Hittills på kursen:

(1)

SH1009, modern fysik, VT2012, KTH

där



_x _vt



x´^{ γ} ^

y y´^

z z´^



 



 

 ₂

´ c

t vx

t γ ₂ ₂

1 1

c v

  γ

Hittills på kursen:

0 0

1



  c

Relativitetsteori

Ljushastigheten i vakuum densamma för alla observatörer Lorentztransformationen

Alla system i likformig rörelse i förhållande till varandra är lika mycket värda.

Fysikens lagar är desamma i alla system.

Tidsdilatation: Δt´= Δt (klocka i rörelse går långsammare) Längdkontraktion:L’= L_lab/ (objekt i rörelse kontraheras)

Relativistiskt dopplerskift

(Rödförskjutning då källa avlägsnar sig) f f





  1

´ 1

c

 v





^u



^u

p m

c u

m __γ

 

2

1 2

4 2 2 2

2 p c m c

E  

Relativistisk rörelsemängd och energi

2

2 E mc

mc

E  γ  _kin 

Ljus påverkas av gravitation enligt m_eff=hf/c² 

 



  ₂´

r m Gm F_g ^g ^g

Viloenergi: E =mc²

Masslös partikel: E = pc

Föreläsning 4:

Einstein (1905): Ljuset uppträder som partikel, foton, med energi hf

E = hf

(2)

Comptonspridning

Compton et al visade 1922 att röntgenljusets spridning mot

”fria” elektroner inte kunde förklaras med klassisk vågmekanik utan krävde att vi behandlade ljuset som partiklar och räknade relativistiskt.

Våglängdsskillnaden i inkommande och spritt ljus beror inte av intensiteten utan bara av spridningvinkeln.

Låt inkommande foton ha rörelsemängd p . Spridd foton har rörelsemängd p^´.

Vinklar θ,φ ur figuren.

Rörelsemängden bevaras.





 sin

´sin p_e

: p

||: p p´cosp_ecos Eliminera :



²^^ ²^



^ ² ^ ² ²^^ ^^ ² ²^

2 cos sin p p´cos 2pp´cos p´sin

p_e

 1

´cos 2

´²

2

2 p p  pp 

pe

Även energin bevaras  E_e ^pc^p´c^m_ec2 men vi har även: ger uttryck för E_e²p_e²c²m_e²c⁴ pe2



´ ²



² ² ⁴ ² ² ´² ² 2 ´ ² 2 ³( ´) (2)

2 4 2 2

2c E m c pc pc mc m c p c p c ppc m c p p

p_e  _e  _e    _e  _e     _e 

Kombinera (1) och (2): 2pp´1cos2mecpp´

Med p =h/λfås:   



 







 



  ´

1 cos 1

´1

2 hmc

h e

 θ 

c m h λ

λ

'  e 1cos



Comptonspridning (forts)

Den härledda formeln stämmer väl överens med data!!

Notera att elektronen tillförs maximal kinetisk energi då θ^{= -π.}

För fotonenergier Eγ>> m_ec²kan man visa att elektronens maximala kinetiska energi är:

E_ekin≈Eγ– ½ (m_ec²)

Comtonspridning i grafit

Vridning kan ske för olika Comptonvinklar

Våglängdsanalysator (se nästa föreläsning)

(3)

Vi har studerat två sätt med vilket elektromagnetisk strålning kan växelverka med materia.

För högre energier har vi även en tredje: Parbildning

Parbildning

e⁺+ e^- men både energi och rörelsemängd måste bevaras

+ Z  e⁺+ e^-+ Z där Z är en atomkärna som tar upp rekylen Positron: positivt laddad ”elektron” dvs elektronens antipartikel.

mc2

E ^ Innebär att omvandling mellan energi och massa kan ske.

(Z ”massiv” gör att den rörelsemängd den får endast ger försumbar kinetisk energi)

Om fotonens energi är mer än dubbelt så stor som elektronens vileoenergi (m_ec²):

EM-strålning: Våg eller partikel?

Generellt i kvantfysiken: för att observera (mäta) stör vi systemet. Det sätt vi stör systemet på avgör om vi observerar våg- eller partikelegenskap.

Till exempel: om våglängden är mycket mindre än det objekt vi använder för studien ser vi

partikelegenskap, om våglängden är av samma storlek eller större ser vi vågegenskap.

Svar: både och !!

Interferens för ljus i dubbelspalt ger typiskt mönster med max och min. Vågegenskap!

Mätning av ljuset, t.e.x mha av en fotografisk film, är en

partikelegenskap. Vi får träffar i enstaka punkter

(intensitetsberoende).

Träffar bara där vi inte har interferens-

minimum.

(4)

Genom vilken spalt passerade partikeln?

För att kunna avgöra detta stör vi systemet så att vi tvingar fram en partikelegenskap.

Vågegenskapen försvinner och interferensmönstret uteblir!!

Partiklars vågegenskaper

De Broglie (1923): om ljus har partikelegenskaper, bör partiklar kunna ha vågegenskaper.

Studera en elektronstråle som infaller mot en dubbelspalt.

Interferensmönster observeras!!!

Våglängd:

p

 h



Frekvens:

h f E

(5)

Ofta mer praktiskt att använda vågtal och vinkelfrekvens:

f

k  



 2

2 



s eV 10 6,582 s

J 10 0546 , 2 1

16 -

34    





 ^



 h

Inför:

Vi får då: ph/_k Ehf _

Vågens hastighet (fashastigheten): p

E hp f Eh

v_fas   

Detta är i allmänhet inte detsamma som partikels hastighet, grupphastigheten.

Elektrondiffraction (Davisson – Germer, 1927).

=90, =50, V=54 V, p²/2m = 54 eV Nickel: d =2,15 Å

Å 67 , kg 1 10 11 , 9 C V 10 1,6 54 2

Js 10 63 , 6

2 ^-¹⁹ ³¹

34 



 

 

 e

e deBroglie

m Uq

 h

Å 65 , 1 50 sin Å 15 , 2

sin n    d

(6)

I en annan geometri refereras vinkeln enligt figur.

Konstruktiv interferens fås då:

Detta användes med röntgenstrålning av W.H. & W.L. Bragg (samt M. von Laue) för att dels våglängdsanalysera den, men också för att undersöka kristallstruktur mha känd strålning.





 2

d

sin

n

ⁿ= 1, 2, 3, …

Heisenbergs obestämbarhetsprincip

Låt en elektronstråle träffa en i x-led ”smal” spalt.

Om spaltens vidd Δxär av samma storleksordning som våglängden eller mindre kommer strålen (se våg-kursen) att utbredas i x-led efter spalten.

Detta innebär att elektronerna har en variation i rörelsemängd i x-led Δpx

Smalare spalt  större Δp_x Detta ger: Δp_x 1/Δx

Det är teoretiskt omöjligt att för fenomen av vågnatur samtidigt precist bestämma position och rörelsemängd längs en och samma axel. Δp_x och Δxkan inte

samtidigt vara noll.

Teoretiskt ges gränsen strikt av: 2





p_x x Heisenbergs obestämbarhetsprincip

(osäkerhetsprincipen)

  2 2

2

Q n Q

n Q Q Q

i i

i  



  

Vi använder standard- avikelsen som osäkerhetsmått

(7)

”Tanke”: se partikel som ett vågpaket uppbyggt av vågor enligt Fourierserier (kommer nästa föreläsning).

Bättre bestämd i rummet kräver fler våglängder, dvs större osäkerhet i rörelsemängd.

Heisenbergs obestämbarhetsprincip innebär ingen skillnad för stora objekt:

”Sing-sing rör ju inte på sig”: ’

Betrakta tegelsten, massa ca 2kg, våglängd röd, säg 600 nm. Läget kan knappast bestämmas bättre än en halv ljusvåglängd. Rörelsemängden beräknas klassiskt. Personligen orkar jag nog bara mäta under 17 minuter att tegelstenen har förflyttad sig högst en halv ljusvåglängd.

Δx300 nm, Δp_x=mv2 kg 300 nm/1000 s 610^-10kgm/s Δp_xΔx 1,810^-16Js >> h/2

Annorlunda för atom:

Antag att elektronens positionsosäkerhet i x-led är 0.1 nm. Vilken är då dess osäkerhet i hastighet?

m/s 10 8 , m 5 10 1 , 0 kg 10 11 , 9 2

Js 10 055 , 1 2

2

5 9

31

34  



 

 









 _ ^ _

x m m v p x

p_x _x ^x 



Obestämbarhetsrelationen  kinetiska energin för en bunden elektron kan inte vara noll.

I tre dimensioner:

2 2

2



      





p_x x p_y y p_z z Det går inte att bestämma position och rörelsemängd oändligt bra längs samma axel, däremot kan t.ex. Δp_y ochΔx bestämmas godtyckligt bra samtidigt.

I energi och tid:

2





 tE

Viktig för svag växelverkan, möjliggör att vi ”lånar” energi ΔEunder kort tid Δt så att ΔE Δt för

”lånet” inte överstiger h/2