2. Avstånd och vinklar i planet

2. Avstånd och vinklar i planet

Johan Wästlund 1 september 2020

Figur 1: Koordinatsystem i två dimensioner. Kan du räkna ut triangelns sidlängder och vinklar, och dess area?

1 Pythagoras sats och avståndsformeln

Våra undersökningar startar från det tvådimensionella koordinatsystemet, som vi även kallar “planet”. Planet är oändligt i alla riktningar, och varje punkt är ett talpar. Exempel på punkter i planet är (2, 3), (−4, −7), och (π, −√

3). Punkten (0, 0) kallas origo.

Vi ritar gärna på rutat papper. Då hittar vi de punkter som har två hel- talskoordinater som skärningspunkter mellan linjer (fast vi kan förstås skala upp så att en längdenhet motsvarar flera rutor). Ur den här kursens perspek- tiv är det ingenting särskilt med de punkterna, men just därför använder vi dem gärna för att exemplifiera.

Till att börjar med vill vi kunna beräkna avståndet mellan två punkter.

Det gör vi med hjälp av Pythagoras sats. Om vi till exempel ska beräkna avståndet mellan punkterna (−2, −3) och (4, 2), kan vi tänka oss en rät- vinklig triangel med två hörn i dessa punkter, och två sidor parallella med koordinataxlarna.

6

5

Dessa sidor har längderna 5 och 6, och hypotenusan, alltså avståndet mellan de två givna punkterna, är därför

√

5²+ 6² =√

61 ≈ 7.810.

Talen 5 och 6 är skillnaderna mellan punkternas x- respektive y-koordinater.

Om punkterna är (x1, y₁)och (x2, y₂), blir avståndet p(x₁− x₂)²+ (y₁− y₂)².

Skrivet på det här sättet brukar det kallas avståndsformeln. Lägg märke till att det inte spelar någon roll i vilken ordning vi tar punkterna. Det spelar ingen roll om någon av differenserna blir negativ, för när vi kvadrerar blir det ändå samma sak.

I skolan har många lärt sig att säga att avståndet mellan punkterna är

“√

61 l.e”. Här står “l.e” för längdenheter. Dessa längdenheter använder vi inte på universitetet. I den matematiska modellen definieras avståndet mellan punkterna som ett tal. Om vi sedan tillämpar denna modell på något i det fysiska rummet, får slutresultatet förstås den enhet som koordinatsystemet baseras på, men i modellen är avståndet ändå bara ett tal.

Det är inte bara snobberi som gör att vi undviker att prata om “l.e”. Trots att vi startar från geometri i två och tre dimensioner, kommer linjäralgebran som vi ska se att kunna tillämpas på modeller som inte har att göra med det fysiska rummet. Ibland har dessa modeller dessutom långt mer än tre

dimensioner, men “avstånd” kan ändå vara meningsfullt. Det som i statistiken kallas standardavvikelse är till exempel matematiskt ett avstånd, även om vi har data uppmätta i kilogram, liter, eller sekunder. Och när vi tittar på så kallade kryssprodukter, kommer det att visa sig att längden av en viss sträcka är lika med en viss area. Kryssprodukten används flitigt i fysiken, men sambandet går inte ihop om vi insisterar på att mäta alla längder i en viss enhet och alla areor i en annan.

När vi ändå är inne på det här med hur man svarar, kan vi också nämna att vi försöker att ge exakta svar i stället för decimaler, när det går. Vi säger alltså att avståndet är√

61, inte att det är 7.81. Vi föredrar också bråk framför decimaluttryck, även i de fall då decimaltalet är exakt. Vi skriver alltså 1/2, inte 0.5. Decimaler använder vi för att approximera, jämföra, eller när det inte spelar någon roll exakt vilket tal det är.

2 Vinklar

Nästa sak vi vill kunna beräkna är vinklar. I figur 1 har hörnen i den röda tri- angeln koordinater (−2, −3), (1, 4) och (4, 2). Låt oss säga att vi vill beräkna vinkeln vid det nedre hörnet, (−2, −3), dvs vinkeln mellan de två sidorna vid detta hörn. Då kan vi till att börja med förenkla genom att flytta triangeln, eller om vi så vill, flytta koordinatsystemet, så att detta hörn hamnar i origo:

(6, 5) (3, 7)

C a

c

b

Vi kan bestämma vinkeln i origo med cosinussatsen, som ju kunde skrivas

cos(C) = a²+ b² − c²

2ab .

I vårt exempel kan vi beräkna högerledet genom att a² = 3² + 7² = 58, b² = 6²+ 5² = 61, och c² = 3²+ 2² = 13. Vi kan börja med att beräkna

a²+ b²− c²

2 = 58 + 61 − 13

2 = 53,

och sedan ska detta divideras med ab =√ 58 ·√

61. Vi får alltså cos(C) = 53

√58 ·√ 61, dvs

C = arccos

 53

√58 ·√ 61



≈ 27.00^◦.

3 Från cosinussatsen till skalärprodukt

I själva verket gick vi över ån efter vatten i vår uträkning. Talet 53 i täljaren kunde vi ha fått fram enklare ur punkterna (3, 7) och (6, 5), som 3 · 6 + 7 · 5, alltså produkten av x-koordinaterna plus produkten av y-koordinaterna. Att det alltid blir så kan vi se om vi gör om uträkningen med generella koordinater i stället för exempelsiffror. Om triangeln har hörn i origo samt i punkterna (x₁, y₁)och (x2, y₂), får vi

a² = x²₁+ y₁², b² = x²₂+ y₂², och

c² = (x₁− x₂)²+ (y₁− y₂)². Vi kan skriva cosinussatsen som

ab · cos(C) = a²+ b²− c²

2 .

Om vi nu skriver om högerledet i termer av x- och y-koordinaterna, får vi a²+ b² − c²

2 = x²₁+ y²₁+ x²₂+ y₂²− (x₁− x₂)²− (y₁− y₂)² 2

= 2x₁x₂+ 2y₁y₂

2 = x₁x₂+ y₁y₂. Vi sammanfattar det här med en figur som vi ser till att komma ihåg till lite senare.

(x₂, y₂) (x₁, y₁)

C a

b

Här gäller

a · b · cos(C) = x₁x₂+ y₁y₂. (1) Notera att sidan c försvann ur den här ekvationen. Kvar blir endast sidor- na a och b med deras längder, koordinater, och vinkeln mellan dem. Kvanti- teten i den här ekvationen, det som alltså kan uttryckas antingen som sida gånger sida gånger cosinus, eller som x-koordinat gånger x-koordinat plus y-koordinat gånger y-koordinat, är vad som kallas skalärprodukten av sidorna a och b, betraktade som vektorer. Men det återkommer vi till i avsnitt 5.

Vi hade förstås även kunnat skriva om a och b som px²1+ y₁² respektive px²₂+ y²₂, men ekvation (1) utrycker sambandet mer renodlat med geometri i vänsterledet och algebra i högerledet.

4 Vektorer

En vektor är ett sätt att beskriva förhållandet mellan två punkter i de fall vi vill ta hänsyn till både riktning och avstånd, men inte bryr oss om pa- rallellförflyttningar. I exemplet med triangeln ville vi beräkna vinklar och sidlängder, så både avstånd och riktningar var väsentliga, men det spelade ingen roll att vi flyttade triangeln så att ett av hörnen hamnade i origo.

Den sida som ursprungligen gick från (−2, −3) till (4, 2) flyttade vi så att den gick från (0, 0) till (6, 5). Det enda som var väsentligt var att när man gick längs sidan, gick man 6 steg åt höger och 5 steg uppåt.

En vektor i planet kan vi formellt tänka på som ett talpar, i det här fallet (6, 5). Strängt taget är det alltså ingen skillnad mellan en vektor och en punkt i planet, men vi tänker på dem och använder dem lite olika. Till exempel pratar vi om längden av en vektor eller vinkeln mellan två vektorer.

Då tänker vi oss dem som pilar som startar i origo och går till punkten med de givna koordinaterna. En konvention som speglar den här skillnaden, och som även har att göra med matrismultiplikation (som vi kommer till i ett senare kapitel) är att vektorer skrivs som kolumner av tal, till exempel

6 5

 .

Det är även vanligt i litteratur och datoralgebrasystem att man använder hakparenteser (detta gäller även matriser).

Vektorer kan adderas, och om vi tänker på dem som talpar, fungerar additionen på det sätt man förväntar sig: För att addera ihop två eller flera vektorer, adderar vi x-koordinaterna för sig och y-koordinaterna för sig. Till exempel är

2 3

 +5

1



=7 4

 .

Det är viktigt att förstå vad den typen av addition betyder geometriskt.

Om vi tänker oss vektorerna som pilar, adderar vi ihop dem genom att sätta dem som ett tåg där nästa pil börjar där föregående slutar.

Här är den röda vektorn lika med summan av de tre blåa vektorerna. Och det spelar ingen roll i vilken ordning vi ritar ut de blåa vektorerna, den sista pilen slutar alltid på samma ställe.

Om vi har en pil i planet, och vill skriva vektorn som ett talpar, är regeln

“huvud minus svans”, det vill säga koordinatvis ska vi ta punkten där pilen

har sitt “huvud” minus punkten där den har sin “svans”. Ur figuren kan vi till ^“Huvud-

minus- svans”

exempel utläsa att den här additionen av de tre blåa vektorerna är

4 1

 +1

3



+−2 2



=3 6

 .

Sett på koordinatform kan det tyckas självklart att summan blir densamma oavsett i vilken ordning vi adderar, 4 + 1 + (−2) blir ju till exempel samma sak som (−2) + 4 + 1. Men pröva ändå att rita ut pilarna i olika ordning och se hur det alltid slutar i samma punkt!

Eftersom vi kan addera vektorer, kan vi även subtrahera en vektor från en annan. Om u och v är vektorer (man skriver ofta vektorer med bold-face), är förstås u − v den vektor vi får genom att subtrahera koordinatvis. Det är samma sak som u+(−v), där −v är den vektor vi får genom att byta tecken på alla koordinater i v. Lägg märke till att −v som pil betraktad fås genom att rotera v 180^◦, alternativt byta plats på huvud och svans.

Det är naturligt att till exempel kalla vektorn v + v + v + v för 4 · v. Det är den vektor som pekar åt samma håll som v, men är 4 gånger så lång. På samma sätt kan vi multiplicera en vektor med vilket reellt tal som helst. Det

brukar ofta kallas för att multiplicera vektorn med en skalär. ^{“Skalär”}

betyder

Vektorn ¹₂v är till exempel den vektor som pekar åt samma håll som v, tal

men är hälften så lång. Om vi multiplicerar med ett negativt tal, får vi en vektor som pekar åt motsatt håll. Till exempel är (−1) · v detsamma som den nyssnämnda vektorn −v.

Om vi multiplicerar vilken vektor som helst med talet 0, får vi nollvektorn.

Nollvektorn har ingen speciell riktning. Eller snarare har den alla riktningar på en gång. Till exempel är den vinkelrät mot sig själv, även om det låter lite konstigt.

Om A och B är två punkter i planet, skriver vi ibland vektorn från A till B som AB^−→. Den vektorn har A som “svans” och B som “huvud”, så koordinatmässigt är den B − A. Vi får mittpunkten på sträckan AB genom att koordinatvis ta medelvärdet av A och B. Detta beror på att mittpunkten M har egenskapen att vektorerna AM^−→ och M B^−→ är lika (kom ihåg vad detta betyder, lika långa och samma riktning). Enligt “huvud minus svans” har vi då M − A = B − M, eller om vi löser ut M,

M = A + B 2 .

Om v är en vektor, betecknar vi längden av v med kvk. Längden av en vektor med givna koordinater fås genom avståndsformeln:

v₁ v₂



= q

v₁²+ v₂².

Man kan fråga sig varför det ska vara två streck på varje sida, och inte bara ett, som beloppstecknet. I en dimension, alltså på den vanliga tallinjen, är ju beloppet av ett tal just hur långt streck det blir om man drar en pil från 0 till talet. Men av tradition är det två streck när det är vektorer.

En vektor som har längd 1 kallas enhetsvektor. Om v är en vektor som inte är nollvektorn, finns det alltid en enhetsvektor som pekar åt samma håll som v, nämligen

v kvk.

Här har vi dividerat vektorn v med sin egen längd, dvs multiplicerat med 1/ kvk. Det finns ytterligare en enhetsvektor som är parallell med v, och det är vektorn −v/ kvk, som pekar åt motsatt håll. “Parallellt” betyder alltså i samma eller rakt motsatt riktning!

Sammanfattningsvis kan vi alltså addera (och subtrahera) vektorer med varandra, samt multiplicera dem med godtyckliga (reella) tal. Vi kan förstås också tänka oss mängder av andra geometriska operationer, som till exempel

“rotera 19 grader motsols”, men det återkommer vi till i de senare kapitel som handlar om linjära avbildningar.

5 Skalärprodukt

Vi sa nyss att ekvation (1) var särskilt viktig, och hade att göra med någon- ting som kallades skalärprodukt. Det är dit vi har kommit nu. De två triang- elsidorna i det exempel vi då diskuterade, kan vi nu tänka på som vektorer.

u₁ u₂



v₁ v₂



α v

u

Om vi kallar vektorerna för u =u₁ u2



och v =v₁ v2



, och vinkeln mellan dem för α, kan vi skriva om ekvation (1) som

kuk · kvk · cos(α) = u₁· v₁+ u₂· v₂. (2) Här har vi bara bytt ut bokstäverna som är vanliga i geometri mot dem man brukar använda i linjär algebra. I stället för sidorna a och b har vi vektorerna u och v, och koordinaterna u1 och u2 är u:s första respektive andra osv, i stället för x och y för första och andra punkten.

Det är kvantiteten i ekvation (2) vi definierar som skalärprodukten av u

och v, dvs ^Definition

skalär- produkt

u^•v = kuk · kvk · cos(α) = u1· v1+ u2· v2.

Ibland skrivs skalärprodukten med en vanlig liten multiplikationsprick, men det kan bli lite otydligt så ofta använder man en grövre prick. På engels- ka kallas skalärprodukten ibland för “dot product”, men går också i olika sammanhang under andra namn som “inner product”.

Det faktum att vi kan röra oss mellan geometri (avstånd och vinklar, vänsterledet) och algebra (koordinater, högerledet), är egentligen bara cosi- nussatsen i en annan skepnad. Men som vi ska se gör skalärprodukten att vi kan lösa problem på ett mer systematiskt sätt snarare än att trixa med olika geometriska satser.

Ett viktigt specialfall är när u = v. Vinkeln mellan en vektor och sig själv är ju noll, så i det fallet blir cosinus för vinkeln 1, och vi får

v^•v = kvk² = v₁²+ v²₂, dvs avståndsformeln igen.

Lägg förresten märke till att vi inte skriver v² när vi menar v^•v. Anled- ningen är väl att det ändå inte går att ta en vektor upphöjt till något annat än 2 (skalärprodukten av två vektorer blir ju ett tal, så multiplicerar vi en gång till med samma vektor är det inte skalärprodukt längre). Men om man inte vill skriva ut vektorn två gånger, kan man i stället skriva kvk². Man får

alltså pillra in två streck på varje sida om v! ^{Är vin-}

keln rät?

Du har väl koll?

När u^•v skalärt är noll!

En annan viktig observation är att vinkeln mellan u och v är rät om och endast om u^•v = 0. Detta faktum kommer vi att återkomma till under hela kursen. Vinkeln är mindre än 90^◦ om skalärprodukten är positiv, och större än 90^◦ om den är negativ.

Anledningen till att skalärprodukten är så användbar är att den uppfyller

den så kallade distributiva lagen. Om u, v och w är tre vektorer, är Distributivitet

u^•(v + w) = u^•v + u^•w.

Det var därför vi skulle prata om vektorer och vektoraddition innan vi kom till skalärprodukten. Lägg märke till att plustecknet i vänsterledet är vektor- addition, medan plustecknet i högerledet lägger ihop vanliga hederliga tal.

Att skalärprodukten uppfyller den distributiva lagen är ganska uppenbart om vi betraktar den på algebraisk form. Vänsterledet kan skrivas

u₁· (v₁+ w₁) + u₂· (v₂ + w₂), medan högerledet är

u₁· v₁+ u₂· v₂+ u₁· w₁+ u₂· w₂.

Att dessa uttryck är lika följer av att den “vanliga” distributiva lagen kan tillämpas på varje koordinat för sig.

6 Ett exempel

Som vi redan har sett, kan skalärprodukten användas för att beräkna vinklar mellan vektorer om vi känner till koordinaterna. Men precis som cosinussat- sen kan användas både för att räkna ut vinklar och för att räkna ut avstånd (beroende på vad vi känner till från början), så kan även skalärprodukten användas på olika sätt. Vi illustrerar med att räkna ut ett avstånd.

A

B

Antag att vi placerar ut cirklar med diameter 1 enligt mönstret i figuren.

Hur långt är det mellan mittpunkterna i de två cirklarna märkta A och B?

Vi kan i princip lösa detta genom att lägga in systemet av cirklar i ett vanligt koordinatsystem där vi placerar mittpunkten i A i origo och räknar ut koordinaterna för punkten B. Om vi gör det på det mest uppenbara sättet, blir B:s koordinater 13/2 och 3√

3/2, och vi kan sedan beräkna längden av den vektorn.

Men ett alternativ som gör att vi slipper kvadratrötter i mellanleden är att i stället välja två vektorer u och v som bas för koordinatystemet, enligt följande figur:

u v

Vektorn från A till B blir nu 5u + 3v, och vi söker längden av denna vektor. Längden av en vektor är kvadratroten ur vektorns skalärprodukt med sig själv. Vi vill därför beräkna

(5u + 3v)^•(5u + 3v).

Enligt den distributiva lagen (tillämpad två gånger), kan vi “multiplicera ut”

detta uttryck som om det vore vanlig multiplikation:

(5u + 3v)^•(5u + 3v) = 25 u^•u + 30 u^•v + 9 v^•v.

Men u och v är enhetsvektorer, och därför är deras skalärprodukter med sig själva lika med 1. Och skalärprodukten u ^• v blir lika med cosinus för vinkeln mellan dem, dvs 1/2. Vi har därför

k5u + 3vk² = (5u + 3v)^•(5u + 3v) = 25 + 15 + 9 = 49.

Så avståndet från A till B är √

49 = 7.

7 Men vad är skalärprodukten?

Det är lätt att man känner sig lite förvirrad av skalärprodukten. Varken den geometriska eller den algebraiska definitionen kanske ger någon tydlig bild av vad den är.

Definitionerna är förstås på sätt och vis glasklara, men om man ändå tyc- ker att man saknar en bra bild kan man tänka på den geometriska tolkningen:

Produkten av vektorernas längder och cosinus av deras vinkel. ^—Då

ska vi åt samma håll!

—Ja nästan, 0.92 ungefär.

Man kan tänka på cosinus av den inbördes vinkeln som ett mått på i vilken mån två vektorer pekar åt samma håll. Om de pekar åt precis sam- ma håll är cosinus 1, och skalärprodukten är bara produkten av längderna.

Om de är ortogonala, alltså vinkelräta mot varandra, blir cosinus noll, och skalärproukten blir noll oavsett hur långa vektorerna är. Om vinkeln är stör- re än 90^◦, så att vektorerna pekar mer åt motsatt än åt samma håll, blir skalärprodukten negativ.

Då har vi en bild av vad skalärprodukten “mäter”. Det som gör skalärpro- dukten stor är när vektorerna är långa och ganska parallella (med minustec- ken om de pekar åt motsatta håll!). Det som gör den liten är när vektorerna är korta eller ganska vinkelräta mot varandra.

En mer exakt tolkning av skalärprodukten har att göra med projektionen av en vektor på en annan. I figur 2 är den blåa vektorn projektionen av

α u

v

Proj. av v på u

Figur 2: Projektionen av vektorn v på vektorn u är den blåa vektorn.

vektorn v på vektorn u. Att vi projicerar på vektorn u betyder att varje punkt avbildas vinkelrätt ner (eller upp) på den räta linje vi får genom att förlänga u.

Längden av projektionen av v på vektorn u blir enligt den vanliga skol- geometrin

kvk · cos(α).

Om vi skulle multiplicera det här med kuk, skulle vi få precis skalärprodukten u ^• v. Vi kan alltså tolka skalärprodukten u^• v som längden av u gånger längden av projektionen av v på u. Och vi kan förstås lika gärna göra tvärtom:

Längden av v gånger längden av projektionen av u på v.

En lite egendomlig sak med hur vi matematiker uttrycker oss är att när vi pratar om exempelvis projektion, som låter som att man gör någonting, så menar vi i regel resultatet av vad det nu är vi gör. Man kunde tro att projek- tionen av v på u skulle vara den streckade linjen, som så att säga beskriver hur v rör sig när den projiceras. Men det är det inte, utan projektionen är vad det blir när det är klart.

I samma anda säger vi till exempel att en rotation 90^◦ motsols är samma sak som en rotation 270^◦ medsols. Fast om man håller i en kaffekopp och ska snurra den lite för att ta en klunk, känns detta som ett ganska märkligt påstående.

8 En formel för projektion

Som sagt är längden av projektionen av v på u lika med kvk · cos(α) = u^•v

kuk.

Men om vi vill ha ett uttryck för själva vektorn, den som kallas projektionen, måste vi även ha med riktningen. Vi skulle då kunna multiplicera uttrycket för längden (som är ett tal) med vektorn u. Då får vi en vektor som går i rätt riktning. Problemet är att då blir längden fel i alla fall. Vad vi skulle be- höva göra är att multiplicera den kända längden med enhetsvektorn i samma riktning som u. Fast den har vi ju ett uttryck för, nämligen u/ kuk.

Till slut får vi alltså följande uttryck för projektionen, dvs den blåa vek-

torn i figur 2: ^Projektion

u^•v kuk · 1

kuk · u = u^•v

kuk² · u = u^•v u^•u · u.

Det ser lite tokigt ut med alla u:n. När jag för första gången såg det här uttrycket tyckte jag att man borde kunna förkorta bort några av dem, eller allihop egentligen. Men det går ju inte när det är skalärprodukter och vanliga produkter, tal och vektorer om vartannat.

En bra sak med den linjära algebran är alla möjligheter man får att dubbelkolla saker. När vi tycker oss ha förstått något genom en geometrisk tolkning, kan vi ofta rent algebraiskt verifiera att det stämmer. Här kan vi kontrollera att höjden, alltså den streckade linjen i figuren, verkligen är ortogonal mot vektorn u. Höjden får vi som huvud minus svans, där huvudet är v och svansen är projektionen, som vi precis ställde upp ett uttryck för.

Differensen

v −u^•v u^•u · u

ska alltså, om vi har räknat rätt, vara ortogonal mot u. Vi smäller upp skalärprodukten av dem och ser om det går att förenkla:

u^•

v −u^•v u^•u · u

= u^•v − u^•v

u^•u · (u^•u) = u^•v − u^•v = 0.

Då vet vi att det stämmer. Formeln ger en vektor som är parallell med u, och vars differens med v är ortogonal mot u. Då måste det vara projektionen!

9 Arean av en triangel

Vi ska knyta ihop en tråd som vi lämnade lös. I figur 1 frågade jag om du kan beräkna arean av en triangel utifrån givna koordinater. Återigen kan vi

förstås anta att ett av triangelns hörn är i origo. Arean av en triangel tillhör på sätt och vis grundskolematematiken, och det finns ett par metoder man kan komma att tänka på utan att känna till någon linjär algebra. För det första är arean lika med basen gånger höjden genom två.

Basen kan vara vilken som helst av sidorna, och om vi tittar i figur 2 inser vi att vi just räknade ut ett uttryck för höjden, om vi tar u som bas. Det är också så vi kommer att beräkna arean av en triangel när vi kommer till tre och fler dimensioner. Men som vi kommer att se, involverar areaberäkningen då en kvadratrot. När triangeln ligger i planet finns det ett enklare uttryck.

Om någon ger oss en triangel och vi ska beräkna arean, kan vi ta en omskriven rektangel och subtrahera de delar som inte ska vara med. Låt oss titta på ett exempel:

(2, 6)

(9, 3)

Arean av den röda triangeln kan beräknas som arean av den omskrivna rektangeln, minus tre rätvinkliga trianglar. Det blir

9 · 6 − 9 · 3

2 −7 · 3

2 −6 · 2

2 = 54 − 30 = 24.

Det här fungerar alltid, men det kan till synes bli lite olika fall beroende på hur triangeln ligger i förhållande till koordinataxlarna. Vi kan göra samma beräkning med generella koordinater:

(v₁, v₂)

(u₁, u₂)

Då blir triangelarean

u₁· v₂−u₁ · u₂

2 − (u₁− v₁)(v₂− u₂)

2 − v₁· v₂

2 = u₁v₂− u₂v₁

2 .

Arean i vårt exempel kunde vi alltså också ha beräknat som 9 · 6 − 3 · 2

2 = 48

2 = 24.

Det förefaller som om det skulle kunna bli ett annat uttryck för arean om till exempel u2 < v2, eftersom figuren då blir annorlunda:

(v₁, v₂)

(u₁, u₂)

Men om vi räknar ut den arean, får vi samma slutresultat:

u₁· u₂− u₁· u₂

2 − u₁· (u₂− v₂)

2 − u₂· v₁

2 = u₁v₂− u₂v₁

2 .

Det visar sig att det enda som händer om vi drar runt punkterna är att uttrycket för arean byter tecken när vi byter orientering, dvs om vinkeln vid origo i stället går medsols när vi går från (u1, u₂)till (v1, v₂). Varför det blir

så ska vi inte fördjupa oss i här, eftersom det ändå kommer att klarna när vi kommer till determinanter i ett senare kapitel. Men vi konstaterar att arean av triangeln alltid kan skrivas

|u₁v₂− u₂v₁|

2 .

10 Pythagoreiska trippler och Plimpton 322

Ett egentligen ganska märkvärdigt faktum, såvida man inte är för blasé, är att punkterna (5, 0) och (3, 4) ligger exakt lika långt från origo.

Det finns ingen symmetri hos själva koordinatsystemet som säger att de här sträckorna måste vara lika långa. Men det faktum att avståndet från origo till punkten (3, 4) är lika med 5, med andra ord att hypotenusan i en rätvinklig triangel med sidorna 3 och 4 är 5, har varit känt i flera tusen år.

Taltrippeln 3, 4, 5 (eller egentligen 45, 60, 75, för man gillade bas 60) finns tillsammans med en rad andra så kallade pythagoreiska trippler inskriven på en lertavla från Babylonien som idag kallas Plimpton 322. Den tros vara nästan 4000 år gammal, alltså mer än tusen år äldre än Pythagoras. Tavlan anses av vissa experter ha använts i undervisningssyfte, och bara så ni inte tror att de daltade med skolbarnen på den tiden, kan jag nämna att en av de övriga tripplerna var (12709, 13500, 18541).

Nåväl, standardmetoden för att idag konstatera att avståndet från origo till punkten (3, 4) är 5, är att tillämpa pythagoras sats. Vill man vara lite mer konkret kan man rita en kvadrat med sträckan (0, 0) till (3, 4) som en sida, och räkna ut dess area genom att på ett eller annat sätt räkna rutor.

Eftersom arean visar sig vara 25, måste sträckan vara 5 lång.

Med en sådan uträkning ser det ut som en tillfällighet. Det råkar vara så att 3 · 3 + 4 · 4 är lika med 5 · 5. Men det ger ingen ledtråd till hur vi hittar fler liknande trippler.

Det finns ett annat sätt att se att sträckorna är lika långa, och som samtidigt visar oss hur vi kan hitta oändligt många andra pythagoreiska trippler. Vi kan lägga ett andra rutnät över det första:

De orangefärgade rutorna är också kvadrater, och punkterna (3, 4) och (5, 0)är gitterpunkter även i det systemet - men där har de koordinater (2, 1) och (2, −1), och är alltså uppenbart lika långa!

Om schackhästar rörde sig på skärningspunkterna mellan linjer i stället för på rutor, skulle de förstås fortfarande hoppa två steg i en koordinatriktning och samtidigt ett steg i den andra riktningen. Att gå från origo till (5, 0) eller till (3, 4) kan man göra genom att ta ett springarsteg av springarsteg, ett slags meta-springarsteg. Man hoppar två springarsteg i samma riktning, från origo via (2, 1) till (4, 2), och viker sedan av vinkelrätt mot de två första hoppen, antingen till (3, 4) eller till (5, 0).

På samma sätt kan vi konstruera nya pythagoreiska trippler genom att hitta på nya “schackpjäser”. Om vi till exempel hittar på att en brontosaurus är en pjäs som hoppar 14 steg i en koordinatriktning och samtidigt 11 steg i den andra riktningen, kan vi jämföra två typer av meta-brontosaurushopp.

Vi går 14 steg i riktning (14, 11), och sedan viker vi av och tar 11 steg i en av de ortognala riktningarna, antingen (11, −14) eller (−11, 14). Resultatet blir en av följande två vektorer, som alltså måste vara lika långa:

14 ·14 11



+ 11 · 11

−14



=14²+ 11² 0



=317 0

 , och

14 ·14 11



+ 11 ·−11 14



=14²− 11² 2 · 11 · 14



= 75 308

 .

Det betyder att hypotenusan i en rätvinklig triangel med kortare sidor 75 och 308 kommer att vara 317. Och att 75²+ 308² måste vara lika med 317². I efterhand är det lätt att konstatera att vi kan välja tal p och q hur som helst, fast säg p > q (till exempel 14 och 11), och få en pythagoreisk trippel genom p² − q², 2pq, och p² + q². För att verifiera detta behöver vi bara kontrollera att

(p²− q²)²+ (2pq)² = (p²+ q²)².

Om ett av talen p och q är jämnt och det andra udda, och de inte har några andra gemensamma faktorer heller, får vi en ny “primitiv” pythagoreisk trippel. Det finns alltså oändligt många.

Vad har vi lärt oss?

• Pythagoras sats och avståndsformeln.

• Cosinussatsen och skalärprodukt.

• Beräkna avstånd, vinklar, och areor (till exempel i trianglar) då koor- dinater är givna.

• Vektorer kan adderas, och man kan mutiplicera dem med tal.

• Skalärprodukten av två vektorer är ett tal som beror på / uttrycker hur långa vektorerna är och i vilken mån de pekar åt samma håll.

• Skalärprodukten ger ett samband mellan å ena sidan längder och vinklar (geometri) och å andra sidan koordinater (algebra).

• Skalärprodukten uppfyller “vanliga” räknelagar för multiplikation, men man kan bara multiplicera vektorer två och två.

• Två vektorer är ortogonala (vinkelräta) om och endast om deras skalär- produkt är noll.

• kvk² = v^• v. Längden av en vektor är alltså kvadratroten ur desss skalärprodukt med sig själv.

• Mittpunkten på en sträcka är det koordinatvisa medelvärdet av änd- punkterna.

• Två vektorer kallas parallella både när de pekar åt samma håll och när de pekar åt rakt motsatt håll.

• En vektor med längd 1 kallas enhetsvektor.

• Beräkna projektionen av en vektor på en annan.

• Pythagoras sats och talteorin kring så kallade pythagoreiska trippler var känd i Babylonien minst tusen år före Pythagoras.

Övningsuppgifter

Nyttiga övningar

1. Slamkrypare: Hur många vektorer finns det i den här figuren?

2. Ordkunskap: Vilka är parallella? Och vilka har samma riktning?

3. Beräkna nedanstående vektorer, och även deras längder:

(a)

3 0

 +0

2

 , (b)

√

√2 3



− 2 · 1/√ 2 3/√

12

 .

4. Rita ut punkterna A = (1, 2), B = (4, 3) och C = (7, 4) i ett koordi- natsystem.

(a) Se till att du ritar så bra att det syns att punkterna ligger på en rät linje, och att B ligger mitt emellan A och C.

(b) Kontrollera att vi koordinatvis har B = A + C

2 ,

dvs att koordinaterna för B är medelvärdet av motsvarande koor- dinater för A och C.

(c) Beräkna de parvisa avstånden mellan punkterna A, B och C, och kontrollera att du känner dig bekväm med att √

40är dubbelt så mycket som √

10.

5. Lisas mormor bor halvvägs till Gävle, och farmor halvvägs till Umeå.

Hur långt är det mellan mormor och farmor?

6. Hitta en enhetsvektor som är ortogonal mot vektorn 5 12



. Hur många sådana vektorer finns det?

7. Rita ut vektorerna√2 0



och 1 1

 .

(a) Verifiera att de två vektorerna är lika långa, och att vinkeln mellan dem är 45^◦.

(b) Rita ut vektorsumman av de två givna vektorerna, och beräkna koordinaterna för denna summa.

(c) Konstatera att figuren blir en romb, och använd koordinaterna för summan i (b) för att beräkna tan(π/8), som är “lutningen” av vektorsumman.

8. Vi har inte pratat om vektorer i fem dimensioner än, men beräkna ändå

2 ·











 1 2 3 4 5











 + 10 ·











 1 1 1 1 1











 .

9. Rita ut vektorerna 1 0

 , 0

3

 , −2

−1



och −2 4



på ett rutat papper.

Beräkna alla skalärprodukter av par av dem! Kontrollera hur tecknet av skalärprodukten har att göra med om vinkeln är trubbig, spetsig eller rät.

10. Om u^•v = 3, vad är då (2u)^•(2v)? Och vad är (−u)^•(−v)? 11. (a) Rita ut vektorn3

2



på ett rutat papper. Genom att bara titta på rutorna och inte tänka på något vi har pratat om, rita en vektor som är ortogonal mot 3

2



. Det får inte vara nollvektorn, det är

fusk! Hint: Vad händer om du håller kvar pennan vid (3, 2) och snurrar papperet ett kvarts varv runt origo?

Rita noga, så att du faktiskt ser hur det fungerar!

(b) Skriv ner koordinaterna för den nya vektorn och notera att det här med ortogonalitet och skalärprodukt noll verkar stämma.

(c) Beräkna projektionen av vektorn 1 0



på 3 2



med hjälp av for- meln i avsnitt 8. Titta i din figur och bedöm om svaret verkar rimligt.

(d) Du ska ha fått fram en vektor med rationella koordinater med nämnare 13. Figuren är lite för liten och plottrig för att man verk- ligen ska se om det stämmer. Skala upp den så att en ruta svarar mot sträckan 1/13, dvs så att sträckan 1 är 13 rutor. Rita genom att följa rutorna, fuska inte med linjal! Om du gör rätt, ska du nu kunna se med ögat att siffrorna stämmer!

(e) Rita även in projektionen av vektorn0 1



på3 2



i din figur. Läs av koordinaterna. Kontrollera sedan att formeln i avsnitt 8 ger dessa koordinater.

12. Punkten (1, 0) utgör, tillsammans med punkterna (cos θ, sin θ) för θ = 72^◦, 144^◦, 216^◦ och 288^◦, hörnen en regelbunden femhörning inskriven i enhetscirkeln.

(a) Vad blir vektorsumman

1 0



+cos(72^◦) sin(72^◦)



+cos(144^◦) sin(144^◦)



+cos(216^◦) sin(216^◦)



+cos(288^◦) sin(288^◦)



? Ledtråd: Rita vektorerna! “Fuska” med miniräknare om du behö- ver, poängen kommer du att se när du har ritat klart.

Vore det inte väldigt osymmetriskt om summan blev en vektor med någon speciell riktning? Men har inte alla vektorer en rikt- ning, eller fanns det någon som inte hade det?

(b) Om vi ritar ut vektorsumman som ett “tåg” av vektorer, vad blir det då för figur?

(c) Beräkna cos(72^◦) + cos(144^◦). 13. Normera vektorerna 1

1

 , 15

−8



och  3√ 3



, dvs finn enhetsvektorer i samma riktning som respektive vektor. Tänk på att förenkla uttrycken så långt det går!

14. Tag två av dina favoritvektorer i planet. De får inte vara parallella eller ha rät vinkel. Beräkna deras längder, vinkeln mellan dem, projektionen av den första på den andra, samt arean av den triangel de spänner upp!

15. Visa att två vektorer är lika långa om och endast om deras summa och differens är ortogonala, och att två vektorer är ortogonala om och endast om summan och differensen är lika långa.

Ledtråd: Uttryck villkoren i termer av skalärprodukter, och använd algebra!

16. Pythagoras och bromssträckorna: Från körkortsteorin känner vi till att bromssträckan, allt annat lika, är proportionell mot hastigheten i kvadrat.

(a) Visa att bromssträckan för en och samma bil vid 50 km/h är lika med summan av bromssträckorna vid 30 respektive 40 km/h.

(b) Nisse kör på en 40-sträcka då ett hinder plötsligt dyker upp på vägen. Som tur är håller han 40 km/h och får stopp på bilen precis vid hindret. Med hur hög hastighet hade han kört på hindret om han hade hållit 50 km/h och börjat bromsa på samma ställe?

(c) Vad blir motsvarande slutsats om vi jämför 120 respektive 130 km/h på motorvägen?

17. Ta ett rutat papper och rita ut punkterna (32, 9) och (31, 12) (ett A4- papper räcker!). Rita en kvadrat som har två motstående hörn i dessa två punkter. Rita sedan ut den andra diagonalen i denna kvadrat, dvs den diagonal som inte går genom de två givna punkterna. Förläng den diagonalen, och konstatera genom att följa rutorna på papperet att den går genom origo.

(a) Konstatera att punkterna (32, 9) och (31, 12) därför måste ligga på samma avstånd från origo!

(b) Visa på samma sätt att även punkten (33, 4) ligger på precis sam- ma avstånd från origo. När du ändå är igång, visa att även punk- terna (23, 24) och (24, 23) ligger på detta avstånd.

(c) Verifiera dessa slutsatser genom att beräkna alla punkternas av- stånd från origo med avståndsformeln!

Kuriosa och problem

18. Hur många punkter med heltalskoordinater finns det på cirkeln med radie 10 och centrum i origo? Motsvarande med radie 25?

19. Använd lämpliga additionsformler för sinus och cosinus (eller komplexa tal!) för att beräkna sin(15^◦)och cos(15^◦)som Lisa gjorde i föregående kapitel. Om man lär sig även dessa utantill, får man ett snyggt sy- stem där man kan precis multiplerna av 15^◦, alltså klockan inklusive halvtimmar!

20. Fortsättning på uppgift 12: I själva verket är cos(72^◦) =

√5 − 1 4 .

Testa med miniräknare att detta verkar stämma, och fundera på hur man skulle kunna verifiera det stringent (det här kommer vi att kunna lösa enklare så småningom när vi har tittat på rotationsmatriser).

21. Som kuriosa kan nämnas att det finns uttryck med kvadratrötter för sinus och cosinus av alla vinklar som är multipler av 3^◦ (men inte för hela gradtal som inte är delbara med 3). Till exempel är

sin(3^◦) =

√2 · √

3 + 1
· √ 5 − 1

16 −

√3 − 1
·p 5 +√

5

8 ≈ 0.0523.

Förklara hur detta kan beräknas ur tidigare nämnda trigonometriska identiteter med hjälp av additions- och subtraktionsformler.

Ledtråd: 3^◦ = 75^◦− 72^◦. Du behöver inte utföra själva uträkningen!

22. När Carl Friedrich Gauss (1777–1855) var tonåring kom han på att

sinπ 17



=

√2 8 ·

v u u

t17 −√

17 −√ 2

q

17 −√ 17 +

r

34 + 6√

17 +√ 2√

17 − 1q

17 −√

17 − 8√ 2

q

17 +√ 17

! . Sjutton också, jag får minska fontstorleken...

√2 8 ·

v u u t17 −

√ 17 −

√ 2

q 17 −

√ 17 +

r 34 + 6

√ 17 +

√ 2

√

17 − 1

q 17 −

√ 17 − 8

√ 2

q 17 +

√ 17

! .

Det var den första identiteten av detta slag som inte var känd (i geomet- riska termer) under antiken. Fundera på hur vi (i princip) skulle kunna verifiera den. Du behöver inte göra uträkningen nu heller. Latmask.

23. Vilket heffaklumpskliv skulle en schackpjäs behöva ta för att generera den pythagoreiska trippeln (12709, 13500, 18541)?

24. Finns det en triangel med heltalssidor där en vinkel är 120^◦ och mot- stående sida har längd 13?

25. I en triangel med heltalssidor är en sida 7 och en vinkel 60^◦. Vilka längder är möjliga för de övriga två sidorna?

26. Kan vi skriva om uttrycket

1 14 − 5√

2 − 4√ 3

med hjälp av konjugatregeln? Kan vi förresten vara säkra på att näm- naren inte är noll? Ungefär hur stort är det här talet?

Och talet

1 2 − 3√

2 + 4√ 3 −√

5 −√ 6, hur mycket är det ungefär?

27. Exemplet i avsnitt 6 visar att avståndet mellan mittpunkterna hos cirklarna A och B nedan är lika med avståndet mellan mittpunkterna hos A och C.

A

B

C

Det verkar rimligt, men kan du se att avstånden är exakt samma?

Pausa och tänk efter innan du vänder blad!

A

B

C

Ser du det nu?

Svar

Svar och kommentarer till några av övningsuppgifterna.

1. Det finns fyra vektorer i figuren, eftersom den röda och den blåa är samma.

2 Den röda och den blåa är parallella eftersom det är samma vektor. Alla de övriga är också parallella (med varandra). Den orangea (kan man skriva så?!) vektorn har dock inte samma riktning som den svarta och den mörkröda, utan motsatt riktning.

3. (a)

3 0

 +0

2



=3 2

 , och denna vektor har längd

√

3²+ 2² =√ 13.

(b)

√

√2 3



− 2 · 1/√ 2 3/√

12



=0 0

 , som förstås har längd 0.

5. Om vi antar att avstånden mäts fågelvägen i ett plan, blir avståndet mellan mormor och farmor hälften av avståndet mellan Umeå och Gäv- le, oavsett var Lisa bor. Om vi säger att det är 40 mil mellan Umeå och Gävle, blir det 20 mil mellan mormor och farmor.

6. Det finns två enhetsvektorer (i planet) som är ortogonal mot vektorn

 5 12



, nämligen  12/13

−5/13



och −12/13 5/13

 .

7. Båda vektorerna har längd √

2. Vektorsumman är 1 +√ 2 1



. Pilen från origo som representerar denna vektor är bisektris i romben, och delar vinkeln 45^◦ = π/4 i två lika delar, vardera π/8. Vi får därför, genom att förlänga med konjugatet,

tan(π/8) = 1 1 +√

2 =√ 2 − 1.

8.

2 ·











 1 2 3 4 5











 + 10 ·











 1 1 1 1 1













=











 12 14 16 18 20











 .

9. De 6 skalärprodukterna är 0, −2, −2, −3, 12 och 0.

10. Om u^• v = 3, så är (2u)^• (2v) = 2 · 2 · 3 = 12 och (−u)^•(−v) = (−1)²· 3 = 3.

11. En lämplig vektor är −2 3



. Projektionen av 1 0



på3 2

 blir 3

13 ·3 2



=9/13 6/13

 . och projektionen av 0

1



på 3 2

 blir 2

13 ·3 2



=6/13 4/13

 .

12. (a) Vektorsumman blir noll. Den kan inte bli något annat eftersom den måste bli samma om man roterar hela figuren 72^◦.

(b) Om vi ritar ut vektorsumman som ett “tåg”, blir det en regelbun- den femhörning.

(c) Eftersom hela summan av x-koordinaterna är 0, och cos(0) = 1, måste vi ha

cos(72^◦) + cos(144^◦) = −1 2. 13. De normerade vektorerna är 1/√

2 1/√

2



, 15/17

−8/17



och √3/2 1/2

 . 15. Vi har

(u + v)^•(u − v) = u^•u − v^•v = kuk²− kvk². Så om det ena är noll, är det andra noll!

Sedan kan vi utnyttja detta faktum igen, men på vektorerna (u + v) och (u−v). Dessa två vektorer ska ju då vara lika långa om och endast om deras summa, 2u, är ortogonal mot deras differens, 2v. Men 2u och 2v är ju ortogonala om och endast om u och v är ortogonala!

16. (a) Detta följer av att 30² + 40² = 50².

(b) Om Nisse hade hållit 50 km/h, hade han kolliderat med hindret i 30 km/h.

(c) Om vi håller 130 km/h i stället för 120 km/h, krockar vi i 50 km/h när den som håller 120 km/h precis hinner stanna.

17. De nämnda punkterna ligger alla på avståndet √

1105 från origo. Det är för övrigt ingen tillfällighet att 1105 är produkten av tre primtal (5, 13 och 17) som vart och ett ger rest 1 vid division med 4, men vi fördjupar oss inte i talteorin i den här kursen.