ty )(  ty )(2  tu )( 

(1)

Armin Ha

ORDIN (Tilläm Vi betra Vi anvä Steg 1.

Steg 2.

Steg 3.

serie me

) (x y_p  som vi s Steg 4.

sin(nx Steg 5.

Uppgift Bestäm

) (t y  

där (u

Lösning Steg 1.

) ( 

 t y

H C

y 

alilovic: EXTR

NÄRA DIFF mpning av F

aktar DE änder följan

Vi löser till Vi utveckla En partikul ed obestämd

2 ₁(

0 c

c

n

 n





^



substituerar Vi identifie

) x .

( ) (x y

y  _h

t 1.

m den allmän

) ( 2 y t 



1 , 3 ) t  t

g:

Först homo 0 ) (

2 

 y t Ce^²t ( lösn

RA ÖVNINGA

FERENTIA Fourierserie

L(y)=f(x) de steg:

lhörande ho ar högerlede lär lösning b da koefficie

) cos(n x

n  

r i DE. Hög erar koeffici

) ( )

(x  y_p x

nna lösning

) (t

u

(ek 1 1 t , (u

ogena delen ,

ningen till d

AR

ALEKVAT e)

vars hög

omogena DE et i tillhöran bestämmer v enter (c och_n

sin(n x

d_n 



gerledet ers ienter framf

gen till följan kv1)

( ) 2 (t u t

:

den homoge

1 av 5 TIONER M

gerled är en

E

nde Fouriers vi med hjälp h d ) _n

)) x

sätts med Fo för basfunkt

nde DE me

) .

ena delen).

MED PERIO

n allmän per

serie.

p av ansatse

ourierserien tionerna co

d periodisk

ODE m

ODISKA H

riodiskfunk

en som är en

n . ) os(n ochx

ka högerled

med periodiska

HÖGERLE

ktion.

n trigonome

h

den

a högerled

ED

etrisk

(2)

2 av 5

, 6t

u  vsin(nt) ,

6 u



 n

t v cos(n )

 Steg 2. Nu bestämmer vi en partikulörlösning till (ekv1).

Eftersom ekvationens högerled,u(t), är en periodisk funktion bestämmer vi Fourierserien för )

(t

u med T 2 ,  



 T

2

Funktionen )u(t är en udda funktion på intervallet 1t1 eftersom u(–t) = –u(t) och därför

...

3 , 2 , 1 ,

0 

 n

a_n

För n1 vi har







 

²

0 2

0

) sin(

3 2 sin

) 4 (

T T

n u t n tdt t n t dt

b T 

( part. integration)



n

n n

t n n

n

n dt t n n

t t n

n

1

2 2 1

0

) 1 ( 6

) 0 1 ( 6 0 ) 1 6 sin(

) 6cos(

) 6 cos(

0 ) 1 6 cos(

 



 

 













Alltså: 6( 1) sin( ) )

(

1

t n n

t u

n





^





 

 _.

Steg 3. Vi gör en ansats i form av en trigonometrisk serie:

) sin cos

2 ( ) (

1

0 c n t d n t

t c y

n

n n

p



^  





 .

Både y_p(t) och u(t) substitueras i ekvationen

) ( ) ( 2 )

( t y t u t

y   

(ekv1) Vi får









^







)]

sin cos

2 ( [ 2 ) cos sin

(

1 0 1

t n d t n c c

t n d n t n c n

n

n n

n

n     



) ) sin(

1 ( 6

1

t n n

n

n 



^ 



 

(3)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ODE med periodiska högerled

3 av 5

Steg 4. Identifiering av koefficienterna som står framför cosnt och sinnt ger systemet



















 









0 2

) 1 ( 2 6

2 0 2

1 0

n n

n

d n c

d n c n c

 



Från systemet får vi

0 0

c ,

4 ) 1 ( 6 4 ) 1 ( 6

2 2 2

2 1



 





  ^



 n

c n

n n

n och

) 4 (

) 1 ( 12

2 2

1



  ^



 n d n

n n

Alltså en partikulär lösning är ) sin cos

2 ( ) (

1

0 c n t d n t

t c y

n

n n

p  



^   





^







 







 



 

1

2 2

1 2

2 sin( )

) 4 (

) 1 ( ) 12 4cos(

) 1 ( ) 6

(

n

n n

p n t

n t n

n n t

y 



 



Steg 5. Den allmänna lösningen:



^



 



 







 



 







1

2 2

1 2

2

2 sin( )

) 4 (

) 1 ( ) 12 4cos(

) 1 ( 6

) ( ) ( ) (

n

n n

t

p H

t n n

t n n n

Ce

t y t y t y

 



Svar:



^



 



 







 



 



1

2 2

1 2

2

2 sin( )

) 4 (

) 1 ( ) 12 4cos(

) 1 ( ) 6

(

n

n n

t n t

n t n

n n Ce

t

y 



 



Uppgift 2.

Bestäm den allmänna lösningen till

) ( ) ( 4 )

( t y t u t

y   

(ekv1)

där )u(t är följande periodiska funktion med perioden 1

|

| 3 )

(t t

u   ,

2 1 2

1  

 t , u(t1)u(t).

(4)

Lösning

Steg 1.

) ( 

 t y ger y_H

Steg 2.

Eftersom ) (t u :

Funktio därför ,

0 b_n

0  4 a T

För n

Alltså

Steg 3.

g:

Homogena 0 ) (

4 

 y t Ce^⁴t

 ( l

Nu bestämm m ekvatione

T 1 , 

onen f(t) är e

..

3 , 2 ,

1 n



² 

0

) (

T

dt t u

 vi har vi 1

u t 4 ) 1 ( 

Vi gör en lö delen ,

lösningen ti

mer vi en pa ens högerled

 2

2 



 T

en jämn fun

..

13/2

 ⁴



² ⁽

0 T

n u

a T

n n 1 ( 4

3

1



^



 

ösningsansa

ill den hom

artikulörlös d,u(t), är en



nktion på in

 cos )

(t n td

n



^cos² 1 ) 1

2 2



ats i form av

4 av 5 mogena dele

sning till (ek n periodisk

ntervallet 



 ...

dt [(

t n



2 _.

v en Fourier en).

kv1)

k funktion b

2 1 2

1  

 t

2 2

] 1 ) 1 (

 n

n 



rserie:

bestämmer v

eftersom u

vi Fourierse

u(–t)=u(t) o

erien för

och

(5)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ODE med periodiska högerled

5 av 5 )

sin cos

2 ( ) (

1

0 c n t d n t

t c y

n

n n

p  



^   



.

Både y_p(t) och u(t) substitueras i ekvationen )

( ) ( 4 )

(t y t u t

y   (ekv1).

Härav









^







)]

2 sin 2

cos 2 (

[ 4 ) 2 cos 2

2 sin 2

(

1 0 1

t n d

t n c c

t n d

n t n c

n

n n

n

n     



t n n

n

n 

 ^cos² 1 ) 1 ( 4 13

1

2



^ 2





 

Identifiering av koefficienterna som står framför cosnt och sinnt ger systemet























 





0 4 2

1 ) 1 2 (

4

4 13 2 4

2 2 0

n n

n

d c n

d n n c

c



 

Från systemet får vi

8 13

0 

c ,

) 4 (

1 ) 1 (

2 2 2

2 



 



 n c n

n

n och

) 4 (

2

1 ) 1 (

2

2 



 



 n d n

n n

Alltså är en partikulär lösning

) sin cos

2 ( ) (

1

0 c n t d n t

t c y

n

n n

p  



^   





^

 



 









 





 



1

2 2 2

2 2

2 sin(2 )

) 4 (

2

1 ) 1 ) (

2 )cos(

4 (

1 ) 1 ( 16

) 13 (

n

n n

p n t

n t n

n n t n

y 



 



 Den allmänna lösningen:



^



 



 









 





 









1

2 2 2

4 sin(2 )

) 4 (

2

1 ) 1 ) (

2 )cos(

4 (

1 ) 1 ( 16

13

) ( ) ( ) (

n

n n

t

p H

t n n

t n n n

Ce n

t y t y t y

 



Svar:



^



 



 









 





 





1

2 2 2

4 sin(2 )

) 4 (

2

1 ) 1 ) (

2 )cos(

4 (

1 ) 1 ( 16

) 13 (

n

n n

t n t

n t n

n n Ce n

t

y 



 

