Institutionen för matematik
Tentamen i: Matematik M Ämneskod M0013M
Tentamensdatum 2009-10-23
Totala antalet uppgifter: 5 Skrivtid 09.00-14.00
Lärare: Lars Bergström
Jourhavande lärare: Lars Bergström Tel: 0920-492057 Resultatet meddelas via
studentportalen senast:
15 arbetsdagar efter tentamensdagen
Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna.
Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.
Betygsgränser:
U: 0-11 poäng 3: 12-16 poäng 4: 17-20 poäng 5: 21-25 poäng
1. Beräkna ∫ − − + + + −
C
y y y
y e dx x e e dy
e ) (3 )
(
då
Cär den moturs orienterade
randen till triangelområdet med hörn i punkterna
(0,0),
(1,1)och
(2,0). (5p)
2. Funktionen
f(x)är definierad enligt
f(x)=⎩⎨
⎧−
, 2
, 2
2 0
0 2
<
<
<
<
− x
x
,
f(x+4)= f(x)Bestäm Fourierserien till
f(x). (5p)
3. Låt
) cos(
) ) sin(
,
( x
y y x
x f
z = =
.
a) Bestäm ekvationen för tangentplanet till
f(x,y)i punkten
) ,4 (π4 π. (2p)
b) Beräkna riktningsderivatan
),4 (π4 π f
u •∇
då
uhar samma riktning som vektorn
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
− 2
1
. (3p)
4. Beräkna flödesintegralen ∫∫
•S
ds N
F ˆ
då vektorfältet
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
= z
y x
F 2
2
och ytan
Sär delen av ytan
z=
x2+
y2där
xoch
yuppfyller
x2 + y2 ≤1,x≥0,y≥0.(5p)
5. Bestäm med variabelseparation lösningen
u( t
x, ) som uppfyller
2
2
x u t
u
∂
= ∂
∂
∂
, 0 < x < π ,
t> 0 u
x( 0 , t ) = u
x( π , t ) = 0 ,
∀tu
(x , 0 ) =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
<
<
<
π π
π x x k
,2 0
0 2 ,
, (5p)
Svar till M0013M 2009-10-23
1. 3
2. ) ....)
2 sin(5 5 ) 1 2 sin(3 3 ) 1 (sin(2 ) 8
(x = x + x + x +
f π π π
π
3. a)
8 ) 4
1 4 (
π2
π
π + −
+ x y b) )
1 4 ( 5
1 π
−
4.
8 5π
5. cos(7 ) ....)
7 ) 1 5 5 cos(
) 1 3 3 cos(
) 1 cos(
2 ( ) 2
,
( = k + k e− x − e−9 x + e−25 x − e−49 x +− t
x
u t t t t
π
