Analys av system bestående av skivor, kopplade skivor och ramar med språngvisa styvhets- förändringar i höga byggnader

Analys av system bestående av skivor, kopplade skivor och ramar med språngvisa styvhets-

förändringar i höga byggnader

Björn Åstedt

TRITA-BKN. Examensarbete 208, Brobyggnad 2004 ISSN 1103-4297

ISRN KTH/BKN/EX--208--SE

Analys av system bestående av skivor, kopplade skivor och ramar med språngvisa

styvhetsförändringar i höga byggnader

Analysis of Interacting Systems of Shear Walls,

Coupled Shear Walls and Frames with Sudden Changes of Stiffness in Various Levels in High Rise Buildings

Björn Åstedt

Avdelningen för Brobyggnad Institutionen för Byggvetenskap Kungliga Tekniska Högskolan

_____________________________________________________________________

TRITA-BKN. Examensarbete 208, Brobyggnad 2004 ISSN 1103-4297

ISRN KTH/BKN/EX--208--SE

Förord

Detta examensarbete är utfört vid institutionen för Byggvetenskap, avdelningen för Brobyggnad, på Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm i samarbete med WSP Byggprojektering i Stockholm. Det ingår i civilingenjörsexamen för Väg- och vattenbyggnadsteknik.

Examinator och handledare på institutionen för Byggvetenskap är Prof. Håkan Sundquist och handledare på WSP Byggprojektering är Tekn. Dr Kent

Arvidsson.

Jag vill tacka mina båda handledare för deras stöd och stora intresse av mitt arbete. Dessutom vill jag tacka Mattias Ek, WSP Byggprojektering, för hjälpen med programvaran som har använts.

Stockholm, februari 2004

Björn Åstedt

Sammanfattning

Höga byggnaders stabiliserande system består ofta av något av följande eller kombinationer av följande element;

• Homogena skivor

• Kopplade skivor

• Ramar

Det är om dessa element och kombinationer av dessa, försvagade till olika grad, som detta examensarbete handlar om.

Försvagningar av de stabiliserande systemen i höga byggnader är i det närmaste oundvikliga om godtagbara planlösningar ska kunna erhållas. Vanligen är det olika layout-krav mellan de olika våningsplanen i byggnaden. En vanlig utformning är med garage i källaren, stor öppen entré våning och kontor eller lägenheter i de överliggande våningarna. Anpassningarna till layout-kraven innebär språngvisa förändringar av elementens styvhetstal vilket leder till att lastfördelningen omfördelas mellan elementen i stommen i dessa områden.

Genom att systematiskt variera de olika parametrar som styr

styvhetsfördelningarna, det vill säga en parametrisk studie, erhålls hjälpmedel som underlättar valet av stomme i det tidiga skedet av projekteringen.

Konstruktören har stor hjälp i startskedet av ett projekt om det finns hjälpmedel för att bedöma möjliga stomförslag utan allt för stora ekonomiska medel.

Här behandlas homogena skivor med en representativ utformning för höga byggnader och ett approximativt värde ges för ekvivalenta styvheten. Olika varianter av försvagningars inverkan på kraft- och momentfördelningar samt knäckningssäkerheten för kopplade skivor utreds också. Dessutom kontrolleras samverkans system av homogena skivor och kopplade skivor för försvagningar.

Förutom detta kontrolleras olika metoder för att minska påkänningarna i bjälklagen på en verklig byggnad.

Modellerna som har använts har verifierats genom enkla

handberäkningsmetoder och tabellvärden. Studien av den verkliga byggnaden kontrollerades genom att två modeller som beskriver samma sak analyserades i två olika program. Avvikelserna mellan de tillämpade modellerna var mindre än 10 % för de övergripande egenskaperna såsom topputböjning, knäcklast,

moment- och axialkraft fördelning. Något större avvikelser erhölls för

uppträdande tvärkrafter vid de språngvisa styvhetsförändringarna. Genom att flera olika modeller har tillämpats och kontrollerats mot varandra har en verifiering skett så att inga grova numeriska fel i form av t.ex. fel i indata har förelegat.

Abstract

The stabilizing systems in high-rise buildings often consist of any of the following or combinations of the following elements;

• Homogenous shear walls

• Coupled shear walls

• Frames

It’s about these elements and combinations of these, weakened at different degrees at certain levels, this master of science thesis deals with.

Attenuations of the stabilizing systems in high-rise buildings are almost impossible to avoid if suitable layouts will be achieved. Usually there are

different demands on the layout between the different floors in the building. One common design is; garage in the basement, a big and spacious entrance and offices or flats in the overlying storeys. Adjustments to the layout demands usually result in suddenly changes of the element stiffness that result in changes of the load distribution between the elements in their area.

By systematic variation of the structural parameters that governs the stiffness distribution, videlicet carry out a parametric study, we will receive means that helps the choice of framework in the early stage of the planning. The design engineer will have great benefits in the early stage of the project if tools are available to decide if a potential framework is ok without substantial economical efforts.

This thesis considers homogenous shear walls with representative design for high-rise buildings and an approximate value is presented for the equivalent stiffness. The influence of different kinds of attenuations on the force- and momentum distribution and the buckling load for a coupled shear wall are also investigated. Furthermore is interacting systems consisting of homogenous shear walls and coupled shear walls analyzed. Apart from this, different kinds of

methods suitable for decreasing the stress in the joists are checked in a real building.

The models that are used have been verified by simple hand calculations and table values. The study of the real building was checked by computing two different models that describes the same structure in two different programs. The deviations between the applied models was less than 10 % for comprehensive properties as top deflection, buckling load, momentum- and axial force

distributions. The deviation was slightly bigger for the appearance shear forces near by the sudden changes of the stiffness. Because that several different models have been used and checked against each other one can be sure that no important numerical errors, like errors in input data exists.

Innehållsförteckning

Förord...i

Sammanfattning ...iii

Abstract ... v

Innehållsförteckning ...vii

1 Introduktion... 1

1.1 Allmänt ... 1

1.2 Syftet med denna studie... 1

1.3 Generellt upplägg ... 2

2 Beräkningsmetoder i använda program ... 4

2.1 Beräkningsmetoder för PC-frame... 4

2.2 Beräkningsmetoder för Ramanalys ... 4

2.3 Beräkningsmetoder för Rymdknäckning... 5

3 Enskilda element – homogena skivor och kopplade skivor... 6

3.1 Allmänt ... 6

3.2 Homogena skivor... 7

3.2.1 Konsol med stegvis varierande styvhet och jämntfördelad last ... 7

3.2.1.1 Resultat för konsol med stegvis varierande styvhet... 7

3.2.2 Konsol med kontinuerligt varierande styvhet... 8

3.2.2.1 Resultat för konsol med kontinuerligt varierande styvhet ... 8

3.3 Kopplade skivor... 9

3.3.1 Deformationsmetoden... 10

3.3.2 Kraftmetoden ... 10

3.3.3 Resultat av kopplade skivor... 12

3.3.3.1 Resultat av knäckningssäkerheten ... 13

3.3.3.2 Resultat av normalkraftsfördelningen... 14

3.3.3.3 Resultat av tvärkraftsfördelningen ... 15

3.4 Slutsatser och kommentarer ... 16

3.4.1 Homogena skivor... 16

3.4.2 Kopplade skivor... 16

4 Samverkan mellan homogena skivor och kopplade skivor... 17

4.1 Allmänt ... 17

4.2 Kontroll av modellen... 19

4.3 Resultat ... 20

4.3.1 Resultat av inspänningsmomenten ... 20

4.3.2 Resultat av knäckningssäkerheten... 21

4.3.3 Resultat av normalkraftsfördelning i CSW-skivan ... 22

4.3.4 Resultat av tvärkraftsfördelning i CSW-skivan... 23

4.4 Slutsatser och kommentarer ... 23

5 Verklig byggnad... 24

5.1 Allmänt ... 24

5.1.1 Beskrivning av byggnaden ... 25

5.2 Transformeringar, förenklingar och kontroller ... 25

5.2.1 Verklig byggnad ⇒ 3D-modell...25

5.2.2 3D-modell ⇒ plan 2D-modell...26

5.2.3 Kontroll av förenklingar och resultat ... 27

5.3 Resultat ... 29

5.3.1 Resultat av 3D-modell med stegvisa förändringar av styvheterna. 29 5.3.2 Resultat av 2D-modellen med deformerbara bjälklag... 30

5.3.3 Resultat av 2D-modell med plastiska bjälklag ... 31

5.3.4 Resultat av 2D-modell med deformerbara och plastiska bjälklag.. 33

5.4 Slutsatser och kommentarer ... 35

6 Aktuell forskning och fortsatt forskning... 37

6.1 Aktuell forskning... 37

6.1 Fortsatt forskning... 38

7 Generella slutsatser ... 39

7.1 Enskilda element – homogena skivor och kopplade skivor ... 39

7.1.1 Homogena skivor... 39

7.1.2 Kopplade skivor... 39

7.2 Samverkan mellan homogena skivor och kopplade skivor... 39

7.3 Verklig byggnad ... 40

Referenser ... 41

Bilagor ... 43

Bilagor till kapitel 3 ... 43

Bilagor till kapitel 4 ... 53

Bilagor till kapitel 5 ... 54

1 Introduktion

1.1 Allmänt

Många höga byggnader har sådan verksamhet att layout-kraven är skilda mellan de olika våningsplanen. Ett vanligt utförande är, garage i källaren, butiker i entrévåningen och kontor i de överliggande våningarna, de så kallade normalplanen. Eftersom en hög byggnad kräver kraftiga stabiliserande

stommsystem innebär detta att en konflikt lätt uppstår mellan de som bejakar stora öppna planlösningar som krävs för till exempel entréplanen och de som förespråkar stabiliteten för byggnaden. I praktiken innebär det vanligen att de bärande och stabiliserande elementen måste anpassas till ovanstående krav.

Dessa anpassningar medför bland annat håltagningar för dörrar och att skivor övergår i pelare. Sådana anpassningar innebär språngvisa förändringar av

elementens styvhetstal i vertikalled och därmed förändras stommens egenskaper, varvid lastfördelningen omfördelas mellan elementen i stommen kring dessa områden. Förutom omfördelning av uppträdande krafter kan stora effekter fås på stommens globala egenskaper såsom knäckningssäkerheten jämfört med fallet konstant styvhet i alla våningar.

1.2 Syftet med denna studie

Vid projektering av byggnader skall i det tidiga skedet byggnadskonstruktören finna några tekniskt och ekonomiskt lämpliga stomval som uppfyller kraven på en funktionell layout för byggnaden, vilket berörs ibland annat [19] och [20].

Dessa koncept skall tas fram med ekonomiskt begränsade ingenjörsinsatser i en interaktiv process med arkitekten. Att då ha tillgång till praktiska hjälpmedel för att bedöma möjliga och praktiska/byggbara stomförslag möjliggör då en

rationell process. Sådana hjälpmedel är också en stor tillgång när en

överslagsmässig kontroll skall utföras av detaljprojekteringen. Dessutom ges möjlighet att upptäcka grova fel i detaljberäkningar och om en vald datormodell är representativ för den verkliga byggnaden. Målet med denna studie är alltså att finna praktiska hjälpmedel som underlättar ovanstående punkter genom

parametriska studier av olika stomalternativ.

1.3 Generellt upplägg

• Kapitel 2; här beskrivs kortfattat de beräkningsprogram som är använda samt vilka beräkningsmetoder dessa använder sig av.

• Kapitel 3 behandlar inverkan av varierande styvhet för homogena skivor och kopplade skivor. Två fall av homogena skivorna har behandlats.

1. Homogen skiva med avtrappande styvhet mot toppen, se Fig. 1.1.

2. Homogen skiva med kontinuerligt avtagande styvhet mot toppen, se Fig. 1.2.

För de homogena skivorna studeras inverkan på den effektiva styvheten I_e samt en jämförelse av de två varianterna av avtrappning. För de kopplade

skivorna, se Fig. 1.3, studerades inverkan av varierande styvhet på

kopplingsbalkarna med avseende på;

- Knäckningssäkerheten

- Normalkraftsfördelningen i skivdelarna - Tvärkraftsfördelningen i kopplingsbalkarna

• Kapitel 4 beskriver egenskaperna i ett samverkanssystem mellan homogena skivor och kopplade skivor, se Fig. 1.4, med olika styvhetsfördelningar. Inverkan av varierande styvheter studerades för följande;

- Inspänningsmomenten - Knäckningssäkerheten

- Normalkraftsfördelningen i CSW -skivan

- Tvärkraftsfördelningen i kopplings- balkarna CSW-skivan

Fig. 1.1 Homogen skiva med avtrappande styvhet.

Fig. 1.2 Homogen skiva med kontinuerligt avtagande styvhet.

Fig. 1.3 En kopplad skiva, så kallad CSW-skiva.

Fig. 1.4 Samverkans- system mellan homogen skiva och kopplad skiva.

• Kapitel 5 behandlar en verklig byggnad med varierande styvhet, enligt Fig. 1.5, som får till följd att bjälklagen blir utsatta för kraftiga

påkänningar i anslutning till avstyvningarna ovan. Därför kontrolleras följande metoder för att minska påkänningarna i bjälklagen;

- Stegvisa förändringar av styvheterna i ökat antal steg - Deformerbara bjälklag används i modellen

- Bjälklagen tillåts att plastiseras

- Kombination av deformerbara bjälklag och plastiska bjälklag

• Kapitel 6, ger en översikt av forskning som har gjorts på senare tid samt förslag på fortsatt forskning.

• Slutligen, kapitel 7, som sammanfattar resultaten av analyserna och slutsatserna ifrån tidigare kapitel.

Fig. 1.5 Plan över byggnaden samt symbolisk bild av styvhetern i skivorna.

2 Beräkningsmetoder i använda program

2.1 Beräkningsmetoder för PC-frame

Beräkningsmodellen som används i PC-frame baseras på traditionell

förskjutningsmetod enligt första och andra ordningens teori för tvådimensionella ramar, dock tas ej hänsyn till skjuvdeformationer. I PC-frame kan även

säkerheten mot knäckning beräknas, vilket sker i anslutning till analysen med andra ordningens teori. Beräkningen av stabilitetskontrollen sker genom att en multiplikator, lastfaktor, verkar på samtliga ingående laster i ramen, varefter stabilitetskontrollen sker. För varje lastnivå kontrolleras om ramen är stabil. Om så är fallet ökas last-multiplikatorn och i annat fall minskas den. I varje

beräkningssteg utförs iterationer för att uppnå korrekt axialkraftsfördelning i ramen. Beräkningen avbryts när skillnaden i lastfaktor för en stabil och en ej stabil lösning underskrider 0.1 %.

2.2 Beräkningsmetoder för Ramanalys

Beräkningsprogrammet Ramanalys utför ramberäkningarna med hjälp av finita element metoden, där man med förskjutningsmetoden och matrisalgebra

bestämmer förskjutningar och spänningar för hela strukturen med hjälp av styvhetsrelationer för de enskilda elementen enligt första och andra ordningens teori, dock tas ej hänsyn till skjuvdeformationer. Följande referenser ligger till grund för beräkningsmodellen i Ramanalys:

1. Konstruktionsberäkningar med dator, Studentlitteratur, Lund, 1990.

2. Handboken Bygg, Allmänna grunder, Avsnitt A30, Strukturstabilitet, Stockholm, 1985.

3. Flexibiliteter och styvheter hos prismatiska balkpelare med konstant axialkraft, B.Edlund, S.Wahlström och B.Åkesson, CTH, Institutionen för Byggnadsstatik, Göteborg, 1979.

4. Formelsamling i hållfasthetslära, KTH, Institutionen för Hållfasthetslära, Stockholm, 1986.

5. Theory of elastic stability, S.P.Timoshenko och J.M.Gere, McGraw-Hill, 1961.

6. Strength of materials, S.P.Timoshenko, van Nostrand Company, 1947.

7. Boverkets Konstruktionsregler BKR99.

8. Handboken Bygg, Konstruktion, Avsnitt K18, Stockholm 1985.

2.3 Beräkningsmetoder för Rymdknäckning

Rymdknäckning beräknar moment och tvärkrafter enligt andra ordningens teori i de bärande skivorna med matrisformulerad deformationsmetodik, beskriven ibland annat i [8]. Knäckningssäkerheten kontrolleras både för vridknäckning och för böjvridknäckning kring skjuvcentrum enligt samma modell som återges i [9].

3 Enskilda element – homogena skivor och kopplade skivor

3.1 Allmänt

I enkla strukturer som homogena skivor och kopplade skivor går både analytiska metoder med sluta uttryck och numeriska metoder med rammodeller att använda för att studera inverkan av plötsliga styvhetsförändringar. Här har analysen av homogena skivor genomförts med analytiska metoder i beräkningsprogrammet Mathcad. De kopplade skivorna studerades med diskreta rammodeller om tio stycken våningar i beräkningsprogrammen Ramanalys och PC-frame. För

analysen av homogena skivor användes modeller av konsoler enligt Fig. 3.1, och för analysen av kopplade skivor användes en modell enligt Fig. 3.2.

För de homogena skivorna med stegvis varierande styvhet och kontinuerligt varierande styvhet studerades inverkan på effektiva styvheten I_e med avseende på utböjningen. För de kopplade skivorna studerades hur effekten av språngvisa förändringar i kopplingsbalkarna påverkar;

1. Knäckningssäkerheten

2. Normalkraftsfördelningen i skivdelarna 3. Tvärkraftsfördelningen i kopplingsbalkarna

Fig. 3.1 Konsoler för analysen av homogena skivor.

Fig. 3.2 Modell för analysen av kopplade skivor.

3.2 Homogena skivor

3.2.1 Konsol med stegvis varierande styvhet och jämntfördelad last

Analysen av homogena skivor med stegvis varierande styvhet gjordes med beräkningsprogrammet Mathcad. Genom att utnyttja att topputböjningen för en konsol med jämntfördelad last utan styvhetsförändringar är lika med ekvation (3-1) och sätta detta kända uttryck lika med topputböjningen för konsolen med varierande styvhet, ekvation (3-2) kan värdet på I_e i förhållande till det ”ostörda”

värdet på I beräknas. Fig. 3.3 visar modellen som användes till detta.

(3-1)

EI y qH

8

4

1 = (3-2)

e

e EI

y qH 8

4

1 = (3-1) = (3-2) ⇒ Ie

Den inbördes styvhets relationen mellan delarna i konsolen sattes till 0,3 för del a, 0,5 för del b, och 0,65 för del c, vilket är en rimlig

styvhetsfördelning för ett högt hus. Den inbördes

längdfördelningen varierades för att kontrollera inverkan på I_e.

3.2.1.1 Resultat för konsol med stegvis varierande styvhet Av resultaten går det att se

betydelsen av den understa delen (del c), den ekvivalenta styvheten I_e är kraftigt beroende av den. För approximativa beräkningar och med liknande styvhets- och

längdfördelning enligt Fig. 3.3 kan Ie sättas till ~ 0,9 Imax, se Fig. 3.4.

Där I_max representerar styvheten i inspänningssnittet. Utförliga beräkningar visas i bilaga 3.1

a b c I_e

Fall 1 0,33H 0,33H 0,33H 0,935I_max Fall 2 0,4H 0,3H 0,3H 0,914I_max Fall 3 0,4H 0,35H 0,25H 0,895Imax

Fig. 3.4 I_e i förhållande till längd- och styvhersfördelningen i konsolen.

Fig. 3.3 Modell för att beräkna effektiva styvheten I_e för konsol med stegvis varierande styvhet och

jämntfördelad last.

3.2.2 Konsol med kontinuerligt varierande styvhet

Även analysen av homogena skivor med kontinuerligt varierande styvhet se Fig. 3.5, gjordes med beräkningsprogrammet

Mathcad. Här användes samma teknik som för de homogena skivorna med stegvis varierande styvhet. Topputböjningen för konsolen kan beräknas med ekvation (3-3), där faktorn Fq är hämtad från [5]. För ett lastfall med en punktlast i toppen kan utböjningen beräknas med ekvation (3-4), där faktorn FP också är hämtad från [5].

Variabeln n anger hur kraftigt konsolen avtar, n = 1 betyder att styvhen inte avtar alls, n = 0 betyder att styvheten är noll i toppen.

(3-3) _topp F_q EI

y = qH ⋅

max

4 _



 





−

⋅ +

− +

⋅ −

= ^{2 3}₄ ³

) 1 ( 6

) ln(

6 11 18

9 2 2 ) 1

( n

n n n n n n

F_q

(3-4) _topp F_P EI

y = PH ⋅

max

3

( ) ^

 





−

⋅

− +

⋅ −

= ² ₃ ²

1

) ln(

2 3 4 2 2 ) 1

( n

n n n n n

F_P

3.2.2.1 Resultat för konsol med kontinuerligt varierande styvhet

Ur Fig. 3.6 kan man utlästa effekterna på den effektiva styvheten för en konsol med kontinuerligt avtagande styvhet.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

1 Effektiv styvhet vs. avtrappning

Grad av avtrappning

Effektiva styvheten

1

0.667 I eq n( ) I max I eP n( )

I max

1

0 n

Fig. 3.5 Modell för beräkning av effektiva

styvheten I_e för konsol med kontinuerligt varierande styvhet och jämntfördelad last.

Fig. 3.6 Effektiva styvheten i konsol med kontinuerligt varierande styvhet för jämntfördelad last Ieq, samt för punktlast i toppen I_eP.

En jämförelse av fall 1, enligt Fig. 3.7, för konsolen med stegvis varierande styvhet och konsolen med kontinuerligt varierande styvhet för n-värdet enligt nedan, visar att det inte är stora

skillnader för på Ie. Fall 1 enligt Fig. 3.4 ger att I_e = 0,935I_max och för n = 0,5 ger Fig. 3.6 att I_eq = 0,892Imax. Här måste observeras att för beräkningen med

kontinuerligt varierande styvhet tappas värdet ∆I på den understa delen som har betydelse för den totala styvheten I_eq. Utförliga beräkningar visas i bilaga 3.2.

3.3 Kopplade skivor

Anledningen till att man använder kopplade skivor eller Coupled Shear Walls (CSW) är för att erhålla goda planlösningar. Inne i en byggnad måste de stora betong skivor som utgör byggnadsstommen förses med t.ex. dörröppningar för att få godtagbara planlösningar. Genom att utnyttja styvheten över dörrhålet fås en samverkan mellan de båda skivdelarna. Dock får man en nedsättning av globala styvheten för den ursprungliga skivan utan hål. Styvheten för CSW- skivor är en kombination av skjuvmoden från ramverkan och böjmoden från skivverkan. Egenskaperna för en CSW bestäms av styvhetsparametrarna α^{H och} µ. Tvärkraftsfördelningen beror enbart på αH. Parametern µ visar effekten av normalkraft på deformationerna i förhållande till ren böjning. För analysen av CSW-skivor med slutna uttryck finns olika teorier och ”knep” för att underlätta beräkningarna. Genom att ersätta kopplingsbalkarna (balken över

dörröppningen) men ett kontinuerligt skjuvmembran, se Fig. 3.8 återförs systemet till ett problem med en statiskt obestämd storhet. Detta ”knep” är troligen först introducerad av Chitty [12] och sedan vidare utvecklad av bland andra Granholm [13]. Problemet kan nu lösas med antingen den så kallade

deformationsmetoden, först beskriven av Beck [1] och vidare utvecklad av Coull [2,3], eller kraftmetoden, först beskriven av Rosman [6]. Resultaten blir givetvis de samma oavsett vilken modell som används men det finns olika fördelar med respektive metod. Deformationsmetoden ger enklare uttryck för beräkning av deformationer och kraftmetoden ger bra uttryck för beräkning av krafter.

Fig. 3.7 Jämförelse av konsol med stegvis varierande styvhet och konsol med kontinuerligt varierande styvhet.

3.3.1 Deformationsmetoden

Deformationsmetoden bygger på att man ersätter kopplingsbalkarna mellan skivorna med ett

kontinuerligt skjuvmembran samt att teckna uttryck för

deformationerna. Resultatet blir slutna uttryck för beräkning av i första hand deformation, men också tvärkraftsfördelning i

kopplingsbalkarna och

normalkraftsfördelning i skivorna.

Det finns olika sätt att härleda uttrycken. En variant finns i [7], där uttryck för utböjningarna på grund av moment och tvärkraft i ingående delar beräknas och används i

differentialekvationen för elastiskalinjen.

3.3.2 Kraftmetoden

Kraftmetoden bygger också på att man ersätter kopplingsbalkarna med ett

kontinuerligt skjuvmembran. Skillnaden är att ett uttryck för momentjämvikt, se Fig. 3.9, vid ett snitt tecknas varefter den inre energin beräknas och minimeras med avseende på normalkraft. En momentjämvikt vid snittet x ges av ekvation (3-5), där M0 är det yttre momentet av den jämntfördelade lasten.

Nltp

M M

M0 = 1 + 2 + ;

2

2 0

M = qx (3-5)

Den inre energin Ui för snittet x beskrivs med ekvation (3-6), där N^′ är tvärkraften i membranet.

( )

S N A N I

Nl M U E

H tp

i

∫









 + +

Σ

⋅ −

=

0

'2 2 2

0

2

1 (3-6)

Fig. 3.8 CSW-skiva med kontinuerligt skjuvmembran.

⇒

Fig. 3.9 Momentjämvikt vid snittet x.

Minimering av den inre energin med avseende på normalkraften ger ekvation (3-7).

'' 0

0  + − =

 



 Σ

− −

∂ =

∂

S N A l N I

Nl M N

Ui tp (3-7)

Ekvation (3-7) är en differentialekvation av andra ordningen som har lösning enligt (3-8).

4 2

2 2

1

cosh 2 sinh

)

( αβ

α α β

α + + +

= x

x C

x C

x

N (3-8)

I ekvation (3-8) betyder konstanterna följande:



 



 +

−

= ₂

1

sinh 2 cosh

1

α α β

α α α

H H H B

C ₂ ²₄

α

− β

=

C











 + Σ

= I

l S A ^tp

2

2 1

α

I S ql_tp

= Σ

β 2

2 1

1 1 1

A A

A= + ΣI=I₁+I₂ ¹² ₃

e be

hb

S = EI b_e =b+0,7h_b

Konstanten S beskriver det kontinuerliga skjuvmembranet där I_be är den effektiva böjstyvheten när både böj- och skjuvdeformation beaktas. Måttet b utökas med 0,7h_b eftersom hänsyn då tas till rotation vid infästningarna av kopplingsbalkarna, enligt [11].

3.3.3 Resultat av kopplade skivor

Ett antal olika intressanta fördelningar på skjuvmembranet i CSW-skivan valdes, se Fig. 3.10a-e. De olika fördelningarnas effekter på den kopplade skivan

studerades för olika värden på parametrarna α^{H (2} ≤ α^H ≤ 5) samt µ⁽µ = 1,1; 1,2; 1,4). Värdet på koordinaten x varierades enligt

x/H = 0 → x/H = 0,5, dvs. från en helt ”ostörd” modell till en som har en störning till halva höjden.

För att kontrollera att modellerna ger rimmliga resultat jämfördes resultaten med handberäkningar som grundar sig både på deformationsmetoden och

kraftmetoden enligt opublicerat manuskript av K. Arvidsson, samt jämförelser med tabellvärden.

S₂ = S₁ Fig. 3.10a

S₂ = 0,5S₁ Fig. 3.10b

S₂ = 0

Fig. 3.10c S₂ = 0 Fig. 3.10d

S₂ = 0,5S₁ Fig. 3.10e

3.3.3.1 Resultat av knäckningssäkerheten

Knäckningssäkerhetens beroende av försvagningar enligt Fig. 3.10c-d syns i Fig. 3.11.

Av resultaten i Fig. 3.11 märks en klar skillnad mellan styvhetsfördelningarna.

En CSW-skiva som är försvagad i överkant är betydligt mer knäckningsbenägen än en som är försvagad i underkant. Båda varianterna av försvagning ger en betydande minskning av knäckningssäkerheten. En försvagning enligt Fig. 3.10c ger som mest en minskning med ∼ 55 % medan försvagningen enligt Fig. 3.10d som mest ger en minskning med ∼ 35 %. Försvagningen i överkant ger dessutom betydligt ”snabbare” inverkan. Redan vid försvagning till x/H = 0,1 för α^{H = 2} har knäckningssäkerheten minskat med ∼ 9 % medan motsvarande värde för försvagning i underkant är ∼ 0,5 %. I diagrammet betyder Pk knäckningslasten för det aktuella αH-värdet och x/H-värdet. P₀ är knäckningslasten för det aktuella αH-värdet och en ”ostörd” struktur, dvs. S₁ = S₂ och x/H = 0,

x/H-värdet anger var försvagningen sker. Ytterligare resultat visas i bilaga 3.4.

Knäckning; m=1,1; styvhet enl.

Fig. 3.10c

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Styvhetsförändring vid x/H Pk/P0

aH2 aH3

aH4 aH5

Knäckning; m=1,1; styvhet enl.

Fig 3.10d

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Styvhetsförändring vid x/H Pk/P0

aH2 aH3

aH4 aH5

Fig. 3.11 Knäckningssäkerhet för styvhetsfördelningar enligt Fig. 3.10c-d.

3.3.3.2 Resultat av normalkraftsfördelningen

Normalkraftsfördelningarna för olika µ-värdena ser likadana ut för samma αH-värden, därför skedde beräkningarna för µ = 1,1 och α^{H = 2-5.}

Normalkraftsfördelningar för försvagningar enligt Fig. 3.10c visas i Fig. 3.12.

Enligt ekvation (3-5) i härledningen av kraftmetoden; M₀ = M₁+ M₂+ Nl_tp är momenten i skivdelarna direkt beroende av normalkraften. En minskning av normalkraften gör att summan M₁ + M₂ ökar med motsvarande del som

momentbidraget av Nl_tp minskar, eftersom det yttre momentet av vindlasten är konstant. Resultaten i Fig. 3.12 visar tydligt betydelsen av styvhetsparametern α^{H. För} αH = 2 och en försvagning till halva höjden minskar normalkraften i botten ∼ 38 % av grundvärdet (serien x = 0,0 H) men motsvarande värde för α^{H = 5 är} ∼ 8 %. Alltså kan en CSW med högre αH-värde återhämta betydligt större del av normalkraften. N_x är normalkraften för ett visst x/H-värde och N₀ är värdet vid x/H = 1. Ytterligare resultat visas i bilaga 3.5.

Normalkraft; m=1,1 & aH=2; styvhet enl. Fig. 3.10c

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Nx/N0

x/H

x=0,0H x=0,1H

x=0,2H x=0,3H

x=0,4H x=0,5H

Normalkraft; m=1,1 & aH=5; styvhet enl. Fig. 3.10c

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 N_x/N₀ x/H

x=0,0H x=0,1H

x=0,2H x=0,3H

x=0,4H x=0,5H

Fig. 3.12 Normalkraftsfördelning för styvhetsfördelning enligt Fig. 3.10c.

3.3.3.3 Resultat av tvärkraftsfördelningen

Även tvärkraftsfördelningen i kopplingsbalkarna ser likadana ut för samma α^H- värden vid olika µ-värden, därför skedde beräkningarna även här för µ = 1,1 och αH = 2-5. Tvärkraftsfördelningar för försvagningar enligt Fig. 3.10c-d visas i Fig. 3.13.

Tvärkraftsfördelningarna i kopplingsbalkarna för försvagningar med S₂ =0 i överkant och underkant visar att ökningen av maxvärdet är betydligt större för försvagning i överkant. Maximala ökningen av tvärkraft för försvagning i överkant är ∼ 85 %, motsvarande värde för försvagning i underkant är ∼ 30 %.

T_x är tvärkraften för ett visst x/H-värde och T₀ är värdet vid x/H = 1. Ytterligare resultat visas i bilaga 3.6.

Tvärkraft; m=1,1 & aH=5; styvhet enl. Fig. 3.10c

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 Tx/T0

x/H

x=0,0H x=0,1H x=0,2H

x=0,3H x=0,4H x=0,5H

Tvärkraft; m=1,1 & aH=5; styvhet enl. Fig. 3.10d

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 T_x/T₀ x/H

x=0,0H x=0,1H

x=0,2H x=0,3H

x=0,4H x=0,5H

Fig. 3.13 Tvärkraftsfördelning för styvhetsfördelningar enligt Fig. 3.10c-d.

3.4 Slutsatser och kommentarer

3.4.1 Homogena skivor

Resultaten från studien av homogena skivor med stegvis varierande styvhet och kontinuerligt varierande styvhet visar att en god approximation för den

ekvivalenta styvheten är I_e ≈ ^{0,9 I}max, där I_max är värdet i botten av skivan. Detta gäller för normala byggnader där stabiliserande skivors tjocklek avtrappas mot toppen, vanligen i tredjedelspunkterna. Då är det den understa biten som är avgörande för skivans totala styvhet, vilket visas i bilaga 3.3 genom en

energibetraktelse av en konsol. I bilaga 3.3 framgår det att cirka 87 % av den totala energin i en konsol med jämtfördelad last finns i den understa tredjedelen.

En jämförelse mellan en skiva med stegvis varierande styvhet och en skiva med kontinuerligt varierande styvhet visar att det approximativa värdet på I_e är tillämpligt i praktisk dimensionering.

3.4.2 Kopplade skivor

Från resultaten går det generellt att säga att en försvagning i överkant på en CSW-skiva leder till störst påkänningar. Skivan blir mer knäckningsbenägen än motsvarande försvagning i underkant, normalkraftsfördelningen ändras så att det blir större moment i skivdelarna än för motsvarande försvagning i underkant, dock gäller det för låga αH-värden, se bilaga 3.5, och även tvärkraften i kopplingsbalkarna ökar mer än för motsvarande försvagning i underkant.

Normalkraftsfördelningen ”återhämtar” sig dock mer i botten för höga α^H- värden vid försvagning i överkant än för motvarande försvagning i underkant.

Genom att beräkna ett flertal varianter erhölls en indikation på vilka fall som är intressanta att analysera vidare i kapitel 4; Samverkan, homogena skivor och kopplade skivor.

4 Samverkan mellan homogena skivor och kopplade skivor

4.1 Allmänt

Nästa steg i analysen av stommar med språngvisa förändringar av styvheter är att koppla samman homogena skivor och kopplade skivor. Genom att utnyttja resultaten från kapitel 3 valdes ett antal olika styvhetsfördelningar för

kopplingsbalkarna i CSW-skivan och den homogena skivans styvheter, se Fig. 4.1a-c. Analysen inriktade sig på att kontrollera hur styvhetsförändringarna påverkar:

1. Inspänningsmomenten 2. Knäckningssäkerheten

3. Normalkraftsfördelningen i CSW-skivan

4. Tvärkraftsfördelningen i kopplingsbalkarna i CSW-skivan

Ett system med homogena skivor och kopplade skivor grundar sig på teorin för en ”ren” CSW-skiva i kapitel 3, detta finns analyserat ibland annat [4,5,10].

Systemet är egentligen en CSW-skiva med omfördelade styvheter på tre stycken skivor, där två av skivorna är samanbundna med kopplingsbalkar. Parametrarna i Fig. 4.1b-c valdes till β^{= 0,5,} λ⁼ 0,6 och styvhetsparametrarna för CSW- skivan ovan sattes till α^{H = 3 och} µ⁼ 1,2. Det är alltså parametern κ som styr styvheten på den översta biten på den homogena skivan som kommer att

Fig. 4.1a

Variationer av styvhetsfördelningar för analys av samverkan mellan homogena skivor och kopplade skivor.

Fig. 4.1b Fig. 4.1c

varieras i respektive styvhetsfördelning. De ledade kopplingsbalkarna mellan CSW-skivan och den homogena skivan antas ha så stor axialstyvhet att den horisontella utböjningen för blir den samma för den homogena skivan och CSW-skivan. Skivan verkar då som en konsol där deformationen bestäms av momentet i skivan, medan deformationen i CSW- skivan styrs av graden av samverkan mellan delskivorna, som direkt beror av vilken axialkraft som

erhålls. Styvheten för den homogena skivan valdes så att den blir jämnstyv med CSW-skivan enligt bilaga 4.1. Punkt 1 och 3-4 studerades genom ett

belastningsfall enligt Fig. 4.2 med beräkningsprogrammet Ramanalys. Punkt 2 studerades genom ett belastningsfall enligt Fig. 4.3 med beräkningsprogrammet PC-frame. Beräkningarna utfördes på en diskret rammodell om tio våningar enligt Fig. 4.4.

Fig. 4.2 Vindlast för beräkning av punkt 1 och 3-5.

Fig. 4.3 Vertikallast för

beräkning av punkt 2. Fig. 4.4 Diskret rammodell.

4.2 Kontroll av modellen

För att kontrollera att den diskreta

rammodellen ger rimmliga resultat jämfördes inspänningsmomenten,

tvärkraftsfördelningarna i de vertikala skivorna och i kopplingsbalkarna i CSW-skivan med med en modell enligt Fig. 4.5. Eftersom systemet med en homogen skiva och en CSW- skiva teoretiskt är samma sak som en CSW- skiva med omfördelade styvheter kan

resultaten verifieras. Tvärkraftsfördelningarna och inspänningsmomenten ska då vara lika för de båda systemen. Styvheterna i de vertikala skivorna är omfördelade enligt ekvation (4-1).

21 11 3 2

1 I I I I

I + + = + (4-1)

Fig. 4.5 Modell för kontroll av resultaten.

Tvärkraft i kopplingsbalkarna 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

T_x/T₀ x/H

System 1 System 2

Tvärkraft i vertikala skivorna 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

T_x/T₀ x/H

System 1 System 2

Inspänningsmoment

M11 M21 Summa M1 M2 M3 Summa Kvot

169,74 169,74 339,48 243,56 47,38 47,77 338,71 1,00

Fig. 4.6 Jämförelse av tvärkraftsfördelningar i kopplingsbalkar, vertikala skivor och inspänningsmoment för system 1 och system 2.

I Fig. 4.6 visar serien System 1 resultatet från samverkanssystemet med en homogen skiva och en CSW-skiva och serien System 2 resultatet från den ensamma CSW-skivan. Av resultaten från jämförelsen syns det tydligt att det är mycket små avvikelser mellan systemen, vilket verifierar att de två systemen är kompatibla samt att modellen fungerar eller med andra ord, 10 våningar i

rammodellen är en tillräckligt tät delning.

4.3 Resultat

4.3.1 Resultat av inspänningsmomenten

Fördelningen av inspänningsmomenten mellan den homogena skivan och CSW- skivan är i stort sett opåverkad av försvagningen i den homogena skivan.

Inspänningsmomenten i Fig. 4.7 baseras på styvhetsfördelningar enligt Fig. 4.1b-c. I Fig. 4.7 representerar M inspänningsmomentet i den homogena skivan (M₃) och inspänningsmomntet i CSW-skivan (M_csw) för respektiva serie.

M₀ är det totala inspänningsmomentet av den jämtfördelade lasten, vindlasten.

Inspänningsmoment; styvhet enl.

Fig. 4.1b

0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

0,3 0,5

0,7 0,9

k k k k M/M₀

Homogenskiva CSW

Inspänningsmoment; styvhet enl.

Fig. 4.1c

0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

0,3 0,5

0,7 0,9

k M/M₀

Homogenskiva CSW

Fig. 4.7 Inspänningsmoment i homogena skivan och CSW-skivan.

4.3.2 Resultat av knäckningssäkerheten

I Fig. 4.8 betyder P_k knäckningslasten för den aktuella styvhetesfördelningen och κ-värdet. För serierna (styvhet enl. Fig. 4.1b) och (styvhet enl. Fig. 4.1c) betyder P₀ knäckningslasten för den aktuella styvhetsfördelningen då κ^{= 1. I} serierna (styvhet enl. Fig. 4.1b vs. grundvärde) och (styvhet enl. Fig. 4.1c vs.

grundvärde) betyder P₀ knäckningslasten för styvhetsfördelningen enligt Fig. 4.1a då κ⁼ 1. Alltså går det att utläsa ur figurerna betydelsen av

försvagningen för systemet i sig samt hur försvagad systemet är jämfört med

”grundvärdet” för stystemet enligt Fig. 4.1a.

Resultaten här visar på samma effekter som visades i kapitel 3, nämligen att systemen är betydligt mer knäckningsbenägna då försvagningarna sker i toppen.

Jämfört med grund värdet från Fig. 4.1a sjunker knäckningssäkerheten för styvheten enligt

Fig. 4.1b med ~ 38 % motsvarande värde för försvagning i botten är ~ 13 %.

Knäckning; styvhet enl. Fig. 4.1b

0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

k kk k P_k/P₀

Styvhet enl. Fig. 4.1b

Styvhet enl. Fig. 4.1b vs. grundvärde

Knäckning; styvhet enl. Fig. 4.1c

0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

k k k k P_k/P₀

Styvhet enl. Fig. 4.1c

Styvhet enl. Fig. 4.1c vs. grundvärde

Fig. 4.8 Knäckningssäkerhet för styvhetsfördelningar enlig Fig. 4.1b-c.

4.3.3 Resultat av normalkraftsfördelning i CSW- skivan

I likhet med resultaten i kapitel 3 påverkas normalkraftsfördelningen, se Fig. 4.9, mest av försvagningar i överkant vilket enligt ekvation (3-5) gör att momenten i CSW-skivan ökar. Studeras Fig. 4.7 syns ingen ökning av

inspänningsmomenten i CSW-skivan. Men momentbidraget i serien CSW består av M₁+ M₂+ Nl_tp= M_csw, dvs. summan ökar totalt inte, dock ökar delsumman M₁+ M₂ då bidraget av Nl_tp minskar. Av resultaten i Fig. 4.9 går det att utläsa att normalkraftsfördelningen i CSW-skivan inte påverkas nämnvärt då den

homogena skivan försvagas, det är styvhetsfördelningen i CSW-skivan själv som påverkar mest. Dock har inte olika αH-värden för CSW-skivan

kontrollerats. I kapitel 3 visade det sig att för högre αH-värden kunde CSWskivan återhämta mer av normalkraften.

I Fig. 4.9 betyder N_x normalkraften för ett visst x/H-värde och N₀ är värdet vid x/H = 1 och κ⁼ 1 för styvhetsfördelning enligt Fig. 4.1a.

Normalkraft i CSW-skiva; styvhet enl.

Fig. 4.1b 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 N_x/N₀ x/H

k=1 k=0,5

k=0,3 Grundserie

Normalkraft i CSW-skiva; styvhet enl.

Fig. 4.1c 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 N_x/N₀ x/H

k=1 k=0,5

k=0,3 Grundserie

Fig. 4.9 Normalkraftsfördelning för styvhetsfördelning enligt Fig. 4.1b-c.

4.3.4 Resultat av tvärkraftsfördelning i CSW-skivan

Tvärkraften i kopplingsbalkarna i CSW-skivan påverkas betydligt mer av försvagningen i överkant enligt Fig. 4.10, i likhet med kapitel 3. På samma sätt som för normalkraftsfördelningen påverkas inte fördelningen nämnvärt av försvagningarna i den homogena skivan, däremot är det styvhetsfördelningen i kopplingsbalkarna i CSW-skivan själv som påverkar mest. En försvagning enligt Fig. 4.1b ger en ökning av maximala tvärkraften med ~ 55 %. Motsvarande värde för en försvagning enligt Fig. 4.1c är ~ 22 %.

I Fig. 4.10 betyder T_x tvärkraften för ett visst x/H-värde och T₀ är värdet vid x/H = 1 och κ⁼ 1 för styvhets-fördelning enligt Fig. 4.1a.

4.4 Slutsatser och kommentarer

Även vid samverkanssystem med homogena skivor och kopplade skivor ger styvhetsförändringarna i kopplingsbalkarna i all väsentlighet likartade

förändringar för axialkraft i skivdelarna i den kopplade skivan och tvärkraft i kopplingsbalkarna som för fallet med bara en kopplad skiva. Det vill säga systemet är känsligast för försvagningar i överkant. Den homogena skivans inverkan kan sägas vara att det effektiva αH-värdet minskar för den kopplade skivan.

Tvärkraft i CSW-skivan; styvhet enl. Fig. 4.1b

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 T_x/T₀ x/H

k=1 k=0,5

k=0,3 Grundserie

Tvärkraft i CSW-skivan; styvhet enl. Fig. 4.1c

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 Tx/T0

x/H

k=1 k=0,5

k=0,3 Grundserie

Fig. 4.10 Tvärkraftsfördelning i kopplingsbalkarna i CSW-skivan för styvhetsfördelning enligt Fig. 4.1b-c.

5 Verklig byggnad

5.1 Allmänt

Den sista strukturen som analyserades var en modell av en verklig byggnad med bärande stomme helt i betong. Målet var att beräkna och analysera uppträdande lokala och globala effekter i stommen och dessutom försöka minska

påkänningarna i bjälklagen genom olika metoder. Fyra olika metoder användes.

1. Stegvisa förändringar av styvheterna i ökat antal steg.

2. Deformerbara bjälklag användes i modellen.

3. Bjälklagen tilläts att plastiseras.

4. Punkt 2 och 3 kombinerades.

För att studera lokala och globala effekter användes en 3D-modell av byggnaden som analyserades genom beräknigs programmet Rymdknäckning. Även

inverkan av stegvisa förändringar av styvheterna beräknades genom Rymdknäckning. Effekterna av deformerbara och plastiska bjälklag samt kombinationen av dessa analyserades genom en plan modell. 3D-modellen transformerades då till en 2D-modell som analyserades med programmet PC- frame. Genom att använda 2D-modellen i Rymdknäckning erhölls också en kontroll av att modellerna fungerar genom att jämföra resultaten. För analysen av den plana modellen (2D-modellen) användes både verkliga och teoretiska inspänningsförhållanden för ramarna, d.v.s. hjärtväggarna.

5.1.1 Beskrivning av byggnaden

Byggnaden som har analyserats har 30 våningar, vilket motsvarar en höjd av 92 m, och har en bärande stomme helt i betong. Bjälklagen har mycket stor styvhet vilket medför att även små deformationer ger stora påkänningar. Den har fyra stycken CSW skivor, en i vardera gaveln, som går oavkortat från botten till toppen. Inuti byggnaden finns fyra stycken bärande väggar, s.k. hjärtväggar.

Dessa väggar sträcker sig till olika höjd i byggnaden, vilka behandlas som ramar i analysen. Upp till våning 14 sträcker sig alla fyra, mellan våning 15-22

fortsätter två av väggarna och mellan våning 23-30 finns ingen hjärtvägg, se Fig. 5.1. Skiva 1, 3, 5 och 7 är CSW skivor och övriga är hjärtväggar.

Belastningar som har använts i beräkningarna är byggnadens egentyngd samt en vindlast q.

5.2 Transformeringar, förenklingar och kontroller

5.2.1 Verklig byggnad ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 3D-modell

Dimensionerna på CSW-skivorna och hjärtväggarna var givna. Men för att kunna använda programmet Rymdknäckning måste de verkliga strukturerna för CSW-skivorna och hjärtväggarna transformeras till ekvivalenta homogena skivor, se bilaga 5.1. Förenklingar som gjorts är att votverkan i hjärtväggen har

Fig. 5.1 Plan över byggnaden samt symbolisk bild över de bärande elementen.

försummats, dvs. elementen har setts som raka rektangulära, se Fig. 5.2.

Dessutom har det antagits att ramarna (hjärtväggarna) har inflexionspunkter på halva vånings höjden, se Fig. 5.2. För att den ekvivalenta skjuvarean för skivan som ersätter hjärtväggen i Rymdknäckning skulle kunna beräknas användes programmet Ramanalys, se bilaga 5.1. Eftersom dimensionerna på ramdelarna varierar i höjdled, det är grövre dimensioner mot botten i huset och klenare mot toppen, så valdes en ”normalvåning” som får representera hela byggnaden.

5.2.2 3D-modell ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ plan 2D-modell

För att kontrollera effekterna av

deformerbara och plastiska bjälklag samt kombinationen av dessa måste

3D-modellen transformeras till en plan 2D-modell. 3D-modellen som har används i programmet Rymdknäckning förenklas till en plan modell genom att hjärtväggarna flyttas så deras tyngdpunkslinjer korsar strukturens tyngdpunkt, se Fig. 5.3.

Indatan till PC-frame korrigerades för att ta hänsyn till skjuvdeformationer,

se bilaga 5.2.

Fig. 5.2 Normalvåningen i hjärtväggen transformeras till en ekvivalent skiva.

Fig. 5.3 Plan modell

5.2.3 Kontroll av förenklingar och resultat

Då 2D-modellen analyserades räknade både Rymdknäckning och PC-frame på en struktur som har samma egenskaper. Därmed kunde modellen kontrolleras att den fungerar genom att jämföra resultaten. Jämförelsen gjordes både för den globala effekten utböjning och den lokala effekten för tvärkrafterna.

Tvärkrafterna i CSW-skivan och hjärtväggarna har jämförts för både de verkliga inspänningsförhållandena och de teoretiska, se Fig. 5.4. Det som avses med teoretiska inspänningsförhållandena är den inspänning som en diskretmodell med oändligt många punkter har. Den verkliga däremot visar

inspänningsförhållandena som den analyserade strukturen har, se Fig. 5.5.

d [m] Teoretiskinspänning Verkliginspänning PC-frame 0,241684 0,236963

Rymdknäckning 0,258555 0,253402

Skillnad i procent 6,98 % 6,94 % Tvärkrafter i CSW

-1000 1000 3000 5000 7000 9000

30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Våning

kN

PC-frame (Teoretisk) Rymdknäckning (Teoretisk)

Tvärkrafter i skiva 8 (hjärtvägg 22vån)

0 1000 2000 3000 4000

30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Våning

kN

PC-frame (Verklig) Rymdknäckning (Verklig)

Fig. 5.4 Jämförelse av topputböjning och tvärkrafter mellan PC-frame och Rymdknäckning.