Något om Funktioner och Mathematica
Bertil Nilsson 2021-08-15
r a b Θ x
y
ť Förord
På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till funktioner med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteck- ningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.
ť Funktionsbegreppet
Sedan lång tid har man betraktat en funktion som ett uttryck där det ingår en eller flera variabler. Släktskapet med begreppet ekvation är flytande ska vi se och ibland är det inte någon större skillnad när vi betraktar en funktion i sin mer generella form avbildning. I sin enklaste form kan man se en funktion som en process eller maskin vilken man matar med objekt och som sedan utifrån vissa regler producerar nya objekt. Det vanligaste fallet som vi känner sedan tidigare är att maskinen matas med ett tal x och därefter levererar ett tal y, så kallad envariabelanalys. Om vi döper funktionen till f skriver vi y f x och kallar x för den oberoende variabeln eftersom den i någon mening kan matas in fritt och y kallas för den beroende variabeln då den beror både på x och f. Man brukar säga att y är värdet eller bilden av x under funktionen f eller att x avbildas av f. Skilj på funktionens namn f och dess värde f x i punkten x. Sådana här funktionssamband brukar avbildas i vårt vanliga koordinatsystem.
x y
y f x
2 1 1 2 3 x
4 2 2 4 6 8 y
y f x
Exempel: De vanligaste reglerna som används är naturligtvis våra vanliga räkneregler och funktionen brukar helt enkelt beskrivas med dessa. Exempelvis har vi den funktion f vilken “tar ett tal adderar 1 och slutligen kvadrerar summan” som f x x 12. Vi kan nu rita in de bilder y f x vi får för exempelvis x 3, 2 .
Plot x 1 2, x, 3, 2 , PlotStyle Green, PlotRange All, AxesLabel "x", "y"
3 2 1 1 2 x
2 4 6 8 y
Som väntat ligger Mathematica nära det matematiska språket. Här definierar vi funktionen i senaste exemplet.
f x : x 1 2
Notera speciellt hakparenteser kring den oberoende variabeln och att det ska vara ett _ “underscore” direkt efter variabeln för att skilja den från annat x som kanske råkar vara i Notebooken. Konstruktionen med : är lite teknisk. Med endast = så förenklar (beräknar) Mathematica högerledet så långt det är möjligt redan vid definitionstillfället till skillnad mot : som innebär att definitio- nen hålles symboliskt som den är inskriven och beräknas först när f x efterfrågas. Det finns anledning att ha båda möjligheterna! Vi kan nu beräkna funktionens värde i de punkter vi önskar, såväl enskilda som en lista av dem.
f 2 , f 3, 4, 8 9, 16, 9, 81
De tal som man vill mata in till funktionen, det vill säga alla tänkbara värden på den oberoende variabeln, kallas för definitionsmäng- den Df till f. De värden som den beroende variabeln sedan kan anta då x genomlöper Df kallas värdemängden Vf till f. Vanligtvis brukar man välja Df till de tal som maskinen “står pall för”, den så kallade naturliga definitionsmängden. Men det finns ofta anledning att inskränka den till en mindre mängd.
Exempel: Vi ser att till funktionen f x x 12 kan vi mata in vilket tal som helst, det vill säga x , så Df är dess naturliga definitionsmängd. Eftersom en kvadrat bara kan anta ickenegativa värden har vi att Vf 0, . För funktionen g x 3 x 1 gäller däremot en naturlig Dg 1, och Vg 3, .
Plot3 x 1 , x, 0, 10 , PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y"
2 4 6 8 10 x
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 y
Mängden av alla punkterx, f x x Dfi planet kallasfunktionskurvan ellergrafen Gf. Denna fås enklast genom att rita funktionen i Mathematica som vi gjort ovan. Detta ska man göra så ofta man hinner eftersom mycket information finns att hämta inför nästa steg i ett modelleringsarbete. Vi sammanfattar situationen i en liten bild.
x y
Gf
Df
Vf
x y f x
Exempel: Bestäm värdemängden Vf till funktionen f x 1 3x, Df 1, 1 .
Lösningsförslag: Eftersom Df 1, 1 så har vi att max f 1 3 1 4, min f 1 3 1 2 Vf 2, 4 . Plot 1 3 x, x, 1, 1 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "y"
1.0 0.5 0.5 1.0 x
2 1 1 2 3 4 y
En viktig frågeställning är om det finns någon entydig väg tillbaka i bilden. Alltså givet s Vffinns då ett x Df så att ekvationen s f x harprecis en lösning x? Om detta är möjligt kallas funktioneninjektivoch betyder helt enkelt att linjen y s får skära Gf i högst en punkt.
x y
Injektiv y s
x y
Ej injektiv y s
För en sådan funktion f kan vi då definiera en ny funktion för återresan. Denna kallas förinversentill f och betecknas med
f 1för att markera släktskapet. Obs Ska ej förväxlas med upphöjt till 1 Naturligtvis gäller då Df 1 Vfoch Vf 1 Df.
x y
Gf
Df
Vf
x f 1 y y
Att bestämma inverser kan verka lite akademiskt, men är mycket vanligt i matematisk modellering. Krav c på en modell ställs i
“verkliga” världen c Vf så det gäller att lösa ekvationen c f x med avseende på modellparametern x Df. Om vi döper om variabelnamnen i inversen visar sig släktskapet väldigt tydligt i det att Gfoch Gf 1 är varandras spegelbilder i linjen y x.
Exempel: Bestäm inversen till y f x 2x 1.
Lösningsförslag: Vi försöker lösa x som funktion av y. Om detta är möjligt utan att behöva göra några val under processen har vi entydighet. Eftersom vi har en rät linje kan vi förvänta oss en odramatisk resa y f x 2x 1 x f 1 y 12 y 1 y f 1 x 12 x 1 . Här är Df Vf Df 1 Vf 1 . Till slut ritar vi f x , f 1x och spegeln.
Plot2 x 1, 1 2
x 1 , x, x, 2, 2 , PlotRange 2, 2 , 2, 2 ,
AspectRatio Automatic, PlotStyle Red, Blue, Orange, Dashing 0.025 , AxesLabel "x", "y" , PlotLegends "Expressions"
2 1 1 2 x
2 1 1 2 y
2 x 1
x1 2
x
Exempel: En funktion behöver inte ha samma beskrivning i hela sin definitionsmängd. Den kan gott variera och då säger man att den är styckvis definierad. I Mathematica används funktionen Piecewise, pw för att definiera en sådan.
Plot
1 x 1
x 1 x 3
x 2 2 x 3
, x, 4, 4 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "y"
4 2 2 4 x
1 1 2 3 4 y
Exempel: Ibland behöver man rita mätdata som en funktion. Här USA:s befolkningsmängd under några år en gång i tiden. Vi känner alltså bara funktionen punktvis men känner att vi har tillräckligt på fötterna för att fylla igen med räta linjer däremellan.
ListPlotRest
År 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850
befolkning 106 3.9 5.3 7.2 9.6 12 17 23 , PlotStyle Orange, Joined True, PlotRange 0, 25 , AxesLabel "år", "befolkning 106 "
1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850år 5
10 15 20 25 befolkning 106
Om två funktioner f och g är sådana att Vf Dg kan man bilda en ny funktion genom sammansättningen y h x g f x . Detta skrivs också y h x g f x och utläses “g ring f “. Observera ordningen! Naturligtvis kan man sätta samman flera funktioner i en kedja förutsatt värdemängden för en funktion är en delmängd av den efterföljande funktionens definitionsmängd. I schematisk form används variabler som mellanresultat för omlastning till nästa maskin. Kaffe genom tvättmaskinen går bra, men omvänd ordning med tvätt genom kaffebryggaren är förenat med stora besvär!
x u y
u f x y g u g f x
x u y
u g x y f u f g x
Exempel: Antag att f x x2 och g x x 1 så har vi exempelvis sammansättningarna y h1x f g x x 12 och y h2 x g f x x2 1 vilka är helt olika funktioner. Så ordningen är mycket viktig!
f x : x2; g x : x 1 f g x
x 12
g f x x2 1
Plot Evaluate f g x , g f x , x, 2, 2 , PlotStyle Red, Blue , AxesLabel "x", "f g x , g f x " , PlotLabels Automatic
1 x2 1 x2
2 1 1 2 x
2 4 6 8 f g x ,g f x
I analys i en variabel säger vi att vi har en funktion som “avbildar ett tal på ett nytt tal” vilket skrivs . Det finns inget som hindrar att man har både fler oberoende variabler och flera beroende variabler vilket inte helt överraskande kallas analys i flera variabler m n.
Exempel: Om vi mäter temperaturen T i vår lektionssal är det sannolikt att den varierar med platsen i rummet, T x, y, z , eftersom vi har tre rumskoordinater, längd x, bredd y och höjd z för att beskriva läget av termometern. Alltså en funktion 3 . Eftersom vi alla är små värmekaminer, med effekt som en stark glödlampa, finns det också anledning anta att temperaturen ökar med tiden sedan lektionen startade, så vi kan bygga på till T x, y, z, t : 4 . Vid samma tidpunkt t har vi då olika temperaturer på olika platser i rummet, men om vi å andra sidan fixerar en plats i rummet kommer temperaturen där att variera allt eftersom tiden t går.
Exempel: När en byggingenjör gör en slutkontroll på ett bygge kanske det är av intresse att veta hur plant golvet är, det vill säga felet i höjdled i förhållande till en nollnivå. Just sådana här samband 2 är mycket vanliga i ingenjörssammanhang och brukar kallas “flygande mattor”, z f x, y . Genom att markera i grafen kan man även rotera den med musen. Hand i hand med dessa mattor brukar man se nivåkurvor, likt isobarer på en väderkarta, vilket är kurvor i xy-planet som sammanbinder punkter på mattan som har samma höjd. Ofta brukar man färglägga området mellan dessa (eng. fringe plot), typ temperaturkartor i en väderleksprognos!
Plot3D Sin x Cos y Sin x y , x, 0, 2 Π , y, 0, 2 Π , ContourPlot Sin x Cos y Sin x y , x, 0, 2 Π , y, 0, 2 Π
,
Det finns gott om begrepp och teori kring funktioner. Vi nöjer oss med lite terminologi och hänvisar den intresserade till en lärobok, t.ex. PB, för mer rigorös framställning av teorin.
Om f x B för alla x Df säges f vara enuppåt begränsad funktion.
Om f x A för alla x Dfsäges f vara ennedåt begränsad funktion.
Om A f x B för alla x Df säges f vara enbegränsad funktion.
x1, x2 Df och x1 x2 f x1 f x2 säges f vara enväxande funktion.Strängt växandeom byts mot . x1, x2 Df och x1 x2 f x1 f x2 säges f vara enavtagande funktion.Strängt avtagandeom byts mot . Om f är strängt växande eller avtagande för alla x Dfsäges f vara strängt monoton.
Om f x f x för alla x Df säges f vara enjämn funktion. Exempelvis är y x2en jämn funktion.
Om f x f x för alla x Dfsäges f vara enudda funktion. Exempelvis är y x en udda funktion.
Om f x p f x säges f vara enperiodiskfunktion medperiodicitetenp.
Om f ax b y a f x b f y , x, y Dfoch a, b konstanter säges f vara enlinjär funktion.
Som vi kanske kan ana gör kravet på entydighet, det vill säga ett y f x för varje x, att vi inte kan beskriva alla samband som vi är intresserade av i fysik och ingenjörssammanhang. Man brukar väsentligen skilja på funktioner i några olika skepnader, vilka vi behandlar i tur och ordning.
Explicit form y f x. Man sätter in ett x och räknar fram ett entydigt y relativt smärtfritt. För att en beskrivning ska få kallas funktion i klassisk mening krävs att den är entydig, så att för varje x får det bara avbildas ett y.
Implicit form f x, y 0. För att bestämma y från givet x krävs att man löser en ekvation. Detta kan kan vara förenat med stora komplikationer.
Parameterform t x t , y t , . Funktionskurvan eller grafen kan beskrivas med en parameter.
ť Explicita funktioner
Här bor alla de elementära funktioner som vi kanske känner igen en del av sedan tidigare.
Absolutbelopp
Absolutbeloppet skrivs x och på tallinjen betyder x avståndet från talet x till origo och x y avståndet mellan talen x och y.
Funktionen har D. och V. 0, och definieras av
x x då x 0
x då x 0
-2 -2-5=-7=7 5 x
Plot Abs x , x, 5, 5 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y"
4 2 2 4 x
1 2 3 4 5 y
I en del teoretiska överläggningar har man nytta av triangelolikheten x y x y . Den kan enkelt visas med absolutbelop- pet och har sin geometriska grund och därmed namnsättning i det faktum att i en triangel är alltid längden av en sida kortare än summan av de två andra.
Exempel: Antag att vi behöver två brädor med längderna 2 respektive 3 m för att läggas efter varandra i ett utrymme om 5 m. På grund av oundvikliga produktionsfel kan inte tillsågning ske exakt utan de två längderna kommer att representeras av x med felet
0.004 respektive y med felet 0.005. Vad kan man säga om felet i x y?
Lösningsförslag: Enligt förutsättning har vi att x 2 0.004 och y 3 0.005 och söker skillnaden mellan x y och 2 3.
Triangelolikheten ger nu en övre gräns för felet
x y 2 3 x 2 y 3 x 2 y 3 0.004 0.005 0.009
Polynom
Ett polynom y pnx i 0n cixi c0 c1x c2x2 cnxn är en summa av monom xi, eller mer noggrant en linjärkombination av konstanter ci och monom xi. Man säger att polynomet är av grad n. Här har vi exempel på några
Plotx, x2 3, 1 x3, x, 2, 2 , PlotStyle Red, Blue, Orange , AxesLabel "x", "x, x2 3, 1 x3"
2 1 1 2 x
5 5 x,x2 3,1 x3
Polynom är mycket vanliga i tillämpad matematik. Anledningen är enkel; vanliga operationer med polynom som addition, subtrak- tion, multiplikation, derivation och integration resulterar i ett nytt polynom. Grafen till ett n:te grads polynom “svänger” högst n 1 gånger. En polynomekvation av n:te graden pn x 0 har alltid n stycken rötter eller nollställen x1, x2, , xn. De komplexa rötterna förekommer alltid komplexkonjugerade. Man säger ibland att lösningsmängden är x x1, x2, , xn. Enligt faktorsatsen kan man då skriva pn x x x1 x x2 x xn. Speciellt har vi
Andragradsekvationen x2 ax b 0 har rötterna x1,2 a
2 a22 b .
Det finns även formler för tredje- och fjärdegradsekvationer, som togs fram av de italienska matematikerna Niccolo Fontana Tartaglia (1500-1557) och Gerolamo Cardano (1501-1576), men dessa är så krångliga att det är mycket sällsynt att en yrkesmatem- atiker har dem i minnet lika bra som Mathematica har. Däremot existerar det inte några formler för femtegradsekvationer och högre.
Detta visades av den norske matematikern Niels Henrik Abel (1802-1829). Man brukar nöja sig med en ren numerisk lösning för polynomekvationer av ordning högre än två.
Solvex3 2 x2 x 4 0
x 1
3 2 7
71 9 58
3
71 9 58
3 ,
x 2
3
71 3 6 371 9 58
1
61 3 3 71 9 58 ,x 2 3
71 3 6 371 9 58
1
61 3 3 71 9 58
NSolvex3 2 x2 x 4 0
x 2.84547 , x 0.422733 1.10772 , x 0.422733 1.10772
NSolvex5 5 x4 2 x2 x 3 0
x 4.92068 , x 1. , x 1. , x 0.039662 0.779807 , x 0.039662 0.779807
Räta linjen
Räta linjen y p1x kx m är det enklaste polynom (av grad 1) som en ingenjör ska vara mycket god vän med! Här brukar k kallas riktiningskoefficient eftersom den anger hur den räta linjen lutar. Parametern m anger var linjen skär y-axeln. I figuren nedan har vi en bukett räta linjer y kx m med samma m men varierande k. Man brukar tala om positiv respektive negativ riktningskoeffi- cient beroende på dess uppenbara geometriska innebörd.
x y
k 0
k 0
k 0 m
x y
x0,y0Θ m
x1,y1 x,y
Man kan visa att k tanΘ , där Θ är linjens lutningsvinkel i förhållande till positiva x-axeln. Räta linjen y kx m brukar också dyka upp som enpunktsformeln y y0 k x x0, där x0, y0 är en känd punkt på linjen. Denna är en direkt konsekvens av tanΘ, ty k tanΘ y yx x0
0 y y0 k x x0 y kx y0 kx0 kx m.
Andragradspolynom
Ett andragradspolynom y p2 x c0 c1x c2x2 kallas parabel.
Plot1 2 x 3 x2, 5 1 x2, x, 1, 1 , AxesLabel "x", "y"
1.0 0.5 0.5 1.0 x
1 2 3 4 5 6 y
Rationell funktion
Enrationell funktionär enkvot av polynomy ppmx
nx . Dessa är mycket populära i den matematik som utgör grunden i CAD–system för hantering av skulpterade ytor, exempelvis en bilkaross eller animerad film. Rationella funktioner dyker också upp i ämnet reglerteknik. Där söks nollställen till såväl täljare som nämnare, då m n är polynomdivision av intresse och då m n gäller partialbråksuppdelning. Detta har plågat generationer av ingenjörer med omfattande handarbete. Med Mathematica är det lite smidigare.
Solvex3 x 1 0
x 0 , x 0 , x 0 , x 1
Solvex2 x 1 0
x 1 , x 0 , x 0
Apartx3 x 1 x 1
Polynomdivision
x3 2 x2 2 x 2 x 1 2
pbu Apart x 3
x3 x 1 x 2
Partialbråksuppdelning 11
8 x 4 3 x 1
5 4 x2
3 2 x3
1 24 x 2
Together pbu x 3 x 2 x3 x 1
Potensfunktion
Uttryck av formen aΑ, a 0 ochΑ kallar vi potenser med basen a och exponenten Α. Vi har de viktiga potenslagarna.
1. a0 1 3. a Α a1Α 5. aΑ Β aΑΒ 2. a1 a 4. aΑaΒ aΑ Β 6. aΑbΑ abΑ
Speciellt har vi skrivsättet a1 n na för heltal n 1, och säger “n:te roten ur”. Då n 2 enbart “kvadratroten ur” och skriver a .
Skilj speciellt på x2 x och rötterna till ekvationen x2 1 x 1, 1 .
Exempel: Förenkla f x 4x 8 x12 x31 4.
Lösningsförslag: Vi har direkt med potenslagarna f x x1 41 2x 21 8x31 4 x1 4 1 2x 2 1 8x3 1 4 x1 8 1 4 3 4 x5 8.
Simplify 4x 1 x2
8 x31 4, x 0
x5 8
Exempel:Lös ekvationen 3x 1 3x 12.
Lösningsförslag: 3x 1 3x 12 3 3x 3x 12 4 3x 12 3x 3 3x 31 x 1.
Solve3x 1 3x 12, x, Reals Endast reella lösningar, tack x 1
Exempel: Lös ekvationen 2x 2 3 2x 72.
Lösningsförslag: Potenslagar 2x 2 3 2x 72 22 2x 3 2x 72 4 3 2x 72 2x 12 2x 2 1 x 1.
Solve2x 2 3 2x 7 2
, x, Reals Endast reella lösningar, tack
x 1
Vi fixerar nu Α och definierar en potensfunktion y f x xΑ, x 0. Det principiella utseendet beror på valet av Α. Potensfunktio- nen är alltid ickenegativ och de två till vänster är strängt växande och den till höger strängt avtagande.
0.5 1.0 1.5 2.0 x
1 2 3 4 y
y xΑ,Α 1
0.5 1.0 1.5 2.0 x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 y
y xΑ, 0 Α 1
0.5 1.0 1.5 2.0 x
5 10 15 20 y
y xΑ,Α 0
Exponentialfunktion
Om vi till skillnad mot potensfunktionen låter basen a 0 vara fix och variera exponenten x har vi enexponentialfunktion
y f x ax. Exponentialfunktionen är alltid positiv och dess principiella utseende beror av a, strängt växande alternativt strängt avtagande.
2 1 1 2 x
1 2 3 4 y
a 1
2 1 1 2 x
1 2 3 4 y
0 a 1
De vanligaste baserna är den naturliga basen 2.71828 som är ett irrationellt tal, den historiska basen 10 och den i datorsam- manhang förekommande basen 2. I Mathematica får man antingen från palette eller med escapesekvensen ee .
Exempel: Sök reella lösningar till ekvationen 2x 2 x 8 0.
Lösningsförslag: Vi har en andragradsekvation i x, ty 2x 2 x 8 0 x 2 2 x 8 0 x 1 1 8 1 3.
Eftersom x 0 duger bara x 2 varav x ln 2 . Mathematica levererar även den komplexa roten om vi vill Solve 2 x 2 x 8 0, x, Reals Endast reella lösningar, tack
x log 2
Logaritmfunktion
Om vi låter a vara ett positivt tal skilt från 1, har exponentialfunktionen y ax en entydig lösning x för givet y 0. Denna lösning kallas a-logaritmen för y och skrives x loga y. Talet a kallas logaritmens bas. Detta kan uttryckas i ord som “loga y är det tal som man ska upphöja a till för att få y”. Beteckningen loga y är inte standardiserad, ibland ser man även alog y . Släktskapet med exponentialfunktionen är alltså
x loga y y ax Genom att snegla på potenslagarna får vi de viktiga logaritmlagarna för x, y 0.
1. loga1 0 3. logaxy logax loga y 5. logaxy y logax 2. logaa 1 4. logaxy loga x loga y 6. logbx loglogax
ab basbyte Exempel: Visa basbyteslagen ovan.
Lösningsförslag: Utgå från x by och ta a- respektive b-logaritmen
x by logax logaby logbx logbby
5. loga x y logab logb x y logbb
2. loga x y logab
logb x y 1 Eliminera y logb x loglogax
ab
Om vi låter basen a 1 vara fix och variera x 0 har vi en logaritmfunktion y f x loga x som är strängt växande. De tidigare nämnda viktiga baserna och 10 och även 2 har fått speciella beteckningar
Naturliga logaritmen ln x log x 10 logaritmen lg x log10 x 2 logaritmen lb x log2x
I Mathematica används funktionen Log[x] för ln x . Om man vill ha någon annan bas a måste detta anges Log[a,x]. Till vänster ser vi en bukett med lite olika baser a, och till höger sammanfattar vi de viktiga syskonen y x och y ln x som är varandras inverser.
1 2 3 4 5 x
2 1 1 2 y
Ökande bas
2 1 1 2 3 4 x
2 1 1 2 3 4 y
y x
y ln x
Exempel: Lös ekvationen ln 1 x 1 ln x .
Lösningsförslag: ln 1 x 1 ln x ln 1 x ln ln x x 0ln 1 x ln x 1 x x x 11 0. Ok!
Solve Log 1 x 1 Log x , x
x 1 1
Exempel: Lös ekvationen ln x 2 ln x 3ln 2 .
Lösningsförslag: Ta hjälp av logaritmlagarna ln x 2 ln x 3ln 2
x 2 0
x 0 ln x 2 x ln23 x 2 x 8 x 2 eller x 4.
Här är x 2 falsk rot med hänsyn till kravet ovan, ty logaritmlagen ln ab ln a ln b gäller ju bara om a 0 och b 0. Detta vet naturligtvis Mathematica
Solve Log x 2 Log x 3 Log 2 , x x 4
Exempel: Lös ekvationen lnx2 1 ln x 1 2ln x 3 .
Lösningsförslag: Logaritmlagar, konjugat- och kvadreringsregeln lnx2 1 ln x 1 2ln x 3
x senare Testa falska x2 1
x 1 x 32
x 1 x 1
x 1 x 32 x 1 x 32 x2 7x 10 0 x1 2 och x2 5. Här duger endast x2 5 ty ln x1 3 är ej definierad. Detta vet Mathematica
SolveLogx2 1 Log x 1 2 Log x 3 , x
x 5
Exempel: Lös ekvationen ln x 2 ln x .
Lösningsförslag: ln x 2 ln x ln x ln 2 ln x x 0ln x ln 2x x 2x x 2 1 0. Ok!
Solve Log x 2 Log x , x
x 2 1
Exempel: Lös ekvationen lg 1 x 1 lg x , där lg s log10s .
Lösningsförslag: Vi får lg 1 x 1 lg x lg 1 x lg 10 lg x x 0lg 1 x lg 10x 1 x 10x x 19 0. Ok!
Solve Log 10, 1 x 1 Log 10, x , x
x 1 9
Exempel:För vilka x och y gäller sambandet ln x y ln x ln y ?
Lösningsförslag: Med välkänd logaritmlag får vi ln x y ? ln x ln y ln xy . Alltså ? sann om x y xy y x 1x . Solve x y x y, y
y x x 1
Så för varje givet x 1 finns ett entydigt y 1 sådant att ? gäller. Alltså gäller det för oändligt många x och y. Men omvänt för varje givet x 1 finns det då oändligt många y som det är falskt för. Detta sista fall brukar vara det vanliga när man försöker använda den “distributiva logaritmlagen” på t.ex. en tenta. Så sant för oändligt många och falskt för oändligt många!!
Trigonometriska funktioner
Vi sammanfattar de viktigaste egenskaperna och satserna kring godtyckliga trianglar.
AreaA 12bh
VinkelsummaΑ Β Γ 180 Likformighetom alla vinklar är lika
a a'
b b'
c c'
a b
a' b'
Cosinussatsenc2 a2 b2 2abcosΓ
SinussatsensinaΑ sinbΒ sincΓ b h
Α
a Β
b Γ c
Α Β a'
b' Γ c'
Notera det vanligaste sättet att namnge vinklar och sidor. Vinklar med grekiska bokstäver och motstående sida med motsvarande latinska. Ett vanligt beräkningsmoment är att bestämma samtliga vinklar och sidor då en tillräckligt stor blandning av dessa är kända.
Detta kallas att solvera triangeln. Om en av vinklarna är större än 90 säges triangeln vara trubbig och spetsig om samtliga vinklar är mindre än 90 . Ett mycket viktigt specialfall är om en vinkel är 90 , då säger vi att det är en rätvinklig triangel. För denna känner vi igen de viktiga begreppen
Rätvinklig triangel Hypotenusac
Katetera och b
Pytagoras satsa2 b2 c2
cosΑ bc närliggande katet hypotenusan
sinΑ ac motstående katet hypotenusan
tanΑ ab motstående katet närliggande katet
sinΑ cosΑ
1 cotΑ
Α b c a
De ovan refererade funktionerna sin och cos kan defineras för godtyckliga argument t . Detta åskådliggörs enklast i enhetscirkeln, en cirkel med radien 1. Som enhet för vinkeln t används nu inte grader utan radian. Denna definieras som den vinkel som motsvarar en längdenhet av bågen.
Radian [rad] är helt dominerande i matematik som enhet för vinkel. 1varv 2Πrad 360 . Så 1rad 3602Π 57.3
I enhetscirkeln utgår vi från 1, 0 och låter detta motsvara vinkeln t 0 och räknar sedan moturs som positivt och medurs som negativt. För att täcka upp t får vi alltså veva på flera varv åt båda hållen. Värdet av de två funktionerna cos t och sin t för givet t kan sedan avläsas som “skuggan” på x- respektive y-axeln av den punkt på periferin som svarar mot en cirkelbåge med längden t framvevad åt rätt håll beroende på om t är positiv eller negativ. Se figur till vänster nedan. Där finns inritat ytterligare två ofta använda trigonometriska funktioner, nämligen tan t sin tcos t och cot t tan t1 . Det hör till att kunna alla dessa funktioners värde för de vinklar som ingår i en triangel genererad av en halv kvadrat respektive halv liksidig triangel, se härledning i mitten, där
“1” och “1/2” ges direkt av aktuell triangel, och sedan “ ” av Pytagoras sats. Slutligen läser vi av definitionerna ovan och samlar i en tabell till höger.
x y
t
1,tan t cot t ,1
1 cos t 1
1 sin t
1
1 2 1 45
45
1
1 2
3 2 60
30
t rad t cos t sin t tan t cot t
0 0 1 0 0 Ej def.
Π
6 30 23 12 13 3
Π
4 45 12 12 1 1
Π
3 60 12 23 3 13
Π
2 90 0 1 Ej def. 1
Både cos och sin är periodiska med periodiciteten 2Π, det vill säga cos t n2Π cos t och sin t n2Π sin t för n . I andra kvadranter får vi funktionernas värde genom att titta i enhetscirkeln och “spegla” första kvadranten på för ändamålet lämpligt sätt.
Enklast är att fråga Mathematica, exempelvis SinΠ
2 t. Vanliga funderingar är
cos t cos t sin t sin t
cosΠ2 t sin t sinΠ2 t cos t cosΠ t cos t sinΠ t sin t Av första raden framgår speciellt att cos är en jämn funktion och sin en udda funktion.
Eftersom variabelnamn inte har någon betydelse sammanfattar vi och ritar
y cos x Dcos Vcos 1, 1
y sin x Dsin Vsin 1, 1
y tan x Dtan x Π2 nΠ Vtan ,
Plot Cos x , Sin x , x, 10, 10 , PlotStyle Blue, Red ,
AxesLabel "x", "cos x ,sin x " , Ticks Range 3, 3 Π, Automatic
3Π 2Π Π Π 2Π 3Π x
1.0 0.5 0.5 1.0 cos x,sin x
PlotTan x , x, 10, 10 , PlotStyle Orange, Exclusions Π 2
Range 5, 5 , AxesLabel "x", "tan x " , Ticks Range 3, 3 Π, Automatic
3Π 2Π Π Π 2Π 3Π x
6 4 2 2 4 6 tan x
Det finns ett stort antal trigonometriska formler härledda ur de basala additions- och subtraktionsformlerna cos x y cos x cos y sin x sin y
sin x y sin x cos y cos x sin y
Den grundläggande av dessa är
cos x y cos x cos y sin x sin y . Detta kan enkelt visas med metoder som kommer senare i kursen, men också med hjälp av två rätvinkliga trianglar som delar samma hypotenusa, som här för enkelhets skull har längden 1. Med markerade vinklar och sträckor ser vi lätt sambandet. De tre andra får vi sedan genom att i tur och ordning göra de fiffiga valen y y och y Π2 y, följt av förenkling med speglingsuttrycken ovan.
De absolut viktigaste att känna till är
1
cos x y cos y
sin y
y x y
cos y
sin y
cos x cos y
sin x sin y
x
x
cos2x sin2x 1 Trigonometriska ettan
cos 2x cos2x sin2x Trig. 1:an 2cos2 x 1 å igen 1 2sin2 x Dubbla vinkeln
sin 2x 2sin x cos x Dubbla vinkeln
Av gammal tradition skrivs sinx, sin2x, lnx . Potenser, exempelvis sin2x skall inte tolkas som sin sin x utan som sin x2, dvs kvadraten på funktionens värde i punkten x. Modernt och mera “Computational Thinking” är det sistnämnda och att alltid använda () kring argumentet, vilket görs av Mathematica, Sin x 2, och författaren. I en del utländsk litteratur och i utdata (indata också om man vill) från Mathematica påträffar man ofta funktionerna secΑ cos1
Α, Sec Α och cosecΑ sin1
Α, Csc Α . Dessa är en kvarleva från navigering på de gamla segelfartygens tid och anses numera, åtminstone i Europa, som lite “exotiska”, och ingår därför inte i den svenska skolundervisningen. Det samma får nog gälla för cotΑ tan1
Α, Cot Α . Vill man inte se dessa är det lämpligt att också aktivera följande i en inputcell, vilket är gjort i hela kursmaterialet Tillämpad matematik.
$PrePrint . Csc z 1 Defer Sin z , Sec z 1 Defer Cos z , Cot z 1 Defer Tan z &;
Inversen till de trigonometriska funktionerna kallar vi arcusfunktioner (cyklometriska funktioner) och skriver arccos x,arcsin x och arctan x. Som vanligt ligger Mathematica nära med ArcCos[x], ArcSin[x]och ArcTan[x]. I amerikansk litteratur och på räknedosor är den “inversa” namnsättningen sin 1x , cos 1 x och tan 1 x vanlig. Även Mathematica använder dem gärna vid resultatutskrift. För att dessa inverser ska existera är man tvungen att göra en restriktion av definitionsmängderna ovan. Vi samman- fattar och uppmanar läsaren att projicera bilderna på enhetscirkeln!
1 1 Π2 Π
x
1 1 Π 2
Π cos x,arccos x
Π
2 1 1 Π
2
x
Π 2
1 1 Π 2
sin x,arcsin x
Π 2
Π 2
x
Π 2 Π 2
tan x,arctan x
Darccos 1, 1 , Varccos 0,Π Darcsin 1, 1 , Varcsin Π2, Π2 Darctan , , Varctan Π2, Π2
I många sammanhang, bland annat vid lösning av differentialekvationer som vi återkommer till i en senare kurs, får man uttryck på formen asinΩt bcosΩt , där a och b är reella konstanter och Ω den så kallade vinkelhastigheten med enheten [rad/s]. Uttrycket brukar ofta skrivas om till en ren sinusvåg med hjälp av en rätvinklig triangel med kateterna a, b och hypotenusan a2 b2.
asinΩt bcosΩt a2 b2 a
a2 b2 sinΩt b
a2 b2 cosΩt 1 a
a2 b2 1 och 1 b
a2 b2 1 a2 b2 cos sinΩt sin cosΩt Summaformel för sinus
a2 b2 sinΩt
och identifierar amplitud R a2 b2 och fasvinkel som naturligtvis mäts i radianer. Punkten Ra, Rb ligger på enhetscirkeln och fasvinkeln bestäms likt argumentet för ett komplext tal. Var och en av de oändligt många vinklar som löser ekvationerna
a Rcos
b Rsin kan göra anspråk på att kallas för fasvinkel. På grund av periodiciteten hos cos och sin skiljer de sig åt med en multi- pel av 2Π så alla ger “samma fotavtryck” i enhetscirkeln. Ofta nöjer man sig med den så kallade principalvinkeln som ligger i intervallet Π,Π. När man räknar för hand gäller det att se till så man hamnar i rätt kvadrant!! Om a 0 eller b 0 är det ju enkelt annars går det bra att beräkna fasvinkeln som arctanba Π
om a 0
eftersom arctan levererar vinklar i första och fjärde kvadranten.
Den avslutande korrektionen kommer sig naturligtvis av att vi kan ha dividerat bort “negativ” information, ty ba ba och ab ba. Det är inga problem i Mathematica om vi använder versionen med två argument ArcTan[a,b]som alltid levererar rätt vinkel i intervallet Π,Π och givetvis i radianer.
Exempel: Enkla trigonometriska ekvationer av typen sin 2t 1
2 som löses genom att rita (gör det!) och studera situationen i enhetscirkeln ska man klara för hand. Dra en rät linje parallell med x-axeln (“cos”-axeln) genom 12 på y-axeln (“sin”-axeln). Vi ser att denna linje skär enhetscirkeln i två punkter som enligt värdetabellen på sid 12 motsvarar vinklarna Π4 respektive Π Π4, så med periodiciteten 2Π får vi lösningarna 2t Π4 2nΠ eller 2t Π Π4 2nΠ, för n , vilket förenklas till t Π8 nΠ eller t 38Π nΠ för n . Naturligtvis räknar vi alltid i radianer! Ekvationslösaren Solve är gjord för att lösa polynomekvationer, men gör oftast tappra försök även då det ingår lite andra elementära funktioner, så här kommer skolbokslösningen i repris
SolveSin 2 t 1 2
, t Expand
t ConditionalExpressionΠc1 Π
8, c1 ,t ConditionalExpressionΠc1
3Π
8 , c1
För att få lösningarna i ett speciellt intervall, är det bara att hjälpa Solve med detta. Exempelvis principalvinklarna.