f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förän- dingshastighet.

Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t1 och t2kan vi läsa av tempera- turen, beloppet, hastigheten, eller folkmängden för de två tidpunkterna f(t1) och f(t₂)och bilda den genomsnittliga förändingshastigheten genom

f(t₂) − f(t₁) t₂− t1

= y₂− y₁ t₂− t1

= ∆y

∆x

Figur 1:

Om funktionen har ett oroligt förlopp säger egentligen den genomsnittliga föränd- ringshastigheten ganska lite. I figuren har vi: för punkterna (−4, 0) och (3.5, 51.6)

∆y

∆x = 51.6 − 0

3.5 − (−4) = 51.6

7.5 = 6.875

Men för punkterna (−4, 0) och (3, 0). Vi ändrar alltså endast det andra x-värdet med 0.5.

∆y

∆x = 0 − 0 3 − (−4) = 0

7 = 0

Ganska stor skillnad eller hur. Annat resultat får vi ju mer funktionen liknar en rät linje.

Om y beror av x så är den genomsnittliga förändringshastigheten Förändringskvoten = ∆y

∆x = förändingen över ett intervall intervallets längd

1 När Adam startar sin resa, kl 8 : 32 stod bilens vägmätare på 123300 km.

När han var framme, kl 10 : 32 visade mätaren 123450 km. Beräkna Adams genomsnittliga hastighet i km/tim.

Med hjälp av formeln

v = s t

kan vi bestämma den genomsnittliga hastigheten genom v = 123450 − 123300

2 = 75

Svar: 75km/tim OBS! Vi kan under denna färd inte säga någonting om den högsta eller lägsta hastighet Adam hållit under sin resa.

2

Grafen visar den vinst v i tusentals kronor en affär har haft under tiden t

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Figur 2:

veckor. Bestäm förändringen ∆v i tusentals kronor från vecka 1 till vecka 5.

Lösning: Vi läser från grafen v(t) ut v(1) = 3 och v(5) = 4 vilket ger

∆s = 4 − 3 = 1

Svar:Förändringen är 1000 kr.

3 För en funktion f(x) vet man att f(10) = 115 och f(15) = 220.

a Bestäm ändringen i x, det vill säga ∆x.

b Bestäm ändringen i y, det vill säga ∆y.

c Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten

∆x

∆y

Lösning: Ändringen i x-led ∆x = 15 − 10 = 5. Ändringen i y-led, ∆y = 220 − 115 = 105. Den genomsnittliga förändringshastigheten blir då

∆x

∆y = 220 − 115

15 − 10 = 105 5 = 21

4 För funktionen y = f(x) vet man att f(10) = 32 och f(61) = 118. Beräkna och tolka den genomsnittliga förändingshastigheten ∆y/∆x om x mäts i år och y i kilogram.

Lösning: Givet f(10) = 32 och f(61) = 118. Det enda vi vet om funktionen är att punkterna (10, 32) och (61, 118) ligger på grafen och vi kan nu skriva

∆y

∆x = f(61) − f(10)

61 − 10 = 118 − 32

51 ≈ 1.69 Svar:Den genomsnittliga viktökningen är 1.69 kg/år 5 Stockholms folkmängd:

År 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910

Folkmängd 96401 116806 140212 176289 254983 313212 371991

År 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980

Folkmängd 427800 502203 590543 744562 808603 744888 647214

År 1990 2000 2003

Folkmängd 674452 750348 761721

Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten per år för folkmängden – Från 1900 till 2000

– Under 1980-talet

– Under vilken period har förändringshastigheten varit som störst?

Lösning: Vi plottar punkterna i ett diagram

1875 1900 1925 1950 1975 2000 200000

400000 600000 800000

Figur 3:

a) Den genomsnittliga förändringshastigheten från 1900 till 2000 beräknar vi genom

∆y

∆x = 750348 − 313212

2000 − 1900 = 437136

100 ≈ 4371

Stockholms folkmängd steg under denna period med i genomsnitt 4371 män- niskor/år.

b) Vilka värden vi ska använda för att bestämma förändringshastigheten un- der 90-talet är lika bestämt:

∆y

∆x = 750348 − 674452

2000 − 1990 = 75896

10 ≈ 7590

Stockholms folkmängd steg under 90-talet med i genomsnitt 7590 männi- skor/år.

c) För att besvara denna fråga korrekt kan man bli tvungen att utföra 17 · 16/2 = 136 beräkningar. När vi gjort det vet vi att stadens folkmängd steg som fortast under 1940-talet

∆y

∆x = 744562 − 590543

1950 − 1940 = 154019

10 ≈ 15402

Stockholms folkmängd har stigit som mest under 40-talet med i genomsnitt 15402människor/år.

6 I tabellen nedan ser du har många kronor man måste betala i skatt för en viss månadslön

Månadslön Skatt 19001 - 19100 6852 19101 - 19200 6909 19201 - 19300 6966 19301 - 19400 7023 19401 - 19500 7080 19501 - 19600 7137 19601 - 19700 7194 19701 - 19800 7251 19801 - 19900 7308 19901 - 20000 7365

a Hur många procent i skatt betalar den som har en en månadslön på 19500 kr?

b Samma fråga för den som tjänar 19501 kr/månaden.

c Hur mycket, i kronor, får den behålla som har månadslönen 19100 och får 100 kr i påökt?

c Bestäm marginalskatten i procent mellan inkomsten 19800 och 19900.

Lösning:

a) Den som tjänar 19500 betalar 7080 i skatt.

100 · 7080

19500 = 36.3%

b) Den som tjänar 19501 betalar 7137 i skatt.

100 · 7137

19501 = 36.6%

1krona mer i lön ger 56 kronor mindre i plånboken. Den orättvisa man kan tycka finns här rättas till i samband med att den slutliga skatten beräknas året därpå.

c) 19100 − 6852 = 12248 att jämföra med 19200 − 6909 = 12291. Det blir alltså 12291 − 12248 = 43kr över

d) Vi ska beräkna marginalskatten i procent för en person som tjänar 19800 och får lönen höjd till 19900

100 · 7308 − 7251

19900 − 19800 = 100 · 57

100 = 57%

Svar: Marginalskatten i detta intervall är 57%.

7 Beloppet 10000 sätts in på banken till 5% ränta år 2000. Beräkna den genom- snittliga tillväxtshastigheten mellan åren 2002 och 2006.

Lösning:

År 2002 har kapitalet funnits på banken i 2 år. Kapitalet har då stigit till 10000 · 1.05²= 11025

År 2006 har kapitalet funnits på banken i 6 år. Kapitalet har då stigit till 10000 · 1.05⁶= 13401

Mellan åren 2002 och 2006 har den genomsnittliga tillväxthastigheten varit 13401 − 11025

2006 − 2002 = 2376

4 = 594

8 Kostnaden K(x) för att producera x armbandsur ges av formeln K(x) = 20000 + x(10 + 0.1x)

Beräkna och tolka

a ∆K då x ändras från 200 till 300 b ∆K/∆x då x ändras från 200 till 300

c ∆K/∆x då x ändras från 200 till 201 d ∆K/∆x då x ändras från 300 till 301 Lösning:

a)

K(200) = 20000 + 200(10 + 0.1 · 200) = 26000 K(300) = 20000 + 300(10 + 0.1 · 300) = 32000

∆K = 32000 − 26000 = 6000

b) ∆K

∆x = 32000 − 26000 300 − 200 = 60

Kostnaden för att producera ett ur är i intervallet 200 . . . 300 60 kr.

c) ∆K

∆x = 26050.1 − 26000

201 − 200 = 50.10 Svar: Den 201:a klockan kostar 50.20 kr att producera.

d) ∆K

∆x = 32070.1 − 32000

301 − 300 = 70.10

Svar: Märkligt nog blir det dyrare att producera den 301:a klockan än den 201:a, 70.10 kr

9 En boll släpps från toppen av ett torn. Den sträcka bollen fallit efter t sekun- der beräknas genom

s(t) = 5t² a Hur långt har bollen fallit efter 3 sekunder?

b Hur långt tid tar det innan bollen fallit 125 meter.

c Om tornet är 180 meter högt. Hur lång tid tar det då för bollen att nå marken?

d Vilken medelhastighet har bollen haft från det den släpptes tills den nådde marken?

e Vilken medelhastighet har bollen haft från det den fallit 180 meter till den når marken?

f Försök uppskatta bollens hastighet precis då den når marken.

Lösningar:

a) s(3) = 5 · 3²= 45meter b) Lösningen till ekvationen

125 = 5t²

t = √

25 t = 5 Svar: 5sekunder

c)

180 = 5t²

t = √

36 t = 6 Svar: 6sekunder

d) ∆s

∆t = 180 − 0 6 − 0 = 30 Svar: 30m/s

e) ∆s

∆t = 180 − 125 6 − 5 = 55 Svar: 55m/s

f) Vi kan bestämma efter hur lång tid bollen fallit 179 meter.

179 = 5t²

t = q

179 5

t ≈ 5.98331 vilket ger

∆s

∆t = 180 − 179

6 − 5.98331 = 59.92

På samma sätt kan vi bestämma efter hur lång tid bollen fallit 179.9 meter 179 = 5t²

t = q

179.9 5

t ≈ 5.99833 vilket ger

∆s

∆t = 180 − 179.9

6 − 5.99833 = 59.9917

Svar: Det verkar som hastigheten närmar sig 60 m/s ju mindre intervall vi väljer. Att detta antagande är korrekt kommer vi att kunna visa innan veckan är slut.

1 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten då funktionen är y = f(x) = 2x − 3

först i intervallet [3 . . . 6] och sedan i intervallet [−1 . . . 10]. Är det en tillfällig- het att ∆Y/∆x är den samma för dessa två intervall?

2 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten då funktionen är y = f(x) = x²

då intervallet är [0 . . . 10]

3 Den genomsnittliga förändingshastigheten är ^∆y_∆x = 10 i intervallet [2 . . . 3].

f(2) = 35. Bestäm f(3).

4 Den sträcka s meter en kropp rör sig beror av tiden t sekunder enligt s(t) = 20t − 5t². Bestäm medelhastigeten i intervallet från 0 till 1 sekund.

5 En cirkels area A beror på cirkelns radie r. Beräkna ändringskvoten

∆A

∆r då r ökar från 5.0 till 5.2

1 ∆y

∆x = (2 · 6 − 3) − (2 · 3 − 3)

6 − 3 = 9 − 3

6 − 3 = 2

∆y

∆x = (2 · 10 − 3) − (2 · (−1) − 3)

10 − (−1) = 17 + 5 11 = 2

Nej det är ingen tillfällighet. Funktionen är en rät linje och då är förändings- hastigheten lika med linjens k-värde.

2 ∆y

∆x = 100 − 0 10 − 0 = 10 3 Vi får ekvationen

35 − y 3 − 2 = 10 som har lösningen 25.

Svar: f(3) = 25

4 s(1) − s(0)

1 − 0 = (20 − 5) − 0

1 = 15

Svar: Medelhastigheten är 15 m/s 5 Vi använder formeln A(r) = πr² och får

∆A

∆r = π(5.2)²− π(5.0)²

5.2 − 5.0 ≈ 32.0

Räkna bokens uppgifter: 2105, 2107, 2110, 2112, 2114, 2116, 2117, 2119

2105 a) Vi läser från grafen s(t) ut s(0.5) = 15 och s(3.5) = 40 vilket ger ∆s = 40 − 15 = 25

2107 Givet f(8) = 12 och f(11) = 24. Det enda vi vet om funktionen är att punk- terna (8, 12) och (11, 24) ligger på grafen och vi kan nu skriva

∆y

∆x = f(11) − f(8)

11 − 8 = 24 − 12

3 = 4

Den genomsnittliga temperaturökningen är 4^◦C/h 2110 Vi plottar punkterna i ett diagram

1960 1970 1980 1990 2000 7250

7500 7750 8000 8250 8500 8750

Figur 4:

Den genomsnittliga förändringshastigheten från 1950 till 2000 beräknar vi genom

∆y

∆x = 8939 − 7042

2000 − 1950 = 1897

50 = 37.94

Sveriges befolkning stiger med i genomsnitt 37 940 människor/år.

Vilka värden vi ska använda för att bestämma förändringshastigheten under 90-talet är lika bestämt. Vi försöker först med

∆y

∆x = 8939 − 8318

2000 − 1980 = 621

20 = 31.05

31 050människor/år. Men se det stämmer inte, när vi jämför med svaret. OK, då testar vi detta:

∆y

∆x = 8939 − 8558

2000 − 1990 = 381

10 = 38.10 38 100människor/år stämmer bättre.

2112 a) ∆x = 17000 − 16740 = 300. En löneförhöjning på 260 kr.

2112 b) Från tabellen får vi y(17000) = 5080 och y(16740) = 4980 och därmed

∆y = 5080 − 4980 = 100

2112 c) Marginalskatten får vi nu genom ∆y/∆x = 100/260 ≈ 38.5%

2114 b) Givet N(t) = 1500 + 250t + 15t². Hur många fler bakterier kommer det att finnas i kulturen vid tiden t = 2 i jämförelse med t = 1.5? Vi beräknar för detta ∆N = N(2) − N(1.5) = 151.25. Tillväxthastigheten kan nu bestämmas genom

∆N

∆t = 151.25

2 − 1.5 = 302.5

2116 I denna uppgift är funktionen K(x) = 5000 + x(10 + 0.05x) central. Kostnaden för att producera x enheter bestäms med hjälp av K(x). Vad kommer då att hända med kostnaderna när vi höjer antalet producerade enheter från 100 till 120? ∆K = K(120) − K(100) = 6920 − 6500 = 420. När antalet producerade produkter ökas från 100 till 120 så ökar alltså kostnaden med 420 kr.

∆K

∆x = K(120) − K(100)

120 − 100 = 6920 − 6500

20 = 420

20 = 21 Produktionskostnaderna för de sista 20 enheterna blir 21 kr/st.

2117 V(t) = 20000 − 800t + 8t². Här ser vi grafen. Givetvis finns det 20000 liter vatten i tanken vid t = 0.

Att ta reda på när tanken är tom är samma sak som att ta reda på t då V(t) = 0. Detta är samma sak som att lösa andragradsekvationen 20000 − 800t + 8t² = 0, som har rötterna t1,2 = 50. Tanken är alltså tom efter 50 minuter, vilket vi kan utläsa från grafen.

För att beräkna den genomsnittliga utströmningshastigheten under tiden t = 18till t = 22 tecknar vi

∆V

∆t = V(22) − V(18)

22 − 18 = 6272 − 8192

4 = −480

10 20 30 40 50 5000

10000 15000 20000

Figur 5:

Det rinner alltså ut 480 liter/minut i medeltal under den aktuella tiden. Vid tiden t = 0 är utströmningshastigheten som störst. Då t = 50 droppar det bara ur tanken. Det är tangentens lutning som anger den momentana hastigheten.

2119 Nu är det funktionen v(t) = 13.3t − 0.44t²som gäller. Hastigheten för en viss bil under de 15 första sekunderna. v(0) = 0, bilen står stilla vid tiden t = 0.

v(5) = 55.5 m/s, bilen har accelererat till 55.5 m/s efter 5 sekunder.

v(6) − v(4)

2 = 8.9

Hastigheten har ökat från 46.16 m/s till 63.96 m/s på 2 sekunder. Medelac- celerationen har under denna tid varit 8.9 m/s²