FUNKCE - Rozcvičky a aktivizující činnosti na SŠ a gymnáziu

FUNKCE - Rozcvičky a aktivizující činnosti na SŠ a gymnáziu

Diplomová práce

Studijní program: N1101 – Matematika

Studijní obory: 7503T009 – Učitelství anglického jazyka pro 2. stupeň základní školy

7504T089 – Učitelství matematiky pro střední školy Autor práce: Bc. Martina Chlumská

Vedoucí práce: doc. PaedDr. Jaroslav Perný, Ph.D.

Prohlášení

Byla jsem seznámena s tím, že na mou diplomovou práci se plně vzta- huje zákon č. 121/2000 Sb., o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.

Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé diplomové práce pro vnitřní potřebu TUL.

Užiji-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědoma povinnosti informovat o této skutečnosti TUL; v tom- to případě má TUL právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.

Diplomovou práci jsem vypracovala samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím mé diplomové práce a konzultantem.

Současně čestně prohlašuji, že tištěná verze práce se shoduje s elek- tronickou verzí, vloženou do IS STAG.

Datum:

Podpis:

Podˇ ekov´ an´ı

Na tomto m´ıstˇe dˇekuji doc. PaeDr. Jaroslavu Pern´emu, Ph.D. za odborn´e veden´ı, vstˇr´ıcn´y postoj, cenn´e rady a ˇcas, kter´y mi pˇri psan´ı t´eto diplomov´e pr´ace vˇenoval.

D´ale dˇekuji vˇsem uˇcitel˚um, kteˇr´ı byli ochotn´ı z´uˇcastnit se v´yzkumn´eho ˇsetˇren´ı.

A pˇredevˇs´ım dˇekuji Mgr. Janˇe Vaˇnkov´e za ochotu, rady, pˇripom´ınky, pozitivn´ı pˇr´ıstup a ˇcas, kter´y vˇenovala mˇe i m´e sb´ırce.

V neposledn´ı ˇradˇe dˇekuji m´e rodinˇe a m´emu okol´ı za trpˇelivost a podporu, kterou mi poskytovali.

Anotace

Tato diplomov´a pr´ace se zab´yv´a matematick´ymi rozcviˇckami a dalˇs´ımi akti- vizaˇcn´ımi metodami ve v´yuce funkc´ı na stˇredn´ıch ˇskol´ach a v´ıcelet´ych gymn´azi´ıch.

Je rozdˇelena do dvou ˇc´ast´ı – teoretick´e a prakticko–v´yzkumn´e. V teoretick´e ˇc´asti je shrnuta teorie funkc´ı a aktivizaˇcn´ıch metod, je zde tak´e nast´ınˇeno, jak mohou uˇcitel´e ˇz´aky v hodin´ach matematiky motivovat a jak mohou zlepˇsovat jejich po- stoj k matematice. D´ale byla pro potˇreby uˇcitel˚u vytvoˇrena sb´ırka matematick´ych rozcviˇcek a aktivit, jeˇz je souˇc´ast´ı t´eto pr´ace. V prakticko–v´yzkumn´e ˇc´asti jsou uvedeny uk´azky z t´eto sb´ırky vˇcetnˇe n´avod˚u a postˇreh˚u z praxe. Tato ˇc´ast je tak´e vˇenov´ana v´yzkumn´emu ˇsetˇren´ı, jeˇz bylo provedeno mezi uˇciteli a studenty stˇredn´ıch ˇskol. Jeho c´ılem bylo zjistit, jak´y vztah k matematice maj´ı souˇcasn´ı stˇredoˇskolˇst´ı studenti, zda a jak ˇcasto jsou v hodin´ach matematiky pouˇz´ıv´any didaktick´e hry a dalˇs´ı aktivizaˇcn´ı metody, a jestli uˇz´ıv´an´ı tˇechto prostˇredk˚u ovlivˇnuje vztah student˚u k matematice.

Kl´ıˇcov´e pojmy

Matematick´a rozcviˇcka, didaktick´a hra, aktivizaˇcn´ı metoda, aktivizace, moti- vace, funkce.

Annotation

This master thesis deals with mathematical warm-up activities and other acti- vating methods in teaching functions at secondary schools and grammar schools.

It is divided into two parts – a theoretical one and a practical-researching one.

The theoretical part summarizes the theory of functions and activating methods, it is sketched here how the teachers can motivate their pupils during math lessons and how they can improve their attitude to mathematics. Further the collection of math warm-ups and activities was created because it can be useful for math teachers. This collection is attached to this thesis. Illustrating examples from this collection supplemented by instructions and reflections from practice can be found in the practical-researching part. This section contents either researching inves- tigation which was made among the teachers and students at secondary schools and a grammar school. Its aim was to find out what is the temporary secondary schools students’ relation to mathematics. It is important to discover if and how often didactic games and other activating methods are used in math lessons and if using of them influences the students’ attitude to mathematics.

Key words

Math warm-up activity, didactic game, activating method, activating, moti- vation, function.

Obsah

UVOD´ 9

TEORETICK ´A ˇC ´AST I 10

1 Historick´y ´uvod 10

2 Funkce v RVP 12

2.1 RVP ZV . . . 12

2.2 RVP pro gymn´azia . . . 13

3 Funkce a funkˇcn´ı myˇslen´ı ve ˇskole 14 4 Z´akladn´ı pojmy a vlastnosti funkc´ı 15 4.1 Funkce a jej´ı graf, definiˇcn´ı obor, obor hodnot . . . 15

4.2 Prost´a funkce . . . 15

4.3 Monotonie funkce . . . 15

4.4 Funkce sud´a a lich´a . . . 16

4.5 Omezen´a funkce, maximum a minimum . . . 17

4.6 Periodick´a funkce . . . 17

4.7 Z´akladn´ı operace s funkcemi . . . 18

4.8 Inverzn´ı funkce . . . 18

4.9 Sloˇzen´a funkce . . . 18

5 Druhy funkc´ı 19 5.1 Line´arn´ı funkce . . . 19

5.2 Kvadratick´a funkce . . . 20

5.3 Funkce absolutn´ı hodnota . . . 20

5.4 Line´arn´ı lomen´a funkce . . . 23

5.5 Mocninn´a funkce . . . 24

5.6 Exponenci´aln´ı funkce . . . 25

5.7 Logaritmick´a funkce . . . 26

5.8 Funkce signum . . . 27

5.9 Goniometrick´e funkce . . . 27 6 Propojen´ı funkc´ı s dalˇs´ımi oblastmi matematiky 30

TEORETICK ´A ˇC ´AST II 31

7 Motivace ˇz´ak˚u v hodinˇe matematiky 31

8 Aktivizaˇcn´ı metody ve v´yuce matematiky 34

8.1 Vymezen´ı aktivizaˇcn´ıch metod a jejich klasifikace . . . 35 8.2 V´yznam aktivizaˇcn´ıch metod ve v´yuce . . . 37 8.3 Volba vhodn´e metody . . . 37

9 Didaktick´a hra 39

9.1 Klasifikace didaktick´ych her . . . 39 9.2 Didaktick´a hra v matematice . . . 41 9.3 Vyhodnocov´an´ı her . . . 42

PRAKTICKO–V ´YZKUMN ´A ˇC ´AST 43

10 Funkce - sb´ırka rozcviˇcek, her a aktivit 43

10.1 Matematick´e rozcviˇcky . . . 43 10.2 Delˇs´ı hry a aktivity . . . 50

11 V´yzkumn´e ˇsetˇren´ı na SˇS 63

11.1 V´yzkum mezi uˇciteli . . . 63 11.2 V´yzkum mezi studenty . . . 72

Z ´AVˇER 86

Literatura 87

A P ˇR´ILOHA - dotazn´ıky - gymn´azium 90

B P ˇR´ILOHA - dotazn´ıky - stˇredn´ı ˇskola 93

UVOD ´

Matematika patˇr´ı mezi nejm´enˇe obl´ıben´e a nejv´ıce ob´avan´e pˇredmˇety. Pro mnoho student˚u je velmi obt´ıˇzn´a, a pokud bˇehem hodin matematiky opakovanˇe proˇz´ıvaj´ı ne´uspˇech, pak je pro nˇe tˇeˇzk´e hledat motivaci k uˇcen´ı. Proto je na uˇciteli, aby hledal cesty, jak ˇz´ak˚um pomoci matematice porozumˇet, upoutat jejich pozornost, uk´azat jim, ˇze ch´apat matematiku je d˚uleˇzit´e a ˇz´adouc´ı pro ˇzivot a nen´ı tˇreba z n´ı m´ıt strach. Jednou z tˇechto cest je uˇcit matematiku jinak neˇz bylo (a dnes st´ale je) obvykl´e.

Aˇckoli dˇr´ıve byl d˚uraz kladen na kvantitu znalost´ı a vˇedomost´ı, postupem ˇcasu se poˇzadavky zmˇenily a dnes je od ˇskoly oˇcek´av´ano, ˇze ˇz´aky a studenty efektivnˇe pˇriprav´ı na ˇzivot – tedy bude rozv´ıjet jejich potenci´al a kreativitu, povede je k samostatn´emu, aktivn´ımu myˇslen´ı a sebehodnocen´ı a vychov´a z nich zodpovˇedn´e jedince. Aktivizaˇcn´ı metody a didaktick´e hry na vˇsechny tyto oblasti p˚usob´ı a pˇri spr´avn´em zaˇrazen´ı do v´yuky je rozv´ıj´ı.

Bohuˇzel vyuˇz´ıv´an´ı her a jin´ych aktivizaˇcn´ıch metod klade vysok´e n´aroky na uˇcitele – pˇr´ıprava a realizace takov´ych hodin vyˇzaduje mnohem v´ıce ˇcasu, energie, organizaˇcn´ıch schopnost´ı i zkuˇsenost´ı. Pr´avˇe toto je d˚uvod naps´an´ı t´eto pr´ace, aby podpoˇrila uˇcitele pˇri zav´adˇen´ı aktivizaˇcn´ıch metod a her do v´yuky a z´aroveˇn eliminovala ˇcasovou a materi´aln´ı n´aroˇcnost jejich pˇr´ıpravy na minimum. Jako t´ema pro tuto pr´aci byla zvolena oblast Funkce, a to pˇredevˇs´ım proto, ˇze se jedn´a o kapitolu pro studenty obt´ıˇznou, velmi rozs´ahlou a rozmanitou a nav´ıc ´uzce spjatou s re´aln´ym ˇzivotem – vˇs´ım t´ım pˇr´ımo vyb´ız´ı k zaˇrazov´an´ı aktivizaˇcn´ıch metod a her do hodin.

Hlavn´ım c´ılem t´eto pr´ace je tedy poskytnout stˇredoˇskolsk´ym uˇcitel˚um n´apady i materi´aly pro v´yuku funkc´ı a motivovat je k ˇcastˇejˇs´ımu zaˇrazov´an´ı aktivizaˇcn´ıch metod a didaktick´ych her do hodin matematiky.

Text diplomov´e pr´ace bude rozdˇelen do dvou ˇc´ast´ı. Prvn´ı, teoretick´a, ˇc´ast bude vˇenov´ana teorii funkc´ı a teorii aktivizaˇcn´ıch metod a zvl´aˇstˇe didaktick´ych her. Ve druh´e, prakticko-v´yzkumn´e ˇc´ast, bude vytvoˇrena Sb´ırka matematick´ych rozcviˇcek a aktivit pro v´yuku funkc´ı na stˇredn´ıch ˇskol´ach a v´ıcelet´ych gymn´azi´ıch, nˇekter´e hry budou rozebr´any i v textu diplomov´e pr´ace. D´ale bude provedeno v´yzkumn´e ˇsetˇren´ı mezi uˇciteli a studenty stˇredn´ıch ˇskol, jeˇz bude zamˇeˇren´e na vyuˇz´ıv´an´ı aktivizaˇcn´ıch metod a didaktick´ych her v hodin´ach matematiky a na postoj student˚u k matematice obecnˇe. Bude zjiˇst’ov´ano, zda zaˇrazov´an´ı vhodn´ych aktivizaˇcn´ıch metod a didaktick´ych her do v´yuky pozitivnˇe ovlivˇnuje motivaci student˚u a jejich vztah k matematice.

TEORETICK ´ A ˇ C ´ AST I 1 Historick´ y ´ uvod

Pro spr´avnou pˇredstavu o v´yvoji funkˇcn´ıho myˇslen´ı u ˇz´ak˚u, je vhodn´e zn´at historick´y v´yvoj pojmu funkce, protoˇze ontogeneze funkˇcn´ıho myˇslen´ı tento his- torick´y v´yvoj do jist´e m´ıry kop´ıruje. V tomto kr´atk´em shrnut´ı vych´az´ıme z knih Te´oria vyuˇcovania matematiky (M. Hejn´y, 1988 [10]) a Didaktika matematiky (J. Pol´ak, 2014 [28]).

Pˇredstavy o kvantitativn´ı z´avislosti jev˚u v pˇr´ırodˇe mˇeli lid´e od nepamˇeti - napˇr.: ˇc´ım vˇetˇs´ı oheˇn, t´ım v´ıc tepla. Myˇslenka funkˇcn´ı z´avislosti mezi ˇc´ısly a ob- jekty ale m´a sv´e koˇreny aˇz u uˇcenc˚u starovˇeku. Z t´eto doby tak´e poch´az´ı prvn´ı dochovan´e matematick´e vyj´adˇren´ı z´avislosti, to nach´az´ıme v babylonsk´ych ta- bulk´ach a daˇnov´ych pˇredpisech. Tyto intuitivn´ı pˇredstavy se postupnˇe zaˇcaly prohlubovat a systematicky popisovat. Prvn´ı v´yznamn´y model funkˇcn´ı z´avislosti poskytovala lidem nebesk´a klenba - dlouhodob´e pozorov´an´ı a z´aznamy pohyb˚u hvˇezd umoˇznily pˇredpov´ıdat pohyby planet i dalˇs´ı m´enˇe ˇcast´e astronomick´e ´ukazy, jako zatmˇen´ı Slunce. Funkˇcn´ı myˇslen´ı dosahuje prvn´ıho vrcholu - na ´urovni pri- mitivn´ıch pˇredstav. V t´e dobˇe byly uvaˇzov´any pouze rovnomˇern´e pohyby a kon- stantn´ı veliˇciny.

Ve stˇredovˇeku se arabˇst´ı matematici zab´yvali geometrick´ymi veliˇcinami a vztahy mezi nimi. Zat´ımco do t´eto chv´ıle byly objektem z´ajmu konkr´etn´ı kˇrivky, Al-Biruni zaˇc´ın´a kˇrivku studovat obecnˇeji, napˇr´ıklad hled´a jej´ı extr´emy. V Ev- ropˇe se projevuje nov´y scholastick´y pohled na svˇet, matematici a filozofov´e snaˇz´ı nav´azat na Aristotelovo d´ılo a pˇrich´az´ı s ot´azkou funkˇcn´ı z´avislosti jako filosoficko-matematick´ym probl´emem, snaˇz´ı se zkoumat a geometricky modelovat rovnomˇern´y a rovnomˇernˇe zrychlen´y pohyb, analyzovat nekoneˇcn´e ˇrady a poprv´e se mluv´ı o z´avislosti veliˇcin.

Teprve v novovˇeku je definov´an pojem funkce a tato definice se postupnˇe zpˇresˇnuje aˇz do t´e podoby, kterou zn´ame my. Jsou pops´any a formulov´any pohy- bov´e z´akony a dalˇs´ı z´avislosti v astronomii. Ren´e Descartes poprv´e pouˇz´ıv´a ˇc´ıseln´e vyj´adˇren´ı polohy bod˚u v rovinˇe (souˇradn´y syst´em) a metody algebry k ˇreˇsen´ı ge- ometrick´ych probl´em˚u v rovinˇe - modelov´an´ı spojit´ych jev˚u bylo do t´eto chv´ıle omezeno jen na geometrick´y jazyk, ted’ lze kˇrivku zapsat i algebraicky pomoc´ı rovnice. Descartes tak´e vyˇsetˇruje rovinn´e kˇrivky. Term´ın funkce jako prvn´ı zavedl nˇemeck´y matematik Gottfried Leibniz, n´azev poch´az´ı z latinsk´eho slova functio

= vykon´av´an´ı, fungov´an´ı. Leibnitzovo pojet´ı je ale ˇcistˇe geometrick´e a dneˇsn´ımu pojet´ı velmi vzd´alen´e. V 18. stolet´ı Johann Bernoulli definuje funkci analyticky jako promˇennou veliˇcinu. Euler zobecˇnuje definici funkce a ˇr´ık´a, ˇze funkce je promˇenn´a veliˇcina z´avisl´a na dan´ych promˇenn´ych veliˇcin´ach a funkce se st´av´a

´

ustˇredn´ım pojmem matematick´e anal´yzy. Teprve v 19. stolet´ı se pojem funkce zobecˇnuje na libovoln´e zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B a postupnˇe se vyv´ıj´ı i symbolick´e znaˇcen´ı.

V ˇcesk´ych stˇredoˇskolsk´ych uˇcebnic´ıch matematiky se pojem funkce obje- vuje poprv´e v roce 1863. Ale ˇcastˇeji se s funkcemi v uˇcebnic´ıch setk´av´ame aˇz

ve 20. stolet´ı, kdy byl v tzv. Meransk´em programu pod veden´ım nˇemeck´eho univerzitn´ıho profesora Felixe Kleina vypracov´an reformn´ı n´avrh na ´upravu stˇredoˇskolsk´eho vzdˇel´av´an´ı v matematice. Je v nˇem zd˚urazˇnov´an v´yznam mate- matick´eho vzdˇel´an´ı jako prostˇredku pro rozvoj rozumov´ych schopnost´ı a logick´eho myˇslen´ı. Za z´akladn´ı c´ıle se povaˇzuje vytv´aˇret n´avyky funkˇcn´ıho myˇslen´ı, rozv´ıjet prostorovou pˇredstavivost a rozv´ıjet schopnost matematicky myslet pˇri ˇreˇsen´ı

´

uloh a probl´em˚u. Jednota ˇcesk´ych mathematik˚u povˇeˇrila Bohumila Bydˇzovsk´eho a Jana Vojtˇecha seps´an´ım uˇcebnic stˇredoˇskolsk´e matematiky, jeˇz by respektovaly myˇslenky Meransk´eho programu.

2 Funkce v RVP

2.1 RVP ZV

Funkˇcn´ı myˇslen´ı jedince se vyv´ıj´ı od ran´eho dˇetstv´ı, tedy mnohem dˇr´ıv neˇz je v 9. tˇr´ıdˇe form´alnˇe zaveden pojem funkce. Jiˇz v pˇredˇskoln´ım vˇeku se dˇeti setk´avaj´ı s konkr´etn´ımi pˇr´ıklady z´avislost´ı a pˇr´ıˇcinnost´ı jev˚u. Na prvn´ım stupni zaˇc´ınaj´ı pracovat s tabulkami z´avislost´ı, pˇripravuj´ı se na vyn´aˇsen´ı bod˚u do souˇradn´eho syst´emu a z´avislosti zakresluj´ı pomoc´ı sch´emat, graf˚u a diagram˚u. Toto obdob´ı m´a na vznik a v´yvoj funkˇcn´ıho myˇslen´ı z´asadn´ı vliv, aˇckoliv se jedn´a jen o motivaˇcn´ı obdob´ı a o funkc´ıch se zde jeˇstˇe nehovoˇr´ı.

Na druh´em stupni jsou ˇz´aci vedeni k tomu, aby rozpoznali a popsali urˇcit´e typy z´avislost´ı, se kter´ymi se bˇeˇznˇe setk´avaj´ı v kaˇzdodenn´ım ˇzivotˇe, a sezn´amili se s jejich reprezentacemi. ˇZ´aci by tyto z´avislosti mˇeli umˇet analyzovat a z ta- bulky, grafu ˇci diagramu vyˇc´ıst potˇrebn´e ´udaje, jednoduch´e z´avislosti graficky zn´azornit a vyj´adˇrit matematick´ym pˇredpisem. V tomto obdob´ı se jiˇz zav´ad´ı po- jem funkce a ˇz´aci jsou seznamov´ani s pravo´uhlou soustavou souˇradnic, pˇr´ımou a nepˇr´ımou ´umˇernost´ı a s line´arn´ı funkc´ı. Pr´ace s konkr´etn´ımi pˇr´ıklady v´yraznˇe po- siluje funkˇcn´ı myˇslen´ı a vede k vytv´aˇren´ı spr´avn´ych pˇredstav o pojmu funkce. Na konkr´etn´ıch pˇr´ıkladech je dokl´ad´ana a zd˚urazˇnov´ana prov´azanost ˇskolsk´e mate- matiky a re´aln´eho svˇeta, coˇz dokazuje smysl a potˇrebu matematick´eho vzdˇel´av´an´ı a pom´ah´a pˇresvˇedˇcit ˇz´aky o uˇziteˇcnosti matematiky.

V R´amcov´em vzdˇel´avac´ım programu pro z´akladn´ı vzdˇel´av´an´ı jsou ve vzdˇel´avac´ı oblasti Z´avislosti, vztahy a pr´ace s daty vymezeny tyto oˇcek´avan´e v´ystupy (2016 [31]):

• I. stupeˇn

· ˇz´ak popisuje jednoduch´e z´avislosti z praktick´eho ˇzivota

· ˇz´ak doplˇnuje tabulky, sch´emata, posloupnosti ˇc´ısel

· ˇz´ak vyhled´av´a, sb´ır´a a tˇr´ıd´ı data

· ˇz´ak ˇcte a sestavuje jednoduch´e tabulky a diagramy

• II. stupeˇn

· ˇz´ak vyhled´av´a, vyhodnocuje a zpracov´av´a data

· ˇz´ak porovn´av´a soubory dat

· ˇz´ak urˇcuje vztah pˇr´ım´e a nepˇr´ım´e ´umˇernosti

· ˇz´ak vyj´adˇr´ı funkˇcn´ı vztah tabulkou

· ˇz´ak matematizuje jednoduch´e re´aln´e situace s vyuˇzit´ım funkˇcn´ıch vztah˚u

Dle ˇc´asti Nestandardn´ı aplikaˇcn´ı ´ulohy a probl´emy by ˇz´ak mˇel b´yt schopen ˇreˇsit jednoduch´e praktick´e ´ulohy a probl´emy, k jejichˇz ˇreˇsen´ı je tˇreba pouˇz´ıt lo- gickou ´uvahu ˇci kombinaˇcn´ı ´usudek (´ulohy, jejichˇz ˇreˇsen´ı nez´avis´ı na obvykl´ych

postupech a algoritmech ˇskolsk´e matematiky), mˇel by nal´ezat r˚uzn´a ˇreˇsen´ı tˇechto probl´em˚u a situac´ı a zv´aˇzit, kter´a ˇreˇsen´ı jsou vhodn´a a kter´a nikoliv, a mˇel by b´yt schopn´y aplikovat a kombinovat poznatky a dovednosti z r˚uzn´ych tematick´ych i vzdˇel´avac´ıch oblast´ı.

Na nˇekter´ych z´akladn´ıch ˇskol´ach jsou zav´adˇeny i pojmy kvadratick´a funkce (a rovnice) a goniometrick´e funkce, to ale RVP ZV neukl´ad´a a z´aleˇz´ı jen na konkr´etn´ı ˇskole, zda toto uˇcivo do sv´eho ˇSVP zaˇrad´ı.

2.2 RVP pro gymn´ azia

Na gymn´aziu jsou jiˇz systematicky prob´ır´any obecn´e poznatky o funkc´ıch (pojem funkce, definiˇcn´ı obor a obor hodnot, vlastnosti funkc´ı), jednotliv´e ele- ment´arn´ı funkce (line´arn´ı funkce, kvadratick´a funkce, funkce absolutn´ı hod- nota, line´arn´ı lomen´a funkce, mocninn´e funkce, funkce druh´a odmocnina, ex- ponenci´aln´ı, logaritmick´e a goniometrick´e funkce) a vztahy mezi nimi.

V R´amcov´em vzdˇel´avac´ım programu pro gymn´azia jsou ve vzdˇel´avac´ı oblasti Z´avislosti a funkˇcn´ı vztahy vymezeny tyto oˇcek´avan´e v´ystupy (2007 [30]):

• ˇz´ak naˇcrtne grafy poˇzadovan´ych funkc´ı (zadan´ych jednoduch´ym funkˇcn´ım pˇredpisem) a urˇc´ı jejich vlastnosti

• ˇz´ak formuluje a zd˚uvodˇnuje vlastnosti studovan´ych funkc´ı a posloupnost´ı

• ˇz´ak vyuˇz´ıv´a poznatky o funkc´ıch pˇri ˇreˇsen´ı rovnic a nerovnic, pˇri urˇcov´an´ı kvantitativn´ıch vztah˚u

• ˇz´ak aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenci´aln´ıch, logaritmick´ych a go- niometrick´ych funkc´ı a vztahy mezi tˇemito funkcemi

• ˇz´ak modeluje z´avislosti re´aln´ych dˇej˚u pomoc´ı zn´am´ych funkc´ı

• ˇz´ak ˇreˇs´ı aplikaˇcn´ı ´ulohy s vyuˇzit´ım poznatk˚u o funkc´ıch a posloupnostech

• ˇz´ak interpretuje z funkˇcn´ıho hlediska sloˇzen´e ´urokov´an´ı, aplikuje expo- nenci´aln´ı funkci a geometrickou posloupnost ve finanˇcn´ı matematice

Do t´eto vzdˇel´avac´ı oblasti jsou ˇrazeny i posloupnosti (urˇcen´ı a vlastnosti po- sloupnost´ı, aritmetick´a a geometrick´a posloupnost).

3 Funkce a funkˇ cn´ı myˇ slen´ı ve ˇ skole

Rozvoj funkˇcn´ıho myˇslen´ı je dlouhodob´y proces, kter´y m˚uˇze b´yt ve ˇskolsk´e matematice rozdˇelen do tˇr´ı z´akladn´ıch st´adi´ı (J. Pol´ak, 2014 [28]):

• propedeutick´e stadium (I. stupeˇn ZˇS a niˇzˇs´ı roˇcn´ıky II. stupnˇe ZˇS) - poˇc´atky funkˇcn´ıho myˇslen´ı v aritmetice, algebˇre i geometrii; napˇr.: sledov´an´ı z´avislosti souˇctu ˇc´ısel na sˇc´ıtanc´ıch (jak se zmˇen´ı souˇcet dvou ˇc´ısel, zvˇetˇs´ıme- li jeden ze sˇc´ıtanc˚u o dvˇe), v´ypoˇcty geometrick´ych veliˇcin (d´elek, obsah˚u, objem˚u) v z´avislosti na rozmˇerech geometrick´ych ´utvar˚u

• prim´arn´ı v´yuka funkc´ı (vyˇsˇs´ı roˇcn´ıky ZˇS) - zaveden´ı pojmu funkce (funkce, definiˇcn´ı obor, obor hodnot, graf funkce), z´akladn´ı druhy funkc´ı (line´arn´ı funkce, pˇr´ım´a a nepˇr´ım´a ´umˇernost, absolutn´ı hodnota re´aln´e promˇenn´e, kvadratick´a funkce), z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı a ˇreˇsen´ı aplikaˇcn´ıch slovn´ıch ´uloh

• systematick´a v´yuka funkc´ı (SˇS) - doplnˇen´ı definice funkce a dalˇs´ı termi- nologie, dalˇs´ı vlastnosti funkc´ı a jejich vyˇsetˇrov´an´ı (sudost, lichost, omeze- nost, periodiˇcnost), funkce sloˇzen´a a inverzn´ı, dalˇs´ı druhy funkc´ı (funkce s absolutn´ımi hodnotami, line´arn´ı lomen´a funkce, mocninn´e funkce, ex- ponenci´aln´ı a logaritmick´a funkce, goniometrick´e funkce) + matematick´a anal´yza (nepovinn´a)

Podobn´y pohled na vˇec nab´ız´ı i M. Hejn´y (1988 [10]). V ontogenezi funkˇcn´ıho myˇslen´ı m˚uˇzeme podle nˇej pozorovat tˇri etapy - d´ıtˇe si nejprve na z´akladˇe ˇzivotn´ıch zkuˇsenost´ı tvoˇr´ı pˇredstavu kvantitativn´ıch vazeb kauz´aln´ıch jev˚u (ot´aˇcen´ı vodovodn´ıho kohoutku reguluje proud vody, seˇsl´apnut´ı plynov´eho ped´alu zvyˇsuje rychlost vozidla). Ve druh´e etapˇe zaˇc´ın´a intuitivnˇe vyuˇz´ıvat tyto zkuˇsenosti k ˇreˇsen´ı probl´em˚u. A teprve ve tˇret´ı etapˇe si ˇz´ak osvojuje systematic- kou pr´aci s funkcemi.

4 Z´ akladn´ı pojmy a vlastnosti funkc´ı

V t´eto kapitole jsou shrnuty z´akladn´ı poznatky o funkc´ıch v takov´em roz- sahu, v jak´em by mˇely b´yt na gymn´aziu prob´ır´any. Vych´az´ıme bud’ z uˇcebnic ˇrady Matematika pro gymn´azia - Funkce (O. Odv´arko, 1993 [24]) a Goniome- trie (O. Odv´arko, 2002 [25]) nebo z uˇcebnice Matematika a fyzika (Z. Vosicky, V. Lanka, M. Vondra 2007 [33]).

4.1 Funkce a jej´ı graf, definiˇ cn´ı obor, obor hodnot

Funkce f na mnoˇzinˇe D(f ) ⊂ R je zobrazen´ı mnoˇziny D(f ) do mnoˇziny R.

Mnoˇzinu D(f ) potom naz´yv´ame definiˇcn´ım oborem funkce f . Mnoˇzinu vˇsech hodnot, kter´ych funkce f na sv´em definiˇcn´ım oboru nab´yv´a, naz´yv´ame oborem hodnot funkce f a znaˇc´ıme ji H(f ).

Graf funkce f je ve zvolen´e soustavˇe souˇradnic v rovinˇe mnoˇzina vˇsech bod˚u X o souˇradnic´ıch [x, f (x)], kde x ∈ D(f ).

Funkci je moˇzn´e zadat nˇekolika zp˚usoby:

• pˇredpisem

· y = 2x + 1

· f : y = 2x + 1

· x → 2x + 1

• tabulkou/v´yˇctem

x −1 0 1 2 3

y −1 1 3 5 7

• grafem

• slovnˇe

4.2 Prost´ a funkce

R´ık´ˇ ame, ˇze funkce f je prost´a, plat´ı-li

x₁ ∈ D(f ), x₂ ∈ D(f ), x₁ 6= x₂ → f (x₁) 6= f (x₂),

tedy funkce je prost´a, pokud se ˇz´adn´a jej´ı hodnota v oboru hodnot neopakuje.

Graf funkce je grafem prost´e funkce pr´avˇe tehdy, neexistuje-li rovnobˇeˇzka s osou x, kter´a m´a s grafem spoleˇcn´y v´ıce neˇz jeden bod.

4.3 Monotonie funkce

R´ık´ˇ ame, ˇze funkce f je rostouc´ı na sv´em definiˇcn´ım oboru, pr´avˇe kdyˇz pro vˇsechna x₁ ∈ D(f ), x₂ ∈ D(f ) plat´ı:

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) < f (x₂).

R´ık´ˇ ame, ˇze funkce f je klesaj´ıc´ı na sv´em definiˇcn´ım oboru, pr´avˇe kdyˇz pro vˇsechna x₁ ∈ D(f ), x₂ ∈ D(f ) plat´ı:

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) > f (x₂).

R´ık´ˇ ame, ˇze funkce f je nerostouc´ı na sv´em definiˇcn´ım oboru, pr´avˇe kdyˇz pro vˇsechna x₁ ∈ D(f ), x₂ ∈ D(f ) plat´ı:

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) ≥ f (x₂).

R´ık´ˇ ame, ˇze funkce f je neklesaj´ıc´ı na sv´em definiˇcn´ım oboru, pr´avˇe kdyˇz pro vˇsechna x1 ∈ D(f ), x2 ∈ D(f ) plat´ı:

x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

Funkce f se naz´yv´a monot´onn´ı v D(f ), je-li bud’ neklesaj´ıc´ı, nebo nerostouc´ı.

Je-li funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, potom se naz´yv´a ryze monot´onn´ı v D(f ).

Obr´azek 1: Funkce - rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, nerostouc´ı, neklesaj´ıc´ı

4.4 Funkce sud´ a a lich´ a

R´ık´ˇ ame, ˇze funkce f je sud´a, m´a-li tyto dvˇe vlastnosti:

1. Jej´ı definiˇcn´ı obor splˇnuje podm´ınku x ∈ D(f ) ⇒ −x ∈ D(f ).

2. Pro kaˇzd´e x ∈ D(f ) je f (−x) = f (x).

Obr´azek 2: Pˇr´ıklady sud´ych funkc´ı

R´ık´ˇ ame, ˇze funkce f je lich´a, m´a-li tyto dvˇe vlastnosti:

1. Jej´ı definiˇcn´ı obor splˇnuje podm´ınku x ∈ D(f ) ⇒ −x ∈ D(f ).

2. Pro kaˇzd´e x ∈ D(f ) je f (−x) = −f (x).

Obr´azek 3: Pˇr´ıklady lich´ych funkc´ı

4.5 Omezen´ a funkce, maximum a minimum

Funkce f se naz´yv´a zdola omezen´a, pr´avˇe kdyˇz existuje takov´e ˇc´ıslo d ∈ R, ˇze pro vˇsechna x ∈ D(f ) je f (x) ≥ d.

Funkce f se naz´yv´a shora omezen´a, pr´avˇe kdyˇz existuje takov´e ˇc´ıslo h ∈ R, ˇze pro vˇsechna x ∈ D(f ) je f (x) ≤ h.

Funkce se naz´yv´a omezen´a, je-li omezen´a shora i zdola.

R´ık´ˇ ame, ˇze funkce f m´a v bodˇe a minimum, pr´avˇe kdyˇz ∀x ∈ D(f ) je f (x) ≥ f (a).

R´ık´ˇ ame, ˇze funkce f m´a v bodˇe b maximum, pr´avˇe kdyˇz ∀x ∈ D(f ) je f (x) ≤ f (b).

Obr´azek 4: Minimum Obr´azek 5: Maximum

4.6 Periodick´ a funkce

Je-li p ∈ R+, k ∈ Z a D(f ) ⊂ R, potom ˇr´ık´ame, ˇze funkce f je periodick´a, plat´ı-li z´aroveˇn implikace x ∈ D(f ) ⇒ x + kp ∈ D(f ) a rovnost f (x + kp) = f (x).

C´ıslo p potom naz´ˇ yv´ame perioda funkce f .

Obr´azek 6: Periodick´a funkce

4.7 Z´ akladn´ı operace s funkcemi

Jsou-li f a g funkce s t´ymˇz definiˇcn´ım oborem D, pak definujeme jejich:

• souˇcet: (f + g)(x) := f (x) + g(x),

• rozd´ıl: (f − g)(x) := f (x) − g(x),

• souˇcin: (f · g)(x) := f (x) · g(x),

• rozd´ıl: (^f_g)(x) := ^{f (x)}_g(x), je-li g(x) 6= 0 pro x ∈ D.

4.8 Inverzn´ı funkce

Je-li f prost´a funkce s definiˇcn´ım oborem D(f ) a oborem hodnot H(f ), potom funkci k n´ı inverzn´ı znaˇc´ıme f−1 a definujeme ji takto: Definiˇcn´ım oborem funkce f−1 je mnoˇzina H(f ) a pro kaˇzd´e y ∈ H (f ) je f−1(y) to x ∈ D (f ), pro nˇeˇz je f (x) = y.

Graf funkce f−1 je s grafem funkce f osovˇe soumˇern´y podle osy y = x.

Je-li funkce f na sv´em definiˇcn´ım oboru rostouc´ı resp. klesaj´ıc´ı, potom je na sv´em definiˇcn´ım oboru rostouc´ı resp. klesaj´ıc´ı i funkce f₋₁.

4.9 Sloˇ zen´ a funkce

Funkce h se naz´yv´a funkce sloˇzen´a z funkc´ı f, g (v tomto poˇrad´ı), pr´avˇe kdyˇz plat´ı:

1. Definiˇcn´ım oborem funkce h je mnoˇzina vˇsech tˇech x ∈ D(f ), pro kter´a je f (x) ∈ D(g).

2. Pro kaˇzd´e x ∈ D(h) je h(x) = g(f (x)).

Funkci h potom znaˇc´ıme symbolem g ◦ f .

5 Druhy funkc´ı

5.1 Line´ arn´ı funkce

Line´arn´ı funkce je kaˇzd´a funkce f na mnoˇzinˇe R dan´a pˇredpisem f : y = ax + b,

kde a, b jsou R.

Speci´aln´ım pˇr´ıpadem line´arn´ı funkce je funkce s koeficientem a = 0, tedy funkce f : y = b, kterou naz´yv´ame funkce konstantn´ı.

Line´arn´ı funkci vyj´adˇrenou pˇredpisem f : y = ax, v n´ıˇz b = 0 ∧ a 6= 0, naz´yv´ame pˇr´ım´a ´umˇernost.

Obr´azek 7: Line´arn´ı funkce

Grafem line´arn´ı funkce je pˇr´ımka (linea = ˇc´ara, pˇr´ımka) r˚uznobˇeˇzn´a s osou y nebo ˇc´ast t´eto pˇr´ımky.

Pro ˇc´ıslo a v line´arn´ı funkci f : y = ax + b plat´ı a = f (x2) − f (x1)

x₂− x₁ ,

kde x1, x2 jsou libovolnˇe zvolen´a, vz´ajemnˇe r˚uzn´a re´aln´a ˇc´ısla.

y = ax + b y = ax y = b

D(f ) = (−∞; +∞) D(f ) = (−∞; +∞) D(f ) = (−∞; +∞) H(f ) = (−∞; +∞) H(f ) = (−∞; +∞) H(f ) = {b}

nen´ı omezen´a ani shora ani zdola

nen´ı omezen´a ani shora, ani zdola

je omezen´a

je prost´a je prost´a nen´ı prost´a

pro a < 0 je klesaj´ıc´ı, pro a > 0 je rostouc´ı

pro a < 0 je klesaj´ıc´ı, pro a > 0 je rostouc´ı

nen´ı rostouc´ı, ani kle- saj´ıc´ı

nen´ı sud´a ani lich´a je lich´a je sud´a

je spojit´a v R je spojit´a v R je spojit´a v R grafem je pˇr´ımka grafem je pˇr´ımka

proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem

grafem je pˇr´ımka rov- nobˇeˇzn´a s osou x

5.2 Kvadratick´ a funkce

Kvadratick´a funkce je kaˇzd´a funkce f na mnoˇzinˇe R dan´a pˇredpisem f : y = ax²+ bx + c,

kde a ∈ R \ {0}, b, c ∈ R.

Grafem kvadratick´e funkce je parabola o vrcholu V [−_2a^b ; c − ^b_4a²]. Tato para- bola je soumˇern´a podle osy rovnobˇeˇzn´e s osou y. Souˇradnice vrcholu z´ısk´ame z obecn´eho tvaru rovnice kvadratick´e funkce doplnˇen´ım na ´upln´y ˇctverec.

y = ax²+ bx + c y = ax²+ bx + c

a > 0 a < 0

D(f ) = (−∞; +∞) D(f ) = (−∞; +∞)

H(f ) = hc − _4a^b2; +∞) H(f ) = (−∞; c − _4a^b2i je zdola omezen´a,

nen´ı shora omezen´a

je shora omezen´a, nen´ı zdola omezen´a

v bodˇe x = −_2a^b m´a minimum v bodˇe x = −_2a^b m´a maximum je klesaj´ıc´ı v (−∞; −_2a^b i,

je rostouc´ı v h−_2a^b ; +∞)

je rostouc´ı v (−∞; −_2a^b i, je klesaj´ıc´ı v h−_2a^b ; +∞)

nen´ı prost´a nen´ı prost´a

je spojit´a v R je spojit´a v R

grafem je konvexn´ı parabola grafem je konk´avn´ı parabola

5.3 Funkce absolutn´ı hodnota

Absolutn´ı hodnota re´aln´eho ˇc´ısla a je ˇc´ıslo |a|, pro kter´e plat´ı:

• je-li a ≥ 0, je |a| = a,

• je-li a < 0, je |a| = −a.

Funkce absolutn´ı hodnota je takov´a funkce f , jej´ıˇz funkˇcn´ı hodnota je

• je f (x) = x pro x ≥ 0,

• je f (x) = −x pro x < 0.

Takovou funkci zapisujeme f : y = |x|. Grafem line´arn´ı funkce s absolutn´ı hodnotou je lomen´a ˇc´ara.

y = |x|

D(f ) = (−∞; +∞) H(f ) = h0; +∞) je zdola omezen´a, nen´ı shora omezen´a m´a minimum v bodˇe [0; 0]

je klesaj´ıc´ı v (−∞; 0i, je rostouc´ı v h0; +∞) nen´ı prost´a

je sud´a

je spojit´a v R

grafem jsou dvˇe polopˇr´ımky se spoleˇcn´ym poˇc´atkem v bodˇe [0; 0]

Skl´ad´an´ı line´arn´ıch funkc´ı a funkce absolutn´ı hodnota

Je-li d´ana line´arn´ı funkce f : k = ax + b a funkce g : y = |k|, potom skl´ad´an´ım tˇechto dvou funkc´ı m˚uˇzeme z´ıskat dvˇe r˚uzn´e funkce:

• h1 = g ◦ f h1 : y = |ax + b|

• h₂ = f ◦ g h₂ : y = a |x| + b

Graf funkce h₁ = g◦f m˚uˇzeme z´ıskat tak, ˇze nakresl´ıme graf funkce f a tu ˇc´ast grafu, pro kterou jsou funkˇcn´ı hodnoty z´aporn´e, zobraz´ıme v osov´e soumˇernosti podle osy x. Stejn´y graf z´ısk´ame i zakreslen´ım tˇechto dvou funkc´ı:

• f₁ : y = (ax + b) pro (ax + b) ≥ 0,

• f₂ : y = −(ax + b) pro (ax + b) < 0.

V´ysledn´y graf je sjednocen´ım graf˚u f₁ a f₂.

V druh´em pˇr´ıpadˇe, kdy h2 = f ◦ g, graf funkce dostaneme tak, ˇze funkˇcn´ı hodnoty pro z´aporn´e argumenty z´ısk´ame zobrazen´ım funkˇcn´ıch hodnot pro kladn´e argumenty v osov´e soumˇernosti podle osy y, tedy ˇc´ast grafu p˚uvodn´ı line´arn´ı funkce pˇreklop´ıme pod´el osy y doleva. Stejn´y graf z´ısk´ame i zakreslen´ım tˇechto dvou funkc´ı:

• f₁ : y = ax + b pro x ≥ 0,

• f₂ : y = −ax + b pro x < 0.

V´ysledn´y graf je sjednocen´ım graf˚u f1 a f2. Takov´a funkce je vˇzdy sud´a.

Obr´azek 8: h₁ = g ◦ f Obr´azek 9: h₂ = f ◦ g Skl´ad´an´ı kvadratick´ych funkc´ı a funkce absolutn´ı hodnota

Je-li d´ana kvadratick´a funkce f : k = ax²+ bx + c a funkce g : y = |k|, potom skl´ad´an´ım tˇechto dvou funkc´ı m˚uˇzeme opˇet z´ıskat dvˇe r˚uzn´e funkce:

• h₁ = g ◦ f h₁ : y = |ax²+ bx + c|

• h₂ = f ◦ g h₂ : y = a |x|²+ b |x| + c

Graf funkce h1 = g◦f m˚uˇzeme z´ıskat tak, ˇze nakresl´ıme graf funkce f a tu ˇc´ast grafu, pro kterou jsou funkˇcn´ı hodnoty z´aporn´e, zobraz´ıme v osov´e soumˇernosti podle osy x. Je-li a > 0, pak stejn´y graf z´ısk´ame i zakreslen´ım tˇechto tˇr´ı funkc´ı:

• f₁ : y = ax²+ bx + c pro x ∈ (−∞; x₁i,

• f₂ : y = −ax²− bx − c pro x ∈ (x₁; x₂)

• f₂ : y = ax²+ bx + c pro x ∈ hx₂; +∞).

V´ysledn´y graf je sjednocen´ım graf˚u f₁,f₂ a f₃. ˇC´ısla x₁, x₂jsou koˇreny kvadratick´e rovnice ax² + bx + c = 0, tedy nulov´e body.

V druh´em pˇr´ıpadˇe, kdy h₂ = f ◦ g, graf funkce dostaneme tak, ˇze funkˇcn´ı hodnoty pro z´aporn´e argumenty z´ısk´ame zobrazen´ım funkˇcn´ıch hodnot pro kladn´e argumenty v osov´e soumˇernosti podle osy y, tedy ˇc´ast grafu p˚uvodn´ı line´arn´ı funkce pˇreklop´ıme pod´el osy y doleva. Stejn´y graf z´ısk´ame i zakreslen´ım tˇechto dvou funkc´ı:

• f₁ : y = ax²+ bx + c pro x ≥ 0,

• f2 : y = y = ax²− bx + c pro x < 0.

V´ysledn´y graf je sjednocen´ım graf˚u f₁ a f₂. Takov´a funkce je vˇzdy sud´a.

Obr´azek 10: h₁ = g ◦ f Obr´azek 11: h₂ = f ◦ g

5.4 Line´ arn´ı lomen´ a funkce

Line´arn´ı lomen´a funkce je kaˇzd´a funkce na mnoˇzinˇe R \ {−^d_c} vyj´adˇren´a tvarem

f : y = ax + b cx + d, kde a, b, c, d jsou re´aln´a ˇc´ısla, c 6= 0 a ad − bc 6= 0.

Grafem kaˇzd´e line´arnˇe lomen´e funkce je rovnoos´a hyperbola se stˇredem S[−^d_c;^a_c] a s asymptotami o rovnic´ıch x = −^d_c (asymptota rovnobˇeˇzn´a s osou y) a y = ^a_c (asymptota rovnobˇeˇzn´a s osou x).

Kaˇzdou line´arnˇe lomenou funkci lze pˇrev´est na stˇredov´y tvar y = _x−m^k + n, kde x 6= m. Stˇred hyperboly pot´e leˇz´ı v bodˇe S[m; n].

Speci´aln´ım pˇr´ıpadem line´arn´ı lomen´e funkce je nepˇr´ım´a ´umˇernost f : y = ^k_x, kde k 6= 0. Jej´ım grafem je rovnoos´a hyperbola se stˇredem [0; 0] a asymptotami v souˇradnicov´ych os´ach x, y.

Obr´azek 12: Line´arn´ı lomen´a funkce

5.5 Mocninn´ a funkce

Pro vˇsechna a ∈ R a pro vˇsechna n ∈ N definujeme aⁿ= a · a · . . . · a

| {z }

n-kr´at ,

kde a je z´aklad mocniny (mocnˇenec) a n je exponent (mocnitel).

Mocninn´a funkce s pˇrirozen´ym exponentem

Mocninnou funkc´ı s pˇrirozen´ym exponentem naz´yv´ame funkci f : y = xⁿ, kde n ∈ N.

Je-li n sud´e, pak je funkce sud´a, je-li n lich´e, funkce je lich´a. Graf mocninn´e funkce s pˇrirozen´ym exponentem vˇzdy proch´az´ı body [0; 0] a [1; 1].

y = xⁿ, n ∈ N y = xⁿ, n ∈ N

n lich´e n sud´e

D(f ) = (−∞; +∞) D(f ) = (−∞; +∞)

H(f ) = (−∞; +∞) H(f ) = h0; +∞)

nen´ı zdola omezen´a, nen´ı shora omezen´a

je zdola omezen´a, nen´ı shora omezen´a nem´a maximum,

nem´a minimum

nem´a maximum,

m´a minimum v bodˇe [0;0]

je rostouc´ı je rostouc´ı pro x ∈ h0; +∞), je klesaj´ıc´ı pro x ∈ (−∞; 0i

je lich´a je sud´a

je prost´a nen´ı prost´a

je spojit´a v R je spojit´a v R Mocninn´a funkce s cel´ym z´aporn´ym exponentem

Mocninnou funkc´ı s cel´ym z´aporn´ym exponentem naz´yv´ame funkci f : y = x⁻ⁿ = _x¹n, kde n ∈ N.

I v tomto pˇr´ıpadˇe plat´ı, ˇze je-li n sud´e, pak je funkce sud´a, je-li n lich´e, funkce

je lich´a. Graf mocninn´e funkce s cel´ym z´aporn´ym exponentem vˇzdy proch´az´ı bodem [1; 1].

n lich´e n sud´e

D(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) D(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) H(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) H(f ) = (0; +∞)

nen´ı zdola omezen´a, nen´ı shora omezen´a

je zdola omezen´a, nen´ı shora omezen´a nem´a maximum,

nem´a minimum

nem´a maximum, nem´a minimum je klesaj´ıc´ı pro x ∈ (−∞; 0)

a x ∈ (0; +∞)

je rostouc´ı pro x ∈ h0; +∞), je klesaj´ıc´ı pro x ∈ (0; +∞)

je lich´a je sud´a

je prost´a nen´ı prost´a

je spojit´a pro x ∈ (−∞; 0) a x ∈ (0; +∞)

je spojit´a pro x ∈ (−∞; 0) a x ∈ (0; +∞)

Mocninn´a funkce s racion´aln´ım exponentem

Mocninnou funkc´ı s racion´aln´ım exponentem naz´yv´ame funkci f : y = x^mn = √ⁿ

x^m, kde p ∈ Z a n ∈ N.

Na stˇredn´ıch ˇskol´ach jsou mocninn´e funkce s racion´aln´ım exponentem ome- zov´any obvykle jen na funkci n-t´a odmocnina, tedy funkci f : y = √ⁿ

x. Tato funkce je inverzn´ı k pˇr´ısluˇsn´e mocninn´e funkci y = xⁿ. Jej´ı graf je s grafem pˇr´ısluˇsn´e mocninn´e funkce soumˇernˇe sdruˇzen´y podle osy I. a III. kvadrantu.

Z´akladn´ı pravidla pro poˇc´ıt´an´ı s mocninami a odmocninami

• a^r· a^s = a^r+s

• ^a_a^rs = a^r−s

• (a^r)^s = a^rs

• (ab)^r = a^r· b^r

• a^rs =√^s a^r

• √ⁿ a · √ⁿ

b = √ⁿ ab

• √ⁿ

a₁· . . . ·√ⁿ

a_r = √ⁿ

a₁· . . . · a_r

• (√ⁿ

a)^s = √ⁿ a^s

• ^mp

√n

a = ^mn√ a

• ⁿ

√a

n√

b = pⁿ _a

b

5.6 Exponenci´ aln´ı funkce

Exponenci´aln´ı funkce o z´akladu a je funkce na mnoˇzinˇe R vyj´adˇren´a ve tvaru f : y = a^x, kde a je kladn´e ˇc´ıslo r˚uzn´e od 1.

Grafem exponenci´aln´ı funkce je exponenci´aln´ı kˇrivka.

y = a^x y = a^x

0 < a < 1 a > 1

D(f ) = (−∞; +∞) D(f ) = (−∞; +∞)

H(f ) = (0; +∞) H(f ) = (0; +∞)

je zdola omezen´a (a^x > 0), nen´ı shora omezen´a

je zdola omezen´a (a^x > 0), nen´ı shora omezen´a

nem´a maximum, ani minimum nem´a maximum, ani minimum

je klesaj´ıc´ı je rostouc´ı

nen´ı sud´a, ani lich´a nen´ı sud´a, ani lich´a

je prost´a je prost´a

je spojit´a v R je spojit´a v R

grafem je exponenci´aln´ı kˇrivka grafem je exponenci´aln´ı kˇrivka

5.7 Logaritmick´ a funkce

Logaritmick´a funkce o z´akladu a je funkce, kter´a je inverzn´ı k exponenci´aln´ı funkci y = a^x. Zapisujeme ji ve tvaru f : y = log_ax, kde a je libovoln´e kladn´e ˇc´ıslo r˚uzn´e od jedn´e.

Grafem logaritmick´e funkce je logaritmick´a kˇrivka.

Funkˇcn´ı hodnoty logaritmick´e funkce se naz´yvaj´ı logaritmy. Podle definice logaritmick´e funkce pro nˇe plat´ı ekvivalence

y = log_ax ⇔ x = a^ypro kaˇzd´ex ∈ (0; +∞), y ∈ R.

Vˇety o logaritmech:

• log_a(r · s) = log_ar + log_as

• log_a ^r_s = log_ar − log_as

• log_ar^s = s · log_ar

• log_ar = log_as ⇔ r = s

• log_rt = _log^logst

sr

y = log_ax y = log_ax

0 < a < 1 a > 1

D(f ) = (0; +∞) D(f ) = (0; +∞)

H(f ) = (−∞; +∞) H(f ) = (−∞; +∞)

nen´ı omezen´a ani zdola, ani shora nen´ı omezen´a ani zdola, ani shora nem´a maximum, ani minimum nem´a maximum, ani minimum

je klesaj´ıc´ı je rostouc´ı

nen´ı sud´a, ani lich´a nen´ı sud´a, ani lich´a

je prost´a je prost´a

je spojit´a v (0; +∞) je spojit´a v (0; +∞)

grafem je logaritmick´a kˇrivka grafem je logaritmick´a kˇrivka

5.8 Funkce signum

f : y = sgnx







1 pro x > 0, 0 pro x = 0,

−1 pro x < 0.

Obr´azek 13: Funkce signum

5.9 Goniometrick´ e funkce

Na stˇredn´ıch ˇskol´ach se goniometrick´e funkce zav´adˇej´ı geometricky pomoc´ı orientovan´eho ´uhlu a jednotkov´e kruˇznice. ´Uhly jsou obvykle ud´av´any v obloukov´e m´ıˇre (2π rad = 360^◦).

Obr´azek 14: Jednotkov´a kruˇznice Sinus, kosinus

Funkˇcn´ı hodnoty funkc´ı sinus a kosinusdefinujeme pomoc´ı kart´ezsk´ych souˇradnic pr˚useˇc´ıku Mα[xM; yM] koncov´eho ramene orientovan´eho ´uhlu (jehoˇz vrchol leˇz´ı v poˇc´atku soustavy souˇradnic a poˇc´ateˇcn´ı rameno spl´yv´a s kladnou ˇc´ast´ı osy x) s jednotkovou kruˇznic´ı. Funkˇcn´ı hodnota funkce sin α odpov´ıd´a y-ov´e souˇradnici, funkˇcn´ı hodnota cos α x-ov´e souˇradnici.

Definiˇcn´ım oborem obou tˇechto funkc´ı je mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel, oborem hodnot je interval h−1; 1i. Obˇe funkce jsou periodick´e se z´akladn´ı periodou 2π.

Obr´azek 15: Funkce sin x, cos x

y = sin x y = cos x

D(f ) = R D(f ) = R

H(f ) = h−1; 1i H(f ) = h−1; 1i

je omezen´a je omezen´a

rostouc´ı v kaˇzd´em intervalu h−¹₂π + 2kπ;¹₂π + 2kπi, k ∈ Z

rostouc´ı v kaˇzd´em intervalu hπ + 2kπ; 2π + 2kπi, k ∈ Z

klesaj´ıc´ı v kaˇzd´em intervalu h¹₂π + 2kπ;³₂π + 2kπi, k ∈ Z

klesaj´ıc´ı v kaˇzd´em intervalu h2kπ; π + 2kπi, k ∈ Z

lich´a

sin(−x) = − sin x

sud´a

cos(−x) = cos x je spojit´a v R je spojit´a v R

Tangens, kotangens

Goniometrick´e funkce tangens a kotangens jsou definov´any pomoc´ı funkc´ı sinus a kosinus. Funkce tangens je funkce, kter´a kaˇzd´emu ˇc´ıslu α ∈ R takov´emu, ˇze cos α 6= 0, tedy α 6= (2k + 1)^π₂, kde k ∈ Z pˇriˇrazuje ˇc´ıslo

tg(α) = sin α cos α.

Funkce kotangens je funkce, kter´a kaˇzd´emu ˇc´ıslu α ∈ R takov´emu, ˇze sin α 6= 0, tedy α 6= kπ, kde k ∈ Z pˇriˇrazuje ˇc´ıslo

cotg(α) = cos α sin α.

Obr´azek 16: Funkce tg x, cotg x

y = tgx y = cotgx

D(f ) = R \ {¹₂π + kπ; k ∈ Z} D(f ) = R \ {kπ; k ∈ Z}

H(f ) = R H(f ) = R

nen´ı omezen´a ani zdola, ani shora nen´ı omezen´a ani zdola, ani shora rostouc´ı v kaˇzd´em intervalu (−¹₂π +

kπ;¹₂π + kπ), k ∈ Z

nen´ı rostouc´ı

nen´ı klesaj´ıc´ı klesaj´ıc´ı v kaˇzd´em intervalu (kπ; π + kπ), k ∈ Z

lich´a

tg(−x) = −tgx

lich´a

cotg(−x) = −cotgx

nen´ı definovan´a v {¹₂π + kπ; k ∈ Z} nen´ı definovan´a v {kπ; k ∈ Z}

6 Propojen´ı funkc´ı s dalˇ s´ımi oblastmi matema- tiky

Stejnˇe jako jsme my v bˇeˇzn´em ˇzivotˇe obklopeni r˚uzn´ymi vztahy a z´avislostmi, tak jsou vztahy a z´avislostmi propojeny i mnoh´e oblasti matematiky. Funkce nelze vyuˇcovat izolovanˇe a odtrˇzen´ı od ostatn´ıch oblast´ı matematiky by ani nebylo ˇz´adouc´ı. S funkcemi se bˇeˇznˇe setk´av´ame ve finanˇcn´ı matematice, slovn´ıch ´uloh´ach (o pohybu, o spoleˇcn´e pr´aci, pˇr´ım´a a nepˇr´ım´a ´umˇernost, atd.), planimetrii a stereometrii (metrick´e ´ulohy), rovnic´ıch a nerovnic´ıch (slovn´ı ´ulohy, grafick´e ˇreˇsen´ı rovnic/nerovnic a jejich soustav), apod.

Pro ilustraci zde uv´ad´ıme konkr´etn´ı ´ulohu (pˇrevzata od M. Krynick´eho (2010 [19]):

1. Petr jel na v´ylet na kole. V polovinˇe cesty se mu rozbilo kolo. Dom˚u se m˚uˇze vr´atit tˇremi zp˚usoby:

(a) pˇeˇsky ryhlost´ı 5 km/h

x 1 2 3 . . . x

y 5 10 15 . . . 5x

(b) m˚uˇze za hodinu provizornˇe opravit kolo pak se vr´atit rychlost´ı 10 km/h

x 1 2 3 . . . x

y 0 10 20 . . . (x − 1) · 10

(c) m˚uˇze 2 a p˚ul hodiny ˇcekat na vlak a vr´atit se dom˚u rychlost´ı 30 km/h

x 1 2 3 . . . x

y 0 0 15 . . . (x − 2, 5) · 30

Pˇri jak´e vzd´alenosti od domova se mu jednotliv´e postupy vyplat´ı?

Z grafu je zˇrejm´e, ˇze pro kr´atk´e vzd´alenosti (0-10 km) je nejv´yhodnˇejˇs´ı j´ıt pˇeˇsky. Pro stˇredn´ı vzd´alenosti (10-22,5 km) jet na kole. A pro vˇetˇs´ı vzd´alenosti (22,5 km a v´ıce) jet vlakem.

TEORETICK ´ A ˇ C ´ AST II

7 Motivace ˇ z´ ak˚ u v hodinˇ e matematiky

M´a-li b´yt vzdˇel´avac´ı proces ´uspˇeˇsn´y a efektivn´ı, je tˇreba, aby k v´yuce aktivnˇe pˇristupoval nejen uˇcitel, ale tak´e ˇz´ak. D´ıtˇe, kter´e nastupuje do prvn´ı tˇr´ıdy, se obvykle do ˇskoly tˇeˇs´ı, uˇcen´ı ho bav´ı, je zv´ıdav´e a odhodlan´e dosahovat co nej- lepˇs´ıch v´ysledk˚u. Bohuˇzel s rostouc´ım vˇekem ˇz´aka (a rostouc´ı n´aroˇcnost´ı uˇciva) se situace mˇen´ı, toto odhodl´an´ı pomalu miz´ı a matematika se pro mnoho ˇz´ak˚u st´av´a neobl´ıben´ym, n´aroˇcn´ym, ˇci dokonce nudn´ym pˇredmˇetem. Jak zv´yˇsit z´ajem ˇz´ak˚u o matematiku? Jak zaˇr´ıdit, aby ˇz´aky uˇcen´ı bavilo a uˇcili se r´adi? Jak uˇcit matematiku, aby se j´ı ˇz´aci neb´ali? Odpovˇedi na tyto ot´azky se snaˇz´ıme nal´ezt v t´eto kapitole. Vych´az´ıme pˇri tom z textu R. Blaˇzkov´e (2007 [2]).

Spoleˇcnou odpovˇed´ı na vˇsechny pˇredchoz´ı ot´azky je pojem motivace. Moti- vace je z´akladn´ım pˇredpokladem zah´ajen´ı procesu uˇcen´ı. Motivaci ch´apeme jako souhrn podnˇet˚u, d˚uvod˚u k urˇcit´emu jedn´an´ı. Dˇeti jsou pˇrirozenˇe zv´ıdav´e a uˇz od ran´eho vˇeku spont´annˇe zkoumaj´ı a objevuj´ı okoln´ı svˇet. Pokud budeme tuto je- jich vnitˇrn´ı motivaci podnˇecovat, pak bude proces v´yuky mnohem efektivnˇejˇs´ı.

V praxi to znamen´a,

”ˇze bychom mˇeli zaˇc´ınat od toho, co dˇeti jiˇz znaj´ı, od je- jich ot´azek, ambic´ı a probl´em˚u, a uk´azat jim, jak´y to m´a vztah k tomu, co se uˇc´ı ve ˇskole a jak jim toto uˇcen´ı m˚uˇze poskytnout odpovˇedi, kter´e jim pomohou v´est spokojenˇejˇs´ı ˇzivot.“ (D. Fontana, 2010 [4]) Sv´e m´ısto m´a ale ve ˇskole i vnˇejˇs´ı motivace - pochvaly, zn´amky, testy, zkouˇsen´ı, apod. ´Uspˇeˇsnost dˇet´ı v t´eto ob- lasti buduje jejich prestiˇz v oˇc´ıch spoluˇz´ak˚u, uˇcitel˚u i rodiˇc˚u, ale i jejich vlastn´ı sebevˇedom´ı.

Faktory ovlivˇnuj´ıc´ı motivaci ˇz´ak˚u ve v´yuce matematiky m˚uˇzeme rozdˇelit do ˇctyˇr z´akladn´ıch kategori´ı – faktory t´ykaj´ıc´ı se pˇr´ımo obsahu v´yuky, faktory spo- jen´e s osobnost´ı uˇcitele, faktory t´ykaj´ıc´ı se osobnosti ˇz´aka a spoleˇcensk´e postaven´ı pˇredmˇetu (docenˇen´ı matematick´eho vzdˇel´an´ı a vzdˇel´av´an´ı spoleˇcnost´ı).

• Faktory t´ykaj´ıc´ı se obsahu v´yuky

· vyuˇzit´ı matematiky v praktick´em ˇzivotˇe - ˇz´aci by mˇeli vˇedˇet, proˇc je potˇrebn´e a uˇziteˇcn´e matematiku ovl´adat

· potˇreba matematiky pro dalˇs´ı vzdˇel´av´an´ı nebo pr´aci

· zn´amky a dalˇs´ı formy hodnocen´ı

· mezipˇredmˇetov´e vztahy - vyuˇzit´ı matematiky v jin´ych pˇredmˇetech

· zaj´ımav´e matematick´e ´ulohy, probl´emy, hlavolamy, hry, soutˇeˇze (v r´amci tˇr´ıdy, roˇcn´ıku, ˇskoly i mezi ˇskoln´ı)

· projekty

· z´abavn´a, r˚uznorod´a, tvoˇriv´a a zaj´ımav´a v´yuka

· ˇcinnostn´ı uˇcen´ı, vizualizace, z´aˇzitky

· ”matematika hrou“ - jen m´alo uˇcitel˚u na 2. stupni pouˇz´ıv´a hrav´y pˇr´ıstup k matematice, na kter´y jsou ˇz´aci zvykl´ı z niˇzˇs´ıch roˇcn´ık˚u (hry, soutˇeˇze, manipulativn´ı ˇcinnosti, atd.) - pˇrechod na 2. stupeˇn pak pro ˇ

z´aky m˚uˇze b´yt ˇsokem a m˚uˇze se zmˇenit jejich vztah k matematice

• Faktory spojen´e s osobnost´ı uˇcitele

· odborn´a ´uroveˇn uˇcitele – znalosti, vˇseobecn´y pˇrehled, schopnost pˇred´avat znalosti ˇz´ak˚um (s pˇrihl´ednut´ım k jejich vˇeku, potˇreb´am a ment´aln´ım schopnostem)

· pedagogick´e umˇen´ı uˇcitele, vztah k ˇz´ak˚um, schopnost a zp˚usob komu- nikace, empatie, vystupov´an´ı uˇcitele, trpˇelivost

· jeho vlastn´ı nadˇsen´ı

· schopnost podn´ıtit ˇz´aky k pr´aci a uˇcen´ı

· schopnost zaujmout je

· v´ıce pochval, m´enˇe trest˚u (z´aleˇz´ı na osobnosti ˇz´aka)

• Faktory t´ykaj´ıc´ı se osobnosti ˇz´aka

· touha uspˇet

· zjiˇstˇen´ı, ˇze jeho snaha a ´usil´ı pˇrin´aˇsej´ı sv´e v´ysledky

· radost z toho, ˇze s´am nˇeco objevil

· uzn´an´ı spoluˇz´ak˚u, rodiˇc˚u, uˇcitele + naplnˇen´ı jejich oˇcek´av´an´ı

· pˇrijet´ı odpovˇednosti za sv´e vzdˇel´av´an´ı a v´ysledky sv´e pr´ace

• Spoleˇcensk´e postaven´ı v pˇredmˇetu

· docenˇen´ı matematick´eho vzdˇel´an´ı spoleˇcnost´ı a nejbliˇzˇs´ım okol´ım ˇz´aka Na druh´e stranˇe je mnoho faktor˚u, kter´e naopak vedou k demotivaci ˇz´aka, zp˚usobuj´ı, ˇze ˇz´ak nepracuje, nevyuˇz´ıv´a plnˇe sv˚uj potenci´al a neuˇc´ı se r´ad. Mezi nˇe m˚uˇzeme ˇradit obavu z matematiky a dalˇs´ı negativn´ı emoce, pˇredchoz´ı ne´uspˇech (zvl´aˇst’ dlouhodob´y ˇci opakovan´y), nedocenˇen´ı matematiky okol´ım, spoleˇcnost´ı a pocit nepotˇrebnosti a neuˇziteˇcnosti matematiky, lhostejn´y pˇr´ıstup uˇcitele - k pˇredmˇetu, v´yuce i ˇz´ak˚um samotn´ym, nedocenˇen´ı snahy ˇz´aka a nedostatek po- chval, nepˇrimˇeˇren´y tlak na ˇz´aka (nedostatek ˇcasu, pˇr´ıliˇs velk´y objem uˇciva), ale tak´e svazuj´ıc´ı pocit z povinnosti uspˇet nebo obava z toho, ˇze ˇz´ak zklame sv´e okol´ı a nespln´ı oˇcek´av´an´ı uˇcitele ˇci rodiˇc˚u. Na uˇciteli je, aby tyto faktory co nejv´ıce eliminovat.

Co m˚uˇze udˇelat s´am uˇcitel pro to, aby ˇz´aky motivoval? Uˇcitel:

• je nadchnut´y pro sv˚uj pˇredmˇet, protoˇze jen nadˇsen´y uˇcitel m˚uˇze nadchnout ˇz´aky

• pouˇz´ıv´a v´ıce aktivizaˇcn´ıch metod a preferuje konstruktivistick´y pˇr´ıstup k v´yuce

• umoˇzn´ı ˇz´ak˚um z´aˇzitek z objevu nov´ych skuteˇcnost´ı

• v´ı, ˇze pojmy je tˇreba vn´ımat v mnoha dimenz´ıch

• respektuje pojmotvorn´y proces v matematice – jazyk a uˇcivo je pˇrimˇeˇren´e vˇeku ˇz´aka a ˇz´ak m´a vˇzdy oporu o vlastn´ı pˇredstavy

• vˇzdy dok´aˇze ilustrovat, k ˇcemu se prob´ıran´e t´ema nebo pojmy hod´ı v ˇzivotˇe - to m˚uˇze b´yt nˇekdy obt´ıˇzn´e, protoˇze ne kaˇzd´e t´ema m´a v matematice tak jasnou a bezprostˇredn´ı n´avaznost na praxi

• dok´aˇze propojit uˇcivo se z´ajmy ˇz´ak˚u

• zn´a historii matematiky a vyuˇz´ıv´a ji ve v´yuce formou pozn´amek a zaj´ımavost´ı

• vyuˇz´ıv´a pˇrirozen´e tvoˇrivosti a zv´ıdavosti ˇz´ak˚u (vyhled´av´an´ı informac´ı v en- cyklopedi´ıch, na internetu, pˇri pr´aci s PC)

• vyuˇz´ıv´a neobvykl´e ˇcinnosti, neoˇcek´avan´ych v´ysledk˚u, kouzel, h´adanek a hla- volam˚u pro vytvoˇren´ı momentu pˇrekvapen´ı a z´ısk´an´ı pozornosti ˇz´ak˚u

• vyuˇz´ıv´a uˇciva v ˇsirˇs´ım kontextu (napˇr.: projektov´e a probl´emov´e vyuˇcov´an´ı)

• chv´al´ı

• respektuje individualitu kaˇzd´eho ˇz´aka pˇri v´yuce i budov´an´ı pˇredstav

• pˇr´ıpadn´e chyby ˇz´ak˚u vyuˇz´ıv´a k motivaci pro dalˇs´ı ˇcinnosti

• nezatracuje metody, kter´e fungovaly na 1. stupni - nech´av´a ˇz´aky hr´at si, manipulovat s pˇredmˇety, vyuˇz´ıv´a vizualizace, pˇripravuje re´aln´e situace

8 Aktivizaˇ cn´ı metody ve v´ yuce matematiky

Stejnˇe jako se vyv´ıj´ı spoleˇcnost, vyv´ıj´ı se i poˇzadavky, kter´e jsou kladeny na vˇsechny jej´ı ˇcleny. Je proto zˇrejm´e, ˇze ˇskola mus´ı usilovat o to, aby ˇz´aky co nejefektivnˇeji pˇripravila na ˇzivot v modern´ı spoleˇcnosti, tedy aby vzdˇel´an´ı mˇelo pro vˇsechny ˇz´aky smysl a osobn´ı v´yznam. To ovˇsem nevyˇzaduje jen zmˇenu obsahu vzdˇel´av´an´ı, ale i zmˇenu metod a forem v´yuky a v neposledn´ı ˇradˇe i klimatu a prostˇred´ı ˇskoly - vztah mezi uˇcitelem a ˇz´akem by mˇel b´yt zaloˇzen na partnerstv´ı a vz´ajemn´em respektu, d˚uraz by mˇel b´yt kladen na v´ychovnou funkci ˇskoly a rozv´ıjen´ı interperson´aln´ıch a soci´aln´ıch vztah˚u, ˇskola by mˇela ˇz´ak˚um poskytnout dostatek pˇr´ıleˇzitost´ı k aktivn´ı a tvoˇriv´e ˇcinnosti, ˇskoln´ı komunita by mˇela b´yt modelem demokratick´e spoleˇcnosti (B´ıl´a kniha, 2001 [1]).

Pro ˇz´aka nen´ı vˇzdy nejpˇr´ınosnˇejˇs´ı metoda, kter´a vede rychle k c´ıli. Takov´a metoda sice m˚uˇze vypadat jednoduˇse, elegantnˇe a ´uˇcinnˇe (ˇz´ak obstoj´ı v testu, uˇc´ı se tomu, co se bude poˇzadovat), z dlouhodob´eho hlediska je ale zcela neefektivn´ı (nem´a hlubˇs´ı vzdˇel´avac´ı smysl). R˚ust objemu matematick´ych poznatk˚u totiˇz ne- znamen´a r˚ust schopnosti orientovat se v problematice ˇzivota pomoc´ı matematiky.

Pokud je ˇz´ak˚um matematika serv´ırov´ana ve formˇe hotov´ych poznatk˚u, kter´e nen´ı tˇreba propojovat a porozumˇet jim, m˚uˇze se jim jevit jako discipl´ına, kter´a je zcela odtrˇzen´a od re´aln´eho ˇzivota, kterou je tˇreba se jen form´alnˇe nauˇcit. Proto by pri- oritou ve vzdˇel´an´ı nemˇel b´yt rozsah uˇciva, ale kvalita vzdˇel´avac´ıch postup˚u, kter´e vedou k rozv´ıjen´ı intelektu ˇz´ak˚u, a t´ım i k jejich schopnosti matematiku aplikovat (M. Hejn´y, F. Kuˇrina, 2009 [8]).

Na kaˇzdou vˇedn´ı discipl´ınu, a tedy i na matematiku, se m˚uˇzeme d´ıvat ze dvou hledisek:

1. z hlediska jej´ıho vzniku pˇri ˇreˇsen´ı probl´em˚u v oblasti pˇr´ırody, techniky, spoleˇcnosti ˇci vˇedy;

2. z hlediska vybudovan´e vˇedeck´e discipl´ıny formulovan´e v pˇr´ısluˇsn´em jazyku a uloˇzen´e v uˇcebnic´ıch.

D´ıtˇe, kter´e proch´az´ı stejn´ym procesem jako spoleˇcnost pˇri budov´an´ı a objevov´an´ı vˇedy, kultivuje sv˚uj myˇslenkov´y svˇet, objevuje nov´e pojmy, poznatky a vztahy mezi nimi, ˇc´ımˇz samo sebe obohacuje a z´ısk´av´a dovednosti, kter´e mu umoˇzˇnuj´ı dalˇs´ı duˇsevn´ı rozvoj.

Matematika nen´ı jen schopnost mechanicky poˇc´ıtat, ale mˇela by b´yt povaˇzov´ana za (M. Hejn´y, F. Kuˇrina, 2009 [8]):

• umˇen´ı poˇc´ıtat

• umˇen´ı vidˇet

• umˇen´ı konstruovat

• umˇen´ı dokazovat

• umˇen´ı abstrahovat

Je tˇreba omezit hodiny, v nichˇz se matematika prob´ır´a bez hlubˇs´ıho poro- zumˇen´ı jako syst´em informac´ı a n´avod˚u.

8.1 Vymezen´ı aktivizaˇ cn´ıch metod a jejich klasifikace

”Ch´apat neznamen´a b´yt div´akem...“

(Yves Bertrand, kanadsk´y filosof)

Jak je z n´azvu zˇrejm´e, ´ukolem aktivizaˇcn´ıch v´yukov´ych metod je aktivizovat ˇz´aky a vt´ahnout je do vyuˇcovac´ıho procesu - ˇz´aci by mˇeli b´yt jeho aktivn´ı souˇc´ast´ı, ne pouh´ymi div´aky. Kl´ıˇcovou roli v tomto pojet´ı v´yuky hraje motivace.

Nejprve je tˇreba definovat z´akladn´ı pojmy.

”Aktivitou ve v´ychovnˇe- vzdˇel´avac´ım procesu rozum´ıme zv´yˇsenou, intenzivn´ı ˇcinnost ˇz´aka, a to jednak na z´akladˇe vnitˇrn´ıch sklon˚u, spont´ann´ıch z´ajm˚u, emocion´aln´ıch pohnutek nebo ˇzivotn´ıch potˇreb, jednak na z´akladˇe uvˇedomˇel´eho ´usil´ı, jehoˇz c´ılem je osvo- jit si pˇr´ısluˇsn´e vˇedomosti, dovednosti, n´avyky, postoje nebo zp˚usoby chov´an´ı.“

(J. Maˇn´ak, 1998 [22]) Pojmem aktivizace oznaˇcujeme z´amˇern´e p˚usoben´ı uˇcitele, j´ımˇz se snaˇz´ı pˇrimˇet ˇz´aka k uvˇedomˇel´e uˇcebn´ı aktivitˇe.

Aktivizaˇcn´ı v´yukov´e metody m˚uˇzeme definovat jako

” postupy, kter´e vedou v´yuku tak, aby se v´ychovnˇe-vzdˇel´avac´ıch c´ıl˚u dosahovalo hlavnˇe na z´akladˇe vlastn´ı uˇcebn´ı pr´ace ˇz´ak˚u, pˇriˇcemˇz d˚uraz se klade na myˇslen´ı a ˇreˇsen´ı probl´em˚u.“ (M. Jan- kovcov´a, J. Pr˚ucha, J. Koudela, 1989 [12]) Zd˚urazˇnuje se jin´y pˇr´ıstup k ˇz´ak˚um i jin´e pojet´ı v´yuky. Do popˇred´ı z´ajmu se dost´av´a pˇredevˇs´ım probl´emov´e vyuˇcov´an´ı (objevov´an´ı, heuristika), ˇz´ak˚um jiˇz nejsou pˇredkl´ad´any hotov´e poznatky - d˚uleˇzit´e je vˇec pochopit, ne zapamatovat si.

Aktivizaˇcn´ı metody nejsou nic nov´eho, na v´yznam ˇz´akovsk´e aktivity a samo- statnosti upozorˇnoval jiˇz J. A. Komensk´y. Podle nˇej si mˇel ˇz´ak nov´e poznatky osvojovat pomoc´ı vlastn´ıho aktivn´ıho ´usil´ı a ne jen sedˇet a naslouchat, ve v´yuce je tˇreba zapojit smysly a vlastn´ı zkuˇsenost ˇz´aka. Dneˇsn´ı aktivizaˇcn´ı metody se Komensk´eho koncepci v mnoh´em podobaj´ı. A je moˇzn´e dokonce tvrdit, ˇze ak- tivizaˇcn´ı metody z tohoto pˇr´ıstupu nepˇr´ımo vych´azej´ı. (T. Kotrba, L. Lacina, 2010 [15])

Vzdˇel´avac´ı proces (a pouˇz´ıvan´e metody) je v praxi ovlivˇnov´an mnoha okol- nostmi, jednou z nich je i pˇresvˇedˇcen´ı uˇcitele. Pˇresvˇedˇcen´ı uˇcitele se vyv´ıj´ı a vyzr´av´a v pr˚ubˇehu jeho pedagogick´e praxe, je formov´ano jeho zkuˇsenostmi, vzdˇel´an´ım, ˇzivotn´ım stylem, poˇzadavky spoleˇcnosti, ochotou d´ale se vzdˇel´avat, apod. Pro to, aby pouˇzit´a v´yukov´a metoda byla ´uˇcinn´a, je tˇreba, aby uˇcitel s´am byl pˇresvˇedˇcen o jej´ı spr´avnosti a ´uˇcinnosti.

V literatuˇre se m˚uˇzeme setkat s celou ˇradou zp˚usob˚u klasifikace akti- vizaˇcn´ıch metod. Podle J. Maˇn´aka a V. ˇSvece m˚uˇzeme aktivizaˇcn´ı metody dˇelit na (2003, [23]):

• metody diskusn´ı

· vz´ajemn´a komunikace

· podstatou je v´ymˇena n´azor˚u, argument˚u a zkuˇsenost´ı, coˇz postupnˇe vede ke spoleˇcn´emu nalezen´ı ˇreˇsen´ı dan´eho probl´emu

· plnˇe ´uˇcinn´a je aˇz u vyspˇelejˇs´ıch ˇz´ak˚u - klade n´aroky na for- mulaci myˇslenek, respektov´an´ı odliˇsn´ych n´azor˚u, soustˇredˇenost a angaˇzovanost v dan´em t´ematu a uk´aznˇenost v projevu

· napˇr.: heuristick´y rozhovor, sokratick´y rozhovor, ˇretˇezov´a diskuse, pa- nelov´a diskuse, metoda snˇehov´e koule

• metody heuristick´e

· z ˇreck´eho slova heur´eka (naˇsel jsem, objevil jsem)

· ˇclovˇek m´a pˇrirozenou potˇrebu p´atrat a ˇreˇsit sv´e potˇreby cestou pokusu a omylu

· podstatou je z´ısk´av´an´ı nov´ych poznatk˚u prostˇrednictv´ım ˇreˇsen´ı probl´emov´ych ´ukol˚u a situac´ı pomoc´ı vlastn´ı myˇslenkov´e aktivity a logick´ych postup˚u

· ˇreˇsen´ı probl´emu m´a nˇekolik f´az´ı - vytvoˇren´ı probl´emov´e situace, odha- len´ı probl´emu, analyzov´an´ı probl´emov´e situace, formulace probl´emu, hled´an´ı ˇreˇsen´ı, ovˇeˇrov´an´ı spr´avnosti hypot´ez a v´ysledku, zobecnˇen´ı po- stupu ˇreˇsen´eho probl´emu

· napˇr.: probl´emov´a metoda - pouˇziteln´a v kaˇzd´e vˇekov´e skupinˇe

• metody situaˇcn´ı

· ˇreˇsen´ı probl´emu t´ykaj´ıc´ıho se re´aln´e ud´alosti ˇci situace ze ˇzivota, jehoˇz vy´ustˇen´ı nen´ı jednoznaˇcn´e

· ˇz´aci shromaˇzd’uj´ı informace a navrhuj´ı ˇreˇsen´ı probl´emu, o nej- vhodnˇejˇs´ım ˇreˇsen´ı diskutuj´ı

· napˇr.: ˇreˇsen´ı konfliktn´ı situace, rozborov´a metoda

• metody inscenaˇcn´ı

· podstatou t´eto metody je simulace urˇcit´e situace

· ˇreˇsen´ı probl´emu je realizov´ano formou hran´ı rol´ı

· poskytuje velk´y prostor pro celkov´y rozvoj osobnosti, vede ke zlepˇsen´ı pˇredstavivosti a tvoˇrivosti

• didaktick´e hry

· seberealizaˇcn´ı aktivita s pˇredem dohodnut´ymi pravidly

• projektov´a metoda

· metoda, kter´a vede ˇz´aky k samostatn´emu ˇreˇsen´ı komplexn´ıch ´ukol˚u nebo probl´em˚u, kter´e jsou ˇcasto spojeny s realitou

· ˇreˇsen´ı projektu m´a ˇctyˇri f´aze - stanoven´ı c´ıle projektu, pl´an ˇreˇsen´ı, realizace projektu a vyhodnocen´ı projektu

· c´ılem projektu by mˇel b´yt konkr´etn´ı v´ystup, napˇr.: v´yrobek, praktick´e ˇreˇsen´ı probl´emu, ˇcasopis

• skupinov´e metody

· forma v´yuky, pˇri n´ıˇz spolupracuje nˇekolik ˇz´ak˚u

· spolupr´ace umocˇnuje jejich uˇcebn´ı aktivitu a soci´aln´ı dovednosti;

´

uspˇech jednotlivce je podm´ınˇen ´uspˇechem ostatn´ıch ˇclen˚u skupiny - ˇ

z´aci se mus´ı podporovat a d˚uvˇeˇrovat si

· osvˇedˇcuj´ı se i jako prevence vnˇejˇs´ıch negativn´ıch jev˚u (ˇsikana)

Ne vˇsechny tyto aktivizaˇcn´ı metody je moˇzn´e ˇci vhodn´e pouˇz´ıt v hodin´ach matematiky. Nejˇcastˇeji se ve v´yuce matematiky m˚uˇzeme setkat s metodami heu- ristick´ymi a s didaktickou hrou.

8.2 V´ yznam aktivizaˇ cn´ıch metod ve v´ yuce

Aktivizaˇcn´ı metody mˇen´ı klasickou v´yuku zaloˇzenou na v´ykladu uˇcitele ve v´yuku dynamickou, kter´a upout´av´a ˇz´ak˚uv z´ajem o uˇcivo a vtahuje jej do dan´e problematiky. Aktivizaˇcn´ı metody ve v´yuce umoˇzˇnuj´ı:

• efektivnˇeji pracovat se ˇz´aky,

• kl´ast na ˇz´aky vˇetˇs´ı n´aroky,

• zlepˇsit kvalitu a zv´yˇsit mnoˇzstv´ı osvojen´ych vˇedomost´ı a dovednost´ı ˇz´aka,

• motivovat ˇz´aky.

V´yznam aktivizaˇcn´ıch metod pro ˇz´aka spoˇc´ıv´a pˇredevˇs´ım v jejich umˇen´ı rozv´ıjet u ˇz´ak˚u schopnost (A. Chup´aˇc, M. Sol´arov´a, 2009 [11]):

• schopnost tvoˇrivosti a tvoˇriv´eho myˇslen´ı,

• schopnost pracovat s informacemi,

• schopnost ˇreˇsit probl´emy,

• schopnost vz´ajemn´e spolupr´ace (se spoluˇz´aky i s uˇcitelem),

• schopnost samostatnosti,

• schopnost vlastn´ı aktivity a aktivizace,

• schopnost sebehodnocen´ı,

• schopnost d˚uvˇeˇrovat v sebe sam´eho.

Aktivizaˇcn´ı metody nemaj´ı pozitivn´ı vliv jen na ˇz´aky, ale jsou pˇr´ınosn´e i pro uˇcitele - obohacuj´ı jeho pedagogick´e zkuˇsenosti, zvyˇsuj´ı efektivitu jeho pr´ace, buduj´ı vztah mezi n´ım a ˇz´aky, maj´ı vliv na pozitivn´ı vn´ım´an´ı jeho osoby, br´an´ı rutinˇe a profesn´ı deformaci, jsou vhodnou obranou proti profesn´ı ´unavˇe a vyhoˇren´ı a pˇrin´aˇsej´ı do v´yuky nov´e situace, kter´e ˇcin´ı pr´aci uˇcitele zaj´ımavou a tvoˇrivou.

8.3 Volba vhodn´ e metody

Mezi nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı krit´eria pro volbu optim´aln´ı aktivizaˇcn´ı metody patˇr´ı (H. Grecmanov´a, E. Urbanovsk´a, 2007 [6]):

• naplnˇen´ı v´ychovnˇe vzdˇel´avac´ıho c´ıle a obsahu v´yuky,

• ˇcasov´a pˇrimˇeˇrenost,

• forma,

• prostorov´e moˇznosti a materi´aln´ı vybaven´ı,

• vlastnosti a schopnosti ˇz´ak˚u i uˇcitele,

• kolektiv ˇz´ak˚u ve tˇr´ıdˇe,

• klima ˇskoly.

Neexistuje vˇseobecnˇe platn´y n´avod, jak vybrat vhodnou aktivizaˇcn´ı metodu, z´aleˇz´ı vˇzdy na zkuˇsenostech konkr´etn´ıho uˇcitele, jeho znalostech aktivizaˇcn´ıch metod, jeho odvaze (i zkuˇsen´ı uˇcitel´e tyto metody ˇcasto neznaj´ı nebo se je boj´ı pouˇz´ıvat) a na tom, jak dobˇre zn´a danou skupinu ˇz´ak˚u.

Vhodn´e je prokonzultovat vybranou metodu, hru ˇci jinou aktivitu s dalˇs´ımi uˇciteli jeˇstˇe pˇred samotn´ym pouˇzit´ım ve v´yuce, to pom˚uˇze odstranit pˇr´ıpadn´e chyby a jin´e nedostatky, kter´e jsou zp˚usobeny subjektivn´ım pohledem autora na vˇec.

Aktivizaˇcn´ı metody jsou velmi variabiln´ı a z´avis´ı zejm´ena na kreativitˇe uˇcitele jak, a do kter´e f´aze v´yuky je zaˇrad´ı. Je mnoho oblast´ı matematiky, ve kter´ych je vhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt klasickou formu v´yuky. Aktivizaˇcn´ı metody nemohou zcela nahradit klasickou v´yuku, mohou ji ale doplnit a zatraktivnit (P. Pecina, L. Zor- manov´a, 2009 [26]). Abychom maxim´alnˇe vyuˇzili vˇsechny benefity, je tˇreba naj´ıt rovnov´ahu mezi klasick´ymi a aktivizaˇcn´ımi metodami, jen tak bude v´yuka efek- tivn´ı a pro ˇz´aky zaj´ımav´a a motivuj´ıc´ı.