Matematik – Grundskola årskurs 7-9
Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg I Del 1: Nätet som resurs
Digitala verktyg i matematikundervisningen
Ola Helenius, NCM, Håkan Sollervall, Malmö högskola & Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet
2006-2010 gjordes en stor internationell forskningsansträngning, en så kallad ICME-study, för att belysa frågan om matematikundervisning och teknik, främst digital teknik. Avsikten var att dels belysa vilken teknologi som faktiskt användes i matematikklassrum och dels att fundera på det spektrum av hårdvara och mjukvara som har potential att bidra till lärande och undervisning av matematik (Hoyles & Lagrange, 2010). Idag används digital teknik sparsamt i matematikundervisningen samtidigt som teknikens potential för utveckling av matematikundervisningen har diskuterats under många decennier. Utan medveten an- strängning är det inte troligt att undervisningen utvecklas. Det gäller också för tillämpningar av teknik i matematikundervisningen. Ett huvudbudskap vid den konferens som inledde studien ovan var därför: ”[…] att vi borde ägna minst 10% av vår tid och energi till att överväga vilka nya typer av matematisk kunskap och praktik som kan komma att utvecklas som resultat av tillgång till och effektiv användning av digitala teknologier” (Hoyles & Lag- range 2010, s. 4).
En anledning till att det i allmänhet krävs målmedveten ansträngning för att inkludera tek- nik på ett relevant sätt i undervisningen är att tekniken inte är en naturlig del av den aktuella kultur som styr undervisningen. Ett sätt att tänka på begreppet kultur är att det står för de beteenden, attityder och uppfattningar som anses normala, varför de sällan reflekteras över.
Undervisningskulturen utgörs av den uppsättning uttalade eller outtalade normer som gene- rerar och reglerar alla inblandades agerande. Sådana normer kan vara generella för skolan som helhet eller specifika för olika ämnen. De flesta reflekterar till exempel inte så ofta över varför en lärobok vanligtvis används i matematikundervisningen eller varför en stor del av elevernas arbete utgörs av eget arbete med matematikuppgifter. Det tas för givet eftersom det tillhör det vanliga. Det är intressant att tänka på begreppen kultur och normer i relation till teknik. Att kulturen skapar vissa behov som ny teknik konstrueras för att fylla är en naturlig tanke. Men djupare analyser av begreppet kultur visar snarare att tekniken ofta driver för- ändringar. White (1959) beskrev att kulturens roll är att relatera människan till hennes om- givning och att relatera människan till andra människor. White delade in kulturens kompo- nenter i fyra kategorier:
- ideologiska (uppfattningar symboliseringar, filosofier)
- sociologiska (seder, institutioner, regler och interpersonella beteenden) - känslomässiga (attityder, känslor, uppförande)
- tekniska (tillverkning och användning av verktyg)
White argumenterade för att de fyra komponenterna av kultur alla relaterade till varandra men att ”den tekniska faktorn är den grundläggande; alla andra faktorer är beroende av den” (s. 19). Det är ur detta perspektiv som man bör se uttalandet om att vi borde använda 10 % av vår tid för att utveckla undervisningen i relation till digitala tekniker. Även om man själv inte upplever ett specifikt behov just nu så kan digital teknik ha potential för utveckling av undervisningen. Digital teknik kan på olika sätt vara till hjälp i den undervisning som redan bedrivs och den kan också förändra undervisningen och göra nya saker möjliga.
I den här modulen kommer vi att använda många olika begrepp för att beskriva olika typer av teknik. Teknik kan innefatta nästan vad som helst, allt ifrån maskiner och andra mekan- ismer till språket (som ibland beskrivs som en symbolisk teknologi). Vi avser inte att sätta ned foten och definiera begrepp som IKT (Informations- och Kommunikations-teknologi), teknik, teknologi eller digital teknologi. I många fall är de synonymer och i andra fall låter vi sammanhanget förklara vad som avses. Den teknik som vi kommer att möta är inte heller alltid digital och i många sammanhang spelar det ingen roll om tekniken rent formellt är digital eller ej.
Några praktiska exempel
De filmer som ni har sett i som inledning i Moment A visar hur några lärare använder digi- tala verktyg i sin matematikundervisning. De beskriver flera olika roller som digitala verktyg har i deras arbete. Vi kan illustrera några av dem med följande typfall:
1. Hannah undervisar en årskurs 8. Basen för lektionen är ett problem som hon vet kommer att generera många olika lösningar. Eleverna funderar en stund på pro- blemen enskilt och arbetar sedan med dem i par. Hannah övervakar arbetet och väljer ut fem grupper som får beskriva sina lösningar för klassen. För det använder hon en dokumentkamera, så att eleverna kan visa upp och referera till det de redan skrivit i sina böcker och inte på nytt behöver skriva upp lösningarna på tavlan.
2. Karl har låtit sina elever tillverka pappershelikoptrar där de varierat olika konstrukt- ionsdetaljer och sedan testat vilken som flyger bäst. Eleverna matar in sina data i programmet Tinkerplots där de enkelt kan få dem representerade med olika grafer och diagram. (Tinkerplots är ett program framtaget av forskare i matematikdidaktik för användning i skolan. Läs mer på http://en.wikipedia.org/wiki/TinkerPlots.
Programmet kan för närvarande laddas ned gratis från http://www.srri.umass.edu/tinkerplots/download)
3. Ayn har via en diskussionsgrupp för lärare på nätet fått kontakt med en kollega som har skapat självrättande matematiktester som elever kan göra för att diagnosti- sera sig själva men där data också lagras så att Ayn kan gå in och titta hur det går.
Hon använder nu dessa tester experimentellt i sin undervisning och diskuterar också utfallet med kollegan som gjort dem.
4. Ludwig har låtit sina elever i årskurs 7 genomföra statistiska undersökningar av ele- vers matvanor. När eleverna redovisar detta ska de använda Excel för att beräkna medelvärden och annat och producera olika typer av grafer och diagram.
I vart och ett av dessa fyra fall används digitala verktyg, men tekniken har vitt skilda roller i de olika lärarnas arbete. Hannah följer ett etablerat undervisningsupplägg för problemlös- ning där dokumentkameran inte är helt nödvändig, men förenklar och effektiviserar den fas där eleverna diskuterar sina lösningar. Kanske motiveras eleverna att skriva mer välargu- menterade lösningar i sina egna böcker, eftersom dessa kommer att visas upp inför hela klassen.
Karls elever använder tekniken för att hantera ett specifikt matematiskt fenomen, nämligen att rita grafer till data. Programmet är enkelt att hantera och kan inte göra så mycket annat än just rita grafer, men det gör att eleverna med mycket lite träning kan använda program- met. Därmed kan de snabbt börja diskutera grafernas form och vad de säger om helikop- terkonstruktionen, istället för att fastna i detaljer som rör hur grafen konstrueras.
Ludwigs teknikanvändning liknar Karls, men en skillnad är att avsikten i Ludwigs fall är att eleverna ska lära sig att göra något med det vanligt förekommande programmet Excel. Pro- grammet används både för att det effektiviserar undervisningen och för att eleverna ska få prova på ett program som används också i livet utanför skolan.
Ayns användning av tekniken handlar om bedömning och hon kunde, liksom Hannah, ha genomfört samma sak utan denna teknik, men kanske på ett mindre effektivt sätt. Men det finns också en annan sak som skiljer detta exempel från de andra tre och det är att Ayn har plockat upp tekniken från en kollega på nätet och att hon än så länge använder den experi- mentellt, både för att utvärdera om tekniken tillför hennes undervisning något och om tek- niken i sig är bra nog eller kan förbättras.
Varför digitala verktyg i matematikundervisningen?
I vissa av fallen ovan skulle lärarna kunna genomföra nästan samma undervisning utan digitala verktyg, men i andra fall har den digitala tekniken en mer avgörande roll. För lärarna i filmerna är olika former av digital teknik redskap i undervisning och fortbildning. Vad är det då som ligger bakom att genomslaget av IKT i skolan inte är så stort, trots flera sats- ningar (Skolinspektionen, 2012). Förekommande invändningar är att teknik kostar pengar, tar tid att lära sig och att det finns viktigare saker att utveckla i matematikundervisningen än just användningen av digitala verktyg. Inte heller satsningar på inköp av datorer och lämp- liga digitala programvaror har alltid resulterat i ökad användning av digitala verktyg (Skol- verket, 2011). Men då ett av de övergripande målen i läroplanen är att skolan skall ansvara för att varje elev efter genomgången grundskola kan använda modern teknik samt att det i syftesbeskrivningen i kursplanen för matematik står att eleverna genom undervisningen ska ges möjligheter att utveckla kunskaper i att använda digital teknik för att kunna undersöka problemställningar, göra beräkningar och för att presentera och tolka data, är det inte lång- siktigt hållbart att undvika digitala verktyg i matematikundervisningen. Frågan är snarare hur digitala verktyg ska bli en del av matematikundervisningen på ett sådant sätt att det kommer lärarens arbete och elevernas lärande tillgodo.
Även om digital teknik ständigt utvecklas och erbjuder nya möjligheter så visar både äldre och nyare studier att det är hur läraren väljer att använda tekniken som avgör om använ- dandet bidrar positivt till elevernas lärande eller inte (Higgins, Beauchamp & Miller, 2007;
Twiner, Coffin, Littleton & Whitelock, 2010). Olika typer av digital teknik erbjuder olika möjligheter och ställer också olika krav på hur undervisningen som helhet konstrueras och genomförs. I de fem fall som beskrevs ovan kan digital teknik dels användas på ett sätt så att den stärker den redan etablerade undervisningen men den kan också användas på ett sätt där den rådande undervisningen blir effektivare eller mer innovativ. Det betyder att digital teknik inte bara spelar olika roller i undervisningen utan att den även spelar olika roller i lärares utveckling av sin undervisning. Ett sätt att karakterisera funktionen som digitala verktyg har i utvecklingen av undervisning är att utgå ifrån begreppen ersättning, förstärkning och transformering (Hughes, Thomas & Scharber, 2006). Dessa tre begrepp beskriver hur användandet av ett digitalt verktyg förhåller sig till hur man tidigare undervisat samma ma- tematikinnehåll. Ersättning innebär att ett digitalt verktyg ersätter något läraren gjort tidi- gare fast utan digitalt verktyg. Förstärkning innebär att ett digitalt verktyg effektiviserar en undervisningssituation i relation till hur motsvarande undervisningssituation fungerar utan teknik. Transformering innebär att både lärandet och innehållet förändras i relation till hur innehållet hade presenterats i en undervisning utan det digitala verktyget.
Sammanfattningsvis visar studier att oavsett vilken teknik som används är det av stor vikt att den används på ett medvetet sätt. Tillförandet av digitala verktyg i undervisning har visat varierande resultat (positiva – neutrala – negativa) vilket kopplas till vilka digitala verktyg och vilken programvara som använts, på vilket sätt dessa har använts och i vilket syfte.
Detta kan i sin tur återkopplas till läraren som är central. Om användandet av digitala verk- tyg bidrar till elevernas lärande på ett positivt sätt eller inte beror främst på läraren. Detta kan till exempel illustreras genom termen interaktiv skrivtavla. Även om själva termen antyder interaktivitet så är det naturligtvis hur läraren använder den i sin undervisning som avgör lektionens karaktär. Många programvaror till interaktiva skrivtavlor möjliggör för elever att samarbeta och dela idéer, men interaktiva skrivtavlor har trots det i många klassrum snarare bidragit till en lärarcentrerad undervisning med ytterst lite interaktivitet (Higgins, m.fl., 2007; Twiner, m.fl.,2010). Det räcker inte heller att en interaktiv skrivtavla används på ett sådant sätt att eleverna är aktiva och kommunicerar med hjälp av olika uttrycksformer som tal, skrift, gestik, ljud, bild och animeringar, om inte dessa aktiviteter leder till att eleverna lär sig matematik. De representationer som används måste vara väl valda för att komplet- tera eller förstärka varandra i relation till det matematiska innehåll som behandlas.
Orkestrering, representation och formativ bedömning
För att exemplifiera detta upplägg kan vi återvända till de fyra lärarna som beskrevs ovan.
Hannah använde en dokumentkamera som en del i organisationen av hennes problemlös- ningsorienterade undervisning. I Del 2 kommer vi att titta närmare på teorier för undervis- ning som särskilt betonar vikten av sammanfattande diskussioner i helklass. Om vi ska ar- beta med att visa och diskutera elevlösningar i helklass bör undervisningen organiseras så att eleverna producerar intressanta lösningsförslag. Med hänvisning till Trouche (2004)
benämner vi detta med ordet orkestrering för att illustrera att lärarens arbete med planering och genomförande av lektionen handlar både om den matematik som skall komma i spel och om hur alla elever och lärare tillsammans skall bli en del av det matematiska arbetet på lektionen samt vilka verktyg läraren kan välja som stöd. När elevernas konstruktioner ut- nyttjas för att föra gemensamma resonemang kan alla elever lära av varandra och läraren kan se till att detta lärande förankras gentemot den matematik som beskrivs i läroplanen.
Genom att bland annat hänvisa till Brousseaus teori om didaktiska situationer kommer vi att kunna motivera undervisning av detta slag och samtidigt erbjuda en struktur för att pla- nera och genomföra sådan undervisning (Brousseau 1997).
Karl och Ludwig använde tekniken på ett annat sätt. Här var fokus på hur eleverna kunde upptäcka, utforska och använda grafer och diagram för att dra slutsatser om ett fenomen som de hade gjort mätningar på. Ord, symboler och andra representationer av matematiska objekt är en del av hur vi kan förstå och interagera med objekten. Dessa representationer kan stödjas av olika digitala verktyg som kan underlätta övergångar mellan olika representat- ioner och möjliggöra dynamisk visualisering av multipla representationer. I Del 3 kommer vi att se exempel på hur detta kan göras genom att använda ett miniprogram, en så kallad applet, som är genererad i Geogebra och som kan användas direkt i en webbläsare. En så- dan applet, som har medvetet begränsad funktionalitet i relation till hela Geogebra, kan vara en bra ingång till att börja använda ett komplext verktyg som Geogebra. I Del 6 kommer vi att återkomma till Geogebra och liknande programvaror för att prova på en undervisnings- situation där programmet används på ett mer generellt sätt.
En ytterligare aspekt av elevaktiv undervisning i helklass är att läraren får insikt i elevernas olika uppfattningar. Detta möjliggör bedömning både av eleverna och av den egna under- visningen, med avseende på vilka effekter den undervisning som hittills bedrivits har haft och hur undervisningen framöver kan behöva läggas upp. Med andra ord finns här en koppling till formativ bedömning, som vi följer upp i Del 4 med digitala responssystem.
Sådana system gör det möjligt för läraren att få snabba svar på frågor som ställs till samtliga elever. Dessa svar kan läraren använda för att påverka hur lektionen ska fortsätta. För att ge en grund för sådan undervisning diskuteras i Del 4 formativ bedömning i allmänhet och på en mer detaljerad nivå arbetar vi också med vilka typer av frågor som kan vara lämpliga att ställa i denna typ av responssystem.
Det utvidgade kollegiet
Ett ytterligare fenomen som ibland nämns i samband med IKT är det utvidgade kollegiet. Be- tydelsen av detta kan variera något och kan t.ex. betyda att lärare via nätbaserad kommuni- kation kan utbyta tankar, idéer och material. En del av detta är att det nu finns omfattande bibliotek av lektioner eller aktivitetsbeskrivningar att ladda ned, utan att man har någon personlig kontakt med den som har producerat materialet. Naturligtvis ställer detta frågor om kvalitet och även om hur genomtänkt en sådan nedladdad lektion blir. Men det är tro- ligtvis inte för nedladdning av färdiga lektionsplaneringar som det utvidgade kollegiet är mest användbart. Snarare är det, som vi illustrerade med fallet Ayn ovan, för direkt kontakt
Sammanfattning
Modulen avser att ge exempel på olika digitala hjälpmedel och på hur dessa kan tillämpas för att utveckla matematikundervisningen. Tanken är att de exempel som valts ut ska illu- strera ett brett spektrum av potentialen med att använda digitala verktyg i matematikunder- visningen. Varje enskilt exempel är dock inte valt för att det nödvändigtvis illustrerar en överlägsen undervisning, utan snarare för att det illustrerar hur något speciellt verktyg kan utveckla någon del av undervisningen. Avsikten är att ge smakprov i avsikt att ni efter ge- nomgången fortbildning ska vara bättre förberedda på att göra genomtänkta val som kan inkludera lämpliga digitala verktyg när ni planerar och genomför er undervisning.
För att ge er möjlighet att på ett professionellt sätt planera och genomföra undervisning med stöd av digitala verktyg kommer vi att anknyta sådan undervisning till flera olika didak- tiska teorier. Vi kommer också, systematiskt genom hela modulen, att anlägga ett antal di- daktiska perspektiv för att reflektera kring den undervisning som planeras och genomförs, vilket i sin tur kan bidra till att ni utvecklar er undervisning både med och utan digitala verk- tyg.
Referenser
Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Kluwer Academic Publish- ers.
Higgins, S., Beauchamp, G., Miller D. (2007). Reviewing the literature on interactive white- boards. Learning, Media and Technology, 32(3), 213-225.
Hoyles, C., & Lagrange, J-B. (2010). Mathematics Education and Technology-Rethinking the Ter- rain. The 17th Icmi Study. New York: Springer-Verlag.
Hughes, J., Thomas, R. & Scharber, C. (2006). Assessing technology integration: The RAT- Replacement, Amplification and Transformation – framework. I Crawford, C. (Red.), Society for Information Technology and Teacher Education International, s.1616-1620. Chesapeake, VA:AACE.
Skolinspektionen (2012). Satsningarna på IT används inte i skolornas undervisning. Dnr 40-2011:2928. Tillgänglig från
http://www.skolinspektionen.se/Documents/Kvalitetsgranskning/it/pm-it- iundervisningen.pdf
Skolverket, (2011). Lesson study och learning study samt IKT i matematikundervisningen.
En utvärdering av Matematiksatsningen. Stockholm: Skolverket.
Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computer- ized learning environments: Guiding students’ command process through instrumental orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9.
Twiner, A., Coffin, C., Littleton, K., & Whitelock, D. (2010) Multimodality, orchestration and participation in the context of classroom use of the interactive whiteboard: a discus- sion. Technology, Pedagogy and Education, 19(2), 211-223.
White, L. A. (1959). The evolution of culture. New York: McGraw-Hill.
