Aspekter som blir kritiska vid
beräkningar med decimaltal
En studie om kritiska aspekter vid skriftliga
beräkningar i addition och subtraktion.
Författare: Sara Andersson och Camilla Stridh
Magisterarbete
Abstrakt
Syftet med studien är att identifiera kritiska aspekter i addition och subtraktion med tal i decimalform samt om och i så fall hur dessa synliggörs vid skriftliga beräkningar av elever i skolår 5 och skolår 7 från två skolor i Sverige. Med utgångspunkt i variationsteorin har empirin samlats in genom tester och intervjuer. Resultatet visar att samma kritiska aspekter som återfinns i tidigare forskning även syns i denna empiri. De mest frekventa kritiska aspekterna är att elever skriver algoritmer med rak högerkant, konsekvent subtraherar det minsta från det största, inte förstår att 0 – 4 kräver växling eller behandlar decimaltal som heltal. I skolår 7 kan en viss progression ses då de äldre eleverna i intervjuerna ger uttryck för begrepp (exempelvis position, platsvärde och decimaltecken) som de till skillnad från skolår 5 har utskilt.
Nyckelord
skriftliga beräkningar, decimaltal, kritiska aspekter, addition, subtraktion
Tack
Vi vill först tacka de skolor och de elever som låtit oss genomföra datainsamlingen under lektionstid. Utan er hade det inte blivit någon studie. Vi vill också rikta ett stort tack till vår handledare Oduor Olande som varit ett stöd i processen och uppmuntrat oss men framförallt givit oss värdefull feedforward. Tack även till vår examinator Hanna Palmér som trott på oss och vår förmåga att fullfölja utbildningen. Vi hade inte kommit så här långt utan våra kloka och inspirerande studiekamrater, stort tack för ert engagemang genom kritiska kommentarer men framförallt för våra samtal under studietiden. Till sist vill vi rikta ett tack till våra familjer för att ni stöttat oss villkorslöst och all uppmuntran, utan ert stöd hade detta inte varit möjligt att genomföra.
Innehållsförteckning
1 Inledning 1
2 Syfte och frågeställningar 2
Syfte 2
Frågeställningar 2
3 Bakgrund 3
Talens historia 3
Undervisning om decimaltal kontra bråktal 3
4 Tidigare forskning 4
Växla i addition och subtraktion 4
Taluppfattning 5
Rak högerkant och rak vänsterkant 5
Platsvärde 6
Decimaltecknet 6
Förstå decimaltal med nollor i 6
5 Teoretisk utgångspunkt 8
Variationsteorin 8
Lärandeobjekt 8
Kritiska aspekter 9
6 Metod 10
Datainsamling 10
Uppgifter till testet 10
Urval av informanter 11
Intervjuer 11
Analysmetod 11
Etiska ställningstagande 12
7 Resultat & Analys 14
Resultat av test 14
Växla i addition och subtraktion 14
0 - 4 kräver växling 14
Subtrahera det minsta från det största talet. 15
Längre decimaltal blir större 16
Rak högerkant och rak vänsterkant 17
Behandla decimaler som heltal 18
Förstå decimaltal med nollor i 19
Sammanfattning av resultaten 20
Analys 21
8 Diskussioner 22
Metoddiskussion 22
Resultatdiskussion 22
Sammanfattning 24
Förslag till vidare forskning 24
Referenser 25
Bilagor
Bilaga 1 Skriftligt test I
Bilaga 2 Urval av respondenter till intervju II Bilaga 3 Informations och medgivandeblankett för elever och vårdnadshavare III
1 Inledning
Decimaltal används i vardagen och är synliga överallt. När någon ska baka en god morotskaka läser man i receptet att det behövs 4,5 dl mjöl, när Sarah Sjöströms framfart i simbassängen beundras och hon är på väg att slå världsrekordet på 50,77 eller i affären där en chokladkaka kostar 17,95 kr är exempel på olika tal i decimalform som behöver tolkas. Således har kunskaper om decimaltal en central roll i både samhället och i skolan. Trots att decimaltal ingår som ett matematiskt centralt innehåll i skolans styrdokument och även är av betydelse i vuxenlivet tycks det finnas olika svårigheter med att beräkna decimaltal.
I en studie av Pierce, Steinle, Stacey och Widjaja (2008) undersöktes till exempel blivande sjuksköterskors svårigheter med att klara beräkningar av medicindosering.
Den visade att flera hade svårigheter med beräkningar av decimaltal. En felräkning vid medicinering kan i värsta fall få ödesdigra konsekvenser för patienten. I vår profession som grundskollärare med många års erfarenhet av undervisning med mellanstadieelever och högstadieelever har vi observerat att beräkningar i addition och subtraktion med decimaltal ställer till problem för eleverna. Vi kan se att elever gör liknande fel som beskrivs i forskning om beräkningar med decimaltal både i skolår 5 och skolår 7 även efter att de har genomgått flera års undervisning av tal i decimalform. Eftersom dessa svårigheter ser ut att följa elever även i vuxenlivet är det av intresse att undersöka hur dessa eventuella svårigheter ter sig. I denna studie vill vi därför urskilja och jämföra vilka olika typer av fel som förekommer i skolår 5 och skolår 7.
Kunskaper om decimaltal har funnits med i tidigare läroplaner och i syftestexten för matematik i den rådande kursplanen för grundskola står att eleverna genom undervisning ska ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska metoder och deras användbarhet. Vidare ska eleverna på både mellanstadiet och högstadiet kunna göra beräkningar med naturliga tal och tal i decimalform (Skolverket, 2017). Beräkningar med decimaltal förekommer i alla fyra räknesätten men vi har i denna studie valt att fokusera på addition och subtraktion.
Utifrån styrdokumenten och de svårigheter som lyfts fram av forskningen samt vår egen erfarenhet med undervisning av decimaltal har vi blivit intresserade av att undersöka och få en djupare förståelse för begreppsmässiga aspekter som ligger bakom svårigheterna som uppstår när eleverna räknar med decimaltal. Vi vill identifiera aspekter som är nödvändiga för elever att urskilja, för att kunna göra skriftliga beräkningar i addition och subtraktion med tal i decimalform.
2 Syfte och frågeställningar
Syfte
Syftet med studien är att identifiera kritiska aspekter för skriftliga beräkningar i addition och subtraktion med tal i decimalform samt om och i så fall hur dessa synliggörs vid skriftliga beräkningar av elever i skolår 5 och skolår 7.
Frågeställningar
• Vilka olika kritiska aspekter kan urskiljas vid skriftliga beräkningar med decimaltal i en klass i skolår 5?
• Vilka olika kritiska aspekter kan urskiljas vid skriftliga beräkningar med decimaltal i en klass i skolår 7?
• Vilka likheter och skillnader av kritiska aspekter påträffades i skolår 5 respektive skolår 7?
3 Bakgrund
I det här avsnittet kommer en kort redogörelse av decimaltalens utveckling samt hur undervisningen har skett historiskt i Sverige.
Talens historia
Att utvecklingen av vårt talsystem har tagit lång tid och att talsystemen har haft olika talbaser såsom fem, tio och tjugo är väldokumenterad i historien (Cajori, 1993; Ifrah, 1994; Merzbach & Boyer, 2011). Det som är gemensamt för de tidigaste sätten att skriva tal är att man använde ett streck, en kil eller en prick för varje ental och att man använde en helt ny symbol för antalet tio. Dessutom var de tidigaste sätten att skriva talsystem uppbyggda enligt additionsprincipen som innebar att talen visades med hjälp av ett antal symboler som representerade talen 100, 10 och 1. Exempelvis visades talet 623 med 6 stycken hundratalssymboler, 2 stycken tiotalssymboler och 3 stycken entalsymboler. Detta medförde att talsystemen inte hade behov av siffran noll. Därefter har det skett en utveckling av talsystemen till dagens positionssystem som innebär att siffrans värde bestäms av dess position i talet. Detta har medfört behovet av att kunna visa tal som exempelvis saknar hundratal, tiotal eller ental som gjorde att siffran noll började användas (Ifrah, 1994). Decimaltalen nämns från 1500- talet bland annat av Christoff Rudolff som använde ett streck precis som decimalkommat används idag och Simon Stevin som förklarade användningen av decimaltal. Simon Stevin krediteras vara den som introducerade decimaltal till allmän användning i Europa (Cajori, 1993; Kiselman & Mouwitz, 2008). Skott, Hansen, Jess och Schou (2010) skriver att under slutet av 1500-talet började algoritmer användas mer frekvent i Europa och i början var det svårt att använda decimaltal eftersom babyloniernas hexagesimala system var etablerat för bråk. Skott, et al. (2010) lyfter fram Francois Viete (1540 - 1603) som betydelsefull för decimaltalens utbredning men det var först mot slutet av 1800-talet som decimaltalen används mer allmänt.
Undervisning om decimaltal kontra bråktal
I Sverige har bråktal behandlats före decimaltal i undervisningen ända fram till 1950- talet. I grundskolan minskades därefter undervisningen i bråkräkning vilket medfört allt större problem när eleverna ska räkna uppgifter med bråk men även decimaltal (Löwing & Kilborn, 2002.; Löwing, 2006.; Löwing, 2008). I Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11, betonas vikten av att först förstå bråktal för att på mellanstadiet gå vidare med decimaltal. Detta visar sig i centrala innehållet i kursplanen för matematik, genom att i centrala innehållet för år 1 – 3 skrivs om bråk men inte om decimaltal för att i centrala innehållet för år 4 – 6 uttryckas både om bråk och decimaltal (Skolverket, 2017).
Thompson och Walker (1996) förespråkar att elever börjar lära sig tal i bråkform för att senare bygga vidare med tal i decimalform eftersom detta är ett annat sätt att skriva tal i bråkform. Detta skulle betona sambandet mellan de båda sätten att namnge rationella tal och göra det lättare med förståelsen. Moss och Case (1999) hävdar det motsatta och skriver att lärare först ska undervisa om decimaltal och därefter bråktal.
De skriver att undervisning ska ske i naturlig progression där ny kunskap som bråktal byggs på redan införlivad kunskap som decimaltal för att eleverna gradvis ska förstå sambanden.
I skolor i Sverige används Förstå och använda tal - en handbok (McIntosh, 2011) samt Matematiktermer för skolan (Kiselman & Mouwitz, 2008), som referenslitteratur och de ger följande förklaringar till tal i decimalform. Enligt McIntosh (2011) finns fyra grundläggande principer för tal i decimalform varav den första är att se siffrorna i decimaltalet som ett enda tal, den andra är att mittpunkten i decimaltalet är entalssiffran inte decimaltecknet. Den tredje principen är att åt vänster ökar värdet i varje position tiofalt och åt höger minskar värdet i varje position tiofalt samt den fjärde att nollan används som en platsmarkering. Kiselman och Mouwitz (2008) beskriver tal i decimalform som tal skrivet i decimalsystemet, det positionssystem som har basen 10, vidare beskrivs decimaltecknet som tecknet som skiljer siffrorna som står för heltal från de siffror som står för tiondelar i ett tal i decimalform.
4 Tidigare forskning
Här följer en genomgång av tidigare forskning (Bentley & Bentley, 2016; Desmet Grégoire & Mussolin, 2010; Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist, Silver & Swafford, 1988; Liu, Ding, Zong & Zhang, 2014; Pettersson, 1991; Pierce et al., 2008;
Pramudiani, Zulkardi, Hartono, & Van Amerom, 2011; Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson & Peled, 1989; Roberts, 1968; Sowder, 1997; Steinle & Stacey, 2004; Ubuz &Yayan, 2010) där man har studerat olika sätt att beräkna decimaltal och flera exempel ges på olika fel som kan göras. Dessa vanligt förekommande fel som forskningen beskriver kallas även för missuppfattningar.
Växla i addition och subtraktion
Proceduren vid beräkning av additionsuppgifter är enklare att hantera för elever men även i addition finns det aspekter som eleven måste förstå (Kouba et al., 1988; Ubuz
& Yayan, 2010). En sådan aspekt är att förstå övergångarna mellan de olika talsorterna till exempel tiotalssövergång. I studien av lärares ämneskunskaper om decimaltal som Ubuz och Yayan (2010) genomförde var det ca 20 % som svarade 0,12 på uppgiften 0,9 + 0,3 som krävde växling. Ytterligare aspekter som behöver förstås är att sätta minnessiffran vid övergångar på rätt ställe. När man ska växla vid tiotalsövergångar i addition är det viktigt att det är tiotalssiffran som växlas och skrivs som minnessiffra och inte tvärtom. Roberts (1968) beskriver att denna omkastning kunde noteras i hans studie om vilka fel elever i skolår 3 gör vid aritmetiska beräkningar i addition. Pettersson (1991) kategoriserade elevernas felaktiga lösningsstrategier i antingen enkla eller allvarliga fel varav exempel på allvarliga fel kunde vara att eleven blandar ihop räknesätten i samma algoritm eller att eleven växlar på ett felaktigt sätt genom att inte använda minnessiffror alls.
Att förstå hur man växlar i subtraktion är en aspekt som elever behöver kunna hantera.
Dessutom måste man kunna växlingar om subtrahenden är större än minuenden och detta kan vara en orsak till att subtraktionsalgoritmer är svårare än additionsalgoritmer (Ubuz & Yayan, 2010). Ett vanligt fel som forskare har beskrivit i sina studier är att eleven konsekvent tar det minsta talet och subtraherar från det största utan hänsyn till vilket tal det är som är subtrahend och minuend (Roberts, 1968). Han menar att elever som subtraherar åt det håll som ger minst svårighet inte har förstått hur en uppgift löses i flera steg och att denna typ av fel troligen är det vanligaste när det gäller
subtraktionsfel. Kouba et al. (1988) beskriver i deras studie att elever i skolår sju och elva hade få svårigheter att växla i subtraktion när det gällde heltal men när eleverna i de båda årskurserna skulle hantera samma procedur med decimaltal blev det svårare.
Det var fler än 50 % av eleverna i år sju och nästan 30 % i år elva som löste uppgiften felaktigt där det krävdes att växla en eller flera gånger i algoritmen. Forskarna skriver att en anledning till detta kunde vara att eleverna inte hade förståelse för platsvärdet och om så var fallet kunde de få svårigheter vid beräkningar av tal med decimaler.
Taluppfattning
Liu et al. (2014) skriver att det är lättare att få rätt svar vid beräkningar men att förstå vad talet innebär är svårare och menar att bristen på förståelsen av begreppet decimaltal kan bli mer beständigt än själva räkneprocessen med decimaltal. Även Pierce et al. (2008) refererar till att beräkningar med decimaltal leder till misstag när det finns brister i förståelsen av begreppet decimaltal. God taluppfattning om decimalsystemet är en nödvändighet för att ha en förståelse vid skriftliga räknemetoder med tal i decimalform. Att kunna jämföra olika decimaltal med varandra samt kunna urskilja både heltalen, decimaltecknet och decimalerna är tecken på god taluppfattning (Resnick et al., 1989; Steinle & Stacey, 2004). Liu et al. (2014) refererar till det de kallar “whole number thinking” som är en missuppfattning då eleven tolkar decimaldelen i ett tal som ett heltal och menar att när elever utvidgar kunskapsområdet från hela tal till att gälla även decimaltal kan den tidigare kunskapen ha en ogynnsam effekt på förmågan att tolka decimaltal.
Den longitudinella studien av Steinle och Stacey (2004) som involverade tolv skolor från Melbourne under fyra år undersökte elevers missuppfattningar av decimaltal. När två decimaltal storleksmässigt ska jämföras i studien så väljer några elever konsekvent det längre talet och andra elever väljer konsekvent det kortare talet.
Steinle och Stacey (2004) använder bokstaven L (longer is bigger) för att beskriva att eleverna ser längre decimaltal som större och S (shorter is bigger) som att ju kortare tal desto större tal. L förekommer hos yngre elever som felaktigt tror att 4,63 > 4,8 därför att 63 > 8 och man kan se att i denna grupp ökar kunskapen varje år. S förekom där elever drog paralleller med bråktal. Eftersom ⅙ > 1/73 drogs slutsatsen att 0,6 är större än 0,73 och denna grupp är mer konstant och eleverna har kvar samma missförstånd när de blir äldre (Steinle & Stacey, 2004). Desmet et al. (2010) skriver i sin studie att det är de yngre eleverna (skolår tre och fyra) som tenderar att tro att ju längre ett decimaltal är desto större tal och att eleverna i skolår fem tenderar att tro att ju kortare tal desto större är talet medan skolår sex var inte eleverna influerade av längden på decimaltalet.
Rak högerkant och rak vänsterkant
I subtraktionsalgoritmen kan det finnas ytterligare aspekter likt de som Bentley och Bentley (2016) skriver om, rak högerkant vilket betyder att eleven ännu inte urskilt att varje talsort måste hanteras under varandra. En anledning till att elever använder rak högerkant när de ställer upp talen beror på att det är en vanlig uppmaning vid algoritmräkning med heltal att alltid ha en “rak högerkant”. Elever kan ha en föreställning om att tankesättet med heltal även gäller vid beräkning med decimaltal (Steinle & Stacey, 2004). Eleverna behöver integrera nya begrepp med tidigare och se sambanden mellan decimaltal och naturliga tal (Desmet et al., 2010).
Steinle och Stacey (2004) skriver om rak vänsterkant som är ett liknande fel som rak högerkant där eleverna har svårigheter med uppställningar. I deras studie skulle eleverna jämföra två decimaltal och de elever som använde rak vänsterkant hade rätt på alla uppgifter förutom de med olika antal decimaler. Det förklarar de i sin studie med att de elever som använder algoritm med rak vänsterkant kommer att sakna siffror på slutet och vet inte vad de ska göra med tomrummet som blir.
Platsvärde
En annan aspekt handlar om att ställa upp tal med hänsyn till platsvärde och positionssystem. Det faktum att decimaltal har liknande struktur som heltal när det gäller platsvärde kan medföra att elever tror att decimaltal kan hanteras identiskt med heltal och därigenom leda till att elever ignorerar skillnaden (Resnick et al., 1989;
Ubuz & Yayan, 2010). I Steinle och Stacey (2004) studie var det en hög andel speciellt i skolår åtta som tolkade decimalerna som heltal för att de hade för svag kunskap om platsvärde för tal i decimalform. Kouba et al. (1988) skriver att många elever inte har adekvat förståelse för platsvärde vilket i sin tur ger svårigheter att göra beräkningar. I deras undersökning hade eleverna i skolår 7 (motsvarande 12 - 13 åringar) och skolår 1 på gymnasiet (motsvarande 16 - 17 åringar) högre andel korrekta svar på uppgifterna med decimaltal vid addition än vid subtraktion. Utifrån sin undersökning drar de slutsatsen att elever i skolår 7 fortfarande har svårigheter med att växla och ännu större svårighet om uppgiften kräver två växlingar. Deras slutsats är att felen kan bero på brister i förståelsen för positionssystemet.
Decimaltecknet
Att förstå vad ett decimaltecken betyder och hur det används är en viktig kunskap när man ska lära sig räkna med decimaltal (Liu et al., 2014). Pramudiani et al. (2011) beskriver att för många elever är decimaltalet bara ett tal som råkar ha en punkt i sig.
Eleverna i Sowder (1997) studie hade svårt att ta till sig storleken på decimaltal och många var även osäkra på vad decimaltecknet betydde. Eleverna såg decimaltal som två tal separerade av en punkt. De behandlade delen till höger om decimaltecknet som ett helt tal separat från talet till vänster. Ubuz och Yayan (2010) undersökte i sin studie hur deltagarna adderar och subtraherar decimaltal och vilka misstag som gjordes.
Orsaken till dessa misstag verkade vara att en del konsekvent ignorerar decimaltecknet. I ett tal som har decimaler och decimaltecken ska entalssiffran ses som mittpunkten på talet och inte som eleverna i Ubuz och Yayan (2010) undersökning där de tolkar decimaltecknet som mittpunkten när de adderar och subtraherar.
Förstå decimaltal med nollor i
Problem med att räkna och förstå tal i decimalform som innehåller nollor är ytterligare en aspekt som forskare tar upp. Steinle och Stacey (2001) undersöker bland annat hur elever tolkar nollan när den befinner sig i slutet av talet och när nollan står i tiondelsposition samt hur elever jämför tal i decimalform som inkluderar noll. Steinle och Stacey (2001) skriver att strategin att skriva till nollor för att göra ett decimaltal lika långt är en strategi som lärs ut av lärare (exempelvis 0,4 - 0,12 skrivs 0,40 - 0,12).
De visar vidare att i deras studie som jämförde japanska och australienska elever hade de japanska eleverna större svårigheter att klara uppgifter där man kunde göra talen
lika långa genom att lägga till nollor eftersom det inte är vanligt att ge förklaringar som “lägga till nollor” i Japan. De menar dock inte att det är en strategi som ska undervisas i, för de japanska eleverna är bättre på de studerade uppgifterna överlag.
Även andra forskare menar att elever blir konfunderade när de lär sig att “lägga till”
nollor så att talet består av lika många decimaler vid jämförelser och beräkningar. De menar att denna strategi inte utvecklar känslan för decimaltal (Resnick et al., 1989;
Sowder, 1997).
Vidare skriver Ubuz och Yayan (2010) i deras studie som undersökte grundskollärares kunskaper om decimaltal gällande bland annat att storleksordna decimaltal och göra beräkningar i addition och subtraktion med decimaltal, att många av lärarna i studien ignorerade nollorna. Detta kan betyda att de hade svårt att använda nollor som positionshållare. Lärarna kunde svara 1,9 istället för 1,09 och tro att det var samma tal. Desmet et al. (2010) är ytterligare forskare som skriver i sin studie att förståelsen av hur man hanterar nollor i decimaltal kommer senare än förståelsen av decimaltecknet. De skriver att det är viktigt att skilja på en nolla som är placerad till vänster av en siffra i decimaldelen (0,01) och när nollan är placerad som sista siffran längst till höger (0,10). Rollen som positionshållare av nollan hade de äldre eleverna (här klass 5 - 6) lärt sig i motsats till de yngre eleverna (här klass 3 - 4).
5 Teoretisk utgångspunkt
Kapitlet presenterar den teoretiska utgångspunkten för studien, variationsteorin. Först presenteras dess ursprung och därefter följer en förklaring av lärandeobjekt och kritiska aspekter vilka är de begrepp denna studie valt att fokusera på.
Variationsteorin
Variationsteorin har sitt ursprung i den fenomenografiska forskningen. Det är en teori som är under utveckling och utarbetas av Marton med flera (Marton & Booth, 2000;
Marton, Runesson & Tsui, 2004; Lo, 2014). Den ontologiska hållningen för de båda teorierna är icke-dualistisk vilket betyder att trots att det finns en värld som är oberoende av människan så existerar världen endast så som människan upplever den.
Eftersom människor upplever saker på olika sätt varierar även upplevelsen av världen mellan människor (Marton & Booth, 1997). Lo (2014) skriver att beroende på vilka aspekter som är i förgrunden avgörs vad människor kan urskilja av fenomenet. Det innebär också att vissa aspekter hamnar i bakgrunden. Marton och Booth (2000) skriver:
“Vårt medvetande har en struktur. I varje ögonblick står vissa saker i förgrunden, de betonas eller tematiseras - medan andra ställs i bakgrunden - de är underförstådda eller icke- tematiserade. Men att betona medvetandes dubbelsidiga karaktär - figur-bakgrund, tematiserad- icke-tematiserad, explicit-implicit - det skulle vara att förenkla saker och ting. Det finns olika grader för hur betonande, tematiserade eller explicita saker eller aspekter är i vårt medvetande.”
(Marton & Booth 2000 s.131)
Lo (2014) skriver att om vårt medvetande saknat förmågan att strukturera skulle alla aspekter samtidigt vara i fokus hela tiden och följden av det skulle vara att ingen aspekt var i fokus i vårt medvetande. Inom Variationsteorin anses en person lärt sig något om ett fenomen när hen kan urskilja flera och andra aspekter av fenomenet på samma gång än vad hen gjorde tidigare (Lo, 2014; Marton & Booth, 1997).
I teorin finns centrala begrepp där studiens fokus kommer att ligga på lärandeobjekt samt kritiska aspekter.
Lärandeobjekt
Lo (2014) skriver att variationsteorin är en teori som sätter lärandeobjektet i fokus och framhåller några villkor för lärandet. Här ser man lärandet som ett uttryck för att uppfatta lärandeobjekt på ett visst sätt genom att utveckla förmågor och kompetenser.
Lärare och elever har troligtvis olika uppfattningar om lärandeobjektet och det beror på att eleverna har med sig uppfattningar som de tillägnat sig från exempelvis tidigare skolgång. Det innebär att läraren först måste identifiera elevernas uppfattningar och upptäcka vilka skillnader som finns mellan elevernas och lärarens sätt att uppfatta lärandeobjektet. Marton, Runesson och Tsui (2004) beskriver att vi erfar lärandeobjektet på olika sätt beroende på vad vi sätter i förgrunden och studerar mer ingående, vilket innebär att två personer kan se/erfara samma objekt på två olika sätt.
För att uppfatta lärandeobjektet på liknande sätt behöver eleverna ges möjlighet att urskilja vissa aspekter om eleverna inte urskilt dessa aspekter blir de kritiska aspekter.
Kritiska aspekter
Kritiska aspekter är aspekter som behöver urskiljas för att man ska förstå eller erfara lärandeobjektet. De missuppfattningar som identifierats i tidigare forskning blir i denna studie de kritiska aspekterna som kommer studeras. Vid skriftliga beräkningar i addition och subtraktion med decimaltal kan de kritiska aspekterna vara att entalet är talets mittpunkt (och att inte decimaltecknet har den funktionen) och att siffrorna har olika platsvärden (till exempel skillnaden mellan tiotalssiffran och tiondelssiffran). Ytterligare kritiska aspekter vid uppställning av tal i addition och subtraktion kan vara att varje talsort måste stå under varandra. Trots att de kritiska aspekterna är specifika för varje elevgrupp, kan lärare utveckla en förmåga att utifrån sin erfarenhet identifiera möjliga kritiska aspekter (Marton, Runesson & Tsui, 2004;
Mårtensson, 2015). En viktig utgångspunkt är att kritiska aspekter inte är misstag eller svårigheter utan ska ses som något eleverna inte ännu har identifierat och att det kan vara olika aspekter för olika elever (Mårtensson, 2015).
6 Metod
I följande kapitel redogörs för datainsamling, urval, genomförande, etiska ställningstagande och tillvägagångssätten för genomförandet av studien samt de principer som arbetsprocessen rättat sig efter.
Datainsamling
Genom att undersöka hur eleverna gör skriftliga beräkningar med decimaltal kan vi med hjälp av ett variationsteoretiskt perspektiv eventuellt urskilja de kritiska aspekterna vid beräkningarna. Eftersom de kritiska aspekterna hela tiden är i förändring valde vi en design med både ett test och intervjuer. Några elever valdes ut för intervjuer utifrån testresultatet för att få en inblick i hur de resonerat när de har räknat uppgifterna.
Uppgifter till testet
Studien byggde på att samma test genomfördes i olika åldersgrupper med uppgifter som behandlade skriftliga räknemetoder i addition och subtraktion med decimaltal (Bilaga 1). Testet bestod av sju uppgifter, varav tre uppgifter behandlade addition och fyra uppgifter behandlade subtraktion. Uppgifterna valdes utifrån både Diamantmaterialet (Skolverket, 2013) och Förstå och använda tal - en handbok (McIntosh, 2011). Samtliga uppgifter innehöll de kritiska aspekterna växling i antingen addition eller subtraktion, hantera decimaltecknet samt att förstå att alla siffrorna i decimaltalen utgör en helhet. Uppgifterna valdes också för att kunna urskilja fler kritiska aspekter. Uppgift 1 (21,88 + 16,6) valdes utifrån den kritiska aspekten att kunna växla vid tiotalsövergång i addition med termer som har olika antal decimaler medan uppgift 2 (6,052 + 5,659) valdes för att urskilja samma kritiska aspekt, växla vid tiotalsövergång, men med skillnaden att termerna har samma antal decimaler. Eftersom termerna i uppgift 1 innehöll olika antal decimaler kunde också den kritiska aspekten rak högerkant och rak vänsterkant urskiljas samt platsvärde.
Uppgift 3 (109,7 + 3,08) valdes för att synliggöra de kritiska aspekterna rak högerkant och rak vänsterkant men också platsvärde utifrån att termerna har olika antal decimaler. I uppgiften är det också möjligt att urskilja förståelsen för decimaltal då termerna innehåller nollor som positionshållare. Uppgift 4 (6,27 - 5,84) och 5 (1,56 - 0,57) valdes utifrån den kritiska aspekten att kunna växla i subtraktion med tiotalsövergång där termerna har samma antal decimaler men där det endast krävdes en växling i uppgift 4 men två växlingar i uppgift 5. Dessutom i både uppgift 4 och 5 finns möjlighet att urskilja den kritiska aspekten att subtrahera det minsta talet från det största utan hänsyn till vilket tal som är subtrahend och minuend. Uppgift 6 (6,2 - 5,84) valdes för att urskilja den kritiska aspekten rak högerkant och rak vänsterkant där minuenden har färre decimaler än subtrahenden, dessutom krävde uppgiften två växlingar samt möjliggörandet av den kritiska aspekten att förstå decimaltal med nollor i form av att skriva till nollor för att termerna ska få samma antal decimaler.
Även i uppgift 7 (2,35 - 0,5) gavs möjligheten att urskilja de kritiska aspekterna rak högerkant och rak vänsterkant och även platsvärde eftersom termerna i uppgiften hade olika antal decimaler.
En pilotstudie genomfördes i skolår 5 och skolår 7 för att vara säkra på att de uppgifter som valdes ut kunde belysa de kritiska aspekterna, som hade identifierats utifrån
tidigare forskning. Pilotstudien visade att testet motsvarade de kritiska aspekter som de avsåg mäta, vilket innebar att inga uppgifter ändrades.
Urval av informanter
Studien genomfördes i skolår 5 respektive skolår 7 på två olika skolor i Sverige och för att få ett hanterbart datamaterial begränsades antalet klasser till en i respektive årskurs. Valet av årskurs berodde på tidigare erfarenheter av elevers skriftliga beräkningar i addition respektive subtraktion av decimaltal där observationer gjorts att beräkningar med decimaltal ställde till problem. Eleverna gjorde liknande fel i skolår 5 respektive skolår 7 trots att de har fått undervisning om lärandeobjektet under skoltiden genom mellanstadiet till högstadiet.
Urvalet är ett bekvämlighetsurval, då klasserna finns på skolor i vår närhet där det redan finns upparbetade kontakter. Enligt Bryman (2011) är det kanske inte det bästa urvalet men ibland är det ett val som måste göras för att kunna genomföra datainsamlingen.
I studiens första del, skriftliga testet, deltog 36 elever, varav 20 stycken i skolår 5 och 16 stycken i skolår 7. I studiens andra del, intervjuerna, gjordes ett urval utifrån resultaten på två av frågorna i testet (uppgift 3, 109,7 + 3,08 och uppgift 6, 6,2 - 5,84), där 17 elever, varav 9 från skolår 5 och 8 från skolår 7, valdes ut för intervjuer för att få en djupare uppfattning om hur eleverna hade räknat uppgifterna. Urvalet av respondenter motiverades av att både få reda på vilka kritiska aspekter som eleverna ej ännu hade urskilt samt vilka kritiska aspekter som de hade urskilt. Arbetssättet valdes utifrån Pettersson (1991) som skriver att det är viktigt att förstå hur en elev har löst en matematikuppgift och inte bara kontrollera om svaret är rätt eller fel.
Intervjuerna gav en djupare uppfattning av de kritiska aspekterna som vi identifierat utifrån tidigare forskning om decimaltal.
Intervjuer
Vi genomförde semistrukturerade intervjuer som spelades in med de utvalda eleverna från respektive klass (bilaga 2). Vid semistrukturerade intervjuer använder forskaren en intervjuguide där det finns en frihet för informanten att utveckla sina svar. Under intervjuerna användes tekniken probing och icke-verbal probing som innebar fördjupning och försök att få så uttömmande svar från informanterna som möjligt.
Detta gjordes genom att ställa uppföljande frågor som “Hur gjorde du då?” eller “Nu förstår inte jag riktigt, kan du förtydliga/utveckla ditt svar lite mer?” Exempel på icke- verbal probing är att nicka eller säga “jaaa” eller “humma” för att visa för informanten att man förstår och lyssnar och är beredd på att få höra fortsättningen från informanten. Under intervjuerna var det avgörande att informanten kände att vi var intresserade av deras uppfattning och aktivt lyssnade till deras svar (Fejes &
Thornberg, 2015). Varje informant fick under intervjun tillgång till sitt eget redan besvarade test för att kunna förklara sitt tillvägagångssätt samt tankegångar.
Analysmetod
Elevernas tester rättades och sammanställdes utifrån vilka kritiska aspekter som urskilts. Därefter genomfördes intervjuerna och empirin jämfördes för att se vilka kritiska aspekter som förekom i de båda årskurserna samt om det fanns några likheter
eller skillnader i kritiska aspekter mellan årskurserna. De inspelade intervjuerna transkriberades i sin helhet.
I analysen lästes de transkriberade intervjuerna upprepade gånger för kännedom om materialet. Därefter fortsatte analysen genom att urskilja de svar som tydde på att eleven ännu inte hade urskilt de kritiska aspekterna, rak höger- eller vänsterkant inte hade förstått vikten av platsvärde för decimalerna och decimaltal med nollor i eller genomgående subtraherade det minsta talet från det största. 17 elever, både elever med korrekta och felaktiga svar på testet valdes ut till intervjuer. De elever som hade gjort felaktigheter som inte kunde förklaras med ovanstående kritiska aspekter var även intressanta att intervjua. Intervjusvaren användes för att gå vidare med jämförelsen och leta efter likheter och skillnader i sätt att förklara hur eleven löst två av uppgifterna på testet. Dessa grupperades utifrån de kritiska aspekterna vilket innebar att de olika svaren relaterades till varandra. Nästa steg i analysen bestod i att leta efter kärnan av likheter i intervjusvaren, här gjordes gränsdragningen mellan de olika svaren och bestämdes hur mycket variation det fick vara inom en kritisk aspekt.
Analysen upprepades flera gånger för att säkerställa att inte något missats i elevernas förklaringar. I slutet av analysen genomfördes en kontrastiv fas där alla svar som valts ut granskades samt studerades om de kunde få plats i fler än en kritisk aspekt (Fejes
& Thornberg, 2015).
Etiska ställningstagande
I studien beaktades de fyra forskningsetiska principer som ska följas enligt god forskningsed: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet 2017).
Först tillfrågades rektorerna på respektive skola om deltagande i studien, därefter informerades eleverna och deras vårdnadshavare skriftligt om syftet med studien och vilka moment som ingick i studien (skriftlig test och intervjuer), dessutom informerades eleverna muntligt om studiens syfte och genomförande. Både elever och vårdnadshavare informerades om att deltagande i studien var frivillig och att de kunde avbryta deltagandet när de ville. Eleverna upplystes om möjligheten att avstå från deltagande vid flera tillfällen under datainsamlingen. Förutom elevernas samtycke krävdes också ett godkännande från vårdnadshavare på grund av att eleverna var under 16 år (bilaga 3).
Konfidentialitetskravet innebär att alla elever i undersökningen behandlas konfidentiellt, dvs ingen kan spåra vem eller vilka som har sagt vad i studien genom att alla elevers är utbytta mot kodnamn. I denna studie är det produkten av elevernas test och intervjuer som är i fokus och inte de enskilda individerna. Strävan att hela tiden tänka på att studien skulle ha största möjliga konfidentialitet gentemot alla som deltog var prioriterad.
Den sista etiska princip, nyttjandekravet, innebär att allt material som samlats in endast får användas i denna studie. Den insamlade empirin användes enbart till studien ”Aspekter som blir kritiska vid beräkningar med decimaltal”.
(Vetenskapsrådet, 2017).
Eftersom undersökningen gjordes i den egna skolan så kunde det finnas ett dilemma med att eleverna kunde känna en beroendeställning gentemot oss som forskare/lärare.
Det var därför viktigt att vara lyhörd inför elevernas vilja att delta under hela processen och i slutresultatet gällde det att vara transparent så att inga oklarheter om huruvida de etiska ställningstaganden som krävs hade tagits på fullaste allvar.
7 Resultat & Analys
Här redovisas resultaten av testen med skriftliga beräkningar av decimaltal i addition och subtraktion. Intervjuer som gjordes i klasserna redovisas i de kritiska aspekterna där de tillförde förklaringar om hur de räknat uppgiften. Resultatet redovisas utifrån de kritiska aspekterna. Därefter redovisas analysen.
Resultat av test
Växla i addition och subtraktion
I båda skolåren kunde endast 7 fel av 252 uppgifter härröras till de kritiska aspekterna växla i addition och subtraktion. I skolår 5 blandas addition och multiplikation ihop i en uppgift av en elev medan i skolår 7 görs inga fel där flera räknesätt blandas ihop i samma algoritm.
Fig 1. Blandar ihop räknesätt
I figur 1 räknar eleven först addition (8+0) därefter byter eleven räknesätt till multiplikation (8x6) och skriver tiotalen som svar och entalen som minnessiffra, för att därefter återgå till att räkna addition.
0 - 4 kräver växling
Att ännu inte ha urskilt att 0 - 4 kräver växling är en kritisk aspekt som synliggjordes i 5 lösningar i skolår 5 och 2 lösningar i skolår 7. Dessa elever gjorde inga beräkningar med fyran i talet utan flyttade endast ner den under svarsstrecket.
Fig 2. Växling krävs vid 0 - 4
När de elever som hade beräknat uppgiften likt figur 2 beskrev anledningen till sin uträkning framgick det att dessa elever sällan ens reflekterade över att det krävdes växling vid subtraktion från en nolla.
[446]. Intervjuare: … Jag skulle vilja höra med dig om den här uppgiften som är här nere och nu är det subtraktion, då är det sex komma två minus fem komma åtta fyra.
[447]. Elev: Eftersom att sex komma två är den av termerna som är störst så la jag den högst upp i algoritmen och sen så tog jag fyran och flyttade ner eftersom att det inte fanns någonting att subtrahera den med. Åh då går det inte att subtrahera två med åtta för då blir det ett negativt tal så då växlade jag från sexan och gjorde det till tio stycken…
Som synes i intervjun ovan flyttade eleven ner fyran eftersom hen ansåg att det inte fanns något att subtrahera fyran med.
Subtrahera det minsta från det största talet.
Tre exempel på den kritiska aspekten i skolår 5 var att konsekvent subtrahera det minsta talet från det största talet. I skolår 7 hade eleverna något högre andel fel (5 stycken) som handlade om att subtrahera det minsta talet från det största utan hänsyn till vilket tal som är subtrahend (se fig 3).
Fig 3. Subtrahera det minsta från det största
Eleven subtraherar tre tiondelar från fem tiondelar istället för att genomföra växlingen och subtrahera fem tiondelar från tretton tiondelar.
Intervju med elev som förklarar hur hen löst uppgiften 6,2 - 5,84
[467]. Intervjuare: ... Då skulle jag vilja att vi kikar på uppgiften den här nere då är det en subtraktion…
[468]. Elev: Ehumm
[469]. Intervjuare: Sex komma två minus fem komma åtta fyra…
[470]. Elev: Då tog jag ju dom första siffrorna sex ehhum minus fem och det är ju ett och sen tog jag ehum två minus åttiofyra som är liksom de andra siffrorna och då tog jag ja och då blev det åttiotvå och då blev det ett komma åttiotvå, ja..
[471]. Intervjuare: Hur blev det åttiotvå, hur kom, hur gjorde du när du tänkte på det hur…
[472]. Elev: För jag tog två minus åttiofyra och det är åttiotvå.
I intervjun uttrycker eleven att hen tog två minus åttiofyra och får svaret till åttiotvå, detta är ytterligare ett exempel på den kritiska aspekten subtrahera det minsta från det största.
Längre decimaltal blir större
Denna kritiska aspekt behandlade förståelse om vad decimaltal innebär och förstå att ett decimaltal som var längre inte automatiskt blev större. Elever i skolår 5 gjorde tre fel och i skolår 7 gjorde en elev samma fel, när de skrev det längsta talet som minuend istället för subtrahend.
Fig 4. Längsta talet är det största
I figur 4 har eleven gjort en algoritm och skriver 5,84, det längre talet, som det största talet eftersom det står överst och det kortare talet, 6,2 står underst.
Rak högerkant och rak vänsterkant
Elever i skolår 5 gjorde fel och skrev algoritm med rak högerkant eller rak vänsterkant. Att skriva med rak högerkant eller vänsterkant kan handla om flera kritiska aspekter som ska urskiljas, först gäller att ställa upp talen med hänsyn till platsvärde och positionsvärde samt förstå att varje talsort ska stå under varandra men även ha förståelse för vad decimaltecknet betyder och hur det används. Eleverna i skolår 5 hade störst svårighet med rak högerkant som var den tydligaste kritiska aspekten som kunde ses i denna studie. Det var även en elev som använde sig av rak vänsterkant. För eleverna i skolår 7 var det tre fel som gjordes med rak högerkant.
Fig 5. Rak högerkant Fig 6. Rak vänsterkant
Intervju med elev som förklarar hur hen löst uppgiften 109,7 + 3,08 och använt rak högerkant.
[39]. Intervjuare: Mmm Kan du berätta för mig hur du gjorde när du räknade den uppgiften?
[40]. Elev: Jag tog sju plus [41]. Intervjuare: Ja
[42]. Elev: Då bli det ………..sen blir det femton. Så blir det alltså fem så blir det här ett. Så bli det tio. Sen här blir det tio sen här blir det elva ehh elva, tretton……..femton Nej. elva (tyst räkning) fjorton. Så bli det här ett så också Öhhh …...Vänta
[43]. Intervjuare: Jo Sen har du den ettan där.
[44]. Elev: Ja [45]. Intervjuare: Ja
[46]. Elev: Jag vet inte hur man ska förklara men, sen har jag elva sen blir det fjorton här
Som synes i figur 5 har eleven skrivit talet med rak högerkant utan hänsyn till decimaltecknet eller de olika talsorterna. I figur 6 visas samma uppgift fast nu med rak vänsterkant och även här har ingen hänsyn tagits till decimaltecknet eller talsorterna. I intervjun förklarar eleven men uppmärksammar inte att hen adderar olika talsorter med varandra när hen tar sju tiondelar plus åtta hundradelar och får det till femton.
Behandla decimaler som heltal
I skolår 5 gjordes fyra fel där beräkningarna utfördes med heltalen och decimalerna var för sig och i skolår 7 gjordes sju fel i samma kritiska aspekt.
Fig 7. Beräknar heltal och decimaler var för sig
I intervjun med eleven blev det än tydligare att eleven ännu inte hade urskilt denna kritiska aspekt vid förklaringen att hen räknade först det ena sen det andra.
[462]. Elev: Jag tänkte att jag tänkte så här hundranio plus tre först då tog jag entalen eller ja entalen och sen så räknade jag och då fick jag det till hundratolv och sen tog jag åtta plus sju som blev femton och då bar gjorde jag att det blev etthundratolv komma femton.
[463]. Intervjuare: Mmm hur kommer det sig att du tog åtta plus sju?
[464]. Elev: Eftersom att ehh ehh asså efter kommatecknet så är det decimalsaken så kommer vad heter det en sjua å sen kommer det noll komma åtta och noll komma åtta så tog jag det bara som en åtta.
[465]. Intervjuare: Å sjuan tog du som en...
[466]. Elev: En vanlig sån där sjua
I figur 7 visas att det fanns elever som inte ställde upp uppgiften i en algoritm utan använde sig av en typ av skriftlig huvudräkning och beräknade först heltalen för sig och därefter decimalerna. I intervjun förklarar hen tillvägagångsättet genom att förklara att 109 + 3 = 112 och 8 + 7 = 15.
Förstå decimaltal med nollor i
I denna studie gjordes två fel i skolår 5 och ett fel i skolår 7, genom att bortse från nollan i talet 3,08.
Fig 8. Tog bort nollan
I intervjuerna uttryckte elever att de inte visste hur de skulle göra med nollan och att de därför litade på en känsla vilket tyder på att kunskap om nollan inuti talet 3,08 är en kritisk aspekt som eleverna ännu inte urskilt. Eleverna uttryckte att de hade en känsla eller inte visste vad de annars skulle göra.
[189]. Elev: Jag hade bara en känsla.
[243]. Intervjuare: Du sa på den att du tog bort nollan där. Varför gjorde du det?”
[244]. Elev: Jag visste inte vad annars jag skulle göra...
Sammanfattning av resultaten
Nedan redovisas en sammanfattning av resultaten av vilka kritiska aspekter som urskilts i respektive skolår. Vid intervjuerna framkom att elever i skolår 7 använde fler begrepp exempelvis termer, tiotal, tiondel och positionssystem vilket inte förekom i intervjuerna med skolår 5.
Skolår 5 Skolår 7
Blanda räknesätt i algoritm
0 - 4 kräver växling 0 - 4 kräver växling
Subtrahera det minsta från det största Subtrahera det minsta från det största
Längre tal är större Längre tal är större
Rak högerkant Rak högerkant
Rak vänsterkant
Behandla decimaler som heltal Behandla decimaler som heltal
Förstå decimaltal med nollor i Förstå decimaltal med nollor i
[189]. Elev: Jag hade bara en känsla.
[243]. Intervjuare: Du sa på den att du tog bort 0an där. Varför gjorde du de [244]. Elev: Jag visste inte vad annars jag skulle göra...
Analys
Lärandeobjektet som är skriftliga beräkningar i addition och subtraktion med decimaltal innehåller flera olika kritiska aspekter som elever måste ha urskilt för att kunna utföra dessa beräkningar. En person har lärt sig om ett fenomen när hen kan urskilja flera och andra aspekter av fenomenet på samma gång än vad hen gjorde tidigare (Lo, 2014; Marton & Booth, 1997). Flertalet av eleverna hade urskilt alla de kritiska aspekter som krävs för att göra en korrekt uträkning. Till exempel kunde eleverna genomföra växlingar då subtrahenden var mindre än minuenden, hade urskilt både var man gjorde växlingen samt var minnessiffran skulle skrivas och ställde upp talen med hänsyn till platsvärde.
En kritisk aspekt som visade sig i vissa uträkningar var när det krävdes en växling då minuenden var en nolla. Vissa elever hade ännu inte urskilt att 0 - 4 kräver växling utan flyttade ner fyran till svaret och hade inte växling i förgrunden när en nolla fanns med i talet. Lo (2014) skriver att för att kunna urskilja fenomen är det avgörande vilka aspektersom är i förgrunden. Eleverna med denna kritiska aspekt hade växling i förgrunden när de konstaterade att 2 - 8 inte kunde genomföras utan att växla medan samma elev inte använde sig av växling i förgrunden när hen räknade 0 - 4. En annan kritisk aspekt som blev synlig i elevernas lösning var att förstå decimaltal med nollor i där vissa elever inte hade urskilt att nollan har rollen som positionshållare och de har då inte detta i förgrunden. I testet fanns även uppgifter som omfattade den kritiska aspekten att kunna genomföra växlingar då subtrahenden var större än minuenden.
Även om de flesta uppgifterna löstes rätt så fanns det elever som inte hade urskilt denna kritiska aspekt.
Lo (2014) skriver att lärandet är ett uttryck för att uppfatta lärandeobjektet på ett visst sätt genom att utveckla förmågor och kompetenser. Vissa elever i studien har utvecklat förmågan att addera och subtrahera heltal men ännu inte urskilt den kritiska aspekten att addera och subtrahera med decimaltal utan generaliserar en tidigare utvecklad kompetens. Att uppfatta längre decimaltal som större tal är också ett sätt att tolka decimaltal utifrån tidigare erfarenheter eftersom i tidig matematikundervisning förekommer uttryck som att ett längre tal är större eftersom det är fler siffror.
Marton, Runesson och Tsui (2004) skriver att kritiska aspekter behöver urskiljas för att man ska förstå eller erfara lärandeobjektet och elever som använder rak högerkant eller rak vänsterkant har inte urskilt de kritiska aspekterna platsvärde, att varje talsort behöver stå under varandra och decimaltecknets betydelse. Att skriva rak högerkant var den aspekt som hittades mest frekvent i studien. Det var dessutom den kritiska aspekt som skilde mest mellan skolklasserna. Eleverna i skolklass 7 har fått mer undervisning och tid till förståelse för att urskilja de olika kritiska aspekterna som krävs för att undvika rak högerkant och förstå lärandeobjektet.
För att uppfatta lärandeobjektet behöver eleverna ges möjlighet att urskilja olika aspekter. De aspekter som eleven inte har urskilt blir kritiska aspekter.
8 Diskussioner
Här redovisas diskussioner om metoden och resultat, sammanfattning och förslag till framtida forskning.
Metoddiskussion
Empirin samlades in från två olika geografiska platser vilket medför att i studien kan inte några generella slutsatser dras utan det är ögonblicksbilder som beskrivs. Fler kritiska aspekter hade kunnat upptäckas om studien hade utvecklats och inkluderat observationer och intervjuer med lärare som har erfarenheter av att undervisa om skriftliga beräkningar med decimaltal i addition och subtraktion. Trots detta ger studien ändå värdefull kunskap utifrån den teoretiska ansatsen, variationsteorin.
För att säkerställa att uppgifterna testade de kritiska aspekterna genomfördes en pilotstudie i både skolår 5 respektive skolår 7. Däremot genomfördes inga pilotintervjuer något som hade kunnat gett en inblick och träning i intervjutekniken som kunde gett mer uttömmande svar från respondenterna i studien. I studien genomfördes en intervju med respektive utvald respondent och det är möjligt att ytterligare kompletterande intervjuer hade kunnat tillföra mer information angående deras skriftliga beräkningar med decimaltal.
Resultatdiskussion
Syftet med studien var att identifiera kritiska aspekter för skriftliga beräkningar med decimaltal i addition och subtraktion. I uppgifter med en eller flera växlingar används minnessiffror och att de skrivs på ett korrekt sätt är viktigt att ha förståelse för (Pettersson, 1991; Roberts, 1968). Trots att forskare skriver att subtraktionsalgoritmer är svårare än additionsalgoritmer (Ubuz & Yayan, 2010) syns inte det här då de flesta av eleverna har förstått proceduren med växling i de båda räknesätten. Däremot har ett antal elever i båda årskurserna i uppgift 6, 6,2 - 5,84 inte utfört den första växlingen utan räknar 0 - 4 = 4, för att därefter konstatera att 2 - 8 inte är möjligt utan då krävs växling. Detta tyder på att eleverna har kunskap om växlingar men ännu inte urskilt hur de ska agera när talet innehåller termer med olika antal decimaler. Enligt Kouba et al. (1988) slutsats kan en anledning till detta vara att eleverna inte hade förståelse för platsvärdet och om så var fallet kunde de få svårigheter vid beräkningar av tal med decimaler.
En kritisk aspekt som syntes i studien handlar om att eleven konsekvent tar det minsta talet och subtraherar från det största utan hänsyn till vilket tal det är som är subtrahend och minuend. Roberts (1968) menar att när elever subtraherar på detta sätt som är det enklaste sättet inte har förstått hur en uppgift löses i flera steg. Enligt Roberts (1968) är detta troligen det vanligaste subtraktionsfelet även om så inte var fallet i denna studie.
Att beskriva decimaltal som enbart beroende av dess längd och därmed tro att ett decimaltal som var längre automatiskt var större var en kritisk aspekt som återfanns i studien främst i skolår 5. Steinle och Stacey (2004) beskriver att elever ser längre decimaltal som större och att det förekommer hos de yngre elever men är en kritisk
aspekt som avtar med stigande ålder då forskarna ser att kunskapen ökar allteftersom eleverna blir äldre, något som empirin i denna studie också tyder på.
Att skriva med rak högerkant och rak vänsterkant kan orsakas av en eller flera olika kritiska aspekter. Att skriva med antingen rak höger- eller vänsterkant gjordes i båda klasserna i denna studie men det är inte helt säker vilken eller vilka kritiska aspekter som orsakade felen. Det kan vara att eleverna ännu inte tar hänsyn till platsvärde och därmed inte urskilt att varje talsort måste hanteras under varandra eller inte har förstått vad decimaltecknet betyder och hur det används. Det kan inte avgöras med säkerhet varken genom testresultaten eller intervjuerna. Men en anledning till att elever gör dessa fel när de ställer upp talen kan bero på att det är en vanlig uppmaning vid algoritmräkning med heltal att alltid ha en “rak högerkant”, skriver Steinle och Stacey (2004). I denna studie var detta den kritiska aspekt som skilde mest mellan skolår 5 (15 fel) och skolår 7 (3 fel).
Liu et.al (2014) refererar till det de kallar “whole number thinking” som är en missuppfattning då eleven tolkar decimaldelen i ett tal som ett heltal och menar att när elever utvidgar kunskapsområdet från hela tal till att gälla även decimaltal kan den tidigare kunskapen ha en ogynnsam effekt på förmågan att tolka decimaltal. I denna studie gjordes fel med samma kritiska aspekt där eleverna utförde beräkningar med heltalen och decimalerna var för sig. Eleverna behandlade delen till höger om decimaltecknet som ett heltal. De var osäkra på hur decimaltecknet användes och såg det endast som en separerande punkt. I Ubuz och Yayan (2010) studie skriver man att orsaken till detta kan vara att eleverna ignorerar decimaltecknet och ännu inte har förstått att det är entalssiffran som är mittpunkten i ett tal och inte decimaltecknet.
Det förekom i studien att elever hade svårt att använda nollan som positionshållare och tolkade 3,8 som samma tal som 3,08. Vid intervjuerna kunde inte eleverna förklara hur de tänkte. Desmet et al. (2010) skriver att det är viktigt att kunna hantera nollan och skilja på om den är placerad till vänster eller höger om en siffra i decimaldelen.
Empirin visade att exempel på kritiska aspekter kunde hittas i båda klasserna dock var de färre till antalet i den högre årskursen. I det insamlade materialet som bestod av uppgifter i ett test samt intervjuer kunde observeras att antal fel som gjordes i skolår 7 var färre än i skolår 5 vilket tyder på en viss progression, vilket även resultaten i Pettersson (1991) undersökning visade där ungefär 86 % av eleverna fick bättre resultat i år 6 jämfört med år 3. Intervjusvaren visade också att elever i skolår 7 använde korrekta begrepp som exempelvis termer, tiotal, tiondel och positionssystem vilket inte förekom i intervjuerna med skolår 5.
Sammanfattning
Det finns fler olika kritiska aspekter som elever behöver ha urskilt vid skriftliga beräkningar med decimaltal i addition och subtraktion. I den här studien var de mest frekventa kritiska aspekterna att elever skrev algoritmer med rak högerkant, konsekvent subtraherade det minsta från det största, inte förstod att 0 – 4 kräver växling eller behandlade decimaltal som heltal.
I den här studien förekom samma kritiska aspekter som beskrivits i tidigare forskning som missuppfattningar eller vanligt förekommande fel. Ibland ses fel och missuppfattningar som något negativt men med utgångspunkt i att de kritiska aspekterna inte ännu urskilts kan felen lättare ses som ett pågående lärande och en möjlighet till förändring. En viktig utgångspunkt är alltså att kritiska aspekter inte är misstag eller svårigheter utan ett led i att få ökad förståelse för matematik. Genom att lärare aktivt arbetar för att upptäcka och synliggöra kritiska aspekter som elever ännu inte har urskilt kan undervisningen förbättras. Tillsammans med elever och kollegor kan denna förbättringen leda till ökad förståelse för matematiska begrepp och beräkningsmetoder. I kollegiala diskussioner kan lärare ta del av varandras kunskaper om kritiska aspekter så att en förändring av undervisningen kan ske. Genom kunskap om kritiska aspekter har varje lärare större möjligheter att planera sin undervisning och genomföra den med elevernas lärande i fokus.
Förslag till vidare forskning
Flertalet elever i skolår 5 hade inte urskilt den kritiska aspekten rak högerkant och rak vänsterkant, medan i stort sett alla elever i skolår 7 hade urskilt denna kritiska aspekt.
Det hade varit intressant att göra om testen med eleverna i skolår 5 om två år för att undersöka om fler urskilt denna kritiska aspekt för att kunna dra slutsatsen att det skett en progression från skolår 5 till skolår 7. Dessutom hade det även varit intressant att göra detsamma med de elever som gick i skolår 7 i studien om två år för att undersöka om ytterligare progression skett.
Vi kunde också i studien konstatera att den kritiska aspekten 0 - 4 kräver växling inte hade urskilts hos ett antal respondenter både i skolår 5 respektive skolår 7, men att respondenterna däremot urskilt att växling behövdes göras i nästa steg i samma uppgift. Här vore det intressant att få göra kompletterande intervjuer för att undersöka vidare vad som är orsaken till att denna kritiska aspekt inte ännu har urskilts. Hade resultatet sett annorlunda ut om antalet decimaler i uppgiften varit samma?
Referenser
Bentley, P-O., & Bentley, C. (2016). Milstolpar och fallgropar i matematikinlärningen, Matematikdidaktisk teori om misstag, orsaker och åtgärder. Stockholm: Liber AB
Bryman, A. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder (2. uppl.). Stockholm: Liber AB
Cajori, F. (1993). A History of Mathematical Notations. New York: Dover publications, Inc.
Desmet, L. Grégoire, J. & Mussolin, C. (2010). Developmental changes in the comparison of decimal fractions. Learning and Instruction, 20(6), 52 1 -532.
Fejes, A & Thornberg, R. 2015. Handbok i kvalitativ analys. Andra upplagan Stockholm: Liber AB
Ifrah, G. (1994). Räknekonstens kulturhistoria: Från forntiden till dataåldern Del 1.
Stockholm: Wahlström & Widstrand.
Ifrah, G. (1994). Räknekonstens kulturhistoria: Från forntiden till dataåldern Del 2.
Stockholm: Wahlström & Widstrand.
Kiselman, C., & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg:
Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM.
Kouba, V., Brown, C., Carpenter, T., Lindquist, M., Silver, E., & Swafford, J.
(1988). Results of the Fourth NAEP Assessment of Mathematics: Number, Operations, and Word Problems. The Arithmetic Teacher,35(8), 14 - 19.
Liu, R., Ding, Y., Zong, M., & Zhang, D. (2014). Concept development of decimals in chinese elementary students: A conceptual change approach. School Science and Mathematics, 114(7), 326 - 338.
Lo, M L. (2014). Variationsteori - för bättre undervisning och lärande. (upplaga 1:2) Lund: Studentlitteratur AB
Löwing, M. (2006) Matematikundervisningens dilemma - Hur lärare kan hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur AB.
Löwing, M. (2008) Grundläggande aritmetik - Matematikdidaktik för lärare. Lund:
Studentlitteratur AB.
Löwing, M., & Kilborn, W. (2002) Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur.
Marton, F., & Booth, S. (1997) Learning and awareness. Mahwah, New Jersey:
Lawrence Erlbaum Associates, Inc
Marton, F., & Booth, S. (2000) Om lärande. Lund: Studentlitteratur AB
Marton, F., Runesson, U. & Tsui, A B M. (2004) The space of learning. I Marton, F
& Tsui, A. B.M. (red.), Discourse and the space of Learning. Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
McIntosh, A.. 2011. Förstå och använda tal: en handbok. Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning. (NCM), Göteborgs universitet
Merzbach, C. & Boyer, C. B. (2011). A history of mathematics (3.ed.) New Jersey:
John Wiley & Sons, Inc.
Moss, J, & Case, R. (1999). Developing Children's Understanding of the Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 30(2), 122 - 47.
Mårtensson, P. (2015). Att få syn på avgörande skillnader. diss. Jönköping University
Pettersson, A. (1991). Pupils' Mathematical Performance in Grades 3 and 6. A Longitudinal Study. Educational Studies in Mathematics, 22(5), 439 - 50.
Pramudiani, P., Zulkardi, Z., Hartono, Y., Van Amerom, B. (2011). A concrete situation for learning decimals. Journal on Mathematics Education 2.2, 215 - 230.
https://ejournal.unsri.ac.id/index.php/jme/article/view/750/205 (Hämtad 2019-01- 09)
Resnick, L. B. (1992). From Protoquantities to operators: building mathematical competence on a foundation of everyday knowledge. Analysis of arithmetic for mathematics teaching, 373 - 429.
Resnick, L.B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., Peled, I. (1989).
Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions, Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 20, No. 1, 8 - 27.
Roberts, G. (1968). The failure strategies of third grade arithmetic pupils. The Arithmetic Teacher, 15(5), 442 - 446.
Skolverket. (2013). Diamant - Diagnoser i matematik. Hämtad 2019-01-10 från https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/bedomning-i-
grundskolan/bedomningsstod-i-amnen-i-grundskolan/bedomningsstod- matematik-grundskolan#h-Diamantettdiagnosmaterialiarskurs19
Skolverket. (2017). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Tillgänglig: https://www.skolverket.se/publikationer?id=3975
Skott, J., Hansen, H. C., Jess, K., & Schou, J. (2010). Matematik för lärare: Υ Grundbok band 1(1,.). Malmö: Gleerups Utbildning AB.
Sowder, J. (1997). Place value as the key to teaching decimal operations. Teaching Children Mathematics, 3(8), 448 - 53.
Steinle, V., & Stacey, K. (2001). Visible and invisible zeros: Sources of confusion in decimal notation. In J. Bobis, B. Perry & M. Mitchelmore (Eds.), Numeracy and Beyond. Proceedings of the 24th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (Vol. 2, pp. 434 - 441). Sydney: MERGA.
Steinle, V., & Stacey, K. (2004). A longitudinal study of students understanding of decimal notation: An overview and refined results.
https://www.researchgate.net/publication/254348175_A_Longitudinal_Study_of_
Students_'U
nderstanding_of_Decimal_Notation_An_Overview_and_Refined_Results (Hämtad 2019-02-18)
Thompson, C. S., & Walker, V. (1996). Connecting Decimals and Other Mathematical Content. Teaching Children Mathematics, 2(8), 496 - 502.
Ubuz, Behiye, & Yayan, Betul. (2010). Primary Teachers' Subject Matter Knowledge: Decimals. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 41(6), 787 - 804.
Utbildningsdepartementet (1994). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet och de frivilliga skolformerna. Stockholm: Utbildningsdepartementet
Vetenskapsrådet. 2017. God forskningssed. https://publikationer.vr.se/produkt/god- forskningssed/?_ga=2.120135823.602629142.1527662423-
567924473.1523117438
Bilagor
Bilaga 1 Skriftligt test
Namn:
21,88 + 16,6
6,052 + 5,659
109,7 + 3,08
6,27 - 5,84
1,56 - 0,57
6,2 - 5,84
2,35 - 0,5
Bilaga 2 Urval av respondenter till intervju
Elev 109,7 + 3,08 6,2 - 5,84
51 Nollan som positionshållare 0-4 kräver växling 52 Rak högerkant Minsta minus det största
53 0-4 kräver växling
57 Nollan som positionshållare 0-4 kräver växling
59
511 Rak högerkant
Rak högerkant Längre blir större
516
517 Rak vänsterkant Rak vänsterkant
519
71 0-4 kräver växling
72 Minsta minus det största
75
76
77
78
711 0-4 kräver växling
715
Heltal och decimaltal var för sig Nollan som positionshållare
Heltal och decimaltal var för sig Minsta minus det största
Bilaga 3 Informations och medgivandeblankett för
elever och vårdnadshavare
Hej,
Våra namn är Sara Andersson och Camilla Stridh och under våren 2019 kommer vi genomföra en studie om beräkningar med decimaltal. Syftet med studien är att försöka identifiera vilka metoder elever använder vid beräkningar med decimaltal.
För att kunna genomföra vår studie behöver vi veta om ert barn har tillåtelse och är villig att delta. Genom att skriva på det bifogade pappret godkänner ni ert barns deltagande. Ni eller ert barn kan närsomhelst välja att avbryta ert deltagande. Då hör ni bara av er till någon av oss.
Allt material som samlas in av oss (lösningsförslag, anteckningar m.m.) kommer att anonymiseras. Det betyder att ingen kommer kunna veta vem som gjort uppgifterna eller vad som sagts vid intervjuerna.
Hälsningar
Camilla Stridh Sara Andersson
camilla.stridh@edu.olofstrom.se sara.a.andersson@edu.boras.se
Handledare: Oduor Olande oduor.olande@lnu.se
___________________________________________________________________
Jag ger mitt godkännande till att mitt barn får medverka i studien om beräkningar med decimaltal. Jag vet att jag som vårdnadshavare eller mitt barn när som helst kan avsluta sin medverkan genom att meddela Sara Andersson,
sara.a.andersson@edu.boras.se eller Camilla Stridh, camilla.stridh@edu.olofstrom.se detta.
Namn:________________________________________________________
Klass:___________________
Underskrift
elev:_____________________________________________________________
Underskrift målsman:__________________________________
