• No results found

1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 =

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 ="

Copied!
6
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

M ¨ALARDALENS H ¨OGSKOLA

Akademin f¨or utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen f¨or till¨ampad matematik

Examinator: Lars-G¨oran Larsson

TENTAMEN I MATEMATIK

MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 26 mars 2012 Skrivtid: 5 timmar Hj¨alpmedel: Penna, linjal och radermedel

Denna tentamen best˚ar av ˚atta om varannat slumpm¨assigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 po¨ang.

Den maximalt m¨ojliga po¨angsumman ¨ar s˚aledes 40. F¨or betygen 3, 4, 5 kr¨avs minst 18, 26 respektive 34 po¨ang. L¨osningar oruts¨atts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga l¨osningsblad skall vid inl¨amning vara sorterade i den ordning som uppgifterna ¨ar givna i.

1. Talf¨oljden {tn}n=0 inleds med elementen 0 och 0, dvs lyder 0, 0, . . . . Best¨am hela talf¨oljden d˚a den f¨or n ≥ 2 satisfierar differensekvationen 12tn− 8tn−1+ tn−2 = 24 , n = 13 ,

0 , n 6= 13 .

2. Vid tidpunkten 0 finns det 20 gram av ¨amne A och 30 gram av ¨amne B. ¨Amnena f¨ors ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 2 : 3 och bildar ¨amnet C, dvs f¨or varje 5 gram av slutprodukten C s˚a g˚ar det ˚at 2 gram av ¨amne A och 3 gram av ¨amne B.

Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot produkten av ˚aterstoden av ¨amne A och ˚aterstoden i kvadrat av ¨amne B (b¨agge ¨amnena i gram r¨aknade). Antag att det vid tidpunkten 1/16 minuter har hunnit skapats 10 gram av ¨amne C. Hur m˚anga gram C har skapats till och med tidpunkten 11 minuter?

3. Best¨am och klassificera alla station¨ara punkter till systemet

dx/dt dy/dt



=4y − 2xy − y2 2x + xy

 .

Ange om m¨ojligt ¨aven klassificeringar med avseende p˚a motsvarande linjariserade system.

4. L¨os f¨or t ≥ 0 integralekvationen 48 U (t − 3) + 7

Z t 0

y(τ ) sin(3τ − 3t) dτ = 3y(t) , d¨ar U ¨ar Heavisides enhetsstegfunktion.

5. Best¨am och skissa den kurva som vid tidpunkten 0 b¨orjar i punkten (0, 2), och som satis- fierar det linj¨ara systemet

dx/dt dy/dt



= −x + y

−4x − y

 .

6. Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen (2x + 3)y0 = (x + 1)y00+ (x + 2)y.

7. En rektangul¨ar, v¨armeledande platta med sidl¨angderna 2 och 5 ¨ar placerad i ett koordinat- system p˚a s˚a vis att tv˚a av sidorna tangerar de positiva koordinataxlarna. De sidor som

¨ar parallella med x-axeln ¨ar de kortare och h˚alls vid temperaturen 0 grader. Den sida som tangerar y-axeln h˚alls isolerad fr˚an omgivningen, medan dess motst˚aende sida h˚alls vid temperaturen 3 grader. Best¨am den statiska temperaturf¨ordelningen u i det inre av plattan om f¨ordelningen antages lyda Laplaces ekvation i tv˚a dimensioner, u00xx+ u00yy = 0.

8. Best¨am till differentialekvationen

(y0)2 = (y0− y00)y

den l¨osningskurva som i punkten med koordinaterna (ln(6), −4) har tangenten 3x + y = ln(216/e4). Ange ¨aven existensintervallet f¨or l¨osningen.

(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

MÄLARDALENS HÖGSKOLA

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik

Examinator: Lars-Göran Larsson

TENTAMEN I MATEMATIK

MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 26 mars 2012

BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN

Tentamen 2012-03-26 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifterna

1. Talföljden {tn}n=0 har elementen

( ) ( )

] ( 13)

3

[ 12 1361 13

= u n

tn n n

1p: Korrekt Z-transformerat differensekvationen 2p: Korrekt förberett för inverstagning

1p: Korrekt inverstagit (1− az1)1 1p: Korrekt inverstagit z13(1− az1)1 2. 45gram

) 9 1 1 1 ( 50 )

C(

t t

x = − +

1p: Korrekt uttryckt relationerna mellan xA, xB, och xC 1p: Korrekt formulerat och löst differentialekvationen 2p: Korrekt bestämt förekommande konstanter

1p: Korrekt angivit värdet på xC(11) 3. (0,0) är en instabil SP (sadelpunkt för motsv. LS)

) 4 , 0

( är en asymptotiskt stabil SP (stabil spiralpunkt för …)

) 2 , 3

( − är en instabil SP (instabil nod för …)

1p: Korrekt bestämt de stationära punkterna 1p: Korrekt linjariserat i de stationära punkterna

3p: Korrekt klassificerat de stationära punkterna, och då även m.a.p. på motsvarande linjariserade system 4. y(t)=

(

9+7cos[4(t−3)]

)

U(t−3) 1p: Korrekt identifierat integralen som en faltning av

y(...) och −sin(3...)

1p: Korrekt Laplacetransformerat integralekvationen 1p: Korrekt förberett för en inverstransformering 2p: Korrekt utfört inverstransformeringen

5. e t

t

t t ⎟⎟

⎜⎜ ⎞

=⎛

) 2 cos(

2 ) 2 ) sin(

(

X Scenario 1:

Scenario 2:

1p: Korrekt bestämt egenvärden och egenvektorer till systemmatrisen

2p: Korrekt sammanställt den allmänna lösningen 2p: Korrekt skissat lösningskurvan

1p: Korrekt utfört en Laplacetransformering

1p: Korrekt förberett för inverstransformering genom att algebraiskt korrekt ha funnit transformuttrycken för lösningarna x och y

1p: Korrekt utfört inverstransformeringen 2p: Korrekt skissat lösningskurvan

6. y=C1ex +C2(x+1)2ex 1p: Korrekt funnit lösningen y1 =ex till DE 2p: Korrekt genomfört en variation av parameter

2p: Korrekt sammanställt den allmänna lösningen till DE

7. sin( )

) cosh(

) cosh(

) ,

( 5

5 2 5 1

) ) 1 ( 1 (

6 n y

n x n

n n

y n

x

u π π

π

π

=

= 2p: Korrekt behandlat y -delen 1p: Korrekt behandlat x-delen

2p: Korrekt bestämt Fourier-sin-koefficienterna, och korrekt sammanställt lösningen

8. y=−2 ex−2

) , ) 2 (ln(

E = I

2p: Korrekt genomfört substitutionen y′(x)=u(y(x)), och korrekt gjort en första integrering

2p: Korrekt gjort en andra integrering 1p: Korrekt angivit existensintervallet

References

Related documents

Med hjärtats minutvolym menas den blodmängd som var och en av de två kamrarna pumpar under en minut. Slagvolymen och hjärtfrekvensen ger det som kallas för hjärtminutvolym.

[r]

Det kan därför inte heller anses förmildrande att bolaget i samband med sina sena anmälningar anfört att det vidtagit åtgärder för att undvika liknande situationer i

2 Årsavgift för varmvatten tillkommer och är i kalkylen beräknad till 100 kronor eller 200 kronor per månad inklusive mervärdesskatt beroende av lägenhetsstorlek.. 3

De förarstödsystem som finns i bilen är utfor- made för att vara kompletterande hjälpmedel till föraren men kan inte hantera samtliga situa- tioner vid alla trafik-, väder-

RESEARCH OCH MANUS: EWA HAMARK FOTO OCH REDIGERING: ROLF HAMARK LJUD: BENJAMIN HAMARK, ANDERS OLOFSSON FILMSERIE: TRYGG I TRAFIKEN.

E n m öjlig fram tida intervjustudie sku lle kunna undersöka hur m edlem m ar i den del av allm änheten som inte själva är nämndemän ser på nämndemännen — upplever man

Inom kommunen planeras för nya vatten- och avloppsledningar från Mariefred till Hedlandet, för att säkerställa att de boende i området har ett tjänligt vatten..