• No results found

1. a) Definiera vad som menas med dubbelsidig Laplacetransform. (1p) b) Best¨ am en begr¨ ansad l¨ osning till differentialekvationen

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. a) Definiera vad som menas med dubbelsidig Laplacetransform. (1p) b) Best¨ am en begr¨ ansad l¨ osning till differentialekvationen"

Copied!
29
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨ or matematik Linj¨ ar analys, 7.5hp.

Mikael Stenlund 22:a augusti 2008. Tid: 5h.

Hj¨ alpmedel: Beta, mathematics handbook.

osningar skall presenteras p˚ a ett s˚ adant s¨ att att r¨ akningar och resonemang blir atta att f¨ olja. M¨ ark varje l¨ osningsblad med namn och personnummer.

1. a) Definiera vad som menas med dubbelsidig Laplacetransform. (1p) b) Best¨ am en begr¨ ansad l¨ osning till differentialekvationen

d 2 y

dt 2 − y = δ 0 , t ∈ R

δ 0 ¨ ar distributionsderivatan av Dirac’s deltafunktion. (4p) 2. a) Best¨ am intervall f¨ or konvergens och divergens f¨ or potensserien

X n=1

x n n! .

(2p) Avg¨ or om f¨ oljande serier ¨ ar konvergenta eller divergenta:

b) X n=2

1

n 2 − 1 . (1p)

c) X n=1

(−1) n

n . (2p)

3. L¨ os f¨ oljande med hj¨ alp av Fourierserier d 2 y

dt 2 + 4y = f (t), t ∈ R,

ar f (t) = t 2 , t ∈ [−π, π] och f(t + 2π) = f(t) f¨or alla t ∈ R. (5p) 4. L¨ os f¨ oljande med hj¨ alp av l¨ amplig transformmetod.

d 2 y dt 2 dy

dt = e −t

2

, t ∈ R, d¨ ar lim

t →∞ y(t) = 0 och lim

t →−∞ y(t) = 0. Svaret skall anges med hj¨ alp av en faltningsintegral.

(5p) 5. En triangel har h¨ orn i punkterna (1, 0, 0) (0, 1, 0), (0, 0, 1). En sl¨ at yta S har begr¨ ansnings- kurva samma som triangelns kanter. Ber¨ akna fl¨ odet av rot(F ) genom S d¨ ar F = (z 2 , x 2 , y 2 ).

rot st˚ ar f¨ or rotationen. (5p)

6. L¨ os endast en av f¨ oljande uppgifter A, B eller C.

A Anv¨ and definitionen av distributionsderivata f¨ or att bevisa att distributionsderivatan av

Heavisidefunktionen H(t) ¨ ar lika med Diracs delta funktion δ. (5p)

(2)

B Anv¨ and definitionen av enkelsidig Laplacetransform L f¨or att h¨arleda f¨oljande formler.

a) L(f 0 (t))(s) = s L(f(t))(s) − f(0) (2p)

b) L(tf(t))(s) = − d

ds L(f(t))(s) (3p)

C L¨ os f¨ oljande ekvation dy

dt + Z t

0

(t − u)y(u)du = t, y(0) = 0, t ≥ 0,

det vill s¨ aga best¨ am funktionen y(t). (5p)

(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)

References