Magisterkurs för lärare, MAD 790
Matematik med didaktisk inriktning, 40 poäng
Gymnasieelevers förståelse av enhetscirkeln och trigonometri
-en undersökning av elevers förståelse av matematiska begrepp, samt vad lärarna anser att nyblivna matematikstudenter bör kunna när de kommer till
högskola eller universitet.
Magisterarbete, 20 poäng
Framlagt vid Matematiska och systemtekniska institutionen, Växjö universitet November 2002
Författare: Erika Stadler
Handledare: Håkan Sollervall & Inger Wistedt
Abstract
The aim of my study is to investigate how last year students in upper secondary school understand certain mathematical concepts, in particular the unit circle and its trigonometry.
I have used intentional analysis to interpret student’s actions when they solve certain tasks on the basis of a cognitive, situated and cultural context.
Interviews with four university teachers in mathematics about the unit circle, trigonometry, and mathematical understanding, serve both as background for the study and as basis for a discussion, where I relate students understanding to what the teachers want new students to know about these concepts when they begin university studies in mathematics.
The students were arranged in three groups with three students in each group. Each group was presented with two tasks, one in which they were asked to calculate the cosine values for one pointed, one blunt and one straight angle, each located in a separate triangle. They were also asked to decide whether the points (0,71; 0,71) and ( 21 , 3 2) are located on the unit circle or not.
My conclusion is that students mainly have an operational conception of the unit circle and trigonometry. The lack of structural conceptions result in difficulties in seeing connections between the concepts in unfamiliar situations. The students search for known strategies and algorithms to solve the tasks. They know that the unit circle is a circle with radius 1 and center at the origin. They are also familiar with related concepts. One student group shows deep formal understanding, which is what the university teachers would like the students to have. The other groups have difficulties separating different concepts and to use the
mathematical language properly.
Further research could include a socio-cultural study with the same empirical material. It would also be interesting to study how the language and the graphical calculator influence student’s understanding of mathematical concepts.
Sammanfattning
Sammanfattning
Syftet med min studie är att undersöka gymnasieelevers förståelse av matematiska begrepp, samt i vilken utsträckning deras förståelse motsvarar vad högskolelärare anser att studenter bör kunna när de kommer till högskola eller universitet. Bakgrunden till min studie utgörs delvis av intervjuer med fyra universitetslektorer om enhetscirkeln, trigonometri och matematisk förståelse.
Undersökningen bestod i att tre grupper med tre elever i varje grupp fick bestämma cosinus- värdet i trianglar för en spetsig, en trubbig och en rät vinkel, samt om punkterna (0,71; 0,71) och (12, 3 2) låg på enhetscirkeln. Med hjälp av intentionell analys har jag försökt tolka elevernas intentioner med vad de säger och gör när de löser uppgifterna utifrån en kognitiv, situerad och kulturell kontext.
Min slutsats är att elevernas konception av enhetscirkeln och trigonometri främst är av operationell karaktär. Eleverna har svårt för att se helheter och samband, samt att kunna använda sin befintliga kunskap i ett nytt sammanhang. Eleverna är fokuserade på
matematikens algoritmiska aspekt, vilken utgörs av de tekniker och standardiserade strategier som kan användas när man löser en viss typ av uppgifter i matematik. Eleverna är bekanta med enhetscirkelns syntetiska definition, samt de flesta begrepp som är nära förknippade med enhetscirkeln. En grupp visar prov på den djupa formella förståelse som lärarna efterlyser, medan de andra grupperna har svårigheter med att hålla isär olika begrepp och att använda det matematiska språket på ett korrekt sätt.
Det finns möjlighet att göra en sociokulturell studie baserad på samma empiriska material.
Jag anser även att det vore intressant att göra djupare studier av hur språket och miniräknaren påverkar elevers matematiska begreppsuppfattning.
Innehåll
1. INLEDNING ... 1
2. BAKGRUND... 2
2.1 TRIGONOMETRI I GYMNASIESKOLAN... 2
2.2 LÄRARINTERVJUER... 5
2.2.1 Intervjufrågor... 5
2.2.2 Deltagande lärare ... 5
2.2.3 Bearbetning av intervjuer ... 5
2.3 RESULTAT AV LÄRARINTERVJUERNA... 5
2.3.1 Definition av enhetscirkeln ... 6
2.3.2 Enhetscirkeln i ett matematiskt sammanhang... 6
2.3.3 Skillnader och likheter mellan gymnasieskolans matematikundervisning och matematikstudier på högskola och universitet ... 6
2.3.4 Nybörjarstudenters förkunskaper om enhetscirkeln ... 7
2.3.5 Att förstå matematik ... 8
2.3.6 Miniräknaren ... 8
2.3.7 Uppgiftskonstruktion ... 8
2.4 SAMMANFATTNING... 9
3. TEORETISKA ÖVERVÄGANDEN ... 11
3.1 LÄRANDE OCH FÖRSTÅELSE... 11
3.2 VAD STYR INDIVIDERS MATEMATISKA BETEENDE? ... 12
3.3 INSTRUMENTELL INLÄRNING OCH RELATIONELL FÖRSTÅELSE... 14
3.4 STRUKTURELL OCH OPERATIONELL KONCEPTION... 14
3.5 MINIRÄKNAREN OCH MATEMATISK FÖRSTÅELSE... 15
4. SYFTE... 16
4.1 FRÅGESTÄLLNINGAR... 16
5. METOD OCH GENOMFÖRANDE ... 17
5.1 VAL AV METOD... 17
5.2 DELTAGANDE ELEVER... 17
5.3 ELEVINSTRUKTIONER... 18
5.4 TRIANGELUPPGIFTEN... 18
5.5 PUNKTUPPGIFTEN... 19
5.6 INSAMLING OCH BEARBETNING AV DATA... 19
5.7 VAL AV ANALYSREDSKAP... 19
6. RESULTAT ... 21
6.1 ELEVERNA... 21
6.2 TRIANGELUPPGIFTEN... 21
6.2.1 Hur flickgruppen löser triangeluppgiften... 21
6.2.2 Hur pojkgruppen löser triangeluppgiften... 23
6.2.3 Hur blandgruppen löser triangeluppgiften... 24
6.3 PUNKTUPPGIFTEN... 27
6.3.1 Hur flickgruppen löser punktuppgiften ... 27
6.3.2 Hur pojkgruppen löser punktuppgiften ... 28
6.3.3 Hur blandgruppen löser punktuppgiften ... 29
Innehåll
7. ANALYS ... 32
7.1 ANALYS AV HUR ELEVERNA LÖSER TRIANGELUPPGIFTEN, DEL A ... 32
7.2 ANALYS AV HUR ELEVERNA LÖSER TRIANGELUPPGIFTEN, DEL B ... 33
7.3 ANALYS AV HUR ELEVERNA LÖSER TRIANGELUPPGIFTEN, DEL C ... 33
7.4 ANALYS AV HUR ELEVERNA LÖSER PUNKTUPPGIFTEN... 34
7.5 DEN KOGNITIVA KONTEXTEN... 35
7.5.1 cos 0 = 90 ... 35
7.5.2 Miniräknarens inflytande över begreppsuppfattningen ... 36
7.5.3 Cosinus som en etikett ... 36
7.5.4 Är enhetscirkeln en ring eller en platta? ... 37
7.6 DEN SITUERADE KONTEXTEN... 38
7.7 DEN KULTURELLA KONTEXTEN... 39
7.8 SAMMANFATTNING... 40
8. LÄRARNA OCH ELEVERNA – EN AVSTÄMNING ... 42
9. DISKUSSION ... 45
9.1 FELKÄLLOR OCH METODKRITIK... 46
9.2 FÖRSLAG TILL FORTSATT FORSKNING... 47
REFERENSER ... 49
Bilagor 1-6
1. Inledning
Det matematiska begrepp som ur ett lärande- och undervisningsperspektiv fascinerat mig mest är enhetscirkeln. Från min egen gymnasietid har jag starka minnen av att jag aldrig förstod hur sinus- och cosinusvärden för olika vinklar helt plötsligt kunde hamna i en cirkel. Idag, när jag som yrkesverksam gymnasielärare själv har fått tillfälle att undervisa elever om enhets- cirkeln, framstår dess koncept som genialt. Någonstans under resans gång har jag alltså själv erhållit den förståelse av enhetscirkeln som jag aldrig uppnådde under min gymnasietid.
Trigonometri är ett centralt område inom matematiken. För de elever som skall läsa matematik på universitets- och högskolenivå är det viktigt att få en god förståelse för trigonometrin redan under gymnasietiden. Trigonometrin är exempelvis ett värdefullt hjälpmedel inom den analytiska geometrin. Inom funktionsläran beskrivs många viktiga periodiska förlopp med hjälp av trigonometriska funktioner. Enhetscirkeln kan bidra till att öka elevernas förståelse av olika trigonometriska samband och utgör en brygga från geometriska tillämpningar till periodiska förlopp.
Gymnasieelevers förståelse av enhetscirkeln präglas naturligtvis av hur lärare och läromedel behandlar begreppet. Hur elever använder enhetscirkeln beror i stor utsträckning på vilka undervisningsaktiviteter som sker i klassrummet. Alla nyblivna högskolestudenter har med sig tidigare kunskaper i matematik från gymnasiet. Hur väl motsvarar dessa kunskaper det som högskole- och universitetslärare vill att eleverna skall kunna? Många undersökningar visar att elevernas förkunskaper i matematik generellt blir allt sämre (Högskoleverket, 2002). Finns det brister även när det gäller gymnasieelevers förståelse av och kunskap om enhetscirkeln?
Dessa frågor och mina tidigare erfarenheter har resulterat i att jag i min uppsats vill undersöka gymnasieelevers förståelse av enhetscirkeln och trigonometri, samt i vilken utsträckning deras förståelse motsvarar vad högskolelärare anser att studenterna bör kunna när de kommer till högskolan.
2. Bakgrund
2. Bakgrund
För att få en bild av hur enhetscirkeln och trigonometrin behandlas i gymnasieskolan ger jag en översiktlig beskrivning av hur de vanligast förekommande läromedlen hanterar enhets- cirkeln och trigonometri. Genom intervjuer med fyra högskole- och universitetslärare försöker jag fånga deras syn på enhetscirkeln och dess trigonometri, men även hur de upplever att matematikstudier i gymnasieskolan och på universitetsnivå kan skilja sig åt.
2.1 Trigonometri i gymnasieskolan
Medan andra ämnen, t ex svenska, samhällskunskap och religion, på ett naturligt sätt finns i många gymnasieelevers vardag är matematik något de främst stöter på i skolsammanhang.
Elevernas kunskap om och förståelse för ämnet utvecklas i samband med gymnasieskolans undervisning. Här följer därför en sammanfattning av hur trigonometri, enhetscirkeln och periodiska funktioner behandlas i gymnasiekursen. Formler och samband som tas upp har sammanställts i bilaga 1. För en utförligare behandling av den matematiska teorin hänvisas till läroböcker i ämnet.
Trigonometri är ett grekiskt ord som betyder ”triangelmätning”. En annan beskrivning av trigonometrin är att:
”Det är konsten att mäta trianglar, konsten att i en triangel efter behag gå över från mätetalen för vinklarna till (förhållandet mellan) mätetalen för sidorna eller omvänt och att, om man känner vissa av dessa, bestämma de andra.”
(Ur ”Matematikens gryning” av Émile Noël 2001, sid 107) Till och med läsåret 1999/2000 ingick avsnittet ”Trigonometri i rätvinkliga trianglar” i gymnasieskolans A-kurs i matematik.
Efter genomgången kurs skall eleven i geometri och trigonometri kunna använda begreppen sinus och cosinus för att lösa enklare problem.
(Ur: Skolverkets kursplan för Ma 200 – Matematik A, 99/00, 2002a.
http://www3.skolverket.se/ki/SV/9900/sf/21/ol/index.html)
I läroböcker introduceras trigonometrin gärna med exempel på olika mätsituationer från lantmäteri och astronomi för att skapa intresse och motivation hos eleverna (Ahlqvist, Andersson, Nilsson, Olsson, Persson, Rodhe, Sollervall, Spjuth & Stridh, 1999; Axelsson, Bratt, Jakobsson, Jakobsson, Nilson & Sikö, 1996; Björk, Borg & Brolin, 1995; Björup, Oscarsson, Rosén, Sandhall, Selander & Söderström, 1994; Jacobsson, Wallin & Wiklund, 1994). Innan eleverna möter trigonometrin har de lärt sig att beräkna längden av olika sidor i en rätvinklig triangel med hjälp av Pythagoras sats. Den säger dock inget om hur man beräknar vinklarnas storlek om man känner längden på sidorna. Det är här trigonometrin kommer in. Med hjälp av två likformiga trianglar visas att storleken på vinkeln v endast beror på förhållandet mellan två sidor i en rätvinklig triangel. I en rätvinklig triangel kan två sidor bilda sex olika kvoter. Tre av dessa har fått namnen tangens, sinus och cosinus (Björk &
Brolin, 1999).
För att eleverna skall lära sig de trigonometriska sambanden i rätvinkliga trianglar har läromedelsförfattarna konstruerat många olika varianter på uppgifter. Eleverna skall
bestämma längden på en sida, då en vinkel och en sida är kända. Att bestämma sinv och cosv
i en triangel där samtliga sidor är givna innebär att ställa upp och beräkna kvoter mellan respektive sidor. Eleverna får även lära sig att med hjälp av inversa trigonometriska funktioner beräkna vinklars storlek.
D-kursen i matematik läser de flesta elever i åk 2 eller åk 3. Det är först då som eleverna kommer i kontakt med trigonometri i godtyckliga trianglar, trigonometriska funktioner och enhetscirkeln. I kursplanen står det att:
Eleven skall kunna
− använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp, visa
trigonometriska samband och ge fullständiga lösningar till enkla trigonometriska ekvationer samt kunna utnyttja dessa vid problemlösning.
− kunna rita grafer till trigonometriska funktioner samt använda dessa funktioner som modeller för verkliga periodiska förlopp
− kunna härleda och använda de formler som behövs för att omforma enkla trigonometriska uttryck och lösa trigonometriska ekvationer
− kunna beräkna sidor och vinklar i en godtycklig triangel
(Ur: Skolverkets kursplan för Ma 1204 – Matematik D, 01/02, 2002b.
http://www3.skolverket.se/ki/SV/0102/sf/21/ol/index.html.)
I rätvinkliga trianglar är de trigonometriska uttrycken endast definierade för spetsiga vinklar, dvs vinklar i intervallet 0° till 90°. I läromedel för matematik D introduceras enhetscirkeln.
Syftet är i ett inledande skede att definiera de trigonometriska uttrycken för vinklar i intervallet 0°≤ v ≤ 180° så att man kan arbeta med trianglar med godtyckliga vinklar (Axelsson et al, 1996, Björk et al, 1995; Björup et al, 1994; Jakobsson et al, 1994).
Enhetscirkeln är en cirkel i ett koordinatsystem med medelpunkt i origo och radien 1 le. En rätvinklig triangel kan ritas in i enhetscirkeln (se figur 1). Hypotenusan i triangeln blir då 1 le. Med hjälp av definitionerna för sinus och cosinus i rätvinkliga trianglar visas att cos v = x och sin v = y. x och y kan tolkas som koordinater för punkten P. Denna tolkning av de trigonometriska funktionerna gör det möjligt att bestämma sinus- och cosinusvärdet för vilken vinkel som helst. Sidor och vinklar kan nu beräknas för en godtycklig triangel med hjälp av sinus- och
cosinussatsen.
Enhetscirkeln gör det möjligt att på ett lättöverskådligt Figur 1 sätt illustrera och förklara olika trigonometriska samband,
exempelvis att sin( v) = sinv och cos( v) = cosv, sin(180° v) = sinv och cos(180° v) = cosv, samt att cosv = sin(90° v) och sinv = cos(90° v).
En variant av Pythagoras sats är avståndsformeln som används för att härleda
”Trigonometriska ettan” (Björk et al, 1995; Ahlqvist et al, 1999). Sambandet kan användas för att skriva om trigonometriska uttryck i olika former (Björk et al, 1995) men det kan också användas för att beräkna cosv då sinv är känt och tvärt om (Ahlqvist et al, 1999).
2. Bakgrund
Trigonometri handlar inte bara om vinklar. Med hjälp av de trigonometriska funktionerna kan man studera vissa periodiska förlopp. Det är förlopp som upprepas med en viss regelbunden- het. Ett exempel är sinusfunktionen. Dess graf kan konstrueras genom att resonera utifrån enhetscirkeln (Ahlqvist et al, 1999). Vad händer med y-koordinaten när en punkt roterar moturs i enhetscirkeln? Efter en genomgång av vinkelmåttet radianer konstrueras grafen för y som en funktion av vinkeln v mätt i radianer. Då erhålls en sinuskurva (se figur 2).
Cosinuskurvan konstrueras på samma sätt, men då studeras istället x-koordinaten som en funktion av vinkeln.
Figur 2
Ett annat sätt att introducera de trigonometriska funktionerna och deras grafer är att helt enkelt konstatera att sinus och cosinus kan skrivas som funktioner, y = sinx och y = cosx, ställa upp deras värdetabeller och sedan rita deras grafer. I graferna framgår det att kurvan upprepas var 360:e grad eftersom sinus- och cosinusfunktionerna har perioden 360° (Björk et al, 1995; Danielsson et al, 1995; Jacobsson et al, 1994).
Periodiciteten är även lätt att visa med enhetscirkeln. Eftersom ett varv motsvarar 360° på enhetscirkeln är det uppenbart att punkten kommer att hamna på exakt samma ställe oavsett hur många hela varv den roterar, och oavsett åt vilket håll rotationen sker.
2.2 Lärarintervjuer
För att få en bild av vad högskole- och universitetslärare anser att studenterna bör eller måste kunna om enhetscirkeln och dess trigonometri när de påbörjar postgymnasiala studier i matematik intervjuade jag fyra matematiklektorer. Resultatet utgjorde även grunden för utformingen av min elevundersökning som jag sedan genomförde. Avstånd och de
ekonomiska förutsättningarna avgränsade delvis mitt urval, men min ambition var ändå att intervjua lärare från både stora och små lärosäten som erbjuder kurser i matematik.
Intervjuerna genomfördes som ett samtal utifrån ett antal frågor som redovisas nedan.
2.2.1 Intervjufrågor
Samtalen inleddes med en kortfattad beskrivning av syftet med min uppsats. Därefter följde intervjun med följande teman:
1. Definition av vad enhetscirkeln är.
2. Placera in enhetscirkeln i ett matematiskt sammanhang.
3. Vilka likheter och skillnader finns mellan gymnasieskolans matematikundervisning och högskolestudier i matematik?
4. Vad bör gymnasieeleverna förstå/kunna om enhetscirkeln när de börjar läsa matematik på högskola/universitet?
5. Konstruera en uppgift som syftar till a) Inlärning av enhetscirkeln
b) Diagnostisera om eleven har de förkunskaper om enhetscirkeln som är önskvärda när de påbörjar universitetsstudier i matematik.
c) Att ge eleven en känsla för matematikämnet på universitetet där enhetscirkeln utgör det matematiska innehållet.
2.2.2 Deltagande lärare
Anders kommer från ett medelstort universitet.
Mats arbetar på en större teknisk högskola.
Karl-Johan verkar vid en mindre högskola.
Christian finns på ett större universitet.
2.2.3 Bearbetning av intervjuer
Under intervjuerna förde jag noggranna anteckningar. Förutom samtalet med Anders har jag spelat in intervjuerna på kassettband och gjort ordagranna transkriptioner. Anteckningar och intervjumaterial har sedan lästs och sammanfattats. Under mötet med Christian inträffade ett tekniskt missöde, vilket medförde att endast delar av intervjun spelades in på band. Resultat- redovisningen av intervjun med Christian är därför främst baserade på mina intervju-
anteckningar.
2.3 Resultat av lärarintervjuerna
För att läsaren skall få en så god överblick som möjligt återges intervjuerna i huvudsak utan direkta citat, sorterade under respektive fråga. Under intervjuerna uppkom frågor om vad matematisk förståelse är, samt tankar om miniräknarens roll i matematikundervisningen.
Detta har jag också valt att redovisa. Trots att lärarnas utsagor redovisas under respektive namn är mitt intresse av intervjuresultaten främst riktade till lärarna som grupp snarare än som enskilda personer.
2. Bakgrund
2.3.1 Definition av enhetscirkeln
Anders konstaterar att enhetscirkeln definieras som en cirkel med radien 1 le. och centrum i origo. Mats väljer att dela upp definitionen av enhetscirkeln i två delar. Ovanstående
beskrivning menar han är att ge en syntetisk definition av enhetscirkeln, medan en analytisk definition av enhetscirkeln ges med hjälp av dess ekvationx2 +y2 =1.
Karl-Johan anpassar framställningen av enhetscirkeln definition beroende på vilket elevklientel han har. För en gymnasieklass skulle han rita upp ett koordinatsystem med en cirkel med radien 1 le. och centrum i origo och helt enkelt konstatera att det är enhetscirkeln.
Högskolestudenterna skulle få se samma figur tillsammans med enhetscirkelns ekvation
2 1
2 + y =
x .
Christians definition av enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 le. och centrum i origo. Han anser dock inte att enhetscirkeln är ett matematiskt begrepp i egentlig mening, då syftet med enhetscirkeln främst är att definiera och illustrera andra trigonometriska begrepp. Dessutom är enhetscirkeln inte ett självständigt matematiskt begrepp då det förutsätter ett koordinatsystem.
2.3.2 Enhetscirkeln i ett matematiskt sammanhang
Karl-Johan säger att det främsta syftet med att lära elever enhetscirkeln är för att definiera de trigonometriska funktionerna, som man har användning av då man vill mäta vinklar och sträckor. Han framhåller även vinsten med att visa olika trigonometriska samband med hjälp av enhetscirkeln samt att visa vad som händer med sinus- och cosinusvärdet för vinklar större än 90°.
Christian menar att triangelmätning inte är en genuin tillämpning av enhetscirkeln då det kan åstadkommas på andra sätt. Istället anser han att enhetscirkeln är ett viktigt steg på väg från trigonometri i trianglar till mer generella trigonometriska funktioner som inte alls behöver ha något med geometri att göra.
Anders påpekar att enhetscirkeln kan användas för att göra svåra problem enkla. När det gäller periodicitet, rotation och att arbeta med två variabler utgör enhetscirkeln ett utmärkt hjälpmedel för detta. Enhetscirkeln spelar även en nyckelroll när det gäller att definiera de trigonometriska funktionerna.
Enligt Mats är matematikens styrka att den är generell och transfererbar. Därför är det viktigt att förstå den abstrakta idén med enhetscirkeln. Då kan man sedan transferera den idén mellan olika matematiska sammanhang, vilket utgör motsatsen till konkret och situerad kunskap som bara kan tillämpas i ett speciellt sammanhang. Mats menar att om man håller på med
trigonometri i rätvinkliga trianglar blir det visserligen enkelt, men det innebär samtidigt att man fråntar matematiken dess mest produktiva egenskaper, nämligen det abstrakta, generella och transfererbara.
2.3.3 Skillnader och likheter mellan gymnasieskolans matematikundervisning och matematikstudier på högskola och universitet
Anders menar att nyblivna högskolestudenter i matematik har två brister. Det ena är att studenterna under gymnasietiden ej tillgodogjort sig det algebraiska språket. Att hantera matematiska symboler i olika beräkningar är en förutsättning för att kunna föra mer komplicerade matematiska resonemang. Det andra är att studenterna ej förstår deduktiva bevis. För många är skillnaden mellan definitioner och satser samt mellan det specifika och generella luddig. Anders exemplifierar detta genom att berätta att studenterna ofta nöjer sig
med ett exempel, även när syftet är att förklara något generellt. För dem är ”tag x godtyckligt”
samma sak som ”tag x = 3”.
Karl-Johan instämmer med att många studenter idag har brister i grundläggande algebraiska färdigheter, t ex att manipulera och skriva om olika uttryck. Det bidrar i sin tur till att elever får svårare att förstå matematiska resonemang. Han tror att de flesta elever kan känna igen skillnader mellan definitioner, satser, bevis och exempel, åtminstone i en diskussion, men är tveksam till om de själva skulle klara av att ge en exakt förklaring av skillnaden.
När Christian jämför matematikundervisningen på gymnasiet och högskolan pekar han på en skillnad i hur man använder språket. Även om studenterna känner igen många termer krävs en annan förståelse av varje begrepps exakta innebörd. Christian har även märkt att studenterna sällan ger sig tid till att läsa matematiska texter och ta del av de logiska resonemang som de innehåller. Istället är studenterna fokuserade på att snabbt komma igång med att lösa övningsuppgifter.
Både Karl-Johan och Christian upplever att matematikundervisningen på gymnasiet främst inriktas mot inlärning av algoritmer. Undervisningen är mer räknemässig och tonvikten läggs på mekaniskt drillande och ”steg-för-steg-instruktioner” där eleverna sällan ser helheten.
Läraren visar ett exempel. Ett liknande exempel finns med fullständig lösning i läroboken.
Dessa utgör en mall för eleverna. Resten av lektionen ägnar eleverna åt att räkna ett antal exakt likadana exempel. På högskola och universitet syftar undervisningen i matematik främst till förståelse. Det medför att undervisningen delvis har en annorlunda utformning, där
matematiska resonemang ges stort utrymme. Karl-Johan menar att detta paradigmskifte är något som många studenter upplever som jobbigt. För att illustrera detta berättar han en historia:
Jag kommer ihåg en gång då jag själv hade en tydlig upplevelse av detta. Jag hade en kurs i linjär algebra och då skulle jag, väldigt pedagogiskt, ge exempel på ett begrepp vi skulle prata om. Jag vet inte hur många exempel jag gav, men kanske fem stycken, innan jag definierade begreppet. Och så kom det nya begreppet: ”Ja, då kallar vi det så här och så här” sa jag. ”Ja, men då vill vi ha exemplet!”
var det flera studenter som sa. ”Ja, men det var ju fem exempel. Ni har ju sett fem exempel.” ”Ja, men vi vill ha exemplet!” För dom fanns ett exempel. Sedan var allting bara att härma det exemplet. Så allting är alltså likadant, som någon färdig algoritm från början.
2.3.4 Nybörjarstudenters förkunskaper om enhetscirkeln
Karl-Johans erfarenhet är att de flesta gymnasieelever inte känner till hur de trigonometriska funktionerna definieras med hjälp av enhetscirkeln. Det behöver dock inte innebära att lärarna på gymnasiet ej har behandlat det, utan att eleverna helt enkelt har glömt bort det.
Christian säger att studenterna förutsätts kunna koordinater, vinkel, cirkel och punkt samt att de är bekanta med sinus- och cosinusbegreppen. Eleverna behöver dock inte kunna enhets- cirkeln och hur den används eftersom de flesta matematikkurser på universitetet börjar ganska grundligt, menar Christian. När studenterna kommer till universitetet får de börja repetera trigonometri i rätvinkliga trianglar. Eftersom sinus och cosinus är förhållanden mellan två sidor spelar trianglarnas storlek ingen roll. Då kan man lika gärna titta på en triangel med hypotenusan 1 le. som sedan läggs in i enhetscirkeln. Eleverna får därefter undersöka koordinaterna för olika vinklar och studera cosinussatsen.
2. Bakgrund
2.3.5 Att förstå matematik
Christian menar att matematisk förståelse finns på olika plan. En formell förståelse av ett matematiskt begrepp kan t ex innebära att man kan använda matematiska definitioner för att identifiera något eller att följa ett matematiskt bevis och undersöka om det stämmer. Att ha en känsla för ett matematiskt begrepp, att kunna skapa en intuitiv bild som man ser framför sig och kunna sätta in det i ett större sammanhang betecknar Christian som en djupare förståelse.
”Det viktiga är ej att räkna, det viktiga är att förstå” är ett påstående som Mats tycker saknar relevans. Han menar att förståelse är olika saker för olika människor och i olika sammanhang.
Själv skiljer han på olika typer av matematisk förståelse. Algoritmisk förståelse innebär att eleven lär sig att använda givna formler och följa instruktioner. Ett exempel på det är när elever tittar på ett fullständigt löst exempel i läroboken för att sedan göra ett antal uppgifter av exakt samma typ. Det finns lärare som menar att algoritmisk förståelse inte är förståelse över huvudtaget, men Mats menar att algoritmisk förståelse är en förutsättning för att kunna hantera en större komplex helhet.
Att förstå hur man kan använda enhetscirkeln för att härleda olika trigonometriska formler samt att kunna placera in enhetscirkeln i ett större matematiskt sammanhang är ett exempel på funktionell förståelse. En mer samlad förståelse gör att begreppet kan användas vid
problemlösning, menar Mats. Det är lätt att konstruera uppgifter som diagnostiserar
funktionell förståelse. Däremot anser Mats att det är svårt att konstruera problem som syftar till att eleverna skall tillskansa sig den samma.
Karl-Johan menar att förmågan att kunna följa ett matematiskt resonemang är ett första steg mot matematisk förståelse. Hans erfarenhet är dock att många elever saknar den förmågan på grund av brister i grundläggande algebraiska färdigheter. Huvudpoängen i ett matematiskt resonemang försvinner då eleverna inte kan följa de algebraiska manipulationer som stödjer tankegången. Att själv kunna föra sådana resonemang utgör nästa steg. Allra längst kommer de som kan formulera de problem runt vilka man sedan resonerar, vilket är ett bidrag till att utveckla matematiken.
2.3.6 Miniräknaren
Mats ifrågasätter om elever lär sig något på att t ex beräkna vad sin 63° är genom att slå det på miniräknaren och sedan få ut ett svar som väl överensstämmer med facit. Han menar också att ju mer utvecklade grafritande miniräknare och andra elektroniska hjälpmedel blir, desto mindre tvingas människor tänka och fundera över centrala matematiska begrepp.
Trots att miniräknaren har vissa positiva effekter menar Karl-Johan att den samtidigt lurar studenterna på en massa algebraisk förståelse. Att utföra en beräkning kan i sig generera en viss förståelse. Den går eleverna miste om när de använder räknaren. Förståelsen varför en kalkyl fungerar passerar fullständigt oberört förbi, menar han.
2.3.7 Uppgiftskonstruktion Karl-Johan:
• Verifiera om en punkt ligger på enhetscirkeln.
• Bevisa enkla trigonometriska formler med hjälp av enhetscirkeln, t ex sin(x + π/2)
• Geometriska uppgifter, t ex var räta linjer skär enhetscirkeln, villkor för att en linje över huvudtaget skall skära samt hur cirkelns tangenter ser ut.
• Hitta en punkt på enhetscirkeln med 0,1≤ x ≤ 0,3 och se hur de behandlar ett sådant problem.
Anders:
• Vilka punkter ligger på enhetscirkeln? T ex (1,1) osv.
• Definiera en cirkel. Att göra en entydig och precis beskrivning av begreppet. Skilja mellan definition och sats.
• Skriva upp 20 punkter som ligger på enhetscirkeln, dvs punkter som satisfierar
2 1
2+ y =
x .
• Ge några vinklar vars koordinater man sedan beräknar.
• Öva på att mäta vinklar i grader och radianer och översättningen däremellan
• Varje punkt på enhetscirkeln svarar mot en vinkel. Skriv ut x = cosv och y = sinv. Be eleverna att tala om hur sin och cos varierar när vi går runt enhetscirkeln.
• Be om cos och sin-värdet för minst 5 vinklar.
• Skriv upp sambandet mellan sinus och cosinus (trigonometriska ettan).
Christian:
• Uppgifter som visar kopplingen mellan vinkel, punkt och koordinater.
• Vilken punkt motsvarar en viss vinkel?
• Ange en spegelbild i origo, spegling i x-axeln och y-axeln.
• Läs av sinus- och cosinusvärden för olika vinklar i enhetscirkeln.
• Beräkna punkter med hjälp av Pythagoras sats för vinkeln 45°, 60°, 120° osv.
• Tag vinkeln 20°. Det går ej att hitta exakta värden för vinkelns koordinater i enhetscirkeln.
Ett sätt att lösa problemet är att uttrycka dem med hjälp av sinus och cosinus.
• Utgå ifrån en spetsig triangel och undersöka vad som händer med cosinusvärdet då vinkeln successivt blir större.
Mats ger inga konkreta förslag på uppgifter. Han menar att det viktiga är att varje exempel måste ges med intentionen av att nå en abstrakt och generell förståelse. Det kan bland annat ske genom att undvika reproduktion och istället göra något på ett för eleverna nytt sätt. Att med hjälp av enhetscirkeln bevisa Pythagoras sats, cosinussatsen och subtraktionsformeln för cosinus skulle kunna vara en sådan uppgift.
2.4 Sammanfattning
Vad vill då högskole- och universitetslärare att nyblivna studenter skall kunna om
enhetscirkeln och dess trigonometri? I intervjuerna pekar lärarna på flera enskilda moment som är viktiga att förstå när det gäller enhetscirkeln och trigometri, men lärarna diskuterar också mer övergripande frågor när det gäller matematik och skillnader mellan matematik- studier på gymnasiet och högskolan som får konsekvenser för nyblivna studenter.
Alla lärare konstaterar att enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 le. och centrum i origo, vilket känns igen från gymnasieskolans läroböcker om enhetscirkeln. Flera av lärarna menar också att enhetscirkelns ekvation x2 +y2 =1 utgör en viktig del av dess definition. Det främsta syftet med enhetscirkeln är att kunna definiera de trigonometriska funktionerna.
Enhetscirkeln erbjuder också möjlighet att på ett visuellt sätt övergå från vinklar i trianglar till att studera vinklar större än 90° och periodiska förlopp.
Att visa olika trigonometriska formler och samband med hjälp av enhetscirkeln är något som behandlas i gymnasiets matematikkurs och som lärarna tycker är en väsentlig tillämpning av enhetscirkeln. Lärarna betonar även att när det gäller enhetscirkeln är det viktigt att elever får
2. Bakgrund
göra uppgifter som visar kopplingen mellan vinkel och punkt i enhetscirkeln. Exempel på sådana uppgifter kan vara att verifiera att en punkt ligger på enhetscirkeln, samt att eleverna själva får hitta punkter som ligger där. Förutom att det ger en insikt om att till varje vinkel hör en punkt, så utgör den typen av uppgifter en konkret tillämpning av Pythagoras sats och cirkelns ekvation. När punkternas koordinater inte kan uttryckas exakt kan problemet lösas genom att uttrycka dem med hjälp av sinus och cosinus.
Ett grundläggande karaktärsdrag för matematikundervisningen på gymnasiet är enligt lärarna att den främst inriktas mot algoritmisk förståelse. Eleverna lär sig att räkna och tillämpa regler efter en given mall. Det gör att eleverna får svårt att se helheter och samband i matematiken.
På högskola och universitet syftar undervisningen i matematik till förståelse. Tonvikten förskjuts från att räkna till att läsa matematik. Det ställer andra delvis nya krav på studenterna.
En förutsättning för att kunna följa avancerade matematiska resonemang är förmåga att kunna hantera det matematiska symbolspråket. Det matematiska språkbruket skiljer sig även i övrigt gentemot det vardagliga genom dess exakthet och noggrannhet. När det gäller matematikens formella delar är det viktigt att kunna skilja på definition, sats, bevis och hypotes.
Att matematisk förståelse finns på olika nivåer och i olika former instämmer lärarna med. En typ av matematisk förståelse är att kunna följa ett matematiskt resonemang samt att använda givna formler och följa instruktioner. Att ha en känsla för ett matematiskt begrepps egentliga innebörd och kunna sätta in det i ett större sammanhang och se helheter och samband
betecknar flera av lärarna som en djupare matematiskt förståelse.
Ett par lärare påtalar de nackdelar som ett ivrigt användande av miniräknare medför. Att utföra beräkningar för hand kan i sig generera en viss förståelse samt tvinga elever att fundera över vissa centrala matematiska begrepp. Det missar eleverna om alla beräkningar
automatiseras.
3. Teoretiska överväganden
I lärarintervjuerna framkommer bland annat hur lärarna ser på nybörjarstudenter, enhetscirkeln och trigonometri, samt vilka skillnader och likheter som finns mellan matematikstudier på gymnasieskola och på universitetsnivå. Hur väl motsvarar
gymnasieelevers förståelse dessa önskemål? En del av mitt syfte är att undersöka detta.
Vad menas då med förståelse och hur kan den beskrivas? Min studie tar sin utgångspunkt i konstruktivismen. I avsnitt 3.1 redogör jag för denna ansats och hur begrepp som ”lärande”
och ”förståelse” skall tolkas utifrån detta teoretiska perspektiv. Jag ger också en beskrivning av de kontexter som utgör grunden för min analys. Därefter följer en mer detaljerad teoretisk beskrivning av innehållet i de olika kontexterna.
3.1 Lärande och förståelse
Konstruktivismen utgör ett paraply för flera olika uppfattningar om hur kunskap bildas och hur lärande går till (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Metaforen om att människan konstruerar kunskap utifrån sina erfarenheter är dock gemensam. En människa bär med sig kognitiva scheman som kan beskrivas som mönster för hur människan tänker (Imsen, 2000).
Dessa ger mening och sammanhang åt händelser, upplevelser och erfarenheter (Ernest, 1998).
Varje schema inrymmer tre delar (von Glaserfeld, 1998):
1. Igenkännande av en viss situation.
2. Associering av en specifik handling i samband med situationen.
3. Förväntan om ett visst resultat.
Lärande kan beskrivas som en konceptuell förändring av dessa scheman, då intuitiva och naiva uppfattningar får ge vika och ersätts av mer livsdugliga och välutvecklade
föreställningar. Det finns två centrala begrepp för att beskriva denna process. Assimilation innebär att kunskap kan tolkas med hjälp av redan existerande scheman. Om detta ej är möjligt måste individen göra en omstrukturering eller förändring av befintliga scheman.
Denna process kallas för ackommodation (Ernest, 1998).
Flera likartade kognitiva scheman utgör tillsammans en kognitiv struktur (Imsen, a.a.). Ett exempel på en kognitiv struktur är de rutiner och mönster i vårt sätt att tänka och bete oss i olika situationer (Bauersfeld, 1998). I en klassrumssituation råder vissa interaktionsmönster.
De tycks uppkomma utan att någon närmare reflekterar över deras existens eller tillkomst.
Ingen enskild individ kan heller påstås ha orsakat eller utlöst dem. Genom att samtliga aktörer efterlever dem kan undervisningen genomföras utan att dess grundläggande form och existens ifrågasätts. Dessa interaktionsmönster blir något som eleverna tar för givet och som styr deras handlingar i den aktuella situationen.
Konstruktivismen hävdar att människans lärande sker individuellt i social interaktion med andra (Bauersfeld, 1998). Därmed får språk och kommunikation en central roll i
undervisningssituationen. Varken språket eller matematiken och dess facktermer i sig utgör dock ett objektivt instrumentellt vetande. Dessa är inga bärare av en absolut kunskap eller sanning och kan inte förmedla idéer eller kunskap. I en inlärningssituation måste eleven själv konstruera en förståelse för det matematiska innehållet och det språk som matematiken beskrivs med. När eleven, i samspel med andra, upptäcker att uppfattningen av ett
matematiskt begrepp och dess terminologi är ofullständig eller rent av felaktig kan elevens kognition justeras. Då har eleven konstruerat en ny förståelse för begreppet (Bauersfeld, a.a.).
3. Teoretiska överväganden
Konstruktivismen erbjuder även ett sätt att tolka innebörden av begreppet ”förståelse”. Att läraren kan få eleverna att utföra beräkningar enligt en viss algoritm behöver inte innebära att eleven har förståelse. En person som lyssnar till ett budskap måste individuellt konstruera innebörden av de ord och fraser som sägs (Glaserfeld, 1998; Wyndhamn, Riesbeck & Scho- ultz, 2000). Ur det perspektivet blir ”förståelse” snarare en fråga om ”likhet”, dvs elevens uppfattningar verkar vara förenliga med lärarens. Lärarens enda möjlighet att upptäcka om så ej är fallet är när eleven gör eller säger något som strider mot lärarens förväntningar.
I en studie av Wistedt och Brattström (in press) beskrivs begreppet kontext. Författarna påpekar att kontext ur ett konstruktivistiskt perspektiv inte syftar på en fysisk miljö. Istället avses individens egen tolkning av den omgivning i vilken lärande äger rum. En elevs individuella bild av ett matematiskt begrepp som introducerats i en studiesituation är ett exempel på en kognitiv kontext. Uppfattningar om matematikämnets natur, de aktiviteter som normalt äger rum under en matematiklektion samt hur man kommunicerar om ämnet inryms i en kulturell kontext. Hur studenterna tolkar den aktuella situationen och vilka handlingar som är tillåtna och möjliga samt vilka aktiviteter och fysiska redskap som hör hemma där är en del av den situerade kontexten.
Författarna ger flera exempel på hur de olika kontexterna påverkar studenters lärande i matematik. Att arbeta med ett matematiskt begrepp och framgångsrikt löst övningsuppgifter som behandlar begreppet utgör ingen garanti för att studenternas kognitiva kontextualisering av begreppet är korrekt och fullständig. Då kan den bärande idén bli osynlig när begreppet förekommer i en obekant situerad kontext. Studenters uppfattning om att matematiska bevis skall utformas algebraiskt utgör en del av den kulturella kontext som studenterna har med sig, vilket kan lägga en skugga över den kognitiva kontexten, dvs studenternas förståelse för vad ett matematiskt bevis egentligen är.
Författarna diskuterar också vilka konsekvenser grupparbete i matematik får för slutresultatet.
Om gruppen består av studenter som alla har brister i sin uppfattning om ett matematiskt begrepp är det svårt för gruppen att se nya vinklingar på problemet. Då kan grupparbetet snarare fungera som konserverande.
3.2 Vad styr individers matematiska beteende?
Schoenfeld (1992) menar att olika metakognitiva processer har en avgörande betydelse för hur elever går tillväga när de löser matematiska problem. Med metakognitiv process avser Schoenfeld individens förmåga att reflektera över sina matematiska kunskaper och sin förmåga att lösa matematiska problem. Matematisk förmåga handlar inte bara om vilka kunskaper individen har. Eleven måste även vara medveten om att kunskapen existerar samt när och hur kunskapen kan användas. När elever löser matematiska problem kan det under arbetets gång visa sig att en vald strategi inte fungerar. Då måste eleven ha förmåga att ändra riktning i arbetet eller till och med börja om från början. Detta är en självreglerande process som tillsammans med elevens matematiska kunnande bidrar till hur framgångsrika
problemlösare de är.
En annan metakognitiv aspekt som i hög grad styr elevers beteende när de löser matematiska problem är deras bild av matematikämnets natur. Schoenfeld (a.a.) refererar till
undersökningar som visar att elever i stor utsträckning ser matematik som en samling regler som skall memoreras och övas på. Det är i elevernas ögon att syssla med matematik. Ett matematiskt problem skall lösas relativt snabbt. Den metod som skall användas är den som
läraren gått igenom. Det finns bara ett rätt svar, som bestäms av läraren eller facit. En vanlig elev förväntar sig inte att någonsin förstå matematik, utan det gäller helt enkelt att memorera och använda formler på ett mer eller mindre mekaniskt vis.
Alla elever har en uppsättning matematiska redskap med sig som kan användas när de sysslar med matematik. Vid undersökningar om hur elever löser matematiska problem är
kunskapsbasens innehåll intressant, men enligt Schoenfeld (a.a.) är det också viktigt att titta på hur eleven använder den. Eleven kan sakna den matematiska kunskap som krävs för att lösa en uppgift, eleven kan sakna förmåga att använda det matematiska redskapet på rätt sätt eller så kan kunskapsbasen innehålla felaktigheter.
Matematisk kunskap och förståelse kan enligt Fischbein (1994) belysas utifrån tre grundläggande aspekter. Varje aspekt för sig, men även interaktionen dem emellan, har betydelse för hur individen närmar sig matematiska problem:
1. Den formella aspekten omfattar axiom, definitioner, satser och bevis, vilka utgör byggstenarna i matematiska resonemang.
2. Den algoritmiska aspekten avser färdighet i olika tekniker för hur man löser uppgifter, samt vilka standardiserade strategier man bör använda sig av i olika situationer.
3. Den intuitiva aspekten syftar på intuitiv kognition, förståelse och lösningsstrategi. Det är sådant som man så självklart anser sig veta, att man inte behöver verifiera det.
Att ha förståelse för matematikens formella aspekt är en förutsättning för att kunna ta del av matematiska resonemang. För att tillägna sig definitioner, satser och bevis krävs oftast ett hårt arbete, t ex genom att organisera, undersöka och aktivt använda dem. Matematiska
resonemang kan inte jämställas med beräkningar. Förståelse för matematiska resonemang leder heller inte automatiskt till färdighet i att lösa matematiska problem. För att bli en god problemlösare krävs färdighetsträning i att hantera icke-standardiserade situationer, där den formella delen av matematiken är ett viktigt redskap.
Vid alla typer av matematiskt verksamhet pågår ett komplext samspel mellan formell kunskap och intuitiv kognition. Medan definitioner och teorem är något vi lär oss att använda, menar Fischbein (a.a.) att den intuitiva kognitionen har ett näst intill tvingande inflytande på våra strategier för hur vi förstår, förklarar och resonerar. Då det uppstår motstridigheter mellan vår formella kunskap och intuitiva kognition kan den senare bli ett hinder för lärande-, lösnings- och uppfinningsprocessen när det gäller matematik.
Att multiplikation alltid resulterar i något större, medan division resulterar i något mindre, är ett exempel på hur vår intuitiva förståelse kan leda till formella fel. Ett annat exempel på en vanlig intuitiv uppfattning är att en mängd i matematisk mening måste innehålla mer än ett element eller att två mängder är lika om de innehåller samma antal element.
Ibland kan dock ett oreflekterat men korrekt användande av algoritmer leda till felaktigheter.
Fischbein (a.a.) nämner följande klassiska uppgift:
Sju arbetare slutför ett arbete på 28 dagar. Hur många dagar behöver fem arbetare för att slutföra samma arbete?
Många elever utför en korrekt algebraisk beräkning och svarar att fem arbetare behöver 20 dagar. Intuitivt bör man dock förstå att färre arbetare behöver fler dagar på sig att slutföra samma arbete.
3. Teoretiska överväganden
Att använda en standardiserad strategi kan ibland vara vanskligt om det sker utan en
medvetenhet om ett begrepps innebörd och definition. Ett vanligt fel som gymnasieelever gör är att skriva sin (a+b) = sina + sinb på grund av att likhet med den distributiva lagen, som säger att a(b+c) = ab+ ac.
3.3 Instrumentell inlärning och relationell förståelse
Pesek och Kirshner (2000) ger flera exempel på studier som visar att undervisning som fokuseras på memorering och mekanisk tillämpning av formler kan utgöra ett hinder om elever senare skall lära sig varför man gör på ett visst sätt. De hävdar även att det finns en allmän uppfattning om att undervisning som främst inriktas mot mekaniska färdigheter är mindre tidskrävande. Skolpolitiker, föräldrar och nationella prov sätter hård press på lärarna att hinna med allt i kursen. Detta kan medföra att en stor del av undervisningen blir av instrumentell karaktär då eleverna får lära sig hur de skall göra men inte varför, vilket kan hämma elevernas senare utveckling av en djupare förståelse.
När tidigare kunskaper utgör ett hinder för elevers lärande kan det ske på flera sätt och av olika orsaker. En intuitiv och spontan uppfattning av ett fenomen kan utgöra ett kognitivt hinder för att ta till sig ny kunskap, i synnerhet om den är motstridig. Uppfattningen kan vara så stark att eleverna inte ändrar den, trots att de själva ser att den är felaktig. Elevers
inställning och attityd till vad matematik är och vad som händer under en matematiklektion samt hur en matematiklärare är, kan utgöra ett hinder då elever skall delta i aktiviteter som de anser strider mot denna attityd. Metakognitiva hinder är ett mellanting mellan de två andra kategorierna. Genom övning eller annat intellektuellt arbete har elever förvärvat kunskaper om ett ämne som de inte är villig att ändra.
3.4 Strukturell och operationell konception
Sfard (1991) hävdar att förmågan att skapa sig en bild av abstrakta matematiska begrepp i den egna tanken tycks utgöra en väsentlig del av den matematiska förmågan. Varje individ måste skapa sig en egen bild av det matematiska fenomen som avses. Bilden kan variera beroende på vilken konception individen har av det matematiska begrepp som avses.
Att förknippa ett matematiskt begrepp med processer, algoritmer och handlingar betecknar Sfard (a.a.) som en operationell konception. Begreppet har potential att bli något efter en rad olika handlingar. Nästa steg utgörs av en strukturell konception. Det innebär att individen har skapat sig en visuell tankemässig bild av ett matematiskt begrepp och att det finns i personens sinnevärld på samma sätt som bilden av en god väns ansikte. Den bärande idén står i fokus och begreppet kan hanteras som en helhet utan att dela upp det i detaljer eller förknippa det med en viss typ av handlande.
Sfard (a.a.) ger flera exempel på hur en strukturell och en operationell uppfattning av ett matematiskt begrepp skiljer sig åt. Om man ser existensen av en cirkel som mängden av alla punkter på lika avstånd från en given punkt kan detta anses vara en strukturell uppfattning av cirkeln. En operationell uppfattning skulle då kunna vara att man betraktar cirkeln som en kurva som uppkommer när en punkt roterar på ett bestämt avstånd från en annan fix punkt.
Att övergå från en operationell till en strukturell uppfattning av ett matematiskt begrepp är en process som enligt Sfad (a.a.) kan delas in i tre steg:
1. Interorisation (införliva). Man stiftar bekantskap med processer som senare kan ge upphov till ett nytt begrepp. I vårt fall kan det vara att läsa av och pricka in punkter i ett
koordinatsystem. Det kan också vara att arbeta med cirkelns ekvation.
2. Kondensation (förtätning). Olika räkneoperationer som man arbetat med under föregående fas kan nu betraktas som en helhet. På det här stadiet är det lättare att växla mellan olika representationer av ett matematiskt begrepp. Kondensationsfasen fortgår så länge det nya begreppet tätt förknippas med en speciell process, räkneoperation eller förfaringssätt.
3. Reifikation (förtingliga, att betrakta något som en sak) innebär ett ontologiskt skifte.
Plötsligt kan man se det man var tvungen att räkna på i ett helt nytt ljus eller betrakta det matematiska begreppet i helt nya sammanhang. Interorisation och kondensation kan beskrivas som gradvis, kvantitativa processer. Reifikation är ett kvalitativt steg in i ett statiskt tillstånd. Begreppet som reificerats kan nu användas i en interorisationsprocess av ett nytt begrepp.
3.5 Miniräknaren och matematisk förståelse
Ur ett historiskt perspektiv har matematiken alltid använt sig av olika hjälpmedel, varav miniräknaren kan anses vara ett av de mest revolutionerande för skolundervisningen i
matematik (Brolin). En tanke som länge rättfärdigat användandet av miniräknare i matematik- undervisningen är att det är tidseffektivt att utföra rutinberäkningar med hjälp av miniräknare.
Den tid som frigörs skulle istället kunna användas till att arbeta med förståelse av matematik på en högre nivå (a.a.).
Dagens räknare klarar dock långt mycket mer än grundläggande aritmetiska räkneoperationer.
Idag kan eleverna visualisera matematiska begrepp med hjälp av datorer och grafritande räknare på ett helt annat sätt än vad som vore möjligt med papper och penna. Dreyfus (1994) menar att räknaren som tidigare ”bara räknade” har övergått till att bli ett kognitivt
hjälpmedel.
Enligt Dreyfus (a.a.) finns en hierarkisk ordning för hur manuella operationer som behärskas kan automatiseras:
1. Aritmetiska beräkningar för att utveckla taluppfattning.
2. Automatisera aritmetiska beräkningar som skall utföras vid inlärning av algebra.
3. Automatisera algebraiska manipulationer som skall utföras vid inlärning av analys.
4. Automatisera integrering som skall utföras vid inlärning av differentialekvationer.
5. Automatisera lösandet av differentialekvationer vid inlärning av dynamik.
Dreyfus (a.a.) påpekar att det finns en risk att elever hoppar över de olika nivåerna i hierarkin.
Kan eleverna lära sig algebra utan att behärska algebraiska manipulationer? I vilken
utsträckning påverkar manipulativa färdigheter, eller praktiska erfarenheter den konceptuella förståelsen av ett matematiskt begrepp? Det är frågor som Dreyfus ställer sig utan att kunna ge ett entydigt svar.
4. Syfte
4. Syfte
Som nämnts i inledningen är syftet med min uppsats att undersöka gymnasieelevers förståelse av matematiska begrepp, samt i vilken utsträckning deras förståelse motsvarar vad
högskolelärare anser att studenter bör kunna när de kommmer till högskola eller universitet.
Det teoretiska diskussionen ger möjlighet att precisera detta syfte i fyra frågeställningar. De tre första frågeställningarna utgör grunden för min elevundersökning och analyseras utifrån min teoretiska bakgrund. Den fjärde frågeställningen diskuteras utifrån resultatet av
lärarintervjuerna och elevundersökningen.
4.1 Frågeställningar
1. Hur ser elevernas kognitiva kontextualisering ut av enhetscirkeln och trigonometri?
2. Hur påverkar den situerade kontexten elevernas arbete med uppgifterna?
3. Hur påverkar den kulturella kontexten elevernas arbete med uppgifterna?
4. Hur förhåller sig elevernas förståelse och kunskap om enhetscirkeln och trigonometri till vad högskolelärare anser att de bör kunna när de påbörjar matematikstudier på högskola eller universitet?
5. Metod och genomförande
För att uppnå syftet med min uppsats har jag valt att genomföra en intentionell analys (se nedan) för att belysa elevernas kontextualisering av enhetscirkeln och trigonometri när de arbetar i grupp. Genom att studera hur eleverna resonerar och agerar när de löser triangel- och punktuppgiften försöker jag dra slutsatser om deras förståelse för enhetscirkeln och
cosinusvärdet för en vinkel. Resultatet analyseras och jämförs med den didaktiska forskning som jag redovisat i min bakgrundsbeskrivning, med läroböckernas behandling av
enhetscirkeln samt universitetslektorernas syn på vad eleverna bör kunna.
5.1 Val av metod
Vid val av metod övervägde jag flera möjliga tillvägagångssätt för att undersöka elevers förståelse av ett matematiskt begrepp. Ett sätt var att göra en skriftlig utvärdering av elevernas förståelse av ett matematiskt begrepp. Till metodens fördelar hör att deltagandet i
undersökningen sker under samma betingelser (Möllehed, 2001). Min personliga erfarenhet är dock att skriftliga lösningar inte alltid speglar det eleverna verkligen kan. Det kan delvis bero på att eleverna har svårt att uttrycka sin förståelse skriftligt. Det kan också bero på att de inte lyckats tillägna sig det matematiska språket eller att de helt enkelt inte orkar göra en fyllig skriftlig lösning. En skriftlig utvärdering påminner i elevernas ögon i hög grad om ett vanligt prov. Det kan bidra till att eleverna känner stress och får en negativ inställning till
undersökningen. Jag ansåg att dessa nackdelar övervägde i förhållande till de fördelar som en skriftlig utvärdering innebar.
Jag valde istället att göra en muntlig utvärdering av några elevers förståelse. Det kan ske genom att enskilda elever får lösa en eller flera uppgifter och samtidigt tänka högt. Risken med detta tillvägagångssätt är dock att eleverna inte säger tillräckligt mycket. Om
undersökningsledaren då ingriper med frågor och kommentarer kan det leda till att eleverna mer eller mindre medvetet blir styrda i sina tankar. Därför valde jag istället att låta tre elever arbeta gemensamt i grupp och diskutera och resonera sig fram till en lösning som alla var överens om. Detta tillvägagångssätt fyllde väl mitt syfte då elevers förståelse av ett
matematiskt begrepp tydligt framträder när eleven måste förklara och argumentera med sina kamrater. Till viss del kombinerades detta med en skriftlig utvärdering genom att eleverna fick skriva ner hur de tänkt, resonerat och vad de kommit fram till.
5.2 Deltagande elever
Elevundersökningen utfördes på en gymnasieskola i en medelstor kommun. Eleverna gick sista året på naturvetenskapligt program och alla läste E-kursen i matematik. Undersökningen genomfördes i tre grupper med tre elever i varje grupp. En grupp bestod enbart av flickor (flickgruppen), en grupp bestod enbart av pojkar (pojkgruppen) och en grupp bestod av en pojke och två flickor (blandgruppen).
• Flickgruppen kom från en NVNa-klass och deltog under en matematiklektion. Gruppen valdes ut av klassens matematiklärare och bestod av tre elever i klassen som inte läser fysik B.
• Pojkgruppen kom från en NVTe-klass och deltog under en religionslektion. Gruppen valdes ut av klassens religionslärare och bestod av elever som under den aktuella lektionen inte kunde redovisa ett projektarbete i religion på grund av frånvaro.
5. Metod och genomförande
• Blandgruppen kom från en NVNa-klass och deltog under en religionslektion. Gruppen bestod av elever som frivilligt ville delta efter att jag personligen besökt klassen och berättat om mitt arbete.
5.3 Elevinstruktioner
Undersökningen inleddes med en kortfattad beskrivning av syftet med min uppsats och vilken roll och betydelse deras deltagande skulle ha för mitt arbete. Eleverna informerades om att de skulle bandas och videofilmas för att det skall vara möjligt för mig att analysera
undersökningen, men att de vid resultatredovisningen skulle vara anonyma.
Eleverna uppmanades att samarbeta och lösa uppgifterna gemensamt i gruppen. Jag poängterade att det var viktigt att alla förstod och var överens om lösningen. Jag förklarade för eleverna att de inte fick använda miniräknare. Uppgifterna var skrivna för hand på rutat papper (se bilaga 2-3). Tanken var att handstilen förhoppningsvis skulle ge uppgifterna mindre provkänsla. Trianglarna ritades på rutat papper för att ge eleverna möjlighet att mäta i figurerna. Jag bifogade följande instruktion till varje grupp, även den skriven för hand.
,QVWUXNWLRQHU
1LInUWYnXSSJLIWHUVRPQLVNDOOO|VDLJUXSS$YVLNWHQlUDWWQLVNDOOGLVNXWHUDHU
IUDPWLOOHQO|VQLQJVRPDOODLJUXSSHQI|UVWnURFKlU|YHUHQVRP
9lOMVMlOYDYLONHQXSSJLIWQLVNDOOE|UMDPHG'HWlUP|MOLJWDWWO|VDXSSJLIWHUQDSn
IOHUDROLNDVlWW0RWLYHUDYDUI|UQLYlOMHUDWWO|VDXSSJLIWHQSnHWWVSHFLHOOWVlWW
$QWHFNQDKXUQLWlQNHURFKUHVRQHUDUQlUQLO|VHUXSSJLIWHUQD
0DWHULDOQLNDQKDDQYlQGQLQJDY
SHQQRU UXWDWSDSSHU JUDGVNLYD
VXGG RKSODVW SDVVDUH
OLQMDO RKSHQQRU VD[
5.4 Triangeluppgiften
Triangeluppgiften härstammar främst från Christians förslag om en uppgift där man utgår ifrån en spetsig triangel och undersöker vad som händer med cosinusvärdet då vinkeln successivt blir större. Uppgiften i min undersökning saknar dock ett dynamiskt inslag. Istället är tre trianglar, numrerade från a-c, ritade på uppgiftspappret som är rutat för att göra det lätt att mäta både sidor och vinklar. En vinkel v är markerad i varje triangel. Syftet med uppgiften är att se om eleverna utnyttjar det samband som finns mellan vinklar i trianglar och vinklar i enhetscirkeln eller vilka andra trigonometriska samband eleverna använder när de löser uppgiften. Avsikten är också att uppgiften skall uppmuntra till elevdiskussioner som visar elevernas förståelse för matematiska begrepp. Ett utförligt förslag på tänkbara lösningar redovisas i bilaga 4. Uppgiften är formulerad på följande sätt:
Vad är cosinusvärdet för vinkeln v i de olika trianglarna?
5.5 Punktuppgiften
När lärarna skall konstruera uppgifter föreslår flera av dem en uppgift som består i att verifiera om olika punkter ligger på enhetscirkeln. Syftet med uppgiften är främst hur de hanterar cirkelbegreppet och vilka metoder eleverna väljer att använda för att lösa uppgiften.
Avsikten är också att uppgiften skall uppmuntra till elevdiskussioner som visar elevernas förståelse för matematiska begrepp. Ett utförligt förslag på tänkbara lösningar redovisas i bilaga 5. Formuleringen av punktuppgiften lyder:
Avgör om följande punkter ligger på enhetscirkeln: (0,71 ; 0,71) och
2 ,1 2
3
.
5.6 Insamling och bearbetning av data
Undersökningarna genomfördes i ett grupprum på elevernas gymnasieskola. Elevernas arbete dokumenterades med ljudupptagning från två minikassettbandspelare av freestylemodell med inbyggd mikrofon. Bandspelarna låg på bordet framför eleverna. Jag använde även en liten videokamera med inbyggd mikrofon för att göra en bildupptagning av undersökningarna.
Videokameran var placerad ett par meter framför eleverna. Elevernas uppgift var att lösa triangel- och punktuppgiften, samt att fylla i en enkät med frågor om deras betyg, lärare, inställning till matematikämnet och framtidsplaner (se bilaga 6).
Efter intervjuerna gjorde jag ordagranna transkriptioner av ljudupptagningarna. Som ett komplement till transkriptionerna och som stöd för minnet har jag också sett video- inspelningarna av alla grupperna. Transkriptionerna har utgjort huvudmaterialet i min undersökning, medan elevernas skriftliga redovisningar främst tjänat som en komplettering och förtydligande av deras muntliga diskussioner. Materialet som används i resultat- redovisningen har successivt valts ut efter upprepade genomläsningar av transkriptionerna.
Analysen har gjorts löpande under arbetets gång, både utifrån transkriptionerna och resultatredovisningen.
5.7 Val av analysredskap
Utgångspunkten för en intentionell analys är att göra rimliga tolkningar av individers
handlande och yttrande i en given situation. Människan betraktas som intentionellt handlande, dvs som om hon har en avsikt utifrån vilken hon handlar meningsfullt. Att förstå och uttolka en innebörd i ett uttalande handlar då om att finna ett rimligt svar på frågan varför yttrandet fälldes. Vilken innebörd har yttrandet och vad betyder det för de inblandade i situationen?
De teoretiska grunderna för ett intentionellt perspektiv finns i von Wrights verk ”Explanation and understanding” (1971). von Wright betonar att vi inte söker ett orsakssamband, som innebär att något händer därför att något annat tidigare inträffat. Istället riktas blicken mot framtiden. Vad ämnar personen uppnå med det hon gör och säger? Det är den frågan som den intentionella analysen söker svar på. Det är personens intention med sin handling eller
yttrande som är föremål för analys.
Samtal och handlingar utförs inte i ett kontextuellt vakuum. Istället har sammanhanget ett stort inflytande över vad vi gör och säger. En majoritet av det mänskliga beteendet kan betraktas som kulturellt sanktionerade handlingar som beror av omgivningen, miljön och situationen (Bjerlöv, 1999). Att undersöka elevers förståelse av ett matematiskt begrepp när de arbetar med matematikuppgifter i grupp måste därför göras genom att tillskriva deras
5. Metod och genomförande
handlingar och yttranden vissa intentioner som är rimliga utifrån den aktuella
undersökningssituationen. Eleverna har med sig uppfattningar om de konventioner som rör matematik och matematikundervisning, befintliga kunskaper i matematik samt inre bilder av sin egen matematiska förmåga. Det är med ledning av vad vi vet om det sammanhanget som vi kan få hjälp att göra rimliga tolkningar av vad som sker när eleverna arbetar med
uppgifterna och ger uttryck för sin kunskap och förståelse. Alltså, med hjälp av den intentionella analysen kommer jag att undersöka vilken matematisk förståelse som finns i elevernas yttranden och handlingar utifrån undersökningssituationen, där min teoretiska bakgrund utgör en mer detaljerad beskrivning av den kontext, både ur ett generellt och psykologiskt perspektiv, utifrån vilken analysen sedan sker.
6. Resultat
Resultatredovisningen inleds med en kort presentation av eleverna. Därefter följer referat av elevernas dialoger, som har sammanfogats till berättelser för att ge läsaren ett sammanhang och en bättre överblick av diskussionen. Elevernas namn är fingerade. Mina inlägg redovisas dock med mitt eget namn, ”Erika”. Alla grupperna valde att börja med triangeluppgiften, därför redovisas den först.
6.1 Eleverna
Flickgruppen Evelina, Karin & Sara.
Sara och Evelina har haft matematik tillsammans under hela gymnasietiden. En
omorganisering av klasserna gjorde att Karins hamnade i samma klass som Sara och Evelina i åk 2. Karin har betyget VG på alla kurser i matematik och vill i framtiden jobba som läkare.
Evelina fick betyget MVG på matte B och matte D. Nu läser hon matte F och tycker att matematik är både roligt, viktigt och präglat av logiskt tänkande. Hennes mål är att läsa på någon civilingenjörsutbildning i framtiden. Sara hade VG på kurs A och B, för att sedan få G på kurs C och D. Hon tycker inte att matematik är roligt, men det är viktigt och användbart i vardagslivet och för framtida studier, då hon vill läsa något som har med arkitektur att göra.
Pojkgruppen Daniel, Niklas & Tobias.
I pojkgruppen är det Niklas som läst med en annan klass i åk 1. Niklas fick VG på kurs A.
Sedan har det blivit G och VG på varannan kurs. Han tycker att matematik är ett ämne som kräver både logiskt tänkande och begåvning. Matematik är viktigt och användbart för framtida studier. Han har siktet inställt på någon teknisk högskola, t ex KTH. Tobias har haft exakt samma betyg som Niklas. Trots att han anser att matematik är svårare än de flesta andra ämnen i skolan tycker han att det är både roligt, viktigt och användbart för framtida studier, vilket förmodligen blir någon datateknisk utbildning. Daniel har haft MVG på de flesta av matematikkurserna. För honom är matematik både roligt och viktigt samt användbart både i vardagslivet och för framtida studier. Han vill läsa civilingenjörsutbildning med inriktning mot teknisk fysik.
Blandgruppen Anna, Björn & Jenny.
Både Anna och Jenny har haft MVG på alla matematikkurser hittills. Medan Jenny tycker att matematik är både roligt, viktigt och användbart tycker Anna att det mest är ett pluggämne som består av memorering av formler. Båda instämmer dock med att matematik kräver logiskt tänkande. Jenny vill utbilda sig till läkare. Anna har inte svarat på frågan, men hon är mycket intresserad av att skriva och jobbar extra på ortens lokala morgontidning. Det enda Björn är säker på är att han inte vill syssla med något tekniskt-naturorienterat i framtiden. För honom är matematik ett pluggämne som kräver logiskt tänkande. Han har haft betyget VG utom på kurs B då han fick ett G.
6.2 Triangeluppgiften
6.2.1 Hur flickgruppen löser triangeluppgiften
Flickgruppen börjar med att mäta trianglarnas olika sidor. När de ser gradskivan på bordet mäter de även vinklarnas storlek. De är medvetna om att värdet på vinkeln inte är samma sak som cosinusvärdet för vinkeln. Det demonstrerar Evelina genom att konstatera följande:
Evelina: Okej att vi kan mäta vinkeln, men vi vet ju inte cosinusvärdet för det.
