L¨ osningsf¨ orslag – obs. prelimin¨ art, reservation f¨ or fel
v0.4, 12 augusti 2014
H¨ ogskolan i Sk¨ ovde (SK) Tentamen i matematik
Kurs: MA142G Linj¨ ar algebra
MA122G Linj¨ ar algebra f¨ or ingenj¨ orer Tentamensdag: 2014-03-08 kl 8.30–13.30
Hj¨ alpmedel : Inga hj¨ alpmedel ut¨ over bifogat formelblad. Ej r¨ aknedosa.
Tentamen bed¨oms med betyg 3, 4, 5 eller underk¨and, d¨ar 5 ¨ar h¨ogsta betyg. F¨or godk¨ant betyg (3) kr¨avs minst 16 po¨ang fr˚an del I och II tillsammans, (1–8). Var och en av dessa ˚atta uppgifter kan ge maximalt 3 po¨ang. F¨or var och en av uppgifterna 1–6 kan man v¨alja att i st¨allet f¨or att l¨amna svar utnyttja sitt resultat fr˚an motsvarande dugga fr˚an kurstillf¨allet ht 2013 (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D ist¨allet f¨or ett kryss i uppgiftsrutan p˚a omslaget. F¨or betyg 4 kr¨avs ut¨over godk¨ant resultat fr˚an I+II minst 20 po¨ang fr˚an del II och III tillsammans, f¨or betyg 5 minst 30 po¨ang.
L¨amna fullst¨andiga l¨osningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer ¨an en uppgift p˚a varje blad.
Del I. Uppgift 1–6 kan en och en ers¨ attas av duggapo¨ ang.
(D1.1) 1. (3p) Best¨ am ekvationer i ett xyz-koordinatsystem f¨ or planet som inneh˚ aller punkterna A = (1, 1, 0), B = (0, 1, 1) och C = (2, 1, 1), (a) p˚ a parameterform, (b) p˚ a allm¨ an form.
L¨ osningsf¨ orslag: (a) Planet Π best˚ ar av punkter X = (x, y, z) parametriserade (till exempel) av
−−→ OX = −→
OA + t − − →
AB + s −→
AC,
dvs
x y z
=
1 1 0
+ t
−1 0 1
+ s
1 0 1
,
d¨ ar t och s ¨ ar fria parametrar.
(b) Vill best¨ amma en ekvation ax + by + cz = d som villkor f¨ or att punkten (x, y, z) ligger i planet P i.
Om ~ n ¨ ar en vektor ortogonal mot planet (en normalvektor), s˚ a ligger X i P i om och bara om −−→
AX · ~ n = 0. Vi kan ber¨ akna en normalvektor ~ n (till exempel) som vektorprodukten av tv˚ a vektorer parallella med planet, exempelvis
~ n = − − → AB × −→
AC =
−1 0 1
×
1 0 1
=
0 0 1 1
1 1
−1 1
−1 1 0 0
=
0 2 0
.
Planets ekvation ges d˚ a av ekvationen
Alternativ. Fr˚ an (a) har vi
t
−1 0 1
+ s
1 0 1
=
x − 1 y − 1
z
.
Andra komponenten ger oss ekvationen y − 1 = 0.
Alternativ. De tre punkterna A, B och C har gemensamt att y-koordinaten ¨ ar 1, allts˚ a ligger de i planet med ekvationen y = 1.
4 (D1.2) 2. (3p) L˚ at
~ v
1=
1 1 1
, ~ v
2=
2
−1 1
, ~ v
3=
0 3 4
och w = ~
−1 8 5
.
Uttryck vektorn ~ w som en linj¨ arkombination av vektorerna ~ v
1, ~ v
2och ~ v
3. L¨ osningsf¨ orslag: Beh¨ over best¨ amma koefficienter a, b, c s˚ a att
a~ v
1+ b~ v
2+ c~ v
3= ~ w, eller, p˚ a matrisform,
1 2 0
1 −1 3
1 1 4
a b c
=
−1 8 5
.
Vi Gauss-Jordaneliminerar totalmatrisen
1 2 0 −1 1 −1 3 8
1 1 4 5
(2)−(1) (3)−(1)
1 2 0 −1 0 −3 3 9 0 −1 4 6
−13·(2)
1 2 0 −1
0 1 −1 −3
0 −1 4 6
(3)+(2)
1 2 0 −1 0 1 −1 −3
0 0 3 3
1 3·(3)
1 2 0 −1
0 1 −1 −3
0 0 1 1
(2)+(3)
1 2 0 −1 0 1 0 −2 0 0 1 1
(1)−2(2)
1 0 0 3 0 1 0 −2 0 0 1 1
Allts˚ a har vi
~
w = 3~ v
1+ (−2)~ v
2+ ~ v
3.
4 (D2.1) 3. (3p) Finns det en matris X som uppfyller matrisekvationen AX = B, d¨ ar
A =
1 0 0 0 1 2 0 1 3
och B =
1 2 2 1 0 1
?
Om s˚ a ¨ ar fallet, ber¨ akna den.
L¨ osningsf¨ orslag: Om A ¨ ar inverterbar, s˚ a ¨ ar X = A
−1B den entydiga l¨ osningen till matrisekvationen AX = B. Vi f¨ ors¨ oker med Gauss-Jordaneliminering av totalmatrisen h
A I i
:
h A I
i
=
1 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 3 0 0 1
(3)−(2)
1 0 0 1 0 0
0 1 2 0 1 0
0 0 1 0 −1 1
(2)−2(3)
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 3 −2 0 0 1 0 −1 1
= h
I A
−1i
.
Vi har allts˚ a l¨ osningen
X = A
−1B =
1 0 0
0 3 −2
0 −1 1
1 2 2 1 0 1
=
1 2 6 1
−2 0
.
Alternativ. Vi kan direkt G-J-eliminera totalmatrisen h
A B
i :
h A B
i
=
1 0 0 1 2 0 1 2 2 1 0 1 3 0 1
(3)−(2)
1 0 0 1 2
0 1 2 2 1
0 0 1 −2 0
(2)−2(3)
1 0 0 1 2
0 1 0 6 1
0 0 1 −2 0
= h
I A
−1B i
.
4 (D2.2) 4. (3p) Den linj¨ ara transformationen
T : R
2→ R
2, d¨ ar T "
x y
#!
=
"
3x − 3y 2x − 4y
# ,
kan uttryckas med en matrismultiplikation: T "
x y
#!
= A
"
x y
# . (a) Best¨ am matrisen A. (1p)
(b) Vektorn ~ v =
"
1 2
#
¨ ar en egenvektor till matrisen A. Vad ¨ ar det motsvarande egenv¨ ardet?
(2p)
L¨ osningsf¨ orslag: (a) Eftersom
"
3x − 3y 2x − 4y
#
=
"
3 −3 2 −4
# "
x y
# ,
s˚ a har vi
"
3 −3 #
(b) Vi har att
A
"
1 2
#
=
"
3 −3 2 −4
# "
1 2
#
=
"
−3
−6
#
= −3
"
1 2
# ,
s˚ a egenv¨ ardet som svarar mot egenvektorn
"
1 2
#
¨ ar −3. 4
(D3.1) 5. (3p) (a) Matrisen A =
"
6 4 12 8
#
har −2 som ett egenv¨ arde. Best¨ am egenvektorerna till A som h¨ or till detta egenv¨ arde.
(b) Best¨ am vad matrisen A (som ovan) har f¨ or egenv¨ arde ut¨ over −2.
(c) Best¨ am en 2 × 2-matris B som har egenv¨ arden 2 och −3 och vektorerna
"
1 2
# och
"
1 3
#
som egenvektorer tillh¨ orande respektive egenv¨ arde.
(Tips: Anv¨ and diagonaliseringen B = P DP
−1.)
I denna uppgift har det smugit sig in ett fel som g¨ or att (a) och (b) inte ¨ ar l¨ osbara som de
¨
ar skrivna. Egenv¨ ardena till A som den ¨ ar skriven ¨ ar 0 och 14.
L¨ osningsf¨ orslag: (c) Med D =
"
2 0 0 −3
#
med egenv¨ arden p˚ a diagonalen och P =
"
1 1 2 3
#
med egenvektorer som kolonner har vi
B = P DP
−1=
"
1 1 2 3
# "
2 0 0 −3
# 1
1 · 3 − 1 · 2
"
3 −1
−2 1
#
=
"
2 −3 4 −9
# "
3 −1
−2 1
#
=
"
12 −5 30 −13
# .
med dessa egenv¨ arden och egenvektorer. 4
(D3.2) 6. (3p)
B = {1 + x, 1 + x
2, 1 + 2x + 3x
2} och S = {1, x, x
2}
¨ ar tv˚ a olika baser f¨ or rummet P
2som best˚ ar av alla polynom upp till och med grad tv˚ a.
Best¨ am koordinatvektorerna [p(x)]
Soch [p(x)]
Bf¨ or polynomet p(x) = 2 + 7x + 7x
2med avseende p˚ a respektive bas.
L¨ osningsf¨ orslag: Vi ser direkt att
[p(x)]
S=
2 7 7
.
Om
[p(x)]
B=
a b c
,
s˚ a g¨ aller att
2 + 7x + 7x
2= a(1 + x) + b(1 + x
2) + c(1 + 2x + 3x
2) = (a + b + c) + (a + 2c)x + (b + 3c)x
2,
dvs
a + b + c = 2, a + 2c = 7, b + 3c = 7.
Vi Gausseliminerar totalmatrisen f¨ or ekvationssystemet.
1 1 1 2 1 0 2 7 0 1 3 7
(2)−(1)
1 1 1 2
0 −1 1 5
0 1 3 7
−(2)
1 1 1 2
0 1 −1 −5
0 1 3 7
(3)−(2)
1 1 1 2
0 1 −1 −5 0 0 4 12
1 4(3)
1 1 1 2
0 1 −1 −5
0 0 1 3
(1)−(3) (2)+(3)
1 1 0 −1 0 1 0 −2 0 0 1 1
(1)−(2)
1 0 0 1 0 1 0 −2 0 0 1 3
Allts˚ a har vi
2 + 7x + 7x
2= 1(1 + x) + (−2)(1 + x
2) + 3(1 + 2x + 3x
2) och allts˚ a
[p(x)]
B=
1
−2 3
.
Alternativ. Vi best¨ ammer basbytesmatrisen P
B→Ssom ¨ ar inversen till
P
S→B=
1 1 1 1 0 2 0 1 3
.
D˚ a har vi
[p(x)]
B= P
B→S[p(x)]
S=
1/2 1/2 −1/2 3/4 −3/4 1/4
−1/4 1/4 1/4
2 7 7
=
1
−2 3
.
(Detaljerna i ber¨ akningarna l¨ amnas ˚ at l¨ asaren.) 4 Del II.
7. (3p) Rangen av en matris ¨ ar diensionen av kolonnrummet, som ocks˚ a ¨ ar lika med dimensionen av kolonnrummet. Best¨ am vad matrisen
M =
1 1 1 1 1 1 1 k
21 1 k 1
har f¨ or rang, beroende p˚ a v¨ ardet av k.
L¨ osningsf¨ orslag: Rangen av en matris ¨ ar den gemensamma dimensionen av rad- och kolonnrummen i en matris, vilket ¨ ar detsamma som antalet nollskilda rader efter Gausseli- minering. (Rangen f¨ or¨ andras inte med radoperationer.) Vi Gausseliminerar till trappstegs- form.
M =
1 1 1 1 1 1 1 k
21 1 k 1
(2)−(1) (3)−(1)
1 1 1 1
0 0 0 k
2− 1 0 0 k − 1 0
(2)↔(3)
1 1 1 1
0 0 k − 1 0 0 0 0 k
2− 1
.
Om k = 1 s˚ a ¨ ar b˚ ade rad 2 och rad 3 noll i den reducerade matrisen och rangen ¨ ar d˚ a ett.
Om k = −1 s˚ a ¨ ar rad 3 noll, men inte rad 2, rangen ¨ ar d˚ a tv˚ a. Om k 6= ±1 s˚ a har den reducerade matrisen p˚ a trappstegsform ingen nollrad, och rangen ¨ ar d˚ a tre.
Sammanfattning: k = 1: rankM = 1; k = −1: rankM = 2; k 6= ±1: rankM = 3.
4 8. (3p) Best¨ am, som funktion av x, determinanten det A
xf¨ or matrisen
A
x=
1 x 0 0 2 4 0 0 0 0 1 x 0 0 1 1
.
F¨ or vilka v¨ arden p˚ a x ¨ ar A
xinte inverterbar?
L¨ osningsf¨ orslag: Utvecklar vi l¨ angs rad 1 f˚ ar vi
det A
x= 1
4 0 0 0 1 x 0 1 1
− x
2 0 0 0 1 x 0 1 1
= 4
1 x 1 1
− 2x
1 x 1 1
= (4 − 2x)(1 − x) = 2(x − 2)(x − 1) = 2x
2− 6x + 4.
Matrisen A ¨ ar inte deriverbar d˚ a determinanten ¨ ar noll, dvs om x = 2 eller om x = 1.
(Man kan ocks˚ a se att om x = 2 s˚ a ¨ ar kolonn 1 och 2 linj¨ art beroende i A
x, om x = 1 s˚ a
¨ ar kolonn 3 och 4 linj¨ art beroende.)
4
Del III. F¨ or full po¨ ang kr¨ avs f¨ orutom en korrekt och v¨ almotiverad l¨ osning en redig och l¨ attl¨ ast presentation.
9. (10p) (a) F¨ or de v¨ arden p˚ a x som g¨ or matrisen A
xfr˚ an uppgift 8 inverterbar, best¨ am inversen A
−1x.
(b) Best¨ am alla egenv¨ arden till A
0. (c) Best¨ am baser f¨ or egenrummen till A
0. (d) ¨ Ar A
0diagonaliserbar?
10. (10p) F¨ or matrisen M fr˚ an uppgift 7, best¨ am f¨ or varje fall en bas f¨ or kolonnrum, radrum respek- tive nollrum till matrisen.
11. (10p) Ett plan Π i R
4inneh˚ aller punkterna (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4) och (1, −1, 2, −2). Med (x, y, z, w) som koordinater, best¨ am ekvationer dels (a) p˚ a parameterform dels (b) p˚ a allm¨ an form (hur m˚ anga ekvationer kr¨ avs?)
(c) M¨ angden av vektorer som ¨ ar parallella med planet Π bildar ett underrum V till R
4. Best¨ am en bas f¨ or detta rum.
(d) Best¨ am en bas f¨ or rummet V
⊥av vektorer som ¨ ar ortogonala mot alla vektorer i V . (e) Best¨ am en matris som har V som radrum och V
⊥som nollrum.
12. (10p) (a) En linj¨ ar transformation T : R
4→ R
4avbildar vektorn [x, y, z, 1] p˚ a [x+a, y+b, z+c, 1], f¨ or givna v¨ arden p˚ a a, b, c. Om vi ser [x, y, z, 1] som homogena koordinater f¨ or en punkt (x, y, z) beskriver det en translation av en punkt i R
3med vektorn [a, b, c]. Best¨ am matrisen [T ] f¨ or denna transformation, dvs [T ] s˚ a att
[T ]
x y z 1
=
x + a y + b z + c
1
.
(b) En annan transformation R avbildar [x, y, z, 1] p˚ a [x
0, y
0, z, 1] d¨ ar (x
0, y
0, z) ¨ ar koordi- naterna f¨ or en punkt som roterats vinkeln θ runt z-axeln fr˚ an (x, y, z). (Moturs om man tittar fr˚ an positiva z−axeln mot origo, i ett h¨ ogerh¨ ant koordinatsystem.) Best¨ am matrisen f¨ or denna transformation. Anv¨ and c = cos θ och s = sin θ.
(c) Best¨ am matrisen (f¨ or homogena koordinater) f¨ or avbildningen som roterar en punkt vinkeln θ kring linjen x = a, y = b, uttryckt i c, s, a och b.
Lycka till! /SK
Course: MA142G Linj¨ ar algebra
MA122G Linj¨ ar algebra f¨ or ingenj¨ orer Exam date: 2014-03-08 kl 8.30-19.30
Aids : No aids allowed except for attached cheat sheet. No calculator.
The examination is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade 3 or higher) at least 16 points are needed from problems 1–8 (Part I+II). Each of these 8 problems may yield 3 points. For each of problems 1–6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the exam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 20 points in part II+III (problems 7–12). For grade 5 at least 30 points in part II+III is required.
Give full solutions to all problems. Don’t answer more than one problem at each page, use only one side of the sheet.
Part I. Problems 1–6 may each be substituded for by the corresponding pre-test results.
(D1.1) 1. (3p) Find equations, in a xyz coordinate system, for the plane containing the points A = (1, 1, 0), B = (0, 1, 1) and C = (2, 1, 1), (a) in parameter form, (b) in general form.
(D1.2) 2. (3p) Let
~ v1=
1 1 1
, ~v2=
2
−1 1
, ~v3=
0 3 4
och w =~
−1 8 5
.
Express the vector ~w as a linear combination of the vectors ~v1, ~v2 and ~v3. (D2.1) 3. (3p) Is there a matrix X which satisfies the matrix equation AX = B, where
A =
1 0 0 0 1 2 0 1 3
and B =
1 2 2 1 0 1
?
If that’s the case, compute it.
(D2.2) 4. (3p) The linear transformation
T : R2→ R2, d¨ar T "
x y
#!
=
"
3x − 3y 2x − 4y
# ,
can be expressed as a matrix multiplication: T "
x y
#!
= A
"
x y
# . (a) Find the matrix A. (1p)
(b) The vector ~v =
"
1 2
#
is an eigenvector of the matrix A. Which is the corresponding eigenvalue?
(2p)
(D3.1) 5. (3p) (a) The matrix A =
"
6 4 12 8
#
has −2 as an eigenvalue. Find the eigenvectors of A which corresponds to this eigenvalue.
(b) Determine which eigenvalue the matrix A has in addition to −2.
(c) Find a 2 × 2-matrix B which has eigenvalues 2 and −3 and the vectors
"
1 2
# and
"
1 3
#
as egenvektors corresponding to each eigenvalue respectively.
(Hint: Use the diagonalization B = P DP−1.)
(D3.2) 6. (3p)
B = {1 + x, 1 + x2, 1 + 2x + 3x2} and S = {1, x, x2}
are two different bases for the space P2 consisting of all polynomials of degree at most two. Find the coordinate vetors [p(x)]S and [p(x)]B for the polynomial p(x) = 2 + 7x + 7x2 with respect to each of the two bases.
Part II.
7. (3p) The rank of a matrix is the dimension of the column space, and is also equal to the dimension of the row space. Find the ranks of the matrix
M =
1 1 1 1
1 1 1 k2
1 1 k 1
depending on the different values of k.
8. (3p) Find, as a function of x, the determinant det Axof the matrix
Ax=
1 x 0 0
2 4 0 0
0 0 1 x
0 0 1 1
.
For which values of x is Ax not invertible?
Part III. For full points, the solution needs to be correct and well-grounded, and the presentation has to be comprehensible ande in good style.
9. (10p) (a) For values of x where the matrix Ax from problem 8 is invertible, find the inverse A−1x . (b) Find all eigenvalues of the matrix A0.
(c) Find bases for the eigenspaces of A0. (d) Is A0diagonalizable?
10. (10p) For the matrix M from problem 7, find, for each case, a basis for each of the column-, row- and nullspaces.
11. (10p) The plane Π in R4 contains the points (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4) and (1, −1, 2, −2). With (x, y, z, w) as coordinates, find equations (a) in parameter form, and (b) in general form (how many equations are needed?)
(c) The set of vectors parallel to the plane Π forms a subspace of V in R4. find a basis for this subspace.
(d) Find a basis for the subspace V⊥ in R4 of vectors orthogonal to all vectors of V . (e) Find a matrix which has V as its row space and V⊥ as its nullspace.
12. (10p) (a) A linear transformation T : R4 → R4 maps the vector [x, y, z, 1] to [x + a, y + b, z + c, 1], for given values of a, b, c. Seeing [x, y, z, 1] as homogeneous coordinates of a point (x, y, z), it describes a translation of a point in R3 by the vector [a, b, c]. Find the matrix [T ] for this transformation, that is, [T ] such that
[T ]
x y z 1
=
x + a y + b z + c
1
.
(b) Another transformation R maps [x, y, z, 1] to [x0, y0, z, 1] where (x0, y0, z) are the coordinates of a point rotated an angle θ around the z-axis from the point (x, y, z). (Counter-clockwise if you look towards the origin from the positive z-axis, in a right-handed coordinate system.) Find the matrix for this transformation. Use c = cos θ and s = sin θ as a shorthand.
(c) Find the matrix (for homogeneous coordinates) for the transformation which rotates a point the angle theta around the line x = a, y = b, expressed in c, s, a and b.
Good luck! /SK
