Dynamisk FEM modellering av pålning
inom schakt med spont
Utvärdering av deformations- och portrycksbeteende
Tobias Sundqvist
2013
Civilingenjörsexamen Väg- och vattenbyggnadsteknik
Avdelningen för Geoteknologi
Institutionen för Samhällsbyggnad och naturresurser
UTVÄRDERING AV DEFORMATIONS - OCH PORTRYCKSBETEENDE
Tobias Sundqvist
Förord
Detta examensarbete är slutet på studierna vid Luleå tekniska universitet på civilingenjörsprogrammet Väg- och vattenbyggnad. Arbetet är en del inriktningen Jord- och bergbyggnad inom programmet och omfattar 30 högskolepoäng. Studien har genomförts under 2013 åt Tyréns AB.
Jag vill passa på att tacka alla lärare inom geoteknik på avdelningen för Geoteknologi på Luleå tekniska universitet för sitt stora engagemang och det sätt de lyckas väcka mitt intresse för geotekniken. Jag vill även tacka Tyréns AB:s nordligaste geoteknikavdelning för ett värdefullt förtroende och min stora kunskapsutveckling inom geoteknikämnet parallellt med studierna. Vill även skicka ett tack till kollegorna på Tyréns AB:s Kalixkontor som gjort examensarbetet lättare att ta sig genom.
Jag vill tacka min handledare och examinator Hans Mattsson, LTU, för hans förmåga att kunna förmedla sin kunskap på ett begripligt sätt vilket i slutändan gett ett bättre examensarbete. Jag vill tacka min handledare Anders Prästings, Tyréns AB. Vidare vill jag ge ett riktigt stort tack Muhammad Auchar Zardari, LTU, för att jag fått möjligheten att ta del av all hans kunskap inom finita elementberäkningar som gjort att denna studie varit möjlig att genomföra Ett varmt och hjärtligt tack till min familj som varit ett fantastiskt stöd under hela min utbildning!
Kalix, september 2013 Tobias Sundqvist
Sammanfattning
I ett mer och mer urbant samhälle så förtätas bebyggelse allt mer. I städerna brottas gamla byggnader med nya byggnadskomplex om det begränsade utrymmet. Stödkonstruktioner och andra grundförbättringsmetoder behöver användas för att möjliggöra byggnationer. Sveriges städer ligger ofta nära vattendrag, vilket många gånger innebär att husen är tvungna att grundläggas på sediment av stor mäktighet. Grundläggningen sker vanligtvis genom slagna betongpålar. Dessa installeras i Sverige med hjälp av fallhejare vilket utsätter omkringliggande mark för vibrationer. Dessa vibrationer kan utgöra ett hot för de äldre närliggande byggnaderna och kan skada dem.
På uppdrag av Tyréns AB har ett projekt av sådan natur studerats i datormiljö genom en finit elementanalys i programmet PLAXIS 2D. Detta med syfte att se om vibrationer och tillhörande deformationer går att prognostisera. Dessa simuleringar har allt eftersom kalibrerats emot uppmätta data från fält i referensprojektet.
Referensprojektet är byggnationen av ett nytt kulturhus i Umeå, vid namnet Kulturväven. Tyréns AB har försett författaren med förundersökningsdata samt fältmätningar av sättningar och portryck utförda under referensprojektets byggnation. Med hjälp av dessa har en beräkningsmodell med både erhållna och antagna materialparametrar skapats. Denna modell har därefter utsatts för en simulerad vibration som skapats för att efterliknade den verkliga pålningsinducerade vibrationen i projektet.
Studien har visat att prognostisering av vibrationsalstrande arbeten till viss del är möjlig. Den långa beräkningstiden för analysen gör att prognostiseringen som utförts i studien lämpar sig bäst vid fall som liknar referensprojektet då känsliga byggnader i närhet till vibrationskällan. Datorsimuleringarna som är utförda i en tvådimensionell miljö kan möjligvis ha gett ett mer rättvist resultat om det utförts i tredimensionell vy. Vid fall då en dynamisk analys kan komma att bli aktuell bör förundersökningarna utformas på så sätt att lämpliga jordparametrar utvärderas både för beräkning av spontkonstruktion men även för vibrationssimulering.
Abstract
Since the society get more and more urban the cities get denser. New buildings have to fight for their space with older buildings. The space is limited and therefore supporting constructions and foundation improvement methods are used to enable the construction. Since our cities are often located near water, the buildings are founded on sediments of great thickness. The foundation is usually performed with driven concrete piles. Impact pile driving exposes the surrounding areas with vibrations. These vibrations are a threat to the older buildings and could damage them.
On behalf of Tyréns AB, a project of such nature is studied using computer by a FE-analysis in the program PLAXIS 2D. This is done to see if these vibrations and their related deformations are possible to predict. This simulation has continuously been calibrated against measured field data from the reference project.
The reference project is the construction of a brand new culture center in Umeå, Kulturväven. Tyréns AB has provided the author with data from the pre-investigations as well as field measurements regarding settlement and pore pressure. With these input data a computation model has been generated with both obtained and assumed material parameters. The finite element model has subsequently been subjected to a simulated vibration that has been created to match the vibrations in the real case.
The study has shown that prediction of vibration generating works is partly possible. The long calculation time for the analysis makes the execution of the prediction more suitable for cases similar to the reference project. The computer simulation is performed in a two dimensional environment and if a three dimensional environment would have been used the result perhaps would have been more suitable. In cases where a dynamic analysis may be necessary, the pre-investigations should be designed in a way that suitable soil parameters could be evaluated for calculation of the supporting constructions and for simulation in the dynamic analysis.
Innehållsförteckning
FÖRORD ... I SAMMANFATTNING ... III ABSTRACT ... V
1 INLEDNING ... 1
Bakgrund ... 1
1.1 Syfte ... 2
1.2 Målsättning ... 2
1.3 Forskningsfrågor ... 2
1.4 Avgränsningar ... 2
1.5 Problemägare och resurser ... 3
1.6 Metodval och metodbeskrivning ... 3
1.7 Datainsamling ... 3
1.8 Programvaror ... 4
1.9 2 TEORI ... 5
Geoteknik – Begrepp och definitioner ... 5
2.1 2.1.1 Klassificering av jord och jords hållfasthet ... 8
2.1.2 Jordtryck ... 15
2.1.3 Totalspänning, effektivspänning och portryck ... 19
2.1.4 Darcys lag och permeabilitet ... 21
Geodynamik allmänt, definitioner och begrepp ... 23
2.2 2.2.1 Vågrörelse ... 23
2.2.2 Vibration och stöt ... 23
2.2.3 Svängningsrörelse ... 24
2.2.4 Allmän vågutbredning ... 25
2.2.5 Refraktion och reflektion ... 27
2.2.6 Interferens ... 28
2.2.7 Dämpning ... 28
Finita elementmetoden ... 31
2.3 2.3.1 Konstruktionsdelar och konstruktionssystem ... 32
2.3.2 Montering och analys av struktur ... 35
2.3.3 Randvillkor ... 36
2.3.4 Allmänt mönster ... 37
2.3.5 Allmänna diskreta system ... 39
Finita elementprogrammet PLAXIS ... 40
2.4 2.4.1 Finita elementmetoden i PLAXIS ... 41
2.4.2 Materialmodeller ... 43
2.4.3 Jordmodeller ... 44
2.4.4 Inmatningsprogrammet Input ... 56
2.4.5 Beräkningsprogrammet Calculations ... 57
2.4.6 Utdataprogrammet Output ... 59
Pålkonstruktioner ... 59
2.5 2.5.1 Prefabricerade slagna betongpålar ... 59
2.5.2 Pålslagningsmetoder ... 60
3 METOD ... 65
Referensprojekt ... 65
3.1 3.1.1 Omgivande byggnader ... 68
3.1.2 Grundläggning ... 69
Geotekniska förhållanden ... 73
3.2 Sättningsmätningar ... 73
3.3 Portrycksmätningar ... 77
3.4 Parameterval till PLAXIS ... 79
3.5 3.5.1 Beräkningssektion... 79
3.5.2 Parametrar i materialmodellen Mohr-Coulomb ... 82
3.5.3 Parametrar i materialmodellen UBC-sand ... 83
3.5.4 Pålar ... 85
3.5.5 Spontvägg ... 88
3.5.6 Stag ... 89
3.5.7 Laster... 90
Simulering i PLAXIS ... 95
3.6 3.6.1 Inmatningsprogrammet ... 96
3.6.2 Beräkningsprogrammet ... 98
4 RESULTAT OCH ANALYS ... 101
Resultat av simulering i PLAXIS ... 101
4.1 4.1.1 Sättningsutvärdering vid avlastning och spontinstallation101 4.1.2 Sättning vid dynamisk belastning ... 102
4.1.3 Portrycksutveckling vid simulering ... 104
4.1.4 Generell respons av dynamisk belastning på modellen i simuleringen ... 107
4.1.5 Modellering med inbäddade pålrader ... 109
5 DISKUSSION OCH SLUTSATSER ... 111
6 REFERENSER ... 115
7 BILAGOR ... 119
Bilaga 1 – Lastnedräkning omkringliggande byggnader ... 120
Bilaga 2 – Utdrag av beräkningssteg ... 121
Bilaga 3 – Variationer i simulerad gv-yta ... 124
Bilaga 4 – Utdrag ur bygghandling för spont ... 125
Bilaga 5 – CONRAD-utvärdering av CPT-sondering ... 129
Bilaga 6 – Utdrag ur PM Projektering ... 131
1 INLEDNING
Bakgrund 1.1
Ökad urbanisering leder till ökad efterfrågan på nybyggnationer i storstäderna.
Nybyggnation som i tätbebyggda områden utförs i anslutning till befintliga byggnader. För att inte påverka befintliga byggnader skapas utmaningar vid projektering och i produktionsskedet av nya byggnader. För att möjliggöra de nya byggnationerna i snäva stadsmiljöer så kan en spont behövas. Sponten minskar schaktens omfattning och när sedan jordens egenskaper, i och under grundläggningsnivån, inte har tillräcklig bärighet för att klarar av att bära den nya byggnaden så kan pålning komma att bli aktuellt. Pålarna kan drivas ner på olika sätt men då de geologiska förhållandena tillåter är pålslagning en ekonomiskt fördelaktig metod. Den metoden ger dock upphov till vibrationer som kan skada de gamla husen både genom direkt inverkan men även genom omlagring av jorden den är grundlagd på. Med hjälp av ett referensprojekt där stora sättningar och höga portryck uppmätts i samband med pålslagning så kan det skeendet försökas att efterlikna i simuleringar i programmet PLAXIS där fältdata verifieras emot beräkningar.
Författaren har tillsammans med Tyréns AB och Luleå tekniska universitet kommit fram till att göra en studie där fältmätningar av deformationer och portryck jämförs med simulerade värden i PLAXIS 2D. Studien är ett viktigt moment i examensarbetarens inriktning Jord- och bergbyggnad på programmet till civilingenjör väg- och vattenbyggnad.
Syfte 1.2
Syftet med arbetet är att beskriva hur vibrationer från pålning påverkar jorden och andra konstruktioner. Kunna förklara oförutsedda rörelser kring spont som en följd av vibrationer. I studien kalibreras referensprojektets fältdata emot den finita elementberäkning som utförs för att kunna se om det verkliga fallet går att efterlikna.
Målsättning 1.3
Målsättningen är att kunna ta fram en metod där vald jordmodell går att nyttja vid simulering av projekt vid likartade förhållanden. Målet är även att se om de rörelser som skett i referensprojektet kan förklaras med PLAXIS dynamiska verktyg.
Forskningsfrågor 1.4
Forskningsfrågor som arbetet innefattar:
· Är projektets utseende sådant att en tvådimensionell analys kan ses som tillräcklig?
· Är vald jordmodell lämplig att använda vid ett schakt med spont?
· Hur efterliknas de pålningsinducerade vibrationerna enklast i PLAXIS?
· Är det lämpligt att utföra en dynamisk analys i ett tidigt skede av ett projekt för att undanröja eventuella problem?
Avgränsningar 1.5
Examensarbetets tvärvetenskapliga natur har inneburit en rad avgränsningar för att, kunna lägga fokus på det mest väsentliga. Dessa avgränsningar är:
· Uppritad spont bygger på de konstruktionsritningar som Skanska Teknik AB upprättat.
· Ursprungliga geotekniska parametrar för jorden har hämtats från PM Geoteknik och PM Hydrogeologi upprättade av Tyréns AB.
· Uppmätta sättningar och portrycksdiagram har erhållit av från Tyréns AB där de svarar för kvalitetsäkring.
· Använda jordmodeller är redovisade i arbetet men inga djupare analyser av deras matematiska samband och bakgrund har gjorts.
· Enbart en sektion längs spontlinjen har undersökts trots skillnader på schaktdjup och omkringliggande konstruktioners utseende längs spontlinjen.
Problemägare och resurser 1.6
Luleå tekniska universitet är problemägaren och huvudintressent är Tyréns AB, Region Nord Norr Mark och Anläggning, avdelningen Geo- och Miljögeoteknik. Geoteknikbranschen i övrigt bör ses som intressenter och då främst personer med inriktning emot geokonstruktion och FEM-simulering.
Examensarbetet för civilingenjörer omfattar 30 högskolepoäng vilket motsvarar 20 stycken heltidsveckor. Handledare på Tyréns AB har varit Anders Prästings, geotekniker, med stöd av seniorgeotekniker Eric Carlsson som varit delaktig vid referensprojekt. Examinator och tillika handledare på universitetet har varit Hans Mattsson, universitetslektor, där även Muhammad Auchar Zardari, doktorand under studien, fungerat som ett stort stöd vid finita elementberäkningarna.
Metodval och metodbeskrivning 1.7
Inom ramen för denna studie har en litteraturstudie utförts som har legat till grund för de numeriska beräkningarnas utseende. Finita elementberäkningarna är genomförda med PLAXIS. Fältmätningar har erhållits av Tyréns AB.
Fältmätningar används för att verifiera PLAXIS simuleringen.
Datainsamling 1.8
Datainsamlingen har uteslutande utgått ifrån att leta lämplig litteratur som ger relevant information för projektet och som hjälpt till att göra en mer trovärdig simulering. Litteraturstudien bygger dels på författarens eget förvärvade geotekniska bibliotek, då detta bibliotek har brister har även litteratur hämtats från Universitetsbiblioteket i Luleå samt Kalix Kommunbibliotek. Relevant litteratur har funnits att tillgå på Tyréns AB:s kontor i Kalix där arbetet i stora drag har utförts. Internet har nyttjats frekvent för tillgång av bland annat PLAXIS användarmanual och forskningsrapporter. Från början utfördes en stor del av informationsarbetet kring projektet via telefon för att en tydligare bild om referensprojektet skulle erhållas. Då arbetet smalnat av har en stor andel av kommunikationen skett via mejl där tips på bra litteratur erhållits.
Programvaror 1.9
Följande programvaror har använts för att färdigställa studien:
· Finita element beräkningarna är utförda i PLAXIS 2D
· Microsoft Word 2010 har används vid rapportskrivning med tillhörande diagram-, bildredigerings- och ekvationsverktyg.
· Vid hantering av bilder i rapporten har främst Paint men även PDF – Xchange Viewer nyttjats.
· Mätdata från fält har behandlats och bearbetats i Microsoft Excel 2010.
· Via PLAXIS kurvgenereringsprogram har data exporterats till Excel där diagram skapats.
· Vid utvärdering utav CPT-sondering har CONRAD använts.
2 TEORI
Geoteknik – Begrepp och definitioner 2.1
En naturligt lagrad jord består i de flesta fall av tre olika typer av beståndsdelar. De komponenterna som tillsammans bildar det som i dagligt tal kallas jord är porgas, porvatten och fast substans. Dessa element är för en naturligt lagrad jord jämnt fördelade i jorden men för att enklare kunna beskriva jordens beståndsdelar och storheter visas en schematisk sammansättning i Figur 2-1.
Figur 2-1 Schematisk bild över ett jordelement uppdelat i olika beståndsdelar (Axelsson, 1998)
Utifrån Figur 2-1 kan ett uttryck för en jordvolyms massa, m, tas fram. Detta görs utifrån de definierade
= + + ≈ + (2.1)
Porgasens relativt låga massa gör att denna sätts till ≈ 0.
Jordens totala volym består av, likt för massan, de tre beståndsdelarnas individuella värden
= + (2.2a)
där
= + (2.2b) representerar porvolymen.
Ur dessa storheter kan skrymdensiteten bestämmas, denna benämns som ρ.
Skrymdensiteten är ett förhållande mellan jordprovets totala massa och volym
= (2.3)
Kunskap om skrymdensiteten är av största vikt att utvärdera för att överlagringtryck skall kunna bestämmas på en enskild nivå. Utifrån jordens tunghet, , så kan även skrymdensiteten härledas fram med hjälp utav tyngdaccelerationen, , enligt följande uttryck
= (2.4)
Skrymdensiteten kan variera inom samma jordart då jordens täthet kan variera inom samma jordmassa. I en tätare jord är porvolymen mindre och skrymdensiteten högre och vice versa för en mer löst lagrad jord. Organiskt material påverkar även detta förhållande. Dock kan även skrymdensiteten variera trots identiska jordarter och likartad täthet, detta kan förklaras utav vattenmättnadsgraden. Detta förhållande beskriver hur stor del av porvolymen som är fylld med vatten
= ( /) (2.5a)
eller
= (2.5b)
där ρs är kompaktdensiteten, ρw är vattnets densitet och är den naturliga vattenkvoten som beskriver porvattnets massa, mw, relativt massan för den fasta substansen, ms. Den naturliga vattenkvoten skrivs enligt följande
= (2.6)
Då skrymdensiteten varierar beroende om jorden befinner sig över eller under grundvattenytan så kan vattenmättnadsgraden användas för att beräkna de olika möjliga varianterna
= (2.7) i vilken Gsär den specifika gravitationen för jordpartiklar som ges av
= (2.8a)
eller
= (2.8b)
där också portalet, e, finns med och utrycks som förhållandet mellan porvolymen och den fasta fasens volym
= (2.9)
När portalet är känt går det att härleda fram porositeten i jorden, n, då dessa två parametrar är inbördes relaterade till varandra enligt följande
= (2.10)
= (2.11)
Förhållandet ger att oavsett vilken av porositet och portal som finns tillgänglig för den tänkta jorden så går den andra att utvärdera. Storleksgraden på porositeten likväl som portalet ger en bra blick över jordskelettets styrka och stabilitet.
Vid utvärdering av skrymdensiteten under grundvattenytan regleras vattenmättnadsgraden till den punkten att ett prov är fullständigt vattenmättat.
Detta utförs genom förhållandet mellan porvattenvolymen, Vw, och totala porvolymen, Vp, sätts till 1, dvs. alla porer är vattenfyllda definieras i Ekvation (2.5b). Det förhållandet sätts in i Ekvation (2.7) och ger (Axelsson, 1998;
Hansbo, 1975)
= (2.12)
PLAXIS tillämpar densiteten på jordmaterial genom att uttrycka dem som tungheter. Genom att utvärdera skrymdensiteten under och över
grundvattenytan så kan dessa då enkelt omräknas till tunghet för de båda fallen genom Ekvation (2.4). (Brinkgreve et al., 2012)
2.1.1 Klassificering av jord och jords hållfasthet
För att kunna beskriva jords egenskaper och sammansättning har mängder av sätt arbetats fram för att fånga upp de stora variationerna som finns inom jorden. Grundidén med att klassificera en jord är att kunna jämföra jordens egenskaper med värden från andra jordar med liknande egenskaper. Genom att den aktuella jorden jämförs med andra liknande jordar så kan grupperingar skapas för jordar med liknande egenskaper. Dessa grupperingar blir efter tillräckligt stor mängd data en egen klass. Informationen om hur en viss klass beter sig kan sedan tillämpas vidare då en jord som bedöms härröra till en viss klass utvärderas utifrån den erfarenhet som finns från tidigare undersökningar inom samma klass. Genom att utnyttja den stora erfarenhetsbank som skapas genom klassificeringssystem kan mer tillförlitliga bedömningar göras vid varje ny undersökning. Allt eftersom fler undersökningar utförs så förfinas klassificeringssystemen gradvis. Då kunskapen om jords egenskaper vidgas så kan fler infallsvinklar göras på viktiga parametrar för att klassificera jorden.
Jord är sammansatt av korn eller partiklar som tillsammans formar ett lastbärande kornskelett. Kornstorlek och individuell form gör att varierande hålrum bildas i jorden som består av porgas eller porvatten. Det är dessa två egenskaper tillsammans med kornfördelningen i en jord som är av central betydelse då jordartsklassificering ska bestämmas inledningsvis.
Faktumet att kornstorleken på jorden är den mest centrala att utvärdera har lett till att det finns en standard i Sverige där jordarter benämns utifrån kornstorlek.
Beteckningen är uppdelad i både huvud- och undergrupper. Detaljeringsnivån vid beskrivning av jordart stannar oftast på huvudnivån. Dessa är klassificerade från block till ler som tillsammans med undergruppen och fraktionsstorlek kan ses i Tabell 2-1.
Tabell 2-1 Mineraljordarternas fraktionsindelning
Benämning Kornstorlek (mm)
Block och sten
Block > 600
Klippblock >2000
Stenblock 2000-600
Sten 600 - 60
Grovsten 600-200
Mellansten 200-60 Grovjord
Grus 60 - 2
Grovgrus 60 - 20
Mellangrus 20 - 6
Fingrus 6 - 2
Sand 2 - 0,06
Grovsand 2 - 0,6
Mellansand 0,6 - 0,2
Finsand 0,2 - 0,06
Finjord
Silt 0,06 - 0,002
Grovsilt 0,06 - 0,02 Mellansilt 0,02 - 0,006 Finsilt 0,006 - 0,002
Ler < 0,002
Grovler 0,002-0,0006
Finler 0,0006
För att kunna beskriva olika jordars andra egenskaper används dessa benämningar för att lättare gruppera in jordarterna. Jordartsklassificeringen i sig ger ingen direkt uppfattning om den specifika jordens tekniska egenskaper.
Detta gör att andra grupperingar skapats för att beskriva bland annat hållfasthets- och deformationsegenskaper. För att kunna enkelt beskriva dessa så indelas de i friktionsjord, mellanjord och kohesionsjord.
Friktionsjord innefattar jordarterna block, sten, grus och sand. Kornskelettet i friktionsjord hålls uppe, som namnet avslöjar, av friktion. Denna friktion bildas av att en skjuvhållfasthet skapas mellan kornen. Hållfastheten för denna typ av jord beror direkt av normaltrycket, när normaltrycket ökar blir jorden mer stabil. Friktionsjordar har ingen möjlighet att ta dragkrafter då draghållfasthet
saknas helt. Permabiliteten är hög och jordlager av denna typ antas ofta vara dränerande.
Kohesionsjord består av den finaste fraktionen ler samt så räknas de fina organiska jordarterna gyttja och dy. Denna grupp av jordar bygger upp hållfastheten dels genom skjuvhållfasthet genom friktion mellan partiklarna men främst genom kohesion i materialet. Kohesionen verkar som en bindningskraft (sorptionskraft) mellan partiklarna i jorden. Det är också kohesionen som utgör den huvudsakliga skjuvhållfastheten, åtminstone vid snabba belastningar.
Mellanjorden består av i princip enbart silt. Denna jords hållfasthet byggs upp både som en friktions- och kohesionsjord vilket gett namnet som antyder att det är som ett mellanting mellan de två typerna. (Hansbo, 1975; Karlsson &
Hansbo, 1992)
Mohr-Coulombs brottkriterium
För att bestämma en jords skjuvhållfasthetsparametrar så kan Mohr-Coulombs brottkriterium utnyttjas. Mohr-Coulombs brottkriterium beskrivs enligt (Axelsson, 1998) som:
”brott inträffar för det spänningstillstånd för vilket den största spänningscirkeln precis tangerar Coulombs brottlinje (inritad i Mohr-planet)”
Ursprungligen beskrevs jordens skjuvhållfasthet i en punkt på ett visst plan genom Coulomb som en linjär funktion av normalspänningen vid brott i planet i samma punkt enligt sambandet
= + tan (2.13)
där är skjuvhållfastheten, är kohesionen, är normalspänningen vid brott och är jordens inre friktionsvinkel. Teorin om att skjuvspänningen i jord enbart kan skapas vid friktionen mellan de fasta partiklarna i jordskelettet ger att skjuvhållfastheten borde uttryckas som en funktion av den effektiva normalspänningen vid brott, . Ett förhållande mellan den effektiva kohesionen, , och den effektiva inre friktionsvinkeln, , enligt följande
= + tan (2.14)
Brott kommer således att ske i den punkt i jorden där en kritisk kombination av skjuvspänning och effektiv normalspänning utvecklas.
Spänningstillståndet i två dimensioner kan exemplifieras i ett diagram där skjuvspänningen sätts emot den effektiva normalspänningen. Ett spänningstillstånd kan beskrivas antingen genom en punkt med koordinaterna , skjuvspänningen, och , effektiva normalspänningen, eller genom Mohrs cirkel som bestäms av de effektiva huvudspänningarna och . Linjen i Figur 2-2 tangerar Mohr-cirkeln är bestämd som brottgränslinjen. Ett spänningstillstånd där Mohr-cirkeln delvis ligger ovanför brottgränslinjen är omöjlig.
I det allmänna fallet framställs grafiskt i Figur 2-2 så är jordens effektiva kohesion är större än noll, c´ > 0, tryckspänningen är satt till positiv.
Figur 2-2 Mohr-Coulombs brottkriterium (Craig, 2004)
Koordinaterna för tangentpunken är och där
= ( − ) × sin 2 (2.15)
= ( + ) + ( − ) cos 2 (2.16)
i vilka är skjuvhållfastheten vid brott, effektiva normalspänningen vid brott, största huvudspänningen, minsta huvudspänningen och θ är den
Brottgränslinje
teoretiska vinkeln mellan effektiva normalspänningsplanet och brottplanet. Det är tydligt att
= 45°+ (2.17)
vilket ger
sin = (2.18)
Således är
( − ) = ( + ) sin + 2 cos (2.19a)
eller
= tan 45°+ + 2 tan 45°+ (2.19b)
Ekvation 2.19 är bestämd som Mohr-Coulombs brottkriterium. (Craig, 2004) Mohr-Coulombs modell med detta brottkriterium är en av tre stycken jordmodeller från PLAXIS som används i detta arbete, vilket redovisas senare.
Elasticitetsmodul och tvärkontraktionstal
Elasticitetsmodulen beskriver jordens beteende vid belastning och kan i sin enklaste form beskrivas som ett linjärt förhållande mellan spänningen och jordens elastiska deformation enligt:
= (2.20)
Spänningen, , är proportionell mot töjningen, , och vars proportioner styr av elasticitetsmodulen, . Ekvation 2.20 är en omformulering av den lag som kallas Hooke’s lag.
Om ett element utsätts för en axiell dragspänning kommer elementet att förlängas i samma riktning som spänningen samtidigt som det blir smalare.
Detta fenomen kallas tvärkontraktion och beskrivs med hjälp av tvärkontraktionstalet eller Poissons tal vilket betecknas . På motsvarande sätt blir elementet tjockare om det utsätts för en axiell tryckspänning. Experiment
har visat att töjningen i belastningsriktningen är proportionell mot töjningen vinkelrätt belastningsriktningen. För ett tvådimensionellt fall går det att beskriva som
= − (2.21)
Denna proportionalitetskonstant är en dimensionslös konstant. (Heyden et al., 2007)
Elasticitetsmodulen E och tvärkontraktionstalet kan härledas ur skjuvmodulen G och tryckmodulen K och blir då
= / (2.22a)
= // (2.22b)
vilket ger
= 2 (1 + ) (2.23)
Sambanden gäller för ett isotropt elastiskt material. (Larsson, 2008; Heyden et al., 2007)
Kontraktans och dilatans
En jord kan i sitt lösaste lagringstillstånd visualiseras med hjälp av en behållare fylld med kulor, se Figur 2-3. Denna typ av tillstånd kan likställas med det som existerar i ett normalkonsoliderat finkornigt jordprov eller ett löst lagrat grovkornigt jordprov.
Figur 2-3 Jord i sitt lösaste lagringstillstånd (Hansbo, 1975)
När sedan jorden omlagras vid skjuvdeformation sker vanligtvis en volymändring i jorden. Då volymen ökar anses jorden vara dilatant och vid det rakt motsatta, volymminskning, sägs den vara kontraktant.
Figur 2-4 Kontraktans (Hansbo, 1975)
Kontraktans i sin enkla form visas i Figur 2-4. Kulorna i behållaren har då förflyttat sig från sitt grundtillstånd, Figur 2-3, och väldigt labila lagring till en faste lagring. Förflyttningen sker då skjuvkraften H börjar verkar på jordprovet och kulorna rullar ned i det stabilare läget. Den mer stabila lagringen innebär även att jorden minskar i volym, kontraktans har nu skett. I detta läge får jorden dessutom högre inre friktion och ökad skjuvhållfasthet än vid den lösare lagringen.
Figur 2-5 Dilatans (Hansbo, 1975)
När jordprovet, som nu befinner sig i sitt tätaste tillstånd, påverkas av en skjuvande kraft som är motriktad den som den utsattes för i kontraktansen börjar nu kulorna klättra över varandra, som i Figur 2-5. Vid klättringen sker en volymökning på grund av att porvolymen ökar. Skjuvning i kombination med volymökning leder till dilatans. (Axelsson, 1998; Hansbo, 1975)
I PLAXIS beskrivs dilatansen genom en dilatansvinkel som anges i grader. För jordar med friktionsvinklar över 30̊ används vanligtvis sambandet
≈ − 30° (2.24)
där är dilatansvinkeln och friktionsvinkeln. För att bestämma ett värde på dilatansvinkeln för jordar med friktionsvinklar på 30̊ och mindre sätts dilatansvinkeln som 0˚. (Brinkgreve et al., 2012)
2.1.2 Jordtryck
För att beskriva jordens lastpåverkan på konstruktioner under marknivån används jordtrycket. Beroende på hur konstruktionen och jorden verkar tillsammans så används olika typer av jordtryck. Jorden kan antingen verka genom att konstruktionen är stel vilket ger ett vilojordtryck men även vid rörelse av konstruktionen så kan jordtrycket utryckas som både aktivt och passivt.
De tre olika typerna av jordtryck kan uttryckas genom varsin jordtryckskoefficient:
K0= vilojordtryckskoefficient Ka= koefficient vid aktivt jordtryck Kp= koefficient vid passivt jordtryck
Beräkningar av aktivt och passivt jordtryck bygger på Rankines jordtrycksteori som beaktar spänningstillståndet i en jordmassa då det nått tillståndet av plastiskt jämvikt dvs. då skjuvbrott är på gränsen att inträffa. Mohr cirkeln som tangerar brottlinjen beskriver spänningstillståndet vid brott i ett plant fall i Figur 2-6, i vilken hållfasthetsparametarna är märkta med och .
Figur 2-6 Plastiskt jämviktstillstånd (Craig, 2004)
Skjuvbrott sker i det fysiska planet i en riktning med vinkeln 45°+ /2 medurs ifrån planet som den största effektiva huvudspänningen verkar på. Vid fall då hela jordmassan är homogent spänningssatt så att de effektiva huvudspänningarna i varje punkt är lika stora och går i samma riktningar kommer det teoretiskt att skapas ett nät av brottsplan med samma lutning, vilket visas i Figur 2-6. Plastisk jämvikt kan endast utvecklas om tillräcklig deformation av jordmassan har möjlighet att ske. (Craig, 2004)
Aktivt brottillstånd
Vid de fall då egentyngden för en given jordmassa aktivt samverkar till brott benämns detta som aktivt brottillstånd. Denna typ av tillstånd uppnås exempelvis vid de fall då tyngdkraften sammanfaller med riktningen för den största effektiva huvudspänningen = vid brott, dvs. om denna har en vertikal riktning, (Axelsson, 1998). Aktivt brottstillstånd uppstår vanligtvis i jorden bakom stödkonstruktioner såsom sponter och kan då sägas fungera så att konstruktionen rör sig från jordsmassan. För att huvudspänningsriktningarna i jorden skall vara väldefinierade, vertikalt och horisontellt, vid stödkonstruktioner krävs glatt kontakt mellan jord och konstruktion.
Den största effektiva huvudspänningen representeras utav lasten från ovanliggande jord på djupet och är ett fast värde för alla djup. För att bestämma den minsta effektiva huvudspänningen, , konstrueras en Mohr- cirkel som får löpa genom den punkt som representerar största effektiva huvudspänningen och sedan låta cirkeln tangera brottgränslinjen. Förhållandet mellan största och minsta effektiva huvudspänningen då jorden når plastiskt jämviktsläge kan härledas ur denna Mohr-cirkel.
Utifrån Figur 2-6 kan följande samband tas fram
= − 2 (2.25)
Förhållandet (1 − sin )/(1 + sin ) går även att skriva som tan (45°−
⁄ ).2
Som det klargjorts tidigare så beräknas utifrån lasten från ovanliggande jord på djupet z, vilket ger
= (2.26)
Horisontalspänningen vid de ovan givna förhållandena definieras som det aktiva trycket, , vilket beror direkt av egenvikten av jorden, om
= (2.27)
är definierad som den aktiva jordtryckskoefficienten kan Ekvation (2.25) skrivas som
= − 2 (2.28)
När horisontalspänningen blir lika stor som det aktiva trycket i jorden sägs den då vara i Rankines aktiva tillstånd. (Craig, 2004)
Passivt brottillstånd
Motsatt mot det aktiva brottillståndet så finns det passiva brottillståndet som istället för bidrar till utvecklingen av brott så motarbetar det brott. Detta tillstånd inträffar då minsta huvudspänningen vid brott infaller i samma riktning som tyngdkraften.
Detta kan tydligt exemplifieras med hjälp av en fördragen bakåtförankrad spontvägg. Där nu spontväggen trycks emot bakomliggande jordmassa, med hjälp utav den dragspänning som bakåtförankringen utsatts för, så mycket att jordmassan går i brott. Vid ett sådant händelseförlopp kommer största effektiva huvudspänningen, , att verka horisontellt medan den minsta effektiva huvudspänningen, , verkar i tyngdkraftens riktning. (Axelsson, 1998)
Det kommer genom detta tillstånd skapas en sidokompression av jordmassan och den kommer fortgå till dess att effektiva horisontalspänningen sammanfaller med punkten för det plastiska jämviktsläget. Spänningen är nu den största huvudspänningen och effektiva vertikalspänningen beskrivs som trycket av den ovanliggande jordmassan enligt
= (2.29)
som motsvarar den minsta effektiva huvudspänningen.
Största effektiva huvudspänningen nås nu när Mohr-cirkeln löper genom det fastställda värdet på minsta effektiva huvudspänningen och tangerar brottgränslinjen. Horisontalspänningen är nu preciserad som det passiva trycket, , som beskriver jordens naturliga motstånd mot sidokompressions.
Efter en omräkning av Ekvation (2.25) ges följande samband
= + 2 (2.30)
Då
= (2.31)
är definierad som den passiva jordtryckskoefficienten så kan Ekvation (2.30) skrivas om som
= + 2 (2.32)
När den horisontella spänningen överensstämmer med det passiva trycket i jorden anses jorden vara i Rankines passiva tillstånd. (Craig, 2004)
Vilojordtryck
För att beskriva en jords initiala spänningstillstånd dvs. i ett vilande grundtillstånd används vilojordtrycket. Medan de aktiva och passiva jordtrycken beskriver extremvärden på sidotöjningar så utgår vilojordtrycket från en situation då sidotöjningarna i jorden är noll. Vanligtvis uttrycks vilojordtrycket genom att använda vertikala effektivspänningen enligt
= (2.33)
där är effektiva tungheten, är djupet från markytan till aktuell nivå och är vilojordtryckskoefficienten. Denna koefficient som beskriver jordtrycket vid vila bestäms normalt genom jordens effektiva inre friktionsvinkel . För normalkonsoliderade jordar kan beräknas enligt
= 1 − sin (2.34)
För överkonsoliderade finkorniga jordar beror vilojordtryckskoefficienten på lasthistoriken. Enligt Eurokod 7 föreslås denna typ av jord beräknas enligt
= (1 − sin )( ) . (2.35)
där OCR är överkonsolideringsgraden. (Craig, 2004 ; Axelsson, 1998)
I PLAXIS, genereras vilojordtrycket med hjälp av en -procedur eller med gravitationsbelastning. (Brinkgreve et al., 2012)
2.1.3 Totalspänning, effektivspänning och portryck
Karl Terzaghi framlade en princip för hur den effektiva spänningen verkar i jorden enligt (Craig, 2004). Den visar, grundat på ett intuitivt förhållande baserat på experiment, hur krafter fortplantar sig inom en jordmassas kornskelett. Principen tillämpas bara på fullt vattenmättade jordar och baseras på tre typer av spänningar:
· Totaltrycket( ) i ett plan inom jordmassan; är kraften per areaenhet överförd i normalriktningen genom planet, förmodat att jorden är ett fast material.
· Portrycket ( ) vilket är trycket skapat av de vattenfyllda hålrummen mellan de fasta partiklarna.
· Effektivtrycket ( ) i ett plan inom jordmassan, där motsvarar spänningen som enbart överförs genom jordskelettet. (Craig, 2004)
Med hjälp av dessa tre storheter kan effektivspänningsekvationen tas fram
= + (2.36a)
För att bestämma totaltrycket utnyttjas egentyngden av jorden samt eventuell överlast. Portrycket beror främst av grundvattenytans läge men även grundvattenströmning, som påverkas av dräneringsförhållanden och jordens permeabilitet, har inverkan. Den vedertagna arbetsgången vid spänningsanalys i vattenmättad jord är att initialt fastställa totaltrycket och portrycket och med dessa kända därefter fastställa effektivtrycket med hjälp av Ekvation 2.36a enligt
= − (2.36b)
Utifrån effektivspänningsekvationen går det att utläsa att totaltrycket och effektivtrycket kommer vara lika varandra vid ett helt torrt jordskelett.
(Axelsson, 1998)
Vid statiska förhållanden kan portrycket uttryckas utifrån
= (2.37)
där är djupet under grundvattenytan, är jordens tyngdacceleration och vattnets densitet. Densiteten och tyngdaccelerationen är konstanter i Ekvation 2.35 där är den enda variabeln vilket ger att portrycket kommer att öka linjärt med djupet under grundvattenytan. (Hansbo, 1975)
Om det istället på den undersökta platsen sker en nedåtströmning av porvatten kommer portrycket utryckas som
= ( − ∆ℎ) (2.38)
där Ekvation 2.37 kompletteras med ∆ℎ som motsvarar avståndet till en fri vattenyta under förväntad statisk vattenyta. Vattenströmningen kan även ske uppåt och då skrivs portrycksformeln såsom
= ( + ∆ℎ) (2.39)
Skillnaden vid detta fall är att den fria vattenytan nu ligger ovan förväntad statisk vattenyta. (Axelsson, 1998)
2.1.4 Darcys lag och permeabilitet
Som tidigare nämnts så beror portrycket av grundvattenytans läge, dräneringsförhållanden och grundvattenströmningar. Beroende på om grundvattnet ligger still eller om det är i rörelse så intar portrycket två olika tillstånd, hydrostatiskt (stilla) och hydrodynamiskt (i rörelse). Strömningen i jorden kan bero på en överströmning mellan grundvattenmagasin eller helt enkelt på att terrängen lutar.
Vid hydrostatiska förhållanden i en jordmassa så är portrycken lika för samma nivåer i ett omkringliggande område. Detta tillstånd kännetecknas genom att stighöjden hos vattnet i ett neddrivet grundvattenrör med filterspets är lika och oberoende av vilket djup som röret drivs till. Vid det fall att stighöjden avviker på någon nivå i jorden tyder detta på strömningar i jorden, jorden har då ett hydrodynamiskt förhållande. Strömningsriktningen i jorden beror på hur portrycket avviker från hydrostatiska förhållanden. Vid de fall som portrycket är mindre anses strömningsriktningen vara nedåt i jordmassa och vid en ökning så är riktningen uppåt. (Axelsson, 1998; Hansbo, 1975)
Vid bestämning av vattenflödet per tidsenhet, , så är strömningshastigheten i jorden proportionell mot den hydrauliska gradienten, , vilken ges av
= ℎ/ (2.40)
där är jordmassans längd i strömningsriktningen med tryckskillnad och ℎ är tryckfall i meter vattenpelare vilka illusteras i Figur 2-7.
Figur 2-7 Bestämning av permabilitet i jord (Hansbo, 1975)
Vattenflödet ges av Darcys lag enligt (Hansbo, 1975)
= (2.41)
där är en permeabilitetskoefficient uttryckt i / och är genomströmningsarean vilket innefattar total area, både porerna och fast massa.
Utifrån sambandet
= / (2.42)
där är det strömmande vattnets hastighet, kan Ekvation 2.42 skrivas om till
= (2.43)
Darcys lag gäller enbart vid laminär strömning, vilket vanligtvis sker i de mest blandkorniga jordarterna. Vid jordfraktioner i storleksordningen såsom grus och sten har strömningen en tendens att övergå till turbulent vilket innebär att lagen inte är tillämpbar. (Hansbo, 1975; Larsson, 2008)
Darcys lag kan enkelt renodlas till två stycken ekvationer vilka svarar mot riktningarna inom ett tvådimensionellt fall
= (2.44a)
= (2.44b)
där index står för horisontalled och index hänvisar till vertikalled. Utifrån dessa ekvationer kan uttrycks som permabiliteten i horisontalled och vertikalled
= (2.45a)
= (2.45b)
vilka är av central betydelse vid PLAXIS-beräkningar med avancerade jordmodeller vid på portrycksberäkningar och konsolideringsanalyser.
Anledningen till att båda typerna av permeabilitet behövs är att stora skillnader kan finnas i de olika riktningarna. Storheten uttrycks som / i PLAXIS.
(Axelsson, 1998; Brinkgreve et al., 2012)
Geodynamik allmänt, definitioner och begrepp 2.2
Inom geodynamiken innefattas kunnande inom många teknikområden, men främst skall det ses som en tvärvetenskaplig inriktning inom jord- och bergteknik. Geodynamiken beskriver jord och bergs egenskaper och funktion vid dynamiska och upprepade belastningar. Belastningar som behandlas inom geodynamiken är utsprungna dels ur markvibrationer från exempelvis fordonstrafik eller pålning men även från jordbävningar.
Historiskt har kunskapen om ämnet och hur jord påverkas av dessa typer av belastningar funnits i länder med jordbävningsproblem. Allt eftersom krav på miljö- och omgivningspåverkan har skärpts, i andra länder utan jordbävningsproblematik, har även forskning i ämnet ökat. Med ökade kunskaper i hur olika jordar svarar emot olika typer av vibrationer så har även problem med geodynamiska frågor kunnat belysas. Problem som tidigare inte kunnat kopplas ihop med vibrationer eller upprepade belastningar har nu börjat uppmärksammas. (Möller et al., 2000)
För att komplettera de geotekniska termerna behandlade i kapitlet Geoteknik introduceras här begrepp för de dynamiska belastningarna.
2.2.1 Vågrörelse
Vågor rör sig genom olika medium på två huvudsakliga sätt, mekaniskt och elektromagnetiskt. För att den mekaniska vågrörelsen skall kunna ske måste ett fysiskt element existera för att vågorna skall kunna fortplanta sig medan de elektromagnetiskavågorna verkar som strålning vilket gör att de kan fortplanta sig oberoende av material. De vibrationer vilka avhandlas i detta arbete är uteslutande mekaniska, trots det bör det anmärkas att oavsett vågtyp så uppträder de likartat och följer samma grundläggande lagar. (Möller et al., 2000)
2.2.2 Vibration och stöt
När en fram- och återgående svängningsrörelse sker runt ett jämviktselement så kallas detta vanligen vibration. Vid en stöt så förändras ett systems rörelseschema hastigt. En stöt kan således likställas med pålningsarbeten med frifallshejare där en vikt släpps och trycker ned pålen med hjälp av kraftöverföringen i kontaktögonblicket. Skillnaden mellan en stöt och vibration är att en nettoöverflyttning kan ske vid en stöt, dvs. systemets läge är olikt före
och efter, medan en vibration sker runt ett jämviktläge och återkommer till samma läge under vibrationstiden. (Möller et al., 2000)
2.2.3 Svängningsrörelse
Svängningsrörelse vid vibration kan beskrivas genom komponenterna förflyttning, hastighet och acceleration. Det finns flera olika typer av svängningsrörelser, de mest vanligt förkommande redovisas nedan. (Deckner, 2013)
Harmonisk svängning
Den enklaste varianten av en vibration är en sinusvibration som vanligtvis kallas harmonisk svängning, se Figur 2-8.
Figur 2-8 Sinussvängning (Sengpielaudio, 2013)
För att kunna ta fram förskjutningen i en harmonisk svängning kan följande samband nyttjas
( ) = sin( + Φ) (2.46)
där ( ) är förskjutning, förskjutningsamplitud, vinkelfrekvens, tiden ochΦ är fasvinkeln.
Fasvinkeln kan i praktiken många gånger försummas och den harmoniska svängningen beskrivs genom två ingångsparametrar, amplitud och frekvens.
(Möller et al., 2000) Periodisk svängning
Periodisk svängning är ett vibrationsmönster som återupprepar sig själv med jämna perioder. Denna typ av svängning skapas vid arbete med maskiner vilka har en periodisk arbetscykel såsom pumpar, vibrationsvältar, kompressorer och
fläktar. Gällande pålning så skapar pålslagning en periodisk vibration av transient vibrationstyp. (Deckner, 2013)
Slumpvis svängning
Vid slumpvis svängning antar vågrörelsen ett helt slumpartat rörelseschema som aldrig återupprepar sig. (Deckner, 2013)
Transient svängning
Med transient svängning menas en varierande, oregelbunden och kortvarig rörelse som inleds med hög intensitet och stegvis mattas av med periodtiden.
Ett exempel på en transient svängningsrörelse är då pålslagning sker intill en byggnad och den vibration som byggnaden upplever motsvarar en sådan svängningsrörelse. (Deckner, 2013; Möller et al., 2000)
2.2.4 Allmän vågutbredning
Den enskilda partikeln överför rörelsen till intilliggande partiklar genom en drivande kraft. Då rörelsen fortsätter från en partikel till en annan så kan denna serie av rörelser sägas skapa en våg som breder ut sig i materialet.
Vågutbredning är en överföring av energi genom ett material utan att förflyttning av något material sker. När vågen transporteras genom ett medium så rör sig partiklarna runt ett jämviktsläge och den enskilda partikeln både deformeras och förflyttas samt mottar energi från både töjning och rörelse.
Vågutbredningen kan delas upp i två separata rörelser, dels vågens framdrift genom materialet med en vågutbredningshastighet samt den enskilda partikelns rörelse med sin partikelhastighet. (Deckner, 2013)
Vågutbredningshastighet, vid vibrationer av begränsad magnitud, beskrivs som en materialkonstant som beror av materialets elastiska egenskaper. I en elastisk kropp förekommer elastiska vågor. Normalt görs skillnader på volymvågor och ytvågor. (Möller et al., 2000)
Volymvågor
Volymvågor kan uppdelas i två typer, kompressionsvåg och skjuvvåg. Dessa typer av vågor, färdas till skillnad från ytvågor, inuti en kropp eller ett material, se Figur 2-9a. Kompressionsvågen kallas även för P-våg, där bokstaven P hänvisar till primär. Denna kallas för primärvåg eftersom denna vågtyp är den som når de högsta hastigheterna. P-vågen propagerar enbart i vågens utbredningsriktning genom volymförändringar i form av förtjockning och
förtunning av materialet. Vågens form kan även beskrivas som longitudinell och innefattar ingen skjuvning eller rotation där den passerar.
Utifrån bland annat skjuvmodulen och Poissons tal kan kompressionsvågens utbredningshastighet uttryckas som (Deckner, 2013; Möller et al., 2000)
= = (( ))= ( ( )( ) ) (2.47)
där är kompressionsmodulen, är skjuvmodulen, är elasticitetsmodulen, materialets densitet och är Poissons tal. I PLAXIS uttrycks kompressionsvågens hastighet i och beräknas likt vilket ger att (Brinkgreve et al., 2012)
= (2.48)
Skjuvvågor
Skjuvvågen kallas med andra namn för sekundär, transversell och S-våg.
Denna vågtyp rör sig vinkelrätt mot utbredningshastigheten, se Figur 2-9b.
Exempel på transversella vågor är havsvågor och elektromagnetiska vågor.
(Deckner, 2013; Möller et al., 2000)
S-vågen innefattar ingen volymändring och är en snedvridande våg.
Hastigheten på skjuvvågen beräknas enligt:
= = ( ) (2.49)
PLAXIS räknar även ut men de benämner den såsom . (Brinkgreve et al., 2012)
Ytvågor
Längs fria ytor kan en annan typ av våg skapas, ytvågen som kan ses i Figur 2-9c. En typ av ytvåg är Rayleighvågen vilken kan beskrivas genom de ringar som bildas då en sten kastas ned i vatten. I större skala så bildas dessa vågor vid exempelvis jordskalv. Vågtypen är en kombination av en longitudinell och transversell våg och har ett en närmast elliptisk partikelbana. För en ytvåg så minskar amplituden snabbt med djupet och uppträder ungefär med en våglängds djup under marknivå. (Möller et al., 2000)
Figur 2-9 Deformationsegenskaper för olika vågtyper a) P-våg, b) S-våg, c) Rayleighvåg (Deckner, 2013)
2.2.5 Refraktion och reflektion
En volymvåg som färdas i ett elastisk medium som påträffar en gräns med ett annat elastiskt medium kommer delvis reflekteras tillbaka till det första mediet samt delvis överföras till det angränsande mediet. Både riktning och amplitud på den infallande vågen påverkar riktningarna och den relativa amplituden på vågorna som skapas vid gränsytan. För den våg som bryts och fortsätter kallas fenomenet för refraktion och för den som studsar tillbaka kallas fenomenet för reflektion. Vågor bryts eller reflekteras olika mycket beroende på material och våghastighet. De två fenomenen ovan kan endast ske i gränsytor vilket ger att dessa sker i skiktade material. (Deckner, 2013; Möller et al., 2000)
För att reflektion och refraktion skall kunna ske i modellgränserna i PLAXIS appliceras en speciell absorberande gräns runt om modellen. Den absorberande gräns som appliceras syftar till att absorbera spänningsökningen i gränsytorna som skapas av dynamiska belastningar, vilka annars skulle reflekteras inuti jordkroppen. (Brinkgreve et al., 2012)
2.2.6 Interferens
Då elastiska förhållanden råder så är vågrörelser och vibrationer oberoende av andra vågor i området där de verkar. Vågor kan inte kollidera. Vid de fall då två eller flera vågor verkar i samma område kommer dessa vågor adderas ihop varvid interferens uppstår. Beroende på frekvens och vid vilken tidpunkt vågen når sitt max kommer den nya vågen antingen vara förstärkt eller försvagad och i vissa fall helt utplånad. När de vågor som träffar på varandra har samma frekvens och når sitt max samtidigt sker en förstärkning men om en förskjutning av våglängden finns på den ena försvagas den adderade vågen.
Vågorna utplånar varandra om ena vågen är förskjuten en halv våglängd och de har samma amplitud. (Möller et al., 2000)
2.2.7 Dämpning
Då en våg färdas genom ett material så sker en absorption. Den yttrar sig genom en dämpning av vågen där vågenergi omvandlas till värme. Ett mycket bra exempel på detta fenomen är då mikrovågorna i en mikrovågsugn färdas genom maten och gör den varm. Dämpningens storlek beror mycket på frekvens och våghastighet.
Dämpningsföreteelsen är av central betydelse inom jorddynamiken.
Dämpningen delas upp i två olika typer, geometrisk- och materialdämpning.
Vid analyser av dynamiska effekter är dessa parametrar viktiga då dessa bidrar till avklingningen av den dynamiska processen med avståndet från källan.
(Möller et al., 2000)
Materialdämpningen, även kallad inre dämpning, uttrycks ofta med dämpningsfaktorn . Denna dämpning beror framförallt på storleken på skjuvdeformationen och jordmaterialstyp. Den grundar sig även på effektivspänningsnivå och den aktuella jordens vattenmättnadsgrad.
Den geometriska dämpningen redogör för hur amplituden avtar med ökat avstånd, , från vibrationskällan utifrån att vibrationerna sprids över större volymer. Detta är intressant vid en bedömning av en vibrationskällas påverkan på omgivningen, till exempel vibrationer inom grundläggningsprojekt, från pålslagning och hur de påverkar omgivande konstruktioner. Gällande ytvågor minskar amplituden i teorin med 1⁄ ⁄ . Motsvarande för volymvågor i en helsfär, minskar amplituden med är1⁄ , där är radien som ger avståndet från vibrationskällan.
Den sammanslagna effekten i fält av materialdämpningen och den geometriska dämpningen ger sambandet:
= ( ) (2.50)
där och är svängningsamplituder i två punkter belägna på avståndet och från vibrationskällan. Faktorn beskriver vågens utseende där = 1 gäller för en volymvåg i helsfär, = 2 för en volymvåg i ytan av en helsfär och = ½ för ytvågor. är den naturliga logaritmens bas och är absorptionskoefficienten, vilken beskriver materialets inre dämpning.
Sambandet gäller enbart för homogena förhållanden och stort djup till berg.
(Möller et al., 2000)
Modellering av dämpning i PLAXIS
Materialdämpning i dynamiska beräkningar uppstår tillföljd av jordmaterialets viskösa egenskaper, friktion och tillväxten av plastiska töjning. Alla plastiska modeller i PLAXIS 2D kan skapa plastiska töjningar, och kan då skapa materialdämpning. Denna typ av dämpning är dock inte tillräcklig för att simulera verklig dämpning i jorden. De flesta jordmodeller påvisar ett rent elastiskt beteende vid cyklisk avlastning och pålastning vilket inte skapar någon typ av dämpning alls. Följaktligen krävs ytterligare dämpning för att skapa verkliga förhållanden i den dynamiska beräkningen. Till detta kan Rayleighdämpning användas.
Rayleighdämpning är en numerisk funktion i vilken dämpningsmatrisen C är skapad genom att slå ihop en del av massmatrisen M och en del av styvhetsmatrisenK:
= + (2.51)
där parametrarna och är Rayleigh koefficienter. är parametern som beräknar påverkan av massan vid dämpning, ju högre desto lägre frekvenser dämpas. kontrollerar hur dämpningsberäkningen styrs av styvheten. Om ökar kommer också högre frekvenser att dämpas. I PLAXIS 2D så kan dessa parametrar anges i varje materials materialspecifikationer för såväl jord som gränsytor och konstruktionselement.
Trots det omfattande forskningsarbete inom området dynamik som gjort, har inte mycket åstadkommits vad gäller framtagning av en generell metod för utvärdering av dämpningsparametrar. Däremot har studier gjorts utifrån
fältmätningar för att kunna bedöma dämpning. En vanligt använd konstruktionsparameter är dämpningskvoten . Dämpningskvoten är definierad såsom att då = 1 kallas det för kritisk dämpning, dvs. den exakta mängd dämpning som behövs för att dämpa en vibration, i en riktning, som släpps från en ursprunglig nivå med ett jämt stopp utan svängningar.
Dämpningskvotens inverkan vid vibrationer kan ses i Figur 2-10.
Med hänsyn till Rayleighdämpning kan ett förhållande tecknas mellan dämpningskvoten och Rayleighs dämpningskoefficienter och :
+ = 2 (2.52)
där är vinkelfrekvensen i / ges av
= 2 (2.53)
i vilken är frekvensen i Hz.
Figur 2-10 Dämpningskvotens inverkan vid en vibration i en riktning (Brinkgreve et al., 2012)
Vid lösning av Ekvationerna 2.52 och 2.53 för två olika målfrekvenser och deras motsvarande dämpningskvoter ges de nödvändiga Rayleigh dämpningskoefficienterna:
= 2 (2.54)
och
= 2 (2.55) Dämpningskoefficienterna kan genereras i PLAXIS med hjälp av insättning av ett mål för dämpningskvoten samt ett mål för frekvenserna som skall omfattas dämpningen. (Brinkgreve et al., 2012)
Finita elementmetoden 2.3
Människan har en begränsad förmåga att kunna förstå omgivningens komplexa beteende. För att möjliggöra förståelse kan därför en enskild modell uppdelas i ett system som i sig består av enskilda komponenter. Där var och en av komponenterna är lättförstådd. För att sedan bygga ihop dessa komponenter till ett helt system som sedan beter sig naturligt och blir lättförstått för den som skall hantera systemet.
I många situationer kan en lämplig modell erhållas genom att använda ett ändligt antal väldefinierade komponenter, dessa benämns som en diskret procedurer. I andra fall är uppdelningen av komponenter oändlig och problemet kan bara lösas med den matematiska uppställningen av ett oändligt litet tal. Detta leder till differentialekvationer eller likvärdiga utsagor vilka innefattar ett oändligt antal komponenter, dessa typer av system kallas kontinuerliga system.
Med hjälp av datorer så kan de diskreta problemen lösas trots att antalet komponenter är väldigt stort. Eftersom datorer har en begränsad kapacitet kan kontinuerliga problem enbart lösas då en exakt matematisk manipulation är utförd. De tillgängliga matematiska teknikerna för exakta lösningar begränsar för de mesta möjligheterna till att förenkla olika beräkningssituationer.
För att lösa de svårhanterliga, realistiska och kontinuerliga problemen används olika metoder för att överföra matematiska problem till ett beräkningsbart problem med ändligt antal variabler med hjälp av mängder utav approximeringar. Dessa metoder kallas för diskretisering. (Zienkiewicz et al., 2005)
För att lösa dessa typer av problem har matematiker tagit fram generella tekniker där en direkt tillämpning av differential ekvationer sker såsom finita differensapproximationer, diverse viktade residualprocedurer, eller approximativa tekniker för beräkning av stationära eller ordentligt definierade funktioner. Ingenjörer däremot angriper problemet mer rakt på genom att skapa
ett riktigt förhållande mellan riktiga diskreta element och ändligt antal delar av ett sammanhängande område.
Utifrån ingenjörens tankesätt om hur ett problem kan förminskas och ändå motsvara ett stort problem så har termen finita element fötts. Finta element metoden kan förklaras såsom ett allmänt diskretiseringsförfarande av ett kontinuerligt problem med fastställda matematiska uttryck.
Vid förenkling av problem men fortfarande nyttjande av avancerade beräkningsmodeller har det lett till något som kallas för ett allmänt diskret problem. Förekomsten av ett enhetlig förfarande med allmänna diskreta problem leder till en definition utav den finita element-processen som en metod för approximation av kontinuerliga problem
a) det kontinuerliga är delat i ändligt antal delar, uppträdandet specificeras av ändligt antal parametrar, och
b) lösningen av hela systemet som en enhet av sina delar följer precis samma regler som de som appliceras i allmänna diskreta problem. (Zienkiewicz et al., 2005)
2.3.1 Konstruktionsdelar och konstruktionssystem
För att förenkla beskrivningen av ett generellt koncept för beräkning av diskreta system används här ett byggkonstruktionsexempel med linjär elastiskt beteende.
Figur 2-11 representerar en plan struktur skapad utav enskilda delar och är sammankopplad vid noderna 1 till 6. Lederna i noderna, i detta fall, är fastklämda så att momenten inte kan bli överförda.
Till att börja med görs antagandet att genom en enskild beräkning, eller laborationsförsök, är materialparametrarna för alla delar kända. Därmed, om delen märkt (1) undersöks och sätts i samband med noderna 1, 2, 3, så kommer krafterna verksamma i noderna vara unikt definierade utav förskjutningen i dessa noder, den utbredda lasten (p) verksam på delen samt dess initiala töjning. Den initiala töjningen beror bland annat på temperatur, krympning, eller bara dålig passform. Krafterna och de motsvarande förskjutningarna är definierade med lämpliga komponenter (U, V och u, v) i ett koordinatsystem (x, y)
Figur 2-11 Typstruktur uppbyggd av sammankopplade element (Zienkiewicz et al., 2005)
Nu kan krafterna som verkar i noderna listas som en matris
= (2.56)
där
= , osv (2.57)
och för den motsvarande förskjutningen i noden
= (2.58)
där
= , osv (2.59)
Linjär elastiskt beteende är antaget för delen, det karakteristiska sambandet kommer alltid vara av formen
= + (2.60) i vilken motsvarar nodkrafterna som krävs för att balansera någon eventuell koncentrerad eller utbredd last som verkar på delen. Den första termen motsvarar krafterna som skapas på grund utav förskjutningar i noderna.
Matrisen är känd som styvhetsmatrisen för delen (e). Ekvation 2.60 visar på ett exempel med en del med tre noder med en sammankoppling som enbart kan överföra krafter i två olika komponenter.
Utifrån samma skäl och samma definition går den ovanstående formuleringen att göra generell. Del (2) av den antagna strukturen innehåller enbart två stycken sammankopplingar; andra kan ha mycket större antal sammankopplingar än så. För att generalisera
= ⋮ (2.61)
och
= ⋮ (2.62)
med varje och innehållandes samma antal komponenter och frihetsgrader. Styvhetsmatriserna av delarna kommer tydligt formas som en kvadratisk matris enligt
= ⋱ ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋯ ⋯
(2.63)
I vilken , , osv. är delmatriser vilka också är kvadratiska med storleken
× , där är antalet kraft – och förskjutningskomponenter att ta hänsyn vid i varje nod. Delarnas individuella egenskaper antas följa ett enkelt linjärt förhållande. Liknande förhållanden kan, i princip, skapas för icke-linjära material. (Zienkiewicz et al., 2005)
2.3.2 Montering och analys av struktur
Beaktar konstruktionen i Figur 2-11. För att erhålla en fullständig lösning behöver följande två förhållanden uppfyllas
a) Förskjutningskompabilitet b) Jämviktsläge
Vilket som helst system med nodförskjutning :
= ⋮ (2.64)
vilket är en förteckning för en hel konstruktion där alla delar samverkar, automatiskt uppfyller det första villkoret.
Gällande villkoret för genomgående jämvikt har det redan blivit uppfyllt genom att alla element är involverade, vilka är nödvändiga för att kunna skapa jämvikt kring noderna i konstruktionen. Den erhållna ekvationen kommer bestå av en förskjutning som är okänd, då den är löst kommer hela konstruktionsproblemet vara löst. De inre krafterna i delarna, eller spänningar, kan på ett lätt sätt erhållas med hjälp av de materialegenskaper som definierats i förväg för varje del.
Om jämviktsförhållandena har fastställts för en typisk nod, a, så är summan av kraftkomponenterna som bidrar till att delarna möts i noderna helt enkelt hopsamlade. Vid beaktning av alla kraftkomponenter
∑ = + + ⋯ = 0 (2.65)
i vilken är kraftkomponenten tillförd i nod a av del 1, av del 2, osv.
Enbart delarna vilka ingår i punkt a kommer medverka till krafter skilda från noll, men för en koncis förklaring kan man säga att alla delar ingår i summeringen.
Vid ersättning av krafterna som verkar i nod a från definitionen i Ekvation 2.60 och konstaterande att nodvariabeln är allmän, fås
(∑ ) + (∑ ) + ⋯ + ∑ = 0 (2.66)
Återigen beror summeringen enbart på de element som medverkar i nod a. Vid det fall att alla sådana ekvationer är samlade fås
+ = 0 (2.67)
i vilken delmatriserna är
= ∑ (2.68)
och
= ∑ (2.69)
med summering innehåller alla delar. Denna enkla regel för montering är väldigt lämplig att använda eftersom så snart som en koefficient för en speciell del är bestämd så kan denna enkelt stoppas in på lämpligt ställe i datormiljön.
Denna process kan sägas vara den gemensamma och grundläggande funktionen för alla finita elementberäkningar. (Zienkiewicz et al., 2005)
2.3.3 Randvillkor
Systemet utav ekvationer skapat i Ekvation 2.68 kan lösas då den bestämda stödförskjutningen har ersatts. I exemplet i Figur 2-11, där båda förskjutningskomponenterna i noderna 1 och 6 är noll, så kan en ersättning tas fram enligt
= = 00 (2.70)
vilket utförs för att minska antalet av jämviktsekvationer genom att ta bort första och sista paret och därmed minska totala antalet okända förskjutningskomponenter. Det är inte heller mindre ofta lämpligt att sätta ihop ekvationen enligt förhållandet i Ekvation 2.68 så att alla noder tas med.
Utan ersättning av ett minimiantal förbestämda förskjutningar för att förhindra rörelse i stela kroppar inom konstruktionen så är hela konstruktionen omöjlig att lösa. Eftersom förskjutningen kan inte enbart bli härledd utifrån krafterna i ett sådant fall. Dessa uppenbara fysiska fakta tolkas matematiskt när matrisen K är singulär dvs. saknar invers. Bestämningen av en lämplig förskjutning efter monteringssteget kommer tillåta att en unik lösning kan tas fram genom att ta bort passande rader och kolumner i de olika matriserna.
Om alla ekvationer i en konstruktion är monterade ser de ut enligt följande
+ + ⋯ + = 0
+ + ⋯ + = 0 (2.71)
osv.
och kommer att notera om någon typ av förskjutning, såsom = , är föreskriven då den totala kraften inte kan specificeras samtidigt och därmed förblir okänd. Den första ekvationen kan raderas och ersättas med ett känt värde på i de kvarvarande ekvationerna.
När randvillkoren är insatta kan ekvationerna inom konstruktionen lösas för de okända nodförskjutningarna och inre spänningar för varje del. (Zienkiewicz et al., 2005)
2.3.4 Allmänt mönster
Ett exempel kommer att betraktas för att befästa de begrepp vilka beskrivs i detta kapitel. Detta visas i Figur 2-12(a) där fem stycken diskreta delar är sammankopplade. Dessa kan vara av strukturell, elektrisk eller annan linjär typ.
Det första steget i beräkningen av varje dels egenskaper utgår ifrån geometrisk material och delens specifika uppgift. För varje dels styvhetsmatis så väl som den motsvarande nodlasten vilken är erhållen i formen från Ekvation 2.60.
Varje del som är med i Figur 2-12(a) har ett unikt nummer samt så är nodanslutningarna specificerade.
Figur 2-12 Allmänna mönstret (Zienkiewicz et al., 2005)
Anta att egenskaperna är angivna i globala koordinater så kan varje styvhet och kraftkomponent sättas in i sin position i den globala matrisen visad i Figur 2-12(b). De skuggade fyrkanterna motsvarar en enkel koefficient eller delmatris av typen om fler än en storhet betraktas i noderna.
Det andra steget i monteringen av slutekvationen ges av ekvationstypen given i Ekvation 2.67. Detta förverkligas enligt regeln i Ekvation 2.67 genom ett enkelt tillägg av alla nummer inom den lämpliga rymden inom den globala matrisen. Resultatet visat i Figur 2-12(c) där alla koefficienter skilda från noll är markerade med en skuggning.
Om matrisen är symmetrisk behövs enbart halvan ovanför diagonalen för att kunna beräknas.
Alla koefficienter skilda från noll är begränsade av ett band eller en profil som kan beräknas på förhand för noderna. Således behövs enbart delarna inom
profilen vid användning av datorprogram, se Figur 2-12(c). Om är symmetrisk så behöver bara ena halvan, antingen övre eller lägre, sparas.
Det tredje steget är insättning utav de föreskriva randvillkoren i den slutgiltiga monterade matrisen. Detta följs av det sista steget.
Det slutgiltiga steget löser det erhållna ekvationssystemet. (Zienkiewicz et al., 2005)
2.3.5 Allmänna diskreta system
I ett allmänt diskret system, oavsett om de är strukturellt eller av annan typ, gäller:
1. En uppställning av diskreta parametrar, exempelvis , kan bestämmas vilka beskriver simultant uppträdandet för varje del, , i hela konstruktionen. Dessa kan kallas för konstruktionsparametrar.
2. För varje del finns en uppställning av storheter vilka kan beräknas i termerna av konstruktionsparametrarna, . Den allmänna funktionens förhållande kan vara icke linjärt, exempelvis
= ( ) (2.72)
men i många fall gäller linjär form vilken ges av
= + + ⋯ + (2.73)
3. Den slutgiltiga konstruktionsekvationen erhålls genom ett enkelt tillägg
= ∑ = 0 (2.74)
där är systemets kvantitet (ofta satt till noll). Vid det linjära fallet så resulterar detta i konstruktionsekvationen med följande utseende
+ = 0 (2.75)
där
= ∑ (2.76)
och
