Från det imaginära till normala familjer

(1)

Vt 2010

Examensarbete 1, 15 hp

Från det imaginära till normala

familjer

Analytiska konvergenser

(2)

Analytiska konvergenser

(3)

(4)

Thisreport will describe four dierent typesof convergence. The types de-scribed are pointwise, local uniformly, uniformly and normal convergence. Thedierent convergences areexploredin awayof how theyrelate toeach other. Finallythisreportwillalsoinvestigatehowthisappliestonormal fam-ilies andthe theories ofArzela/Ascoli, Montel andRunge. We willhere see examplesof howwrong it really can go for pointwise convergent sequences. They do usually not have a limit that is analytic but from both Example

(5)

1 Inledning . . . 1 1.1 Syfte . . . 1 1.2 Historia . . . 1 2 Bakgrund . . . 4 2.1 Grundläggande begrepp . . . 4 2.2 Slutnakonturer . . . 9

3 Konvergens - familjer avanalytiska funktioner . . . 13

3.1 Följder. . . 13

(6)

1 Inre resp.randpunkt . . . 5

2 Typisktpolygontåg . . . 5

3

A

täti

B

. . . 5

4 Slutnakonturer . . . 9

5 Deformationsmetoden respektivevektorsanalysmetoden . . . 11

6 Punktvismenej likformig . . . 15

7 Vårakonvergenser . . . 16

(7)

Deestabegreppochsatsersomanvändsidennauppsatsförklarasi uppsat-sen, menför den intresseradenns en referenslistaöver böcker islutet som kanvaraavintresse.

1.1 Syfte

Syftet med denna uppsats är att förklara och beskriva olika typer av kon-vergenser för familjer avanalytiska funktioner.Vi ska också seatt ien viss mening skiljerdesig kanske inte såväsentligt sommankantro. Dåvi kom-mer att se exempel på hur stort fel det egentligen kan bli för punktvisa konvergenta följder. Defår normalt inte en gränsfunktion som är analytisk men vi ser både i Exempel 3.19 och Korolarium 3.23 att dessa gerresultat somär analytiskanästan överallt.

1.2 Historia

Komplexa tal och komplexa funktioner tog sin plats ihistorien genom par-tiell integration, bestämmningen av logaritmen för negativa och komplexa tal,konform avbildning och lösningavpolynomekvationer medreella koe-cienter. Det togsin början på 1700-talet blandannat med d'Alembert som försöktebestämma tvåfunktioner pochq meddierentialerna

dp = N dx − M dy,

dq = M dx + N dy

.

Detta kommer attresultera i vad vi senare kallar för Cauchy-Riemanns ek-vationer, Sats 2.3, då vi hittar både

N

och

M

i

dp

och

dq

som därmed ger

∂p

∂y

= −

∂q

∂x

,

∂p

∂x

=

∂q

∂y

. (1.1) Det var inte förränundermitten av1800-talet som matematikerna kom tillslutsatsen attdet var nödvändigt attanvända utvidgade talsystem.Att utvidgningarna måstegöras med hjälpavdenitioner på ett fritt sätt men att de är lönlösa om det ej görs på sådant vis att de aktuella reglerna och egenskapernaär bevarade.

Detvardockännutidigare,redanpå1500-talet,sommanilösningenav kvadratiskaekvationerbehövdeinförakomplexatal.Förattkunnalösadessa ekvationer och de kubiska ekvationerna var man tvungen att hitta uttryck förkvadratrotenurnegativatal.Redaninnandetvarmantvungenattutöka talsystemetettantalgånger. Detbörjademeddenlinjäraekvationen

ax = b

där

x

är den okända variabeln och

a

och

b

heltal skilldafrån noll. De hela talenmåstedåutvidgassåatttalsystemetäveninnehållerderationellatalen. Fördekvadratiskaekvationernasomt.ex.

x

2 _{= 2}

(8)

för

x

som tillhör de rationella talen, var man åter igen tvungen att utöka vårttalsystem såattdetäven innehåller dereella talen.Detta hjälpte dock intenär vikommertillekvationersom

x

2 _{= −1}

dåkvadratenavnågotreellt tal aldrig är negativt nner vi ej någon reell lösning. Än en gång kommer mantillinsiktenattvimåsteutvidgavårttalsystemochmanväljerattgöra dettagenomattinförasymbolen

i

somdenierassom

i

2 _{= −1}

.Detkommer att kallas för det imaginära talet som en påminelse från 1500-talet då man sågpå dessauttryck medskepsis ochansåg attde var ktivaoch overkliga. Det var isjälva verket Descartessom 1637 kallade uttryck som involverade rotenurnegativatalförimaginäraochtogdessasomolösliga.Vihardärmed enbörjantillde komplexa talen.

Vivillläggatillettvanligtreellttaltill

i

vilketkräverattskrivsätten

ai

,

bi

,

−i

,

a + bi

o.s.v. där

a

och

b

är reella tal. Vi inför därmed komplexa tal somhar formen

a + bi

,där

a

och

b

ärnågrareella taldär

a

kallasrealdelen, Re

z

,och

b

är denimaginära delen, Im

z

,medräknereglerna

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

,

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

och förspecialfallet

(a + bi)(a − bi) = a

2 + b

2

. Försubtraktion ochdivision får vi

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

och

a + bi

c + di

=

ac + bd

c

2 _{+ d}

2 +

bc − ad

c

2 _{+ d}

2 i

där

c + di

är skilt från

0 + 0i

. Viser även här att resultatetblir påformen

a + bi

. Genomdenna utvidgning avtalsystemet har vi nu gjortdet möjligt attlösavarjekvadratisk ekvationpå formen

ax

2 _{+ bx + c = 0}

och vikannu utökadetta tillen teori omkomplexa funktioner.

Redan på 1500-talet hade Tartaglia, Cardan med era löst tredje- och fjärdegradsekvationerpå samma formsom vår andragradsekvation mendet togytterligarenästan200årinnanCarlFriedrichGauss(1777-1855)lyckades visaattenlösningexisterarfördengenerellaekvationenavfemtegradareoch även högre. Han gjordedetta isin avhandling 1799 genom attpåstå atten ekvation på formen

f (x) = x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ a

n−2

x

n−2

+ . . . + a

1 x + a

0 = 0

där

n

ärettpoitivtheltaloch

a

j

ärreellaellerkomplexatalsånnsdetminst ett komplexttal

α = c + di

såatt

f (α) = 0

.

(9)

detta genomett antal artiklarfrån 1776 framtill hans bortgång 1783, men debörjadeintepubliceras förrän1788.Eulervarinteensamomattanvända komplexafunktioner förattstudera integralerutan det gjordeävenLaplace som började medatt publicera en artikelserie redan1782 och slutade30 år senare1812.Han ansågattdetvarhan somskullefå äranför dettadåhans blev publicerade innanEulers. Då manredan på St. Petersburgs akademin imars 1777 hade tillgång tillEulers artiklar och hade läst dessa blevdet ej så.

ÄvenomEuler, d'Alembertoch Laplace bidrogmedstordeli utvecklin-gen av funktionsteorin fanns detbegränsningar ideras verk.För att kunna använda sinametodervarde tvungnaattseparera denreella ochimaginära delen i

f (x + iy)

. De kände sig även alla tre illa till mods när de använde dekomplexa funktionerna.Laplace skrevuttryckligenisinbok1812att v ä-genfrånreellatillimaginäratalkanbetraktassomenheuristiskmetodmen om man använder metoden med försiktighet kommer man alltid att kun-na bevisa sinauppnåda resultat.Han ansåg attdet var viktigtatt veriera resultaten när mananvände komplexa tal.

Närvinuharenalgebraisktolkningbehöverviävenengeometrisk tolkn-ingsomkanrepresenteradetkomplexatalet

z = x+yi

iplanet.Dettagjordes ibörjanav1800-talet avblandannat den norskfödde Casper Wessel (1745-1818),schweizarenJean-RobertArgand(1768-1822)ochGauss.JohnWallis hade dock redan 1673 gett ett förslag på en geometrisk tolkning men han ck ingenstörreresponspådetta.

När den geometriska tolkningen och de algebraiska operationerna kom blev detintuiativa resonemanget för de komplexatalen mer tydliga. Många tänktesigredandekomplexatalensompunkteriplanetblandannatCotes, DeMoivre, EulerochVandermonde vilketföljer från attvid försökatt lösa

x

n

_{− 1 = 0}

tänktede på lösningarnaför

cos

2kπ

n

+ isin

2kπ

n

somhörnenienregelbundenpolygon.Eulerersatte

x

och

y

med

x + iy

som hansedan ersattesåatt hanplottade uppde polärakoordinaterna

r

och

θ

. Redanpå1800-taletkundemanalltsåritautkomplexatalsomkoordinateri planetmenmankundedockinteidentiera

x

och

y

direkt.Wesselskrev1797 en artikel som behandlade representationen och operationerna med vektor-er som vi i princip lär oss idag. Den publicerades redan 1799 av Kungliga akademiniDanmarkmengickändåobemärktförbitillsmanpubliceradeen fransköversättning 1897. Det tog alltså nästan 100 år på grund avspråket för attWessels arbeteskulle bliuppmärksammat.

ÄvenArgandförsöktesigpå engeometrisk tolkning,1806ienlitenbok, omänen litenanorlunda tolkning därhan tänkerirotationer med

90 ◦

(10)

trigonometri,geometriochalgebra.Hansbokorsakadeettantaldispyterom dengeometriskatolkningenavkomplexatalmenislutändan gavdenväldigt liteneekt.

FörGaussgickdetdäremotbättreattfågehörförsinatolkningardåhan ieraavsinabevisialgebransfundamentalateorianvändesigavdetta.Han förutsätter bland annati sina treförsta bevis(1799, 1815 och 1816) en "1-1"korrespondensmellandetkartesianskaplanetochdekomplexatalen.Han haderedan1815tagittillsigdengeometriskateorinförkomplexatalävenom han1825 sägeriettbrevatt"densannametafysikenav

√

−1

är gäckande". Han hade dock överkommit det redan sex år senare när han beskriverden geometriskatolkningen avkomplexatal. Dengeometriskatolkningen avvad

a + bi

säger, menar han är en punkt i det komplexa planet och

beskriv-er utifrån detta den geometriska additionen och multiplikationen av kom-plexa tal. Han tar även upp teorin omresiduer och börjar använda termen komplexa tal istället för imaginära tal och

i

iställetför

√

−1

. Det var dock William Rowan Hamilton som tog det sista steget 1837 och identierade

x + iy

med dess koordinater och skrev ner det i algebraisk form. Men om manupptäckte någontingimittenav1800-talet hadeGaussredanupptäckt det. Sen visste alla att det var så här då de hade använt sig av det vilket gjordeatt ingenbrydde sigsåhårt överhansresultat.

Viharhärmedenbragrund tillattutveckla funktionsteoriförkomplexa tal/funktioner.Vilketblandannat gjordesavGaussochPoissonibörjanav 1800-talet då de tittade på integralteorin gällande komplexa tal. Ingen av dem publicerade docknågon större artikel om komplex funktionsteori. Det var istället bland annat franske Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) som grundadedenna teori och en delavdetta ska vitittanärmarepå här. 2 Bakgrund

2.1 Grundläggande begrepp

Viskabörjamedattgåigenomnågragrundläggandetopologiskadenitioner och börjarmed attbeskriva olikabegreppför en mängd

S

.

Vi kallar mängden av alla punkter som satiserar

|z − z

0 | < ρ

,där

ρ

är ett positivt reellt talför en cirkulär omgivning kring

z

0

.Den består avalla punkter inuticirkeln medradie

ρ

runt

z

0

.

En mängd

S

är öppen om varje

z ∈ S

är en inre punkt. Där

z

0 ∈ S

är en inre punkt till

S

om det nns en cirkulär öppen omgivning, även kallad begränsad disk,

{z ∈ C

_{|z − z}

₀

_{| < r} = B(z}

₀

, r)

(11)

S

_b

randpunkt

b

Figur1:Illustrationavvaden inre- respektive randpunkt är.

{|z − 5| > 4}

,

{

Im

z > 0}

och

{2 <

Re

z < 4}

.Att

S

är öppen ärekvivalent med att komplementet

C

\ S

är slutet. Mängden

S

är sluten om alla dess randpunkternnsmed.Där

z

0 ∈ C

ärenrandpunkttill

S

omvarjeomgivning

B(z

0 , r)

innehållerpunkter urbåde

S

ochkomplementet till

S

.IFigur1ser vi en bildöverhur detta kan seut. Omvi har en mängdavpunkter

z

som satiserarolikheten

|z − z

0 | ≤ ρ

,

ρ > 0

såär denensluten mängdochkallas för en sluten cirkelskiva då den innehåller dess rand

|z − z

0 | = ρ

. Om för varje

z

1 ∈ S, z

2 ∈ S

i

C

kan sammanbindas medett polygontåg helt i

S

då kallas

S

(bågvis) sammanhängande,se Figur2.Enöppensammanhängande mängdkallasför ettområde.

b

z

1 b

z

2 b

b

Figur 2:Typisktpolygontåg

Närmanhar en mängdsomiFigur3säger manattmängden

A ⊂ B

är täti

B

om

A ⊃ B

,vi får enallmändenition nedan.

Q

är tillexempeltäti

R

.

Denition 2.1. Mängd tät i en annan mängd

Enmängd

A ⊂ B

i

C

är täti

B

omför varje

z

0 ∈ B

nns enföljd

{z

n

} ⊂ A

s.a.

lim

n→∞

z

n

= z

0

.

Figur3:

A

täti

B

(12)

tittapåvad somgäller vidderivering. Denition 2.2.

C

-deriverbar

Omen funktion

f

är denierad ien omgivning av

z

0

såär

f C

-deriverbar i

z

0

om

f

0 (z

0 ) = lim

∆z→0

f (z

0 + ∆z) − f(z

0 )

∆z

existerar.Gränsvärdet kallas dåför derivatan av

f

i

z

0

.

För

∆z

harviattdenkannärmasignollbådefrånhöger,vänster,utefter imaginära axeln osv. då det är ett komplext tal. Men för att derivatanska existera måste gränsvärdet närma sig ett unikt tal

f

0 _(z

0 )

oberoende hur

∆z → 0

.

Om vi har en

C

-deriverbar funktion

f

som är punktvis denierad som ovan säger man att den är analytisk i en öppen mängd

D

.Vi ska senare se bevispå atten funktionsom kan Taylorutvecklas också är analytisk,2.11.

Sambandet för en analytisk funktions reella och imaginära delar får vi från Cauchy-Riemanns ekvationer. Vilketvi sen tidigare har sett att bland annat d'Alembert studerade under 1700-talet och kom fram till att

x

och

y

representerar de reella och imaginära delarna i en komplex funktion. Vi har tidigare nämnt att Euler visade hur man använde komplexa tal för att utvärdera en reell integral. Det är dock bland annat efter Cauchy som det har döpts efter. Han studerade detta under början av 1800-talet men han visade aldrig explicit hur det komplexa kom in i funktionsteorin. Det var först i hans senare arbeten man ckse hur han gick från reell till komplex analys.Vi skanutitta närmare pådessa ekvationer.

Sats 2.3. Cauchy-Riemanns (C-R) ekvationer

Antag att

f

är

C

-deriverbar i

z

0

. Dågäller (

f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y)

):

(13)

När

∆z → 0

efterden reellaaxeln blir

∆z = ∆x

vilketger(

∆y = 0

)

f

0 (z

0 ) =

∂u

∂x

(x

0 , y

0 ) + i

∂v

∂x

(x

0 , yo)

.

När

∆z → 0

efterimaginära axeln blit

∆z = i∆y

som ger(

∆x = 0

)

f

0 (z

0 ) =

1 i

∂u

∂y

(x

0 , y

0 ) + i

1 i

∂v

∂y

(x

0 , y

0 )

. Vi får alltså

∂u

∂x

+ i

∂v

∂x

= −i

∂u

∂y

+

∂v

∂y

. Reella delen motsvarande reella och imaginära motimaginära gerdärmed

∂u

∂x

=

∂v

∂y

och

∂v

∂x

= −

∂u

∂y

.

Ävendetomvändagäller,dvsom

f

ärkontinuerligtderiverbarochvihar ekvationerna (2.1) och (2.2) ienomgivning

U

till

z

0

har vien

C

-deriverbar funktion. Vihar

f (z

0 + ∆z) − f(z

0 )

∆z

=

u (x

0 + ∆x, y

0 + ∆y) − u (x

0 , y

0 )

∆x + i∆y

+

i (v (x

0 + ∆x, y

0 + ∆y) − v (x

0 , y

0 ))

∆x + i∆y

där

z

0 = x

0 + iy

0

och

∆z = ∆x + i∆y

. För

|∆z|

tillräckligt liten, så att radien

|∆z|

liggerhelt i

U

har viattdentidigare ekvationen ärväldenerad och kan därmed skriva

u(x

0 + ∆x, y

0 + ∆y) − u(x

0 , y

0 ) =

= (u(x

0 + ∆x, y

0 + ∆y) − u(x

0 , y

0 + ∆y)) +

+ (u(x

0 , y

0 + ∆y) − u(x

0 , y

0 ))

Från medelvärdessatseni

R

får vi att

u(x

0 + ∆x, y

0 + ∆y) − u(x

0 , y

0 + ∆y) = ∆x

∂u

∂x

(x

∗

, y

0 + ∆y)

förnågottal

x

∗

somliggermellan

x

0

och

x

0 +∆x

.Kontinuitethosdepartiella derivatornai

(x

0 , y

0 )

ger

∂u

∂x

(x

∗

, y

0 + ∆y) =

∂u

∂x

(x

0 , y

0 ) + ε

1

där

ε

1 → 0

då

x

∗

→ x

0

och

∆y → 0

(specielltdå

∆z → 0

).Dettamedföratt

u(x

0 + ∆x, y

0 + ∆y) − u(x

0 , y

0 + ∆y) = ∆x

∂u

(14)

att

f (z

0 + ∆z) − f(z

0 )

∆z

=

∆x

∂u

_∂x

+ ε

1 + i

∂v

_∂x

+ iε

3 + ∆y

∂u

∂y

+ ε

2 + i

∂v

∂y

+ iε

4 ∆x + i∆y

ipunkten

(x

0 , y

0 )

och

ε

i

→ 0

då

∆z → 0

. Ovanstående uttryck fås genom användning avC-R's ekvationer(2.1)och(2.2) som

∆x

∂u

_∂x

+ i

∂v

_∂x

+ i∆y

∂u

_∂x

+ i

∂v

_∂x

∆x + i∆y

+

A

z

}|

{

∆x(ε

1 + iε

3 ) + ∆y(ε

2 + iε

4 )

∆x + i∆y

Dåvifrån triangelolikheten får

A

∆x + i∆y

≤

∆x

∆x + i∆y

|

ε

1 + iε

3 |+

∆y

∆x + i∆y

|

ε

2 + iε

4 | ≤ |ε

1 + iε

3 |+|ε

2 + iε

4 |

har viatt

∆x+i∆y

A

→ 0

då

∆z → 0

och får dågränsvärdet

lim

∆z→0

f (z

0 + ∆z) − f(z

0 )

∆z

=

∂u

∂x

(x

0 , y

0 ) + i

∂v

∂x

(x

0 , y

0 )

och därmedhar vi att

f

0 _(z

0 )

existerar. Fråndettakanviseatt

∂f

∂z

=

∂f

∂x

= −i

∂f

∂y

.Denandresomdennaekvation harfåttnamnetifrånärGeorgBernhardRiemann(1826-1866)sommantror reddeut detredanvid 21års ålder1847 ochargumenterade för det1851.

Som vi har sett och påstått tidigare kan

∆z → 0

såväl efter den reella axeln somefter den imaginära axeln. Detta medföratt alla funktioner ejär deriverbaraochdärmed ejanalytiska vilketvi kommertillsenare.Vibörjar däremotförst medattkonstatera attsom idetreella falletför ettpolynom attdetderiveras termvis och gerföljanderesultat.

Proposition2.4. Varjekomplextpolynom

p(z) = a

0 +a

1 z+...+a

n

z

n

_{∈ C(z)}

äranalytiski

C

ochderivatanges av

p

0 _{(z) = a}

1 +2a

2 z +...+na

n

z

n−1

∈ C(z)

. Bevis. Följer från att

d

dz

z

n

= nz

n−1

och räknereglerna, där

f

och

g

dier-entierbara i

z

,

(af + bg)

0 _{(z) = af}

0 _{(z) + bg}

0 _(z)

,

(cf )

0 _{(z) = cf}

0 _(z)

för någon konstant

c

.

Viskanu titta närmare på de olika analytiska och icke analytiska funk-tioner och börjarmed deanalytiska.

Exempel 2.5. Analytiska funktioner

(15)

Vi har även att

f =

1 z

, är analytisk i

{z

_{z 6= 0}}

och

f (z) = e

z

som är analytisk ihela

C

.För den senare får vi från denitionen avden komplexa exponentialen att

f (z) = e

x

_{cos y + ie}

x

_{sin y}

. Dess partiella derivator blir då

∂u

∂x

= e

x

cos y

,

∂v

∂y

= e

x

cos y

,

∂u

∂y

= −e

x

sin y

och

∂v

∂x

= e

x

sin y

. Från ekvationerna(2.1)och(2.2)serviattC-R'sekvationerhållerförvarjepunkt iplanetochvi får derivatan

f

0 _{(z) = e}

x

_{cos y + ie}

x

_{sin y = e}

z

som förväntat. Exempel 2.6. Funktioner som ej är analytiska

z

är ej analytisk då det är omöjligt att ge den komplexa derivatan av

z

ett unikt värde i någon punkt,

z

är alltså ej dierentierbar och därmed ej analytisk. Detta ser vi även från C-R ekvationer, Sats 2.3, där

u(x, y) = x

och

v(x, y) = −y

.Vifår dåföljande:

∂u

∂x

= 1

,

∂v

∂y

= −1

,

∂u

∂y

=

∂v

∂x

= 0

.Förde senare håller villkoret. Men för att detskagälla helavägen ut ska

∂u

∂x

=

∂v

∂y

vilketejstämmer då

1 6= −1

.

Im(z)

är ej analytiskvilketvi serfrån att

f (z

0 + ∆z) − f(z

0 )

∆z

=

Im (z

0 + ∆z) − Im(z

0 )

∆z

=

Im(∆z)

∆z

.

Om

∆z → 0

utefterreellaaxelnfås

0 ∆x

= 0

ochom

∆z → 0

utefterimaginära axelnfås

1 i

∆y

= −i

.Vifåralltså skildavärdenochfunktionenär därmed ej deriverbar elleranalytisk.

2.2 Slutna konturer

Viskanutitta lite påvadsom gällerförslutna konturer.Fördetta behöver viveta vad en konturär ochtittar såledespå endenition för denna. Denition 2.7. Enkurva

γ

är en konturom

γ

är en föld

γ

1 , γ

2 , . . . , γ

n

av slätakurvorsåattändpunktertill

γ

i

ärbegynnelsepunkttill

γ

i+1

,

1 ≤ i < n

. Dären kurva är värdemängdenför enkontinuerlig funktion

z(t) = x(t) + i y(t)

från

[a, b] ∈ R

till

C

varav en kurva är slät om

z(t)

är deriverbar och "1-1"på

[a, b]

och

z(t) 6= 0

. Exempel på konturer ser vi i Figur4.

b

I

N

J

H

b

_I

b

I

Figur4:En enkelsluten kontur respektiveen sluten kontur.

(16)

Bessel 1811 skrev att han hade kommit fram till detta och att han hade ettvackertbevissom hanskulle visavidett lämpligt tillfälle,detkomdock aldrig.Cauchyberördeävendessasenareisinkariärdåhan1846kommeden storartikelikomplexfunktionsteori där hanrelaterar en integral av

f (z) =

u+iv

runtenkurvasombegränsarenareamedenintegralöverarean.Detta gerför

u

och

v

som funktionerav

x

och

y

Z Z ∂u

∂x

−

∂v

∂y

dx dy =

Z

u dy +

Z

v dx

och

Z Z ∂u

∂y

+

∂v

∂x

dx dy =

Z

−u dx +

Z

v dy

.

Vi har här att dubbelintegralerna är över arean och enkelintegralerna är över den begränsade kurvan. Som vi ser nedan resulterar det med hjälpav Cauchy-Riemannsekvationeratt

R

f (z) = 0

ochCauchyhadeytterligare ett bevis för hans grundsats attintegralen är oberoende av vägen. Weierstrass kom också oberoende fram till denna sats 1842. Man vet inte heller om Cauchyck sina tidigare ideér från Green's arbetefrån 1828 men detnns detsompekarmot detta. Somvisernedan använder viossavGreen's Sats ibeviset för Cauchys Integralsats.

Sats 2.8. Cauchys Integralsats

Låt

D

vara ett enkelt sammanhängande område, f analytisk och

f

0

kontin-uerlig i

D

. Om

Γ

är en enkel sluten kontur i

D

är

I

Γ

f (z) dz = 0

. Bevis.

I

Γ

f (z) dz =

I

Γ

(u + iv) ( dx + i dy) =

=

I

Γ

u dx − v dy + i

I

Γ

v dx + u dy =

=

Z Z

D

0 −

∂v

_∂x

−

∂u

_∂y

dx dy + i

Z Z

D

0 ∂u

∂x

−

∂v

∂y

dx dy = 0

enligtGreen's SatsochC-R's ekvationer, 2.3.

FrånCauchysSatskanvihärledaCauchysIntegralformelsomfrånbörjan när Cauchysjälvvisadeden sågut som

f (z) =

1 2π

Z

π

−

π

zf (z)

z − z

dx

,

(17)

Låt

D

vara enkelt sammanhängande där

z

0 ∈ D

och

f

är analytisk i

D

. Om

Γ

ärenenkelsluten konturi

D

somärpositivtorienteradoch

z

0

äromsluten av

Γ

då gäller

f (z

0 ) =

1 2πi

Z

Γ

f (z)

z − z

0 dz

.

Bevis. Viharatt

f (z)/(z−z

0 )

äranalytisköverallti

D

förutomi

z

0

.Därmed kanintegralenöver

Γ

beräknasöverintegralenförenlitenpositivtorienterad cirkel

C

r

= {z

|z − z

₀

| = r}

omslutenav

Γ

enligtdeformationsmetodenoch vektorsanalysmetoden iFigur5.

H

r

z

0 C

r

H

J

Γ

H

r

z

0 J

C

r

J

Γ

Figur5: Vi kan använda oss av deformationsmetoden till vänster eller vek-torsanalysmetoden till högerför attbyta ut

Γ

mot

C

r

ivår integral.

Vifår därmed

1 2πi

Z

Γ

f (z)

z − z

0 dz = {

Cauchys Sats, 2.8,

C

r

som ovan

} =

=

1 2πi

Z

C

r

f (z)

z − z

0 dz = {f(z) = f(z

0 ) + f (z) − f(z

0 )}

=

1 2πi

Z

C

r

f (z

0 )

z − z

0 dz

|

{z

}

f (z

0 )

+

1 2πi

Z

C

r

f (z) − f(z

0 )

z − z

0 dz

|

{z

}

A

f (z) − f(z

0 )

z − z

0 =

1 r

|f(z) − f(z

0 )| ≤

≤

1 r

max

z∈C

r

|f(z) − f(z

0 )| =

1 r

M

r

|A| ≤

_2π

1 `(C

r

)

| {z }

2πr

·

1 _r

M

r

= M

r

→ 0,

r → 0

ty

f

kontinuerlig

(18)

denäven oändligtderiverbar. Detta gällerinteireellanalysvilket viserför funktionen

g(x) = 2

Z

|x| dx =

x

2

då

x > 0

−x

2

då

x < 0

.

g(x)

ger vid derivering en funktion som är kontinuerlig i origo men inte deriverbarigen. Förattseatten funktionäroändligtderiverbarnär denär engång deriverbarikomplexanalystarvi

z ∈ D

där

D

ären öppen mängd och

f

är analytisk i

D

. Vi väljer sedan en öppen cirkelskiva

D

0

som är en delmängd till

D

och kurvan

Γ = {ζ

|ζ − z| = r} ⊂ D

0

. Vi kan välja vår delmängdpådettavisty

D

ärenöppenmängd.FrånCauchysIntegralformel,

2.9, fårvi dåatt

f (z) =

1 2πi

I

ζ

f (ζ)

ζ − z

dζ

. Då

G(z) =

Z

Γ

g(ζ)

ζ − z

dζ

har derivatan

G

0 (z) =

Z

Γ

g(ζ)

(ζ − z)

2 dζ

får viatt

f (z)

är oändligtderiverbar medderivatan

f

(n)

(z) =

n!

2πi

I

Γ

f (ζ)

(ζ − z)

(n+1)

dζ

. Från dettakan vihärleda Moreras Sats, 2.10.

Sats 2.10. Morera

Om

f

är kontinuerlig iett enkeltsammanhängande område

D

och om

R

Γ

f (z)dz = 0

för alla slutna konturer

Γ

i

D

. Dåär f analytisk i

D

.

Bevis. Låt

D

varaettområdedär

f (z)

ärkontinuerlig.Låtvidaredessslutna konturintegraler varanoll. Tag en punkt

z

0 ∈ D

med enomgivning runt

z

0

och konstrueraintegralen avf,

F (z) =

Z

z

0 f (z) dz

.

Från ovan servi att

f

har primitiv funktion

F

.

F

är alltsåanalytisk, då

F

deriverbar. Från ovan har viäven attomen funktion är engång deriverbar är denäven oändligtderiverbar. Alltså

F

0 = f

är dåanalytisk.

Tidigarepåstodviattomenfunktionär

C

-deriverbaruppfyllerdenäven C-R'sekvationerochkanTaylorutvecklas.NärdetgällerTaylorutvecklingen var det Pierre-Alphonse Laurent (1813-1854) som visadedetta 1843 dåhan publicerade en hel del resultat om detta. Bland annat en utvidgning av Taylorserien till Laurentserien

f (z) =

P

∞

−∞

a

n

(z − a)

n

(19)

Sats 2.11. Om

f

är en komplexvärd funktion såär följande ekvivalent 1.

f

är

C

-deriverbar

2.

f

uppfyller C-R ekvationer 3.

f

kan Taylorutvecklas.

Bevis.

C

-deriverbar

⇒

C-Rekvationersebevis förC-Rekvationer,2.3.Från C-Rvisar viSats 2.8somsedananvändsför attvisaSats2.9som vinuska använda oss för att visa att en analytisk funktion kan Taylorutvecklas. En formulering förTaylorserieutveckling är:

Antag

f

analytiski

|z − z

0 | < R

.Dågäller

f (z) =

P

∞

n=0

a

n

(z − z

0 )

n

där

a

n

=

f

(n)

_(z

0 )

n!

.

Om vi nu tar

z

med

|z − z

0 | < R

och låter

C = {z

|z − z

₀

| = r}

,där

|z − z

0 | < r < R

får vi från CauchysIntegralformel,Sats 2.9,

f (z) =

1 2πi

I

C

f (ζ)

ζ − z

dζ =

1 2πi

I

C

f (ζ)

ζ − z

0 − (z − z

0 )

dζ =

=

1 2πi

I

C

f (ζ)

(ζ − z

0 )(1 −

z−z

_ζ−z

0 ₀

)

dζ =

ty

z − z

0 ζ − z

0 < 1

=

1 2πi

I

C

f (ζ)

ζ − z

0 ∞

X

n=0

(z − z

0 )

n

(ζ − z

0 )

n

dζ = {

likformig konvergens, seDef. 3.2

} =

=

1 2πi

∞

X

n=0

(z − z

0 )

n

I

C

f (ζ)

(ζ − z

0 )

n+1

dζ

|

{z

}

2πif

(n)

_(z

₀

_)/n!

=

∞

X

n=0

f

(n)(z

0 )

n!

(z − z

0 )

n

.

Där den sista integralen ges av att

f

är oändligt deriverbar med derivatan

f

(n)

(z)

som ovan. För att cirkeln ska bli sluten konstaterar vi att en T ay-lorseriebestår avpolynomsom konvergerar likformigt och från Proposition

2.4 har vi att varjepolynom är

C

-deriverbar. Detta medför som vi ska se i nästaavsnittSats 3.7attäven gränsfunktionenär

C

-deriverbar.

3 Konvergens - familjer av analytiska funktioner 3.1 Följder

(20)

{f

n

(z)}

konvergerar punktvis på

D

mot

f (z)

om för varje

z ∈ D

gäller att för varje

ε > 0

existerar ett

N = N (z)

så att

|f

n

(z) − f(z)| < ε

för alla

n > N (z)

.

Nästakonvergensviskabeskrivaärlikformigkonvergens.Dennaär stark-areänpunktvisochviskaseattommanharlikformigkonvergensmedfördet attmanharpunktviskonvergens.Däremotommanharpunktviskonvergens medfördetinteattmanharlikformigkonvergens.Avvadmanvetverkardet somattChristophGudermann(1798-1852)vardenförstamatematikernsom använde konceptet med likformig konvergens. Han var Weierstrass lärare i Münsteroch 1839-40varWeierstrassden endapå hansföreläsningar i mod-ulära funktioner. Ett år senare, 1841, arbetade Weierstrass med likformigt konvergenta serier ien av sinaartiklar somblev publicerad först 1894.Han var dock inte ensam som introducerade denna konvergens då Ph. L. Seidel och Sir G. G. Stokes gjorde samma upptäckt 1847 oberoende avvarandra. Derasarbetenpåverkade inteutvecklingen nämnvärt.

Denition 3.2. Likformig konvergens

{f

n

(z)}

konvergerarlikformigtmot

f (z)

på

D

omföralla

ε > 0

existerar

N

såatt

|f

n

(z) − f(z)| < ε

för alla

n > N

och för alla

z ∈ D

.

Denitionerna för punktviskonvergens ochlikformig konvergens,3.1 re-spektive3.2,kanses somväldigtlika.Vilketde ärbortsettfrån andradelen av dem båda. För likformig konvergens har vi att

N

kommer före

z

vilket gör att samma

N

används för alla

z

. För punktivs konvergens har vi dock att

N

får beropå

z

,vikanalltså väljaettnytt

N

för ettnytt

z

.

Lokallikformig konvergens är en konvergens somligger mellanpunktvis ochlikformigkonvergens.Omviharenicketommängd

X

ochenföljd

f

n

av komplexvärdafunktionersåatt

f

n

: X → C

harvilokallikformigkonvergens i

X

omvarjepunkt

x ∈ X

liggerien omgivning där följden

f

n

konvergerar likformigt.Likformigkonvergens medförattviäven harlokallikformig kon-vergens.Omföljden

f

n

konvergerarlikformigtiettändligtantaldelmängder

A

1 , A

2 , . . . , A

k

av

X

harviattunionenavdessamängder,

A

1 ∪A

2 ∪. . . ∪A

k

, konvergerarocksålikformigt.Fråndettaharviatt:Omföljden

f

n

konverger-arlokaltlikformigti

X

,konvergerardenlikformigtivarjekompaktdelmängd

K

av

X

. Om en följd konvergerar likformigt i varjekompakt delmängd av

(21)

En följdavfunktioner

{f

n

}

på

Ω

konvergerar normalt tillen funktion

f (z)

om det för alla

ε(K) > 0

och varje kompakt delmängd

K ⊆ Ω

nns ett

positivt tal

n

0

såatt

n ≥ n

0

och

z ∈ K

ger

|f

n

(z) − f(z)| < ε(K)

.

Vifåralltsåattomenföljdkonvergerar likformigtpåkompaktadelmängder av

Ω

såkonvergerar den även normalt.

Vinämndetidigareattlikformigkonvergensävenmedförattvihar punk-tviskonvergens och skanubekräftadettai enlitensats.

Sats 3.4. Om

f

n

konvergerar likformigt konvergerar

f

n

även punktvis. Bevis. Det säger sig självt från denitionerna. Eftersom

f

n

konvergererar likformigtnnsförvarje

z ∈ D

ochförvarje

ε > 0

ett

N

enligtDenitionerna

3.1och3.2.Vikanhitta ett

N

som hållerför ettspeciellt

z

,oavsettvilket

z

vivaltkan vita samma

N

.

Somredanpåståttgällerdettaresultat dockinteåt andrahållet.Om vi harenfunktionsomkonvergerarpunktvisbehöverdenalltsåintekonvergera likformigt också vilketvi seriföljande exempeli

R

.

Exempel 3.5.

f

n

(x) = x

n

konvergerar punktvisiintervallet

[0, 1]

då

[x

n

_{→ 0]}

föralla

x < 1

och

[1

n

_{] → 1}

vilketviseriFigur6.

f

n

(x)

konvergerar alltsåintelikformigttill

f (x)

därdenkonvergerarpunktvis,enligtdenition dåvi ejkan väljasamma

N

för alla

z

.

(1, 1)

f

n

(x)

b

bb

bbb

Figur 6: Schematisk bild för

x

,

x

2

till och med

x

10

i intervallet

[0, 1]

med punkter utsattaför

x = 0.7

för respektive.

(22)

däremotgällerdetinte attdessa medförlikformig konvergens.Vi har alltså fåttde olikasambanden nedan iFigur7.

Likformigkonv.

Punktviskonv. Lokal likf.konv. Normalkonv.

\

_/

/

\

/

Figur7:Sambandetmellanvåraolika konvergenser.

Vanligtvis när vi har konvergenta följder som är avkontinuerliga funktion-er är gränsfunktionen ej kontinuerlig. Däremot för lokal likformigt och lik-formigt konvergenta följder som är uppbygda av kontinuerliga funktioner ärvergränsfunktionenkontinuitetenvilketviskasenedanför likformig kon-vergens.

Sats3.6. Antagatt

f

n

(z)

ärkontinuerligi

D

ochatt

f

n

(z) → f(z)

likformigt i

D

.Då är

f

kontinuerlig. Bevis.

|f(z

0 ) − f(z

0 + w)| =

= |f(z

0 ) − f

N

(z

0 ) + f

N

(z

0 )−

− f

N

(z

0 + w) + f

N

(z

0 + w) − f(z

0 + w)| ≤

≤ |f(z

0 ) − f

N

(z

0 )| + |f

N

(z

0 ) − f

N

(z

0 + w)|+

+ |f

N

(z

0 + w) − f(z

0 + w)| < ε

om

|z

0 − (z

0 + w)| = |w| < δ

och där

N

valts så att

|f

n

(z) − f(z)| < ε/3

,

n ≥ N

och sedan

δ > 0

såatt

|f

N

(z

0 ) − f

N

(z

0 + w)| < ε/3

.

Alltså

f

är kontinuerlig ivarje punktpå

D

enligtdenition.

Om vi barahar punktviskonvergens behöver det dockintegälla. Vilket vi ser i vårt tidigare Exempel 3.5 där vi har kontinuerliga funktioner som konvergerarpunktvisvaravgränsfunktionenej är kontinuerlig.

(23)

lytiskgränsfunktion.

Bevis. Vi vill alltså visaatt om vi har en följd

f

n

av analytiska funktioner i ett enkelt sammanhängande område

D

där

f

n

→ f

likformigt så är

f

analytiski

D

.

Vi börjar med att konstatera från Sats 3.6 att vi har en kontinuerlig funktionoch låter

γ

vara ensluten konturi

D

.Då fårvi från Cauchys Sats att

Z

γ

f

n

(z) dz = 0

. (3.1)

Vihar även att

R

f (z) dz

är gränsfunktionen på grund avlikformig konver-gens till (3.1) vilket ger att

R

f (z) dz = 0

. Från Moreras Sats, 2.10, får vi sedanatt

f (z)

äranalytisk.

3.2 Normala familjer

I detta avsnitt ska vi beskriva vad en normal familj är och vad som gäller för dessa. Vi ska bland annat se vad Montels Sats, 3.16, säger och behöver därmedvetavadsommenasmedlokaltbegränsadochvadekvikontinuitetär. Vikommer även attbehöva Arzela/Ascolis Sats, 3.15,för att kunnabevisa Montels Sats. Viskadockbörjamed attse vad som menas med en normal familj.

Denition 3.8. Normalfamilj

En familj

F

= {f

k

}

, av analytiska funktioner i ett område

D ⊆ C

, säges vara normal i

D

om varje följd av funktioner i

F

antingen har en delföljd som konvergerar till en gränsfunktion

f 6≡ ∞

likformigt på varje kompakt delmängdav

D

,ellerhar enföljdsomkonvergerar likformigt till

∞

påvarje kompaktdelmängd.

Denition 3.9. Lokalt begränsad

En familj

F

är lokalt begränsad om det för varje

z

0 ∈ D

nns en öppen omgivning

U

såatt

{f(z)

_{z ∈ U, f ∈ F}}

ären begränsad mängd. Exempel 3.10.

f (z) =

1 z−1

är lokalt begränsad på

D = {|z| < 1}

med

M =

1 ₂

. Vi har däremot inte att

f (z)

är begränsad då på hela

D

kan

f (z)

anta hur storavärdensom helst då

0 → −1

,

1 → ∞

och

−1 → −

1

2

. Denition 3.11. Likformigtbegränsad

Om vi har som för lokalt begränsad, 3.9, då är

F

likformigt begränsad i en omgivning av varje punkt för

U

. Alltså

F

är likformigt begränsad om

(24)

Förfamiljen

F

av analytiska funktionerså att

F

= {f

n

(z) = z

n

_{z ∈ U, n =}

1, 2, 3, . . .}

där

U

är en öppen delmängd av enhetsdisken

|z| < 1

har vi att

F

ärlikformigt begränsad.Vilketgör att

F

ärnormal i

U

.Omviiställettar

U

0 = |z| > 1

konvergerar

{f

n

}

likformigt till

∞

påkompaktadelmängderav

U

0

ochdärmed är

F

normalocksåenligt denition. Exempel 3.13. Ej en normal familj

Låt

F

= {f

n

(z) = nz

n = 1, 2, 3, . . .}

då kan

F

ej vara normal iettområde sominnesluter origo. Då

f

n

(0) → 0

men

f

n

(z) → ∞

då

n → ∞

för

z 6= 0

. Denition 3.14. Ekvikontinuerlig

Låt

F

varaen familj avfunktioner i ettområde

D ⊆ R

n

, då säges familjen vara ekvikontinuerlig om det för varje

ε > 0

nns ett

δ > 0

så att när

z

,

ω ∈ D

satiserar

|z − ω| < δ

är

|F (z) − F (ω)| < ε

för alla

F ∈ F

. Sats 3.15. Arzela/Ascoli

Låt

F

vara en familj av kontinuerliga funktioner på

D

. Varje följd i

F

har en delföljd som konvergerar likformigt på kompakta delmängder omm

F

är ekvikontinuerlig och punktvis begränsad.

En funktionär punktvisbegränsad omför varje

z

0

i

Ω

mängden

{f(z

0 )

f ∈ F}

är begränsad. Sats 3.16. Montels

Låt

F

vara en familj av analytiska funktioner på

D

. Varje följd i

F

har en delföljdsom konvergerar likformigt på kompakta delmängder om

F

är lokalt begränsad.

Bevis. Genomatthärleda ekvikontinuitet ochtillämpa Arzela/Ascoli får vi ettbevisavMontels Sats.

Fixera

w

0

i

D

och låt

U

varaen omgivning med radie

r

runt

w

0

så att

|f(w)| ≤ M

för alla

w ∈ U

och

f

i

F

. Låt

Γ

vara cirkeln med radie

r

2

centrerad i

w

0

.För varje

w

inom

r

4

av

w

0

gerCauchy'sIntegralformel,2.9,

(25)

|f (w) − f (w

0 ) | =

=

1 2π

|w − w

0 |

Z

Γ

f (z)

(z − w) (z − w

0 )

dz

≤

1 2π

|w − w

0 |

Z

Γ

|f (z)|

|(z − w) (z − w

0 )|

dz

|f(z)| ≤ M

,

| (z − w) | =

r

4

och

| (z − w

0 ) | =

r

2

ger

|f (w) − f (w

0 ) | ≤

≤

_2π

1 |w − w

0 | `(Γ)M ·

8 r

2 =

(=

{där

`(Γ)

är längden av

Γ

}

=)

=

1 π

|w − w

0 |

2πr

2 4M

r

2 =

= 4|w − w

0 |

M

r

∴

|f (w) − f (w

₀

)| ≤

4M

r

|w − w

0 |

|

{z

}

Oberoendeav

f

för alla

f ∈ F

Vi har därmed ekvikontinuitet. Då familjen

F

är lokalt begränsad enligt förutsättningarna och därmed också punktvis begränsad kan vi tillämpa Arzela/Ascolisomger Montels sats.

Exempel 3.17. Montel

I Exempel 3.12 hade vi att

F

är normal. Detta ser vi även från Montels Sats, 3.16,då

F

är begränsad ger Montelatt detska nnasen delföljd som konvergerarlikformigt på kompaktadelmängder ochär därmed normal.

Om vi låter

F

= {z/j}

∞

j=1

på

C

existerar det ej ett

M

såatt

|z/j| ≤ M

för alla

j, z ∈ C

.Däremot har viför varjexkompaktdelmängd

K ⊆ C

att detnns en konstant

M

K

såatt

|z/j| < M

K

för alla

j, z ∈ K

och vifår då attMontels Satsgäller. Vihar alltsåattföljden

{z/j} → 0

normalt på

C

. Sats 3.18. Runge

Låt

K

vara enkompakt delmängd avdet komplexa planet med sammanhän-gandekomplement där

f

är enfunktion som är analytisk i enomgivning av

(26)

Exempel3.19.Låt

K

n

varaunionenavpunkten

{0}

,linjesegmentet

[1/n, n]

och denkompakta mängden

S

n

= {z ∈ C

_{|z| ≤ n}

och avståndet

(z, R

+

) ≥ 1/n}

.

Viserdetgivna områdetiFigur8.Låt vidare

g

n

varaen analytiskfunktion

b

0 1/n

n

Figur 8:Detgivna området.

somförsvinnerienomgivning av

S

n

och

[1/n, n]

somärkonstant

1

ienboll runt

{0}

.

p

n

ärett polynomsom fåsgenom attanvända Runge's Sats,3.18, såatt

|p

n

(z) − g

n

(z)| < 1/n

för alla

z

i

K

n

.

Varje punkt idet komplex planet tillhör

K

n

för nog stora

n

.Alltså det punktvisa gränsvärdet

lim

n→∞

p

n

(z)

existerar och är noll överallt utom i origo där gränsvärdet är

1

. Från konstruktionen är konvergensen likformig på varje mängd

S

n

vilket gör att konvergensen är likformig på kompakta delmängderav

C

\ [0, ∞]

.Dågränsfunktioneninteärkontinuerligiorigokan ejföljden

{p

n

}

konvergera likformigtinågon omgivningav

{0}

ellerinteens näranågon punktpå den positivareella axeln.

Omvitar

p

n

somkonvergerar likformigtpåenomgivning

U

medradie

r

somärcentreradinågot

x > 0

,förnågot

n ≥ 2

,

r > 1/n

och

|p

n

(z)| < 1/2

på

U

.På

S

n

harviävenatt

|p

n

(z)| < 1/n ≤ 1/2

.Men

S

n

∪ U

innesluter cirkeln av radie

x

runt origo. Vilket implicerar att

|p

n

(0)| < 1/2

men

|p

n

(0)| =

1

för alla

n

,vilketgörattvihar enmotsägelse. Kanalltsåejvaraanalytisk ellerkonvergera likformigt.

Slutsats.Viharalltsåenföljdsomkonvergerar punktvispå

C

,likformigt på kompakta delmängder av

C

\ R

+

och konvergerar mot en funktion som är analytiskutanför

R

+

.

Förattkunnavisaensenare propositionbehöver vivetavadsommenas medingenstans tät ochvadenföljdsatsavBairesSatssäger.Följdsatsenfår vi från Rudin: Real and Complex Analysis, [9]. Först tittar vi på vad som menas medingenstanstät.

(27)

En öppen mängd

U ∈ C

kan inte skrivas som en numrerbar union av "in-genstans täta mängder".

Proposition 3.22.

Låt

F

vara en punktvis begränsad familj av analytiska funktioner på

Ω

det nnsdåen(maximal)tät öppenmängd

Ω

0 ⊆ Ω

så attrestriktionen av

F

till

Ω

0

är lokalt begränsad.

Bevis. För varje

z

i

Ω

låt

φ(z)

vara den minsta övre begränsningen för

{|f(z)|

f ∈ F}

. Där

K

n

= {z

φ(z) ≤ n}

är relativt sluten i

Ω

då varje

f

i

F

är kontinuerlig.Vifår frånatt

φ(z)

är ändligför varje

z

att

Ω = ∪K

n

. Från följdsatsen av Baires Kategorisats, 3.21, får vi för varje öppen mängd

U

i

Ω

att

K

n

∩ U

har inre punkter för stora

n

.För om

U ∩ K

n

ej har inre punkter skulle

U ∩ K

n

varaingenstans täti

Ω

.Men

∪

∞

n=1

ingenstanstäta

z

}|

{

U ∩ K

n

= U ∩ Ω = U

ty

∪ K

n

= Ω

vilketskullesägaemotBaire.

U ∩K

n

måstealltsåhainrepunkter.Därmedär unionen

Ω

0

avdeinrepunkternaav

K

n

entätöppendelmängdav

Ω

.Då

F

är begränsadpåvarjemängdavinrepunkter av

K

n

är

F

ävenlokaltbegränsad på

Ω

0

. Vi har även motsatsen att om funktionerna i

F

är begränsad av

n

på en öppen mängd

U

då består

U

av de inre punkterna av

K

n

och ligger därmedi

Ω

0

.

Vi ställer oss nu frågan: Hur fel kan det gå? Vi har att om

f

kon-vergerarpunktvismedfördettainteattgränsfunktionenäranalytisk.Nedan ska vi dock se bevis på att gränsfunktionen fortfarande alltid är analytisk på en tät öppen delmängd för en punktvisbegränsad familj av funktioner. Konvergensen kanalltså inte gå såväldigt fel, vilket är liteförvånande. Korollarium 3.23.

Låt

f

n

varaenföljdavanalytiskafunktionersom konvergerar punktvispåett område

Ω ⊂ C

.Dåärgränsfunktionen

f

analytiskpåentätöppendelmängd av

Ω

.

(28)

[1] R.Courant,H.Robbins,Revised byI. Stewart,What isMathematics? AnElementaryApproach toIdeas andMethods SecondEdition,Oxford University Press,Inc., NewYork,1996

[2] Kenneth R. Davidson, Pointwise limits of analytic functions (J. Lon-don Math.Soc.(2)75 (2007) 133-145)

[3] RobertE.Greene,StevenG.Krantz,FunctionTheoryofOneComplex Variable, Wiley,New York,1997

[4] VictorJ.Katz,AHistoryofMathematicsAnIntroduction Second Edi-tion, Addison-WesleyEducational Publishers, Inc,USA,1998

[5] M. Kline, MathematicalThought FromAncientto ModernTimes Vol-ume 2,OxfordUniversityPress,New York,1972

[6] Steven G.Krantz, ComplexAnalysis: TheGeometric Viewpoint, 1990 [7] Frank Morgan, Real Analysis, American Mathematical Society, USA,

2005

[8] Reinhold Remmert, Graduate Texts in Mathematics, Theory of Com-plex Functions, Springer-Verlag,Fourth correctedprinting1998

[9] Rudins,Realand Comlexanalysis, 3ed,McGraw-Hill, New York,1987 [10] E. B. Sa, A. D. Snider, Fundamentals of Complex Analysis with Ap-plications to Engineering and Science 3ed, Pearson Education, Upper Saddle River, NewJersey,2003

[11] JoelL.Schi,Normal Families, Springer-Verlag, New York,1993 [12] Ian Stewart, From Here to Innity A Guide to Today's Mathematics,

3ed, 1996

Från det imaginära till normala familjer

Vt 2010

Examensarbete 1, 15 hp