Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen

(1)

En webbaserad analyskurs Analys p˚ a m˚ angfalder

Stokes’ sats och dess motsvarigheter i

vektoranalysen

Anders K¨all´en MatematikCentrum LTH

anderskallen@gmail.com

(2)

1 Introduktion

I det h¨ar kapitlet ska vi diskutera differentialformer p˚a underm˚angfalder till Rⁿ. Speciellt ska vi se hur vi integrerar k-former p˚a underm˚angfalder av dimension k, allts˚a 1-former p˚a kurvor, 2-former p˚a ytor osv. Men inte bara det, p˚a en m˚angfald med rand finns det ett samband mellan integralen av en form p˚a m˚angfalden och en integral av en relaterad form p˚a randen som kallas Stokes sats. Relationen handlar om differentialoperatorn och denna enkla, kompakta, formel inneh˚aller alla vektoranalysens klassiska integrationssatser:

Gauss’ sats, Greens sats och Stokes’ sats.

2 Differentialformer p˚ a m˚ angfalder

En k-dimensionell underm˚angfald till Rⁿär en delmängd M s˚adan att varje punkt har en omgivning U s˚adan att vi kan skriva skärningen M ∩U som ett k-stycke {ψ(t); t ∈ ω ⊂ R^k} där ψ : ω → M ∩ U är C¹ och bijektiv. Vi kallar ψ för en lokal parametrisering (en parametrisering av en del) av m˚angfalden.

Om ω = P

Ia_Idx_I ¨ar en m-form i Rⁿ s˚a blir tillbakadragningen ψ^∗ω(t) =X

I

a_I(ψ(t))dψ_I(t)

en m-form p˚a M . Exempel 1 Vi vet att

ψ(θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), ω = {(θ, φ); 0 < θ < π, 0 < φ < 2π}

parametriserar n¨astan hela enhetssf¨aren. L˚at,

ω = x₃dx₁∧ dx₂ + x₁dx₂∧ dx₃− x₂dx₁∧ dx₃ vara en 1-form i rummet. D˚a g¨aller att

ψ^∗ω = ψ₃dψ₁∧ dψ₂ + ψ₂dψ₂∧ dψ₃− ψ₂dψ₁∧ dψ₃. H¨ar har vi att

dψ₁ = cos θ cos φdθ −sin θ sin φdφ, dψ₂ = cos θ sin φdθ +sin θ cos φdφ, dψ₃ = − sin θdθ, s˚a

dψ₁∧ dψ₂ = cos θ sin θdθ ∧ dφ, dψ₁∧ dψ₃ = sin²θ sin φdφ ∧ dθ, dψ2∧ dψ3 = − sin²θ cos φdφ ∧ dθ

Det f¨oljer att

ψ^∗ω = (cos²θ sin θ + sin³θ cos²φ + sin³θ sin²φ)dθ ∧ dφ = sin θdθ ∧ dφ

¨ar tillbakadragningen av ω till S².

(3)

Som den är definierad är den definierad i en speciellt parametrisering, men differentialens invarians gör att formen faktiskt är väldefinierad som ett objekt p˚a k-stycket, oberoende av vilken parametrisering vi väljer. För att se det använder vi att vi kan skriva varje annan parametrisering som ψ1 = ψ ◦ φ där φ är en avbildning p˚a R^k. Kalla den nya parametern s. D˚a gäller enligt differentialens invarians att

ψ₁^∗ω(s) = (φ^∗ψ^∗ω)(s) = (ψ^∗ω)(φ(s)) = ψ^∗ω(t).

Vi ser allts˚a att värdet p˚a differentialformen i en punkt p˚a M inte beror av vilken parametrisering vi väljer att använda. Därmed kan vi ocks˚a definiera differentialformer p˚a godtyckliga underm˚angfalder i Rⁿ.

Anmärkning Att vi kan definiera differentialformer p˚a godtyckliga m˚angfalder (allts˚a även abstrakta) följer p˚a väsentligen samma sätt. Vi arbetar d˚a istället med inversen till pa- rametriseringen, allts˚a kartorna.

Vidare kan utvidga den yttre differentialen till att verka p˚a differentialformer p˚a m˚angfalder.

Detta beror p˚a differentialens invarians. P˚a ett ytstycke Σ = ψ(U ) kan vi definiera dω som (ψ⁻¹)^∗d(ψ^∗ω) och med en annan parametrisering ψ₁ = ψ ◦ φ har vi att

(ψ⁻¹₁ )^∗d(ψ^∗₁ω) = (ψ⁻¹)^∗(φ⁻¹)^∗d(φ^∗ψ^∗ω) = (ψ⁻¹)^∗(φ⁻¹)^∗φ^∗d(ψ^∗ω) = (ψ⁻¹)^∗d(ψ^∗ω).

3 Integration p˚ a m˚ angfalder

Den kanske viktigaste egenskapen hos differentialformer är att de är objekt som kan integreras p˚a m˚angfalder. För att se varför, betrakta först den vanliga Riemannintegralen av en funktion definierad i Rⁿ. Om φ definierar ett koordinatbyte i Rⁿ s˚a gäller för Riemann-integralen att

Z

f (x)dx = Z

f (φ(y))| det dφ(y)|dy.

För att vi ska kunna utvidga detta till integration p˚a underm˚angfalder till n˚agot Rⁿm˚aste integralen vara oförändrad om vi gör ett koordinatbyte, men det gäller inte i allmänhet, eftersom koordinatbyten förvränger volymer. Men om vi istället integrerar ω = f (x)σ, där σ = dx1∧ . . . ∧ dxn och definierar

Z ω =

Z

f (x)dx,

där integralen i högerledet är den vanliga Riemannintegralen p˚a Rⁿ, s˚a vet vi att φ^∗ω = f ◦ φ det(dφ)dy₁∧ . . . ∧ dy_n.

Det betyder att om φ bevarar orienteringen, allts˚a det dφ > 0, s˚a g¨aller att R φ^∗ω =R ω.

Integration över ett öppet omr˚ade U ⊂ Rⁿ definieras genom att funktionen χ_Uf ska vara integrerbar, där χ_U är den karakteristiska funktionen p˚a U , allts˚a den funktion som är

(4)

1 p˚a U och 0 utanf¨or, och vi s¨atter d˚a R

Uω = R χUf dx. Ur det och observationen ovan följer att om φ är ett koordinatbyte s˚adant att det dφ > 0 s˚a gäller att

Z

φ(U )

ω = Z

U

φ^∗ω.

Mer precist: antag att f : V → U är ett koordinatbyte mellan öppna delmängder i Rⁿ eller i det övre halvplanet Hⁿ¹ och ω är en n-form i U . D˚a gäller att

Z

U

ω = Z

V

φ^∗ω.

Om φ ist¨allet kastar om orienteringen ska vi ha ett minustecken i h¨ogerledet.

Anmärkning Det är intressant att notera att denna fundamentala egenskap härleds bak till att 1-former är antikommutativa: dxi∧ dxj = −dxj∧ dxi.

Men fr˚an detta f¨oljer att om Σ = ψ(U ) ¨ar ett orienterad k-stycke i Rⁿ och ω en k-form p˚a M , s˚a kan vi definiera

Z

Σ

ω = Z

U

ψ^∗ω.

Denna definition blir oberoende av val av parametrisering enligt diskussionen ovan, s˚a l¨ange vi h˚aller oss till samma orientering av ytstycket; tv˚a olika parametriseringar skiljer sig ju ˚at p˚a ett koordinatbyte med positiv funktionaldeterminant. Om vi byter orientering kommer dock integralen att byta tecken.

Slutligen, om M ¨ar en orienterad k-dimensionell underm˚angfald till Rⁿ s˚a kan vi med hj¨alp av en partition av enheten skriva ω = P

iω_i, där varje ω_i har sitt stöd i ett k-stycke Σ_i och summan i en omgivning av varje punkt best˚ar av ändligt m˚anga termer. Vi kan d˚a definieraR

Mω som summanP

i

R

Σiω, och man ser l¨att att denna definition blir oberoende av vilken partition av enheten vi v¨aljer.

Anmärkning Vi har definierat integralen med hjälp av en partition av enheten, därför att det är det matematiskt enklaste. I praktiken beräknar man emellertid en integral

över en m˚angfald s˚a att man delar upp m˚angfalden i ytstycken som hänger ihop i olika randbitar. Integralen över en randbit är noll, s˚a vi kan beräkna den totala integralen genom att summera integralerna över de olika ytstyckena. Om vi t.ex. ska integrera över enhetssfären, kan vi beräkna en integral över den övre halvsfären och en över den undre halvsfären. Utan att bry oss om vart ekvatorn hör.

Om Σ = {ψ(t); t ∈ ω} ¨ar k-stycke s˚a finns det en k-form p˚a Σ som ¨ar speciellt intressant.

Den definieras genom

dS =p

det ψ⁰(t)^tψ⁰(t)dt₁∧ . . . ∧ t_k.

Denna form, som volymsformen p˚a Σ, beror inte av vilken parametrisering vi anv¨ander:

med ψ₁ = ψ ◦ φ f˚ar vi n¨amligen att pdet ψ₁⁰(t)^tψ₁⁰(t)dt₁∧ . . . ∧ t_k=p

det(φ⁰(t)^tψ⁰(φ(t))^tψ⁰(φ(t))φ⁰(t))dt₁∧ . . . ∧ t_k pdet ψ⁰(φ(t))^tψ⁰(φ(t)) det φ(t)dt₁∧ . . . ∧ dt_k =p

det ψ⁰(s)^tψ⁰(s)ds₁∧ . . . ∧ ds_k,

(5)

där s = φ(t). Det följer att dS är globalt definierad p˚a en orienterad k-dimensionell m˚angfald. AttR

MdS definierar arean av M när M är tv˚adimensionell och en motsvarande k-area i andra dimensioner diskuteras närmare i XXX. Följande exempel är de vanligaste i praktiken.

Exempel 2 Om k = 1, dvs γ = c(I) ¨ar en kurva, s˚a f˚ar vi ds =p

c⁰(t)^tc⁰(t)dt = |c⁰(t)|dt, Om ω(x) =P

ku_k(x)dx_k och γ ¨ar en orienterad kurva, s˚a g¨aller att c^∗ω = X

k

u_k(c(t))c⁰_k(t)dt = u(c(t)) · c⁰(t) = (u(x) · T (x))ds

där x = c(t) och T (x) = c⁰(t)/|c(t)| är enhetstangenten i rörelsens riktning och u = (u₁, . . . , u_n) är vektorfältet svarande mot ω.

Exempel 3 F¨or tv˚aformen

ω = u₁dx₂∧ dx₃+ u₂dx₃∧ dx₁+ u₃dx₁∧ dx₂ i rummet g¨aller att den tillbakadragen till Σ = {ψ(t); t ∈ U } ges av

ψ^∗ω = ψ^∗u₁dψ₂∧ dψ₃+ ψ^∗u₂dψ₃∧ dψ₁+ ψ^∗u₃dψ₁∧ dψ₂

= u(ψ(t)) · (∂₁ψ(t) × ∂₂ψ(t))dt₁∧ dt₂. Inf¨or vi h¨ar x = ψ(t), u(x) = (u₁(x), u₂(x), u₃(x)) och

N = ∂₁ψ(t) × ∂₂ψ(t)

|∂₁ψ(t) × ∂₂ψ(t)|, dS = |∂₁ψ(t) × ∂₂ψ(t)|dt₁ ∧ dt₂,

s˚a kan detta skrivs u(x) · N (x) dS. Här är N enhetsnormal till ytstycket och dS är inget annat än areaformen p˚a Σ.

Detta sista exempel generaliseras till godtyckliga hyperytor. Vi skriver en godtycklig n − 1-form p˚a formen

ω =

n

X

k=1

(−1)^k−1ukdx−k

(notera hur tecknet stämmer med diskussionen för fallet n = 3). D˚a gäller att

ψ^∗ω =

n

X

k=1

(−1)^k−1ψ^∗u_kdψ−k = det

ψ^∗u₁ ∂₁ψ₁ . . . ∂_n−1ψ₁ ... ... . . . ... ψ^∗u_n ∂₁ψ_n . . . ∂_n−1ψ_n

dt₁∧ . . . ∧ dt_n−1,

vilket ¨ar precis

u(x) · N (x) dS, x = ψ(t),

där N (x) är enhetsnormal till ytstycket. Det finns tv˚a enhetsnormaler, och den aktuella är s˚adan att basvektorerna N (ψ(t)), ∂₁ψ(t), . . . , ∂_n−1ψ(t) blir positivt orienterade. Den sista likheten följer av att determinanten ger (hyper-)volym med tecken av den parallellepiped som spänns upp av kolonnvektorerna och denna kan ocks˚a beräknas genom att vi tar basvolymen dS och multiplicerar med höjden som är u · N .

(6)

4 Stokes sats

Den vanliga ins¨attningsformeln Z b

a

f⁰(x)dx = f (b) − f (a)

i endim har en l˚angtg˚aende generalisering som kallas Stokes sats. Innan vi formulerar och bevisar den tar vi ett exempel.

Exempel 4 L˚at

ω = X

i

a_i(x)dx_−i

vara en godtycklig (n − 1)-form p˚a Rⁿ och K_n enhetskuben i Rⁿ K_n= {x ∈ Rⁿ; 0 ≤ x_i ≤ 1, i = 1, . . . , n}.

Dess rand best˚ar d˚a av alla de sidor där vi för ett i har antingen att x_i = 0 eller x_i = 1 och de övriga variablerna varierar fritt i [0, 1]. Vi orienterar den genom att välja normalen N som den ut˚atriktade normalen; d˚a blir ∂K positivt orienterad som rand till K. Vi m˚al

¨ar d˚a att ber¨akna R

∂Knω.

Summan av integralerna ¨over tv˚a motst˚aende sidor blir nu Z

Kn−1

(a_i(x₁, . . . , 1, . . . , x_n) − a_i(x₁, . . . , 0, . . . , x_n))dx−i.

Men vi har att

a_i(x₁, . . . , 1, . . . , x_n) − a_i(x₁, . . . , 0, . . . , x_n) = Z 1

0

∂_ia_i(x) dx_i, s˚a vi ser att

Z

∂Kn

ω =

n

X

i=1

Z

Kn−1

( Z 1

0

∂_ia_idx_i)dx−i = Z

Kn

(

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹∂_ia_i(x))σ = Z

Kn

n

X

i=1

dx_i∧ ∂_iω.

Men här känner vi igen differentialen av en (n − 1)-form i högerledet och vi ser att vi för allmänna (n − 1)-former ω har att

Z

∂Kn

ω = Z

Kn

dω.

Detta är ett specialfall av Stokes sats, men samtidigt s˚a allmänt att det implicierar den totala satsen genom att vi använder differentialens invarians och en partition av enheten.

Vi b¨orjar med att exemplifiera det f¨orra.

Exempel 5 Vi ska visa att det ¨aven g¨aller att Z

Bn

dω = Z

Sⁿ⁻¹

ω,

(7)

där Bn är enhetsklotet i Rⁿ och Sⁿ⁻¹ dess rand. För att se det definierar vi φ som den funktion som avbildar en punkt p˚a ∂K p˚a den punkt p˚a Sⁿ⁻¹ som ligger p˚a str˚alen fr˚an origo som g˚ar igenom punkten. Sedan utvidgar vi denna till en funktion φ : K_n → B_n genom kravet att φ(tx) = tφ(x), x ∈ ∂Kn, 0 ≤ t ≤ 1. D˚a gäller allts˚a att φ(Kn) = Bn och φ(∂K_n) = Sⁿ⁻¹ och eftersom det alltid gäller att d(φ^∗ω) = φ^∗dω, s˚a f˚ar vi

Z

Bn

dω = Z

Kn

d(φ^∗ω) = Z

∂Kn

φ^∗ω = Z

Sⁿ⁻¹

ω.

Vi formulerar nu Stokes sats i sin helhet. De tv˚a exemplen indikerar varf¨or den ¨ar sann.

Sats 1 (Stokes sats) F¨or en differentierbar k-form ω och en orienterad (k+1)-dimensionell m˚angfald M g¨aller att

Z

M

dω = Z

∂M

ω,

d¨ar ∂M har den av orienteringen p˚a M ¨arvda orienteringen.

Bevis. Antag först att M = ψ(K) där K är en k-kub. D˚a gäller enligt definitionen och första exemplet att

Z

M

dω = Z

K

ψ^∗dω = Z

K

d(ψ^∗ω) = Z

∂K

ψ^∗ω = Z

∂M

ω.

Vi kan nu övertäcka M med uppräkneligt m˚anga k-stycken av denna typ och sedan skriva ω = P

iω_i där varje ω_i har sitt stöd i ett k-stycke U_i = ψ_i(K). Om M är kompakt kan denna summa tas ändlig, annars s˚a att den i en omgivning av varje punkt endast har

¨

andligt m˚anga termer 6= 0. Notera att om p ∈ Ui är en randpunkt till M , s˚a gäller att ψ⁻¹_i (p) ligger p˚a en begränsningssida av K. Vi har nu

Z

M

dω =X

i

Z

M

dω_i =X

i

Z

∂M

ω_i = Z

∂M

ω.

Denna sats är en kraftfull generalisering av m˚anga kända satser. Enklast är följande exempel.

Exempel 6 Med M = [a, b], som är 1-dimensionell, ska vi ta en 0-form ω, allts˚a en funktion f . Det gäller att ∂M = {a, b} och d˚a är

Z

∂M

f = [f (x)]^b_a = f (b) − f (a).

Vidare ¨ar

Z

M

df (x) = Z b

a

f⁰(x)dx,

s˚a Stokes sats är inget annat än insättningsformeln. Tar vi M som en kurva γ fr˚an en punkt p₀ till en punkt p₁ i Rⁿ f˚ar vi p˚a samma sätt att

Z

γ

df = f (p1) − f (p0), som ju ¨ar flerdims motsvarighet till ins¨attningsformeln.

(8)

Andra exempel ¨ar formler som dyker upp inom vektoranalysen.

Exempel 7 L˚at u = (u₁, . . . , u_n) vara ett vektorfält och sätt α = u^[ = u · dx. D˚a gäller att ?α = u · ?dx och allts˚a att d(?α) = (div u)σ, där σ = dx₁∧ . . . ∧ dx_n.

Stokes sats innebär d˚a att om Ω är ett öppet omr˚ade i Rⁿ med C¹ rand ∂Ω s˚a gäller att Z

∂Ω

u · N dS = Z

Ω

div u dx, d¨ar N ¨ar den ut˚atriktade enhetsnormalen till ∂Ω och div u =P

k∂_ku_k kallas divergensen av vektorf¨altet u = (u1, . . . , un).

Denna formel kallas i vektoranalysen Gauss’ sats.

En konsekvens av exemplet är att divergensen för ett vektorfält i Rⁿkan beskrivas genom div u(x) = lim

r→0

1 mB)

Z

∂B(x,r)

u · N dS,

där B(x, r) är klotet med radien r och medelpunkt i x i Rⁿoch m_Bdess volym. Eftersom N betecknar den ut˚atriktade enhetsnormalen betyder det att divergensen av u i en punkten representerar “nettoflödet” ut genom en infinitesimalt liten sfär runt punkten. Om vi tänker p˚a u som att det beskriver ett flöde av en gas eller vätska, s˚a säger man att en punkt x där div u(x) > 0 är en källa, medan en punkt där div u(x) < 0 sägs vara en brunn. Gauss’ sats säger d˚a att nettoflödet ut ur ett omr˚ade är lika med nettomängden källor och brunnar i omr˚adet.

Exempel 8 Betrakta ett ämne som flyter i en vätska som befinner sig i stationär strömning och l˚at ämnets densitet beskrivas av funktionen ρ(x, t). L˚at B vara ett godtyckligt klot i det omr˚ade där vätska strömar. Den totala massan i B av ämnet vid tiden t ges d˚a av

M (t) = Z

B

ρ(x, t)σ.

Om vi nu antar att inget ämne nybildas eller ombildas till n˚agot annat och l˚at J (x, t) vara en en 2-form som beskriver vätskans flöde runt B. D˚a ger massbalans att

M⁰(t) = − Z

∂B

ρ(x, t)J (x, t).

Flyttar vi in derivationen i v¨ansterledet under integraltecknet och anv¨ander Stokes sats f˚ar vi att

Z

B

(∂tρ(x, t)σ + d(ρ(x, t)J (x, t)) = 0.

Eftersom detta gäller för alla klot B följer kontinuitetsekvationen

∂_tρ(x, t) + ?d(ρ(x, t)J (x, t)) = 0 Exempel 9 Antag nu att vi har en 1-form ω =P

iu_kdx_k och en 2-dimensionell yta Σ i Rⁿ. D˚a g¨aller att

dω = X

k

du_k∧ dx_k =X

i<j

(∂_iu_j− ∂_ju_i)dx_i∧ dx_j.

(9)

I rummet (n = 3) inf¨or vi

rot u = (∂₂u₃− ∂₃u₂, ∂₃u₁ − ∂₁u₃, ∂₁u₂− ∂₂u₁), och f˚ar d˚a att

Z

Σ

dω = Z

Σ

rot u(x) · N (x) dS, d¨ar N ¨ar en enhetsnormal N p˚a Σ. Samtidigt kan vi skriva

Z

∂Σ

u₁dx₁+ u₂dx₂+ u₃dx₃ = Z

∂Σ

(u · T )ds,

där T är en enhetstangent till kurvan ∂Σ. Relationen mellan N och T är att randen ∂Σ ska vara positivt orienterad sett fr˚an spetsen av N (d.v.s sett fr˚an spetsen av N ska Σ ligga till vänster d˚a man genomlöper ∂Σ i den riktning som definieras av T ). Den formel vi f˚ar är allts˚a

Z

Σ

rot u(x) · N (x) dS = Z

∂Σ

u · T ds, vilken kallas Stokes formel i vektoranalysen.

Anmärkning Ur denna formel f˚ar vi följande tolkning av rotationen. Betrakta ett liten sfär runt en punkt x och lägg ett litet ytstycke Σ genom x ortogonalt mot klotet. Om vi uppfattar u som strömningshastighet för en vätska, s˚a mäter u(x) · T (x) hur mycket vätska som strömmar igenom Σ per area- och tidsenhet. Att integralen i högerledet är skild fr˚an noll betyder att det finns ett inslag av virvelrörelse i vätskeströmningen. Om rot u(x⁰) 6= 0 s˚a är vänsterledet som störst d˚a N har samma riktning som rot u(x⁰). Man kan allts˚a uppfatta riktningen av rot u(x⁰) som rotationsaxel för virvelrörelsen. Längden av rot u(x⁰) är ett m˚att p˚a virvelns styrka.

Exempel 10 Ur formeln

d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)^kα ∧ dβ och Stokes sats f˚ar vi partialintegrationsformeln

Z

M

dα ∧ β = Z

∂M

α ∧ β − (−1)^k Z

M

α ∧ dβ.

Som exempel p˚a detta har vi f¨or en godtycklig funktion f och k-form α att Z

M

f dα = Z

∂M

f α − Z

M

df ∧ α.

När α = g är en funktion (0-form) st˚ar här den vanliga formeln för partialintegration Z b

a

f dg = [f g]^b_a− Z b

a

gdf.

Ett annat exempel p˚a Stokes sats ¨ar f¨oljande fundamentala observation.

(10)

Exempel 11 Vinkelformen i Rⁿ\{0} definieras genom τ =

n

X

k=1

(−1)^k−1x_kdx−k

|x|ⁿ = ?dr rⁿ⁻¹. Den har egenskapen att

rⁿ⁻¹dr ∧ τ = dr ∧ ?dr = σ

där σ = dx₁ ∧ . . . ∧ dx_n är volymsformen i Rⁿ. Dessutom gäller att den är homogen av grad noll, dvs om vi multiplicerar x med ett tal a, s˚a ändras inte τ . Dess differential ges av

dτ = d(r¹⁻ⁿ? dr) = (1 − n)r⁻ⁿdr ∧ ?dr + r¹⁻ⁿd(?dr) = 0, eftersom

d(?dr) =

n

X

k=1

(−1)^k−1d(x_k

r ) ∧ dx−k =

n

X

k=1

(−1)^k−1(dx_k

r − x_kdr

r² ) ∧ dx−k = n − 1 r σ.

Stokes sats medf¨or d˚a att om Ω ⊂ Rⁿ inte inneh˚aller origo, s˚a g¨aller att R

∂Ωτ = 0.

Om emellertid 0 ∈ Ω, s˚a kan vi inte använda Stokes’ sats direkt. Istället f˚ar vi först ta bort ett litet klot B med medelpunkt i origo och s˚a liten radie att B ⊂ Ω. Med Ω = Ω\B

har vi d˚a att origo inte ligger i omr˚adet och det vi visat ¨ar just att R

∂Ωτ = 0. Men

∂Ω = ∂Ω − ∂B, d¨ar minustecknet refererar till att klotranden har omv¨and orientering, s˚a vi har att

Z

∂Ω

τ = Z

∂B

τ = Z

|x|=

τ = Z

|x|=1

τ.

Men enligt ovan har vi att Z

Sⁿ⁻¹

τ = Z

B1

dτ = n Z

B1

dx = n volymen av enhetsklotet.

Vi har allts˚a att integralen över enhetssfären av vinkelformen är arean av enhetssfären.

Om vi betecknar arean av enhetssf¨aren i Rⁿ med m(Sⁿ⁻¹) s˚a har vi allts˚a att Z

∂Ω

τ =

(0 om 0 /∈ ¯Ω m(Sⁿ⁻¹) om 0 ∈ Ω.

Det sista exemplet har intressanta konsekvenser. Betrakta 1-formen

τ = dr

m(Sⁿ⁻¹rⁿ⁻¹ f¨or n > 2. D˚a vet vi fr˚an exemplet att

Z

∂Ω

?τ = 1

för varje öppen delmängd Ω som inneh˚aller origo. L˚at nu därför ρ vara en funktion p˚a Rⁿ som är noll utanför en begränsad delmängd och definiera 1-formen

G(x) = Z

ρ(y)τ (x − y)dy,

(11)

D˚a ser vi att

dG(x) = Z

ρ(y)dτ (x − y)dy = 0 och dessutom visar omkastning av integrationsordning att

Z

∂Ω

?G = Z

Ω

ρ(y)dy.

Om vi anv¨ander Stokes sats p˚a v¨ansterledet f˚ar vi att Z

Ω

d(?G) = Z

Ω

ρdy,

och eftersom detta är sant för alla öppna delmängder Ω följer att

?d(?G) = ρ Med andra ord, 1-formen G l¨oser problemet

dG = 0, ?d(?G) = ρ.

I sig inneh˚aller denna observation mycket av Newtons gravitationsteori och elektrostatiken baserad p˚a Colombs lag, men den diskussionen tar vi i en annan artikel.

Anmärkning Den duala formen ?τ , som allts˚a är en normerad vinkelform, kallas Kronecker- formen. För n = 1 är den dθ/2π.

5 Brower’s fixpunktssats

L˚at M vara en m˚angfald, möjligen med rand. En retraktion av M p˚a en delmängd A är en avbildning φ : M → A s˚adan att φ(x) = x d˚a x ∈ A.

Exempel 12 Avbildningen φ(x) = x/|x| ¨ar en retraktion av det punkterade enhetsklotet p˚a dess rand, enhetssf¨aren.

Ett punkterat enhetsklot är inte en kompakt m˚angfald, vilket ocks˚a visar sig av att det finns en sats som säger att om M är en kompakt, orienterad, m˚angfald med en icke-tom rand, s˚a finns det ingen retraktion av M p˚a ∂M .

För att se att s˚a är fallet, antag att det finns en s˚adan retraktion φ : M → ∂M och förse

∂M med den ärvda orienteringen fr˚an M . L˚at σ = µ_∂M vara volymsformen p˚a randen och sätt α = φ^∗σ. Av dimensionsskäl gäller d˚a att dσ = 0, varför dα = φ^∗dσ = 0. Stokes sats ger därför att R

∂Mα = 0. Men ˚a andra sida, om φ ¨ar en retraktion av M p˚a ∂M s˚a g¨aller att α = σ p˚a randen, och R

∂Mσ = Vol(∂M ) 6= 0.

Denna observation leder till det äldsta resultatet i toplogin, nämligen att varje kontinuerlig avbildning fr˚an det slutna enhetsklotet p˚a sig själv m˚aste ha en fixpunkt.

För att se att detta är sant för glatta avbildningar, l˚at B vara det slutna enhetsklotet och antag att avbildningen f : B → B saknar fixpunkter. Vi kan d˚a definiera en avbildning φ : B → ∂B genom att l˚ata φ(x) vara den punkt p˚a randen som f˚as som skärning med kordan genom x och f (x). Den är uppenbarligen en retraktion av B p˚a ∂B, men s˚adana finns ju inte, s˚a vi har en motsägelse. Allts˚a m˚aste f ha minst en fixpunkt.

(12)

Anmärkning Man kan tänka p˚a denna sats som att om man rör om i en kaffekopp, s˚a m˚aste minst en molekyl ˚atervända till sin ursprungsplats. Att f˚a satsen för en kontinuerlig funktion kan göras genom att först observera att varje kontinuerlig funktion är homotop med en glatt funktion. Naturligtvis gäller satsen även för allmännare mängder än klot, s˚a länge de topologiskt är klot.

A Appendix: Partition av enheten

Funktionen

χ(t) =

(0 d˚a t ≤ 0 e^−1/t d˚a t > 0

¨ar en C^∞(R)-funktion. Detta f¨oljer av att en godtycklig derivata har formen q(1/t)χ(t), t >

0 och d˚a t → 0⁺ gäller att detta g˚ar mot noll. Det följer att funktionen är deriverbar i origo hur m˚anga g˚anger som helst. Vidare är det klart att 0 ≤ χ ≤ 1. Om vi sätter

φ(x) = χ(r²− |x − a|²)

s˚a blir d˚a φ en glatt funktion som ¨ar positiv d˚a |x−a| < r och lika med noll d˚a |x−a| ≥ r.

Med hj¨alp av den ska vi nu konstruera s.k. partitioner av enheten p˚a underm˚angfalder till Rⁿ.

L˚at nu K vara en kompakt delmängd av Rⁿ och antag att vi kring varje punkt x ∈ K finns en öppen omgivning ω(x). Till varje punkt x ∈ K finns d˚a ocks˚a ett öppet klot B_(x)(x) ⊂ ω(x) och enligt Heine-Borels lemma kan vi övertäcka K med ändligt m˚anga s˚adana klot. Kalla dem B₁, . . . , B_m. Till var och en av dem kan vi ta en funktion g_i s˚adan att g_i > 0 i B_i men g_i = 0 utanför B_i. Summan G(x) = P

ig_i(x) är d˚a positiv i K och = 0 i komplementet till en omgivning av K. Dividerar vi därför med summan, allts˚a definierar φ_i(x) = g_i(x)/G(x) f˚ar vi funktioner s˚adana att 0 ≤ φ_i(x) ≤ 1 och uppfyller Pn

1 φ_i(x) = 1 d˚a x ∈ K.

Att överföra detta till ett p˚ast˚aende p˚a en m˚angfald är direkt om M är kompakt. Varje punkt ligger d˚a i en koordinatomgivning, och vi kan välja ut ett ändligt antal s˚adana och därifr˚an konstruera en partition av enheten s˚adan att varje funktion är skild fr˚an noll endast i en koordinatomgivning.

Om M inte är kompakt är situationen lite mer komplicerad. Det räcker d˚a inte med

ändligt m˚anga funktioner, utan vi behöver bilda en oändlig summa, och med det har vi ett konvergensproblem. Men för en underm˚angfald i Rⁿ gäller att vi kan konstruera v˚ara klot s˚a att varje punkt ligger i endast ändligt m˚anga av kloten. Det betyder att summan

är s˚adan att i varje punkt är endast ändligt m˚anga termer skilda fr˚an noll, varför vi inte har n˚agra konvergensproblem. Motsvarande kan göras p˚a en allmän m˚angfald – det topologiska rum som bildar basen för en glatt m˚angfald har just denna egenskap. Vi g˚ar inte in p˚a detaljerna men formulerar följande sats.

Sats 2 Givet en atlas p˚a en m˚angfald M finns en partition av enheten {ψ_i} s˚adan att a) St¨odet f¨or varje ψ_i ligger helt i en koordinatomgivning

b) 0 ≤ ψ_i ≤ 1 ¨overallt

(13)

c) P

iψi = 1 p˚a hela M , d¨ar summan i varje punkt endast best˚ar av ¨andligt m˚anga termer.

Anmärkning Vi har använt begreppet stödet av en funktion. Med stödet av en funktion menas den minsta slutna mängd som inneh˚aller alla punkter där funktionen inte är noll.