MATEMATIK
Chalmers tekniska h¨ogskola
Tentamen
2011-01-11, kl. 14.00-18.00
TMV036 Analys och linj¨ ar algebra K Kf Bt, del C
Telefonvakt: Richard L¨ ark¨ ang, telefon: 0703-088304 Hj¨ alpmedel: Inga, bara papper och penna.
F¨ or full po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andiga l¨ osningar. Strukturera dina l¨ osningar v¨ al, skriv tydligt och motivera dina p˚ ast˚ aenden!
Betygsgr¨ anser: 20–29 p. ger betyget 3, 30–39 p. ger betyget 4, 40–50 p. ger betyget 5.
L¨ osningar l¨ aggs ut p˚ a kurshemsidan senast f¨ orsta arbetsdagen efter tentamenstillf¨ allet.
Resultat meddelas via epost fr˚ an LADOK.
1. Ber¨ akna dubbelintegralen ∫∫
D
xe
xydxdy,
d¨ ar D ¨ ar omr˚ adet D = {(x, y) ∈ R
2; 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. (5p) 2. L˚ at u
1, u
2och v vara vektorerna
u
1= [ 4
1 ]
, u
2= [ 3
2 ]
, v = [ 1
1 ]
.
a) Verifiera att u
1och u
2¨ ar en bas f¨ or R
2. (3p) b) Ber¨ akna koordinatvektorn f¨ or v relativt basen {u
1, u
2}. (3p) 3. Temperaturen i xy-planet beskrivs av funktionen T (x, y) = xe
y.
a) Om du st˚ ar i punkten (2, ln 3), i vilken riktning v¨ axer temperaturen mest? (2p) b) L˚ at C vara niv˚ akurvan till T genom punkten (2, ln 3), dvs.
C = {(x, y) ∈ R
2; xe
y= 6 }. Skriv upp ekvationen f¨or tangenten till C i punkten
(2, ln 3). (3p)
4. L˚ at A vara matrisen [ 4 3 1 2
] .
a) Ber¨ akna egenv¨ arden och tillh¨ orande egenvektorer till matrisen A. (3p)
b) Vad ¨ ar allm¨ anna l¨ osningen till systemet av differentialekvationer x
′(t) = Ax(t)? (3p)
5. Ber¨ akna trippelintegralen ∫∫∫
D
(x
2+ y
2) dxdydz,
d¨ ar D ¨ ar omr˚ adet D = {(x, y, z) ∈ R
3; 0 ≤ x
2+ y
2≤ z
2, 0 ≤ z ≤ 1}. (6p) (Tips: Byt till cylinderkoordinater, x = r cos θ, y = r sin θ, z = z.)
6. L˚ at H vara det linj¨ ara underrummet (av R
3) genererat av vektorerna (1, 0, 1)
Toch (1, 1, −1)
T.
a) Ber¨ akna ortogonalprojektionen av vektorn (1, 1, 1)
Tp˚ a underrummet H. (2p) b) Ber¨ akna ortogonalprojektionen av vektorn (x
1, x
2, x
3)
Tp˚ a underrummet H. (2p)
c) L˚ at P : R
3→ R
3vara den linj¨ ara avbildningen definierad som ortogonalprojek- tion p˚ a underrummet H. Ber¨ akna matrisen f¨ or P (relativt standardbasen f¨ or
R
3). (2p)
7. Funktionen f (x, y) = (3xy − x
2y
2)/(x + y) har en extrempunkt, a, i omr˚ adet D = {(x, y) ∈ R
2; x > 0, y > 0 }.
a) Best¨ am extrempunkten a. (3p)
b) Ber¨ akna Hessianen av f i punkten a, dvs. ber¨ akna [
∂2f∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2
]
i punkten a. (2p)
c) Avg¨ or om f har ett lokalt max, lokalt min eller en sadelpunkt i a. (1p) 8. Ber¨ akna kurvintegralen ∫
Γ
( −y
3)dx + (x
3+ e
y2)dy,
d¨ ar Γ ¨ ar halvcirkeln (2 cos t, 2 sin t), 0 ≤ t ≤ π. (5p) (Tips: Slut kurvan p˚ a l¨ ampligt s¨ att och anv¨ and Greens sats.)
9. L˚ at v
1, . . . , v
kvara parvis ortogonala vektorer i R
n. Visa att v
1, . . . , v
k¨ ar linj¨ art
oberoende. (5p)
Lycka till!
L¨ osningsf¨ orslag, tentamen 2011-01-11 Analys och linj¨ ar algebra K Kf Bt, del C
1. Vi r¨ aknar med upprepar integration:
∫∫
D
xe
xydxdy =
∫
2 x=0∫
1 y=0xe
xydydx =
∫
2 x=0[ e
xy]
1y=0
dx =
∫
2 x=0e
x− 1 dx
= [
e
x− x ]
20
= e
2− 3.
2. a) Efterson tv˚ a linj¨ art oberoende vektorer i R
2automatiskt ¨ ar en bas r¨ acker det att kolla att u
1och u
2¨ ar linj¨ art oberoende. Vi skall allts˚ a kolla att den enda l¨ osningen till x
1u
1+ x
2u
2= 0 ¨ ar (x
1, x
2) = (0, 0). Vi betraktar allts˚ a ekvation-
ssystemet [
4 3 1 2
] [ x
1x
2]
= 0,
och efter radreduktion ser vi att den enda l¨ osningen ¨ ar (x
1, x
2) = (0, 0).
b) Vi s¨ oker ett talpar (x
1, x
2) s˚ a att v = x
1u
1+ x
2u
2, dvs. vi skall l¨ osa ekvation-
ssystemet [
4 3 1 2
] [ x
1x
2]
= [ 1
1 ]
.
Efter radreduktion f˚ ar vi att (x
1, x
2) = ( −1/5, 3/5), som ¨ar den s¨okta koordi- natvektorn f¨ or v relativt basen {u
1, u
2}.
3. a) Temperaturen v¨ axer mest i gradientens riktning. Vi r¨ aknar:
∇T (2, ln 3) = ( ∂T
∂x (2, ln 3), ∂T
∂y (2, ln 3)) = (3, 6).
Den (normerade) riktning i vilken T v¨ axer mest ¨ ar allts˚ a (1, 2)/ √ 5.
b) Gradienten ∇T (2, ln 3) = (3, 6) ¨ar vinkelr¨at mot niv˚akurvan C. Tangenten till C i (2, ln 3) ¨ ar allts˚ a vinkelr¨ at mot (3, 6) = 3(1, 2), vilket betyder att tangenten
¨ ar parallell med (2, −1) och allts˚a har lutning −1/2. Tangentens ekvation ¨ar allts˚ a
y − ln 3
x − 2 = −1/2,
som f¨ orenklas till y = −x/2 + 1 + ln 3.
4. a) Egenv¨ arden ber¨ aknas med karakt¨ aristiska ekvationen:
0 = det A − λI = det
[ 4 − λ 3 1 2 − λ
]
= (4 − λ)(2 − λ) − 3 = λ
2− 6λ + 5, som har l¨ osningarna λ
1= 1, λ
2= 5. Egenvektorer h¨ orande till λ
iber¨ aknas genom att l¨ osa ekvationssystemet (A − λ
iI)x = 0. I v˚ art fall skall vi allts˚ a l¨ osa de tv˚ a ekvationssystemen
[ 3 3 1 1
]
x = 0,
[ −1 3 1 −3
]
x = 0.
Dessa l¨ oses med radreduktion och man f˚ ar x
1= (a, −a)
Toch x
2= (3b, b)
T, som ¨ ar egenvektorerna h¨ orande till λ
1= 1 och λ
2= 5 respektive (a och b ¨ ar fria variabler).
b) Allm¨ anna l¨ osningen till x
′(t) = Ax(t) kan skrivas upp direkt m.h.a. egenv¨ arden och egenvektorer:
x(t) = C
1[ 1
−1 ]
e
t+ C
2[ 3 1
] e
5t,
d¨ ar C
1och C
2¨ ar konstanter.
5. Vi byter till cylinderkoordinater (r, θ, z) definierade genom
x = r cos θ y = r sin θ
z = z
.
I de nya koordinaterna beskrivs omr˚ adet D som D = {(r, θ, z); 0 ≤ r ≤ z, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 1} och vi har att
dxdydz = det
∂x/∂r ∂x/∂θ ∂x/∂z
∂y/∂r ∂y/∂θ ∂y/∂z
∂z/∂r ∂z/∂θ ∂z/∂z
drdθdz
= det
cos θ −r sin θ 0 sin θ r cos θ 0
0 0 1
drdθdz = rdrdθdz.
Allts˚ a f˚ ar vi
∫∫∫
D
(x
2+ y
2)dxdydz =
∫
1z=0
∫
zr=0
∫
2πθ=0
r
2rdθdrdz = 2π
∫
1z=0
∫
zr=0
r
3drdz
= 2π
∫
1 z=0z
4/4 dz = 2π/20 = π/10.
6. L˚ at u
1= (1, 0, 1)
Toch u
2= (1, 1, −1)
Tvara vektorerna som genererar H. Eftersom u
1och u
2¨ ar ortogonala (deras skal¨ arprodukt ¨ ar 0) kan ortogonalprojektionen, P (v), av en vektor v p˚ a H ber¨ aknas med formeln
P (v) = v · u
1∥u
1∥
2u
1+ v · u
2∥u
2∥
2u
2. (1)
a) Vi l˚ ater v = (1, 1, 1)
Ti formeln (1) och f˚ ar
P (
1 1 1
) = 2 2
1 0 1
+ 1 3
1
1
−1
= 1 3
4 1 2
.
b) Vi l˚ ater v = (x
1, x
2, x
3)
Ti formeln (1) och f˚ ar
P (
x
1x
2x
3
) = x
1+ x
32
1 0 1
+x
1+ x
2− x
33
1
1
−1
=
(5x
1+ 2x
2+ x
3)/6 (x
1+ x
2− x
3)/3 (x
1− 2x
2+ 5x
3)/6
.
c) Vi skriver uttrycket i uppgift b) som en matrismultiplikation:
P (
x
1x
2x
3
) =
(5x
1+ 2x
2+ x
3)/6 (x
1+ x
2− x
3)/3 (x
1− 2x
2+ 5x
3)/6
= 1 6
5 2 1
2 2 −2
1 −2 5
x
1x
2x
3
och vi kan direkt l¨ asa av matrisen f¨ or projektionen P som 1
6
5 2 1
2 2 −2
1 −2 5
.
7. a) Extrempunkter finns d¨ ar 0 = ∇f = (
∂f /∂x, ∂f /∂y )
. Vi r¨ aknar:
∂f
∂x = · · · = y
23 − x
2− 2xy (x + y)
2,
∂f
∂y = · · · = x
23 − y
2− 2xy (x + y)
2.
Eftersom x och y ¨ ar ̸= 0 i omr˚adet D betyder 0 = ∇f att ekvationerna
0 = 3 − x
2− 2xy, (2)
0 = 3 − y
2− 2xy (3)
skall vara uppfyllda. Subtraktion av ekvation (3) fr˚ an ekvation (2) ger att −x
2+
y
2= 0, dvs. x = ±y. D˚a x och y ¨ar > 0 i D m˚aste x = y > 0. Ins¨attning av
x = y i ekvation (3) ger att 0 = 3 − 3y
2, s˚ a att y = 1 (d˚ a y > 0 i D). Allts˚ a ¨ ar
x = y = 1, och den enda extrempunkten i omr˚ adet D ¨ ar a = (1, 1).
b) Vi r¨ aknar:
∂
2f
∂x
2= ∂
∂x
( y
23 − x
2− 2xy (x + y)
2) = · · · = −2y
2y
2+ 3 (x + y)
3∂
2f
∂y
2= ∂
∂y
( x
23 − y
2− 2xy (x + y)
2) = · · · = −2x
2x
2+ 3 (x + y)
3∂
2f
∂y∂x = ∂
2f
∂x∂y = ∂
∂x
( x
23 − y
2− 2xy (x + y)
2) = · · · = 2xy 3 − x
2− y
2− 3xy (x + y)
3. I punkten a = (1, 1) blir Hessianen d˚ a
[
∂2f∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2
]
=
[ −1 −1/2
−1/2 −1 ]
.
c) Vi ber¨ aknar egenv¨ ardena till Hessianen i punkten a = (1, 1) m.h.a. den karak- teristiska ekvationen:
0 = ( −1 − λ)
2− 1/4 = λ
2+ 2λ + 3/4.
L¨ osningarna blir λ = −3/2, −1/2, som b˚ada ¨ar negativa. Hessianen i extrem- punkten a = (1, 1) ¨ ar allts˚ a negativt definit och a m˚ aste vara en lokal maxpunkt.
8. Γ ¨ ar ¨ ovre delen av cirkeln med radie 2 centrerad i origo; Γ startar i (2, 0) och slutar i ( −2, 0). Vi sluter Γ genom att l¨agga till linjestycket, γ, som b¨orjar i (−2, 0) och slutar i (2, 0). D˚ a ¨ ar Γ + γ en kurva, genoml¨ opt motsols, som innesluter omr˚ adet D = {(x, y) ∈ R
2; y ≥ 0, x
2+ y
2≤ 4}. Enligt Greens sats g¨aller
∫
Γ+γ
( −y
3)dx + (x
3+ e
y2)dy =
∫∫
D
( ∂
∂x (x
3+ e
y2) − ∂
∂y ( −y
3) )
dxdy (4)
= 3
∫∫
D
x
2+ y
2dxdy.
Den sista dubbelintegralen ber¨ aknas enkelt t.ex. genom att byta till pol¨ ara koordi- nater, och man f˚ ar
3
∫∫
D
x
2+ y
2dxdy = 3
∫
2r=0
∫
πθ=0
r
3dθdr = 3π
∫
2r=0
r
3dr = 12π. (5) Av (4) och (5) f¨ oljer att den s¨ okta kurvintegralen ¨ ar
∫
Γ
( −y
3)dx + (x
3+ e
y2)dy = 12π −
∫
γ