Något om SI-systemet och Mathematica

Något om SI-systemet och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-08-15

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till SI-systemet med något lite användning av Mathematica. Framställ- ningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Mått och enheter

Sedan tidernas begynnelse har vi människor haft ett behov av att kunna förmedla information till varandra om olika storheter. Hur lång är...? Vad väger...? När kommer bussen...?

Då vi mäter något får vi ett mätvärde eller mätetal, t.ex. 4, som tillsammans med den använda enheten ger svar på frågan om en storhet, t.ex. längden av en bil L 4 m. Vi har de tre viktiga begreppen storhet, mätvärde eller mätetal och (mått)enhet (eng.

dimension, reading and unit).

L

storhet

4

mätetal

m

enhet

Måttenhet, är en enhet som man mäter något i. En måttenhet är oftast en del av ett enhetssystem, en uppsättning standardiserade måttenheter som används och fungerar tillsammans, så kallade konsistenta enheter. Storhet är ett begrepp inom fysiken som används för en egenskap hos ett föremål eller fenomen som går att mäta. Exempel på storheter är längd, tid, hastighet och temperatur.

Storheter kan som vi sett ovan skrivas som en produkt av ett mätetal och en enhet. Ekvationer inom fysik skrivs oftast mellan storheter, så kallade storhetsekvationer, där man använder storhetssymboler som beteckning för storheterna.

För att kunna kommunicera på ett rationellt sätt kring dessa grundbegrepp är det av yttersta vikt att vi har en gemensam förståelse och ett gemensamt språk kring dessa. Över tid har olika sådana så kallade måttsystem existerat. Numera är det i de flesta länder SI- systemet som gäller som standard.

Ƅ SI-systemet

SI betyder Système International d’Unités, det vill säga franska för “det internationella måttenhetssystemet”. Bokstäverna SI används på alla språk för att beteckna detta system. SI-systemet blev en standard på en internationell kongress 1960 och används i stora delar av världen och är alltså en standard för måttenheter att användas vid mätning av storheter.

SI-enheterna är de grundläggande enheterna i SI-systemet och indelas i två olika klasser. Det är sju grundenheter, som är nog- grant definierade fysikaliskt och ett antal härledda enheter, som bildas genom att kombinera grundenheterna enligt enkla geometriska och fysikaliska lagar. Ytterligare information om SI-systemet lämnas (på engelska eller franska) av Bureau Interna- tional des Poids et Mesures, BIPM, varifrån broschyren “Le Système International d’Unités” kan hämtas i PDF-format, http://www1.bipm.org/en/si/si_brochure

Ƅ Grundenheter

Här följer definitionen av de sju grundenheterna i SI-systemet:

Storhet Grundenhet Symbol

Längd meter m

Massa kilogram kg

Tid sekund s

Elektrisk ström ampere A

Temperatur kelvin K

Substansmängd mol mol

Ljusstyrka candela cd

meter (m)

Meter är grundenheten för längd. 1 m definieras som det avstånd ljus färdas i tomrum under 1/299792458 sekund.

kilogram (kg)

Kilogram är grundenheten för massa. 1 kg är massan av en prototyp i form av en platinum-iridium cylinder som finns i Sevres, Frankrike. Det är numera den enda grundenheten som definieras baserat på ett fysiskt objekt och dessutom den enda grundenheten med ett prefix, se nedan.

sekund (s)

Sekund är grundenheten för tid. 1 s definieras som varaktigheten av 9192631770 perioder av den strålning som motsvarar övergån- gen mellan de två hyperfinnivåerna i grundtillståndet hos atomen Cesium 133.

ampere (A)

Ampere är grundenheten för ström. 1 A är storleken av den konstanta elektriska ström som, då den genomflyter två raka, parallella ledare med oändlig längd och försumbart cirkulärt tvärsnitt, placerade på ett avstånd av en meter från varandra i tomrum, åstadkom- mer mellan dessa ledare en kraft lika med 2 10⁷ newton, se härledda enheter, för varje meter ledare.

kelvin (K)

Kelvin är grundenheten för temperatur. 1 K definieras som 1/273.16 av den termodynamiska temperaturen för vattnets trippelpunkt.

Grundenheten för temperatur har namngetts av den skottske matematikern och fysikern William Thomson 1st Lord Kelvin (1824-1907).

mol (mol)

Mol är grundenheten för substansmängd. 1 mol definieras som den mängd som innehåller lika många sinsemellan likadana systemele- ment som det finns atomer i 0.012 kilogram kol-12. Systemelementen kan vara atomer, joner, elektroner, molekyler, andra partiklar eller definierade partikelgrupper.

candela (cd)

Candela är grundenheten för ljusstyrka. 1 cd är ljusstyrkan i en given riktning från en källa som utsänder monokromatisk strålning med frekvensen 540 1012 hertz och vars strålningsstyrka i denna riktning är 1/683 watt per steradian, se nedan.

De tre första är grundläggande i de flesta enhetssystem, de kallas därför fundamentala (eng. fundamental units) och också sådana som själva eller via härledningar (exempel hastighet, energi, tryck) används mycket i vardagligt liv. Tidigt fanns därför definitioner av dessa. Exempelvis är arkivmetern och arkivkilogrammet välkända.

Med dessa tre kan energi och effekt härledas, och då räcker det att tillföra en elektrisk enhet, ampere, för att alla andra elektriska enheter ska kunna härledas. Detta sker via effektformeln som säger att elektrisk effekt = spänning ström. Motsvarande gäller för ljusstyrka; övriga begrepp inom optiken kan härledas ur de vi nu definierat. Temperatur behöver vi också mäta; och kelvinskalan har den stora fördelen att den utgår från absoluta nollpunkten. Tack vare att temperaturskillnader i Kelvin respektive i grad Celsius, C, är exakt lika stora, är det enkelt att för vardagligt bruk använda grad Celsius istället. Celsiusskalan föreslogs av den svenske astronomen Anders Celsius (1701-1744).

Ƅ Kompletterande enheter

De kompletterande SI-enheterna är så kallade dimensionslösa enheter.

Storhet Enhet Symbol Uttryckt i grundenheter

Vinkel radian rad m m ¹ 1

Rymdvinkel steradian sr m² m ² 1 radian (rad)

Radian är SI-enheten för plan vinkel. En plan vinkel som är 1 rad skär på periferin ut en båge med radiens längd. Radian är en så kallad dimensionslös enhet, 1 rad 1 m m 1.

steradian (sr)

Steradian är SI-enheten för rymdvinkel. En rymdvinkel som är 1 sr är toppvinkeln hos en kon som har sin spets i centrum av en sfär och av sfärens yta skär ut ett stycke med en area lika med arean av en kvadrat vars sida har samma längd som sfärens radie. Stera- dian är en så kallad dimensionslös enhet, 1 sr 1 m²m² 1.

Ƅ Tilläggsenheter

Följande tilläggsenheter, som definierats på basis av SI-enheterna, är tillåtna, fastän de inte är multipler enligt SI-enheternas decimalsystem.

Storhet Enhet Symbol Uttryckt i andra SI–enheter

Tid minut min 1 min 60 s

timme h 1 h 60 min

dygn d 1 d 24 h

Plan vinkel varv varv 1 varv 2Πrad

grad 1 ₃₆₀^2Π rad

minut ' 1' ₆₀¹

sekund '' 1'' ₆₀¹ ' gon gon 1 gon ₂₀₀^Π rad

Av de enheter som nämns ovan kan endast gon användas med prefix, se nedan.

Ƅ Härledda enheter

Från SI-systemets sju grundenheter kan andra enheter härledas för olika ändamål. Här nedan följer några vanliga härledda enheter i SI-systemet. Det finns många fler.

Storhet Enhet Symbol Uttryckt i

andra SI–enheter

Uttryckt i grundenheter

Frekvens hertz Hz s ¹

Kraft newton N m kg s ²

Tryck, mekanisk spänning pascal Pa N m² m ¹ kg s ²

Energi joule J N m m² kg s ²

Effekt watt W J s m² kg s ³

Laddning, elmängd coulomb C s A

Spänning volt V W A m² kg s ³ A ¹

Kapacitans farad F C V m ² kg ¹ s⁴ A²

Resistans ohm V A m² kg s ³ A ²

Konduktans siemens S A V m ² kg ¹ s³ A²

Magnetiskt flöde weber Wb V s m² kg s ² A ¹

Magnetisk flödestäthet tesla T Wb m² kg s ² A ¹

Induktans henry H Wb A m² kg s ² A ²

Ljusflöde lumen lm cd sr

Belysning Illuminans lux lx lm m² cd sr m ²

farad (F)

Farad är SI-enheten för kapacitans i ett elektriskt system, det vill säga dess kapacitet att lagra elektricitet. 1 F definieras som den kapacitans en kondensator har med lika och motsatt laddning av 1 coulomb på vardera plattan och en spänningsdifferens på 1 volt mellan plattorna. Farad är en väldigt stor enhet och används oftast med prefixet mikro ( F). Farad har namngetts efter den engelske kemisten och fysikern Michael Faraday (1791-1867).

hertz (Hz)

Hertz är SI-enheten för frekvens. 1 Hz definieras som en cykel som ett fenomen fullbordar på en sekund. I de flesta fall används mycket högre frekvenser än 1 Hz. I ljudsammanhang används oftast kilohertz (kHz) och i radiosammanhang megahertz (MHz).

Hertz har namngetts efter den tyske fysikern Heinrich Rudolph Hertz (1857-1894).

joule (J)

Joule är SI-enheten för arbete eller energi. 1 J definieras som den mängd arbete som utförts när en kraft på 1 newton förflyttas en sträcka på en meter i riktning mot kraften. Joule har namngetts efter den engelske fysikern James Prescott Joule (1818-1889).

newton (N)

Newton är SI-enheten för kraft. 1 N definieras som den kraft som krävs för att ge en massa på 1 kg en acceleration på 1 meter per sekund per sekund. Newton har namngetts efter den engelske matematikern och fysikern Sir Isaac Newton (1642-1727).

ohm ( )

Ohm är SI-enheten för motståndet i en elektrisk ledare. Dess symbol är den grekiska bokstaven omega ( ). 1 definieras som motståndet mellan två punkter på en ledare när en potentialskillnad på en volt mellan dem genererar en ström på en ampere. Ohm har namngetts efter den tyske fysikern Georg Simon Ohm (1789-1854).

pascal (Pa)

Pascal är SI-enheten för tryck. 1 Pa är det tryck som genereras när en kraft på 1 newton fördelas på en 1 kvadratmeter stor yta. 1Pa är en ganska liten enhet, oftast används enheten tillsammans med prefixet k (kPa). Pascal har namngetts av den franske matematik- ern, fysikern och filosofen Blaise Pascal (1623-1662).

volt (V)

Volt är SI-enheten för elektrisk spänning. 1 V definieras som den skillnad i potential mellan två punkter på en elektrisk ledare när en ström på 1 ampere mellan dessa punkter genererar en effekt på 1 watt. Volt har namngetts av den italienske fysikern Count Alessan- dro Giuseppe Anastasio Volta (1745-1827).

watt (W)

Watt är SI-enheten för effekt. 1 W definieras som den effekt som genereras av 1 joule under en sekund. Watt har namngetts efter den skottske ingenjören James Watt (1736-1819).

Ƅ Måttenheternas multipler

Ett SI-prefix är ett prefix som kan användas till någon av enheterna i SI-systemet för att ange multipler eller delar av dessa enheter.

Prefixens symbol skrivs före och tillsammans med enheten. En enhet får bara ha ett prefix. De kan användas både till systemets grundenheter och till de härledda enheterna.

SI-systemet tillåter alltså att storleken av enheterna görs större eller mindre genom användning av prefix. Exempelvis är det inte praktiskt att använda enheten meter när man skall mäta stora avstånd som avståndet mellan två orter. I detta fall det kanske bättre att mäta avståndet i tusentals meter. Prefixet för 1000 är kilo, så kilometer (km) är ett lämpligare avståndsmått. För små dimensioner som t.ex. ett hårstrås diameter används lämpligast prefixet mikro ( ), som betyder 0.000001, framför meter och vi får ett hårstrås diameter i mikrometer ( m). I ingenjörssammanhang är det praxis att begränsa sig till prefix där exponenten är en faktor av tre, det vill säga 10 ^3k, k 1, 2,

Här följer hela skalan med prefix, deras multiplikator och symbol.

Prefix Faktor Symbol Prefix Faktor Symbol

yotta 10²⁴ Y yokto 10²⁴ y

zetta 10²¹ Z zepto 10 ²¹ z

exa 10¹⁸ E atto 10 ¹⁸ a

peta 10¹⁵ P femto 10¹⁵ f

tera 10¹² T piko 10 ¹² p

giga 10⁹ G nano 10 ⁹ n

mega 10⁶ M mikro 10⁶

kilo 10³ k milli 10 ³ m

hekto 10² h centi 10 ² c

deka 10¹ da deci 10 ¹ d

Exempel: Den från sida ett välkända bilen vars längd L 4 m kan vi nu med nyvunna kunskaper skoja till som L

storhet

40

mätetal

prefixdmenhet

Exempel: Ibland hör man talas om en googol, som är 10¹⁰⁰, det vill säga en etta följd av hundra nollor om man använder decimalsys- temet. Termen tillhör inte SI-prefixen utan introducerades av Milton Sirotta, nioårig brorson till matematikern Edward Kasner. För att förnimma en känsla av detta enorma tal kan man jämföra med det väldigt mycket mindre talet 10⁸⁰ som är det uppskattade antalet elementarpartiklar i universum! Å andra sidan när matematiker talar om “oändligheten” så är en googol ett försvinnande litet tal!

Den välkända sökmotorn Google på internet skapades av Larry Page och Sergey Brin i september 1998 medan de fortfarande var datastudenter på Stanford University. Valet av namn var en avsiktlig förvanskning av just ordet googol.

Exempel: Prefixet kilo multiplicerar med 1000, så kilometer (km) betyder tusen meter och kilowatt (kW) betyder tusen watt.

Prefixet milli dividerar med 1000, så millimeter (mm) betyder en tusendels meter och millisekund (ms) betyder en tusendels sekund.

Exempel: I äldre litteratur kan man se flera prefix kombinerade, där storleken ska antas vara produkten av de enskilda prefixen.

Detta är felaktig användning. Man får alltså inte skriva kMHz, utan det skall vara GHz (gigahertz). Ett annat vanligt felaktigt skrivsätt är F (eller än värre MMF), när man menar pF (pikofarad).

Exempel: I vissa fall används prefixen även för enheter utanför SI-systemet. Man säger till exempel MSEK för miljoner svenska kronor. Till och med i förkortningen Y2K används prefixet kilo – på ett något oegentligt sätt.

Prefixen har också kommit att användas i datasammanhang och då som binära prefix. Sålunda är prefixen kilo (k), mega (M), giga (G), och tera (T) är vanliga tillsammans med enheter för informationslagring som bit och byte. Eftersom sådana storheter ofta har värden som utgör potenser av två, binär, har prefixen i dessa sammanhang använts i en oegentlig betydelse.

Prefix Namn Faktor k eller K kilo 2¹⁰ 1024

M mega 2²⁰ 1 048 576

G giga 2³⁰ 1 073 741 824 T tera 2⁴⁰ 1 099 511 627 776

Vid beskrivning av kommunikationshastigheter har prefixen emellertid alltid använts i sin egentliga betydelse. Ett 10 Mbit/s ethernet sänder med 10 000 000 bit/s och inte med 10 485 760 bit/s. Motsvarande gäller också för hårddiskar, som använder decimala prefix (100 GB = 100 109 B), medan andra dataminnen har binära prefix. För en (gammal) 1.44 MB diskett gäller att den har 1440 kB, cirka 1.406 220 bytes, varav 1.39 220 tillgänglig för filer.

Som följd av detta införde IEC (International Electrotechnical Commission) 1998 en ny uppsättning binära prefix utanför SI. De bildas genom att byta ut sista stavelsen i SI-prefixen mot 'bi' och till motsvarande symboler lägga bokstaven 'i':

Prefix Symbol Faktor

kibi Ki 2¹⁰ 1024

mebi Mi 2²⁰ 1 048 576 gibi Gi 2³⁰ 1 073 741 824 tebi Ti 2⁴⁰ 1 099 511 627 776 pebi Pi 2⁵⁰ 1 125 899 906 842 624 exbi Ei 2⁶⁰ 1 152 921 504 606 846 976

Detta betyder också att de ordinarie prefixen enligt IEC enbart har sin bas-10-betydelse och aldrig någon bas-2-betydelse. De binära prefixen har dock ännu inte fått någon större allmän spridning, inte ens i datorvärlden.

Flera av de i dagligt tal förekommande SI-enheternas multipler har fått specialnamn och specialbeteckning.

Storhet Enhet Beteckning Förklaring

Volym liter l eller L 1 l 10 ³m³ 1 dm³

Massa ton t 1 t 1000 kg

Tryck bar bar 1 bar 105 Pa

Ƅ Regler för användning av SI-enheterna

Det finns ett antal regler för hur SI-systemet och dess enheter skall användas.

En enhet får bara ha ett prefix. Det är t.ex. inte tillåtet att skriva “millimillimeter”. I stället ska det skrivas som “mikrometer”.

De flesta prefix som gör en enhet större skrivs med versaler (M, G, T, osv). Undantag från denna regel är kilo (k) för att undvika förväxling med kelvin (K), hekto (h) och deka (da). När ett prefix gör en enhet mindre används gemener (m, n, p, osv).

Det kan noteras att många enheter är eponyma, det vill säga att dom är namngivna efter personer. Denna person är alltid någon som varit framstående i det tidiga arbetet inom det område som enheten används. En sådan enhet skrivs med gemener (newton, volt, pascal, osv) när de nämns med enhetens fulla namn men inleds med en versal (N, V, Pa, osv) när förkortning används. Ett undantag till denna regel är volymenheten liter som, om det skulle skrivas med gemener “l” lätt skulle kunna förväxlas med “1” (siffran ett).

Därför tillåts “L” som ett alternativ. Tanken är att en enkel bokstav för liter skall bestämmas i framtiden när det framkommer vilken bokstav som används flitigast.

Enheter skrivna i förkortad form skrivs aldrig i plural. Ett “s” kan antingen bli “sekund” eller “sekunder”.

En förkortning (J, N, g, Pa, osv) följs aldrig av en punkt såvida den inte står i slutet av en mening. För att göra tal lättare att läsa kan siffrorna sättas i grupper om tre separerade med mellanrum men inte komma.

SI-systemets föreslagna sätt att visa ett decimaltal är att använda komma (3,14159) för att separera heltalsdelen från decimaldelen.

Att använda punkt, vilket är helt dominerande i engelsktalande länder och i datorsammanhang, är acceptabelt förutsatt att punkten är placerad i höjd med siffrornas nedersta punkt (3.14159) och inte i mitten (3 14159). Den moderne ingenjören använder och drar en lans för att endast decimalpunkt skall användas, och tycker milt sagt sådär om svenska Skolverket :-(!!

Ƅ Typografi

Var noga med hur storheter, mätetal och enheter skrivs!

Skalära storheter skrivs liksom matematiska skalärer som bokstäver ur latinska eller grekiska alfabetet i kursiv stil, t.ex. massan m.

Enheter skrivs i rak stil, t.ex. m, mm, km samt kg. “Bilens vikt är m kg.”

Vektoriella storheter skrivs liksom matematiska vektorer med upprätt fet stil, t.ex. kraften 100, 0, 0 N. Ibland ser man också de lite äldre beteckningarna för vektorer med namnet i kursiv stil och en pil ovanför F, ett streck ovanför F, eller ett streck under F.

För att få tillgång till fler tecken används ofta index som skrivs som en mindre nedsänkt bokstav eller siffra i direkt anslutning till storhetssymbolen; även för dessa gäller att skalärer och storheter skrivs med kursiv stil medan annat skrivs med rak stil.

Ƅ Till sist

Det så kallade Metersystemet introducerades som måttsystem under Franska revolutionen. Bland annat grundade man sig på att 1 meter = 1/10 000 000 av avståndet från nordpolen till ekvatorn, 1 liter = 1/1000 av en kubikmeter och 1 gram = 1/1000 av vikten av en liter vatten. Parallellt med detta försökte man även införa ett system för tid med tio månader per år, tio dagar per vecka, tio timmar per dag, hundra minuter per timme. Men det slog aldrig igenom.

Metersystemet har med tiden utvecklats från det ursprungliga systemet och antagit flera olika standarder som plågat generationer av ingenjörer samtidigt som enheterna har fått nya, precisare, definitioner. Arbetet med metersystemet bedrevs internationellt och reglerades i meterkonventionen, som först undertecknades 1875. År 1960 fick metersystemet det nya namnet SI-systemet.

SI-systemet har inte helt slagit igenom i engelskspråkiga områden, där man fortfarande använder enheter som fot, tum, skålpund och sten i vardagliga sammanhang. Innebörden av dessa enheter kan skilja sig mellan olika områden; det är till exempel skillnad på en engelsk gallon och en amerikansk gallon. Speciellt litet genomslag har systemet haft i USA, där metriska enheter i stort sett bara används av myndigheter (till exempel militären) och i vetenskapliga sammanhang.

Detta lär bland annat ha lett till en förvirring som gjorde att den amerikanska marssonden Mars Climate Orbiter missade sitt mål och försvann ut i världsrymden då något delsystem räknade med amerikanska enheter och något med metriska enheter. Dock ökar sakta användningen av metersystemet inom de engelskspråkiga områdena, just på grund av att man vill undvika denna typ av missförstånd vid internationell handel och samarbete/forskning.

Som grundregel gäller att man vid kontakter med sådana länder ska ha tillgång till ett ordentligt tabellverk för omvandling av enheter! Gör alltid alla analyser på hemmaplan, det vill säga i SI-systemet!

Översätt (konvertera) alltid till SI-enheter innan du börjar räkna!

Uttrycker man alla storheter i SI-enheter vet man att svaret blir uttryckt i en SI-enhet.

När du är färdig, översätt dina svar till önskad icke SI-enhet! Om du blir tvingad!!

Exempel: Givet att 1 US Gallon = 231 cubic inches, 1 foot = 12 inches, 1 yard = 3 feet och 1 m = 1.093613 yards. Hur många liter är då 1 US gallon?

Lösningsförslag: Eftersom 1 liter 1 dm³ får vi följande lilla kalkyl

1 US Gallon 231 inch³ 231^foot₁₂³ 231^yard_{12 3}³ 23112 3 1.093613^m ³ 23112 3 1.093613^{10 dm} ³ 3.78541 dm³

Mathematica har inbyggda funktioner för att konvertera mellan en mängd olika enheter. Centralt är begrepper storhet (kvantitet), Quantity. Se vidare i Help.

UnitConvertQuantity 1., "Gallons" , "Decimeters"³ 3.78541 dm³

UnitConvert Quantity 1., "Gallons" , "Liters"

3.78541 L

Paketet är mycket kraftfullt eftersom det även kan användas för att göra beräkningar med enheter.