HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
ROTEKVATIONER
Rotekvationer är sådana ekvationer där den obekanta variabeln förekommer under rottecken.
Rotekvationer med kvadratrötter löser vi genom att kvadrera båda leden. Denna metod ger en ny ekvation som kan ha flera lösningar än den ursprungliga ekvationen. Alla erhållna lösningar måste vi därför pröva i den ursprungliga ekvationen.
När vi löser rotekvationer med kvadratrötter söker vi (som standard) reella lösningar.
Därför måste vi ta hänsyn till följande:
1. x är definierad för x≥0. 2. x ≥0
3. Alla lösningar till en rotekvation, som vi formellt får fram, måste vi pröva i den ursprungliga ekvationen.
Tips: Om man har två kvadratrötter i en ekvation så skriver vi om ekvationen så att minst en sida innehåller endast en kvadratrot. Därefter kvadrerar vi båda sidor.
(Har man tre kvadratrötter så skriver man två av dem på en sida och resten på den andra sidan.)
====================================
ÖVNINGAR
Vi upprepar att vi söker reella lösningar till nedanstående ekvationer.
Uppgift 1. Lös ekvationen x+3+ x−1=2. Lösning: Först flyttar vi en rot till högra ledet.
1 2
3= − −
+ x
x
Vi kvadrerar båda leden och får
2
2 (2 1)
) 3
( x+ = − x− eller
1 1
4 4
3= − − + −
+ x x
x , (förenkla)
0 1
4 x− = , (dela med 4) 0
1=
−
x .
Vi kvadrerar en gång till och får 0
1=
− x
Härav x=1 som vi måste pröva i den ursprungliga ekvationen.
Vi substituerar x=1 i ekvationen x+3+ x−1=2. Sida 1 av 3
HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
Vänsterleden VL= 1+3+ 1−1=2=HL, vilket innebär att x=1är verkligen en lösning till ekvationen.
Svar: x=1
Uppgift 2. Lös ekvationen 2x+3=−5.
Lösning: 2x+3 kan inte vara negativ som medför att ekvationen 2x+3=−5 saknar lösningar.
Svar: Ingen lösning.
Uppgift 3. Lös ekvationen x+6 =6−x. Lösning:
Vi kvadrerar båda leden
2
2 (6 )
) 6
( x+ = −x
och får 12 2
36
6 x x
x+ = − + , (förenkla) 0
30
2− x13 + =
x .
Härav får vi x1 =3 och x2 =10 som vi måste pröva i den ursprungliga ekvationen x
x+6=6− .
i) För x1=3 har vi VL= 3+6 =3, HL=6−3=3. I det här fallet gäller VL=HL, vilket innebär att x1 =3 är verkligen en lösning till ekvationen.
ii) För x1=10 har vi VL= 10+6=4, HL=6−10=−4. I det här fallet gäller VL≠ HL, vilket innebär att x2 =10 inte är någon lösning till ekvationen.
Svar: Ekvationen har en lösning x=3.
Uppgift 4. Lös ekvationen x+2 =4− 3x−2. Lösning:
Vi kvadrerar båda leden
2
2 (4 3 2)
) 2
( x+ = − x−
och får
2 3 2 3 8 16
2= − − + −
+ x x
x , (förenkla)
12 2 2 3
8 x− = x+ , (dela med 2) 6
2 3
4 x− =x+ .
Vi kvadrerar en gång till och får
Sida 2 av 3
HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
36 12 )
2 3 (
16 x− =x2+ x+ , (förenkla) 0
68
2− x36 + =
x .
Härav får vi x1=2 och x2 =34 som vi måste pröva i den ursprungliga ekvationen.
Endast x1=2satisfierar ekvationen x+2 =4− 3x−2 (kontrollera själv).
Svar: x=2
Sida 3 av 3
