Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Nivå: rätt svårt s − + = <+ =+ 349 xx xx xx − −≥ − 24193 24193 24193

Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Nivå: rätt svårt

Fråga 1: f(x)=3x² −7−2x är ett polynom. Beräkna värdet av f(0), f(2) och f(π) ____________________________________________

Fråga 2: Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning och IT-konsult AB beskrivas med funktionen L(p)=17500+15pdär p är antalet universitetspoäng den anställde har tagit.

Bängt har aldrig läst på högskola. Vad får Bängt för ingångslön?______________

Sivan har läst 4 år på universitet och har tagit 160 poäng. Sivans ingångslön blir ___________

Beräkna L(160)−L(0) och förklara med ord vad det betyder!__________________________

___________________________________________________________________________

Fråga 3: Förenkla följande uttryck/polynom så långt som möjligt )

3 )(

4 6 ( ) 3 2 )(

2 (

3 x² − x x− − − x+ x−x² _______________________

) 5 . 1 ( 2 99 3

2x³ + x² − x= x x² − x ________________________

) 3 )(

3 ( ) 3 )(

3

(x+ x− − +x −x _______________________

) 1 2 2 )(

4 3

(x² + x− − x² + x+ ______________________

) 4 )(

3 )(

2

(x− x− x− ____________________

Fråga 4: Bryt ut så mycket som möjligt ur följande uttryck x

xy

xy 4 8

2 ² + − ___________________

3 3 2

2

3 33 12

27xy − x y + x y _____________________________

ab ab

b a b

a 70 28 17

7 ^{1 3} − ^{3 5} + ² − ___________________________

Fråga 5: Lös följande ekvationer 3

4

9s− = ____________________

2 4 19

3x+ = x− ___________________

2 4 19

3x+ < x− ___________________

2 4 19

3x+ ≥ x− ___________________

4 2

6 ) 4 )(

2 (

4 x− x− + x= x ____________________

Fråga 6: Bestäm arean av följande triangel

(cm)

x 5

3

Fråga 7: Beräkna längden av sträckan x (i cm).

a) b) c) d) 2

1,6 2 3 x 2

0,8 4 x 6 2 x 6 4 4

x Fråga 8: Bestäm vinkeln x och (i sista uppgiften) vinkeln y

a) b) c) d) x x x

35°

x x ^{y 92°} 103°

45°

Fråga 9: Bestäm avståndet mellan punkterna P1 och P2

P1=(3, 8) och P2=(5, 9) P1=(4, 6) och P2=(-1, -2)

Fråga 10: Bestäm mittpunkten på den räta linjen som går mellan punkterna P1 och P2

P1=(3, 8) och P2=(5, 9) P1=(4, 6) och P2=(-1, -2)

Fråga 11: Bestäm k-värdet på den räta linjen som går mellan punkterna P1 och P2

P1=(3, 8) och P2=(5, 9) P1=(4, 6) och P2=(-1, -2)

Fråga 12: Bestäm ekvationen för den räta linjen som går mellan punkterna P1 och P2

P1=(3, 8) och P2=(5, 9) P1=(4, 6) och P2=(-1, -2)

Fråga 13: Funktionen y= x3 −4 är en rät linje.

Hitta en linje parallell med denna som går genom punkten (0,1).

Hitta en linje vinkelrät med denna som går genom punkten (0,1).

Fråga 14: Funktionen y=−3 +x 4 är en rät linje.

Hitta en linje parallell med denna som går genom punkten (0,1).

Hitta en linje vinkelrät med denna som går genom punkten (0,1).

Fråga 15: Lös följande ekvationer 4

3 2< +

− x

x

4 6 3 2x− ≥ x−

12 3 <−

− x

Fråga 16: Lös följande linjära ekvationssystem

⎩⎨

⎧

= +

=

− 1

4 2 2

y x

y x

⎩⎨

⎧

= +

= +

19 67 2 3

y x

y x

Fråga 17: Lös följande andragradsekvationer 0

2 6

= x + x

0 5

2 4

=

− x − x

0 9

2 10

= +

+ x

x

2 13 12

3x² + x− =

Fråga 18: Följande problem saknar alla lösning. Motivera för var och en vad som inte stämmer/är tillåtet.

1

2 13

= +

x + x ______________________________________________________

⎩⎨

⎧

=

−

= +

−

2 2 2

6 b a

b

a ____________________________________________________

Beräkna f(3)då

) 3 ( 3 ) 4 (

3

+

−

= + x x x

f __________________________________

Beräkna f(3)då f(x)= 4(1−x) __________________________________

Facit till uppgifterna

Fråga 1:

7 0 7 0 0 2 7 0 3 ) 0

( = × ² − − × = − − =−

f

1 4 7 12 4 7 4 3 2 2 7 2 3 ) 2

( = × ² − − × = × − − = − − =

f

7 2 3 2

7 3

)

(π = ×π² − − ×π = π² − π −

f Vi kommer inte längre än så. Om vi skulle vilja

fortsätta måste vi räkna med ett närmevärde på π, t.ex. π ≈3.14. Fråga 2:

Bängts ingångslön L(0)=17500+15×0=17500 Svar 17500 SEK/mån Sivans ingångslön L(160)=17500+15×160=19900 Svar 19900 SEK/mån

2400 17500

19900 )

0 ( ) 160

( − L = − =

L om man har klarat av 4 år på högskola får man 2400

SEK/mån mer i lön än om man inte har några högskolepoäng alls.

Fråga 3: Förenkla följande uttryck/polynom så långt som möjligt

=

− +

−

−

−

−2 )(2 3) ( 6 4)(3 ) (

3 x² x x x x x²

=

− + +

−

− +

−

−3 4 6 ) ( 18 6 12 4 )

2 (

3 x³ x² x² x x² x³ x x²

=

− + +

−

−

= +

−

− +

+

−

−

=6x³ 9x² 12x² 18x 18x² 6x³ 12x 4x² 6x³ 6x³ 21x² 22x² 18x 12x x

x² +6

=

) 5 . 1 ( 2 99 3

2x³ + x² − x= x x² − x

2 3 2

3 3 99 2 3

2x + x − x= x − x

2 2 3 3 2

2 3

3 2 3 3 99 2 2 3 3

2x − x + x + x − x= x − x − x + x

0 99 6x² − x=

0 6 ) ( 99

6x x− = 6 0

99 =

x− eller 6 =x 0

6

= 99

x eller x=0

=

×

−

= +

−

−

=

−

−

−

=

− +

−

−

+3)( 3) (3 )(3 ) 3 (3 ) 3 3 2 2 9

(x x x x x^{2 2 2} x² x^{2 2 2} x² x²

18 2x² −

=

−

− + + +

− + +

−

= + +

−

−

+3 4)( 2 2 1) 2 2 6 6 3 8 8 4

(x² x x² x x⁴ x³ x² x³ x² x x² x

4 5 15 4

2 ⁴ − ³ + ² − −

−

= x x x x

=

− +

−

=

− +

−

−

=

−

−

−2)( 3)( 4) ( 3 2 6)( 4) ( 5 6)( 4)

(x x x x² x x x x² x x

24 26 9

24 6 20 5

4 ^{2 2 3 2}

3 − x − x + x+ x− =x − x + x−

x

Fråga 4:

) 4 2 ( 2 4 2 2 2 2

8 4

2xy² + xy− x= x×y² + x× y− x× = x y² + y−

) 4 11 9 ( 3 4

3 11 3

9 3 12

33

27xy³ − x²y² + x³y³ = xy² × y− xy² × x+ xy²× x²y = xy² y− x+ x²y

=

×

−

× +

×

−

×

=

− +

−70 28 17 7 70 28 17

7a¹b³ a³b⁵ ab² ab ab b² ab a²b⁴ ab b ab

) 17 28 70

7

( b² − a²b⁴ + b− ab

Fråga 5:

3 4 9s− =

4 3 4 4

9s− + = + 9 =s 7

9 7 9 9s =

9

= 7 s

2 4 19

3x+ = x−

2 2 3 4 2 19 3

3x− x+ + = x− x− + x

x 3 4 2

19+ = −

=21 x

2 4 19

3x+ < x−

2 2 3 4 2 19 3

3x− x+ + < x− x− + x

x 3 4 2

19+ < −

<x 21

>21 x

2 4 19

3x+ ≥ x−

2 2 3 4 2 19 3

3x− x+ + ≥ x− x− + x

x 3 4 2

19+ ≥ −

≥x 21

≤21 x

4 2

6 ) 4 )(

2 (

4 x− x− + x= x

2

2 4 2 8) 6 4

(

4 x − x− x+ + x= x

2

2 6 8) 6 4

(

4 x − x+ + x= x

2

2 24 32 6 4

4x − x+ + x= x

2 2 2

2 4 18 32 4 4

4x − x − x+ = x − x

0 32 18 + =

− x x 32 =18

18 18 18

32 x

=

= x 2

Fråga 6:

(cm)

x 5

3

Pythagoras sats ger

2 2

2 +3 =5

x

2 2 2 2

2 +3 −3 =5 −3

x

2 2 2 2

2 +3 −3 =5 −3

x

9

2 25

− x =

2 16 x =

4 16 =±

± x=

Men svaret x=−4har ingen relevans så den stryker vi.

=4 x

Arean av en triangel är 2

h A b×

=

4 ,

3 = =

= h x

b ger

2 6 12 2

4

3× = =

A=

Svar: Arean=6cm² Fråga 7:

a) b) c) d) 2

1,6 2 3 x 2

0,8 4 x 6 2 x 6 4 4

x a) Två lösningar finns

Topptriangelsatsen ger +x

+ = 2

2 6 . 1 2

6 . 1

) 6 . 1 2 )(

2 )( 2 ( ) 2 6 . 1 2 )(

2 )( 6 . 1 2 (

6 .

1 + +

= + +

+ + x

x x

) 6 . 1 2 ( 2 ) 2 ( 6 .

1 + x = +

2 . 3 4 6 . 1 2 .

3 + x= +

2 . 3 2 . 3 4 6 . 1 2 . 3 2 .

3 − + x= + −

4 6 . 1 x=

6 . 1

4 6 . 1

6 . 1 x =

5 .

=2

x cm

Parallelltransversalsatsen ger x

2 2

6 .

1 =

x x x 22 2 2

6 .

1 =

2 2 6 .

1 x= ×

6 . 1

4 6 . 1

6 . 1 x =

5 .

=2

x cm

b) Det finns inte tillräckligt med information för att lösa uppgiften.

c) Topptriangelsatsen ger x

8 . 0 4 2

2 =

+ x x x 0.86 66

2 =

6 8 . 0 2x= ×

2 8 . 4 2 2x =

4 .

=2

x cm

d)

6 2 4

4 x

+ = 66 66

4 x

=

= x 4

=4 x cm

Fråga 8: Bestäm vinkeln x och (i sista uppgiften) vinkeln y

a) b) c) d) x x x

35°

x x ^{y 92°} 103°

a) 45°

Vinkelsumman I en triangel är 180°.

180 35+x+x=

35 180 2

35

35− + x= − 2

145 2

2x = 5 .

=75 x

b) x kan betraktas som en randvinkel. Då får vi en medelpunktsvinkel som är 180°.

Randvinkelsatsen säger att

2 × Randvinkeln = medelpunktsvinkeln 2 =x 180

2 180 2

2x =

=90 x

c) x kan betraktas som en randvinkel. Motsvarande medelpunktsvinkel är då 45°.

Randvinkelsatsen säger att

2 × Randvinkeln = medelpunktsvinkeln 2 =x 45

2 45 2 2x =

5 .

=22 x

d) För en fyrhörning inskriven i en cirkel gäller att om a och b är två motstående vinklar i fyrhörningen så är a+ b=180

103 =180 x+

103 180 103

103− = −

x+

=77 x

92 =180 y+

92 180 92

92− = −

y+

=88 y

Fråga 9:

P1=(3, 8) och P2=(5, 9)

2 1 2 2 1 2 2

1 (x x ) (y y )

A₋ = − + −

2 2

2

1₋ = (5−3) +(9−8)

A

5 1 2^{2 2}

2

1₋ = + =

A

P1=(4, 6) och P2=(-1, -2)

2 1 2 2 1 2 2

1 (x x ) (y y )

A₋ = − + −

2 2

2

1₋ = (−1−4) +(−2−6)

A

89 64 25 )

8 ( ) 5

( ^{2 2}

2

1₋ = − + − = + =

A

Fråga 10:

P1=(3, 8) och P2=(5, 9) , 2

2

2 1 2

1 y y

x y

x_m x _m +

+ =

=

2 9 , 8

2 5

3 +

+ =

= _m

m y

x

2 , 17 2

8 =

= _m

m y

x

) 5 . 8 , 4 ( ) , (xm ym =

P1=(4, 6) och P2=(-1, -2) , 2

2

2 1 2

1 y y

x y

x_m x _m +

+ =

=

2 ) 2 ( , 6

2 ) 1 (

4 + −

− =

= + _m

m y

x

2 , 4 2

3 =

= _m

m y

x

) 2 , 5 . 1 ( ) , (xm ym = Fråga 11:

P1=(3, 8) och P2=(5, 9)

1 2

1 2

x x

y y x k y

−

= − Δ

= Δ

2 1 3 5

8

9 =

−

= − k

P1=(4, 6) och P2=(-1, -2)

1 2

1 2

x x

y y x k y

−

= − Δ

= Δ

6 . 5 1 8 5 8 4 1

6

2 = =

−

= −

−

−

−

= − k

Fråga 12:

P1=(3, 8) och P2=(5, 9) m

kx

y = + k-värdet har vi redan räknat ut i föregående fråga. k=0.5 Sätt in en av de två punkterna i ekvationen, t.ex. P1.

+m

×

=0.5 3 8

+m

= 51. 8

+m

−

=

−1.5 1.5 1.5 8

=m 5 . 6

5 . 6 5 .

0 +

= x

y

P1=(4, 6) och P2=(-1, -2) m

kx

y = + k-värdet har vi redan räknat ut i föregående fråga. k=1.6 Sätt in en av de två punkterna i ekvationen, t.ex. P2.

+m

−

×

=

−2 1.6 ( 1) +m

−

=

−2 1.6

+m +

−

= +

−2 1.6 1.6 1.6

=m

− 40.

4 . 0 6 .

1 −

= x

y

Fråga 13: Funktionen y= x3 −4 är en rät linje.

Hitta en linje parallell med denna som går genom punkten (0,1).

Funktionen vi söker har formen y=kx+m

En parallell linje till y= x3 −4 har samma k-värde som denna, dvs. k=3.

m x y = 3 +

Punkten (0,1) skall ligga på linjen. Sätt in denna:

+m

×

=3 0 1

=m 1

3 +1 y = x

Hitta en linje vinkelrät med denna som går genom punkten (0,1).

Funktionen vi söker har formen y=kx+m

En linje vinkelrät mot y = x3 −4 har ett k-värde sådant att 3 −= 1

k× . 3

1 3

3 −

k =

3

−1 k =

m x y =− +

3 1

Punkten (0,1) skall ligga på linjen. Sätt in denna:

+m

×

−

= 0

3 1 1

=m 1

3 1

1 +

−

= x

y

Fråga 14: Funktionen y=−3 +x 4 är en rät linje.

Funktionen vi söker har formen y=kx+m

En parallell linje till y=−3 +x 4 har samma k-värde som denna, dvs. k=-3.

m x y = 3− +

Punkten (0,1) skall ligga på linjen. Sätt in denna:

+m

×

−

= 3 0 1

=m 1

3 +1

−

= x

y

Hitta en linje vinkelrät med denna som går genom punkten (0,1).

Funktionen vi söker har formen y=kx+m

En linje vinkelrät mot y =−3 +x 4 har ett k-värde sådant att 1

) 3 (− =−

k× .

3 1 3 3

−

= −

−

− k

3

= 1 k

m x y = +

3 1

Punkten (0,1) skall ligga på linjen. Sätt in denna:

+m

×

= 0

3 1 1

=m 1

3 1

1 +

= x

y

Fråga 15: Lös följande ekvationer 4

3 2< +

− x

x

2 4 3 3 2 2

3 − + < − + +

− x x x

x 2 <6

− x 2 6 2 2

> −

−

− x

−3 x>

4 6 3 2x− ≥ x−

4 4 2 6 4 3 2

2x− x− + ≥ x− x− + x

1 ≥4 4 4 4

1 x

≥

≥ x 4 1

4

≤ 1 x

12 3 <−

− x 3 12 3

3

−

> −

−

− x

>4 x

Fråga 16: Lös följande linjära ekvationssystem

⎩⎨

⎧

= +

=

− 1

4 2 2

y x

y

x Tag undre raden gånger 2 och addera till den övre raden

⎩⎨

⎧

= +

+

= +

− +

1

2 4 2 2 2 2

y x

y y x

x

⎩⎨

⎧

= +

= 1 6 4

y x

x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= 1 4 6 4 4

y x

x

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= +

= 4 1 6

4 6

y x

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

= +

−

=

4 1 6 4

6 4 6

4 6

y x

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=

−

=

=

5 . 4 0 2 4 6

y x

⎩⎨

⎧

−

=

= 5 . 0 5 . 1 y x

⎩⎨

⎧

= +

= +

19 67 2 3

y x

y

x Tag undre raden gånger -2 och addera till den övre raden

⎩⎨

⎧

= +

− +

=

− + +

− +

19

) 38 ( 67 ) 2 ( 2 ) 2 ( 3

y x

y y

x x

⎩⎨

⎧

= +

=

19 29

29 y x

⎩⎨

⎧

−

= +

−

=

29 19 29

29 29

y x

⎩⎨

⎧

−

=

= 10 29 y x

Fråga 17:

0

2 6

= x + x

0 ) 6 (x+ = x

=0

x eller (x+6)=0

=0

x eller x+6−6=0−6

=0

x eller x=−6 0 5

2 4

=

−

x − x pq-formeln ger

3 2 9 2 5 4 2 2 5

4 2

4 ²

±

=

±

= +

±

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

x=

1 ,

5 ₂

1 = x =−

x

0 9

2 10

= +

+ x

x pq-formeln ger

4 5 16 5 9 25 5 2 9

10 2

10 ²

±

−

=

±

−

=

−

±

−

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

− x=

9 ,

1 ₂

1 =− x =−

x

2 13 12

3x² + x− =

2 2 2 13 12

3x² + x− − = − 0 15 12

3x² + x− = 3 0 3 15 3 12 3 3 ²

=

−

+ x

x

0 5

2 4

=

−

x + x pq-formeln ger

3 2 9 2 5 4 2 2 5

4 2

4 ²

±

−

=

±

−

= +

±

−

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

− x=

5 ,

1 ₂

1 = x =−

x

Fråga 18:

1

2 13

= +

x + x

1 1 1

2 13

−

=

− + x + x

0

2 12

= +

x + x

0 12

2 1

= +

×

+ x

x pq-formeln ger

75 . 11 5

. 0 12 5 . 0 5 . 0 2 12

1 2

1 ² ₂

−

±

−

=

−

±

−

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

− x=

Denna saknar lösning eftersom vi får ett negativt tal under roten och detta är inte tillåtet.

⎩⎨

⎧

=

−

= +

−

2 2 2

6 b a

b

a Multiplicera första raden med 2 och addera den till andra raden

⎩⎨

⎧

+

= +

−

− +

= +

−

12 2 2 2 ) 2 ( 2

6

b b a a

b a

⎩⎨

⎧

=

= +

− 14 0

6 b a

0 =14är orimligt och därför saknar ekvationssystemet lösning.

) 3 ( 3 ) 4 (

3

+

−

= + x x x

f

0 31 0 3

27 4 ) 3 3 ( 3

3 ) 4

3 (

3

× =

= + +

−

= + f

Division med noll är inte tillåtet. Därför är funktionen inte tillåten för x=3.

) 1 ( 4 )

(x x

f = −

8 )

2 ( 4 ) 3 1 ( 4 ) 3

( = − = − = −

f

Vi får ett negativt tal under roten och detta är inte tillåtet. Därför är funktionen inte tillåten för x=3.