FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C

(1)

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK

KURS C

ALGEBRA

Regler

⎭⎬

⎫ +

−

=

−

+ +

= +

2 2

2

2 2

2

2 )

(

2 )

(

b ab a

b a

b ab a

b

a (kvadreringsregler)

2

) 2

)(

(a+b a−b =a −b (konjugatregeln)

3 2 2

3

3 3 3

)

(a+b =a + a b+ ab +b

3 2 2

3

3 3 3

)

(a−b =a − a b+ ab −b ) )(

( ² ²

3

3 b a b a ab b

a + = + − +

) )(

( ² ²

3

3 b a b a ab b

a − = − + +

Andragrads- ekvationer

Ekvationen har rötterna

=

x² +px+ =q 0

x₁ p p q

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

−

2

2 och x₂ = p p q

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

2

2 2

där x₁ +x₂ = − p och x₁⋅x₂ =q

ARITMETIK

Prefix T G M k h d c m μ n p

tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 10¹² 10⁹ 10⁶ 10³ 10² 10^-1 10^-2 10^-3 10^-6 10^-9 10^-12 Potenser För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller

a a^x ^y =a^{x y}⁺ a

a a

x y

= x y⁻

( )

^a^x ^y ⁼^a^xy

a b^x ^x = ( ) ab ^x

x x

x

b a b

a ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ aⁿ ⁿ a

1

=

a a

x x

− = 1

a⁰ = 1

Logaritmer För positiva tal y gäller:

y x

x y

lg

10 = ⇔ = e^x = y ⇔ x=lny

För positiva tal x och y gäller:

lgxy=lgx+lgy lgx lg lg y = x− y lgx^p = ⋅ x p lg

Geometrisk

summa där 1

1 ) 1 ... ¹ (

2 ≠

−

= − +

+ +

+ ⁻ k

k k ak a

ak ak a

n n

(2)

DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYL

Derivatans

definition _x _a

a f x f h

a f h a a f

f h x a −

= −

−

= +

′ → →

) ( ) lim ( ) ( ) lim (

)

( 0

Deriveringsregler Funktion Derivata

x^a där a är ett reellt tal ax^a−1 ax (a > 0) a^xlna

x

ln (x>0)

x 1

ex e^x

ekx k e⋅ ^kx

x

1 − 1

x2

x

sin cos x

x

cos −sinx

x

tan ²x ₂x

cos tan 1

1+ =

f x( )+g x( ) f ′( )x + ′g x( ) )

( ) (x g x

f ⋅ f(x)⋅g′(x)+ f′(x)⋅g(x) )

( ) (

x g

x

f (g(x)≠0)

(

( )

)

²

) ( ) ( ) ( ) (

x g

x g x f x g x

f′ ⋅ − ⋅ ′

(3)

FUNKTIONSLÄRA

Räta linjen

k y y

x x

= −

−

2 1

Riktningskoefficient för linje genom punkterna och

där ≠ ( ,x y₁ ₁) (x₂,y₂) x₁ x₂

y=kx+m Linje genom punkten (0, m) med riktningskoefficienten k y−y₁ =k x( −x₁) Linje genom punkten

med riktningskoefficienten k ( ,x y₁ ₁)

k₁⋅k₂ = −1 Villkor för vinkelräta linjer Exponential-

funktioner

ax

C

y= ⋅ C och a är konstanter

och

>0

a a≠1

Potensfunktioner y=C⋅x^a C och a är konstanter

GEOMETRI

Pythagoras sats a² +b² =c²

a c

b

Triangel

area= bh 2

b

h

Parallellogram _area_{= bh}

b h

Parallelltrapets area = h a( +b) 2

b

h

a

Cirkel

= 4 area

2

2 d

r π

π = d r π π = 2

=

omkrets ^r

d

(4)

Cirkelsektor bågen b= α ⋅ πr 360 2 area = α π

360 2

⋅ r2 = br

r α b

Prisma volym = Bh

B

h

Cylinder Rak cirkulär cylinder volym =πr h²

mantelarea = 2πrh ^h

r

Pyramid volym =Bh

3 ^h

B

Kon Rak cirkulär kon

volym =πr h² 3 mantelarea = πrs

r

h s

Klot volym =4

3 πr3

area =4πr²

r

Likformighet För likformiga geometriska figurer gäller att motsvarande vinklar är lika stora och att förhållandet mellan

motsvarande sidor är lika.

Trianglarna ABC och DEF är likformiga.

Då gäller b = c

A B

C

D E

F a c b

f e d

(5)

Skala Areaskalan = (Längdskalan)² Volymskalan = (Längdskalan)³

Vinklar När två räta linjer skär var- andra är sidovinklarnas summa 180º (t.ex. u + v

=180º) och vertikalvinklar lika stora (t.ex. w = v).

u v

w

När en linje L1 skär två andra inbördes parallella linjer L2

och L3 så är likbelägna vinklar lika stora (t.ex. v = w) och alternatvinklar lika stora (t.ex.

w u= )

u v

w

L1

L2

L3

Omvänt gäller att om alternatvinklar eller likbelägna vinklar är lika stora så är linjerna L₂ och L₃ parallella.

Topptriangel- och transversalsatsen

Om DE är parallell med AB gäller BC

CE AC CD AB

DE = = och

BE CE ADCD =

A B

C

D E

Bisektrissatsen

BC AC AD =BD

A B

C

D

Kordasatsen ab=cd

c

a d

b

Randvinkelsatsen Medelpunktsvinkeln till en cirkelbåge är dubbelt så stor som randvinkeln till samma

cirkelbåge (u=2v) ^u

v