Vad ligger bakom en lärares metod
En kvalitativ studie om lärares metoder och föreställningar om lärande i matematik
Författare: Johannes Nilsson Handledare: Oduor Olande Examinator: Torsten Lindström Termin: HT 21
Självständigt arbete II, 15hp
Abstrakt
En studie som genom kvalitativa intervjuer och observationer har till syfte att försöka förstå vad som ligger till grund vad som gör att en lärare väljer en viss metod i sin undervisning. Men även vilka mål som kan finnas med undervisningen och hur lärare ser på lärande hos elever i
klassrummet.
Lärarna som medverkade hade olika metoder för att lära ut elever, men båda hade samma mål med undervisningen. Nämligen att eleverna ska lära sig någonting. Det finns, beroende på lärare och vilken syn en lärare har på exempelvis undervisning, matematik och lärande olika metoder som läraren anser bäst för att få eleven att lära sig matematik. Men de olika metoder som används strävar ofta efter samma mål, att eleven ska lära sig någonting. Det finns många vägar till kunskap för eleverna, och läraren har väljer av olika anledningar en väg i sin undervisning.
Nyckelord
Didaktik, metod, lärare, undervisning, föreställningar, mål, matematik, praktisk kunskap, teoretisk kunskap.
Tack
Ett stort tack riktas till de två lärare som har deltagit i studien och låtit mig ta del av deras idéer kring lärande, matematikundervisning och hur de ser på matematikämnet. Samt till Odour Olande som har stått ut med mig och stöttat genom processen, och sett till att det faktiskt blivit något av detta.
Innehållsförteckning
Abstrakt...
Nyckelord...
1 Inledning...1
1.1 Syfte & Frågeställning...2
1.2 Syfte...2
1.3 Frågeställning...2
2 Tidigare forskning...3
2.1 Kunskap hos läraren...3
2.2 Mål hos läraren...4
2.3 Föreställningar hos läraren...6
2.3.1 Föreställningar om matematikämnet...6
2.3.2 Föreställningar om enskilda elever eller klasser...7
2.3.3 Föreställningar om undervisning och lärande...7
2.3.4 Föreställningar om lärande hos eleven...7
2.4 Några undervisningsmetoder...8
2.4.1 Fråga-svar-utvärdering ...8
2.4.2 En Meningsskapande metod...8
2.4.3 Innehåll och pedagogik...8
2.4.4 Singapore-modellen...9
3 Metod...9
3.1 Intervjuer...10
3.2 Observation...10
3.4 Urval...11
3.3 Etiska överväganden...11
3.3.1 Intervjuerna...11
3.3.2 Observation...11
3.4 Analysmetod...11
3.5 Har studien någon poäng?...12
4 Resultat...12
4.1 Lärare 1...13
4.2 Metod för introduktion...13
4.2.1 Sekvens från introduktionen...13
4.3 Föreställningar hos lärare 1...14
4.3.1 Föreställningar om undervisning och lärande...14
4.3.2 Föreställningar om lärande hos eleven...15
4.3.3 Föreställningar om matematikämnet...16
4.5 Observation och föreställningar...16
4.6 Lärare 2...16
4.7 Metod för introduktion...16
4.7.1 Sekvens från introduktionen...17
4.8 Föreställningar hos lärare 2...17
4.8.1 Föreställningar om undervisande och lärande...18
4.8.2 Föreställningar om lärande hos eleven...18
4.8.3 Föreställningar om matematikämnet...19
4.9 Observation och föreställningar...19
5 Diskussion...20
6 Slutsater...22
7 Vidare forskning...22
Bilaga 2 – Observationsmall...26 Bilaga 3 – Reflektions-intervju. Mall...27 Bilaga 4 – Mail till lärare...28
1 Inledning
En lärare kommer in i ett klassrum och ska just börja en lektion. Du och de andra eleverna sitter förväntansfulla på sina platser och väntar på att läraren ska börja matematiklektionen. Läraren skriver upp någonting på tavlan och vänder sig med ett småleende mot eleverna. På tavlan står det, 'vad är skillnaden mellan ett tal och en siffra?', du börjar fundera på vad ni gjort tidigare lektioner och har något vagt minne av att detta har ni pratat om tidigare under en annan matematiklektion. En elev får ordet av läraren och börjar ge en förklaring kring sina tankar kring skillnaden, du upptäcker att du inte riktigt håller med, kan det verkligen vara så som eleven säger? Lärare själv ger inget svar på frågan om eleven haft rätt eller fel, utan har bara lyssnat aktivt på eleven och ibland frågat vad eleven menat. Du räcker själv upp handen och läraren ger dig ordet, du förklarar hur just du tänker, läraren lyssnar intresserat och ställer en fråga för att se ifall läraren tolkat ditt svar korrekt.
Läraren ovan har redan här gjort en mängd olika val och fattat ett antal beslut under starten av ovanstående lektion. Det finns ett nästintill oändligt antal sätt att börja en lektion på, så varför valdes här att knyta an med en fråga som klassen jobbat med tidigare? Varför valde läraren överhuvudtaget att börja lektionen med en fråga? Varför ville läraren att eleverna själva skulle uttrycka sina egna tankar och funderingar? Och varför väljer läraren att inte säga om en elevs idé är korrekt eller fel utan verkar anse att det är viktigare att ha förstått vad eleven sagt än om eleven har rätt eller fel?
Finns det en anledning till att läraren väljer den väg som beskrivs ovan, Schoenfeld hävdar
genomgående i sin forskning (1998, 2011, 2015) att de beslut som fattas och de val som görs vilar på tre fundament som han kallar kunskap, mål och föreställningar. Vilket innebär att lärare börjar lektionen på detta sätt för att den har kunskaper, både praktiska erfarenheter och ämneskunskaper som säger att det här är ett bra sätt att göra på, vidare har läraren föreställningar om hur elever lär sig och vad matematik ska vara bra till som ytterligare färgar lärarens beslut, och därutöver finns även vissa mål med lektionen och vad eleverna ska ha med sig när de går därifrån som påverkar lärarens handlande (ibid.). Men spelar det då någon roll vad läraren säger sig ha för föreställningar och mål, enligt en studie kunde Cohen, 1990 påvisa att det finns lärare som uttrycker vissa
föreställningar och mål samtidigt som andra föreställningar och mål kommer till uttryck under en lektion (ibid.). För elevens del spelar detta heller ingen roll, vilka föreställningar, kunskaper och mål som läraren säger sig ha, för det som betyder något för eleven är vad läraren gör på lektionen (Schoenfeld, 2011).
1.1 Syfte & Frågeställning 1.2 Syfte
Målet med uppsatsen är att få kunskap om hur lärare ser på introduktionen av matematiskt innehåll för elever och hur det kan göras. Vilka föreställningar är det som ligger bakom varför en viss metod används framför en annan och hur motiveras valet av metod.
1.3 Frågeställningarna
Frågeställningen blir således som följande.
• Hur väljer lärare att introducera ett innehåll?
• Hur motiveras metoden/tillvägagångssättet för introduktionen?
• Vilka föreställningar om inlärning, matematikämnet, undervisning och metod finns hos läraren?
2 Tidigare forskning
Schoenfeld, 1998, har i ett antal artiklar lanserat sin idé om att det är lärarens kunskaper, mål och föreställningar som ligger till grund för de beslut som fattas av läraren i olika situationer, både planerade och oplanerade, som uppkommer under en lektion (Schoenfeld, 1998). Samtidigt verkar det vara så att lärarens uttryckta föreställningar och mål inte alltid är det som eleverna för möta under en lektion. Det kan vara så att läraren i handlingar under en lektion ger uttryck för andra föreställningar än de som läraren själv uttrycker att den har, när detta sker är det naturligtvis så att det är lärarens handlingar som bestämmer eleven reaktion, och inte lärarens uttryckta
föreställningar.
2.1 Kunskap hos läraren
En lärare besitter än mängd olika kunskaper, varav en del av dessa kunskaper kallas praktisk kunskap. Detta är kunskap som läraren tagit del av genom att utöva sitt yrke och kommer primärt från egen erfarenhet av elever i skolan och deras skiftande intresse, styrkor och svårigheter samt metoder för inlärning (Fenstermacher, 1994). Shulman, 1986, beskriver dessa praktiska kunskaper som kunskaper läraren har erfarit men som saknar vetenskaplig teoretisk grund, samt dessutom ofta svåra eller omöjliga att bevisa på vetenskaplig väg (ibid.). Trots detta är minnet av tidigare
undervisningssituationer och andra erfarenheter från skolmiljön en viktig källa till inspiration och vägledning för vilka idéer som brukar fungera i ett klassrum samt för att stimulera nytt tänkande. Vi kan formulera det som att Läraren blir vis av både egen erfarenhet och andra lärares tidigare
erfarenheter och är lika viktigt för undervisningen i klassrummet som den teoretisk kunskap läraren erhållit (Shulman, 1986). Denna typ av praktisk kunskap är alltid närvarande i ett klassrum hos både lärare och elever. Ett exempel kan vara en matematisk uppgift som inleds med texten 'En flotte flyter längs en flod...'.
Redan här har både elever och lärare en god aning om vilken typ av problem det handlar om och vilka olika lösningsmetoder som är användbara till just detta problem. Beroende på vilken årskurs inom skolan det rör, så kan frågan handla om allt från någon enklare beräkning av sträckan flotten färdats i högstadiet till en uppgift om att beräkna en en hastighet efter en viss tid. Läraren associerar texten till tidigare erfarenheter, vilka metoder som användes den gången och hur själva frågan som helhet kan tänkas se ut. Schoenfeld menar att denna typ av associationer inte är begränsade till matematiska problem utan är det sätt som människor förstår och tolkas in omvärld (Schoenfeld 1998).
Inom pedagogiska sfärer brukar även följande tre olika benämningar på kunskaper användas om kunskaper som lärare besitter, allmänpedagogiska kunskaper (general pedagogical knowledge), ämneskunskaper (subject matter knowledge) och pedagogiska ämneskunskaper (pedagogical content knowledge). I en lärares allmänpedagogiska kunskaper ingår det som har att göra med inlärning i allmänhet. Det vill säga, dels hur ett gott klassrumsklimat skapas samt hur en lektion genomförs, hur instruktioner till elever ges och uppmärksamhet från elever erhålls men även
studieteknik och inlärning i allmänhet. Även kunskaper om undervisningsmetodik och hur en sådan metodik kan implementeras i en lektion eller ett arbetsområde är en del av en lärares
allmänpedagogiska kunskaper (Schoenfeld, 1998).
Ämneskunskaper handlar om vad läraren behärskar i ämnet, men även kunskaper om de strukturer och koncept som ligger bakom de formler och metoder som används och varför dessa är både
användbara och giltiga (Shulman, 1986, Schoenfeld, 1998). Om vi återgår till den tidigare frågan om flotten, och antar att den ger följande frågeställning.
'En flotte flyter längs en flod och ökningen av hastighet i början kan approximeras till
v (t )=ln(1+t) där v(t) är hastigheten i m/s efter t antal sekunder. Vilken acceleration har flotten efter 8 sekunder?
För att kunna besvara denna typ av frågor, krävs ämneskunskaper som rör derivata, samt kännedom om ett sätt att angripa denna typ av problem, exempelvis som följer
Vi söker efter v ' (8). v (t)=ln(t+1) → v ' (t)= 1
t+1 → v ' (8)=1
9=0,111... m/ s2.
Denna typ av lösning kräver kännedom om att derivatan av ln(x) = 1/x, om sådan kännedom saknas måste en härledning, som exempelvis den nedan också göras
Vi vet att : d
dxex=ex och att eln(x)=x.
Eftersom f (x)=ln( x) → ef ( x)=x , kan en derivering
av båda sidor och användning av kedjeregeln göras med följande resultat
ef ( x)f ' (x )=xf ' ( x)=1 → f ' (x)=1
x.
Både lösningen av den fråga som ställdes, samt härledningen av derivatan till funktionen är en del av de ämneskunskaper en lärare bör ha för att undervisa om denna typ av problem.
Kategorin pedagogiska ämneskunskaper kan delas in i fyra olika delar. En del handlar om lärarens kunskaper om att lära ut ämnesinnehållet. Det kan handla om att välja ut vilka delar av ett
ämnesinnehåll som är viktigt för eleven, men även didaktiska metoder som kan användas. Nästa del handlar om lärarens förmåga att förstå vilken del av ett ämnesinnehåll som elever brukar ha svårt med samt känna vanliga vanföreställningar och missförstånd som ett innehåll kan ge upphov till.
Vidare behövs även kännedom om vilka läromedel och annat material som finns tillgängligt för undervisning. Detta kan vara materiel för simulering, laborationer, filmer eller animationer och andra tekniska eller praktiska hjälpmedel. Samt till sist ingår även kännedom om olika
representationsformer för ett innehåll samt att läraren har en uppsjö av olika sätt att presentera ett innehåll och är bekväm med att byta mellan dessa när så behövs (Shulman, 1986, Schoenfeld, 1998).
Ett sätt att binda ihop teoretisk och praktisk kunskap kan vara att se kunskap som ett bibliotek.
Teoretisk kunskap är då de böcker som finns i biblioteket, medan den praktiska kunskapen är kännedomen om var dessa böcker står och hur dessa kan göras tillgängliga. Det räcker alltså inte med att besitta dessa typer av kunskaper som beskrivits ovan, utan som lärare krävs det även att dessa kan plockas fram efter behov och användas i det praktiska yrket (Schoenberg, 1998). Med kunskap menas i denna uppsats både den teoretiska kunskap som lärare inhämtar såväl som den praktiska kunskap som läraren erhållit.
2.2 Mål hos läraren
Ett mål kan ses som det läraren vill uppnå med en lektion eller del av en lektion. Det kan vara sociala mål om sammanhållning, kunskapsmål eller aktivitetsmål hos eleverna. En del av dessa mål är uttalade av läraren och gäller bland annat vilka kunskaper läraren vill föra fram och hur arbetet
kommer fortlöpa under lektionen. Andra mål är outtalade eller dolda handlar bland annat om förväntingar på beteenden och socialt samspel eller vilka åsikter som är passande med mera, det senare kallar Broady för den dolda läroplanen (Broady, 1988), och dessa två olika typer av mål överensstämmer inte alltid med varandra. Lärare har en uppsättning uttalade mål med till exempel en lektion. Men i handlandet under lektionen agerar läraren på ett sätt som motverkar att dessa mål uppfylls. Anledningar till varför detta händer är olika, och kan vara att mål står i konflikt med varandra eller att det är skillnad på vad en lärare säger sig ha för mål och vilka outtalade mål som finns (Schoenfeld, 1998).
En typ av mål är den planering som en lärare har med sig in till en lektion. Olika planeringar från olika lärare kan se väldigt olika ut, men det har visat sig att lärare ofta ställs inför likartade problem i undervisningen och därmed också behöver ta ställning till likartade frågor. När detta sker, har det visat sig att lärare planerar olika och ser dessa problem på olika sätt beroende på vilken syn på ämnesinnehåll och läroplan läraren själv har. De föreställningar som finns hos läraren påverkar således, i olika grad, den planering som gjorts och senare också hur de hjälper sina elever i
klassrummet (Superfine, 2009). Ett exempel är mål som handlar om elevengagemang eller att skapa intresse hos eleven. Beroende på hur läraren ser på styrkeförhållandet mellan dessa mål och mål som ämnesinnehåll eller inlärning, påverkas lärarens planering av lektionen, men också hur läraren agerar i klassrummet om eller när en målkonflikt uppstår. Bremholm och Skott menar i sin studie att denna typ av allmänpedagogiska mål ofta, i norden, prioriteras över kunskapsmål. Därutöver menar de att den planering som görs av lärare och de mål de har ofta influeras av de
matematikböcker som finns på skolan, läroplanen (och tolkningen av den), skolkultur och kolleger.
Samt att detta kan ske på bekostnad av lärarens egna erfarenheter och egna idéer om undervisning.
Det vill säga, ibland böjer sig lärare för skolkultur, läroplan och matematikböcker och gör som dessa föreskriver istället för att göra det som läraren själv genom praktisk erfarenhet tror är det bästa för eleven (Bremholm, Skott, 2019. Sullivan,Clarke, Clarke, Farrel, Gerrard, 2013) . Denna typ av mål, eller planering, kallas i uppsatsen för överbryggande mål (Schoenfeld, 1998).
En annan typ av mål kan kallas förutbestämda mål. Dessa mål kan förstås som flödet i en lektion och inbegriper alltså de delmål som finns under en lektion. Det vill säga, vilka mål som finns förutbestämda innan lektionen börjar och som läraren har tänkt att komma igenom under lektionen samt i vilken ordning som de är tänka att uppfyllas. Det kan vara, introduktion, genomgång, räkna själva, avslut eller mer specifika mål rörande en viss del av lektionen, exempelvis en gruppuppgift och vilka mål läraren har med den gruppuppgiften. Därutöver tillkommer mål som uppstår under en lektion till följd av ett avbrott, ett avbrott kan ske när elever ställer oväntade frågor eller ger
oväntade svar eller vid en händelse som gör att situationen kräver att läraren handlar utanför de mål som satts upp före lektionen (Schoenfeld, 1998). Genom att se på avbrottet, vilken typ av avbrott det är samt hur läraren väljer att prioritera och vilka nya mål som uppkommer till följd av avbrottet, kan en bild av lärarens föreställningar erhållas (Törner, et al, 2010). Antag att en elev under en lektion skriver följande felaktiga ekvation i sitt block.
Ekvation(1): (a+b)2=a2+b2.
Genom att studera hur en lärare förklarar varför detta är fel, kan det ge en bild av vilka
föreställningar läraren har kring matematik som ämne, inlärning och liknande. En lärare som väljer att använda area och geometri för att förklara vad svaret borde har antagligen andra föreställningar jämfört med den läraren som säger att ekvationen ska vara (a+b)2=a2+2ab+b2. och hänvisar till kvadreringsregeln (Schoenfeld, 2011, Törner, et al, 2010).
2.3 Föreställningar hos läraren
Med föreställningar menas en lärares tankar och idéer kring erfarenhet och förståelse av olika slag.
Detta inkluderar tankar om läraren själv, om deras förmågor inom matematik eller som lärare i allmänhet. Det handlar om hur människor lär sig, om intelligens är något medfött, och som därför är oföränderligt, eller om intelligens kan skapas och läras in av individer. Även syn på matematik som ämne, syn på läroplan, syn på undervisning och lärande, syn på elever och grupper i relation till lärande i allmänhet eller lärande av matematik i synnerhet med mera. Kort sagt, vad en person tror om något. Dessa föreställningar påverkar hur en lärare upplever en situation, vad som är lämpligt och olämpligt i dessa omständigheter och vilka mål som sätts upp för just denna situation samt vilka kunskaper som ska beaktas för just denna situation (Schoenfeld, 1998, Törner, et al, 2010).
Schoenfeld pekar ut följande 4 aspekter (Schoenfeld, 1998).
• Föreställningar om matematikämnet
• Föreställningar om lärande hos eleven
• Föreställningar om undervisning och lärande
• Föreställningar om enskilda elever eller klasser
2.3.1 Föreställningar om matematikämnet
Beroende på läraren föreställningar om matematikämnet, sker ett urval av vilka kunskaper som förordas av läraren i undervisningen. En lärare som vurmar för praktisk tillämpning av den matematik som skolan lär ut förordar en annan typ av kunskap och värdesätter andra delar av matematiken jämfört med den lärare som vurmar för att eleverna ska få inblick i den logiska konstruktionen bakom formlerna och förståelse för hur matematiken hänger ihop (Schoenfeld, 2011). Om vi återgår till ekvation (1), och tänker oss en lärare som framförallt är ute efter praktisk tillämpning. En sådan lärare skulle i detta fall kunna tänkas förorda att eleven lär sig
kvadreringsreglerna utantill, och kvadreringsregeln säger som bekant följande:
(a+b)2=a2+2ab+b2. .
Läraren som istället värdesätter den logiska konstruktionen och vill ge eleverna förståelse för hur olika delar av matematiken hänger ihop kanske ger en förklaring kopplad till geometri 0likt den nedan.
Ett tredje sett att titta på ekvation (1), som kanske hade använts av en mer teoretiskt intresserad matematiklärare hade varit att ha en mer strikt algebraisk lösning som den nedan
Ekvation 1: Geometrisk lösning
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a∗b+ab+ba+b∗b=a2+2ab+b2 . Och härigenom även fått med en härledning till kvadreringsreglen.
2.3.2 Föreställningar om enskilda elever eller klasser
Lärarens föreställningar om enskilda elever eller klasser påverkar hur lektioner läggs upp och vilka mål som finns. Ett exempel där alla detta syns är följande: Läraren ger eleverna instruktioner som följer, 1: Rita upp punkterna A och B i ett koordinatsystem, 2: Rita en linje mellan punkterna A och B, 3... och så vidare. En anledning till att läraren använder denna typ av pedagogik kan vara en föreställning om eleverna att det är detta de klarar av och att en mer avancerad eller abstrakt nivå alternativt frågor som inte har på förhand givna lösningsmetoder skulle förbrylla eleverna och klassen. Lärarens val av pedagogik styrs delvis av lärarens föreställningar om elevernas kunskap (Schoenfeld, 2011). Hos svenska lärare används ofta formuleringar som 'en svag klass/grupp' för att motivera denna typ av förenklade frågor.
2.3.3 Föreställningar om undervisning och lärande
I en studie av en lärare som gjordes av Cohen ingick en lärare som nyligen varit med i
fortbildningkurser för lärare, något som revolutionerad lärarens syn på att lära ut. Denna lärare hade tidigare varit traditionell i sitt sätt att undervisa, vilket innebär att matematikinlärning framförallt handlade om att memorisera fakta och olika metoder för att lösa problem, samt att det fanns ett tydligt rätt och fel. Efter dessa fortbildningskurser ville läraren luckra upp på detta, och istället få eleverna att förstå matematiska idéer och undersöka varför vissa idéer håller och andra inte (Cohen, 1990). Men i Cohens analys av lärarens lektioner såg han inte att några av dessa nya, för läraren, revolutionerande idéer fått ta plats. Det Cohen såg var en undervisning som fortfarande bara hade ett givet rätt och fel svar och en undervisningsmetod i klassrummet som inte främjande utforskande av matematik och elevens förståelse av ämnet (ibid.). I en annan studie av Aguirre och Speer beskrivs en lärare som ser matematik mer som en samling av idéer och kognitiva processer än ett antal fastställda faktum. Studier av matematik blir då framförallt ett utforskande av ämnet och en undervisningen som framförallt behandlar koncept och idéer eleven själv skapar, samt verifiering av detta. Under observation av denna lärares undervisning syntes också att läraren ofta uppmuntrade elever att gissa, skapa begrepp och idéer samt resonera själva. Samtidigt som läraren förklarade varför detta var viktigt, och hur denna process är ett sätt att tillskansa sig matematisk kunskap (Aguirre och Speer, 2000). Det finns alltså ingen given koppling mellan vilka uttalade
föreställningar om lärande och undervisning en lärare har och vad läraren senare gör i
undervisningen i klassrummet. Schoenfeld menar, att det finns en skillnad i en lärares uttalade föreställningar och vad läraren faktiskt gör (och egentliga föreställningar). Det är vad läraren gör som är de sanna föreställningarna om lärande och undervisning i matematik och det är vad läraren gör i klassrummet som påverkar eleverna och elevernas kunskapsinhämtning (Schoenberg, 2011).
Inte vad lärare säger sig (vilja) göra i en enkätundersökning eller vid olika intervjuer.
2.3.4 Föreställningar om lärande hos eleven
I norden finns en stark föreställning hos lärare att aktivitet hos eleverna är viktigt för elevernas lärande. Vilket gör att lektioner ofta planeras med detta som utgångspunkt och på olika sätt jobbar med att aktivera eleverna och att detta ökar elevernas lärande (Bremholm, Skott, 2019). Även andra typer av föreställningar om lärande hos elever påverkar en lektions utformande och hur läraren beter sig i klassrummet. Schoenfeld beskriver en lärare som har en föreställning om lärande som
handlar om att kunskapsbyggande hos elever måste utgå från elevens egen kunskap. Läraren ska alltså inte föra in ny kunskap, utan istället med hjälp av elevens egna kunskaper, leda eleven till nya kunskaper (Schoenfeld, 1998).
2.4 Några undervisningsetoder
Under en lektion kan det förekomma situationer när det finns en konflikt mellan det innehåll som läraren vill hinna med och den pedagogiska idé läraren vill använda. Det kan bero på att den pedagogiska idén som läraren föredrar tar mer tid än en traditionell och föreläsande metod. En lärare uttryckte sig, fritt översatt: 'När huset brinner, varför bry sig om pedagogik? Då lutar man sig mot den trygghet som finns i det systematiska innehållet'. Alltså, när läraren är tvungen att välja mellan en viss pedagogisk idé och det innehåll som läraren vill hinna med, så är det oftast innehållet som får företräde (Törner et al, 2010).
Samtidigt finns det situationer när läraren har en utforskande attityd till matematik som ämne och har föreställningar om undervisning och lärande som bygger på utforskande och meningsskapande.
Men samtidigt kan det finnas en oro att detta sätt att bedriva undervisning och hur en sådan undervisning säkerställer att eleverna erhåller den kunskap de ska ha enligt läroplaner. Det kan finnas en konflikt mellan den pedagogik en lärare vill genomföra under lektioner, det innehåll som läroplaner kräver samt om hur ett gott klassrumsklimat ska bibehållas (Wilson och Cooney, 2002).
2.4.2 Fråga-svar-utvärdering
En metod som finns bland lärare kan benämnas fråga-svar-utvärdering. Enligt den här metoden ställer läraren en fråga till klassen, en av eleverna ger ett svar på frågan, och läraren utvärderar svaret och ger en förklaring runt det svar som eleven gav. De frågor som ställs vid denna typ av metod karaktäriseras av att eleverna redan känner till svaret och svaret mer agerar som språngbräda för vad läraren vill förklara för klassen än en fråga som är till för att se vad eleverna har för
kunskaper eller få inblick i elevernas förståelse. När alla tre steg gjorts har en sekvens av denna metod genomförts och en ny sekvens kan inledas med en annan fråga som utgångspunkt. På det här sättet kan läraren hålla eleverna engagerade samtidigt som läraren har en tydlig struktur över lektionen (Mehan, 2003, Schoenfeld 1998).
Ett problem som kan uppkomma med denna metod är vad som händer om en elev inte svarar 'rätt' på en fråga från läraren, i en studie av inspelade lektioner visade det sig att amerikanska lärare framförallt har två olika sätt att besvara felaktiga svar, där den ena metoden är att helt enkelt ignorera det felaktiga svaret, medan den andra går ut på att läraren tolkar eller omtolkar det felaktiva svaret så att det passar det av läraren förväntade svaret och lektionen sedermera kan fortsätta (Stigler, Fernandez, &Yoshida, 1996).
2.4.3 En Meningsskapande metod
En annan metod som finns kan kallas för en meningsskapande metod, vilket innebär att lektionens syfte är att utveckla elevers egna möjligheter till att skapa mening av det innehåll som en lektion omfattar. Detta meningsskapande arbete sker då genom öppna diskussioner och att låta eleverna tänka igenom saker och ting ordentligt och att de idéer som elever föreslår tas på allvar av läraren och andra elever och utforskas ordentligt. Vidare är reflektioner om hur nytt innehåll hänger ihop med saker som eleverna redan känner till viktiga att ta på allvar, för att sätta in den nya kunskapen i ett sammanhang och därmed ge mening åt innehållet. En grundläggande idé kan sammanfattas som, eleverna måste engagera sig i materialet, inte bli tillsagda vilken metod som fungerar (Schoenfeld,
1998).
Schoenfeld ger ett exempel på denna typ av lektion. Eleverna har fått ett problem framför sig där de ska, utifrån fem olika värden, bestämma det bästa värdet på mängden alkohol i en persons blod för att kunna avgöra om personen i fråga var rattfull eller inte. Vidare fick eleverna ta ställning till om ifall något värde var för avvikande från resten och därför borde tas bort, samt hur de såg på ett värde ifall det framkom att en doktor tagit fram detta värde. Samt om medelvärde, median eller typvärde var det som bäst representerade mängden alkohol i blodet, och därmed det som skulle användas för att jämföra med gränsen för rattfullhet (Schoenfeld, 1998).
2.4.4 Singapore-modellen
Ett grundläggande drag för denna typ av matematikundervisning är att den är undersökande av matematikämnet, samt att den eftersträvar elevaktivitet och ett arbetssätt där problemlösning, samtal och resonemang står i fokus. Undervisningen enligt denna modell ska alltså till stor del bygga på dialog och resonemang i helklass eller mindre grupper, och eleverna ska ges möjligheter att reflektera och lära av varandra i stor utsträckning (Agardh och Rejler, 2018).
Lärarens roll enligt denna modell är att ställa utvecklande frågor och uppmuntra eleverna till att tänka efter själva och kanske hitta egna strategier och metoder för att lösa olika problem. Vid samtal med elever ska läraren framförallt tolka och återberätta vad eleverna har sagt, dels för att säkerställa att läraren förstått, men också för att eleven själv ska få höra sina egna tankar. Läraren bör också undvika att ge de korrekta svaren eller metoderna om så är möjligt, poängen är att eleverna själva, genom handledning, ska lyckas hitta metoder och strategier som leder till korrekta svar (ibid.).
3 Metod
Metod innebär det tillvägagångssätt jag använder för att få fram ett empiriskt material till min studie. Då frågeställningen berör vilka beslut en lärare fattar i en klassrumssituation vid
introduktion av ett nytt område, det vill säga, vilken metod som används vid introduktionen, hur läraren bemöter frågor från elever och vilka föreställningar som ligger bakom valet av metod.
Faller sig valet av metod i form av en kombinerad intervju och observationsstudie naturlig.
Anledningen till varför en observation är nödvändig är för att det kan finnas en diskrepans mellan vad lärare säger sig göra eller säger sig vilja göra på en lektion och vad läraren sen faktiskt gör under lektionen, vilket setts i tidigare studier. En ytterligare anledning till att göra en observation är att konkret se hur läraren väljer att utföra sin introduktion och vilken metod läraren använder under introduktionen. Samt om läraren under introduktionen ger uttryck för vissa föreställningar om inlärning, undervisning eller matematikämnet. Genom observationen skapas material som kan diskuteras med läraren i efterhand, och läraren ges möjlighet att reflektera kring sina val av metod och vilka föreställningar om inlärning som kan ligga till grund för valet av metod.
För att få svar på frågan vad som ligger bakom valet av metod och vilka föreställningar läraren har krävs det en form av intervju med läraren. I studien kommer detta att vara en semi-strukturerad inverju, då denna typ av intervju dels ställer upp ramar för vilket område som intervjun ska kretsa kring, men också ger möjligheter till längre utvikningar och förtydliganden.
3.1 Intervjuer
De lärare som ställer upp intervjuas innan introduktionen hålls i klassrummet. Under intervjun beskriver läraren det innehåll introduktionen har, ungefärlig tidsåtgång till introduktionen och hur den ideala introduktionen skulle gå till. I den ideala introduktionen kanske vissa mål eller delmål kommer fram och dessa kan vara, men är inte begränsade till, specifika frågor till elever och förväntade svar, lärmål hos eleven, historisk anknytning, praktisk relevans med mera.
En kort tid efter lektionen hålls en uppföljande intervju med läraren som då ombeds förklara några av sina tankar kring de beslut som togs under lektionen Vilka tankar finns kring valet av metod för introduktion och varför den metoden ansågs lämplig, hur behandlade läraren elevers frågor och svar, men även hur läraren ser på matematik som ämne, på lärande hos eleven och hur de senare två kommer till uttryck i undervisningen.
Båda intervjuerna är av semi-strukturerad karaktär, vilket innebär att det finns ett par frågor som intervjun kommer kretsar kring, se bilaga 1 för intervjumall. Därutöver lämnar denna metod öppningar för mig att prata om relaterade områden som setts under observationen eller dyker upp under intervjun. Målet med intervjun är en fördjupad inblick i lärarens syfte och mål med
introduktionen, varför har just denna metod valts och vilka föreställningar om lärande, matematik och undervisning som ligger till grund för valet av metod. Genom en semi-strukturerad intervju ges möjlighet att dels sätta upp ramar kring vad intervjun handlar om och därmed möjlighet till styrning av frågor, samtidigt som det öppnar upp möjligheter till djupdykningar om vissa frågor om så upplevs viktigt vid intervjun (Stewart et al, 2008, Baker 2006).
3.2 Observation
Vid observationen noteras hur läraren bemöter elever som inte förstår frågan, som svarar rätt eller fel, uppmuntrar läraren till diskussioner om innehållet med mera. Men även hur läraren förhåller sig till det innehåll som läraren vill undervisa om, hur läraren väljer att genomföra introduktionen samt vilken metod som används. Därutöver noteras regelbundenheter i lärarens beteende som kan ligga till grund för föreställningar hos läraren om inlärning, undervisning eller matematikämnet som helhet.
Under själva observationen är jag närvarande i klassrummet, men i en helt passiv roll och utan delaktighet i själva lektionen. Fördelen ligger i att jag är känslomässigt och gruppmässigt fri från de grupper som klassen och läraren utgör, nackdelen ligger i att jag som observatör kan ha svårt att höra och se allt som händer i mindre grupper i klassen. Då syftet med observationen framförallt är att se läraren och lärarens agerande med klassen som helhet under en introduktion, blir denna nackdel mindre relevant (Baker, 2006).
Till observationen finns ett på förhand givet observationsschema som anger vilka delar av lektionen som kommer att studeras och skrivas ner och vilka delar som kommer att ignoreras. Fördelen med detta är att inga godtyckliga observationer kommer finns med i materialet, samt att alla
observationer utförs på samma sätt, vilket skapar reliabilitet och validitet i materialet. Nackdelen är att när godtyckliga observationer tas bort, försvinner också potentiellt relevanta och intressanta aspekter som eventuellt för studien kunde varit intressant (Baker, 2006). Själva observationen har som syfte att titta på tre olika saker. Mer utförligt beskrivet i bilaga 2, Observationsschema.
• Metod: Hur läraren genomför introduktionen. Finns någon tydlig metod, ex Föreläsning, fråga-svar-utvärdering, dialog och aktivering av elever osv.
• Överensstämmelse: Stämmer de mål och det läraren innan introduktionen sa sig vilja göra överens med vad läraren gör under introduktionen.
• Frågor: Hur förhåller sig läraren till frågor från elever, öppnas det upp för diskussion eller inte. Hur påverkar frågors formulering och innehåll lärarens bemötande. Påverkar planering och tid lärarens bemötande av frågan.
3.4 Urval
Jag kontaktade ett antal lärare på två olika gymnasieskolor genom kontakter med matematiklärare på dessa gymnasieskolor. Dock hade en av lärarna inte möjlighet att delta, medan de andra inte svarade. Vilket gjorde att jag tog kontakt med tidigare kontakter på högstadieskolor, de två jag kontaktade på högstadiet hade möjlighet att ställa upp, så det är dessa två som studien omfattar.
Denna typ av urval kan kallas för bekvämlighetsurval, vilket innebär att man tar de lärare som ställer upp inom ramen för den tid som finns uppställd, det är snabbt och enkelt (Denscombe, 2014).
3.3 Etiska överväganden
I undersökningen och samtalen med lärare och tillfrågade lärare har jag varit ärlig med vad jag vill göra, vilket syfte som finns och vilken typ av information som jag är ute efter. Vidare är det en självklarhet att de lärare som ingår i studien är anonymiserade, och att varken ort eller skola de jobbar på förekommer i studien. All kontakt med lärarna innan mötet med dessa skedde via mail, vilket innebär att det finns risk för att obehöriga kan få tillgång till den texten, men det är en risk som bedöms som liten, samtidigt som lidandet för de lärare som deltar också bedöms som litet ifall något sådant skulle ske.
3.3.1 Intervjuerna
Medverkandet från informanterna var frivilligt och möjlighet till att tacka nej fanns. Vidare blev informanterna på förhand informerade om studiens syfte. Vidare fick lärarna även reda på att intervjun spelades in i syfte att användas under studien och att inspelningen raderades efter studiens avslutande (Vetenskapsrådet, 2017).
3.3.2 Observation
Under observationen spelades ingenting in, och ingen kamera användes. De elever som var med under observationen benämndes som 'Elev x' och är därmed anonymiserade i
observationsprotokollet. Eleverna blev också informerade om studiens syfte och att fokus i studien var på läraren och inte på eleverna. Eleverna är visserligen under 18år, men då eleverna är
anonymiserade och inte är del av analysen, utan bara är med som eventuell referens i reflektions- intervjun togs beslutet att ett muntligt samtycke från eleverna var tillräckligt för observationen (Vetenskaprsrådet, 2017).
3.4 Analysmetod
Analysmetoden som användes kallas för innehållsanalys. Detta innebär att för- och reflektions- intervjuerna transkriberas, och tillsammans med de anteckningar som finns i observationsschemat har nu en helhet av skeendet och intervjun skapats. Därefter lästes detta igenom några gånger och
en känsla för denna helhet erhölls. Med hjälp av den känsla som skapats och den samlade text med information som finns plockades nu relevanta delar av innehållet ut. Detta kan vara meningar eller fraser som sagts, om det krävs omgivande text för att kontexten ska bibehållas fanns även denna med i det innehåll som plockats ut. De utplockade delarna av relevant text kondenserades sedan i syfte att korta ner texten utan att något relevant innehåll försvann, därefter kategoriserades den kondenserade texten så att själva innehållet i texten återspeglades i kategorin som valdes. Därefter kopplades de kategorier och teman som skapats ihop med de teorier om beslutsfattande under lektioner som beskrivits i tidigare delar av uppsatsen (Graneheim & Lundman, 2004). De
föreställningar som på detta sätt identifierats hos läraren kommer därefter delas in i de fyra olika kategorier av föreställningar som presenterats i kapitel 2.3.
Därefter jämförs det resultat jag fått med resultat från tidigare studier gjorda på andra lärare med mål att hitta likheter och skillnader mellan mitt resultat och det som tidigare framkommit. Vilka likheter finns mellan de lärare jag sett och de som tidigare studerats, kan man se linjer av likheter i hur lärare tänker och vad de sedan gör under lektioner.
3.5 Har studien någon poäng?
Studien har uppenbara problem med generaliserbarhet, på grund av få deltagare, men är detta verklighen ett problem med studien? Eller är det egentligen bara ett problem för de som vill teoretisera kring ett skeende där man lätt också kan approximera bort problem eller idealisera deltagare istället för att praktiskt erfara en händelse med den myriad av små problem som uppstår i anknytning till skeende. I boken Return to Meaning skriven av Mats Alvesson, Yiannis Gabriel och Roland Paulsen hävdas att en stor del av den samhällsvetenskapliga forskningen är nonsens och saknar relevans för samhället utanför universitetsvärlden i och med att en stor del av all forskning som produceras i stort sett inte citeras eller läses av någon annan. Samt att vid de tillfällen då forskning läses, så läses den av personer inom samma, ofta smala, forskningsmässiga område (Alvesson et al, 2017). Denna studie gör inte anspråk på teoretiserande kring olika fenomen som kan observeras, utan är en redogörelse för hur olika lärare tänker kring sin egen undervisning och sina egna föreställningar kring inlärning hos elever. Det värde läsaren kan få är en inblick i en lärares praktiska vardag, vilket för blivande lärare är långt viktigare än teoretiserande om
pedagogiska modeller. Det som betyder något för eleven är vad läraren gör, inte vilka pedagogiska modeller läraren känner till (Schoenfeld, 1998).
4 Resultat
Följande är resultatet från de två intervjuer och observationer som har gjorts. Resultatet presenteras var för sig för de två lärare som är med. Först presenteras läraren kort, här nämns elevernas
åldersgrupp, lärarens erfarenhet i yrket samt vilket innehåll som introduktionen är tänkt att behandla och lite kort vilka hjälpmedel som finns med. En kort sammanfattning av den intervju som skedde innan introduktionen startade. Därefter följer en beskrivning av en sekvens från lektionen och vad läraren och eleverna gjorde under sekvensen, denna sekvens behandlar också det som en stor del av intervjun handlade om.
Den sista delen av resultatet behandlar sedan det som framkom i intervjun efter lektionens utförande, och behandlar hur läraren tänkte i relation till den sekvens som beskrivits innan. I den tidigare forskningen nämner Schoenfeld fyra olika typer av föreställningar. Flera av dessa är dock snarlika och går gärna in i varandra, samt att det finns flytande gränser mellan dessa. I denna del har jag valt att använda två olika typer föreställningar, då lärarnas svar kan placeras in i dessa. Den ena
typen av föreställningar kallas pedagogiska föreställningar och behandlar det som Schoenfeld beskriver som föreställningar om undervisning samt föreställningar om elever och klasser. Den andra typen av föreställningar kallas här kunskapsbyggande föreställningar som handlar om föreställningar om elevers lärande samt föreställningar om matematikämnet.
4.1 Lärare 1
Läraren har en 20-årig erfarenhet av matematikläraryrket på högstadieskolor och den klass som introduktionen gäller är en högstadieklass. Denna rika erfarenhet gör också att den typ av lektion som ska hållas har läraren hållit ett antal gånger tidigare. Innehållet som skulle behandlas var dels en kort repetition av tidigare kunskaper och därefter 60-bas och 10-bas i talsystemet och hur man kan går från 10-bas till 60-bas och tvärt om, framförallt genom att använda klockan som exempel.
Därutöver tillkommer hur det binära talsystemet hänger ihop med vårt talsystem, samt en kort inblick i Inka-indianernas talsystem. Läraren har också planerat att använda vissa digitala hjälpmedel för att visa en kort film och ha en kort frågesport.
4.2 Metod för introduktion
Den metoden som användes kan mest liknas vid fråga-svar-utvärdering, men det finns en avgörande skillnad som är värd att poängtera. Till de frågor som ställdes förväntades det inte att eleverna skulle kunna svaren, utan frågorna var mer ett sätt aktivera eleverna och se ungefär var de låg till kunskapsmässigt, även elevernas svar vårdades och formulerades så att det framgått vad som sagts för att undvika att elever kände sig överkörda eller inte lyssnade på.
4.2.1 Sekvens från introduktionen
Lärarens startade lektionen med en frågesport om tidigare lektions innehåll med frågor kring vad som är ett tal och vad som är en siffra, samt hur många tal respektive siffror det finns. Eleverna var med och när de gavs ordet av läraren svarade de på frågan, läraren var tydligt intresserad av att höra många elevers tankar oavsett om de tänkte rätt eller fel, samtidigt som läraren undvek att avslöja det rätta svaret.
Sekvensen nedan är hämtade från ett senare skede i lektionen och börjar med att läraren ger ett exempel baserat på en elevs hem och tiden det skulle ta att cykla från elevens hem till skolan. Den uppskattade tiden var 10 minuter och läraren frågade eleverna hur 10 minuter kunde skrivas i timmar och gav en av eleverna ordet. Eleven i fråga blev osäker och svarade att hen inte förstod frågan, varpå läraren omformulerade frågan till 'Hur många timmar är 10 minuter'. Eleven som skulle svara såg fortfarande frågande ut. Läraren valde då att försöka förklara på ett nytt sätt, genom att se omskrivningen från minuter till timmar som en omvandling av enheter och började med antal decimeter per meter, vilket eleven kunde. Läraren skrev då upp följande ekvation.
Där täljaren här är antal decimeter och nämnaren ger helheten, i det här fallet, antal decimeter på 1 meter. Läraren betonade också att det gick 10 decimeter på 1 meter, och att det gick 60 minuter på en timme. Varpå eleven föreslog följande lösning på den tidigare frågan 10
60=1 6 . 10 decimeter
antal decimeter på 1 meter=10 10=1
Vilket ger att 10 minuter är 1/6 timme. Eleven fick nu förklara varför hen föreslagit att de skulle dela med 60 och gav svaret att det var för att det gick 60 minuter på en timme. Efter att ha gjort om till decimalform frågade läraren. Hur många timmar är 15 minuter? En elev svarade nu direkt med följande: 15
60 och läraren frågade, vad blir det? Eleven svarade: Hur ska jag veta det? Eller vänta.... en fjärdedel. Läraren kopplade nu ihop en fjärdedel med en kvart och 15 minuter.
4.3 Föreställningar hos lärare 1
En del som läraren återkom till var att den 20åriga erfarenheten av att jobba som lärare hade över tid förändrat lärarens föreställningar om inlärning, undervisning, pedagogik med mera. Genom den praktiska erfarenheten menade läraren att kunskap om elevers fallgropar och vanliga problem identifierades och därmed också kunde bearbetas och förklaras redan innan eleverna ramlat ner i fallgroparna. Vidare menade läraren även att tankesättet hade förändrats över tid, där läraren i början var ”fokuserad på hur man ska få ut sitt budskap och man har inte tänkt så mycket på vilka frågor jag [läraren] får tillbaka.” (lärare 1) medan läraren med större erfarenhet kunde fokusera på hur eleverna frågor ska besvaras på bästa sätt, och gärna redan innan eleven har ställt frågan.
4.3.1 Föreställningar om undervisning och lärande
Föreställningar om undervisning och lärande 1: ”Jag vill att dom [eleverna] ska bli medvetna om varför dom svarat som dom gör.” (lärare 1).
Ett av lärarens pedagogiska mål var att få eleverna att prata och våga uttrycka hur eleverna tänker och få dem aktiva under lektionen. Som läraren uttryckte sig ”Jag vill att dom ska bli medvetna om varför dom svarat som dom gör, det är därför jag tycker det är viktigt att höra på dom som svarat fel” (lärare 1). Själva svaret från eleven var inte det som stod i centrum, utan läraren ville skapa sig en bild av var eleverna stod kunskapsmässigt, för att sedan kunna hjälpa eleverna vidare därifrån.
Föreställningar om undervisning och lärande 2: ”eleverna är här för att lära sig, inte sitta och vara sociala med andra saker.” (lärare 1).
Att försöka aktivera eleverna kom också till uttryck i hur ordet fördelades i klassrummet. Läraren var medveten om vilka elever som räckte upp handen och vilka som inte gjorde det och valde genomgående under lektionen att ibland ge elever som inte räckte upp handen ordet. Genom att lära eleverna att alla kunde få ordet under en lektion gavs elever inte möjlighet för eleverna att ”känna sig säkra, och räcker jag [eleven] inte upp handen behöver jag inte svara eller lyssna på
genomgången och kan istället sitta och sova på lektionen” (lärare 1).
Föreställningar om undervisning och lärande 3: ”Jag kan ju inte förklara på samma sätt om och om igen fast med högre röst. För de fattar ju inte det sättet” (lärare 1).
En annan tydlig föreställning hos läraren var att om en elev inte förstod en förklaring på ett sätt, så var läraren tvungen att byta sätt att förklara på ”Jag kan ju inte förklara på samma sätt om och om igen fast med högre röst. För de fattar ju inte sättet” (lärare 1). Det är alltså inte elevens fel att den inte förstod, utan det är lärarens fel att den inte lyckades förklara på ett sätt som eleven förstod på.
Föreställningar om undervisning och lärande 4: ”Relationen är ju jätteviktig, för annars bryr sig inte eleverna.” (lärare 1).
En tredje framträdande föreställning hos läraren handlade om relationen elev-lärare. Läraren menade att ”Relationen är ju jätteviktig, för annars bryr sig inte eleverna.” (lärare 1) och att om man skapar en god relation med eleverna, så utför eleverna det läraren vill att de ska utföra samt att avsaknad av en god relation gör att eleverna helt enkelt inte bryr sig. En god relation gör att
eleverna litar på att läraren vill deras bästa, och kommer lotsa dem genom matematikundervisningen på ett bra sätt.
4.3.2 Lärarens föreställningar om lärande hos eleven
Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 1: ”Få dom [eleverna] aktiverade.” (lärare 1).
Detta var ett grundläggande mål för läraren, och läraren menade att ”Jag kan ju inte stå här (visar mot tavlan & katedern) och prata och inte ha någon kontakt med eleverna. För då är det ju jag som har någon föreläsning och det är jag ju inte intresserad av”, utan läraren var intresserad av att ha med eleverna i undervisningen. Vilket också är en anledning till att läraren vill ha med många frågor i lektionen som eleverna ska försöka svara på och vara med i lösningen utav och ”Få dom aktiverade” (lärare 1).
Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 2: ”Hitta något dom [eleverna] känner igen.”
(lärare 1).
Ett annat mål var att alltid försöka knyta ihop elevens händelser med någonting som eleverna hade erfarenhet av, antingen från livet i allmänhet eller från tidigare lektioner. Läraren hade som mål att hitta något eleverna känner igen och att eleverna därigenom blev mer närvarande och aktiva i diskussioner just för att de kunde anknyta till det innehåll som läraren presenterade. Läraren uttryckte sig som ”Hitta något dom känner igen för att dom ska vara närvarande i diskussionen och få nått minne eller någon tanke eller bild av vad det är som vi gör under lektionen” (lärare 1).
Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 3: ”Bygga på något som eleverna redan kan.”
(lärare 1).
När ny kunskap införs handlar det om att hitta ”någonting man kan dra i” (lärare 1), finns det någon kunskaps ö, eller något minne eller erfarenhet som påminner om det här innehållet jag vill att eleverna ska lära sig och sedan använda detta för att koppla ihop det nya innehållet med elevens tidigare minnen, erfarenheter och kunskaper. Ny kunskap måste alltså ”Bygga på något eleverna redan kan” (lärare 1).
Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 4: ”Repetera som tusan.” (lärare 1).
Genom att repetera samma sak många gånger tänker läraren att kunskap flyttas från korttidsminnet till långtidsminnet, och det är det som finns i långtidsminnet som vi faktiskt kommer ihåg och har lärt oss. Repetitionen skulle dels ske många gånger under en lektion, men också över ett antal lektioner i följd eller kunna tas upp senare under läsåret. Dessutom, att repetera inom kort ansåg läraren vara fördelaktig och läraren menade att ”Imorgon när jag tar upp det här igen, har det inte gått mer än 24 timmar sen förra gången, så det ökar chanserna att eleverna kommer ihåg vad vi gjort och därmed kan befästa kunskaperna.” (lärare 1).
4.3.3 Föreställningar om matematikämnet
Föreställningar om matematikämnet 1: ”Generellt sett tror jag att matematiken är ett redskap för
att lösa problem inom andra ämnen.”
Matematiken är mest ett sätt att lösa problem som kan komma upp. Och ett av målen för mig med eleverna är att de ”går ut ur salen med en fördjupad kunskap som de har nytta av.”. Därför handlar matematik ofta just om olika metoder för att lösa problem som kan uppkomma. Vidare menar läraren att det är svårt att motivera elever genom att visa hur häftigt det är att metoden fungerar, utan meningsfullhet för eleven kommer genom att eleverna kan förstå metoden, och då landar det ofta i att metoden är det viktiga.
4.5 Observation och föreställningar
Lärare 1s introduktion återspeglade väl lärarens egna uttryckta föreställningar om både pedagogik och kunskapsbyggande. Återkommande under introduktionen återknöt läraren det nuvarande innehållet till tidigare erfarenheter och kunskaper hos eleverna. I sekvensen börjar läraren med något som eleverna känner igen, med syfte att göra eleverna mer aktiva och intresserade (Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 1 och 2). Sedan när eleven svarar att hen inte förstår frågan tydliggörs frågan och läraren återupprepar samma fråga med olika formuleringar och angreppssätt, just för att få eleven att förstå vad som efterfrågas (Föreställningar om undervisning och lärande 3) . Sekvensen avslutas senare med att läraren försöker medvetandegöra eleven om varför hen svarade på det sättet (Föreställningar om undervisning och lärande 1)
Under lektionen betonades också repetition, framförallt i starten av lektionen som var en repetition av ett kunskapsområde som eleverna gått igenom någon eller några veckor tidigare, samt i talet om nämnare och täljare, som också var repetition från tidigare arbete kring 'bråk' (Föreställningar om lärande hos eleven 2, 3 och 4). I sekvensen syns en förklaring till varför metoden fungerar, men metoden är det centrala i undervisningen, framkommer tydligast när eleven svarade rätt så var inte frågan, 'varför tror du det?' utan 'vad blir det?' (Föreställningar om matematikämnet 1).
4.6 Lärare 2
Lärare 2 har jobbat en bit över 20år som lärare i matematik på högstadienivå, och har därmed god praktisk kunskap om yrket som matematiklärare. Det innehåll som skulle gås igenom var hämtat från matematikboken och behandlade olika typer av prefix samt omvandlingar mellan olika prefix.
Den metod som läraren hade tänkt sig var en metod inspirerad av singapore-modellen, vilket innebär att fokus sätts på diskussioner mellan elever och låta elever förklara för varandra hur de tänker samt en idé om att eleverna ska hitta metoder och strategier för att lösa problem själva.
4.7 Metod för introduktion
Den metod som läraren användes kan bäst liknas vid singapore-modellen. Stort värde sattes på eleverna skulle diskutera i par själva, och sedan presentera sina tankeled och resonemang för hela klassen, och där läraren själv mest försökte vara en handledare som ledde eleven till ett gott resonemang. Att svaret var viktigt hade en poäng, men läraren återkom ofta till att resonemanget fram var det viktigare av de två. Under lektionen räcktes inga händer upp, utan eleverna väntade på att få ordet och sedan svarade de på lärarens fråga.
4.7.1 Sekvens från introduktionen
Läraren har ritat upp ett diagram med fyra olika kolumner som kallas l (liter), dl (deciliter), cl och ml. Läraren har pratat en del om omvandling mellan dessa och eleverna har pratat sinsemellan i par
om detta samt varit involverade i diskussioner med läraren om dessa omvandlingar. Läraren ställer följande fråga, 'Hur många liter är 3,8cl?'. Eleverna sitter i par och diskuterar följande fråga, efter en stund väljer läraren ut en elev som får svara.
Elev: … [tyst].
Lärare: Var sätter vi 3:an?
Elev: på cl position.
Lärare: Var sätter vi 8:an?
Elev: i ml facket.
Lärare. Hur många liter blir det?
Elev: 0.038 liter.
Lärare: Hur tänkte du då?
Elev: vet ej.
Läraren fortsätter med eleven genom en serie nya frågor om hur många hela liter, deciliter osv som finns, och eleven svarar korrekt hela vägen, och läraren menar att vi därmed får 0.038 liter. Precis efter utspelas följande ordväxling.
Lärare: Vad betyder centi?
Elev Hundradel.
Lärare: Vad ska vi dela med då?
Elev: 0.01
Lärare: Om vi multiplicerar, men nu delar vi, så vad ska vi dela med?
Elev: 100.
Lärare: Är du med på skillnaden. Om vi delar så är det 100, om vi multiplicerar är det med 0.01.
Prefixet betyder någonting det är ett tal. Om vi ska gå från 7.2cl till liter gör vi följande.
7,2
100=0.072 liter
Och läraren förklarar att om vi ska gå från centiliter till liter så delar vi med 100, för att centi betyder just hundradel.
4.8 Föreställningar hos lärare 2
Läraren menade att de föreställningar som läraren har om undervisning och inlärning förändrats över tid. Från att tidigare vara mer fokuserad på om eleven har rätt eller fel, och att om en elev svarar fel svara med ”du har fel Johan [fingerad elev], är det någon annan som kan?” (lärare 2) och sedan välja en annan elev som räcker upp handen. Läraren noterade att det alltid var i stort sett samma elever som räckte upp handen och att vissa aldrig räckte upp handen. Inspirerad av
singapore-modellen började läraren förändra sina föreställningar om undervisning och inlärning till att fokusera på tankeled och resonemang, diskussioner i helklass och smågrupper, samt en tillåtande attityd till misstag och fel.
4.8.1 Föreställningar om undervisande och lärande
Föreställningar om undervisande och lärande 1: ”Tillsammans löser vi allting, ihop är vi starka.”
(lärare 2).
För läraren var det viktigt att i klassrummet är alla svar är tillåtna, och att elever är osäkra eller
svarar fel ibland är helt okej. Men när en elev inte kan eller svarar fel, så kan andra elever och läraren hjälpas åt och lösa uppgiften tillsammans med eleven, det finns en gemensam kraft i klassrummet som kan lösa de problem som uppstår. Samtidigt kan också elever pusha andra elever framåt, för om läraren säger någonting så kan det kännas konstigt och svårt, men om eleverna säger till varandra ”det fattar du väl, det är ju såhär.” (lärare 2). pushar och hjälper det eleverna att växa när de för förklara för varandra hur det är.
Föreställningar om undervisande och lärande 2: ”detta behöver jag nog ta en vända till.” (lärare 2).
Genom att låta eleverna presentera vad de hade tänkt själva, oftast i par, fick läraren också en insyn i hur mycket de hade förstått och vilken nivå eleverna låg på. Om en elev inte klarar av att berätta eller förklara så ”är det ett tecken på att du [eleven] är osäker och du [eleven] har inte riktigt förstått.” (lärare 2), och därmed en anledning att repetera innehållet.
Föreställningar om undervisande och lärande 3: ”Ett socialt mål med undervisningen, skapa en trygghet och att det är helt okej att misslyckas” (lärare 2).
En viktig del av undervisningen i klassrummet handlade om att skapa en trygghet hos eleverna där det är okej att göra fel. I klassrum ska eleverna känna att det är okej att säga ”nu fattar inte jag det här.” (lärare 2) samt att eleverna, när de blir tilldelade ordet, ska försöka svara på frågan och våga beskriva hur de tänker. Genom att prata matematik, elever mellan och i helklass, så menar läraren att framförallt de svagare och medelduktiga eleverna gynnas.
Föreställningar om undervisande och lärande 4: ”Målet med lektionen är att de [eleverna] ska lära sig något.”(lärare 2).
En bra, enligt läraren, är en lektion där alla elever har påträffat någonting som de inte kunde sedan tidigare, och att på slutet av en lektion ”önskar jag att det ska ha trillat ner någon typ av pollett hos eleverna” (lärare 2). Om en eleverna bara gör rätt hela tiden och löser alla uppgifter, så är ”en sådan lektion är en helt värdelös lektion.” (lärare 2), för eleverna kan då redan allting från början och eleverna kunde därmed ha gjort någonting annat under den här lektionen.
4.8.2 Lärarens föreställningar om lärande hos eleven
Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 1: ”när du sätter ord på någonting själv, då förstärks kunskapen” (lärare 2).
Läraren menade att det är när eleven sätter ord på någonting som större delen av kunskapen befästs, visst kan eleven lära sig någonting av att höra någonting. Men det är genom att kunna återberätta någonting som eleven riktigt har förstått och kunskapen har befästs hos eleven.
Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 2: ”Vi lär oss mer av våra misstag.” (lärare 2).
Läraren menade att genom att få elever att försöka och förklara hur de hade tänkt, så lär sig eleverna mer. Om eleven förstår vad som gick fel, kan eleven ofta själv rätta till felet, samtidigt kan även andra elever i klassrummet dra nytta elevens feltänk och lära sig av det. Samtidigt finns risken att en elev som misslyckas fastnar i felet och tänker ”jag gjorde fel, och jag vet inte varför, jag kan ingenting”, och hamnar i, ”hopplöshetens grop” (lärare 2), varför lärarens roll här är viktigt för att undvika hopplösheten och kunna hantera ett misstag på ett konstruktivt sätt.
Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 3: ”Jag tror att repetition är viktigt”(lärare 2).
Läraren tänkte att dels under lektionerna är repetitionen viktig, i början av en lektion tas ett problem upp, och samma lektion kan sedan ”avslutas med någonting som tagits upp [tidigare] under lektionen.” (lärare 2). På detta sätt repeteras samma kunskap flera gånger under samma lektion dessutom, menade läraren, att det även var viktigt att repetera denna kunskap om och om igen under flera lektioner framöver och koppla ihop innehållet för att försöka få eleverna att förstå hur olika delar av matematiken hänger ihop.
Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 4: ”Det är när jag gör någonting, jag lär mig någonting.” (lärare 2).
Läraren menar att det är när eleven utför en beräkning som inlärning kan ske. Visst kan en lärare instruera och tala om hur eleven kan göra eller tänka, samt vilken metod som kan användas för att lösa ett problem. Men den stora inlärningen sker när eleven själv utför och försöker lösa ett matematiskt problem.
4.8.3 Föreställningar om matematikämnet
Föreställningar om matematikämnet 1: ”Att de har tänkt rätt är det viktigaste.” (lärare 2).
Läraren ansåg att matematik inte bara handlar om att 'killgissa' olika svar och kanske ha rätt ibland.
Utan matematik handlar om att reflektera och kunna berätta ”hur du kommer fram till målet”.
Svaret är enligt läraren viktigt, men ”att de har tänkt rätt är det viktigaste” (lärare 2).
Föreställningar om matematikämnet 2: ”Jag tycker det är viktigare att dom lär sig tänka matematik än att de lär sig massa effektiva metoder.”(lärare 2).
Det viktiga i matematiken är, enligt läraren, inte att kunna en viss formel eller metod för att lösa ett svårt problem, utan att förstå varför formeln eller metoden fungerar. För om du inte förstår formeln eller metoden, är risken stor att eleven inte förstår rimligheten. Med låg grad av förståelse för formeln och metoden kanske eleven inte kan lösa problemet alls, för problemet är inte formulerat på det sätt som eleven har lärt sig att problem ska formuleras på.
4.9 Observation och föreställningar
I sekvensen syns att läraren verkligen följer sina pedagogiska föreställningar under själva
lektionen, läraren försöker få elever att sätta ord på sina tanker genom att låta dem prata i par och sedan be någon besvara en fråga inför hela klassen så att hela klassen är delaktig i problemet som ska lösas, (Lärarens föreställningar om lärande hos eleven 1, Föreställningar om undervisande och lärande 1). När eleven svarade fel ovan, valde läraren att tolka svaret som att eleven förstått frågan fel och ställde sedan frågan igen, elevens misslyckande tilläts, och det gjordes ingen grej av det.
Utan lärare ansåg att det var ett tecken på något som behövde repeteras, (Föreställningar om undervisande och lärande 2 och 3).
I sekvensen syns också att det är tankeledet och varför det stämmer som tar överhand över en specifik metod. Den metod som visas finns där, men fokus ligger på att förklara begrepp som centi och olika matematiska beräkningar, som att dela med 100, och varför de hänger ihop med begreppet centi (Föreställningar om matematikämnet 1 och 2). När eleverna ombeds att prata om ett problem som beskrivits och hur de skulle löst detta tvingas eleverna att själva försöka lösa problemet,
samtidigt som de också blir tvungna att försöka förklara för andra hur de går till väga (Föreställningar om lärande hos eleven 1 och 4).
5 Diskussion
En viktig aspekt som båda lärarna också tog upp handlade om erfarenhet, båda lärarna hade, genom yrkeslivet och därmed också inhämtandet av praktisk kunskap förändrats i sina föreställningar om undervisning. Lärare 1 ger en också en bild liknande den Fenstermacher, 1994 och Shulman, 1986 ger, när läraren beskriver att den praktiska kunskap som inhämtats under yrkeslivet ger möjlighet att förekomma problem hos eleverna och förhindra tveksamheter hos elever redan innan de uppkommit, vilket också liknar det Schoenfeld, 1998, kallar för ämnesdidaktiska kunskaper. För lärare 2 handlade förändringen mer om det Schoenfeld, 1998, beskriver som allmänpedagogiska kunskaper, i och med att läraren ville förändra klassrumsklimatet till ett annat än det rådande och få en större delaktighet hos alla elever i undervisningen. Gemensamt var dock att det var en praktisk kunskap och erfarenhet som låg till grund för förändringar i föreställningar och sedan
genomförande av undervisningen.
En aspekt som båda lärarna poängterade efteråt på olika sätt var att eleverna var i skolan och på deras lektioner framförallt för att lära sig någonting. Som lärare 1 uttryckte sig ”eleverna är här för att lära sig, inte sitta och vara sociala med andra saker.” och lärare 2 menade att ”Målet med lektionen är att de [eleverna] ska lära sig något.”, och vidare att en lektion där eleverna inte lär sig någonting är en värdelös lektion. Även om lärare 1 också har målet att ”Få dom [eleverna]
aktiverade.” står dessa tydliga kunskapsmål i kontrast till de lärare i norden som enligt studien av (Bremholm och Skott 2019) framförallt har mål som rör elevaktivitet och mer sällan mål som rör kunskapsinhämtning hos eleverna
Båda lärarna hade även sociala mål, i det att båda lärarna ville skapa ett gott klassrumsklimat, lärare 2 uttryckte sig som ”Ett socialt mål med undervisningen, skapa en trygghet och att det är helt okej att misslyckas” och lärare 1 menade att ”Relationen är ju jätteviktig, för annars bryr sig inte eleverna.”. Denna typ av sociala mål är det som Broady kallar för den dolda läroplanen (Broady, 1988), och var tydliga, framförallt i lärare 2s klassrum, där inte en enda elev räckte upp handen under introduktionen. Men även hos lärare 1 syntes dessa mål när läraren valde att en annan elev än någon av de som räckte upp händerna fick ordet och skulle svara på frågan. Båda lärarna hade nämligen ett outtalat mål att alla elever skulle kunna få ordet närsomhelst under en lektion och då försöka svara på frågan. Föreställningen om att kunna ge ordet till vilken elev som helst i klassen kan ha effekten att alla elever blir mer aktiva, just för att det är lite 'skämmigt' att få ordet och sedan inte kunna svara och på så sätt bli påkommen som ouppmärksam. Med denna typ av tolkning av lärararnas föreställningar blir resultatet mer i linje med det som Bremholm och Skott fann i sin studie, dock är målet här inte uttalad aktivitet, utan grunden finns i en föreställning om ett specifikt klassrumsklimat.
När eleverna fick en fråga och besvarade denna fanns det en viss skillnad. Hos lärare 2 fokuserades det mer på att få eleven att visa hela tankeledet och förklara varför eleven svarat som hen gjorde, vilket kan bero på lärarens föreställning om matematik där läraren sa ”Jag tycker det är viktigare att dom lär sig tänka matematik än att de lär sig massa effektiva metoder.”. Lärare 1 ställde mer sällan uppföljande frågor, och om eleven svarade rätt, var det mer sällsynt att läraren frågade varför hen svarat som hen gjorde. Det var även mer sällsynt att läraren grävde i elevens svar och
resonemang, vilket kan hänga ihop med lärarens föreställning om matematik, där läraren menade att
”Generellt sett tror jag att matematiken är ett redskap för att lösa problem inom andra ämnen”.
