• No results found

93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar"

Copied!
6
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta 150825: svar och anvisningar

Uppgift 1

Fr˚an Coulombs lag och E = F/q har vi uttrycket:

E = 1 4πε0

� ρldl r3 r

Vi v¨aljer cylindriska koordinater och s¨atter r = zˆz− a ˆR och dl = adφ. Ladd- ningst¨atheten ifr˚aga ¨ar en linjeladdningst¨athet d¨ar ρl=2πaQ . Detta ger:

E = 1 4πε0

0

Q 2πa

adφ (z2+ a2)3/2zˆz

� �� �

(1)

− 1 4πε0

0

Q 2πa

adφ (z2+ a2)3/2a ˆR

� �� �

(2)

Vi betraktar f¨orst termen (2). Eftersom ˆR = cos φˆx + sin φˆy f˚ar man:

(2) = Q 8π2ε0

0

cos φ dφ

(z2+ a2)3/2x =ˆ Q 8π2ε0

0

sin φ dφ

(z2+ a2)3/2ˆy = 0 Kvar har vi (1), dvs

E = Q 4πε0

z (z2+ a2)3/2ˆz Svar: E = Q

4πε0

z (z2+ a2)3/2ˆz

(2)

Magnetiska fl¨odest¨atheten i en punkt r kan ber¨aknas med Biot-Savarts lag:

B = µ0

� Idl× r r3 Vi s¨atter

r = aˆx− zˆz och

dl = dzˆz vilket inneb¨ar att:

dl× r = dzˆz × (aˆx− zˆz) = dzˆz × aˆx− dzˆz × zˆz� �� �

=0

= adzˆy

B = µ0

4πIa

L/2

−L/2

dz

(a2+ z2)3/2y =ˆ µ0

4πIa

� z

a2√ a2+ z2

L/2

−L/2

ˆ y

= µ0

4πIa

� L/2

a2

a2+ L2/4− (−L/2) a2

a2+ L2/4

� ˆ y

= µ0

4πI L

a�

a2+ L2/4ˆy

Magnetf¨altet fr˚an en o¨andligt l˚ang rak ledare ¨ar:

B = µ0

2π I a och vi f˚ar:

µ0

4πI L

a�

a2+ L2/4 = 0,99µ0

2π I

a ⇐⇒ L/2

a�

a2+ L2/4 = 0,99 Vi s¨atter nu in a = 1 och l¨oser ut l¨angden:

L2/4 = 0,992

1 + L2/4�

⇐⇒ (1 − 0,992)L2/4 = 0,992 dvs

L =�2· 0,99

1− 0,992m≈ 14 m Svar: 14 m

(3)

Uppgift 3 a)

Vab=−

a b

E(r)· dr Vi kan ber¨akna elektriska f¨altet med Gauss lag:

S

D(r) dS = Q

d¨ar S ¨ar en sf¨arisk yta med radie a < r < b.

Q = 4πr2D(r) E(r) = 1

ε0εr

D(r) = Q

ε04πr2(1 + kr)ˆr

Vab = −

a b

Q

ε04πr2(1 + kr)dr

= Q

ε0

b a

1 + kr

r2 dr = Q ε0

k ln r−1 r

b

a

= Q

ε0

k ln b−1

b − k ln a + 1 a

=

= Q

ε0

� k lnb

a+1 a−1

b

Svar: Q ε0

� k lnb

a+1 a−1

b

b)

D = ε0E + P⇐⇒ P = D − ε0E = P = Q

4πr2ˆr− Q

4πr2(1 + kr)ˆr =−k Q 4πrˆr Svar:−k Q

4πrˆr

(4)

a) R¨att alternativ ¨ar (A): kapacitansen kommer att ¨oka.

D˚a man har laddat upp en kondensator kommer laddningen +Q att finnas p˚a ena ytan, och−Q p˚a andra ytan. Detta inneb¨ar att det finns ett elektrisk f¨alt och en sp¨anning, U , mellan dem. Kapacitansen ¨ar

C = Q U

dvs ju mindre sp¨anning mellan ytorna, desto st¨orre kapacitansen. Man kan se det som att laddningarna Q och−Q ¨ar l˚asta till varandra genom sp¨anningen U , och ju h¨ogre kapacitans metallytorna har, desto l¨agre sp¨anning kr¨avs f¨or att l˚asa dem.

Det elektriska f¨altet mellan ytorna g¨or att ¨amnets molekyler till en viss polariseras, dvs f˚ar en positiv och en negativ ¨anda. Molekylerna vrider sig i f¨altriktningen och bildar kedjor (+−)(+−)(+−) . . . fr˚an den negativa ytan till den positiva. Polarisationsladdningarna attraherar de r¨orliga laddningarna p˚a

metallytorna (som har motsatt tecken), vilket g¨or att de r¨orliga laddningrna l˚ases fast h˚ardare. D˚a beh¨ovs inte lika stor sp¨anning mellan plattorna f˚ar att l˚asa Q och

−Q till varandra. Detta inneb¨ar att kapacitansen ¨ar st¨orre d˚a dielektrikat finns mellan plattorna.

b) Se s106-107 i Engstr¨om.

Paramagnetiska effekten:

I paramagnetiska material ger elektronernas spin och banr¨orelse upphov till magnetiska dipolmoment som tenderar att linjeras upp i ett yttre magnetf¨alt. Detta ger att B = µ0µrH med µr� 1.

Diamagnetiska effekten:

I diamagnetiska material ¨ar alla elektroner parade med motriktade magnetiska dipolmoment. I ett yttre magnetf¨alt f¨orst¨arks de dipoler som ¨ar motriktade det yttre f¨altet medan de parallella f¨orsvagas enligt Lentz lag. Detta ger B = µ0µrH med µr� 1.

(5)

Uppgift 5

D˚a dΦ/dt > 0 och Φ > 0 blir den inducerade sp¨anningen i h¨ogra spolen s˚adan att str¨ommen g˚ar ˚at h¨oger i den ¨oversta tr˚aden p˚a bilden. Str¨omriktning ¨ar som bekant definerad s˚a att str¨ommen g˚ar fr˚an plus till minus. Definitionen av plus och minus f¨or u2 i figuren inneb¨ar att:

u2=−

−N2dΦ dt

= N2dΦ dt

d¨ar Φ ¨ar fl¨odet genom v¨anstra spolens alla varv. Fl¨odet kan ber¨aknas genom att betrakta magnetf¨altet, som uppfyller cirkulationssatsen:

C

H· dl = I och i v˚art fall ger att:

LH = N1ii ⇔ H = N1

L ii

Med B = µ0µrH och B = Φ/S har vi:

Φ = BS = µ0µrSN1

L ii

Den inducerade sp¨anningen ¨ar allts˚a:

u2(t) = N2

dt = µ0µrSN1N2

L di1

dt =−µ0µrSN1N2

L ωI0sin ωt eftersom i(t) = I0cos ωt enligt uppgiften.

Svar: u2(t) =−µ0µrSN1N2

L ωI0sin ωt

(6)

a) Vi ber¨aknar den komplexa str¨ommen som:

Ic= Uc

Z d¨ar vi ans¨atter den komplexa sp¨anningen:

Uc= U0ejωt Den komplexa impedansen ¨ar:

Z = R + jωL + 1

jωC = R + j

ωL− 1 ωC

Str¨ommen i kretsen blir:

Ic=Uc

Z = U0

R + j

ωL− 1 ωC

� ejωt= U0

|Z|e−φejωt

d¨ar

|Z| =

� R2+

ωL− 1 ωC

2

St¨orsta str¨ommen uppn˚as d˚a |Z| ¨ar s˚a liten som m¨ojligt, dvs d˚a:

ωL− 1

ωC = 0⇐⇒ ω = ± 1

√LC

Svar: ω =± 1

√LC

b) D˚a

ω = 1

√LC

¨ar Z = R, dvs amplituden f¨or str¨ommen ¨ar:

I0= U0

R Svar: U0/R

References