Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 19 dec 2016, kl. 8:00-12:00 Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare:

(1)

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903

19 dec 2016, kl. 8:00-12:00

Examinator: Armin Halilovic

Undervisande lärare: Erik Melander, Jonas Stenholm, Elias Said

För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.

Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.

Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv namn och personnummer på varje blad.

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget

• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar

Uppgift 1. (4p)

Tre punkter är givna: A = (1,3,5), B = (2,4,6) och C = (2,5,6).

a) (2p) Bestäm arean av triangeln ABC

b) (2p) Bestäm längden av triangelns höjd från punkten A.

Uppgift 2. (4p)

Följande ekvationssystem är givet:







= + +

=

− +

= + +

3 4

3

1 2

az y x

z y x

. För vilka värden på a har systemet

i) exakt en lösning

ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning

Var god vänd.

(2)

Uppgift 3. (4p)

a) (2p) Ange alla matriser X som uppfyller följande ekvation:



 



=



 





8 7

6 5 4

3 2

1 X

b) (2p) Ange samtliga matriser som kommuterar med matrisen 



 





= −

0 1

2

A 1 .

(En matris A kommuterar med en matris B om AB=BA)

Uppgift 4 (4p):

a) (2p) Visa att linjen (x,y,z)=(1,2,0)+t(−1,1,3) är parallell med planet x−2y+z=3.

b) (2p) Beräkna avståndet mellan linjen och planet givna i a-uppgiften.

Uppgift 5. (2p) Låt 𝑢𝑢�⃗ = (1,0,1), 𝑣𝑣⃗ = (2,1, −2) och 𝑤𝑤��⃗ = (−1,4,1).

a) Beräkna arean av parallellogrammen som spänns upp av 8𝑢𝑢�⃗ och 3𝑣𝑣⃗.

b) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av 5𝑢𝑢�⃗, 𝑣𝑣⃗ och 5𝑤𝑤��⃗.

Uppgift 6. (2p)

Givet determinanten �

1 1 1 1

1 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 5

1 1 3 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥

1 1 1 4 − 𝑥𝑥

�

För vilka värden på x blir determinanten 0?

Uppgift 7. (4p)

De två planen Π och₁ Π går båda genom origo. Vektorerna ₂

𝑢𝑢�⃗ = (2,1, −1) och 𝑣𝑣⃗ = (−1,1,1) ligger i planet Π medan 1 Π bestäms av ekvationen ₂ .

0 2x+y−z=

a) Bestäm en ekvation för planet Π . ₁ b) Bestäm var sin normal till planen.

c) Är Π₁och Π vinkelräta mot varandra? ₂

Lycka till.

(3)

FACIT

Uppgift 1. (4p)

Tre punkter är givna: A = (1,3,5), B = (2,4,6) och C = (2,5,6).

a) (2p) Bestäm arean av triangeln ABC

b) (2p) Bestäm längden av triangelns höjd från punkten A.

Lösning: a) Arean (T) av en triangel kan beräknas som (med hjälp av kryssprodukt):

v u T = ⋅  ×

2

1 , där u och v

är två av triangelns sidor (på vektorform).

) 1 , 1 , 1

=(

= AB u

v= AC=(1,2,1)

) 1 , 0 , 1 ( ) 1 1 2 1 ( ) 1 1 1 1 ( ) 2 1 1 1 ( 1 2 1

1 1

1 = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = −

=

× _x _y _z

z y x

e e

e e v

u   



.) . 2 ( 1 . 2 . 2 2 2 ) 1 1 , 0 , 1 2 (

1 ae ae

T = ⋅ − = ⋅ = =

b) Arean av en triangel kan också beräknas enligt 2

T = bh, d.v.s.

b h= 2T . Här är h höjden mot sidan med längden b: b= BC = (0,1,0) =1

. . 1 2

2 2 1

e l

h =

⋅

=

Alternativ metod: Bestäm höjden h som kortaste (vinkelräta) avståndet mellan punkten A och linjen genom punkterna B och C. Formelbladet ger detta avstånd, d, som

v PA v

d 

=  × , där A är punkten, P är en godtycklig punkt på linjen och v

är linjens riktningsvektor (t.ex. v =BC och P = B).

Svar: a) . . 2

2 ae b) 2 el. .

Rättningsmall:

a) Rätt areaformel + korrekt beräknad kryssprodukt 1p

Allt korrekt 2p

b) Räknefel -1p

Allt korrekt 2p

(4)

Uppgift 2. (4p)

Följande ekvationssystem är givet:







= + +

=

− +

= + +

3 4

3

1 2

az y x

z y x

. För vilka värden på a har systemet

i) exakt en lösning

ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning

Lösning:

Beräkna koefficientmatrisens determinant:

3 12

4 8 3 2 4

3

1 2 1

2 1 1

−

=

−

− + +

−

=

− a a a

a

Sätt denna determinant till noll: a−3=0 ⇒ a=3, d.v.s. det finns en unik lösning för alla a≠3.

Ekvationssystemet löses för a=3:

















− 3 1 1

3 4 3

1 2 1

2 1 1

Gausselimination ger:

















−

− 0 0 1

3 1 0

2 1 1

och

















− 0 0 1

0 0 0

3 1 0

2 1 1

Sista raden tolkas som 0 = 0, en alltid sann ekvation. Detta ger alltså en parameterlösning, d.v.s. oändligt många lösningar.

Svar:

i) exakt en lösning då a≠3

ii) oändligt många lösningar då a=3

Alternativ iii) ingen lösning, gäller inte för något a.

Rättningsmall:

Bestämmer det värde för a (a=3) som gör koefficientmatrisens determinant till noll, eller motsvarande bestämning genom Gausselimination i totalmatris. 1p

Rätt svar och motivering till alternativ i 1p

Rätt svar och motivering till alternativ ii 1p

Rätt svar och motivering till alternativ iii 1p

Uppgift 3. (4p)

a) (2p) Ange alla matriser X som uppfyller följande ekvation:



 



=



 





8 7

6 5 4

3 2

1 X

b) (2p) Ange samtliga matriser som kommuterar med matrisen 

 





= −

0 1

2

A 1 .

(En matris A kommuterar med en matris B om AB=BA)

(5)

a) Matrisekvationen skrivs på formen AX =Bdär 4 6 2 0 4

3 2 ) 1

det(A = = − =− ≠ , är matrisen A inverterbar och således har ekvationen entydig lösning:



 



− −

=



 







 





−

= −

= ⁻

5 4

4 3 8

7 6 5 1 3

2 4 2

1 1 B A X

b) En 2x2 matris 



 



=

4 3

2 1

x x

x

X x kommuterar med matrisen 



 





= −

0 1

2

A 1 om AX =XA dvs.

om 



 





 −



 



=



 







 





− 1 0

2 1 0

1 2 1

4 3

2 1 4 3

2 1

x x

x x x

x x

x vilket leder till ekvationssystemet:











=

−

=

−

= +

−

= +

3 2

4 3 1

1 4 2

2 1 3 1

2 2 2 2

x x

x x x

x x x x

som har parameterlösning med två parametrar.

T. ex. x₃ =s och x₄ =t ger x₁=−s+t och x₂ =2(−s+t)−2t=−2s. Matrisen X blir:



 



− + −

= s t

s t

X s 2

, där s och t är godtyckliga reella t.

Svar: a) 



 



− + −

= s t

s t

X s 2

, där s , t är godtyckliga reella t.

Rättningsmall:

a) Korrekt invers till A ger 1p. Allt korrekt=2p

b) Rätt ekvationssystem samt rätt lösning av ekvationssystemet ger 1p. Fel här ger 0p. Rätt presenterad matris X ger 1p.

Uppgift 4 (4p):

a) (2p) Visa att linjen (x,y,z)=(1,2,0)+t(−1,1,3) är parallell med planet x−2y+z=3.

b) (2p) Beräkna avståndet mellan linjen och planet givna i a-uppgiften.

Lösning:

a) Linjen är parallell med planet om linjens riktningsvektor är ortogonal mot planets normalvektor dvs. r• n=0. Vi har (−1,1,3)•(1,−2,1)=−1−2+3=0.

Vektorernas skalärprodukt är 0 visar att linjen är parallell med planet.

b) Välj en godtycklig punkt i linjen t.ex. P=(1,2,0) och bestäm avståndet från denna punkt till den närmaste punkten P₀ =(x₀, y₀,z₀) i planet.

Metod 1. Formeln | |

2 2 2

1 1 1

C B A

D Cz By d Ax

+ +

= + ger 6

6

| 6 1 4 1

3 0 1 2 2 1

|1 = =

+ +

−

⋅ +

⋅

−

= ⋅ d

(6)

Metod 2.

Linjen som går genom punkterna P och P0 är (x₀,y₀,z₀)=(1,2,0)+s(1,−2,1) sätt in i planets ekvation:

1 6

6 3

4 4 1 3

) 2 2 ( 2 ) 1

( +s − − s +s= ⇔ +s− + s+s= ⇔ s= ⇒ s= ger att )

1 , 0 , 2 ( ) 1 , 2 , 1 ( ) 0 , 2 , 1 ( ) , ,

(x₀ y₀ z₀ = + − = .

Avståndet ges av P₀P = (1−2)² +(2−0)²+(0−1)² = 1+4+1= 6 Svar: a) se ovan b) 6

Rättningsmall:

a) Rätt eller fel

b) Metod 1. Korrekt till |

1 4 1

3 0 1 2 2 1

|1

+ +

−

⋅ +

⋅

−

= ⋅

d ger 1p. Allt rätt ger 2p.

Metod 2.

Rätt beräknat punkt P₀ ger 1p. Fel här ger 0p. Resten rätt ger ytterligare 1p.

Uppgift 5. (2p) Låt 𝑢𝑢�⃗ = (1,0,1), 𝑣𝑣⃗ = (2,1, −2) och 𝑤𝑤��⃗ = (−1,4,1).

a) Beräkna arean av parallellogrammen som spänns upp av 8𝑢𝑢�⃗ och 3𝑣𝑣⃗.

b) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av 5𝑢𝑢�⃗, 𝑣𝑣⃗ och 5𝑤𝑤��⃗.

Lösning:

a) Arean av parallellogrammen ges av

|

⁸^u^×³^v

| | |

⁼⁸^⋅³^u^×^v ⁼²⁴ ^|

2 1 2

1 0 1

|

− k j i  

( )

|

1,4,1

|

24

( )

1 4 1 24 18 72 2

24 − − ² ² ² ⋅ =

= = + + =

b) Volymen av parallellepiped ges av

( )

|

⁵^u^×^v ^⁵^w

|

⁼⁵^⋅⁵

| ( )

^u^×^v ^^w

|

⁼²⁵ ^|

1 4 1

2 1 2

1 0 1

|

−

− =25⋅18=450

Svar

a) 72 2 a.e. b) 450 v.e.

Rättningsmall:

a) Rätt eller fel.

b) Rätt eller fel.

(7)

Givet determinanten �

1 1 1 1

1 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 5

1 1 3 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥

1 1 1 4 − 𝑥𝑥

�

För vilka värden på x blir determinanten 0?

Lösning:

Subtrahera första raden från de tre övriga så får man









−

x x x x x

3 0

0 0

1 2

0 0

4 1 1

0

1 1

(

^x

)(

^x

)(

^x

)

x x x x x

−

=







−

⋅

= 1 2 3

3 0

0

1 2

0

4 1 1

1

Determinanten blir alltså 0 precis när x är 1, 2 eller 3.

Svar: x₁ =1, x₂ =2 , x₃ =3 Rättningsmall:

Korrekt till









−

x x x x x

3 0

0

1 2

0

4 1

1 ger 1 p. Allt korrekt = 2p

Uppgift 7. (4p)

De två planen Π och₁ Π₂går båda genom origo. Vektorerna

𝑢𝑢�⃗ = (2,1, −1) och 𝑣𝑣⃗ = (−1,1,1) ligger i planet Π medan 1 Π bestäms av ekvationen ₂ .

0 2x+y−z=

a) Bestäm en ekvation för planet Π . ₁ b) Bestäm var sin normal till planen.

c) Är Π och ₁ Π vinkelräta mot varandra? ₂

Lösning:

a) En normal till Π₁^är

(

2 1,3

)

1 1 1

1 1

2 = −









−

× − ,

k j i

= v u

och en punkt i Π₁^är

(

0,0,0

)

En ekvation för Π₁^{är alltså}2

(

x−0

) (

− y−0

) (

+3 z−0

)

=0dvs 2x−y+3z=0

b) En normal för Π₁ har vi från a) som n1=

(

²,−^1,3

)

och för Π₂så ger koefficienterna i ekvationen för planet att en normal till Π₂^ärn2=

(

^2,1,−¹

)

(8)

c) De två planen är vinkelräta om deras normaler är vinkelräta. Det räcker alltså med att

2 0

1 n =

n  . Vi har n₁n₂=

(

2,−1,3

) (

 2,1,−1

)

=2⋅2+

( )

−1 ⋅1+3⋅

( )

−1 =4−1−3=0och alltså är de två planen vinkelräta mot varandra.

Svar: a) 2x−y+3z=0 b) n₁=

(

2,−1,3

)

, n₂=

(

2,1,−1

)

c) Ja Rättningsmall:

a) Korrekt normalen n₁=

(

2,−1,3

)

ger 1p. Allt korrekt=2p b) allt rätt=1p c) allt rätt=1p