DIPLOMOVÁ PRÁCE 2004 / 2005

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

FAKULTA MECHATRONIKY A MEZIOBOROVÝCH INŽENÝRSKÝCH STUDIÍ

DIPLOMOVÁ PRÁCE

2004 / 2005

STATISTICKÉ VYHODNOCENÍ Č ASOVÉ Ř ADY „DJIA“

V Liberci, leden 2005 Petr Pokorný

Prohlášení

Byl jsem seznámen s tím, že na mou diplomovou práci se plně vztahuje zákon č.121/2000 o právu autorském, zejména $ 60 (školní dílo).

Beru na vědomí, že TUL má právo na uzavření licenční smlouvy o užití mé DP a prohlašuji, že souhlasím s případným užitím mé diplomové práce (prodej, zapůjčení apod.).

Jsem si vědom toho, že užít své diplomové práce či poskytnout licenci k jejímu využití mohu jen se souhlasem TUL, která má právo ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, vynaložených univerzitou na vytvoření díla (až do jejich skutečné výše).

Diplomovou práci jsem vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím diplomové práce a konzultantem.

Datum

Podpis

Pod ě kování

Je mou povinností poděkovat panu Doc. Ing. Vladimíru Kracíkovi za přínosné rady a připomínky.

Anotace

Úkolem diplomové práce je matematicky zpracovat a statisticky vyhodnotit časovou řadu „DJIA“, tvořenou od roku 1930 Dow Jonesovým burzovním indexem. Hlavním cílem je ověření, zda přírůstky této řady vykazují logaritmicko- normální rozdělení, resp. „Geometrický Brownův pohyb“.

Potřebná data jsou volně dostupná na internetovém serveru http://www.yahoo.com. Programové zázemí, tzn. načtení dat ze serveru a jejich další zpracování, je provedeno pomocí programovacího jazyka Rebol. Pro testování dat a využití náhodných čísel je vhodné použít server http://www.random.org, kde nalezneme jak možnosti testování dat, tak především obecně uznávaná náhodně generovaná čísla.

Abstract

The task of the diploma thesis is to do a mathematic processing and statistic rating of temporal sequence “DJIA”

made with Dow Jones Industrial Average since 1930. The main aim is to test if the grows of this sequence have the characteristics of logarithmic normal distribution and

“Geometric Brownian Motion”. The needed data are accessible at the web server http://www.yahoo.com. The programming device is made with the programming language called Rebol. It is appropriate to use the server http://www.random.org for the testing and generating random numbers. Here we can find the possibilities of testing as well as generally acknowledged randomly generated numbers.

Obsah

1. Úvod 7

2. Dow Jones Industrial Average 8

2.1. Charles Dow ... 8

2.2. Historie a vývoj indexu ... 10

2.3. Dowova teorie ... 13

2.4. Další burzovní indexy ... 16

3. Matematické podklady 21

3.1. Geometrický Brownův pohyb ... 21

3.2. Logaritmicko-normální rozdělení ... 23

3.3. Black-Scholesův vzorec ... 25

4. Seznámení s programovacím jazykem Rebol 28

4.1. Historie a popis ... 28

4.2. Struktura a základní principy ... 31

5. Aplikace pro ř ešení problému 38

5.2. Výpočet statistických veličin ... 40

5.3. Simulace náhodného pohybu ... 42

5.4. Kumulace a hustota pravděpodobnosti ... 45

5.5. Ověření Kuiperovou metodou ... 52

5.6. Seznam použitých rebolovských funkcí ... 55

6. Záv ě r 57 7. Použitá literatura 58

8. Seznam p ř íloh 59

1. Úvod

V teoretických pracích o burzovních trzích se již léta standardně považuje časový průběh přírůstků hodnoty Dow Jonesova Indexu za „Geometrický Brownův pohyb“. První burzovní analytik, který se začal zabývat zákonitostmi obchodování na burze, byl Charles Dow. Ceny akcií sledoval pomocí indexu.

Z dnešního pohledu je jeho metoda zastaralá, ovšem poskytla přínos pro snahu o co nejpřesnější popis chování cen akcií.

Tato snaha se na burzách uplatňuje více či méně úspěšně. Ke zvýšení úspěšnosti přispívají i matematické a statistické analýzy. Některé z nich v posledních letech ukázaly, že průběh Dow Jonesova Indexu zcela neodpovídá zaběhnutým kolejím, a proto bude potřeba „přehodit výhybku“. Jsou ale i tací, kteří tento standard považují i nadále za správný. Cílem mojí práce je ověřit a vyhodnotit tyto dva postoje.

2. Dow Jones Industrial Average 2.1.

Charles Dow, hlavní autor DJIA, se narodil 6. listopadu 1851 ve Sterlingu ve státě Connecticut. Po celý život pracoval jako reportér. Roku 1872 získal práci v „The Spriengfield Daily Republican” a obrátil celé město na stranu republikánů.

Zde zůstal do roku 1875, kdy se odstěhoval na Rhode Island a začal pracovat jako noční reportér pro „The Providence Star”.

Po zániku tohoto deníku v roce 1877 pracoval dva roky v „The Providence Journal”. V roce 1879 Dow na žádost Journalu navštívil Leadville, město, ve kterém byly objeveny diamanty.

V tu dobu bylo Leadville nejznámější hornické město v zemi.

Zde se Dow seznámil s předními finančníky a začal se orientovat na zprávy ze světa financí. Zabýval se finančními aspekty rozvoje těžby.

Roku 1880 se přestěhoval do New Yorku, kde si na Wall Street našel práci jako zpravodaj zabývající se důlními akciemi. Brzy se stal známým reportérem schopným odborných finančních analýz. Byly mu také svěřovány tajné informace.

V té době Dow pracoval také pro zpravodajskou agenturu „The Kiernan News Agency”, kde se setkal s Edwardem D. Jonesem, spolupracovníkem už z Providence.

V roce 1882 spolu založili společnost Dow Jones & Company.

Společnost se zabývala shromažďováním a zpracováváním finančních zpráv a doručováním těchto zpráv finančním institucím. Dow i Jones sbírali novinky a večer zpracovávali zprávy na příští den. V roce 1884 se společnost rozrostla. Dow a Jones začali zaměstnávat poslíčky a pracovníky pro shromažďování nových zpráv. Roku 1883 Dow Jones & Company začala tisknout noviny s denními zprávami. Tyto noviny byly

V rozmezí let 1885 a 1891 byl Dow členem New York Stock Exchange. Stal se taktéž společníkem v Goodbody, Glynn & Dow.

8. července 1889 Dow a Jones začali vydávat známý „The Wall Street Journal”. Jako jeho vydavatel byl Dow schopen uveřejnit své studie o financích a investicích.

Charles Dow zemřel v roce 1902 ve věku 51 let.

2.2. Historie a vývoj indexu

Dow Jonesův burzovní index je označován zkratkou DJIA, neboli Dow Jones Industrial Average. Charles Dow a Edward D.

Jones ho prostřednictvím svojí firmy vytvořili již v roce 1896. Tehdejších dvanáct amerických průmyslových akcií vytvořilo index, resp. průměr s počáteční hodnotou 40,94 bodů.

Těchto 12 komponentů tvořily tyto společnosti:

America Cotton Oil předchůdce CPC International American Sugar dnešní Amstar Holdings

American Tobacco ukončen roku 1911

Chicago Gas převzat společností Peoples Gas Distilling and Cattle Feeding současný Quantum Chemical

General Electric jediná firma stále v bázi DJIA Laclede Gas vyjmut z DJIA roku 1899

National Lead dnešní NL Industries

Tennessee Coal & Iron převzat společností U.S. Steel North American zánik kolem roku 1940

U.S. Leather zánik roku 1952

U.S. Rubber dnes Uniroyal, součást Michelinu Od roku 1928 má DJIA třicet komponentů. Těchto 30 amerických průmyslových, mediálních, finančních a technologických blue-chips (a.s.) v současné době tvoří asi pětinu tržní kapitalizace všech amerických společností a asi čtvrtinu kapitalizace Newyorské akciové burzy (NYSE). 100 bodů překonal index 12. ledna 1906, 1000 bodů 14. listopadu 1972 a kulatá hranice 10000 bodů byla pokořena 29. března 1999 (viz.

dále).

Nyní máme možnost nahlédnout do důležitých momentů DJIA.

Nejprve si zavedeme jakousi „top-ten“ deseti nejlepších a nejhorších roků:

Příčka Rok Uzavření Změna v %

1 1915 99.15 +81.66

2 1933 99.90 +66.69

3 1928 300.00 +48.22

4 1908 86.15 +46.64

5 1954 404.39 +43.96

6 1904 69.61 +41.74

7 1935 144.13 +38.53

8 1975 852.41 +38.32

9 1905 96.20 +38.20

10 1958 583.65 +33.96

Tab.2.1. Deset nejúspěšnějších let

Příčka Rok Uzavření Změna v %

1 1931 77.90 -52.67

2 1907 58.75 -37.73

3 1930 164.58 -33.77

4 1920 71.95 -32.90

5 1937 120.85 -32.82

6 1914 54.58 -30.72

7 1974 616.24 -27.57

8 1903 49.11 -23.61

9 1932 59.93 -23.07

10 1917 74.38 -21.71

Tab.2.2. Deset nejhorších let

Do současné doby překonal Dow Jonesův Index hranici 11000 bodů, přesněji 11723 bodů. Předcházel tomu následující vývoj:

Body řádově Body přesně Datum

1000 1003.16 14.11.1972

2000 2002.25 8.1.1987

3000 3004.46 17.4.1991

4000 4003.33 23.2.1995

5000 5023.55 21.11.1995

6000 6010.00 14.10.1996

7000 7022.44 13.2.1997

8000 8038.88 16.7.1997

9000 9033.23 6.4.1998

10000 10006.78 29.3.1999

11000 11014.69 3.5.1999

11700 11722.98 14.1.2000

Tab.2.3. Význačné mezníky v dějinách DJIA

Na grafu níže vidíme, jak se DJIA vyvíjel od roku 1930, od kterého je složen ze 30 amerických podniků. Za podotknutí stojí, že v první polovině vývoje z tohoto grafu nejsou změny příliš patrné, protože hodnoty se během doby řádově zvýšily.

Proto dále budeme pracovat s grafem zlogaritmovaných hodnot.

DJIA

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

čas

index

Obr.2.1. Vývoj DJIA do současnosti 2.3. Dowova teorie

Podle Dowových poznámek v „The Wall Street Journal”

několik analytiků odvodilo jeho teorii. Tuto teorii tedy nevytvořil Charles Dow sám, ale pouze zpracovával své studie, na jejichž základě ostatní usoudili, že jde o přesvědčivou teorii. Teorie byla vykládána různě, ale její podstata je přibližně následující:

Sleduje tři základní pohyby křivky:

• Základní trend, který probíhá několik let. Jedná se buď býčí nebo medvědí trend.

• Pohyby opačné k základnímu trendu. Tyto opačné „úseky“

trvají v rozmezí týdnů až měsíců.

• Denní výkyvy do obou základních směrů. Tyto denní výkyvy mají, kromě toho, že utvářejí základní trend, malou důležitost.

Podle teorie musí indexy Industrial Average a Railroad Average navzájem potvrdit směr průběhu, aby se jednalo o spolehlivý tržní signál směru. V případě, že se křivka během

několika týdnů a déle pohybuje v omezeném rozpětí přibližně 5%, byla podle teorie stanovena linie a začíná akumulace nebo distribuce. Když oba indexy prolomí tuto linii směrem nahoru, značí to podle teorie začátek nakupování a ceny akcií by měly růst. Naopak prolomí-li oba indexu tuto linii směrem dolů, nastává čas prodejů a ceny by měly klesat. V případě, že danou linii protne pouze jeden z indexů, je podle teorie tento pohyb nepřesvědčivý.

Dowova teorie ve vztahu k objemům obchodů:

• „Překoupený“ trh reaguje na prudký růst cen nízkým objemem obchodů, naopak při poklesu cen jsou objemy obchodů obvykle nadprůměrné.

• „Přeprodaný“ trh se chová opačně. Růst cen bývá doprovázen vysokými objemy obchodů, pokles doprovází nízké objemy. Vysoké objemy se objevují na konci býčího (rostoucího) trhu, slabé objemy obchodů charakterizují konec medvědího (klesajícího) trhu.

Aktivní tituly s velkou tržní kapitalizací obvykle korelují s pohybem indexů. Ovšem výkon jednotlivých titulů se může lišit od výkonu indexu vzhledem ke specifickým událostem, které ovlivňují ten který titul.

V pozadí teorie stojí skutečnost, že průmysl a doprava na sobě nejsou vzájemně závislí. Nicméně, aby se mohly dostat průmyslové výrobky na trh, potřebují k tomu dopravu, a tak, když se daří průmyslu, daří se i dopravě. V případě, kdy se

nesoulad. Pokud zaostávající sektor svou ztrátu delší dobu nedorovná, lze očekávat na trhu výrazný obrat. Pro potvrzení změny směru není potřeba, aby oba indexy protnuly linii zároveň, ovšem druhý index by následovat dříve, než se první index znovu vrátí do pásma. Dowova teorie také říká, že by se měly používat pouze konečné denní ceny, protože ty reflektují cenovou hladinu, která informuje investory o jejich pozici přes noc.

Fáze býčího (rostoucího) trhu:

První fáze býčího trhu je akumulace. Ta nastává , když jsou ceny akcií nízko a finanční zprávy nevypadají dobře.

Nicméně prozíraví investoři využívají této fáze a výhodně nakupují akcie.

Druhá fáze býčího trhu je charakteristická zvýšenou aktivitou, rostoucími cenami a lepšími finančními zprávami.

Fáze medvědího (klesajícího) trhu:

První fáze medvědího trhu je distribuce. V této fázi prozíraví investoři využívají neinformovanosti ostatních, kteří mají zájem koupit akcie, a začnou jim tyto akcie prodávat. Následuje přesycení trhu a ceny klesají. Šance na realizaci vysokých zisků se snižuje.

Druhá fáze medvědího trhu je charakteristická panickým prodejem. Ceny klesají a investoři se snaží vystoupit z pozic.

Třetí fáze je charakteristická dalším oslabováním a erozí cen. Tituly nižší kvality snižují zisky z předešlých býčích trhů. Objevuje se velké množství pro trh negativních zpráv.

2.4. Další burzovní indexy

Dow Jonesův Index je považován za nejznámější a nejvýznamnější burzovní ukazatel. Ale samozřejmě existují další důležité indexy. Ukažme si data několika zahraničních i domácích indexů za jeden den, vyjádřená v grafech a uvidíme, v jakých řádech se tyto indexy pohybují oproti DJIA.

DJIA (Dow Jones Industrial Average) - index 30 nejvýznamnějších amerických akcií podniků s dlouhou tradicí a vynikající reputací produktů a služeb, které jsou základem ekonomiky Spojených států (viz. výše).

Obr.2.2. Dow Jones Industrial Average (USA)

Porovnání DJIA s dalšími zahraničními indexy:

NASDAQ (National Association of Securities Dealers Automatic Quotation System) - modifikovaný kapitalizační vážený index 100 největších a nejaktivnějších nefinančních amerických a mezinárodních emisí kotovaných na burze NASDAQ (mimoburzovní trh v USA, orientovaný především na novou ekonomiku).

Obr.2.3. Index NASDAQ (USA)

NIKKEI - japonský index cenných papírů. Sleduje 225 nejdůležitějších titulů tokijské burzy.

Obr.2.4. Index Nikkei (Japonsko)

EUROSTOXX - index cenných papírů Evropské unie. Zahrnuje 50 společností s evropskou působností.

Obr.2.5. Index EUROSTOXX

FTSE (Financial Times & London Stock Exchange) - anglický index cenných papírů. Zjišťuje cenovou výkonnost akcií vybraných 100 britských společností kotovaných na Londýnské burze cenných papírů na základě tržní kapitalizace.

Obr.2.6. Index FTSE (Velká Británie)

DAX (Deutscher Aktien Index) - index cenných papírů kotovaných na německé burze ve Frankfurtu. Zahrnuje 30 největších společností v Německu.

Obr.2.7. Index DAX (Německo)

Hlavní český burzovní index a jeho současné hodnoty:

PX 50 - je veden jako oficiální index Burzy cenných papírů Praha. Byl zvolen standardní výpočet indexu ve shodě s metodologií International Finance Corporation doporučenou pro tvorbu indexů na vznikajících trzích. Do báze indexu se nezařazují emise oboru investičních fondů a holdingových společností vzniklých transformací z investičních fondů.

Obr 2.8. Index PX 50 (ČR) Nevýhody DJIA oproti dalším indexům:

Dow Jonesův Index přihlíží pouze k cenám, nikoliv k celkovému tržnímu ohodnocení všech akcií, tzn. i k jejich počtu. Dow také ignoroval výnosy z dividend, což by se dalo přirovnat k zanedbávání úroků u dluhopisů, tedy velmi zásadní faktor.

Ignorování dividend totiž podceňuje dlouhodobé výnosy investorů tak dramatickým způsobem, že kdyby DJIA začal po reformaci v roce 1928 zahrnovat dividendy, tak už v roce 2000 by překročil hodnotu 250 tisíc. Na druhou stranu bylo zjištěno, že některé indexy, využívající váhu celkového tržního ohodnocení a zároveň systematičtější výběr zahrnutých titulů, vykazují velmi podobný průběh jako DJIA. Většina z nich také nepočítá s dividendami. I přes některé nevýhody jsme vybrali k pozorování DJIA zejména z toho důvodu, že poskytuje výrazně nejdelší řadu dat. Ovšem ani tak dlouhá řada nám nezaručuje přesné výsledky, neboť abychom dosáhli přesnosti 1 procenta, potřebovali bychom řadu dlouhou 1200 let (viz. další text).

3. Matematické podklady

3.1. Vývoj tržního indexu jako Geometrický Brownův pohyb

Mnohé analytiky při sledování grafu vývoje indexu napadlo, že změny jsou náhodné a navíc na sobě nezávislé.

Nejjednodušším reprezentantem takového časového průběhu je Brownův pohyb, jehož náhodnou veličinou jsou absolutní přírůstky hodnot. Jeho variantou je pohyb geometrický, u nějž nás zajímají relativní přírůstky. Geometrický Brownův pohyb definujeme pomocí stochastické diferenciální rovnice

dSt = µ ^{Stdt +} σ ^{StdWt (1)} nebo ve zlogaritmovaném tvaru

dlnSt = µ ^{dt +} σ ^{dWt. (2)}

kde µ ^a σ předpokládáme jako konstanty, St je hodnota indexu, Wt Brownův pohyb (Wienerův proces). Budeme-li uvažovat drift ceny akcie (střední hodnotu výnosu) jako µ =0,1, budou akcie bez vlivu stochastické části rovnice růst o 10% za rok.

Parametr σ se nazývá volatilita (směrodatná odchylka). Bude-li σ =0,3, pak bude směrodatná odchylka odpovídat 30% ceny akcií.

Tuto rovnici můžeme pro malý čas t nahradit přibližným vztahem, přičemž změna indexu bude aproximována na

∆^{S =} µ ^S∆^{t +} σ ^S∆^{W (3)}

kde ∆W znamená změnu standardním Brownovým pohybem za interval času ∆^t. Čím kratší ∆t, tím přesnější aproximace lze dosáhnout.

Pro simulaci s náhodnými veličinami jsem používal vztah ve tvaru

∆^{lnS =} µ ∆^{t +} σ ∆^t n (4)

kde n ... vzorek z normovaného normálního rozdělení, µ ... střední hodnota výnosu zlogaritmované řady

3.2. Logaritmicko-normální rozdělení

Logaritmicko-normální rozdělení je odvozeno z normálního rozdělení, a to exponenciální transformací náhodné veličiny.

Např. Y = ln X, X = exp Y

Logaritmicko-normální rozdělení s parametry µ ^a σ² označíme LN (µ, σ^{2), kde} µ je střední hodnota přírůstku a σ² rozptyl.

Uvažujeme-li náhodnou veličinu Y s rozdělením N(µ, σ^{2), pak}

jestliže Y=lnX, má X rozdělení LN(µ, σ²).

Náhodná veličina X má logaritmicko-normální rozdělení, jestliže její hustota pravděpodobnosti f(x) pro x > 0

f(x) = 0 pro x ≤ 0

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010

0 100 200 300 400 500 600

x

f(x)

Obr. 3.1. Hustota pravděpodobnosti log-normálního rozdělení 2 ,

) exp (ln

) 2 ( ) 1

( ₂

2



 



− −

= σ

µ π

σ

x x x

f

Protože veličina ln X má rozdělení N(µ, σ²), platí pro její distribuční funkci F(x) rozdělení N(µ, σ^2).

kde Φ ... distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, tj. normálního rozdělení N(0,1).

Pro kvantily platí vztah

takže platí

kde uP značí 100P% kvantil rozdělení N(0,1).

Bodový odhad parametrů

2-parametrický odhad

V případě 2-parametrického modelu lze odhad získat např.

metodou maximální věrohodnosti, kdy získáme nejvěrohodnější parametry µ,σ².

Pro náhodnou veličinu X můžeme spočítat

kde µ,σ²jsou odhad střední hodnoty přírůstku a odhad rozptylu.

3.3. Black-Scholesův vzorec , 0 ,

0 ) (

0 ln ,

) ln (ln ) (

≤

=

>



 



 − Φ

=

≤

= x x

F

x x x

X P x

F σ

µ

p

p u

x =µ +σ ln

, 1 0

),

exp( + < <

= u P

x_P µ σ _P

∑

∑

=

−

=

−

=

−

N

i Y i

N

i

i

N X N X

1 2 2

1

) 1 (ln

, 1 ln

σ µ µ

V roce 1997 byla udělena Nobelova cena Myronu Scholesovi a Robertu Mertonovi za model oceňování určitého typu opčních kontraktů, tzn. opcí na obchody s cennými papíry. Opce jsou termínové kontrakty s právem volby pro držitele, zda na realizaci kontraktu trvá. Budeme-li mít opci na nákup akcií dojednanou na určitý den a za určitou cenu, opci uplatníme, pouze pokud v tento den budou tyto akcie na burzovním trhu dražší. V opačném případě nebude mít uskutečnění obchodu význam. Hodnota opčního kontraktu bude záviset na realizační ceně a na době trvání opce. Čím delší doba, tím větší je možný zisk. Stejným důvodem pro hodnotu opce je již výše zmíněná (3.1.) volatilita, tj. pohyblivost cen akcie, neboli směrodatná odchylka. Opce na stabilní, tedy málo volatilní akcie, budou levnější než opce na riskantní akcie s vysokou volatilitou. Posledním důležitým faktorem je výše úrokových měr.

Black, Scholes a Merton publikovali vzorce v roce 1973, následkem čehož došlo k rozkvětu opčních obchodů. Fischer Black zemřel v roce 1995, a proto mu Nobelova cena nebyla udělena vzhledem k tomu, že se ceny neudělují in memoriam.

Zajímavou skutečností je, že ani jeden z těchto objevitelů neměl původní vzdělání ekonomického směru.

Black-Scholesův (Mertonův) vzorec pro oceňování opcí má mnoho nesplnitelných předpokladů. Je jím např. zanedbání kreditního rizika. Obchodník se může stát obětí platební neschopnosti a opce jím vydané ztrácejí cenu. Podobnost s naší kupónovou privatizací není náhodná. Také byla plná různých slibů, které měly vlastně povahu opcí. Z nich však byly splněny jen některé.

- ceny akcií konají geometrickou náhodnou procházku s konstantní očekávanou mírou výnosu µ a standardní odchylkou výnosů σ.

- neexistují transakční náklady a daně.

- neexistují dividendy (v Mertonově modelu jsou, ale jejich procentuální výše je konstatní).

- obchodování je spojité.

- míra výnosu bezrizikové investice µ^B je konstantní.

Black-Scholesův vzorec pro hodnocení opčních kontraktů zní:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

t

t X

d S

t

t X

d S

d N t X

d N S p

d N t X

d N S c

B B

B B

⋅

⋅

−

= +

⋅

⋅ +

= +

−

⋅

⋅

−

⋅ +

−

⋅

−

=

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

=

σ

σ µ σ

σ µ

µ µ

) 2 / (

/ ln

) 2 / (

/ ln

exp exp

2 2

2 1

2 1

2 1

kde c ... cena opčního kontraktu call p ... cena opčního kontraktu put S ... aktuální cena akcií

X ... vykonávací cena opčního kontraktu µ^B... míra výnosu bezrizikové investice t ... doba trvání opčního kontraktu σ ... volatilita

N().. distribuční funkce normálního rozdělení

Mertonův model se od Black-Scholesova modelu liší v podstatě pouze tím, že počítá s dividendami:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

t

t q

X d S

t

t q

X d S

d N t X

d N t q S

p

d N t X

d N t q S

c

B B

B B

⋅

⋅

−

−

= +

⋅

⋅ +

−

= +

−

⋅

⋅

−

⋅ +

−

⋅

⋅

−

⋅

−

=

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

=

σ

σ µ

σ

σ µ

µ µ

) 2 / (

/ ln

) 2 / (

/ ln

exp exp

exp exp

2 2

2 1

2 1

2 1

kde q ... spojitý dividendový výnos

4.1. Historie

Rebol je programovací jazyk pro dostupné internetové aplikace běžící ve všech prostředích. Jeho autor, Carl Sassenrath, ho připravoval více než 20 let. V té době byl systémovým architektem zodpovědným za první operační systém osobních počítačů na světě podporující multitasking, Commodore Amiga. První zavedení Rebolu do praxe se uskutečnilo v roce 1997 pro menší skupinu uživatelů tří různých operačních systémů. Dnes se odhaduje počet příznivců Rebolu na více než jeden milion uživatelů, a to na víc jak čtyřiceti platformách.

Rebol je odlišný od tradičních počítačových jazyků jako jsou C, Basic nebo Java. Narozdíl od nich byl navržen k vyřešení jednoho z nejpodstatnějších problémů v počítačovém světě, kterým je výměna a interpretace informací mezi rozdílnými počítačovými systémy. Řešení tohoto problému má Rebol již ve svém názvu – Relative Expression-Based Object Language, neboť relativní výrazy jsou tím vhodným prostředkem a jsou nejsilnější zbraní Rebolu. Nabízejí totiž mnohem větší možnosti a schopnost reprezentování jak zdrojového kódu, tak dat. Rebol umí nejen vytvořit grafické uživatelské rozhraní jedním řádkem kódu, ale i má také možnost tento řádek odeslat jako data, aby mohl být zpracován a zobrazen na jakémkoli jiném internetovém systému kdekoliv na světě.

Kompaktní architektura Rebolu umožňuje široký rozsah možností, od základního jádra interpreteru REBOL/Core až po kompletní internetový operační systém REBOL/IOS. Na obr.3.1.

je znázorněna architektura rebolovských systémů a jejich jednotlivé vrstvy.

Obr.4.1. Architektura systémů a vrstev Rebolu

Prvořadý cíl Rebolu je zprostředkovat nový systém ukládání informací, jejich výměnu a zpracování mezi všemi prostředky připojenými přes internet. Narozdíl od jiných metod, které vyžadují desítky megabytů zdroje, mnoho vrstev na sobě, které beží pouze na jedné platformě, nebo jsou úzce specializované, Rebol je malý, snadno přenosný a ovladatelný. Velikost aplikací pro Rebol je také důležitou výhodou, neboť jsou velmi rychle stažitelné z jakéhokoliv připojení k internetu. Je snadnější je vytvářet a upravovat. Jejich velikost se pohybuje v řádek desítek kilobytů, a to nejen programy pro tvorbu webových stránek, práci s kreditními kartami nebo síťově sdílený kalendář, ale i grafické aplikace se mohou pyšnit vskutku nepatrnou velikostí. Například grafická prezentace na

Obr.4.2. Příklad grafické prezentace napsané v Rebolu (převzato z www.rebol.com)

4.2. Struktura a základní principy

Rebol umožňuje širokou škálu variací s příkazy, bezmezné kombinování a prolínání. Na následujících řádkách je uvedeno několik příkladů, jak je možno používat a kombinovat matematické výpočty. Na prvním řádku je vždy zadaná operace a pod ní je výsledek.

10:55 + 0:10 11:05

1-Jan-2001 + 100 11-Apr-2001

$10.55 + $100

$110.55

100.30.5 + 100.5.5 200.35.10

100x200 + 100x40 200x240

Na prvním příkladu se sčítají čísla v časovém formátu.

Druhý příklad ukazuje možnost přičítat libovolné číslo k datu, což je užitečné zejména pro funkce využívající časové cykly.

Výsledkem je den, který odpovídá časovému posunu o 100 dní.

Na třetím příkladu vidíme součet čísel v měnovém formátu, v tomto případě v dolaru.

Velmi zajímavý je příklad čtvrtý, kde se sčítají části řetězce mezi tečkami. 100 + 100, 30 + 5 a 5 + 5.

Podobný princip nám ukazuje pátý příklad.

Rebol má celkem 45 datových typů (většina ostatních jazyků má do 10 typů), které jsou navíc přímou součástí jazyka. Zároveň platí, že funkce Rebolu pracují se všemi datovými typy. Jejich seznam si můžeme v konzoli vyvolat zadáním příkazu help datatype!. Velmi názorně to ukazuje funkce find, která vyhledává zadaný řetězec doslova kdekoliv.

find "Technická Univerzita Liberec" "univerzita"

Univerzita Liberec

find student@univerzita.cz "univerzita"

univerzita.cz

find http://www.vslib.cz/univerzita/fakulty.html "univerzita"

univerzita/fakulty.html

find %/c/dokumenty/univerzita.doc "univerzita"

%univerzita.doc

find #ABC-UNIVERZITA-46001 "univerzita"

#UNIVERZITA-46001

find #{7465636820756E697665727A697461206C6263} "univerzita"

#{756E697665727A697461206C6263}

find [123 10:30 "univerzita" 1-Jan-2003] "univerzita"

["univerzita" 1-Jan-2003]

Rebol má vestavěných 14 síťových protokolů, které mají použití při různých operacích s internetem. Opět je zde nepřeberné množství možností. Základní příkaz na čtení je read, např. read %soubor.txt pro čtení z disku. Jeho použití při čtení ze sítě (internetu) vidíme na příkladech.

read http://www.adresa.com/index.html (přečte HTML stránku z internetu)

read ftp://ftp.rebol.com/test.txt (stáhne soubor přes protokol FTP)

read pop://jmeno:heslo@email.com (přečte všechny e-mailové zprávy)

read nntp://news.adresa.com/alt.test (přečte všechny nové nástěnky)

read whois://adresa.com@rs.internic.net (zjistí informace o internetové doméně)

read finger://uzivatel@adresa.com (vrátí informace o uživatelském účtu)

read daytime://everest.cclabs.missouri.edu (zjistí čas ze serveru)

read dns://100.100.100.100

(vrátí dns adresu počítače (bez zadané IP vrátí vlastní jméno)

Toto je jen malý výřez schopnostmi Rebolu. Umí také například přečíst z internetu obrázkový soubor a uložit jej na disk.

write/binary %obrazek.jpg read/binary

http://www.adresa.com/grafika/obrazek.jpg

Podobně jako při přenosu dat přes FTP (File Transfer Protocol) je nutno rozlišit, zda se jedná o textový nebo binární soubor.

O to se stará v tomto případě /binary.

Chceme-li poslat textový soubor jako součást e-mailové zprávy, napíšeme:

send petr@email.com read %zprava.txt

Stejným způsobem můžeme ovšem poslat i webovou stránku:

send petr@email.com read http://www.adresa.com

Nebo jednoduše pošleme klasickou zprávu:

send petr@adresa.com "Ahoj!"

Můžeme také nahrát soubor z disku na server přes FTP, kdy opět musíme rozlišit charakter souboru.

write/binary ftp://jmeno:heslo@adresa.com/obrazek.jpg read/binary %obrazek.jpg

Následující skript zajistí nahrání celého adresáře přes FTP:

stranka: ftp://jmeno:heslo@adresa.com/

foreach file read %adresar/ [

write/binary stranka/:file read/binary file ]

Budeme-li chtít zkopírovat pouze soubory určitého typu, necháme tento typ „najít“ příkazem find:

foreach file read %adresar/ [ if find file ".jpg" [

write/binary stranka/:file read/binary file ]

]

Takto se zapíše požadavek na dva typy souborů:

foreach file read %adresar/ [ if any [

find file ".jpg"

find file ".gif"

] [

write/binary stranka/:file read/binary file ]

]

Soubory můžeme také roztřídit podle jejich stáří, například změněné do dvou dnů:

datum: now - 2

foreach file read %adresar/ [ if (modified? file) > datum [

write/binary stranka/:file read/binary file ]

]

Stejně tak funguje hledisko velikosti souboru:

if (size? file) < 100000 [

Také se můžeme vyhnout podadresářům:

if not dir? file [

Tyto funkce také nefungují pouze na disku, ale i přes internet:

print size? ftp://jmeno:heslo@adresa.com/obrazek.jpg print modified? ftp://jmeno:heslo@adresa.com/obrazek.jpg

Integrace Rebolu s internetem je vskutku velmi výrazná. Další jeho schopnost umožňuje v REBOL/View jednoduše vytvořit okno s obrázkovým souborem z internetu:

view layout [

image http://www.adresa.com/grafika/obrazek.jpg ]

Výsledek bude okno, ve kterém bude požadovaný obrázek:

Snadno lze změnit barva okna, resp. pozadí. Můžeme také toto okno nadefinovat jako odkaz na stránku (na kliknutí):

view layout [

backcolor white

image http://www.adresa.com/grafika/obrazek.jpg [ browse http://www.odkaz.com

] ]

Jako tlačítko může okénko využívat všechny síťové funkce Rebolu, jako čtení e-mailových zpráv, práci se soubory přes FTP a mnohé další.

A konečně neméně důležitá vlastnost Rebolu je, že jeho skripty můžeme pouštět přímo z internetu:

do http://www.adresa.com/skript.r

A nyní můžeme provádět nekonečné kombinování jednotlivých příkazů a skriptů. Například obrázkové tlačítko se spouštěcím příkazem do. Klikneme-li na obrázek, spustí se skript.r:

view layout [

backcolor white

image http://www.adresa.com/grafika/obrazek.jpg [ do http://www.programy.com/skripty/skript.r ]

]

Nyní se dostáváme k samotnému zápisu skriptových souborů.

Každý soubor Rebolu začíná hlavičkou, která popisuje jeho obsah, jméno, autora, verzi, datum, historii a další informace. Hlavičky jsou zapsány v meta-data formátu, který je kompatibilní s Rebolem. To umožňuje vyhledávačům založeným na bázi Rebolu zjistit všechny informace o souboru.

Takto může vypadat minimálně zapsaná hlavička. Datum a verze jsou napsány v rebolovském datovém typu:

REBOL [

Title: "Můj skript"

Date: 20-May-2003 Author: "Petr"

Version: 1.0.0

5. Aplikace pro ř ešení problému

5.1. Načtení dat z Yahoo

Prvním krokem v řešení problému řady je možnost tuto řadu mít k dispozici. Internetový server Yahoo tuto možnost dává, a to dokonce nejen ve formě webové stránky, ale také jako stažitelný soubor typu *.csv, což je datový soubor, kde jsou data oddělena čárkou. Vzhled stránky je možno shlédnout jako přílohu. Aplikace simuluje činnost uživatele na této stránce, kde provádí následující kroky. Vybere si časový úsek, interval (den, měsíc, rok). Po potvrzení se otevře nová stránka s tabulkou a odkazem na již zmíněný datový soubor, který při práci používám. Adresa, ze které ho stahuji má v sobě zakomponován časový úsek a interval. Tento problém řeším pomocí proměnných, do kterých uživatel programu tato data zapíše jako argumenty prováděcí funkce. Při další práci v Rebolu je pak možno s funkcí jednoduše zacházet. Základní příkaz na čtení je read, dále pak pomocí rejoin skládám dohromady zmíněnou adresu. Nejprve máme doménu table.finance.yahoo.com, za kterou následuje

table.csv?a=" a "&b=" b "&c=" c "&d=" d "&e=" e "&f=" f

"&s=%5Edji&y=0&g=d&ignore=.csv

kde a, b, c, d, e, f jsou proměnné nesoucí dny, měsíce a roky. Interval je vyjádřen proměnnou g. Ovšem pro mé potřeby je vhodné počítat s denním intervalem.

Data se načtou v poli bloků, které dále převedu na dvourozměrné tak, že jeden blok vystupuje jako jeden den, který má šest položek. V tomto poli se mohu pohybovat podobně jako v souřadném systému, např. pole/2/3 znamená třetí položka druhého bloku. Dále tento postup využívám jako pole/:i/:j, například v cyklech, kdy postupně „projíždím“ všechny položky.

Převod na dvourozměrné pole provádím pomocí cyklu loop, kde rozděluji původní pole na části po šesti položkách, které zapisuji do bloků.

Zároveň logaritmuji každou denní závěrečnou hodnotu DJIA, se kterou posléze počítám.

Funkce:

Načítání dat provádí funkce djia

kde v argumentu vystupuje od a do jako datum začátku, resp.

konce, deklarované v Rebolu typem date!.

Převod pole na dvourozměrné zajišťuje funkce prevod, ale také funkce log zároveň s logaritmováním dat

Logaritmování provádím rebolovskou funkcí log-e pro přirozený logaritmus.

V této práci je index sledován s délkou časového kroku 1 měsíc = 1/12. Tato volba je motivována faktem, že pro mnohaleté pozorování je měsíční interval relativně krátký a předpokladem, že v měsíčním intervalu se projeví předpokládaná nezávislost náhodných veličin.

5.2. Výpočet statistických veličin

K měření časové řady potřebuji znát některé statistické veličiny, jimiž jsou roční míra výnosnosti µ a rozptyl σ² . ^Tyto hodnoty vypočítám ze zlogaritmovaných přírůstků indexu a časových přírůstků podle vztahů uvedených výše v kapitole 4.

Tyto vzorce jsem použil ve tvaru

( )

MIN MAX n

i

i i

t t

t S

−

∆

−

∆

=

∑

=

2

2 1

.

ln µ

σ ⁽⁶⁾

kde _∆lnS_i je přírůstek indexu a _∆t_i je přírůstek času.

Pro výpočet roční výnosnosti je určena funkce stred a pro výpočet rozptylu slouží funkce rozptyl.

Přesnost výpočtů spočítáme jako rozdíl skutečné a odhadované hodnoty u přírůstku a podíl u odchylky.

95996 , 1 . T µ σ

µ − ≤ pro spojitě úročenou míru výnosu, kde

µ... odhadovaná hodnota µ ... skutečná hodnota

T ... součet časových přírůstků = celkový čas 1,95996 ... koeficient pro pravděpodobnost 95%

MIN MAX

tMIN tMAX

t t

S S

µ

= ln − ln

(5)

n

n 2

95996 , 1 1 2

95996 ,

1−1 ≤ ≤ +

σ

σ pro roční míru rizika (odchylku), kde

σ ... odhadovaná hodnota σ ... skutečná hodnota

n ... počet hodnot

Spojitě úročená míra výnosu znamená nepřetržité úročení, v podstatě v každém okamžiku. Výsledná roční výnosnost je pak jiná než v případě méně častého úročení. Odhadovaná spojitě úročená roční míra výnosu měřená od 1.1.1930 do 1.1.2004 vychází pro základní hodnoty 6,7%, pro zlogaritmované hodnoty 5,09% s přesností na 4,06%, tzn. s pravděpodobností 95% se přesná hodnota nachází v rozmezí 1% – 9%. Roční míra rizika (odchylka) σ ^{činí 17,81%} s relativní přesností

<0,9898;1,0102>, což v našem případě odpovídá hodnotám v intervalu <17,6184;17,9917>, do kterého se musejí vejít i odchylky odpovídající simulacím. Abychom mohli míru výnosu změřit s přesností na 1%, potřebovali bychom k tomu přibližně 1218 let. Tuto hodnotu dostaneme položením vzorce rovného 0,01 a vyjádřením času. Výše zmíněný vzorec k výpočtu přesnosti míry výnosu µ nezaručuje nejvyšší přesnost výsledků, protože používáme pouze odhad rozptylu σ, nikoliv jeho přesnou hodnotu. Správně bychom měli použít odhad pomocí Studentova rozdělení, ale s ohledem na velmi vysoký počet naměřených hodnot máme postačující přesnost. Navíc v tabulkách pro Studentovo rozdělení nenajdeme tolik hodnot. Z těchto důvodů zůstáváme u Normálního rozdělení.

5.3. Simulace náhodného pohybu

Pro porovnání skutečných dat s teorií, jinými slovy zjištění, zda je řada DJIA popsatelná geometrickým Brownovým pohybem, byla použita jeho simulace. Náhodná veličina

ξ

získána ze serveru www.random.org. Zpracoval jsem ji funkcí normal-ppf inverzní k funkci normal-distrib (normální rozdělení), aby měla parametry normálního rozdělení a dosadil do vzorečku pro přírůstek indexu

t t

S = ∆ + ∆

∆ln µ. σ.ξ. . (7) viz. (4)

S náhodnou veličinou simulujeme celou zlogaritmovanou číselnou řadu ekvivalentní ke skutečné řadě. Postup jsem zopakoval třikrát a tyto tři výsledné grafy porovnal s grafem ze skutečných hodnot. K optickému posouzení jsem grafy poskytl deseti lidem, z nichž šest rozpoznalo skutečnou křivku od simulovaných. To znamená, že mohu s 95% pravděpodobností konstatovat, že průběh řady DJIA nevykonává náhodnou procházku, protože vykazuje o mnoho menší kmitání a celkově budí klidnější dojem, než náhodne křivky.

Simulaci provádí funkce simul, která si zavolá funkci ran, která stahuje náhodná čísla ze serveru www.random.org, jenž poskytuje skutečně náhodná čísla, na rozdíl od funkcí, např.

implementovaných v programovacích prostředích, typu randomize, ze kterých dostaneme pouze pseudonáhodná čísla. Tato vlastnost spočívá v tom, že jestliže se čísla generují nějakým algoritmem, nutně se musejí někdy v budoucnu opakovat stejné kombinace. Avšak na www.random.org získávají čísla pomocí vysílání nepoužívaných rádiových vln, které nelze nijak předem odhadnout. Zvuky jsou zpracovány pomocí mikrofonu do pracovní stanice a převzorkovány jako 8-bitový mono signál na frekvenci 8 kHz. Používá se poslední bit, který se dále zpracuje, aby poskytnul kýžený výsledek v podobě čísla.

Pro simulované řady vyšly hodnoty µ^S1=4,6%, µ^S2=2,2%, µ^{S3=7,8% a} σ^S1=17,9%, σ^S2=17,5%, σ^S3=17,8%.

A nyní se můžete se mnou podívat na výsledné grafy a pokusit se je porovnat a tím poznat, který není simulace:

PRŮBĚH 1

0 2 4 6 8 10 12

1.1.1930 2.1.1940 2.1.1950 3.1.1960 3.1.1970 4.1.1980 4.1.1990 5.1.2000 čas

index

PRŮBĚH 2

0 2 4 6 8 10 12

1.1.1930 2.1.1940 2.1.1950 3.1.1960 3.1.1970 4.1.1980 4.1.1990 5.1.2000 čas

index

PRŮBĚH 3

0 2 4 6 8 10 12

1.1.1930 2.1.1940 2.1.1950 3.1.1960 3.1.1970 4.1.1980 4.1.1990 5.1.2000 čas

index

PRŮBĚH 4

0 2 4 6 8 10 12

1.1.1930 2.1.1940 2.1.1950 3.1.1960 3.1.1970 4.1.1980 4.1.1990 5.1.2000 čas

index

5.4. Kumulace a hustota pravděpodobnosti

Výsledky simulace jsou dále zpracovány, abychom dostali grafy, na kterých jsou rozdíly více patrné. První takový graf je kumulativní křivka, jejíž hodnoty νi na ose x jsou dány vztahem

i i i

i t

t S

∆

∆

−

= ∆ σ

ν ^ln µ ⁽⁸⁾

a hodnoty na ose y, tzv. „ranky“ spočívají podle Mediánovy metody v rozdělení osy na 1/n-tiny

+1

=n

R i .

Pro tento účel jsou vypracovány funkce kumul pro skutečná data a kumulsim pro simulovaná data.

Opět se na dalších stránkách podíváme na grafy, přičemž tentokrát je už změna výrazně patrná.

KUMULACE 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

KUMULACE 2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

KUMULACE 3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

KUMULACE 4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Derivací kumulační křivky dostaneme křivku hustoty pravděpodobnosti, kde je rozdíl podle mého názoru nejvíce zřetelný. Tuto úpravu provádí funkce deriv, která na ose x rozdělí hodnoty do úseků po 300 z důvodu zahlazení příliš velkých kmitů, které jinak znesnadňují pohled na celkový průběh. Derivaci osy y vypočítá jako

i i

i

i R

R

ν

ν −

−

+ +

300 300

kde R ... „rank“,

+1

= n R i

a hodnoty uvede do závislosti s průměry úseků na ose x

2

300 i

i ν

ν ₊ + .

Znovu se podíváme na grafy a potom si řekneme, které grafy nevycházejí ze simulace a z jakých důvodů.

HUSTOTA 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

HUSTOTA 2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

HUSTOTA 3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

HUSTOTA 4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Výsledek zní, že u všech třech průběhů, tedy logaritmů indexu, kumulativní křivky a hustoty pravděpodobnosti, jsou první tři grafy simulované a skutečný graf má číslo 4. Zde máme ideální průběhy kumulace a hustoty. Simulace se jim velmi blíží.

IDEÁLNÍ KUMULACE

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

IDEÁLNÍ HUSTOTA

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

5.5. Ověření Kuiperovou metodou

Kuiperova metoda vylepšuje Kolmogorov-Smirnovův test, který je citlivý pouze na okrajích spektra. Na rozdíl od ní totiž Kuiperova metoda počítá s maximy rozdílů jak v horní polovině (jako K-S), tak i v dolní polovině průběhu. Tento test řeším funkcí kuiper. Kuiperova metoda je definována těmito vztahy:

( )

∑

=

− −

=

1

2 2

2 ^{2 2}

1 4

2

i

i

KP i e

Q λ ^λ

V n

n 







 + +

= 0,24

155 , λ 0

V = D+ + D-

kde D+ ... maximální horní rozdíl mezi testovanou a ideální křivkou

D_- ... maximální dolní rozdíl mezi testovanou a ideální křivkou

Při tom 



 



− 

≈



 



 



 



^{− −}

V F V

Q_KP λ 1 ^{, kde}



 



⁻ V

F je distribuční funkce veličiny V, tj.



 



= 



 



 < F V⁻

-

V V Prob

Uveďme tabulku QKP(V) pro N > 900:

V QKP(V)

1 0

0,055 0,05 (krit)

0,051 0,1

0,038 0,5

0,027 1

Tab.5.1. Závislost QKP na V (hodnoty jsou orientační)

Pro normalizovanou napozorovanou veličinu (8) stanovíme distribuční funkci, kterou Kuiperovou metodou budeme srovnávat s distribuční funkcí rozdělení N(0,1). Ukázalo se, že při použití odhadů parametrů vzorci (5), (6) byla hypotéza, že veličina νⁱ (8) má normální rozdělení, zamítnuta. Zvolil jsem tedy následující postup. Parametry µ^,σ² odhaduji tak, aby Kuiperova veličina V byla minimální. Užil jsem při tom gradientní metody pro minimalizaci

min V(µ^,σ^2).

Tímto postupem jsem dostal

µ^=0,041 σ²=0,107 a odpovídající hodnota V=0,00112.

Jelikož tato hodnota je menší než Vkrit, vidíme, že pro jisté hodnoty parametrů µ^,σ² lze přijmout hypotézu, že veličina ν (viz. (8)) má normální rozdělení. Dále je nutno ověřit hypotézu, že napozorované hodnoty νⁱ představují realizaci

Obr.5.1. Ilustrace meření rozdílů

Označme počet změn znamének ν^1, ν^2,...,νⁿ symbolem PZ.

Potom PZ má přibližně normální rozdělení N(Np, Np2) kde p = 2 1, N = 900.

Potom

15 450

4 900

2 900

= −

− PZ

PZ

má přibližně rozdělení N(0,1).

V našich datech je počet změn 430 a tedy

333 , 15 1

450 430− =−

Jelikož kritická hodnota rozdělení N(0,1) pro pravděpodobnost 0,95 je 1,96, hypotézu o nezávislosti přírůstků přijímáme.

5.6. Seznam použitých rebolovských funkcí

djia – převzata a výrazně upravena: stahování dat prevod – vlastní: převod dat do pole bloků

log – vlastní: převod dat do pole bloků a logaritmování log2 – vlastní: totéž jako log, ale pro krok 1 měsíc

uloz – vlastní: ukládání potřebných dat z pole do souborů uloz-ln – vlastní: ukládání obecné řady do souboru

stred – vlastní: výpočet výnosnosti µ rozptyl – vlastní: výpočet odchylky σ

rozsim – vlastní: výpočet odchylky obecného pole

chybami – vlastní: výpočet přenosti odhadu výnosnosti µ

chybasig – vlastní: výpočet přenosti odhadu výnosnosti σ ran – převzata a lehce upravena: stahování náhodných čísel simul – vlastní: používá ran, provede náhodnou simulaci a uloží řadu do pole a do souboru

kumul – vlastní: výpočet paramterů kumulativní křivky ze skutečných hodnot, uložení do souboru *.xls

kumulsim – vlastní: výpočet paramterů kumulativní křivky ze simulace, uložení do souboru *.xls

kuiper – vlastní: provádí Kuiperův test

distrib – vlastní: používá normal-distrib, vytvoří řadu pro ideální křivku Normálního rozdělení

density – vlastní: používá normal-density, vytvoří řadu pro ideální křivku hustoty pravděpodobnosti

normal-density – převzata: výpočet hodnoty pravděpodobnosti normal-distrib – převzata: používá simple, spočte hodnotu Normálního rozdělení

normal-ppf – převzata: používá simpleppf, inverzní k normal- distrib

simple, simpleppf – pomocné funkce

6. Záv ě r

Vyřešením úlohy časové řady DJIA pro časový krok 1 den se potvrdila domněnka z posledních let, že řada Dow Jones Industrial Average nevykonává náhodnou procházku geometrickým Brownovým pohybem. Postupoval jsem následujícím způsobem:

1) Seznámení s problematikou burzovních indexů 2) Prostudování serveru http://finance.yahoo.com 3) Získání hodnot DJIA

4) Matematické úpravy hodnot DJIA 5) Ověření hypotézy a odhad přesnosti 6) Grafické znázornění výsledků

Hlavní pozitivní výsledek diplomové práce lze shrnout do následující úvahy:

Sledujeme-li index DJIA v časovém intervalu 1 měsíc, vidíme, že lze přijmout hypotézu, že index lze popsat modelem stochastického geometrického Brownova pohybu (viz. vzorce (1),(2)).

Dále jsem došel k závěru, že DJIA obsahuje chyby, a to v tom smyslu, že používá cenových vah, namísto přesnějšího vážení tržním ohodnocením. Společnosti, které tvoří index, nejsou vybrány systematicky, a v neposlední řadě DJIA ignoruje výnosy z dividend.

Burzovní trh nepracuje zdaleka tak efektivně, jak by bylo možné. Řada finančníků používá zcela nepřesné metody nákupu a prodeje akcií.

Touto diplomovou prací jsem se také snažil vylíčit celkový pohled na burzovní trhy a jejich indexy.

7. Literatura

[1] http://www.rsj.cz/docs/mereni_rizika.pdf

[2] Brealey, R.A., Myers, S.C.: Teorie a praxe firemních financí. Victoria Publishing, 1992

[3] Anděl, Jiří: Statistické metody. Matfyzpress, Praha 1998 [4] Shoven, J.B., Sialm, C.: The DJIA: The Impact of Fixing Its Flaws

[5] http://www.random.org [6] http://www.yahoo.com [7] http://www.rebol.com

8. Seznam p ř íloh

[1] Ukázky stránky Yahoo a staženého souboru *.csv [2] CD s aplikací, softwarem od Rebolu a grafy

Stránka na Yahoo.com, kde se hledají historické hodnoty DJIA

[1] / 1

Takto vypadá soubor *.csv s daty DJIA stažený z Yahoo.com

[1] / 2