M a n l i a r h a f t o l i k a m e n i n g a r i den frågan, h u r u v i d a det s k a l l anses nödigt a t t i proportionsläran bevisa räkne- lagarna, då j u dessa äro e t t lån u r a r i t m e t i k e n . M e n arit- m e t i k e n , såsom den börjas i skolans första klass, för a t t icke säga i småskolan, och fortgår t i l l läroverkets högsta stadier, k a n i c k e a l l t i g e n o m h a f v a f o r m e n af en t e o r i m e d allmängiltiga bevis och oföränderliga definitioner. T y d l i g e n förhåller det sig så, a t t bevisen ske medelst t y p i s k a exempel och genom i n d u k t i o n . På skolans första stadier torde väl sällan lagen, a t t m u l t i p l i k a t o r och n i u l t i p l i k a n d i en pro- d u k t k u n n a b y t a plats, bevisas på annan väg än erfaren- hetens, i det m a n genom räkning öfvertygar sig, a t t t . ex.
25 x 13 = 1 3 x 2 5 . När m a n så f o r t s k r i d e r t i l l n y a arter af t a l , får n o g ofta en regel, som befunnits v a r a r i k t i g pä det föregående området, per analogiam gälla, äfven på det nya.. I c k e torde väl de lärare v a r a många, som anse det förenligt m e d undervisningens och lärj ungarnes intresse a t t upptaga t i d e n m e d abstrakta bevis för de förut bekanta räknelagarnes g i l t i g h e t äfven beträffande de i r r a t i o n e l a t a l e n , när dessa inträda i u n d e r v i s n i n g e n . M e d ett o r d : a r i t m e - t i k e n måste t i l l följd af s i n plats v i d u n d e r v i s n i n g e n be- handlas u r en i h u f v u d s a k så pedagogisk s y n p u n k t , a t t dess egenskap af systematisk u t v e c k l i n g måste stå t i l l b a k a . D e t vetenskapliga ligger i lärostoffets g r u p p e r i n g , i den följd, i h v i l k e n de särskilda afdelningarna k o m m a , e h u r u lärjungarne under själfva undervisningens gång icke k u n n a f a t t a fulla betydelsen af sammanhanget i n o m ämnet.
H e l t a n n o r l u n d a förhåller det sig m e d elementargeome-
t r i e n . A f ålder h a r m a n i n o m denna sökt a t t från fixerade
definitioner gå framåt under f o r m af d i s t i n k t formule-
rade satser, som stödjas på h v a r a n d r a medelst k l a r a och
fullständiga bevis. A t t m a n därför icke behöft eller k u n -
n a t förbise det pedagogiska k r a f v e t , är t y d l i g t . Det h a r åtminstone från vissa häll påpekats, a t t E u k l i d e s är i e m i - nent g r a d pedagogisk, och genom den under sista halfseklet använda åskådningsläran har m a n sökt lägga en erfarenhets- g r u n d för g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n . M e n den tendens, som s t u n d o m framträdt, a t t lossa på de f o r m e l a banden v i d denna u n d e r v i s n i n g , tyckes icke t i l l t a l a det svenska l y n n e t . D e n n a o l i k h e t i metoden m e l l a n de båda elementära m a t e m a t i s k a lärogrenarna har t y d l i g e n v a r i t skälet t i l l a t t m a n , då geometrien behöfver stödja sig på talläran, t v e k a t a t t omedelbart u r a r i t m e t i k e n låna de begrepp och satser, som m a n behöfver. D e t är nog under i n v e r k a n af dessa omständigheter, som proportkmsläran v u x i t f r a m . Ämnet, som här föreligger t i l l b e h a n d l i n g , är först a t t framhäfva bety- delsen af talens användning i n o m geometrien eller i all- mänhet v i d behandlingen af k o n k r e t a storheter, h v i l k e t bör k u n n a ske genom en skomatisk framställning af mätningen;
v i d a r e en strängare u t v e c k l i n g af de a r i t m e t i s k a lagar, som här behöfva användas,- samt s l u t l i g e n framställningen af några ur det föregående härledda satser rörande storheters förhållanden, h u f v u d s a k l i g e n de e u k l i d e i s k a satserna i femte boken.
M a n har också t r o t t sig k u n n a införa en sådan läro- gren som proportionsläran i n u berörda o m f a t t n i n g , därför a t t v i d den t i d , då m a n i n o m geometrien bör öfvergå t i l l storheters förhållanden, lärjungen k a n anses hafva nått den mognad, a t t en abstrakt bevisföring är möjlig a t t använda.
Åtminstone torde det icke v a r a lärobokens u p p g i f t a t t före- s k r i f v a en begränsning, som tillfälliga omständigheter i vissa f a l l k u n n a föranleda.
E m e l l e r t i d är det väl i n g e n gren af s k o l m a t e m a t i k e n ,
som g j o r t lärare och lärjungar så många b e k y m m e r som
proportionsläran, och där läroboksförsöken framträdt i sådan
t a l r i k h e t . Då E u k l i d e s ' definition på p r o p o r t i o n e l a storheter
uppenbarligen v a r alltför artificiel och svårfattlig, hvarför
m a n t i d i g t n o g måste afstå. från stödet af hans a u k t o r i t e t ,
har det ena förslaget aflöst det andra. Här gör m a n n u
den iakttagelsen, a t t hos en del läroboksförfattare röjt sig
en t v e k a n a t t i d e n t i f i e r a begreppet förhållande m e d det t a l ,
efter h v i l k e t m a n bedömer förhållandets storlek. A n l e d -
n i n g e n är antagligen den, a t t »förhållande» e n l i g t språk- b r u k e t är någonting obestämdt, som k a n närmare bestäm- mas på många sätt: förhållandet m e l l a n 15 och 12 är t . ex., att t a l e n äro olika, a t t 15 > 12, a t t 15 är
6/i af 12, a t t 12 är
4/s af 15 o. s. v . M e n n u är det icke någonting o v a n l i g t , a t t ett d y l i k t obestämdt u t t r y c k i vetenskapen får en begränsad och fixerad betydelse. Så är äfven fallet m e d u t t r y c k e t skillnad. S k i l l n a d e n m e l l a n 15 och 10 är, a t t 15 är större och 10 m i n d r e , eller a t t 10 går upp i 15, m e n ej tvärtom, a t t 15 är e t t u d d a , 10 e t t jämnt t a l , 15 h a r fak- t o r n 3, m e n 10 icke o. s. v . D e t t a mångskiftande inne- håll, som det dagliga t a l e t k a n lägga i u t t r y c k e t , h a r ej h i n d r a t , a t t m a n i m a t e m a t i k e n m e d s k i l l n a d e n m e l l a n 15 och 10 m e n a r det t a l , som återstår, då det senare dragés från det förra, eller som, l a g d t t i l l det senare, ger det förra. Då lär det ej heller v a r a o r i k t i g t eller obehöfligt a t t i m a t e m a t i k e n fixera »förhållandet m e l l a n två storheter» t i l l att b e t y d a det t a l , som anger, h u r u stor den förra af d e m är, då den mätes m e d den senare. Därigenom b l i sådana benämningar som mätetal, r a t i o n s t a l eller rationsexponent öfverflödiga, och m a n u n d v i k e r en omväg för t a n k e n .
i $