d e s det vanliga tecknet för noll, 0.
Med den goda talbeteckning, som de romerska siffrorna ut-g ö r a för de s m å talen, hastar det ej med att införa de ara-biska siffrorna, och m a n kan v ä n t a , tills barnen blivit fullt förtrogna med t a l o m r å d e t 1—10, och tills de f ö r v ä r v a t god färdighet i de arabiska siffrornas skrivande. Efter i n f ö r a n d e t av den vanliga sifferbeteckningen övas barnen att med denna beteckning å t e r g i v a de f ö r u t g e n o m g å n g n a satserna.
D å den vanliga talbetcckningen för s t ö r r e tal ä n tio skall inläras, kan l ä m p l i g e n följande t i l l v ä g a g å n g s s ä t t a n v ä n d a s . Bar-nen få ställa upp t. ex. 12 kuber genom att ställa u p p en pe-lare och t v å lösa kuber (pepe-laren t i l l v ä n s t e r o m kuberna). Se-dan avbildas detta p å tavlan:
och antalet av varje sort sättes inunder, och så är talet skri-vet. Sedan inses lätt, h u r tio skall skrivas. Metoden för större
28
tal blir densamma. T. ex. etthundratjugoett: en skiva, två pelare och en liten kub u p p s t ä l l a s och avbildas:
_ _ •
Och o m en skiva men ingen pelare och ingen kub ställes upp, kan det j u betecknas med 100.
Om (h <>lil;a räknesätten, deras innebörd och
hr t<
diIIinf). Ti rminologiska frågor,
§ 13. Antalet r ä k n e s ä t t , eller grundoperationer v i d r ä k n a n d e t , anses j u g ä r n a vara i v r a , addition, subtraktion, m u l t i p l i k a t i o n och division, liksom fyra operationsteckon bruka a n v ä n d a s , ett för varje r ä k n e s ä t t . Under samma namn och beteckning sam-manfattas emellertid i vissa fall mycket skilda t a n k e g å n g a r . V i d den g r u n d l ä g g a n d e undervisningen i folkskolan är det av stor v i k t , att t a n k e g å n g e n verkligen klart g e n o m g å s och icke suddas bort med a n v ä n d a n d e av ord, t ä c k a n d e v i t t skilda be-grepp. » B ä k n e s ä t t s r ä k n a n d e t * har b l i v i t i l l a beryktat just ge-nom den oklarhet, som lätt sm}'ger sig i n , n ä r barnen angiva addition, subtraktion, m u l t i p l i k a t i o n eller division som det r ä k n e -sätt, som skall a n v ä n d a s v i d en uppgifts lösning. Gissningar på mycket lösa grunder b l i g ä r n a följden, om v e r k l i g för-ståelse av r ä k n e s ä t t e t saknas och det endast kan gälla att v ä l j a mellan n å g r a få m ö j l i g h e t e r . Gissas det p å m u l t i p l i k a t i o n och det visar sig vara fel, sä försökes med division etc. D å man b e t ä n k e r , att framgången ar räkncundervimingen framförallt ärberoende av att barnen rätt kunna använda räknesätten, förstår
2!1
§ 14. Addition och subtraktion.
R ä k n e s ä t t e n addition och subtraktion bruka väl ej bereda n å g r a egentliga svårigheter. E n noggrann analys kan dock visa, att i n å g o n m å n skilda t a n k e g å n g a r ligga bakom vartdera av dessa r ä k n e s ä t t , vilket bör observeras v i d den g r u n d l ä g -gande r ä k n e u u d e r v i s n i n g e n , s å att barnen f r å n början få en klar uppfattning av r ä k n e o p e r a t i o n e r n a . Operationen ö k n i n g eller t i l l ä g g n i n g ä r ej alldeles densamma som operationen sam-m a n l ä g g n i n g , vilket ä n tydligare f r a sam-m g å r v i d j ä sam-m f ö r e l s e sam- mellan de motsvarande subtraktionerna. M o t ö k n i n g e n eller t i l l -l ä g g n i n g e n svarar minskningen e-l-ler f r å n d r a g n i n g e n , och mot s a m m a n l ä g g n i n g e n svarar itudelningen eller uppdelningen.
I n n e b ö r d e n av operationen ö k n i n g eller t i l l ä g g n i n g ä r för barnen mycket lättfattlig, likaledes minskningen eller f r å n d r a g -ningen. A t t en s a m m a n l ä g g n i n g kan verkställas genom ö k n i n g är j u också klart, likaledes att itudelning eller uppdelning kan ske genom f r å n d r a g n i n g . N å g o n annan u p p m ä r k s a m h e t be-höver knappast ä g n a s h ä r å t , ä n att uppgifterna ej blott skola handla om att l ä g g a t i l l utan ock om att l ä g g a samman, ej blott o m f r å n d r a g n i n g utan ock om b e s t ä m n i n g av en del, n ä r den andra ä r given.
Men viktigare ä r att observera, att den t a n k e g å n g , som lig-ger bakom b e r ä k n i n g av skillnaden mellan t v å tal, b e h ö v e r klarläggas. F ö r barnen ä r det ej självklart, att detta ä r en f r å u d r a g n i n g s u p p g i f t . N ä r K n u t har 12 öre och Arne 9 öre och det gäller att finna ut, hur mycket A r n e har mindre än K n u t , k a n en uppmaning t i l l f r å n d r a g n i n g förefalla som en m e n i n g s l ö s h e t , d å m a n ej kan draga Arnes pengar från Knuts. T a n k e g å n g e n kan naturligtvis utan större s v å r i g h e t klaras upp med h j ä l p av å s k å d n i n g s m e d e l , men f ö r k l a r i n g e n b ö r g ö r a s med omsorg, så att verkligen alla barnen fatta begreppet skill-nad och första, att skillskill-naden kan b e s t ä m m a s genom fråndrag-ning. S å k r ä v e s också ö v n i n g p å ett tillräckligt antal exempel. L ä r o b ö c k e r n a i n n e h å l l a ofta ett för ringa antal exempel p å s k i l l n a d s b e r ä k n i n g . Det bör naturligtvis ej alltid vara skill-naden, som b e r ä k n a s , utan skillnaden och det ena talet k u n n a vara g i v n a och det andra talet sökas.
§ 15. Multiplikation.
3(1
beteckningen och dels p å existensen av en från additionstekni-ken skild multiplikationsteknik. S a m m a n l ä g g n i n g av ett stort antal l i k a termer, som ofta förekommer i praktiken, kan n ä m -ligen ske p å ett väsentligt enklare sätt, än det, som brukar an-v ä n d a s an-v i d addition, och den an-vanliga additionsbeteckningen skulle för detta fall bliva synnerligen o b e k v ä m att a n v ä n d a . Men en begreppsolikhet kan ock s ä g a s förefinnas. V i d ad-ditionen 2 - f 2 T "2 ä g n a v i icke n å g o n u p p m ä r k s a m h e t å t h u r m å n g a delarna ä r o eller deras i n b ö r d e s storlek, medan v i d m u l -tiplikationen 3 • 2 tanken just ä r inställd d ä r p å , i det v i be-handla dessa lika stora delar som enheter. 3 - 2 = ? betyder en fråga, hur mycket (uttryckt i grundenheten) 3 stycken av talet t v å blir. M u l t i p l i k a t i o n är alltså ett r ä k n e s ä t t , i vilket v ä r d e t1 av ett givet antal av n å g o n viss talsort b e r ä k n a s . Man
bör se t i l l , att barnen uppfatta den vanliga multiplikations-beteckningen s å , att det första talet angiver, hur m å n g a som skola tagas av den talsort ( » s a m m a n s a t t a » talenhet), som det senare talet betecknar. 6 • 5 betyder 6 stycken av talet fem (femtal) och 7 • 12 betyder 7 stycken av talet tolv (dussin).
Ordet stycken a n v ä n d e s l ä m p l i g e n allt e m e l l a n å t t i l l o m v ä x -l i n g med ordet g å n g e r , i a-l-l synnerhet n ä r ta-lsorten har sär-skilt n a m n (par, dussin, tjog).
Med denna u p p f a t t n i n g av multiplikationen bereder det ej n å g r a s v å r i g h e t e r att inse i n n e b ö r d e n i m u l t i p l i k a t i o n med bråk-m u l t i p l i k a t o r — en u t v i d g n i n g av bråk-multiplikationsbegreppet, sobråk-m lätt kan v å l l a b r y d e r i såväl för l ä r a r e n som barnen, och som mycket diskuterats i r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n s metodik. Det ä r dock ganska tydligt, att likaväl som 2 dussin kan betecknas 2 - 1 2 , så b ö r 2 | dussin k u n n a betecknas 2;|--12 och f dus-sin f • 12. Den första faktorn i alla dessa fall angiver antalet dussin och enligt den givna f ö r k l a r i n g e n av m u l t i p l i k a -tionsbeteckningen kan ej n å g o n tvekan r å d a om att den b ö r a n v ä n d a s i dessa fall. P å f r å g a n , hur m å n g a dussin, eller v i l -ket antal dussin, kan svaras 2 f lika naturligt som 2, och ä v e n svaret f ä r ej besynnerligt, fast v i i det fallet nog hellre v i l j a svara med ett »bara 3 fjärdedels d u s s i n » .
I fråga om b e n ä m n i n g och beteckning ä r det mycket
vik-tigt, att en b e s t ä m d ö v e r e n s k o m m e l s e följes med h ä n s y n t i l l första och andra faktorns betydelse.
Det mest praktiska och hos oss brukliga ä r att l å t a första faktorn vara m u l t i p l i k a t o r och andra m u l t i p l i k a n d . 2 • 12 betyder alltså 2 stycken av talet tolv (2 dussin), medan 12 • 2
be-1 Anm. V i d räkning med hela tal uttryckes värdet i grundenheten, vid
31
tyder 12 stycken av talet t v å (12 par). L ä r a r e n b ö r synnerligen noggrant se t i l l , att barnen alltid iakttaga denna regel. V i d frå-gan: h u r mycket kostar 175 stycken efter ett pris av 2 k r . pr styck? b ö r aldrig svaret 2 g å n g e r 175 k r . eller beteckningen 2 - 1 7 5 kr. g o d k ä n n a s . Det m å s t e svaras 175 g å n g e r 2 kr. och tecknas 175-2 k r . H u r svaret sedan skall u t r ä k n a s blir en sak för sig. Sedan barnen förstått att 1 7 5 - 2 leder t i l l samma resultat som 2-175, kan m a n tillåta dem att an-v ä n d a den u t r ä k n i n g s m e t o d , som faller sig b e k an-v ä m a s t . Men denna omkastning b ö r ej g ö r a s utan giltiga skäl, och barnen skola alltid veta, att de ror u n d e r l ä t t a n d e av u t r ä k n i n g e n hava gjort omkastningen. Men den beteckning, barnen först giva av uppgiften, m å s t e vara korrekt. I det n ä m n d a ex-emplet skola de alltså först teckna uppgiften som 175-2 kr., ä v e n om de v i d u t r ä k n i n g e n omkasta och r ä k n a 175
•2 350
Bakom detta krav ligger en e l e m e n t ä r fordran p å tankereda, och f ö r s u m m a r l ä r a r e n att u p p r ä t t h å l l a det kravet, g ö r han barnen en verklig otjänst, i det han tillåter dem att i en s å central p u n k t som ett r ä k n e s ä t t s i n n e b ö r d operera med oklara begrepp.
T v å multiplikationstecken ä r o brukliga, • och X . Barnen b ö r a k ä n n a t i l l båda, men det synes oss, som o m det vore mest praktiskt att v ä n j a barnen att a n v ä n d a p u n k t e n (•), d å j u teck-net x ej b ö r a n v ä n d a s v i d l ö s n i n g e n av ekvationer, e n ä r det förväxlas med x-tecknet.
§ 16. Division.
lika dela ett GO d m . l å n g t s n ö r e , hur stor bit kunde vardera få?» 2) » N å g r a pojkar delade lika mellan sig ett (50 dm. l å n g t snöre, så att var och en fick 10 d m . ; t i l l hur m å n g a pojkar räckte snöret?» B å d a exemplen skola lösas genom division av 60 med 10, men det är uppenbart, att tanken får g å ganska olika v ä g a r i de b å d a fallen. I ena fallet t ä n k a v i s n ö r e t delat upp i tio l i k a stora delar och söka b e s t ä m m a , hur m å n g a decimeter en s å d a n del ä r ; i andra fallet ha v i t ä n k t över, hur m å n g a g å n g e r en bit av 10 decimeters l ä n g d kan tagas ur snöret. Det ä r alldeles tydligt, att ett barn, som v i d den sista uppgiften svarar, att man skall dela med 10 och t ä n k e r p å en uppdelning i 10 delar, ingenting begriper av problemets lösning, ty att tiondelens l ä n g d kan tala om, hur m å n g a poj-karna äro, har barnet säkerligen i alla h ä n d e l s e r ingen tanke p å .
Olikheten mellan de b å d a delningarna f r a m t r ä d e r ock, om det gäller att i verkligheten u t f ö r a dem. Om man anmodas att dela upp en hop kulor i å t t a l i k a h ö g a r , så förfar man ej p å samma sätt, som om man anmodas att dela upp hopen i h ö g a r om å t t a kulor i varje. Det kan j u h ä n d a , att n å g o n v i d den förra uppgiften varje g å n g ur den stora h ö g e n tar ut å t t a kulor (såsom säkerligen sker v i d den senare uppgiften) och fördelar dem med en kula i varje h ö g , men sannolikare är, att han tar ut (en eller) n å g r a stycken kulor och lägger dem i en h ö g , därefter återigen l i k a m å n g a , som l ä g g a s i en annan h ö g , etc, tills han har å t t a l i k a stora h ö g a r , varefter förfarings-sättet upprepas, tills alla kulorna ä r o fördelade i å t t a l i k a h ö g a r .
B å d a divisionerna kunna j u uppfattas som ö m v ä n d n i n g e n av multiplikation, men skillnaden mellan dem kan, med a n v ä n dande av den vanliga latinska terminologien i fråga om m u l t i -plikation, b e g r e p p s m ä s s i g t lätt uttryckas p å följande sätt. V i d innehållsdivision efterfrågas multijjlikatorn (medan produkten och raultiplikanden äro k ä n d a ) , v i d delningsdivision
efter-frågas midtipl i handen (medan produkten och m u l t i p l i k a t o r n äro k ä n d a ) .
minder-33
värdiga knep och gissningar för att klara sig. Och .sä har undervisningen misslyckats i sin mest centrala uppgift,
näm-ligen att bibringa förståelse av de grundläggande räkneopera-tioner, som b e h ö v a s för r ä k n e u p p g i f t e r n a s lösning.
F ö r att klarhet skall vinnas, m å s t e å s k å d n i n g s m e d l e n flitigt a n v ä n d a s ej blott v i d första i n l ä r a n d e t , utan v i d varje tillfälle, d å l ä r a r e n hos barnen m ä r k e r n å g o n oklarhet beträffande r ä k n e o p e r a t i o n e r n a s i n n e b ö r d .
Mycken omsorg m å s t e ock ä g n a s åt de uttryckssätt, som
an-rändas. Det bör av dem t y d l i g t f r a m g å , vilken av divisionerna
det är fråga om. A l l t efter o m s t ä n d i g h e t e r n a kunna olika uttryck vara l ä m p l i g a , t. ex. v i d en delningsdivision med talet 3: »dela lika mellan 3 barn och taga reda på, hur mycket varje barn får», eller »dela i 3 l i k a stora delar och taga reda på, h u r stor varje del blir»». E t t kort och u t m ä r k t uttryck ä r
tredjedelen av (dä d ä r i g e n o m u t s ä g e s , att det hela skall delas i
3 l i k a delar, och att storleken av en s å d a n del skall b e s t ä m m a s ) . Uttrycket »dela med 3» är ej tillräckligt t y d l i g t och h ä n v i s a r ej direkt på d e l b e r ä k n i n g e n . Detta uttryck skulle kunna a n v ä n d a s som en ö v e r s ä t t n i n g av dividera med och alltså kunna an-v ä n d a s som gemensam b e n ä m n i n g för b å d a dian-visionerna.
L ä m p l i g a uttryck v i d en innehållsdivision ä r o t. ex. »3 inne-hålles i 12 4 g å n g e r » , eller »»12 i n n e h å l l e r 3 4 g å n g e r » , eller
»3 i 12 g å r 4 g å n g e r » . Naturligtvis kunna allt efter upp-giftens beskaffenhet flera andra uttryck a n v ä n d a s , och nian bör ej s t r ä v a efter stereotypi. Huvudsaken blir alt uttrycket är tydligt. Även genom beteckningen böra de b å d a r ä k n e s ä t t e n skiljas åt. Det vanliga divisionstecknet a n v ä n d e s t i l l en början endast för innehållsdivision, medan för delningsdivision bråkbeteck-ningen torde vara l ä m p l i g a s t . 60 d m . i n n e h å l l e r 6 d m . 10 g å n g e r tecknas alltså 60 d m . : 6 d m . = 10 g å n g e r , eventuellt utan u t s ä t t a n d e av ordet g å n g e r , och sjättedelen av 60 d m . ä r 10 d m . tecknas av 60 dm. = 10 dm. L ä n g r e fram, kanske l ä m p l i g e n under fjärde skolåret (senast), få barnen l ä r a att an-v ä n d a tecknet : ä an-v e n för delningsdian-vision. Men en olikhet k v a r s t å r dock i beteckningen. Beteckningen för delningsdivision blir 60 d m . : 6 = 10 d m . och för i n n e h å l l s d i v i s i o n 60 d m . : 6 d m . = 10. L ä r a r e n bör noggrant tillse, att barnen korrekt ut-sätta sorterna.
Som motivering för i n f ö r a n d e t av samma operationstecken kan a n v ä n d a s den u p p t ä c k t , barnen lätt nog göra, n ä m l i g e n att vid r ä k n i n g med o b e n ä m n d a tal resultatet av b e r ä k n i n g e n blir detsamma, vare sig beteckningen uppfattas såsom h ä n f ö r a n d e sig t i l l en d e l b e r ä k n i n g eller i n n e h å l l s b e r ä k n i n g .
34
6 i 60 blir 10 liksom \ av 60. B å d a tecknas därför p å samma s ä t t 60 : 6.
V i ha h ä r uteslutande u p p e h å l l i t oss v i d division med helt tal. Utredningen av i n n e b ö r d e n av division i b r å k ä r ett n å g o t komplicerat kapitel, men om barnen ordentligt uppfattat och b l i v i t f ö r t r o g n a med m u l t i p l i k a t i o n med b r å k m u l t i p l i k a t o r , ä r den s v å r a s t e stötestenen u n d a n r ö j d . V i uppskjuta behandlingen av denna sak t i l l f r a m s t ä l l n i n g e n av b r å k l ä r a n . (Se sid. 81 ff.)
§ 17. N å g r a terminologiska frågor.
E n god terminologi ä r naturligtvis en v i k t i g sak, och l ä r a r e n kan, särskilt d å det gäller att bibringa barnen förståelse av r ä k n e o p e r a t i o n e r n a s i n n e b ö r d , få god h j ä l p av terminologien. T stället för de m å n g a latinska namnen p å i de olika r ä k n e -s ä t t e n i n g å e n d e -storheterna (addcnd, minuend, etc.) kan an-v ä n d a s tre san-venska o r d : det hela, delarnas antal och delarnas storlek (enl. förslag av K . P. Nordlund). M a n inser genast, hur uppklarande denna terminologi b l i r i fråga om sambandet mellan r ä k n e s ä t t e n . I addition ä r o delarnas storlek k ä n d , och det hela sökes, i subtraktion ä r o det hela och den ena av t v å delar k ä n d a , och den andra delens storlek sökes, i
multiplika-tion
ä r o delarnas antal och storlek k ä n d a , och det hela sökes, i delningsdivision äro det hela och delarnas antal k ä n d a , och delarnas storlek sökes, i i n n e h å l l s d i v i s i o n äro det hela och de-larnas storlek k ä n d a , och dede-larnas antal sökes. Man ser, huru-som genast olikheten mellan de b å d a divisionerna uppdagas, medan v i d terminologien dividend, divisor, k v o t ingenting m ä r k e s av denna olikhet. Dessa svenska namn h ä n f ö r a sig n ä r m a s t t i l l h e l t a l s l ä r a n och kunna t y v ä r r ej utan vidare ut-s t r ä c k a ut-s t i l l r ä k n e o p e r a t i o n e r n a med b r å k t a l . A t t i | • 12 = 9 kalla 9 det hela och 12 delarnas storlek g å r j u inte an. D å ej svenska n a m n , passande för b å d e h e l t a l s l ä r a n och b r å k l ä r a n kunna erhållas, blir det väl bäst att införa n å g r a latinska termer. E n del av dessa ha dessutom s å i n g å t t i det a l l m ä n n a språk-bruket, att barnen ej b ö r a l ä m n a s i okunnighet om deras be-tydelse. T i l l dessa h ö r a summa, rest, faktor, p r o d u k t1. Meddessa skulle man också kunna reda sig. Sedan barnen t i l l en b ö r j a n a n v ä n t den n ä m n d a svenska terminologien få de (i tredje eller senast i fjärde å r s k u r s e n ) l ä r a sig, att v i d addi-tion det hela kallas summa, att v i d subtrakaddi-tion den sökta delen
1 A n m . Även med de övriga latinska termerna böra barnen stifta någon
