Undervisningen av tal i bråkform

56  Download (0)

Full text

(1)

Undervisningen av tal i bråkform

Undersökning om lärares undervisningsmodeller för ett holistiskt lärande

Camilla Eriksson 2021

Examensarbete, Avancerad nivå, 30hp Matematik

Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4-6 Handledare: Yukiko Asami Johansson

Examinator: Iiris Attorps

(2)
(3)

Sammanfattning:

Syftet med denna studie är att hitta olika undervisningsmetoder som fungerar väl med tal i bråkform. Studien riktar sig mot elever och undervisande lärare i mellanstadiet. I denna skrift synliggörs några svårigheter med undervisningen av bråktal samt hur dessa svårigheter kan övervinnas. Syftet är även att finna olika artefakter och laborativa läromedel som är anpassade eller fungerar väl in i undervisningen av tal i bråkform. Interjuver med lärare, litteratur och enkätfrågor till elever i mellanstadiet ger svar på frågeställningen. En varierad undervisning med olika artefakter i en kombination med elevernas samspel mellan varandra ger en god undervisningsmetod av tal i bråkform.

Nyckelord: Artefakt, bråk, matematik, undervisning, undervisningsmetod.

(4)
(5)

Innehåll

1 INLEDNING ... 1

1.1 Bakgrund ... 2

1.2 Litteraturgenomgång och forskning ... 3

1.2.1 Litteraturgenomgång ... 3

1.2.2 Holistiskt synsätt... 3

1.2.3 Den tvådimensionella strukturen ... 3

1.2.4 Bråkens olika delar ... 5

1.2.5 Utbytbara bråk ... 7

1.2.6 Struktur av tal i bråkform ... 10

1.2.7 Expertlärare ... 12

1.2.8 Diagnostiska material ... 14

1.2.9 Artefakter och laborativa läromedel ... 14

1.3 Teoretiska perspektiv ... 17

1.3.1 Den proximala utvecklingszonen... 17

1.3.2 Sociokulturellt perspektiv ... 18

1.3.3 Pragmatism ... 19

1.4 Syfte och frågeställningar ... 20

2 METOD ... 21

2.1 Urval ... 21

2.1.1 Deltagande lärare ... 21

2.1.2 Presentation av deltagande elever... 22

2.2 Datainsamlingsmetoder ... 22

2.2.1 Intervju av lärare ... 22

2.2.2 Enkäter till elever... 23

2.3 Procedur ... 24

2.4 Databearbetning/Analysmetoder ... 25

3 RESULTAT ... 26

3.1 Svårigheter i undervisningen av tal i bråkform ... 26

3.1.1 Utbytbara bråk ... 26

3.1.2 Operationer med bråk ... 27

3.1.3 Bråkets många delar ... 28

3.2 Undervisningsmetoder ... 28

3.3 Artefakter och laborativa läromedel ... 29

3.3.1 Sammanfattning av intervjuresultat ... 30

(6)

3.4 Enkätresultat ... 31

3.4.1 Enkätresultat av svårigheter ... 31

3.4.2 Enkätresultat av bråkets förståelse ... 32

3.4.3 Lätt eller svårt för bråktal ... 33

3.4.4 Frisvarsfråga Fråga 4 är en frisvarsfråga där eleverna får svara på vad de tycker är lätt eller svårt med tal i bråkform. ... 33

3.4.5 Självuppskattning ... 33

3.4.7 Hantera storleksordning av tal i decimalform ... 35

4 DISKUSSION ... 36

4.1 Sammanfattning ... 36

4.2 Tillförlitlighet ... 36

4.3 Teoretisk tolkning ... 37

4.3.1 Svårigheter i undervisningen av tal i bråkform ... 37

4.3.2 Lärares undervisningsmetoder ... 38

4.3.3 Artefakter ... 39

4.3.4 Vikten av kollegialt arbete ... 39

4.3.5 Sociokulturella perspektivet i praktiken ... 40

4.3.6 Pragmatism i praktiken ... 41

4.4 Förslag till fortsatt forskning ... 41

REFERENSER ... 42

5 BILAGOR ... 45

5.1 Bilaga 1: Informationsbrev till lärare ... 45

5.2 Bilaga 2: Samtyckesblankett till lärare ... 46

5.3 Bilaga 3: Informationsbrev till vårdnadshavare och elever ... 47

5.4 Bilaga 4: Samtyckesblankett till vårdnadshavare och elever ... 48

5.5 Bilaga 5: Enkät ... 49

(7)

1 INLEDNING

Tal i bråkform är svåröverskådligt både för lärare att lära ut och för elever att ta till sig (Clarke m. fl. 2010, s 1f, 9; Löwing 2016, s 23). När jag genomförde min första

verksamhetsförlagda utbildning (VFU), fick jag höra lärare tala om hur de tyckte att tal i bråkform är det svåraste momentet att lära eleverna. Anledningen till att det är så svårt kan vara att detta rationella tal är komplext och används på flera olika sätt inom matematiken.

Flera lärare som jag har talat med har beskrivit en frustration över undervisningen av tal i bråkform då de har fått uppfattningen om att eleverna begriper och behärskar uträkningarna.

Däremot när de återkommer till arbetsområdet visar det sig att eleverna inte alls har förstått och inte kan räkna ut vilket bråktal som är störst. Eleverna behärskar inte hur man adderar ihop två tal eller hur man räknar ut differensen av densamma.

En lärare tipsade mig om en nyskriven artikel som handlar om komplexiteten med tal i bråkform och vilka konsekvenser detta får för eleverna i deras inlärning (Nagy 2018b). I artikelns början beskriver författaren att när hon öppnade en lärobok i matematik från årskurs 4 och en lärobok för gymnasieelever såg hon i inledningen av kapitlet, i respektive kursbok, att bråktal startar på samma nivå i det båda böckerna. Nagy (2018b) menar att det är både stor åldersskillnad och mognadsnivå mellan en elev i årskurs 4 och en elev i gymnasiet. Innehållet bör vara svårare och mer utmanande för en gymnasieelev, menar Nagy (2018b).

Då jag själv inte lärde mig att behärska tal i bråkform i mellanstadiet väckte denna artikel och VFU-lärarnas berättelser min nyfikenhet. Ända sedan denna dag har jag följt olika insändare, läst flera olika kursböcker och artiklar om undervisningen av bråktal i grundskolan. Det finns ett flertal artiklar som pekar på lärarens osäkerhet i undervisningen när det gäller tal i

bråkform. Det finns läromedel som har negligerat bråktalens betydelse och lägger i stället stort fokus på tal i decimalform (Kilborn 2014, s 1ff; Löwing 2016, s 23). När undervisningen följer denna struktur, saknas en viktig del i undervisningen som ger eleverna förståelsen av talen i decimalform. För att kunna räkna tal i decimalform behöver eleverna ha goda kunskaper om tal i bråkform först (Kilborn 2013, s 2). Det finns flera tillfällen då jag hade önskat att mina kunskaper om bråkräkning varit djupare och bredare. Jag upplever mig sakna vissa kunskaper när jag ska göra operationer med bråk. Det kan handla om när jag ska räkna ut hur jag kan blanda ut två koncentrerade safter med olika koncentrat i en och samma kanna, som dessutom ska spädas med olika andel vatten.

Syftet med denna studie är att konkretisera vad lärare och elever tycker är svårt med tal i bråkform samt hur de gör för att komma över denna svårighet. Då mycket kurslitteratur, avhandlingar och artiklar beskriver att resurserna som läraren använder är mycket viktiga kommer jag även att undersöka vilka artefakter lärarna använder i deras undervisning. Därtill är det även bra att veta i vilken utsträckning dessa artefakter används. Forskning visar att lärare som tycker att ett arbetsområde är komplicerat tycker också att det är besvärligt att lära ut detta (Lundgren m. fl. 2017, s 366f; Löwing 2016, s 23). Därför är det viktigt att

konkretisera vad som är svårt inom området bråktal. De lärare som har svårigheter med progressionen i området kommer att kunna se vad andra verksamma lärare har för strategier och metoder för att komma runt svårigheterna och använda detta.

I denna studie kommer jag även att göra en litteraturundersökning för att finna samband mellan forskning och lärares undervisningsmodeller. Min förhoppning är att studien även ska visa vilken metod som rekommenderas av lärare och forskning.

(8)

Skolverket (2020b) skriver om holistisk bedömning i läroplanen och med detta menas den djupgående och långvariga kunskapen som eleverna tillgodoser sig. Det är denna kunskap som många lärare strävar efter att ge sina elever (Lundgren et al 2017, s 268). Lärare behöver göra både analytiska och holistiska bedömningar av elevernas arbete av tal i bråkform

(Skolverket 2020b). Tal i bråkform är en viktig del av kunskapen i matematikundervisningen i skolan överlag, inte minst i elevernas fortsatta studier, men även i nuet (Clarke m. fl. 2010, s 1f). Det är viktigt att eleverna utvecklar en förståelse av rationella tal och att matematiken är ett språk som behöver övas in precis som de övar in andra språk. Elever kan känna att det är svårt att förstå hur det rationella talen hänger ihop och låser sig i frågan varför det är på det ena eller det andra sättet. När eleverna kan jämföra inlärningen av rationella tal med

inlärningen av ett nytt språk där ordens namn har mindre betydelse, låser de sig inte. Det behöver inte finnas en förklaring till varför till exempel stol heter stol. Bråkräkning är en svårighet för eleverna att behärska och en utmaning för lärarna att undervisa. I denna studie visas en del av undervisningsmetoderna som används i undervisningen av tal i bråkform.

1.1 Bakgrund

I läroplanen för matematik mot årskurs 4–6 beskriver Skolverket (2019a) att eleverna ska utveckla deras kunskaper och förståelse för rationella tal samt talens egenskaper. Talen i bråkform behöver kopplas till elevernas vardagliga situationer (Skolverket 2019a). Viderare beskriver Skolverket (2019a) att matematiken är kreativ, reflekterande och problemlösande i sin art. Matematiken har en flertusenårig historia med många utvecklingsområden som gör matematiken spännande samtidigt som den är svåröverskådlig. Matematiken är komplicerad eftersom eleverna behöver lära sig förstå och tala det matematiska språket.

Pisa (Programme for International Student Assessment) är en studie som undersöker svenska elevers kunskaper i matematik, naturvetenskap och läsförståelse (Skolverket 2019c). Denna kunskap jämförs med andra OECD-länders kunskaper hos eleverna. Svenska elever presterade över genomsnittet i matematik från år 2000 till år 2006, för att sedan sjunka till genomsnittlig nivå och under genomsnittlig nivå. År 2012 vände den nedåtgående trenden och Sveriges 15- åriga elever presterade på samma nivå som de gjorde år 2006, alltså över medel (Sollerman &

Winnberg 2018, s 8f). Undervisning om bråkräkningen i skolan har förändrats över tid och i vårt nuvarande styrdokument, Lgr 11, fanns förändringar så som att undervisningen av tal i bråkform ska introduceras redan i lågstadiet (Kilborn 2014, s 2f). Undervisning med yngre elever kräver att läraren konkretiserar arbetet på ett annat sätt än med de äldre eleverna (Kilborn 2014, s 2f; Löwing 2004, s 75ff).

Studier visar att lärare behöver besitta ämneskunskaper och didaktiska kunskaper för att kunna skapa möjligheter till elevernas lärande på bästa sätt (Nagy 2018a, s 19f). I dessa ingår även vetskapen om elevernas förkunskaper i ämnet. Detta är viktiga kunskaper för att kunna planera och stödja sina elever i den fortsatta utvecklingen. Det är viktigt att skapa förståelse och mening i lärandet, vilket inte alla lärare strävar efter i sitt arbete. Lärare behöver revidera sitt sätt att lära eftersom det inte räcker med en kompetensutveckling i metoder och

undervisningsstrategier (Lundgren m. fl. 2017, s 258–262).

(9)

1.2 Litteraturgenomgång och forskning

I detta kapitel presenteras studentlitteratur, vetenskapliga artiklar, licentiatavhandlingar samt doktorsavhandlingar.

1.2.1 Litteraturgenomgång

I detta kapitel kommer jag att beskriva olika definitioner av bråktal från litteraturen, samt missförstånd och olika metoder kopplade till undervisningen av området. Studier pågår fortfarande i området av tal i bråkform.

Jag analyserar främst texter framtagna för verksamma lärare. Läroplanens (Lgr 11),

ämnesinnehåll och syfte kan styra undervisningen i egenskap att nå Skolverkets kunskapskrav (Skolverket 2020a). Litteratur berättar mycket om strategier som lärare kan använda i

undervisningen samt ger en förståelse för problematiken som lärare kan ställas inför i sin undervisning (McIntosh 2020, s 30–39). Vetenskapliga rapporter, licentiatavhandlingar och doktorsavhandlingarna som representeras i denna studie ställs mot varandra och jämförs (Johnsson & Svedner 2010, s 57f). Det är viktigt att förstå skillnaderna i litteraturen samt varför denna skillnad finns eftersom reliabiliteten är en viktig del i studien.

1.2.2 Holistiskt synsätt

Den holistiska inlärningen sker från ett elevsynsperspektiv (Nya skolan 2021). Det innebär att läraren ser varje individ utifrån en mängd olika perspektiv så som social kompetens,

mognadsgrad och förutsättningar. I det holistiska lärandet ingår även att se elevernas hemförhållanden så som hjälp med läxläsning och goda skolrelationer, men även kamratrelationer.

Genom detta arbetssätt får läraren en helhetssyn över elevernas lärande. Man kan säga att läraren studerar helheten och alltså inte bara detaljerna. Det kräver en viss planering från lärarens sida, eftersom den behöver göras utifrån varje elevs förutsättningar och förkunskaper.

Däremot kan denna strategi ge en djupgående kunskap som lagras i elevernas långtidsminne.

Detta innebär att eleverna kan plocka fram denna kunskap när de behöver den i resten av deras liv. Det gäller att läraren kan möta sina elever och skapa förutsättningar för lärandet.

Det holistiska lärandet kan ses från en mer elevproblematisk sida (Guvå 2014, s 8). Elevens svårigheter analyseras utifrån en helhetssyn, där ses elevens problematik i skolan i sitt sammanhang däribland skolan som arbetsmiljö, relationen till olika lärare samt lärares kompetens. Inlärningen av tal i bråkform sägs vara holistisk när eleverna får hela talet i dess tvådimensionella uppbyggnad (Zhang m. fl. 2016, s 4). Dessvärre visar studien (Zhang m. fl.

2016) att när eleverna ska lära sig komponenterna så som nämnare eller täljare, tillgodoser de sig inte kunskapen holistiskt. Bråktalen behöver visas i hela sin struktur med både täljare och nämnare för att kunskapen ska kunna bli holistisk. När elever storleksjämför två tal i

bråkform visar studien (Zhang m. fl. 2016) att detta sker holistiskt, dessvärre sker detta inte när eleverna försöker likställa talen. Eleverna har i uppgift att koppla ihop det tal i bråkform som har samma värde, det vill säga peka ut det ekvivalenta bråken (Zhang m. fl. 2016, s 25).

1.2.3 Den tvådimensionella strukturen

Bråktalen har en uppbyggnad som ger två dimensioner med täljaren och nämnaren.

Notationen för ett bråk är att täljaren skrivs ovanför nämnaren och de skiljs av med ett bråkstreck. I denna studie när begreppet tvådimensionellt nämns, så syftar jag på denna notation. När endimensionella tal benämns menas de tal som skrivs i en följd på en vågrät

(10)

linje. Vanligen har det tvådimensionella en höjd och en bredd, vilket i detta fall stämmer väl in. Talen i bråkform har en bredd som visas om nämnaren eller täljaren är exempelvis i tiotal eller hundratal. Om nämnaren endast består av ental tar den en plats i bredd. Höjden är täljaren och nämnaren tillsammans med bråkstrecket. Ett endimensionellt tal betecknas som till exempel 0,33 eller 33. Exempel på ett tvådimensionellt tal betecknas 1

3. Den

tvådimensionella strukturen är svårare att avläsa för eleverna än tal i decimalform (DeWolf m.

fl. 2014, s 129), eftersom den endimensionella strukturen visar eleverna direkt om talet är större eller mindre än 1. Samtidigt som talen i bråkform har ett tvådimensionellt utseende består det av ett naturligt tal som är ett heltal och en helhet (Billstein 2013). Rationella tal som är endimensionella, förslagsvis decimaltal förutsäges vara effektivare att undervisa och läras in än tal i bråkform i dess tvådimensionella struktur (De Wolf m. fl. 2014, s 130f). Däremot möjliggör bråktalen en mer exakthet i sin struktur så som 1

3 ger (0,333…).

” Whereas natural numbers fundamentally express a unidimensional magnitude, fractions are two-dimensional. Not only is their

bipartite format unfamiliar, but their conceptual structure is inherently more complex than that of natural numbers, placing greater

demands on working memory” (De Wolf m. fl. 2014, s 143).

I citatet ovan talar De Wolf med flera (2014) om den konceptuella strukturen och med detta menar de hur välavgränsad strukturen av tal i bråkform är. Uppbyggnaden av bråktalen ger en helt ny struktur i hur tal kan se ut för eleverna. Tillsammans med den tvådimensionella

uppbyggnaden försvåras inlärningen hos eleverna eftersom de inte har sett denna typ av struktur tidigare (De Wolf m. fl. 2014, s 143). Som beskrivs tidigare, uttrycker flertalet artiklar att tal i bråkform är komplicerade. Eftersom de har en annorlunda uppbyggnad och kan ses som tvådimensionella där a i täljaren finns ovanför b i nämnaren (a/b), åtskilda av ett bråkstreck (Billstein 2013, s 286; DeWolf m. fl. 2014, s 129). Analyser har visat att eleverna inte ser det tvådimensionella på ett abstrakt sätt och därför blir förståelsen för tal i bråkform komplext (DeWolf m. fl. 2014, 129). Med detta menar författarna att eleverna behöver börja med det konkreta som exempelvis genom att räkna delen kulor av det hela antalet kulor.

Elevernas taluppfattning av bråktal

Den grundläggande förståelsen för tal i bråkform saknas hos många elever och resultaten i matematik sjunker (Löwing 2016, s 194ff). Det kan röra sig om så många som 50 % av

eleverna som saknar den grundläggande taluppfattningen i slutet av årskurs 3 (Löwing 2016, s 197). Kunskapskraven för årskurs sex är att eleverna ska kunna behärska rationella tal och känna till deras egenskaper (Skolverket 2020b). I detta kunskapskrav behöver eleverna ha kännedom om hur man förlänger och förkortar tal i bråkform vid addition eller subtraktion.

Denna kunskap saknar många elever i årskurs sex (Löwing 2016, s 194ff). Nagy (2017) upptäckte i sin studie att elever även hade svårigheter att anpassa delarna av den hela, där det är viktigt att delarna är lika stora. Eleverna visade att de inte behärskade storleksbedömningen till det format som passar delen (1

3) när eleverna ritat in en tredjedel i en rektangel, där

tredjedelarna var olika stora (Nagy 2017, s 45). Det är viktigt att eleverna får denna kunskap i introduktionen av tal i bråkform (McIntosh 2020, s 29). I ett tidigare test där eleverna får praktisera bråkräkning genom att synliggöra vad som är en del av en helhet, får eleverna dela

(11)

snören (Nagy 2017, s 43). Även i detta test visar eleverna en bristfällig förståelse för relationen av den hela biten snöre till delen som de klippt av. Eleverna delar snören lite på måfå och upptäcker att deras snören inte blivit lika långa. För att kompensera detta klipper de av en del av ena snöret, men missar då att de har storleksändrat helheten, alltså ändrat

ursprungsstorleken på snöret.

1.2.4 Bråkens olika delar

Tal i bråkform används i sannolikhetslära, där eleverna exempelvis räknar ut sannolikheten att få en vit kula när man slumpvis tar en kula av det hela antalet, se Figur 1 (DeWolf m. fl. 2014, s 130). I detta område behöver eleverna ha kännedom om och ha förståelse för uppbyggnaden av tal i bråkform. Uttrycksformen i sannolikhetslära har inte ett behov av att frångå den tvådimensionella strukturen som talen i bråkform ger. Bråktalet passar till den givna

uppsättningen av 3 vita kulor av helheten av 8 kulor som Figur 1 visar. Det finns inget behov av att utföra det ytterligare steget att omvandla talet i bråkform till ett decimaltal. Det extra delningssteget skulle endast skapa svårigheter för eleverna att utvärdera decimaltalet. Talet 3/8 ger en precis beskrivning så som i detta fall 3 vita av 8 kulor. Från ett decimaltal kan man inte direkt läsa av en sådan precisering i många fall. Ett annat exempel på uttrycket är 1 vit kula av 3 kulor (1

3) visar exakt hur många kulor det är, men tal i decimalform visar inte denna exakthet (0,333…). Tal i bråkform ger ett exakt värde på ett förhållande.

Figur 1 Relationsmodell baserad på diskreta eller odiskreta kvantiteter med bråk och decimaler (DeWolf m. fl. 2014, s 129).

I Figur 1 ser vi hur svåröverskådliga tal i bråkform kan vara (DeWolf m. fl. 2014, s 129).

Experiment utförda av DeWolf med flera (2014) visar att deltagarna har enklare att förstå bråktal i form av delen av det hela, exempelvis delen av det hela antalet kulor (DeWolf m. fl.

2014, s 133). Många upplever att det är enklare att utvärdera förhållanden mellan tal i bråkform än med exempelvis tal i decimalform (DeWolf m. fl. 2014, s 135ff). Som tidigare beskrivits är undervisningen av tal i bråkform komplicerade att lära ut. Eftersom dessa tal är matematiskt svåra och kognitivt utmanande (Nagy 2017, s 19f). Den matematiska

komplexiteten beror delvis på att tal i bråkform består av olika delar som ekvivalenta bråk (1

2

är detsamma som 2

4) eller att eleverna har svårt att se täljaren och nämnarens betydelse för att

(12)

kunna storleksordna bråktalet. Tal i bråkform kan representeras av många delar så som en tallinje, divisionstal, areamodeller av bråktal, förkorta samt förlänga talen. Dessutom räknas tal i bråkform i de fyra räknesätten (subtraktion, division, multiplikation och addition) vilket gör denna del av matematikundervisningen mycket svår (Nagy 2017, s 41).

I många skolor är talen i bråkform det första rationella tal som eleverna kommer i kontakt med efter de lärt sig de naturliga talen (De Wolf m. fl. 2014, s 143). Det är viktigt att skolan och läraren fokuserar på helheten av talets uppbyggnad och inte endast på bråkets relation, även om det är en strategi för att lära eleverna att räkna med bråk. Uppbyggnaden av talet gör att det är mycket effektivt att använda till just jämförelse av relationer och det är bland annat det som gör undervisningen svår att manövrera.

”Fractions thus have a dual status that poses particular challenges for students: a fraction is at once a relationship between two quantities, expressed as a/b, and also the magnitude corresponding to the division of a by b.” (De Wolf m. fl. 2014, s 143).

Talen i bråkform har en dubbel status som medför särskilda utmaningar för eleverna. En bråkdel som samtidigt är en relation mellan två kvantiteter däribland a/b är samtidigt en uppdelning av densamma. Alltså en uppdelning av a och b.

Olika tolkningar av bråk

Tal i bråkform lärs inte in automatiskt och på detta sätt kan eleverna inte heller tillgodose sig bråktalen holistiskt, detta betyder att kunskapen inte lagras i långtidsminnet (Kallai & Tzelgov 2014, s 962f). Däremot bearbetas strukturen av a/b automatiskt oavsett deras komponenter, det vill säga nämnare och täljare. I studien (Kallai & Tzelgov 2014, s 962f) visades att det inte finns några strukturella begränsningar för det kognitiva systemet som förhindrar förståelsen.

Detta bildas endast när dessa tal är på en svårare nivå, innan dess bearbetas endast

komponenter (nämnare och täljare) för sig, snarare än helheten av talet. Clarke, Roche och Mitchells (2010) studie om bråkundervisningen i skolan visar att komplexiteten med tal i bråkform ligger till stor del i undervisningen samt att lärandet har många olika tolkningar: Det kan handla om symboliska konventioner och representationer till exempel 1/5,

1

5 och som tal i decimalform utgör 0,2, eller 1 ÷ 5=1

5 (Clarke m. fl. 2010, s 1f). Vi kan även dela upp en helhetantingen i en kontinuerlig storhet som volym-, längd- och ariamodeller samt en mängd av objekt i lika stora delmängder. Det vill säga att en del av mängden innehåller element som finns i den andra mängden, eller att det är i lika stora delar. Bråktal kan även sammanfattas som en del, helhet, kvot, operationer, mätning och förhållanden till en helhet. Talet i bråkform kan placeras på en tallinje i en mätning av en storhet i förhållande till delen av storheten.

Detta kan illustreras med en sträcka som startar vid noll. När läraren talar om bråk som en operation menar läraren ¾ av 12=9 eller ¾ av antalet flickor i en klass om 12 elever =9.

Uppfattningar finns om att uppgifter där man multiplicerar alltid gör talet större och på samma sätt när man dividerar alltid gör talet mindre. Detta är en vanlig felaktig uppfattning som kan ha sin grund i att eleverna har bristande erfarenheter av att använda tal i bråkform vid operationer (Clarke m. fl. 2010, s 1f). Eleverna behöver ges möjlighet till att komma

underfund med hur bråken är uppbyggda och vad bråken handlar om i stället för att göra operationer av talen (Clarke m. fl. 2010, s 2ff). Läraren behöver betona att tal i bråkform representerar tal. Detta kan göras enklare med hjälp av en tallinje (se Figur 5). Eleverna får då

(13)

kunskapen om relationen till naturliga tal och kan i förlängningen också förstå hur 5/3 kan vara detsamma som 1 2/3. Dessutom att 6/3 är det samma som 2 i naturliga tal. Tallinjen kan även illustrera tätheten mellan de rationella talen som då gör att eleven utvecklar förståelsen om att det finns oändligt många rationella tal mellan till exempel 0 och 1. Oegentliga tal, är bråktal vars täljare är lika med eller större än nämnaren, detta kan synliggöras för eleverna genom tallinjen (se Figur 5). Vetskapen om oegentliga tal är viktig kunskap för eleverna att behärska eftersom de då visar att de har en taluppfattning samt att de kan arbeta vidare med operationer av bråk. Eleverna behöver kunskapen om dessa tal för att förstå uppbyggnaden och kunna förlänga samt förkorta, vilket kommer att behövas vid addition och subtraktion av tal i bråkform.

1.2.5 Utbytbara bråk

Utbytbara bråk är tal som är lika stora, exempelvis 1

2, 2

4 och 3

6 som alla bildar en halv.

Notationer av tal i bråkform är hur talet skrivs så som 1

4 eller ¼ till exempel. Utbytbara bråk är olika bråk i notationen, men det är samma tal som har samma värde (se Figur 2). I utbytbara bråk får eleverna en bättre helhetssyn om talen i bråkform visas med hjälp av figurer. Läraren behöver vara tydlig med vad utbytbara bråktal är och hur de kan användas på bästa sätt.

Läraren kan utgå från rektanglar som har delats i delar och där varje del kan delas upp ytterligare en eller två gånger. Figur 2 illustrerar detta.

Figur 2 Utbytbara bråk (McIntosh 2020, s 34).

En av det vanligaste svårigheterna eleverna hyser med tal i bråkform är att de kopplar nämnaren med värdet på det naturliga talen. Talet 9 är närmast tio i det naturliga talen och notationer som 1

9 uppfattas som nära 1 av eleverna (McIntosh 2020, s 31). Ett annat vanligt misstag som eleverna gör i introduktionen av tal i bråkform är att uppfatta 0,5 detsamma som

1

5 (McIntosh 2020, s 30–39). Många missuppfattningar kan förhindras genom att lära eleverna de utbytbara, lika stora, bråktalen ordentligt. Om eleverna kan erhålla en god grundförståelse för dessa tal är sannolikheten för misstag i bråktal och främst i förlängning och förkortning av tal i bråkform mycket mindre. En förlängning av tal i bråkform behövs vid tal som 1

2 + 1

4. I detta fall behöver talet förlängas eftersom nämnaren behöver ha samma värde i båda talen, 1

2 +

2 2 = 3

4. Talet förlängs följaktligen med 2. Det är även vanligt att elever uppfattar att de behöver göra bråken liknämniga för att kunna jämföra dem. En elev med god taluppfattning ser att det ena talet i bråkform är större än det andra utan att göra talen liknämniga.

Introduktionen av tal i bråkform bör innefatta laborativa material och artefakter där eleverna får klippa, klistra och jämföra olika tal i bråkform (McIntosh 2020, s 30–39). Samtalen kring bråken hjälper eleverna med deras förståelse av notationerna i talen, alltså hur talen skrivs.

(14)

När läraren använder laborativt material i undervisningen av tal i bråkform får eleverna en helhetssyn om hur talen ska betraktas och i notationerna.

En elev med god taluppfattning väljer det mest effektiva sättet i varje enskilt fall när denne ska jämföra tal i bråkform (McIntosh 2020, s 34). Elever med god taluppfattning jämför bråkuttryck som har samma täljare eller nämnare samt undersöker om talet är större eller minder än en halv. Undersökningar har visat att elever med god taluppfattning startar med att avgöra om talet är minder eller större än en halv (Clarke m. fl. 2010, s 4f). Det är lärorikt för eleverna att resonera och diskutera mycket om hur talen ser ut och är uppbyggda (McIntosh 2020, s 34). Eleverna kan även undersöka olika former och figurer samt mönster hos

utbytbara tal i bråkform (se Figur 2). Det är viktigt att eleverna förstår att när de multiplicerar både nämnare och täljare är bråktalet densamma, de har endast förlängt talet. Detta kan illustreras genom att dela en rektangel i tredjedelar och markera en tredjedel (se Figur 3). I nästa steg multipliceras både täljare och nämnare för att kunna dela rektangeln igen (se Figur 3). Med denna illustration kan eleverna se hur rektangeln delas i flera och mindre delar samtidigt som den har sin ursprungliga form. Figur 3 illustrerar detta.

Figur 3 (McIntosh 2020, s 34).

Många studier visar att laborativa läromedel har betydelse i undervisningen av tal i bråkform (McIntosh 2020, s 28–39; DeWolf m. fl. 2014, s 129; Nagy 2017, s 29ff). Det kan handla om Cusinairestavar, bråkcirklar, bråktavlor, laminerade former och papper som viks. Betydelsen av kongruenta tal i bråkform är att motsvarande sidor behöver vara lika stora (Mattecentrum 2019). För elevernas förståelse om att bråkdelarna behöver vara lika stora samt att lika delar behöver vara kongruenta, behöver inte färdiggjorda resurser vara lösningen (Clarke m. fl.

2010, s 4). Det är viktigt att låta eleverna laborera på egen hand samt att det är viktig att använda olika material (Clarke m. fl. 2010, s 4). I studier visar elever att de kopplar tal i bråkform till cirklar, därför behövs flera olika artefakter som visar eleverna att det även handlar om exempelvis rektangulära former (McIntosh 2020, s 34ff; Clarke m. fl. 2010, s 4f).

Läraren behöver representera tal i bråkform på olika sätt och visa eleverna olika laborativa material eftersom varje modell inte är den andre lik (Clarke m. fl. 2010, s 4f).

En elev får i uppgift att visa ¾ på så många sätt som denne kunde komma på, se Figur 4 (Clarke m. fl. 2010, s 10). Eleven visar på en stor förståelse av taluppfattning samt stor uppfinningsrikedom (se Figur 4).

(15)

Figur 4 (Clarke m. fl. 2010, s 2).

Figur 4 visar hur en elev ritar ¼ på så många olika sätt som eleven kunde komma på vid tillfället av studien (Clarke m. fl. 2010, s 4). Eleven har erhållit undervisning där de har kopplat tal i bråkform till representationer av olika slag samt använt olika resurser (Clarke m.

fl. 2010, s 4).

Stambråk

I vardagligt tal kan vi säga ”dela upp den i fjärdedelar” eller ”en halv liter mjölk”, men utan att tänka på att detta tillhör ett tal i ett större perspektiv (McIntosh 2020, s 28f). Ett stambråk är ett bråktal där täljaren alltid består av 1. Det kan handla om ½, 1/3 eller 1/5. Ett stambråk såsom en halv, en fjärdedel eller en femtedel av en hel, är en helhet som delas i lika stora delar. Omvandlingen från hela tal till tal i bråkform är ett komplicerat steg för eleverna.

Blickar vi tillbaka i tiden har eleverna inte erhållit tillräcklig med undervisning, tid eller möjlighet för att utveckla förståelse för vad bråk egentligen är för något. Många elever har fortfarande i vuxen ålder svårt att behärska tal i bråkform. Det är viktigt att eleverna ser ett tydligt samband mellan tal i bråkform och delning. Eleverna har i regel förmågan att uppfatta dimensionen av tal i bråkform utifrån en hel, en halv eller noll och där 1 är en hel som har delats i lika stora delar (McIntosh 2020, s 29). I undervisningens startskede av tal i bråkform behöver eleverna ha kunskaper om att alla delar behöver var lika stora för att kunna kallas för bråkdelar. De behöver även ha kunskaper om nämnarens betydelse och förstå att nämnaren visar hur många delar den hela har delats i som exempelvis hur många delar kakan eller tårtan har delats upp i. Dessutom behöver eleverna förstå nämnarens värde, att ju högre siffra som nämnaren har ju minder delar har skapats av kakan eller tårtan. En rektangel kan delas in i exempelvis två, fyra eller sex lika stora delar och samtidigt kan dessa delar sättas ihop så att de bildar en halv av den ursprungliga rektangeln. En halv, två fjärdedelar eller med tre sjättedelar, (1

2 , 2

4 ,3

6) bildar hälften av ursprungsrektangeln.

(16)

Flertalet elever har erfarenheter av tal i bråkform redan innan de börjar skolan (McIntosh 2020, s 29f). Denna erfarenhet består ofta i att eleverna har kunskaper om hur en halv pizza eller en fjärdedels kaka ser ut. Det kan även handla om förhållanden för en del av en mängd, exempelvis pengar, kakor eller godis. Eleverna har inga svårigheter att förstå en halv, en fjärdedel och även en åttondel i vissa fall. Däremot när vi kommer till tredjedelar får eleverna genast svårigheter att hänga med och förstå vad som menas med en tredjedel. Detta eftersom de har erfarenheter av att en tredjedel kan kopplas ihop med ett räknetal som den tredje (första, andra, tredje). När eleverna introduceras i området har de svårigheter att förstå hur vi skriver tal i bråkform. Vi har två tal åtskilda med ett streck, vilket skiljer sig från det sätt som eleverna är vana att se tal på. Eleverna kan svara på frågor om kardinaliteten av kakor, men det blir komplicerat när de ska svara på frågor om delen av det hela. När läraren pekar på några kakor och frågar eleverna hur stor andel av kakorna detta är, kan det bli svårt för eleverna att svara. Eleverna kan i detta fall inte sortera ut talet även om de har en

grundförståelse. De behöver ha kunskaper om hur stor delen är. Det kan till exempel handla om att vi har sex kakor där en kaka utgör en sjättedel av det hela, det vill säga att sex kakor är det hela och en kaka utgör en sjättedel av det hela.

1.2.6 Struktur av tal i bråkform

Håkansson (2012) beskriver i sin bok Utmärkt undervisning att den effektiva läraren kan lära ut upp mot fyra gånger mer än vad en annan lärare gör. Lärare som kan utföra sitt arbete på ett högkvalitativt sätt behöver ha ämneskunskaper likväl som kunskaper om pedagogiken

(Håkansson & Sundberg 2012, s 161f). Det är lika viktigt att ha kunskaper om innehållet som ska läras ut och om hur undervisningens innehåll kan kommuniceras, struktureras och läras in.

Det är även viktigt att ha insikter om elevernas kunskaper för att kunna planera bra

lektionsinnehåll och fånga upp de elever som har svårigheter med tal i bråkform. Detta kan göras med hjälp av enskilda intervjuer (Clarke m. fl. 2010, s7). I en studie av Clarke, Roche och Mitchell (2010) fann de att många lärare får en helt annan infallsvinkel i hur eleverna arbetar med talen i bråkform. Komplexiteten med bråktal visar sig på flera olika sätt så som att bråktalen är väldigt lika i uppbyggnaden som talen i division består av (DeWolf m. fl.

2014, s 128f).

Figur 5 Tallinje (Nagy 2017, s 158).

Tal i bråkform visar en relation till något som hur lång sträcka man har färdats från punkt a till punkt b, eller hur lång en penna är i relation till andra pennor (Kilborn 2014, s 14f;

DeWolf m. fl. 2014, s 128f). Tallinjen ovan (se Figur 5) visar tre markeringar mellan talet noll och talet ett. Denna tallinje (se Figur 5) visar på första markeringen 1

4, andra på 2

4 samt på markering tre 3

4 (McIntosh 2020, s 32). Med hjälp av en tallinje kan eleverna se vilken

position bråktalet har. På liknande sätt kan det illustreras för eleverna med hjälp av snören (se Figur 6). Läraren ger varje elev två lika långa snören, men alla elever får olika längder. När

(17)

ett av snörena delas i hälften, är detta snöre hälften så långt som det ursprungliga snöret, men samtidigt inte lika lång som de andra elevernas snören. Tal i bråkform visar en relation till något och i detta fall till elevernas referenssnöre (det snöre som inte har delats). Det är viktigt att förklara och visa eleverna att tal i bråkform är en referens till något och inte ett mätetal. Ett mätetal kan vara hur lång en penna är i cm. Eleverna kommer att få praktisera skillnaden mellan mätetal och referens genom att jämföra deras olika längd på snören. Det teoretiska ramverket som pragmatism och John Dewey står för med Learning by doing visar sig i detta arbetssätt (Lundgren m. fl. 2017, s 268). I arbetet som eleverna gör får det skapa en förståelse genom att dela snören och jämföra med varandra (se Figur 6). Eleverna har i detta fall

varandras snören som referenser i egenskap att förstå och föra arbetet framåt. Läraren har en passiv roll precis som läraren ska ha i pragmatismens anda.

Figur 6 Delade snören gjorda av mig

Det finns studier om olika metoder och artefakter som lyftes fram i olika artiklar (Clarke et al 2010, s 4f). I denna studie tas erfarna lärares undervisningsmetoder fram. Då flertalet lärare tycker att undervisningen av tal i bråkform är komplicerat att lära ut, finns det ett behov av att ta reda på vad forskning och erfarna lärare förmedlar om metoder och arbetssätt.

Referenspunkter i bråkräkning

Lärare som undervisar med hjälp av referenspunkter hjälper eleverna att inte använda felaktiga strategier (Clarke m. fl. 2010, s 6). Eleverna kan göra vanliga misstag som till exempel att jämföra nämnare med täljare. Elever som jämför nämnare med täljare tror till exempel att 5/6 och 7/8 är lika stora eftersom det saknas endast en bit för att båda figurerna ska vara en hel figur. Med hjälp av referenspunkter som till exempel 0, 1 och ½, gör att eleverna kan storleksbestämma och jämföra tal i bråkform på ett enklare sätt. Elever som har

referenspunkter tar hjälp av dessa för att kunna storleksbestämma bråktalen på ett snabbare och effektivare sätt än de elever som inte använde sig av referenspunkter. Det är även viktigt

(18)

att eleverna får ta del av varandras strategier för att jämföra tal i bråkform. På detta sätt kan eleverna utveckla kunskaper om återstoden av talen som exempelvis i jämförelsen mellan 5/6

och 7/8. I detta fall kunde de elever som använde referenspunkter avgöra att 7/8 var störst eftersom eleverna bedömde hur mycket som saknades upp till en hel figur. En aktivitet som kan hjälpa eleverna att se sambandet mellan bråktalen är att ge alla elever en varsin lapp där det står ett bråktal. Eleverna får sedan storleksordna talen genom att ställa upp sig på led från minsta till största talet (Clarke m. fl.2010, s 7). Denna aktivitet kan även göras på tal i

decimal- och procentform. Läraren kan dessutom styra talens svårighetsgrad utifrån elevgrupp och ålder.

När en lärare undervisar med hjälp av Singaporemodellen, gör denne även det med

referenspunkter. Singaporemodellen är väl beprövad inom matematiken (Agardh & Rejler 2017, s 3f). I denna modell lär sig eleverna begreppen och de centrala områdena inom matematiken i stället för regler och procedurer vid räkning av tal (Agardh & Rejler 2017, s 5f). Eleverna lär sig hur de kan resonera sig fram till svaret på matematiska problem med hjälp av referenspunkter (Agardh & Rejler 2017, s 10). Läraren för diskussioner, resonemang och dialoger med eleverna i egenskap att eleverna ska kunna fortsätta denna dialog utan lärarens inblandning (Agardh & Rejler 2017, s 5f). Lärarens roll i Singaporemodellen handlar mer om att vara medforskande, hjälpa eleverna att ställa frågor av god kvalitet samt att ställa frågor som för resonemanget vidare. Det finns tydliga förbindelser mellan Singaporemodellen och Lev Vygoskijs kopplingar i den sociala interaktionen, där fokus läggs på språket samt elevernas samspel. I undervisningen av tal i bråkform förekommer det ofta Cuisenaires stavar som eleverna använder för att synliggöra delen av det hela. Stavarna kan användas på ett sätt som visar hur stor del av den hela som exempelvis en fjärdedel är med hjälp av

referenspunkter.

1.2.7 Expertlärare

Hattie (2012) skriver i Synligt lärande att det inte är lärarens ämneskunskaper som gör lektionerna intressanta och där eleverna lär sig fakta på ett effektivt sätt. Det är lärarens kunskaper om det pedagogiska innehållet som avgör lektionens kvalitet (Hattie 2012, s 45f).

Läraren behöver se och förstå när eleverna har förstått faktan samt att lärarens uppfattning om hur denne ska undervisa i ämnet gör skillnad för eleverna. Denna skillnad avgör om eleverna kan tillgodose sig djupare eller ytligare förståelse i ämnet. Det är först när en lärare besitter dessa kvaliteter som denne kan kallas expertlärare. En erfaren lärare eller en expertlärare kopplar samman elevernas förkunskaper till introduktionen av den nya kunskapen som eleverna ska lära sig. Läraren som Hattie (2012) kallar expertlärare, kan även se om eleverna har lärt sig och vilka elever som gör framsteg eller inte. Visible learning är undervisning där läraren ser hela skillnaden framför sig för att kunna avgöra när den bästa och kvalitativa undervisningen kan ske. Det förefaller sig inte ofta att eleverna som kommer till skolan är ivriga, välvårdade och hängivna till skolarbetet (Hattie 2012, s 198f). I dessa fall behöver läraren vara mer flexibel och varierad i sin undervisning. Det handlar om elevernas inlärning och framför allt deras progression där lärandemål och kriterier för måluppfyllelse är

meningsfulla, utmanande samt värdefulla för eleven (Hattie 2012, s 199). Först när eleverna förstår och gör dessa kriterier meningsfulla för de själva kan de nå visible learning.

Lektionerna behöver vara tydliga för att eleverna ska kunna besluta vad som är avgörande för deras inlärning. En expertlärare besitter kunskapen om visible learning och vet dessutom hur eleverna kan lockas till att själva utveckla deras inlärning (Hattie 2012, s 45f, 299).

(19)

Lärare behöver ha en inkluderande attityd till alla elevers inlärning och mognad (Hattie 2012, s 42f). Ett experiment i en stor gymnasieskola visade att lärares attityder behöver förändras (Hattie 2012, s 43). Detta experiment ville åskådliggöra kopplingen mellan lärarens attityd och elevernas prestationer. Redan i startskedet till detta experiment visade det sig att lärares attityder inte alltid är förenliga med elevernas bästa. När experimentet stod i startgroparna, ville många lärare inte delta eftersom det stod klart och tydligt att det var den enskilde lärarens ansvar att eleverna skulle klara målen. Om eleverna inte hade gjort sina läxor, deltagit på lektionerna eller inte slutfört sina uppgifter ville inte läraren bli ansvarig för detta.

Eftersom elevernas val är just elevernas och inte lärarens, menade deltagande lärare. Vidare anser dessa lärare att deras arbetsuppgifter är att följa kursplanerna, upprätthålla ordning i klassrummet samt erbjuda meningsfull undervisning med meningsfullt undervisningsmaterial.

Studien (Hattie 2012, s 43) visade att de lärare som tog del av elevernas utveckling och försökte göra enskilda anpassningar, lyckades bättre samt att eleverna fick ett högre betyg.

”En expertlärare kan identifiera de viktigaste sätten att presentera ämnet de undervisar i.” (Hattie 2012, s 45).

Hattie (2012) menar att en expertlärare vet när förståelsen av ämnena som de undervisar i har en ytlig eller en djupare förståelse. Denna förståelse är viktigare än kunskapen om det

pedagogiska innehållet som varje ämne har (Hattie 2012, s 45). Det handlar snarare om hur eller när eleverna har lärt sig innehållet och när eleverna utvecklar en förståelse för ämnet som expertläraren undervisar i. Kvaliteten i elevernas resultat visade att med visible learning hade lärarens ämneskunskaper en väldigt liten roll. En expertlärare kopplar ihop elevernas förkunskaper med ämneskunskapen som de ska lära ut (Hattie 2012, s 46). Introduktionen av den nya kunskapen som läraren ska undervisa i har stor betydelse till elevernas förkunskaper som dessutom är extra viktiga att ta hänsyn till i startskedet av nya undervisningsområden.

Det är viktigt att koppla samman introduktionen och den nya ämneskunskapen för att eleverna ska kunna utveckla ett holistiskt lärande, alltså ett lärande som finns i närminnet på lång sikt.

Arbeta över stadiegränser

Nagys studie (2018a) visar att lärare som arbetar över stadiegränser, till exempel

mellanstadiet och högstadiet, ger eleverna en bättre förutsättning i deras kunskapsutveckling.

När lärare arbetar tillsammans över stadiegränserna får eleverna en tydlig röd tråd i deras kunskapsutveckling (Nagy 2018b, 111). I Skolverkets läroplan (2019b) kan vi läsa att lärare behöver arbeta tillsammans över stadierna och ta del av varandras kunskaper och erfarenheter.

Samarbetet stödjer elevernas allsidiga utveckling och lärande i ett långsiktigt perspektiv.

Redan vid små didaktiska förändringar i undervisningen kan eleverna tillgodose sig en bättre kunskapsutveckling (Nagy 2018b, s 11). När lärarna använder sig av varandras specifika ämnesdidaktiska kunskaper visade studien (Nagy 2018b) att elevernas progression ökade. Det kan handla om variation av konkretiserat material, förändring i ordval, utökat innehåll eller sättet som läraren ställer frågor på. Lärare som deltog i studien uppmärksammade att det som de har lärt ut inte alltid ger det resultat som läraren hade för avsikt att ge (Nagy 2018b, s 117).

Lärarna fick en ny insikt om hur arbetet sker i de olika stadierna. Med hjälp av den nya insikten förändrade lärarna sin undervisning. Vilket visade sig vara ett smart val för elevernas fortsatta progression. Det är även viktigt att undervisningen håller en god kvalitet och inte upprepar innehållet för mycket (Nagy 2018b, s 19).

(20)

Elevernas kunskapsutveckling sker när progressionen i undervisningen inte är allt för stor. Vi får allt fler ökande krav i undervisningen och därför är det viktigt att hitta en jämn balans mellan elevernas kunskapsutveckling, lagom mängd upprepningar och en god kvalitet på undervisningen. Denna kvalitet kan man uppnå när man arbetar mot de nationella

kunskapskraven, det vill säga att undervisningsinnehållet är relevant. Dessutom behöver läraren frångå att undervisa utifrån läromedlet i första hand. Läraren behöver utgå från de nationella målen. Nagy (2018b) menar att läraren behöver arbeta med innehållet för att det ska bli tillgängligt för eleverna och att inte ha en för stor progression som är för svår att nå för eleverna. De behöver stimulans och stödjas i sin kunskapsutveckling samtidigt som det är viktigt att utmana eleverna utifrån deras förutsättningar. Eleverna behöver vara delaktiga i sitt lärande samt att läraren behöver ha höga förväntningar på eleverna för att höja deras

kunskapsutveckling. Undervisningen av tal i bråkform är relativt svårt att undervisa i eftersom det är matematiskt komplicerat och kognitivt utmanande för eleverna. Läraren behöver inte bara ämneskunskaper och didaktiska insikter utan också kunskaper som tillsammans kan skapa de bästa förutsättningarna för elevernas lärande (Nagy 2018b, s 19f). Elever i årskurs ett hade likartad undervisning av tal i bråkform fram till årskurs nio, alltså genom hela grundskolan (Nagy 2018b, s 40). Denna insikt visar att det är viktigt att lärarna arbetar över stadiegränserna. När en lärare vet hur eleverna har arbetat med tal i bråkform samt på vilken nivå, kan undervisningen optimeras. Läraren kan i detta fall bygga den nya kunskapen på det som eleverna redan har lärt sig i låg- eller mellanstadiet. Elevernas största kunskapsutveckling ligger i att bygga vidare på deras tidigare kunskaper (Nagy 2018b, s 40).

1.2.8 Diagnostiska material

Skolverket har ett utarbetat underlag för att diagnostisera var eleverna befinner sig i matematikinlärningen (Skolverket 2014). Arbetsmaterialet Diamant används dels för att diagnostisera och följa elevernas kunskapsutveckling, dels ett bedömningsstöd till lärare, men även ett underlag för att kunna planera goda matematiklektioner. Rationella tal är en del av sex kunskapsområden inom matematiken som diagnosmaterialet Diamant utgår ifrån.

Diamant bygger på elevernas förkunskaper. Om eleverna saknar förkunskaper inom det givna området, kommer detta att återspeglas i resultatet. Läraren får ett snabbt svar genom att man endast testar ett begrepp i taget som till exempel tal i bråkform samt att det går snabbt att rätta testet. Eleverna möter tal i bråkform under hela deras skolgång (Kilborn 2014, s 7f). Dessa är inte lika vanliga i dagens matematikundervisning som det var förr. Därför är det extra viktigt att eleverna får träna på fler operationer än en del av ett antal som dessutom är det som

eleverna har enklast att utveckla en förståelse för. När tal i bråkform avanceras till operationer av bråktal, proportioner och omvandling till tal i decimalform kräver det en högre

abstraktionsförmåga av eleverna. Arbetsmaterialet Diamant ger både tips på undervisningsmetoder och en lärarhandledning till materialet (Kilborn 2014, s 16).

1.2.9 Artefakter och laborativa läromedel

Artefakter kan vara allt från en penna och ett suddgummi till väl utvecklat material som är framtagna till undervisningen av tal i bråkform. När laborativa läromedel benämns menas just dessa artefakter som är framtagna till matematikundervisningen. Artefakter är ett verktyg så som penna, papper eller snören. McIntosh (2020) beskriver artefakter som ett nödvändigt hjälpmedel i undervisningen av tal i bråkform. Vidare beskriver författaren att det är viktigt att eleverna får tillfälle att känna på hur bråken kan se ut på olika sätt. Detta kan illustreras

(21)

med hjälp av att eleverna inte bara diskuterar bråken utan också får rita, skriva och utrycka storleken på talen (McIntosh 2020, s 33ff).

Vygoskij beskriver artefakter som ett fysiskt redskap i inlärningsprocessen (Forsell 2011, s 173). Vygoskij menar att alla resurser är skapta för ett syfte att användas i olika praktiker som är skapta av människan för människan. Dessa praktiker kan exempelvis vara i undervisningen av tal i bråkform. När läraren använder artefakter konkretiseras det som ska belysas för eleverna (Löwing 2006, s 128). Den kommunikation som sker när läraren använder artefakter i form av ett hjälpmedel i bråkräkningen, ger en bredare och djupare förståelse till eleverna.

Kommunikationen som sker då är optimal eftersom eleverna får en mental bild och ett effektivt språk. Laborativa läromedel som är bra i undervisningen kan vara Cuisenaires räknestavar, bråktavla, logiska block, bråkcirklar, multibasmaterial och mycket mer (se Figur 7).

Figur 7 Bråkträningsmaterial från Beta Pedagog (Beta Pedagog 2020).

I bråkträningsboxen i Figur 7 finns bråkkvadrater, bråkcirklar, bråkstaplar samt en bråktavla representerade. Med detta material kan läraren praktisera tal i bråkform på flera olika sätt som visar bråkräkningens många olika delar (Beta Pedagog 2020). Med detta material, i Figur 7, tillgodoser sig eleverna en helhetssyn om talen i bråkform och dess uppbyggnad (McIntosh 2020, s 30–35). Materialet som finns i Figur 7 kan visa eleverna att tal i bråkform inte bara handlar om cirklar, utan även om rektanglar. McIntosh (2020) menar att det är viktigt att läraren tar en strategi i taget, när eleverna förstår den är det läge att byta strategi samt laborativt läromedel. För att optimera lektionerna behöver läraren mixa artefakterna och använda sig av flera olika artefakter under en och samma lektion (McIntosh 2020, s 29). Detta ökar förståelsen för eleverna samt att de inte fastnar vid uppfattningen av att tal i bråkform endast förekommer med exempelvis cirklar (se Figur 7).

När eleverna utvecklar sina kunskaper behöver de inte bara lära sig att räkna i en mattebok eller skriva siffror och bokstäver på ett papper (Roos & Trygg 2018, s 7). Eleverna behöver få undersöka och utforska talen med hjälp av laborativa läromedel också så som bråkcirklar, bråktavla eller Cuisenaires stavar. Läraren behöver blanda vardagsspråk med matematiska

(22)

begrepp och använda bildspråk som kan vara i form av skisser eller illustrationer. Det är även viktigt att knyta bråktalen till elevernas närmiljö och omvärld samt utveckla deras

matematiska symbolspråk. Allt detta som beskrivits ovan betyder att eleverna har utvecklat sina kunskaper i representationer av tal i bråkform. När eleverna har kommit till denna kunskapsutveckling kan de göra representationer av bråktalen, se Figur 8 (Roos & Trygg 2018, s 6f).

Figur 8 Fem uttrycksformer som främjar representationsutveckling

Figur 8 visar en modell över hur lärare kan utveckla elevernas kunskaper i egenskap att kunna göra representationer inom matematiken så som tal i bråkform (Roos & Trygg 2018, s 7).

Modellen bör läsas från vänster till höger där representationerna går från konkreta situationer och artefakter via bilder till det mer abstrakta området (Roos & Trygg 2018, s 8).

Representationer

I en artikel från Skolverket (2018) beskrivs att det är viktigt att eleverna förstår och kan hantera begreppet representationer. Detta begrepp finns i läroplanens kunskapskrav. I

egenskap för att eleverna ska kunna tillämpa kravet att använda sig av olika representationer, behöver eleven förstå vad som menas med representationer (Roos & Trygg 2018, s 6). När läraren undervisar om tal i bråkform är det viktigt att läraren använder sig av de olika representationerna som finns för att synliggöra dessa för eleverna. Exempel på

representationer kan vara täljare, nämnare, del av antal och det hela. Vidare menar Skolverket (2018) att eleverna behöver ha en förståelse för olika former av representationer och

översättningar mellan dessa representationer. Detta behövs i egenskap av att eleven ska kunna växla mellan representationer och översättningar. När eleven kan behärska det, behärskar även eleven tal i bråkform. För elever som är vana vid artefakter kan det vara lämpligt av läraren att använda sig av artefakterna för att förklara bråktalen. Det kan handla om tre femtedelar som kan visas i ett litermått med 6 dl vatten eller om läraren märker upp fem delar på ett snöre och klipper bort tre av delarna. Det räcker inte med att eleverna får räkna siffror och bokstäver utan de behöver också få räkna med olika representationsformer där artefakter kommer in (Roos & Trygg 2018, s 7). Det kan handla om laborativa material så som penna, papper eller med datorns hjälp. Det kan också handla om matematiska ord som vi skriver och talar med varandra om samt bilder, skisser och framtagna illustrationer för att visa olika representationsformer. Dessutom innefattar detta arbetssätt även kopplingar till elevernas vardag och vardagssituation samt deras utveckling av symbolspråk och kunskapsnivå.

(23)

1.3 Teoretiska perspektiv

I detta kapitel kommer olika teoretiska perspektiv presenteras. Pragmatism och det

sociokulturella perspektivet presenteras i en större utsträckning då dessa perspektiv har en betydande roll i slutsatsen av denna studie.

Det vetenskapliga studiernas historia har satt djupa rötter i vår intellektuella och filosofiska historia som gärna återkommer när vi talar om människor i många olika sammanhang (Säljö 200, s 48f). Samtidigt har de teoretiska perspektiven gjort en enorm skillnad på vår skola både förr och nu.

Kognitivism

I kognitivism ses lärande som ett kunskapsförvärv (Alexandersson & Swärd 2015, s 2).

Metakognition, där eleverna tänker och reflekterar, är en viktig egenskap i det kognitivistiska perspektivet. I praktiken betyder detta att eleverna behöver reflektera och fundera över vad de har lärt sig samt att de ska ställa sig frågan om vad det innebär när de har lärt sig en ny

kunskap. Det är inte bara viktigt för eleverna att reflektera och fundera, utan det är mist lika viktigt att lärarna gör detsamma. Piaget hade en ledande roll i kognitivism där han utvecklade en modell med fem kriterier så som rums-, tids- och kvalitetsuppfattning med flera. Piaget fick däremot mycket kritik genom hans tyckande om att den fysiska väldens känslor och attityder är betydelselösa för tänkandet. I detta perspektiv är det viktigt att läraren är en relationsbyggare som stödjer elevens utveckling och lärande som individ (Alexandersson

&Swärd 2015, s 7). Kognitivism menar att det pedagogiska uppdraget handlar om att möta eleverna med både hjärna och hjärta samt att läraren ska vara en empatisk medvandrare till eleverna.

1.3.1 Den proximala utvecklingszonen

Lev Vygotskij var en psykolog, han har bidragit till både didaktiska och pedagogiska förhållningssätt som vi har i skolan i dag (Säljö 2000, s 20f). Vygoskijs teori, som det sociokulturella perspektivet står bakom, har som mål att skapa utveckling med hjälp av interaktion. Detta betyder att eleverna skapar sin utveckling genom att de lär när de samspelar med andra. Sociala aktiviteter som bidrar till samspel och kommunikation bidrar i sin tur till utveckling och lärande hos eleverna som individer (Säljö 2000, s 66f). Vygoskij förespråkar att alla elever har en utvecklingszon som är den optimala zonen för eleverna att lära.

Vygotskij kallar den för den optimala utvecklingszonen.

”Leken är källan till utveckling och skapar den potentiella utvecklingszonen”

(Vygotsky 1934/1978, s 196).

Vygoskij arbetade inom och formade det sociokulturella perspektivet där barnen har en central roll i sitt eget lärande (Lundgren m. fl. 2017, s 258–261). Han talade även om den proximala utvecklingszonen (Zone of Proximal Development, ZPD) som handlar om att barn lär sig bäst och effektivast när de befinner sig i denna zoon. Den proximala utvecklingszonen betyder att barnen och eleverna lär sig nya ting genom att ha en förankring i dessa. Dessutom ska kunskapen ligga på en lite för hög nivå för att eleverna eller barnen själva kan tillgodose sig kunskapen. De behöver en lärare eller en mer kompetent kamrat som vägleder dem på ett succesivt sätt för att sedan ta ett allt större ansvar själva för att inlärningen fortskrider. Detta sker allra bäst när eleven befinner sig i en zon där denne är känslig för instruktioner och förklaringar. Skillnaden mellan vad barnen lär sig med en vuxen (eller en äldre vän) och vad

(24)

barnen kan lära sig själva speglar det som Lev Vygoskij kallade för den proximala utvecklingszonen (Löwing 2011, s 201) Läraren behöver ta hänsyn till hur elevernas utvecklingszon ser ut i förhållande till vissa färdigheter eller begrepp som kan leda elevens kunskaper vidare (Lundgren m. fl. 2017, s 258–261).

1.3.2 Sociokulturellt perspektiv

Det sociokulturella perspektivet med Lev Vygoskij i spetsen är mycket omtalat och beprövat i skolans historia. Detta skedde i begynnelsen av skolan i dåvarande Sovjetunionen, redan på 1920-talet. Det sociokulturella perspektivet praktiserar hur elever knyter erfarenheter och kunskaper genom att lära sig av att samspela med varandra (Lundgren m. fl. 2017, s 262).

Därav blir kunskapen inte något som eleverna överför mellan varandra, utan kunskapen deltar vi i tillsammans. I den vanliga skolan förekommer det sociokulturella perspektivet genom att pedagogiken organiseras i ett samspel mellan eleverna som gör det möjligt att appropriera olika kunskaper. Skolverket skriver i Läroplanen för grundskolan (2020a) att skolväsendet vilar på en demokratisk grund. Vidare beskriver Skolverket att undervisningen ska anpassas efter varje elevs förutsättningar och behov (Skolverket 2020a), vilket också det

sociokulturella perspektivet pekar på (Lundgren m. fl.2017, s 261ff). Utgångspunkten i det sociokulturella perspektivet är att deltagande sker på något sätt genom att människor inte kan undvika att lära (Säljö 2000, s 235f). Vi deltar i samtal och i samhället och detta ger

människor erfarenheter som vi tar med oss, både på gott och ont. Dessa erfarenheter formar oss som individer samtidigt som det formar vårt samhälle. Redan vid födseln söker barnet kontakt med andra människor och förmedlar sina känslor (Säljö 2000, s 36). I det

sociokulturella perspektivet ser vi att vi utvecklas i samspel med varandra likt ett nyfött barn.

När vi kommunicerar och samspelar med andra utvecklas vi på bästa sätt.

Vygotskijs inverkan

Det sociokulturella perspektivet fick en vändning när Lev Vygotskijs arbeten vävdes samman med perspektivet (Selander 2017, s 87). Det fick ett nytt genomslag i svensk forskning i områden som pedagogik, sociolingvistik samt i flera ämnesdidaktiska områden. Det kan handla om frågor som rör barns utveckling och begreppstillägnelse, om kollektiva minnen samt artefakternas betydelse för hur vi minns. Samtidigt som frågor om hur vi kommunicerar och lär oss ställs utifrån alla dessa aspekter ovan. Skinners och Piagets forskningsansatser och påverkan på det sociokulturella perspektivet kan anses vara förlegat i jämförelse till

Vygotskijs prestationer och påverkan på densamma. Den syn på kunskap som Vygotskijs arbeten presenterar kan ses som mer eller mindre vetenskapligt där den lärde individen ska nå upp till den rätta kunskapsnivån för att komma till den proximala utvecklingszonen.

Mediering

Ett grundbegrepp som vi ofta stöter på i det sociokulturella perspektivet är mediering, med detta menas hur vi förmedlar information och kunskap (Säljö 2000, s 158). Mediering är en resurs för interaktion och för att samla erfarenheter på både kollektiv och individuell nivå där det svenska språket är kraftfullt och unikt (Säljö 2000, s 232). Med mediering och språkets hjälp kan vi förmedla kunskaper, erfarenheter och begrepp. Det kan handla om begrepp som teckensystem för räkning, mätning samt flera andra resurser som exempelvis bråkräkning.

Vårt kraftfulla språk hjälper oss att förmedla erfarenheter som i sin tur utvecklar oss och ger

(25)

nya infallsvinklar. Dessa infallsvinklar kan vi sedan bevara och kommunicera vidare till andra människor. Språket är således ett mycket praktiskt redskap till mediering.

1.3.3 Pragmatism

John Dewey var en mycket viktig person inom pragmatismen, han uttryckte sin ståndpunkt att elever lär genom att göra, eller som han sade ”learning by doing” (Lundgren m. fl. 2017, s 241ff). Det teoretiska ramverk som pragmatismens syn på lärande har, är att eleverna lär sig genom att praktisera det som ska läras samt att läraren ska ha en passiv roll i klassrummet.

Piaget uttryckte att om barnen inte lär sig det som är tänkt är de helt enkelt inte redo än. När det kommer till räkneuppgifter av tal i bråkform behöver läraren enligt pragmatismen ge eleverna verktyg så som laborativa läromedel. Dessa läromedel kan handla om Cuisenaires stavar, bråktavla, bråkcirklar eller alla dessa i en kombination tillsammans. Läraren

introducerar tal i bråkform för eleverna och tar sedan en passiv roll där eleverna själva får upptäcka och utforska de laborativa läromedel som läraren har presenterat.

Learning by doing

Läroplanen för grundskolan (2020a) beskriver att skolväsendet vilar på en demokratisk grund.

John Dewey arbetade för att göra skolan demokratisk (Lundgren m. fl. 2017, s 241). Hans huvudsakliga intresse var att utveckla skolan i en pedagogisk utgångspunkt, som skulle leda till ett demokratiskt samhälle. John Dewey ville göra skolan mer elevcentrerat och anpassat till olika elevers behov, därav kom formuleringen Learning by doing (Lundgren m. fl. 2017, s 242). Skolverket (2020a) skriver i läroplanens centrala innehåll att eleverna ska utveckla sina kunskaper om tal i bråkform och hur detta kan användas i vardagliga situationer.

Pragmatismens filosofiska utgångspunkt handlar om hur elevernas kunskaper fungerar i vardagliga sammanhang (Lundgren m. fl. 2017, s 242f). Kunskaper är sådant som eleverna kan ha nytta av samt hjälper elever att hantera situationer och problem som kan uppstå. Till skillnad från andra teoretiska ramverk tar pragmatismen avstånd från föreställningen att praktik och teori är skilda verksamheter. Praktik och teori är integrerade när elever ska tillgodose sig ny kunskap, exempelvis kan en snickare inte sätta upp en vägg utan att ha kunskaper om hur en vägg ska byggas. Dessutom behövs kunskaper om rätt verktyg eller material. När eleverna introduceras av tal i bråkform görs detta, med fördel, med laborativa läromedel (Clarke 2010, s 4). Dewey menar att skolan ska ge eleverna den kunskap som är svår att tillgodose sig i vardagen samt att fördjupa sin förståelse för omvärlden genom utbildningen som skolan ger (Lundgren m. fl. 2017, s 244ff). Lärarens främsta uppgift är att organisera undervisningen för att eleverna ska kunna bygga vidare på erfarenhet och utveckla sina kunskaper i framtida studier (Lundgren m. fl. 2017, s 247).

Praktiska inslag i undervisningen

I pragmatismens lärteori har de praktiska inslagen en stor del i undervisningen tillsammans med teori, i framför allt matematik och naturorienterande ämnen (Lundgren 2017, s 242).

Arbetssättet som praktiseras i pragmatismen gör att undervisningen blir mer elevcentrerat och anpassat till elever med olika förutsättningar. John Dewey var en ledande person inom

pragmatismen som skrev många böcker och uttryckte frasen ”Learn to do by knowing and to know by doing” (Dewey 2021). Frasen var mycket uppskattad och kan praktiseras i skolans undervisning (Lundgren 2017, s 241f). Denna fras kom vid ett senare tillfälle att förkortas till

”Learning by doing” (Learning-by-doing 2021).

(26)

Cash value

Inom pragmatismen talar vi ofta om cash value som betyder kontantvärde (Learning-by-doing 2021). Med kontantvärde menas att om man inte har nytta av kunskapen i vardagslivet,

behöver man inte heller lära sig denna. Eftersom eleverna i grundskolan inte vet vad de ska bli som vuxna medborgare, behöver eleverna lära sig kunskaper som de inte alltid har nytta av i framtiden. Varje kunskap som eleverna lär sig, blir en erfarenhet i deras framtida liv.

Pragmatismen anser att eleverna inte kan lära sig det som är relevant om de behöver lära sig kunskaper som de inte behöver här och nu (Learning-by-doing 2021).

Svårigheterna med detta arbetssätt är att finna material som kan användas i rätt tid till rätt syfte som dessutom bygger på elevernas erfarenheter. Planeringen behöver kopplas till elevernas cash value eftersom eleverna lär som bäst när de konfronterar problem eller en situation där de själva behöver tänka till ordentligt.

1.4 Syfte och frågeställningar

Syftet med föreliggande studie är att undersöka svårigheter i undervisningen samt vilka artefakter som används. Denna studie visar ett urval av vilka undervisningsmetoder som kan tillämpas för att ge eleverna en god inlärning samt till ett holistiskt lärande. Fokus läggs på att kartlägga undervisningsmetoder, svårigheter som finns i undervisningen och hur man kan förebygga denna svårighet.

Följande frågeställning som denna studie kommer att besvara:

1. Vilka svårigheter tampas lärare med i undervisningen av tal i bråkform?

2. Vilka undervisningsmetoder använder lärare för att komma över dessa svårigheter?

2a. Vilka undervisningsmetoder använder lärare när de undervisar om tal i bråkform?

2b. Vilka artefakter används i vilka moment av undervisningen i bråkräkningen?

Figur

Updating...

Referenser

Relaterade ämnen :