Tentamen TEN1, HF1012, 18 aug 2015
Matematisk statistik
Kurskod: HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15
Lärare och examinator: Armin Halilovic
Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.
Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.
Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
För händelserna A och B gäller att P(A∪ B)=0.8 , P(A∩ B)=0.3och P(B)=0.5 Bestäm a) P(AC), b) P(AC ∪BC), c) P(A∩BC).
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
< ≤
= för övrigt x x kx
f 0
1 0
) , (
8
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ.
a) Visa att k=9. b) Bestäm väntevärdet E(ξ) c) Bestäm medianen för ξ . Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En forskare gjorde 6 mätningar för en normalfördelade stokastisk variabel X ∈N(μ,σ) och fick följande resultat (σ okänt):
X: 220, 234, 226, 224, 240, 230
Bestäm ett 95 % konfidensintervall för medelvärdet μ.
Uppgift 4. (3p) Vi ska placera 6 identiska bollar i 5 lådor L1, L2, L3, L4.L5.
a) På hur många olika sätt kan vi göra detta?
b) I hur många placeringar är både L2 och L4 tomma lådor?
Var god vänd.
(enhet kiloohm). Vad är sannolikheten att 5 seriekopplade sådana motstånd skall få en resistans mellan 90 och 110 kiloohm?
Uppgift 6. (4p) Livslängden hos en elektronisk komponent K är en exponentialfördelad s.v.
med medelvärdet 4 år.
a) Hur stor sannolikheten är att komponenten fungerar i mer än 3 år?
b) Ett system B som består av 5 sådana komponenter fungerar om minst en, av de 5 komponenter, fungerar. Bestäm sannolikheten att systemet B fungerar i mer än 3 år.
Uppgift 7. (4p) Man vill jämföra två metoder för mätning av en vis variabel som anses normalfördelad med okänd standardavvikelse. Man har gjort 5 mätningar med Metod 1 och 7 mätningar med Metod 2. Man har fått följande observationer:
Metod 1: 61, 66, 66, 66, 67
Metod 2: 62, 65, 64, 68, 69, 68, 70
Kan man med 95% sannolikhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna?
Uppgift 8. (3p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/3/2 (dvs 3 betjänare och 2 köplatser). Ankomstintensiteten är 5 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=2 kunder/minut.
a) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3, p4 och p5. b) Vad är sannolikheten att en kund avvisas.
Uppgift 9. (3p) . En kommunikationskanal i ett datornät har kapaciteten K bitar/sekund. Till kanalen ankommer meddelanden enligt en Poissonprocess med ankomstintensiteten λ=40 meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= 100 000 bitar. Vi antar att vi kan modellera systemet som ett vanligt M/M/1 system med ködisciplin FCFS ( First- Come- First- Served). Bestäm det minsta värdet på K som erfordras, för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir T= 5 sekunder.
Tips: Medeltid i systemet för en kund är
λ µ−
= 1
T där µbetecknar betjäningsintensitet (λ betecknar ankomstintensitet).
Uppgift 10. (3p) Låt X vara en följd av binomialfördelade s.v. sådana at n
k n k
n p p
k k n X
P − −
=
= ) (1 )
( .
Anta att np = λ är er konstant då n→∞. Visa att X går mot Poissonfördelning dvs visa att n
=
∞ =
→ ( ( ))
lim P Xn k
n
λ −λ
k e
k
! .
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
För händelserna A och B gäller att P(A∪ B)=0.8 , P(A∩ B)=0.3och P(B)=0.5 Bestäm a) P(AC), b) P(AC ∪BC), c) P(A∩BC).
Lösning:
a)
Från P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) får vi 6
. 0 ) ( 3 . 0 5 . 0 ) ( 8 .
0 =P A + − ⇒P A =
Därmed P(Ac)=1−P(A)=0.4.
b) Enligt De Morgans lagar gäller P(AC ∪BC)=P((A∩B)C)=1−0.3=0.7
c)
Från ovanstående diagram har vi
3 . 0 3 . 0 6 . 0 ) ( ) ( )
(A∩B =P A −P A∩B = − =
P C
Svar: a) P(Ac)=0.4 b) P(AC∪BC)=0.7 c) P(A∩BC)=0.3
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
< ≤
= för övrigt x x kx
f 0
1 0
) , (
8
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ.
a) Visa att k=9. b) Bestäm väntevärdet E(ξ) c) Bestäm medianen för ξ .
a) 1 9 1 9
1 9
1
0 1 9
0
8 = ⇒ = ⇒ =
⇒
∫
kx dx= k x k k .b) 10
9 910
9 9
) (
1
0 1 10
0 9 1
0
8 =
=
=
⋅
=
∫
x x dx∫
x dx xE ξ .
c) Medianen är lösningen till ekvationen
9 9
0 9
0
8 0.5 0.5 0.5
9 9 5 . 0
9 = ⇒ = ⇒ =
⇒
∫
x dx= x m mm m
Svar: a) Se bevis b)
10 ) 9 (ξ =
E c) m=9 0.5
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En forskare gjorde 6 mätningar för en normalfördelade stokastisk variabel X ∈N(μ,σ) och fick följande resultat (σ okänt):
X: 220, 234, 226, 224, 240, 230
Bestäm ett 95 % konfidensintervall för medelvärdet μ.
Lösning:
Lösning:
n x x
x x + + + n
= 1 2
= 229,
4 . 52 5 / 262 )
1 ( variansen 1
1
2
2 − = =
= −
=
∑
= n
i
i x
n x
s
23878 . 5 7 262 =
=
= Variansen s
Från formelsamling (sidan 16 rad n-1= 6-1 =5 har vi
2 =
α/
t 2.5706
Konfidensintervall:
) ,
( /2 /2
t n n x
t
x
s s
α
α +
− = )
6 23878 .
2.57067 229
6 , 23878 .
2.57067 229
( − +
= (221.4, 236.6) Svar: (221.4, 236.6)
Uppgift 4. (3p) Vi ska placera 6 identiska bollar i 5 lådor L1, L2, L3, L4.L5.
a) På hur många olika sätt kan vi göra detta?
b) I hur många placeringar är både L2 och L4 tomma lådor?
Lösning:
a) Vi betraktar ekvivalent problem: Antalet permutationer av bokstäver I , väggar ( 6 st.) och O ( 6 st) där varje permutation måste börja och sluta med I (annars hamnar bollar utanför lådorna).
T ex följande placering
svarar mot permutationen
I O O I O I I O O I O I
Eftersom varje permutation måste börja och sluta med I, permuterar vi faktiskt 4 bokstäver I och 6 bokstäver O (totalt 10 bokstäver).
Antalet sådana permutationer är 210
)
! 6 ( )
! 4 (
! ) 10 10
6(
,
4 =
= ⋅
P
b) Om två lådor är alltid tomma, placerar vi 6 bollar i tre lådor. med samma resonemang som i a-delen har vi att antalet sådana permutationer är =
= ⋅
)
! 6 ( )
! 2 (
! ) 8
8
6(
,
P2 28.
Uppgift 5. (3p) Vid tillverkning av en viss typ motstånd blir resistansen N(20,2) fördelad (enhet kiloohm). Vad är sannolikheten att 5 seriekopplade sådana motstånd skall få en resistans mellan 90 och 110 kiloohm?
Lösning:
Låt ξk vara resistansen av motstånd nummer k och
5 2
1 ξ ξ
ξ
η= + ++
Då gäller 𝜂𝜂 ∈ 𝑁𝑁(5 ∙ 20; 2√5), d v s 𝜂𝜂 ∈ 𝑁𝑁(100; 2√5).
Sannolikheten
− = Φ
− − Φ
=
−
=
≤
≤ )
5 2
100 (90 ) 5 2
100 (110 )
90 ( ) 100 ( ) 100 90
( F F
P η
=
− Φ
−
Φ(2.24) ( 2.24) 0.9875 – 0.0125=0.975 Svar: 0.975
Uppgift 6. (4p) Livslängden hos en elektronisk komponent K är en exponentialfördelad s.v.
med medelvärdet 4 år.
a) Hur stor sannolikheten är att komponenten fungerar i mer än 3 år?
b) Ett system B som består av 5 sådana komponenter fungerar om minst en, av de 5 komponenter, fungerar. Bestäm sannolikheten att systemet B fungerar i mer än 3 år.
Lösning: Låt ξk, k=1,...,5 beteckna livslängden hos en komponent.
Då är ξk∈Exp(λ).
Väntevärdet av ξk är
4 1 1
1 ⇒ = =
= λ µ
µ λ .
Därmed )
4 (1
k∈Exp
ξ . Därmed (kolla formelblad) F(t)=1−e−λt =1−e−t/4. a) p=P(ξk >3)=1−P(ξk ≤3)=1−F(3)=1−(1−e−3/4)=e−3/4 =0.4724 b) Sannolikheten att ingen komponent fungerar i mer än 3 år är
0.04 )
0.4724 1
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
(ingen = − p ⋅ − p − p = − p 5 = − 5 =
P
Sannolikheten för minst en fungerade komponent är
=
−
=
−
=1 P(ingen) 1 0.04 en)
(minst
P 0.96.
Svar a) 0.4724 b) 0.96
Uppgift 7. (4p) Man vill jämföra två metoder för mätning av en vis variabel som anses normalfördelad med okänd standardavvikelse. Man har gjort 5 mätningar med Metod 1 och 7 mätningar med Metod 2. Man har fått följande observationer:
Metod 1: 61, 66, 66, 66, 67
Metod 2: 62, 65, 64, 68, 69, 68, 70
Kan man med 95% sannolikhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna?
Lösning: Problemet handlar om två stickprov med okänt s. Vi använder följande formler (se formelblad):
− − + − ⋅ ⋅ + − + + − ⋅ ⋅ +
2 1
* 2
1 2 / 2
1
* 2
1 2 /
1 ) 1
2 (
1 , ) 1
2
( x y t n n n n
n n n
n t y
x α s α s
där 1 1
) 1 ( ) 1 (
2 1
2 2 2
* 1
− +
−
− +
= −
n n
n
n sx sy
s
Beräkningar ger
x=65.2, sx2= 5.7 y= 66.57142857, s2y =8.619,
s*=2.72973049 )
10
2(
α/
t =2.2281
Konfidensintervallet för skillnaden mellan medelvärdena är K=[–4.94, 2.19]
Eftersom 0 ligger i intervallet kan vi INTE påstå med 95% sannolikhet att det finns skillnad mellan metoderna.
Svar: Eftersom 0 ligger i intervallet kan vi INTE påstå med 95% sannolikhet att det finns skillnad mellan metoderna.
Uppgift 8. (3p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/3/2 (dvs 3 betjänare och 2 köplatser). Ankomstintensiteten är 5 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=2 kunder/minut.
a) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3, p4 och p5. b) Vad är sannolikheten att en kund avvisas.
Lösning:
a) Diagrammet med övergångsintensiteter:
....
Med hjälp av teorin för födelsedödsprocesser har vi följande relationer mellan de stationära sannolikheterna pk och p0:
0 1 0
1 p
p µ
= λ , 0
2 1
1 0
2 p
p µµ λ
= λ , 0
3 2 1
2 1 0
3 p
p µµ µ λ λ
= λ , 0
4 3 2 1
3 2 1 0
4 p
p µ µ µ µ λ λ λ
= λ ,
0 5 3 2 1
4 2 1 0
5 p
p µ µ µ µ λ λ λ λ
=
Härav p1=2.5 p0, p2 =3.125 p0, p3=2.604167 p0, p4 =2.1701389p0, p5=1.808449 p0
För att bestämma p0använder vi relationen
5 1
4 3 2 1
0 + p +p +p +p + p =
p och får
1
13.2077546p0 = ⇒ p0=0.075713096.
Därefter p1 =2.5 p0= 0.18928274
0 2 3.125 p
p = = 0.236603426,
0 3 2.604167 p
p = =0.19716952,
0 4 2.1701389p
p = =0.164307935,
0 5 1.808449 p
p = =0.136923279
b) Sannolikheten att en kund avvisas är p5=0.136923279.
Uppgift 9. (3p) . En kommunikationskanal i ett datornät har kapaciteten K bitar/sekund. Till kanalen ankommer meddelanden enligt en Poissonprocess med ankomstintensiteten λ=40 meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med
medelvärdet v= 100 000 bitar. Vi antar att vi kan modellera systemet som ett vanligt M/M/1 system med ködisciplin FCFS ( First- Come- First- Served). Bestäm det minsta värdet på K som erfordras, för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir T= 5 sekunder.
Tips: Medeltid i systemet för en kund är
λ µ−
= 1
T där µbetecknar betjäningsintensitet (λ betecknar ankomstintensitet).
Lösning:
a) Vi ska använda 1 minut som tidsenhet. Vi har λ=40 meddelanden/minut.
Betjäningsintensitet som krävs för att få T=5sec =5/60 =1/12 min bestämmer vi med hjälp av formeln
λ µ−
= 1
T som ger
52 12
40 40 1 12
1 ⇒ − = ⇒ =
= − µ µ
µ .
Alltså för att få T=1/12 min krävs det betjäningsintensitet µ=52 meddelande per minut.
Eftersom 1 meddelande har i genomsnitt 100 000 bitar drar vi slutsats att vi behöver en överföringskapacitet med minst
K=52·100 000=5 200 000 bitar per minut=86667 bitar per sekund.
Svar: K=5 200 000 bitar per minut=86667 bitar per sekund.
Uppgift 10. (3p) Låt X vara en följd av binomialfördelade s.v. sådana at n
k n k
n p p
k k n X
P − −
=
= ) (1 )
( .
Anta att np = λ är er konstant då n→∞. Visa att X går mot Poissonfördelning dvs visa att n
=
∞ =
→ ( ( ))
lim P Xn k
n
λ −λ
k e
k
! . Bevis:
k n k
n n
n p p
k k n
X
P −
∞
→
∞
→ −
=
= )) lim (1 )
( ( lim
k n k
n k n n
k n n
n −
∞
→
−
+
−
= − λ λ
! 1
) 1 )...(
1 lim (
k n
n k k
n n
k n n
n k
−
∞
→
− +
−
=λ − λ
) 1 1 )...(
1 lim (
!
k n
n k
n n
n k n
n n n k
−
∞
→
−
−
−
−
−
−
=λ λ λ
1 1 1
1 2 ...
1 1 1
!lim (*)
1
!⋅1⋅ ⋅
=λ −λ
k e
k
λ −λ
= e
k
k
! V.S.B .
Förklaring av (*): Om n→∞, eftersom k är ett fixt tal, har vi i uttrycket (*)
1 →1
− n
i , λ −λ
→
− e
n
n
1 and 1 →1
− −k n
λ .
