• No results found

H e l t a n n o r l u n d a förhåller det sig m e d elementargeome-

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "H e l t a n n o r l u n d a förhåller det sig m e d elementargeome-"

Copied!
6
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

M a n l i a r h a f t o l i k a m e n i n g a r i den frågan, h u r u v i d a det s k a l l anses nödigt a t t i proportionsläran bevisa räkne- lagarna, då j u dessa äro e t t lån u r a r i t m e t i k e n . M e n arit- m e t i k e n , såsom den börjas i skolans första klass, för a t t icke säga i småskolan, och fortgår t i l l läroverkets högsta stadier, k a n i c k e a l l t i g e n o m h a f v a f o r m e n af en t e o r i m e d allmängiltiga bevis och oföränderliga definitioner. T y d l i g e n förhåller det sig så, a t t bevisen ske medelst t y p i s k a exempel och genom i n d u k t i o n . På skolans första stadier torde väl sällan lagen, a t t m u l t i p l i k a t o r och n i u l t i p l i k a n d i en pro- d u k t k u n n a b y t a plats, bevisas på annan väg än erfaren- hetens, i det m a n genom räkning öfvertygar sig, a t t t . ex.

25 x 13 = 1 3 x 2 5 . När m a n så f o r t s k r i d e r t i l l n y a arter af t a l , får n o g ofta en regel, som befunnits v a r a r i k t i g pä det föregående området, per analogiam gälla, äfven på det nya.. I c k e torde väl de lärare v a r a många, som anse det förenligt m e d undervisningens och lärj ungarnes intresse a t t upptaga t i d e n m e d abstrakta bevis för de förut bekanta räknelagarnes g i l t i g h e t äfven beträffande de i r r a t i o n e l a t a l e n , när dessa inträda i u n d e r v i s n i n g e n . M e d ett o r d : a r i t m e - t i k e n måste t i l l följd af s i n plats v i d u n d e r v i s n i n g e n be- handlas u r en i h u f v u d s a k så pedagogisk s y n p u n k t , a t t dess egenskap af systematisk u t v e c k l i n g måste stå t i l l b a k a . D e t vetenskapliga ligger i lärostoffets g r u p p e r i n g , i den följd, i h v i l k e n de särskilda afdelningarna k o m m a , e h u r u lärjungarne under själfva undervisningens gång icke k u n n a f a t t a fulla betydelsen af sammanhanget i n o m ämnet.

H e l t a n n o r l u n d a förhåller det sig m e d elementargeome-

t r i e n . A f ålder h a r m a n i n o m denna sökt a t t från fixerade

definitioner gå framåt under f o r m af d i s t i n k t formule-

rade satser, som stödjas på h v a r a n d r a medelst k l a r a och

fullständiga bevis. A t t m a n därför icke behöft eller k u n -

(2)

n a t förbise det pedagogiska k r a f v e t , är t y d l i g t . Det h a r åtminstone från vissa häll påpekats, a t t E u k l i d e s är i e m i - nent g r a d pedagogisk, och genom den under sista halfseklet använda åskådningsläran har m a n sökt lägga en erfarenhets- g r u n d för g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n . M e n den tendens, som s t u n d o m framträdt, a t t lossa på de f o r m e l a banden v i d denna u n d e r v i s n i n g , tyckes icke t i l l t a l a det svenska l y n n e t . D e n n a o l i k h e t i metoden m e l l a n de båda elementära m a t e m a t i s k a lärogrenarna har t y d l i g e n v a r i t skälet t i l l a t t m a n , då geometrien behöfver stödja sig på talläran, t v e k a t a t t omedelbart u r a r i t m e t i k e n låna de begrepp och satser, som m a n behöfver. D e t är nog under i n v e r k a n af dessa omständigheter, som proportkmsläran v u x i t f r a m . Ämnet, som här föreligger t i l l b e h a n d l i n g , är först a t t framhäfva bety- delsen af talens användning i n o m geometrien eller i all- mänhet v i d behandlingen af k o n k r e t a storheter, h v i l k e t bör k u n n a ske genom en skomatisk framställning af mätningen;

v i d a r e en strängare u t v e c k l i n g af de a r i t m e t i s k a lagar, som här behöfva användas,- samt s l u t l i g e n framställningen af några ur det föregående härledda satser rörande storheters förhållanden, h u f v u d s a k l i g e n de e u k l i d e i s k a satserna i femte boken.

M a n har också t r o t t sig k u n n a införa en sådan läro- gren som proportionsläran i n u berörda o m f a t t n i n g , därför a t t v i d den t i d , då m a n i n o m geometrien bör öfvergå t i l l storheters förhållanden, lärjungen k a n anses hafva nått den mognad, a t t en abstrakt bevisföring är möjlig a t t använda.

Åtminstone torde det icke v a r a lärobokens u p p g i f t a t t före- s k r i f v a en begränsning, som tillfälliga omständigheter i vissa f a l l k u n n a föranleda.

E m e l l e r t i d är det väl i n g e n gren af s k o l m a t e m a t i k e n ,

som g j o r t lärare och lärjungar så många b e k y m m e r som

proportionsläran, och där läroboksförsöken framträdt i sådan

t a l r i k h e t . Då E u k l i d e s ' definition på p r o p o r t i o n e l a storheter

uppenbarligen v a r alltför artificiel och svårfattlig, hvarför

m a n t i d i g t n o g måste afstå. från stödet af hans a u k t o r i t e t ,

har det ena förslaget aflöst det andra. Här gör m a n n u

den iakttagelsen, a t t hos en del läroboksförfattare röjt sig

en t v e k a n a t t i d e n t i f i e r a begreppet förhållande m e d det t a l ,

efter h v i l k e t m a n bedömer förhållandets storlek. A n l e d -

(3)

n i n g e n är antagligen den, a t t »förhållande» e n l i g t språk- b r u k e t är någonting obestämdt, som k a n närmare bestäm- mas på många sätt: förhållandet m e l l a n 15 och 12 är t . ex., att t a l e n äro olika, a t t 15 > 12, a t t 15 är

6

/i af 12, a t t 12 är

4

/s af 15 o. s. v . M e n n u är det icke någonting o v a n l i g t , a t t ett d y l i k t obestämdt u t t r y c k i vetenskapen får en begränsad och fixerad betydelse. Så är äfven fallet m e d u t t r y c k e t skillnad. S k i l l n a d e n m e l l a n 15 och 10 är, a t t 15 är större och 10 m i n d r e , eller a t t 10 går upp i 15, m e n ej tvärtom, a t t 15 är e t t u d d a , 10 e t t jämnt t a l , 15 h a r fak- t o r n 3, m e n 10 icke o. s. v . D e t t a mångskiftande inne- håll, som det dagliga t a l e t k a n lägga i u t t r y c k e t , h a r ej h i n d r a t , a t t m a n i m a t e m a t i k e n m e d s k i l l n a d e n m e l l a n 15 och 10 m e n a r det t a l , som återstår, då det senare dragés från det förra, eller som, l a g d t t i l l det senare, ger det förra. Då lär det ej heller v a r a o r i k t i g t eller obehöfligt a t t i m a t e m a t i k e n fixera »förhållandet m e l l a n två storheter» t i l l att b e t y d a det t a l , som anger, h u r u stor den förra af d e m är, då den mätes m e d den senare. Därigenom b l i sådana benämningar som mätetal, r a t i o n s t a l eller rationsexponent öfverflödiga, och m a n u n d v i k e r en omväg för t a n k e n .

i $

B l a n d de många läroboksförslagen på proportionslä- rans område h a r största t i l l s l u t n i n g v u n n i t s af H u l t m a n s proportionslära, först offentliggjord i Stockholms G y m - nasii p r o g r a m för 1 8 7 1 . A . E. H e l l g r e n utgaf sedan i nära a n s l u t n i n g t i l l denna proportionslära en bearbet- n i n g af E u k l i d e s ' sjette bok, som s n a r t k o m t i l l stor an- vändning, så a t t den läsåret 1 8 8 9 — 9 0 v a r antagen v i d 19 högre allmänna läroverk och sedermera a n t a g l i g e n fått ännu större s p r i d n i n g . När n u denne författare äfven u t g i f v i t en proportionslära*), är j u u t s i k t för h a n d e n , a t t den s k a l l k o m m a t i l l allmännare användning. D e t är därför af v i k t att noga pröfva, h u r u v i d a den i s i t t n u v a r a n d e framträdande

*) »Proportionslära af A. E . Hrilgreii» (förordet daterad! mars

1!)00). Stockholm. F r . Skoglunds förlag.

(4)

förtjänar den väntade framgången. Några anmärkningar må anses som e t t b i d r a g i den r i k t n i n g e n .

E n l i t e n invändning t i l l a t t börja m e d m o t a t t förf. defini- erar u t t r y c k e t mått till en storhet såsom en storhet, som går upp i den förra e t t h e l t a n t a l gånger eller m . a. o. som a l i k v o t p a r t . A n l e d n i n g e n t i l l denna definition är natur- l i g t v i s , a t t m a n v i l l g i f v a en påtaglig m e n i n g åt bestäm- n i n g e n »kommensurabel». M e n u t t r y c k e t »mått» h a r en vidsträcktare betydelse v i d mätning, och det t o r d e icke v a r a lämpligt a t t i proportionsläran införa denna inskränkning i dess betydelse. O m m a n mätt upp e t t stycke, som befun- n i t s v a r a 7,3 m . , så t v e k a r m a n icke a t t säga, a t t m a n an- vändt m e t e r n som mått.

U n d e r r u b r i k e n förberedande satser anföras några såsom själfklara angifna satser, förnämligast rörande p r o d u k t e r af ett t a l och en storhet, äfvensom u r algebran lånade räkne- lagar för sådana. A t t dessa senare satser upptagas u t a n bevis, strider m o t m i n i det föregående utvecklade uppfatt- n i n g ; och betänkligt synes m i g i alla händelser, a t t be- greppet »produkt af ett t a l och en storhet» införes u t a n a l l d e f i n i t i o n och u t r e d n i n g , särskildt som i den därpå följande h u f v u d a f d e l n i n g e n , proportionslära, den meddelade definitio- nen på »mätetal» och »förhållande» stöder sig på detta ej definierade begrepp.

»Mätetalet m e l l a n 2 storheter af samma slag», säger förf., »är det t a l , h v a r m e d den andra storheten i o r d n i n g e n s k a l l m u l t i p l i c e r a s för a t t b l i f v a l i k a m e d den första». Här m å i förbigående en anmärkning göras i språkligt afseende mot u t t r y c k e t »mätetalet mellan», b i l d a d t i analogi m e d förhållandet mellan. M e n så är e n l i g t m i n m e n i n g , såsom förut b l i f v i t u t v e c k l a d t , hela benämningen mätetal obehöflig, i a l l synnerhet då m a n såsom förf. låter en n y definition följa af denna lydelse: »förhållandet m e l l a n 2 gifna storheter af samma slag är alltså j u s t mätetalet m e l l a n d e m » .

När j a g t i l l sist öfvergår t i l l f ö r t s d e f i n i t i o n på om- vänd proportionalitet, sä v i l l j a g för t y d l i g h e t s v i n n a n d e förut- skicka några, e r i n r i n g a r .

E r f a r e n h e t e n ger oss t a l r i k a exempel på grupper af

m o t h v a r a n d r a svarande storheter, där 2 g o d t y c k l i g a stor-

heter i den ena g r u p p e n hafva samma förhållande som de

(5)

m o t s v a r a n d e storheterna i den andra, t . ex. mängderna och priserna af samma vara. Likaså träffa v i äfven på stor- hetsgrupper, som hafva det samband m e d h v a r a n d r a , a t t 2 g o d t y c k l i g a storheter i den ena g r u p p e n hafva samma för- hållande som de m o t s v a r a n d e storheterna i den andra grup- pen, när dessa tagas i omvänd o r d n i n g . O m m a n t . ex.

h a r en mängd k r o p p a r af samma absoluta v i k t , så utgöra deras v o l y m e r och specifika v i k t e r sådana grupper, så a t t v o l y m e n hos A förhåller sig t i l l v o l y m e n hos B som B:s specifika v i k t förhåller sig t i l l A:s specifika v i k t . Likaså äro i en t r i a n g e l höjderna och motsvarande baser d y l i k a storhetsgrupper. M a n k a n n u k a l l a storheterna i 2 grupper omvändt p r o p o r t i o n e l a m o t h v a r a n d r a , o m de äro så för- b u n d n a , a t t den första förhåller sig t i l l den andra i första g r u p p e n som den a n d r a t i l l den första i a n d r a gruppen, och den a n d r a t i l l den t r e d j e i första g r u p p e n som den t r e d j e t i l l den a n d r a i a n d r a g r u p p e n o. s. v . D e t är denna pro- p o r t i o n a l i t e t , som afses i E u k l . V , def. 20 samt prop. 21 och 23, och som hos Mårten Strömer fått den u n d e r l i g a benämningen »proportion u t a n ordning». Där beskrifves denna p r o p o r t i o n a l i t e t på följande sätt: o m g r u p p e r n a

a, b, c, d och a, ft, y, S gäller a t t

a : b = y : J, b : c = /? : y, c : cl = a : /?•

När v i b l o t t ordna, o m den senare g r u p p e n , så, a t t grup- perna, b l i f v a

a, b, c, d och 3, y, fi, a,

så synes omedelbart, a t t of van uppställda v i l l k o r j u s t stämma öfverens m e d den nyss g i f n a definitionen på omvändt pro- portionela storheter. A f E u k l . V , prop. 23 framgår v i d a r e , att det o m de i definitionen nämnda storhetsgrupperna gäller, att h v i l k a storheter som helst i den ena måste hafva t i l l h v a r a n d r a samma förhållande som de m o t s v a r a n d e i den a n d r a gruppen, tagna i omvänd o r d n i n g .

M e d a n l e d n i n g af E u k l i d e s ' d e f i n i t i o n på r e c i p r o k a n g n

rer är hos Strömer upptagen en definition, som säger, a t t

sidor i e t t par figurer äro p r o p o r t i o n e l a tvärt emot hvar-

andra,, o m de y t t e r s t a i analogien äro i den ena figuren

och de m e l l e r s t a i den andra. För a t t inse, a t t denna, för-

(6)

bindelse m e l l a n sidorna stämmer m e d den här gifna defini- t i o n e n på omvändt p r o p o r t i o n e l a storheter, måste m a n låta en sida i h v a r d e r a figuren höra t i l l första g r u p p e n och de båda återstående i samma o r d n i n g t i l l den andra, vare sig m a n v i l l utmärka sidorna i ena g r u p p e n såsom baser eller på a n n a t sätt beteckna deras samhörighet.

D e n n a Strömers d e f i n i t i o n på l i n i e r , som äro p r o p o r t i o - nela tvärt emot h v a r a n d r a , h v i l k e n väl lämpar sig för den inskränkta användning af omvänd p r o p o r t i o n a l i t e t , som före- k o m m e r i sjette boken, h a r n u förledt vår förf. a t t upp- ställa följande allmänna d e f i n i t i o n , som icke b l o t t är brist- fällig t i l l sin f o r m , u t a n h e l t och hållet o r i k t i g t i l l s i t t innehåll: » T v å storheter A och B sägas v a r a omvändt ( i n - verse) p r o p o r t i o n e l a m e d två andra storheter C och D , o m A : C = D : B , d. v . s. o m de båda första storheterna utgöra de y t t e r s t a och de båda andra storheterna de mellersta ter- m e r n a i analogien».

Förf. lär väl icke k u n n a neka, att, e n l i g t det först anförda exemplet, hos k r o p p a r A och B af l i k a absolut v i k t v o l y m e r n a V

A

och V

B

äro omvändt prop. m o t specifika v i k - t e r n a S

A

och S

B

, h v i l k e t e n l i g t förf.s definition skulle inne- bära a t t V

A

: S

A

= S

B

: V

n

. D e t t a åter droge j u m e d sig den o r i m l i g a följden, a t t p r o d u k t e n af de 2 t a l , som an- gifva 2 l i k a t u n g a kroppars v o l y m e r , skulle v a r a oförän- d e r l i g och l i k a m e d p r o d u k t e n af kropparnas spec. v i k t e r , h v i l k e n absolut v i k t k r o p p a r n a än hade.

M i n a anmärkningar hafva, såsom synes, uteslutande

r i k t a t s m o t den grundläggande delen af förf:s proportionslära.,

och t y d l i g e n är det också v i d b e h a n d l i n g e n af denna del

af ämnet, som hufvudsvårigheterna äro a t t finna.

References

Related documents

[r]

(Grandchild and dementia affected grandfather. Author’s private photo, 2008).

[r]

[r]

[r]

[r]

Stolz, Allgemeine

Förhållandet mellan en rektangel och en cirkel, i hvilken diametern är lm, är lika stort med produkten af basens och höjdens metertal samt förhållandet mellan 4 och n... Tiden