M ¨ALARDALENS H ¨OGSKOLA
Akademin f¨or utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen f¨or till¨ampad matematik
Examinator: Lars-G¨oran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 26 mars 2012 Skrivtid: 5 timmar Hj¨alpmedel: Penna, linjal och radermedel
Denna tentamen best˚ar av ˚atta om varannat slumpm¨assigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 po¨ang.
Den maximalt m¨ojliga po¨angsumman ¨ar s˚aledes 40. F¨or betygen 3, 4, 5 kr¨avs minst 18, 26 respektive 34 po¨ang. L¨osningar f¨oruts¨atts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga l¨osningsblad skall vid inl¨amning vara sorterade i den ordning som uppgifterna ¨ar givna i.
1. Talf¨oljden {tn}∞n=0 inleds med elementen 0 och 0, dvs lyder 0, 0, . . . . Best¨am hela talf¨oljden d˚a den f¨or n ≥ 2 satisfierar differensekvationen 12tn− 8tn−1+ tn−2 = 24 , n = 13 ,
0 , n 6= 13 .
2. Vid tidpunkten 0 finns det 20 gram av ¨amne A och 30 gram av ¨amne B. ¨Amnena f¨ors ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 2 : 3 och bildar ¨amnet C, dvs f¨or varje 5 gram av slutprodukten C s˚a g˚ar det ˚at 2 gram av ¨amne A och 3 gram av ¨amne B.
Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot produkten av ˚aterstoden av ¨amne A och ˚aterstoden i kvadrat av ¨amne B (b¨agge ¨amnena i gram r¨aknade). Antag att det vid tidpunkten 1/16 minuter har hunnit skapats 10 gram av ¨amne C. Hur m˚anga gram C har skapats till och med tidpunkten 11 minuter?
3. Best¨am och klassificera alla station¨ara punkter till systemet
dx/dt dy/dt
=4y − 2xy − y2 2x + xy
.
Ange om m¨ojligt ¨aven klassificeringar med avseende p˚a motsvarande linjariserade system.
4. L¨os f¨or t ≥ 0 integralekvationen 48 U (t − 3) + 7
Z t 0
y(τ ) sin(3τ − 3t) dτ = 3y(t) , d¨ar U ¨ar Heavisides enhetsstegfunktion.
5. Best¨am och skissa den kurva som vid tidpunkten 0 b¨orjar i punkten (0, 2), och som satis- fierar det linj¨ara systemet
dx/dt dy/dt
= −x + y
−4x − y
.
6. Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen (2x + 3)y0 = (x + 1)y00+ (x + 2)y.
7. En rektangul¨ar, v¨armeledande platta med sidl¨angderna 2 och 5 ¨ar placerad i ett koordinat- system p˚a s˚a vis att tv˚a av sidorna tangerar de positiva koordinataxlarna. De sidor som
¨ar parallella med x-axeln ¨ar de kortare och h˚alls vid temperaturen 0 grader. Den sida som tangerar y-axeln h˚alls isolerad fr˚an omgivningen, medan dess motst˚aende sida h˚alls vid temperaturen 3 grader. Best¨am den statiska temperaturf¨ordelningen u i det inre av plattan om f¨ordelningen antages lyda Laplaces ekvation i tv˚a dimensioner, u00xx+ u00yy = 0.
8. Best¨am till differentialekvationen
(y0)2 = (y0− y00)y
den l¨osningskurva som i punkten med koordinaterna (ln(6), −4) har tangenten 3x + y = ln(216/e4). Ange ¨aven existensintervallet f¨or l¨osningen.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 26 mars 2012
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Tentamen 2012-03-26 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifterna
1. Talföljden {tn}∞n=0 har elementen
( ) ( )
] ( 13)3
[ 12 13 − 61 13 −
= − − u n
tn n n
1p: Korrekt Z-transformerat differensekvationen 2p: Korrekt förberett för inverstagning
1p: Korrekt inverstagit (1− az−1)−1 1p: Korrekt inverstagit z−13(1− az−1)−1 2. 45gram
) 9 1 1 1 ( 50 )
C(
t t
x = − +
1p: Korrekt uttryckt relationerna mellan xA, xB, och xC 1p: Korrekt formulerat och löst differentialekvationen 2p: Korrekt bestämt förekommande konstanter
1p: Korrekt angivit värdet på xC(11) 3. (0,0) är en instabil SP (sadelpunkt för motsv. LS)
) 4 , 0
( är en asymptotiskt stabil SP (stabil spiralpunkt för …)
) 2 , 3
( − är en instabil SP (instabil nod för …)
1p: Korrekt bestämt de stationära punkterna 1p: Korrekt linjariserat i de stationära punkterna
3p: Korrekt klassificerat de stationära punkterna, och då även m.a.p. på motsvarande linjariserade system 4. y(t)=
(
9+7cos[4(t−3)])
U(t−3) 1p: Korrekt identifierat integralen som en faltning avy(...) och −sin(3...)
1p: Korrekt Laplacetransformerat integralekvationen 1p: Korrekt förberett för en inverstransformering 2p: Korrekt utfört inverstransformeringen
5. e t
t
t t ⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
) 2 cos(
2 ) 2 ) sin(
(
X Scenario 1:
Scenario 2:
1p: Korrekt bestämt egenvärden och egenvektorer till systemmatrisen
2p: Korrekt sammanställt den allmänna lösningen 2p: Korrekt skissat lösningskurvan
1p: Korrekt utfört en Laplacetransformering
1p: Korrekt förberett för inverstransformering genom att algebraiskt korrekt ha funnit transformuttrycken för lösningarna x och y
1p: Korrekt utfört inverstransformeringen 2p: Korrekt skissat lösningskurvan
6. y=C1ex +C2(x+1)2ex 1p: Korrekt funnit lösningen y1 =ex till DE 2p: Korrekt genomfört en variation av parameter
2p: Korrekt sammanställt den allmänna lösningen till DE
7. sin( )
) cosh(
) cosh(
) ,
( 5
5 2 5 1
) ) 1 ( 1 (
6 n y
n x n
n n
y n
x
u π π
π
∑
∞ π=
−
= − 2p: Korrekt behandlat y -delen 1p: Korrekt behandlat x-delen
2p: Korrekt bestämt Fourier-sin-koefficienterna, och korrekt sammanställt lösningen
8. y=−2 ex−2
) , ) 2 (ln( ∞
E = I
2p: Korrekt genomfört substitutionen y′(x)=u(y(x)), och korrekt gjort en första integrering
2p: Korrekt gjort en andra integrering 1p: Korrekt angivit existensintervallet